Obsah I. Určitý integrál 5 1.1. Existence určitých integrálů................................ 5 1.2. Výpočet integrálu podle definice............................. 5 1.3. Newtonova-Leibnizova formule.............................. 6 1.4. Věta o střední hodnotě integrálů.............................. 8 1.5. Metoda per partes...................................... 8 1.6. Substituční metoda...................................... 10 1.7. Nevlastní integrál....................................... 11 1.8. Funkce definované Riemannovým integrálem..................... 13 1.9. Plošný obsah rovinných obrazců............................. 14 1.10. Objem a povrch rotačních těles ............................. 15 II. Diferencální počet funkcí více proměnných 18 II. 1. Definiční obor funkce dvou proměnných........................ 18 11.2. Limita funkce......................................... 19 11.3. Spojitost funkce....................................... 20 11.4. Parciální derivace...................................... 21 11.5. Totální diferenciál a tečná rovina............................ 22 11.6. Derivace a diferenciály vyšších řádů.......................... 24 11.7. Gradient. Derivace ve směru............................... 27 11.8. Derivace složené funkce.................................. 31 11.9. Funkce definované implicitně............................... 33 11.10. Transformace diferenciálních výrazů.......................... 36 11.11. Extrémy funkcí ....................................... 39 11.12. Rotační plochy........................................ 46 III. Dvojný a trojný integrál 50 111.1. Existence........................................... 50 111.2. Fubiniova věta pro dvojný integrál.......................... 51 111.3. Fubiniova věta pro trojný integrál........................... 58 111.4. Substituční metoda pro dvojný integrál....................... 60 111.5. Substituční metoda pro trojný integrál........................ 62 111.6. Aplikace dvojných a trojných integrálů....................... 65 IV. Křivkový integrál 78 IV. 1. Parametrizace křivek ................................... 78 IV.2. Křivkový integrál skalární funkce (křivkový integrál prvního druhu)..... 82 IV.3. Aplikace křivkového integrálu prvního druhu.................... 84 IV.4. Křivkový integrál vektorové funkce (křivkový integrál druhého druhu) ... 90 IV.5. Práce síly podél křivky.................................. 92 IV.6. Potenciální vektorové pole................................ 94 IV. 7. Greenova věta........................................ 99 V. Plošný integrál 103 V. l. Parametrizace ploch.................................... 103 V.2. Plošný integrál skalární funkce (plošný integrál prvního druhu)........ 106 V.3. Aplikace plošného integrálu skalární funkce..................... 109 V.4. Plošný integrál vektorové funkce (plošný integrál druhého druhu)....... 113 V.5. Gaussova-Ostrogradského věta.............................. 117 V.6. Stokesova věta........................................ 121 Přehled použití integrálů 124 I. Určitý integrál I.l. Existence určitých integrálů • Zjistěte, zda existují určité integrály : Příklad 1. ľ dx Jo x2 + l x + 3 Řešení : Ano existuje, protože funkce f(x) — 2 ^ je spojitá na intervalu (0,1) /■10 2 , o Přiklad 2. / -=—n , , dx Jl xA - Sx1 - Ax Řešení: Neexistuje, protože funkce fix) = „ X \ ^-= —:—X ^-r není spojitá yw x3-3x2-4x x{x + l)(x-4) v J v bodě x = 4 ie (1,10)) a lim /(x) = ±oo. V / x->4± ľ1 e2x - 1 Přiklad 3. / -ete e2x - 1 Řešení : Integrál existuje. Funkce f(x) = —- sice není spojitá v bodě x = 0 x a2x / \ elx - 1 \x € (—1,1)J, avšak lim f(x) = lim-= 2. A f1 sin x2 , sina:2 „ ŕ r2 , 4. / - dx [ano, lim-=0] 5. / rce drr [ano] Jo x x Jo r/2 i i 6. /--- dx [ne , lim -—--= ±oo] J0 1-2COSX «-»f±l-2coBX 1.2. Výpočet integrálu podle definice • Přímo z definice integrálu vypočtěte : Přiklad 7. í ex dx J a Řešení : Zvolíme dělení intervalu a = x0 < x\ < xi < ... < xn = b, na n stejných dílů délky Axj = Ax =--, takže x\ = a+Ai, ...Xi = a+iAx,xn = a+nAx = b. Zafj n zvolíme levé koncové body částečných intervalů Xi), tj. & = = a+(i—1)Ax. Vyšetřujeme funkci f(x) = ef. «* Ib Iti Potom pro integrální součet platí sn = ]P/(&)Axť = ^V'Axj = ^V+(i~1)AlAx = i=l i=l i=l n ea • ct*-1^ • Ax = e° • Ax(l + eA* + e2Al + ... + e^Ax) = (v závorce je součet i=i geometrické řady) e° • Ax-^-y- = Ax-^-^- = Ax^—y . Nyní ^ e* dx = Ax fb r i6 = lim sn = lim —r--(e6 - ea) = e6 - e°, což je hodnota / e1 dx = e* = = e6 - e°. ■ Poznámka : Vzhledem k tomu, že integrál existuje, nemůže jiný způsob dělení intervalu vést k jinému výsledku. poznámka : Použili jsme vzorce : 1 + q + o2 + ... + on_1 = 9 ~ 1 a lim 6-1 = 1 . g — 1 x-+o x Přiklad 8. í x dx J a Řešeni: Hodnoty Axí a & zvolíme jako v předcházejícím příkladě. Pak je f(x) = x, a n n n tedy sn = ]P f (&) ■ Axí = & • Axj = J^(a + (i - 1) Ax) •Ai = (o + (a + Ax)+ i i i +(o + 2Ax) + ... + (a + (n - 1) Ax)) • Ax = a + (Q + (" ~ !)A*) . n . Aa; = a + b b-a b2 - a2 . b2 - a2 , = —-— • n •-= —-—; Um sn = —-—. Muzeme to porovnat s výsledkem 2 n 2 n->oo 2 x2!6 b2 - a2 x dx = 1^—J = POZNÁMKA : Použili jsme vzorec pro součet aritmetické řady 01 + 02 + ... + an = 01 °n • n. 1.3. Newtonova-Leibnizova formule • Pomocí Newtonovy-Leibnizovy formule vypočtěte integrály : r/4 l + sin2x Příklad 9. / -s-dx cos2x Řešení: I = f 1 + V cos x ^x _ ľ í—^---j\ dx = J 0 cos2 x J0 \cos2x / ■i jr/4 2 tg x — x J o _ 7T 7T _ 7T = 2 tg---= 2--. -8 PříkladlO. I Vl + xdx Řešení: I = j\l + x)1'2 dx = | [(1 + x)3'2] ® = | • (9x/9 - 4^4) = y. u./ Přikladli, ľ^—-t dx xl + 4 1 f2 2x ľ2 1 1 r Řešení : I = - I —-- dx — 3 / —-- dx = - ln(x2 + 4) 2J0 x2 + 4 J0 x2 + 4 2 L v ; 1 3 1 37T = - • (ln8 - ln4) - - • arctgl = - • ln2 - y. "2_ 3 .o 2 x arctg - Príklad 12 Z*5 5x + 1 J2 X2 + X - dx Řešení: Integrovanou funkci nejdříve rozložíme na parciálni zlomky a integrál vypočteme r \ = ^-r + -^- , 5x + l = A(x + 2) + B(x-l) x2 + x-lx-lx + 2 v x = 1 : 6 = 3.4 —> A = 2 ; x = -2 : -9 = -3B —> B = 3 /= /" f—^-r + —m da;= Í21n|x-l| + 31n|x + 2 J2 \x ~ 1 x + 2 J L 343 = 21n4 + 31n7-21nl-31n4 = 31n7-ln4 = ln—. 4 pozor ! Tentýž integrál na jiném intervalu (a, b) nemusí existovat, bude-li (a, b) obsahovat aspoň jedno z čísel x = —2 nebo a: = 1. Príklad 13 /•t/2 J-n/2 COS2 x ^x 2 Řešení : Zde využijeme, že funkce /(x) = cos2 ^ je sudá, tj. / f(x)dx = 2 f (x) dx. 2 J-a Jo r12 x r121 = 2 1 cos2 - dx = 2 / + cos x c/x = I */2 7T , x + sin x = — + 1. J o 2 •*/2 Příklad 14. /x2 sin x dx -7ľ/2 Řešení : Nyní využijeme to, že funkce f (x) = x2 sin x je lichá, tj. / f (x) dx = 0. J —a U Príklad 15. cos x 1 7t Řešení: Odstraníme absolutní hodnotu: - — cos x > 0 pro x E (—, 7r) Ĺ O 1 7T a--cos a; < 0 pro x G (0, —), takže pro daný integrál platí: 2 3 / = J -(^-cos.x^j dx +J Q-cosx)cíx = sinx-^x '0 v^ ' Jir/3 v5_![ + E_!I + v2 = V3 + E. 2 62 62 6 r. i i 7ľ/3 ri • i — sinx — -x + -x —sinx L 2 J 0 12 J 7ľ/3 /•4_1 J-4 \fŽ? ľ1 ex ' Jo ex + + 9 dx dx _ ľ sin x [21n3] 17. /--- JQ 2 + cos X -i 2 [-ÍTíl 19/_ T*2 _ np 2 x x dx (m 7 1.4. Věta o střední hodnotě integrálů • Pomocí věty o střední hodnotě odhadněte hodnoty integrálů : ŕ x9 Příklad 20. / . dx Jo \A+x3 Řešení: Použijeme Větu o střední hodnotě : Nechť funkce f(x) a g(x) jsou spojité v (a, b) a nechť g(x) má stále stejné znaménko pro všechna x G (a, b). Potom existuje číslo pb rb c G (a, b) takové, že / f(x)g(x) dx = f(c) I g(x) dx. J a J a V našem případě I = f . X dx — . f x9 dx = . ■ -j-, kde c € (0,1), což nám umožňuje odhadnout -■= <-. < —; a tedy 10x/2 " " 10 ŕ Přiklad 21. / ex* dx Jo i: 1 = ec2 j dx = e°2 • 2, c e (0,2), tedy 2°°Jo 1 + 1 r xn+1 n1 1 1 Řešení: I = lim--•-- = lim--•-- = 0 pro všechna c 6 (0,1). n->oo 1 + C Lrc+lJO n->oo 1 + c n+1 Řešení * 1 n Přiklad 22. lim / -í— dx n-*°° Jn l + X OQ ľ°e~X A re8 - 1 ^ , ^ e8 - n 23. / - dX [-TTT-TJT < / < Ji x / , dx f , 1 3 je /„ f7r/2 dx — — 7T 2' -ľ Jo = / sin x dx = j — />5ľ/2 /• = / sin2 xdx = Jo Jo cos x tt/2 = i; */2 1 -cos2x dx = - 1 r sin 2x x — tt/2 0 /•*/2 /-t/2 / sin"-2x • sin2xdx = / sin"-2x(l — cos2x) dx = Jo Jo f*!* f*/2 I u = cosx, u' = sin"-2-cosx = / sin" xdx— / sin" x-cos x-cos xdx = | _ „;__ „_ 1 „:_n-i, Jo Jo cosx-sin"-1xW2 l u = — sin x, v = n- 1 sm a — In-2 — r -sin""1 xi»/g__1_ r n-1 Jo n - 1 J q sin" x dx. 1 n — 1 Dostaneme rovnici /„ = 7n_2 — 0---/„, ze které vypočteme 7n =-In. n — 1 n Provedeme diskuzi : n-lT 2k-l 2k-3 n = 2k je /„ = — J„_2 = Pro n n-1 n = 2fc + 1 je In = —-—7„_2 = 2fc 2Är — 2 2k 2k-2 1 _ (2k- 1)!! 7T 2°~ (2*)!! '2' n _ _ 2 (2fc)!! 2fc + l ' 2/fc- 1 ' "' ' 3 1 ~ (2k + 1)!! Tím jsme odvodili tzv. Wallisovy formule. /»tt/2 />7t/2 rir/2 Tentýž výsledek platí i pro / cos" x dx, jelikož / sin" x dx = / cosn x dx. Jo Jo Jo r/2 7 30. / sin xdx Jo /»\/3 i- / z-arctgxete hf ~ "t] Jo 36. / y • ln(x + y) dx, (y > 0) Jo 32. f cos6xdx Jo 34 /•tt/2 31. / sin8xořa: -■k/2 m/2 33 35. /sin9 x dx •tt/2 / I lnx| Jl/e dx r 3571-1 L128 J [0] Hl i+ l)ln(y + 1) - y2 lny-y] 1.6. Substituční metoda • Vypočtěte integrály substituční metodou : Přiklad 37. / . , dx Ji xyl + lnx Řešení: Použijeme substituci dt 1 + lnx = ť ^=dt x X\ = 1 x2 = e3 h = 1 t2 = 4 a dostaneme I = j'^Ldt = 2[v/í] j = 2 • (2 - 1) = 2. Přiklad 38 r*/* i . i • / -ô,sin- J\/tt x2 x dx Řešeni: Po substituci m/2 x dx Xl = ti = n dt x2 = - ->t, = - obdržíme sin t dt = / sin t dt = 7T -/7r/2 Přiklad 39 = — / sin t dt = I J ir J t 7o 1 + *4 — cos íI = 1 . tt/2 Řešení: Po substituci xz = t 2x dx = dí xi = 0 —► ři = 0 X2 = 1 -> Í2 = 1 Přiklad 40 T 1 f1 dt li" ]1 1 7t 7t Jo získáme x2dx Řešeni: Použijeme substituci c7t/2 x = 2 sin t dx = 2 cos t dt xi=Q —► ti = 0 x2 = 2 -► Í2 = 7r/2 /•7t/z - /.tt/z a = / V4-4sin2ť-2cosí dť = 4 / cos2ťdí = 4/ Jo Jo Jo a dostaneme */2 1 +cos2t J -ať = Sin 2^1^/2 7T Příklad 41 (x2 + 4)2 Řešení: Zvolíme substituci x2 + 4 = t 2x dx = dt xi = 1 —> ťi = 5 x2 = 2 —► ti = 8 _i rdt__i ri]8__i ~ 2Jb t2 ~ 2 ' UJ8 2 ' U 5/ ~ a potom 80' í ■JÍ cosx Vsin2x + 3 dx arcsm x v7! - x2 dx /.ir/3 46. / sin3xdx J o 48. Jo s/2x + 1 + 1 dx [ln v/3] lži [2(2 - ln 2)] 43 dx x2 + 4x + 5 r.ír/4 45. / sin5 x • cos x dx Jo •1/2 '. / x2n/TT Jo r'2 dx Jo Ax2 dx 2 + cos x [f] [l2š] 1.7. Nevlastní integrál NecAť' pro fcoždé í € (a; 6) existuje integrál F(t)=,ff(x) J a dx. Potom symbol (1) / /(x)dx, resp. (2) / /(x)dx, A;de lim /(x) = ±oo, Ja J" X~*b~ nazýváme nevlastní integrál vlivem meze, resp. nevlastní integrál vlivem funkce. Integrál (1), résp. (2) nazýváme konvergentní, jestliže lim / /(x)dx, resp. lim / f(x)dx, t-*+oc J a *-*6" Ja je vlastní. Je-li zmíněná limita nevlastní nebo neexistuje, pak nazýváme integrál divergentní. • Vypočtěte nevlastní integrály : r0° dx Příklad 50. l*OC Jo í + x 2 fa dx r ia Řešení: Jde o nevlastní integrál vlivem meze. / = lim /--^= lim arctg;r = a->oc J0 1 + xl o->oo L Jo = lim arctga = — . Nevlastní integrál tedy konverguje a rovná se —. ■ a-foo 2 2 /oo xluxdx Řešeni: 1= lim / xlnxdx= , i x2 = lim —-lna; — - lim / xdx = a-+oo Ji w = —, " = ~2~ a-*oo L 2 J1 2 a->oo = lim f ^-lna — ^\x2] \ = lim (%-\na — \ • a2 + \\ — \ + lim — • (lna — ^] = o->ooV 2 41 Ji/ o->oo \ 2 4 4/ 4 a-»oo 2 V 2/ = oo. Daný integrál diverguje. /xex i 00 í: 1= lim ľ xexdx= UŤX: v' = el I = lim f [se* - ex]° ) = lim (-l + a-e-a + e-a) =-1+ lim 2±I |»| ťI -1+ lim - =-1 + O =-1. a-Hx> a->oo ea 00 a->oo e° Příklad 52. / le'di -00 Řešení Přiklad 53 ' í°° __J 7-oo *2 + 2x + 2 /dx C dx (X+ir+i = J (*+ip+i=arctg(*+1)+c /oo />o /»oo /(a?) dx = I f(x)dx + / /(x) dx -oo oo Protože neexistuje limita, integrál diverguje. ■ e dx Příklad 55 Inx Řešení: Tento integrál je nevlastní vlivem funkce . Tedy 1 = lim / fX = lim [lniInd = lim (ln lne - lnln(l + e)V= *-*0+Jl+fxlnX e->0+ i 'Jl+e e-+0+ V // = - lim lnlnřl + e) = +oo . Daný integrál tedy diverguje. e-+0+ Příklad 56. Řešení: Opět máme nevlastní integrál vlivem funkce. / ~T~r = nm / fX , - lim ln -—]-\] = lim ]■ ln --ln 1 = y0 z -1 í->o+y0 x2 - 1 e->o+L2 x+llJo £->o+2 2-e =—oo. Integrál diverguje. (Použili jsme vzorce /-j^-j = ^- lni x-^|+ c.) ■ r°° dx Přiklad 57. / . 7i x\/x — 1 Řešení : Nejdříve spočítáme neurčitý integrál f -—fX = J x\jx — 1 = [ f^=ŕ I Xdx = ttdt ] =/ t(ľ+t*) = 2 arCtg t = 2 arCtg V^7T + C' Daný integrál je nevlastní jak vlivem funkce tak i vlivem meze. Proto rozdělíme interval např. (1, +oo) = (1,2) U (2, oo) a potom poo p2 poo p2 pt 1=1 f(x) dx = f(x) dx+ / fix) dx = lim / f(x) dx+ lim / f(x) dx = Jl Jl J2 t-tV+Jl+t t^+ooJ2 = lim 2 arctg — 1 + lim 2arctg \/x — 1 = 2arctgl — 2/lim arctg \/č + e->0+ L J l+e t-*+oo L J 2 /€->0+ +2 lim arctg \/t — 1 — 2 arctg 1 = tt . ■ Í-++00 58. / xe_:r2dx [1/2] 59. / [-1/2] JO J-oo x -oo f°° dx „ f1 arcsinx , 60 / —n" til 61. / -ř=~dx [*>/8] en f00 dx r i , 62. / —£ ^-—- pro k > 1 ; pro k < 1 integrál divergujej J i r00 2|x| 63. / —^-CÍX [oo , tj. integrál diverguje] J-oo X2 + 1 1.8. Funkce definované Riemannovým integrálem d$ • Určete — pro funkci $(x) : dx Přiklad64. $(x) = / f(t) dt, kde proměnná x probíhá některý interval I, na němž Jgi{x) jsou funkce gi(x),g2(x) diferencovatelné a funkce f(t) je spojitá pro t G (gi(x),g2(x)) a pro všechna x €/. Řešení: Předpokládejme, že existuje funkce F(t) primitivní k /(č),tj. F'(t) = f(t), pak d& d í92^) d r ~\92(x) d / \ = F'(g2(x)) • <^(x) - F'(5l(x)) • = /( O Řešení: Podle předchozího příkladu, kde <7i(x) = 0, g2(x) = g(x) — ax, /(í)'— d$ je & /(p(x))-P'(x)] sinax ax 66. $(x) = / lnŕ dí, x > 0 Jx3 ((9a;2 - 4x)lnx] 67. $(x) 68. $(x) = Py/X / siní2 oři, x > 0 Jl/x 69. $(x) = / e'2 dť, x > 0 «/lnx siní a = x r i . i . ——7= sin x + sin -L2>/x x* x e--e L x 1.9. Plošný obsah rovinných obrazců Je-li obrazec ohraničen přímkami y = 0, x = a, x = b a krivkou y = /(x), kde /(x) > 0 pro x e (a, b), pak pro plošný obsah P tohoto obrazce platí: ŕ P = / /(x)dx. Ja • Stanovte plošné obsahy obrazců ohraničených křivkami : Príklad 70. y = x2 - 4x + 3, x = 0, y = 0 Řešení: Rovnici dané křivky zapíšeme ve tvaru y = (x - 1) (x - 3). Z obrázku je vidět, že obsah je P = / (x2-4x + 3)dx = 0 lY /3 ' Přiklad 71. y = x2, y = 4 Řešení: O 2 /2 /»2 p2 4dx- / x2dx = 2 / 4dx-2 J-2 jo -2jf *2&=8H!-2[j]o= x3i2 32 3"' PřiWod 72. y = ——-, xl + a1 y = 0, a>0 Řešení o ľ «J J n 3 ľ <*x p=L^dx=2aL ^= = 2a3 lim / - = 2a3 lim - [arctg -1 = 6->oo 70 x* + a* 6->oooL aJo = 2a lim arctg - = 2a • — = a n. 6-+00 a 2 PHkladlZ. x = a(t - siní), y = a(l - cos ŕ), ť € (0,27r), y = 0. Řečeno slovy : stanovte plošný obsah obrazce ohraničeného osou x a jedním obloukem cykloidy. Řešení: Jelikož křivka je zadána parametricky, použijeme následující zápis : rb pt2 P = ydx = / y(t) • x(t) dt, kde x(ti) = a, x(r2) = b. J a Jti p2ir / a(l — cosi) • a(l — cosi)dt = ./o Potom P /•2;r = °2/ /, « o \ i 2 í2ní, n l + cos2í\ , (1 - 2 cos t + cos2 í) dt = a / ^1 - 2 cosi +---j dt = 2 ľ „ • 1 lsin2íi2T 3 2U o «,:„*_. *j_--- = a2 • - • 2tt = 3a27r. Jo 2 1 lsin2íi2T = a/|í-2siní+-í+- — 74. x = acosí, y = ftsiní, i € (0,27r) 75. x = a cos31, y = a sin3 í, ť € (0,27r) 76. x = y2, xy = 1, x = 4y 77. xy = 2, y = 2x2, y = 8, (x > 0) [7ra6j Ir1] [1/6 +In 2] [28/3 - ln 16] POZNÁMKA : Plošným obsahům rovinných obrazců se budeme podrobněji věnovat v kapitole pojednávající o dvojném integrálu. 1.10. Objem a povrch rotačních těles Mějme těleso vzniklé rotací kolem osy x obrazce ohraničeného osou x, přímkami x = a, x = 6 a křivkou y = f (x), kde f (x) > 0, x € (a, b). Potom pro objem V a plošný obsah povrchu S tohoto tělesa platí V = 7T ľ f2(x) dx, S = 2tt í" f (x) Vl + [f'(x)}2 dx. Ja Ja PHkladlS. Souměrná parabolická úseč se základnou a a výškou h rotuje kolem základny tj. tětivy paraboly. Stanovte objem vzniklého tělesa. Řešení. Parabolickou úseč umístíme do souřadnicové soustavy tak, aby osou rotace byla osa x . Nyní sestavíme rovnici této paraboly : vrchol paraboly je v bodě [0, h] , tj. y — h = 2px2 a parabola prochází bodem Z této podmínky vypočteme parametr 0 - h = 2p P = ■2h Tím jsme obdrželi rovnici paraboly y = h — A^r x2 a, hledaný objem bude V = *J-Jh-*X)dX = 2*Jo H{1-^ + ^-] dx = 2nh2 8 x3 16 x5W2 8 t2 = — 7rh a ľ _ _ _ _ _ r ~ ô2 ' 3~ + ô7 ' If 15 Příklad79. Obrazec ohraničený parabolami y — x2, y2 = x se otáčí kolem osy x. Jaký je objem takto vzniklého tělesa? Řešení : V = Vi — V2 = tt / x dx — 7T / x4 dx = Jo Jo _ rx* x5]1 _ 37t ~ni~2 ~ Tio ~ 10' Příklad 80. Obrazec ohraničený jedním obloukem cykloidy dané parametrickými rovnicemi x = a(t — sinť), y = a(l — cost) a osou x rotuje kolem osy x. Určete objem a plošný obsah povrchu tohoto rotačního tělesa. Řešení. V = 7t y2xdt = ira3 (1-cosť)3 dt = na3 / (1-3cosí+3cos2í-cos31) dt Jo Jo Jo = 7Tď Í-27T J (1" JO 3(1 + cos 2t) .„ . q ,s s •? 5 „ _ o -> 3cosí+ —-----(1-snT í)cosi) dt = 7raJ -2n = 57rV. x = a(l ^ cosi), y = asinť I _ (i)2 + (ý)2 = a2(2 - 2cosi) — S = 27r^*y.y/(x)2 + (ý)2dt = í>2* _ /»27T = 27T / a(l - cost)y/2a \/l - cosi dí = 2\Í2a2^ / (1-cosí) Jo Jo r2* t ľ2ir i t\ t = 2\Í2 a2n / 2y/2 sin3 - dt = 8a2tt / [1 - cos2 -J - sin - dt = = 8 a27r -2 cos - + - cos*5 - = — arit. 3 , 2 dt PŕiWad 81. Obrazec ohraničený jedním obloukem cykloidy a osou x rotuje kolem osy y. Jaký je objem takto vzniklého rotačního tělesa? ŕ Řešení: Objem se v tomto případě spočítá pomocí vzorce Vy = 2ir I xy dx = J o x = a(í-sinť) . dx = a(l - cos ť)dt ní /. ■ .\ 2ft j.\2 j. = . y = a(l-cosť) I 0 0 — y — x > 0 — 2/>0, y > x x^O V1 = {[x,y]eE2:x<0,y>0}, V2 = {[x,y] €E2:x> 0,y > x}. Pro definiční obor dané funkce dostaneme V — V\ U V2 y-i Příklad 88 Řešení: z = arcsm Takže platí Proměnné x a. y musí splňovat současně tyto podmínky : 1 ' - x^O . -1 < < 1 a x —x +ly>x + l —x y — 1 > x — Vi = {[x, y] € E2 : x < 0, x + 1 < y < 1 - x}, V2 = {[x, y] e E2 : x > 0, 1 - x < y > x + 1}. Pro definiční obor dané funkce dostaneme V = Vi U V2. 89.2 = _ y/x - y2 ln(l -x2- y2) 90. z = J\n -^—2 V x2 + y1 91. 2 = 3-71n(x+lnj/) 92. z = y/2x + y- 4+\/l6 -x2-y2 |_ [0ŕx2 + y2 < 1; x>y2] [x2+y2<16, [x, y] #[0,0]] 4' il [y > e-*) [x2 + y2<16; y>4-2x] II.2. Limita funkce • Vyšetřete limity funkce v bodě : Přiklad 95. lim SÍ"(f +f] [i,yH[o,o] x2 + y2 Řešeni : Využijeme skutečnost, že lim (x2 + y2) = 0 a provedeme substituci [x,y]->[0,0] sinfx^ ~f* xi^} sin t t = x2 + y2. Potom lim —--= lim-= 1 Přiklad 96. lim [x,y]->[0,0] X2 + I/2 í x2 - 2y2 [*,y]-*[0,0] X2 + y2 Řešení : Připomeneme si známou větu : Existuje-li dvojná limita , pak existují limity dvojnásobné a jsou si rovny. lim /(x, y) = A => lim (lim f(x, y)) = lim (lim f(x, y)) = A [x,y]->[x0,y0] y->yo x->x0 x-n0 y-yyo Odtud plyne lim (lim f(x, y)) ^ lim lim /(x, y) =» lim /(x, y) neexistuje. x->xo y-*yo y-*yo x-n0 [x,y]-+[xo,vo] Tedy konkrétně : lim (lim —--) = lim — = 1 ^ x-*0 y-*0 xl + yl x->0 X1 I lim(Um^^) = lim^ = -2 / y->o i-+o xl + yz y-+o yl vyšetřovaná limita neexistuje 3 3 Přiklad 97. lim X ~VA, [x,y] € M, kde M = {[x,y] € E2 ; x - y / 0} [x)V]-f [i,i] x4 -y4 [x,y]€M Řešení: Jde o neučitý výraz " jj ", ale nabízí se elementární úprava, kterou provedeme - iim xz -y3 _ (x - y){x2 + xy + y2) _ [x,y] [i, i] x4 - y4 [x,y] _► [i,i] (x - y) (x + y){x2 + y2) [x,y]€M [x,y]€M jim x2 + xy + y2 _ 3 [«,»]-»[i.i] (z + y)(x2 + y2) ~ 4' [x,y]€M IQ x2y e2(*2+y2) - i 98. lim —:-7; [neexistuje] 99. lim -?--— [2] [x)ířH[o,o] x4 + y2 [xxMofl] x2 + y2 100. lim +VJ \\] 101. lim [neexistuje] ffr.iil-vtn.nl 3(.r2 -4- í/41 l3J r~...1 .rn m \t.ii\ [x,yH[o,o] 3(x2 + y4) L3J ' [**H[o,oi |xy| II.3. Spojitost funkce x2y2 ,[x,y]#[0,0] Přiklad 102. Vyšetřete spojitost funkce f(x, y) = < yjx2y2 + 1 — 1 l 2, = [0,0] v bode [0,0]. Řešení: Funkce /(ar, y) je spojitá v bodě [x0,yo], právě když lim f(x,y) = /(x0,ž/o)- [x,v]-*[xo,w>] 2 2 4 ,r 37 ž/ i o i r substituce lr ' <*H V našem prípade lim . =-= s = ^2,2 _, = lim , —- = VV [x,y]->[0,0] y/x*y*+l--l ° L*»-*J í-0 yT+T - 1 = lim —^— = 2 = /(0,0) —► daná funkce /(x, y) je spojitá v bodě [0,0]. ■ X :,[x,y]^[0,0] 103. Ukažte, že funkce f(x, y) = < \Jx2 + y2 není spojitá. I 0, [x,y] = [0,0] V bodě [0,0]. [Návod : Použijte dvojnásobné limity.] • Určete množiny, na nichž jsou dané funkce definované a spojité : x2 + x — 12 104. /^.) = ^^ 1*1 105. f{x,y,z) = e*2+x ■ sin(x + y) [E3] 106. f(x,y) = -r^ [&-ÍIÍ-Ý}] 2 2 107. f(x,y) = -^J^ [^,lze dodefinovat/(0,0) = [iÄo]^=0] 108. /(ar, y, z) =--. o 1 o = [^-jo,ó,ojg{*2+iJ2 + *a = l}J ln ^/(x2 + y2 + *2) sin (x2 + y2 + z2)2 x2 + y2 + -z2 109. /(x, y, 2) = —^--|-TT- [£3, lze dodefinovat /(0,0,0) = 0 ] 110. /(x, y, z) = 1—[E3 - {z = 0} n {zj, = 0}] |xy| + \z\ _y_ x2y — xy + 4x2 — 4x 111. f{x,y,z) = -ž-^TTl—7" [£3-{x = o}u{x = i}] II.4. Parciální derivace • Najděte parciální derivace prvního řádu daných funkcí podle jejich proměnných D ... . . ,, df , df Použijeme označeni : /, = — a /„ = —. dx y oy Příklad 112. f(x,y) = {2x - 3y) 4 Řešení: f'x = 4(2x - 3y)3 • 2 , /'= 4(2x - 3y)3 • (-3) Příklad 113. f(x,y) = 5x4y2 + - + 2x2 - 3y y ti2+2 Řešení : f' = 20xzy2 + - + Ax , /' = 10x4y - — - 3 y y y2 Příklad 114. f(x,y) = yx2+s, y>0 Řešení: f'x = y*2+3 • lny ■ 2x , f'y = (x2 + 3) • y Příklad 115. f(x, y) = J.- pro |x| > |y| sjx1 - yl ň - ť ~2x ~xy Reseni fx = y — 2(x2 - y2f2 (x2 - y2) yjx2 - y2 -2y \/x2 — v2 — v • ._ = V y y 2jx^72 = x2-y2 + y2 x2 JV X2-y2 (X2_y2)^—y2 (X2 _ y2)sftf^y2' ■ Příklad 116.f{x,y, z) = (xy)z Řešení: f(x,y, z) = xyz, f'x = yzxyz~\ f'y = xyz ■ lnx • z, fz = xyz ■ Inx • y . Příklad 117. Určete obor diferencovatelnosti funkce /(x, y) = xy/x2 — y2. Řešení: f'x = yjx2-y2 + * , f'y = . Xy . y/x2-y2 sjx2-y2 Z teorie víme, že spojitost parciálních derivací je postačující ^ podmínkou pro diferencovatelnost funkcí. Tedy hledaný obor jžfffl musí splňovat podmínku flk- *2 - y2 > o —► \y\ < M- ^tB Vx = {[x, y]eE2:x<0,ye{x, -x)}, V2 = {[x,y}eE2:x>0,ye{-x,x)}. Příklad 118. Je dána funkce f(x, y) = ln(|x| + y) + . 1 == . Určete V^9 - x2 - y2 a) definiční obor (včetně grafického znázornění), b) hodnotu f (A) , kde A = [-1,2], c) ^(A). a) |x| + y > O —> y > -\x\ 9 - x2 - y2 > O —> x2 + y2 < 9 b) /(-l,2) = ln(|-l| + 2) + -^_ = ln3 + ^ c) df(A)-=( , 2x )\ = -H 9* V|x| + y 2v/(9_x2_y2)3/U 24- ■ 119. Dokažte, že funkce z = /(z, y) = y2 sin(x2 — y2) vyhovuje diferenciální rovnici y2z'x + xyz'y = 2xz pro všechna [x, y] € E2. [Návod : Stačí spočítat z'x, z'y a do rovnice dosadit] • Vypočtěte parciální derivace dané funkce v bodě A : 120. z=y/x2- y2, A = [2,0] [«;(A) = i, 4M) = o] 121.2 = ^, A = [3,2] X [zi(A) = -2/9, 4 (A) = 1/3] 122. f = x2eysinz, A = [1,0,tt/6] ífUA) = 1, #(.4) = 1/2, /J(A) = ^5/2] 123. / = ln(x2-y + 3z), A = [2,1,1] IÄM) = 2/3, /í(X) = -l/6, /í(A)*l/2] II.5. Totální diferenciál a tečná rovina y x Príklad 124. Je dána funkce f(x,y) =--—.Napište totální diferenciál df a určete obor diferencovatelnosti funkce /. Řešení: Totální diferenciál df =^J-dx + ^-dy tj. df = (—% — dx + (-+ ^r) dy ax oy \ xz y/ V x y1) je funkce, pro kterou musí být splněny podmínky x ^ 0, y ^ 0. Dostaneme tyto množiny : T>i = {[x,y] G £2 : x < 0,y < 0}, V2 = {[x,y] € E2 : x < 0, y > 0}, Z>3 = {[*,y] € E2 : x > 0,y < 0}, Z>4 = {[x,y] G E2 : x > 0,y > 0}. Příklad 125. Určete totální diferenciál a přírůstek funkce z = - v bodě A = [2,1] pro Ax = 0.1 a Ay = 0.2 . Porovnejte je. x dz dz Řešení: Totální diferenciál v bodě A je dz(A) = — (A) dx + -z-(A) dy. dx oy Přitom dz = -^r dx + - dy, dz(A) = -- dx + - dy. Zvólíme-li dx = Ax = 0.1 x1 x 4 2 a dy = Ay = 0.2, pak obdržíme hledaný diferenciál dz = — ^ • 0.1 + ^ • 0.2 = 0.075, přičemž přírůstek A* = 2(x0+Ay, y0+Ay)-z(x0, y0) = 2(2.1,1.2)-2(2,1) = 0.071. Čím větší jsou přírůstky Ax a Ay, tím více se liší dz a A2. ■ Příklad 126. Pomocí totálního diferenciálu vypočítejte přibližný přírůstek funkce y z = arctg - při změně x od x\ = 1 do x2 = 1.2 a y od yx = — 3 x do y2 = -3.1. Řešení: Přírůstek přibližně nahradíme diferenciálem tj. dz dz Az = dz = -^-(A) • dx + -z-(A) ■ dy, kde A[l, -3], dx = 0.2, dy = -0.1. dx dy Spočítáme dz( , I 1 ' y \ =3_ dz ( 1 l\ = 1_ dxK ' \\ + (rf'K x2') a 10' dy yi + (y.f'x) a 10' Potom dz = ^-0.2 +~ (-0.1) =0.06-0.01 = 0.05. Příklad 127. Vypočítejte přibližnou hodnotu výrazu ln(\/9.03 — \/0.99 — 1) pomocí totálního diferenciálu. Řešení: Položme z(x,y) = \n(y/x—y/y—1), xo = 9> í/o = 1> pák dx = 0.03, dy = —0.01. Použijeme vztah d z d z Az = z(x + x0, y + y0) - z{x0,y0) = ^ (x0,Vo) • dx + — (x0,y0) • dy, ze kterého dostaneme ^ z(x + x0, y + y0) = z(x0,y0) + — {x0,y0) • dx + — (x0,y0) • dy. Připravme si 1 z( ' " ' ^ = ln(V5 - vT - 1) = 0, | (A) = (^z^TT ' 2^) dy'{A) = {vž-Vv-i' V^) (9,1) 6' = — i. Nyní dosadíme a vypočteme hledanou hodnotu lnfv/íTÔŠ - n/Ô99 - 1) = \ • 0.03 - \ ■ (-0.01) = 0.025 . ■ 6 2 Přiklad 128. Vypočítejte přibližnou hodnotu výrazu 0,983,04 pomocí totálního diferenciálu. Řešení: z{x, y) = xy, x0 = 1, yo = 3, tj. A = [l, 3], dx = -0.02, dy = 0.04, takže z(0.98,3.04) = z(A) 4 ^ (A) • dx + ^ (A) • dy = fli-y.ajf-i ^ = xy lnxl = 1 + 3 • (-0.02) + 0 = 0.94. ■ Lax dy i Přiklad 129. Najděte rovnici tečné roviny r a normály n plochy z = 2x2 - 4y2 v bodě A = [2,1,?] . Řešení: Tečná rovina r má rovnici dz dz t: z-zQ = —(A)-(x-x0) + — (A)-(y-y0), kde A = [x0, y0, z0], a z0 = z(x0, y0). V daném případě z0 = 2- 4- 4-1 = 4 —> ,4 = [2,1,4], ^{A) = {Ax)\=8, Jí (,4) = (-8y) = -8 r : z - 4 = 8(x - 2) - 8(y - 1) —> 8x - 8y - z - 4 = 0. Normála n je přímka procházející bodem A, jejímž směrovým vektorem je normálový vektor roviny r. Tedy n : [x, y, z] = [2,1,4] + t(8, -8, -1). ■ Přiklad 130. Najděte rovnici tečné roviny r plochy z = x2 + xy — y2 + x + 3 rovnoběžné s danou rovinou g : 5x — 3y — z = 0. Řešení: Musíme najít bod A , v němž — = 5 , — = —3. Z toho dostaneme soustavu dx oy rovnic f 2x -r* T/ H- 1 — 5 ic j x _ 2y = -3 ' Odtud = 1, I/o = 2,20 = z(x0, yo) = 3, takže i4 = [1,2,3]. Rovnice tečné roviny r : 5x — 3y — z + d = 0, >l € r —► t : 5x — Zy — z + 4 = 0. • Vypočítejte přibližné hodnoty daných výrazů pomocí totálního diferenciálu : 131. VÍM- V8M 133. VÄM • ln 1.02 • arctg 0.9 [5.9742] 132. ^97 1.023 • v/099 [0.936] [0.0314] • Najděte rovnici tečné roviny r a normály n plochy z = f(x,y) v bodě A 134. z = 4y/x2 + y2, A = [3,4, ?] 135. z = xy, A = [0,0, ?] 136. z = x2-cosi, ^ = [1,-,?] y 7T 1 rl \/2 1 137. z = - arcsin y, A = [-, —, ?J [12a: + 16y - hz = 0; [z, y,.z] = [3,4,20] + í(12,16, -5)] [z = 0; [x,y,z] = t(0,0,l)} 2\ , , r. 2 [«-t(»-í)--^i-[1-;-»]+'(»-t--,)1 tts; - 2%/2y + z - tt + 2 = 0; ' . [|.;T'í]+ť(,r'"2>/5,1) - • Najděte rovnici tečné roviny r plochy z = z(x, y) rovnoběžné s rovinou q : 138. z = 2x2 - y2, q : 8x - 6y - z - 15 = 0 139. z = ln(x2 + 2y2), q:2x- z+ 5 = 0 140. z = x2 — y2 + 6xy + 2x, g : 4x + 6y — 2 = 0 [t : 8a; - 6y - 2 + 1 = 0] [t : 2x - z - 2 = 0] [r : 4x + 6y - z - 1 = 0] II.6. Derivace a diferenciály vyšších řádů Přiklad 141. Najděte všechny parciální derivace druhého řádu funkce /(x, y) = xy3 - y ■ ex+y\ Řešení: f'x = |í = y3-yex+y2, f'y = 3xy2-ex+y2-yex+y2-2y = 3xy2-ex+y2 (l+2y2), f" — —Ĺ - d(Žf) _ _ . ^x+y' Jxx ÔX2 ~ dx y fyy=Q^ = -Jjj- = ~ 2yex+y2(l + 2y2) - ex+«Uy = 6xy - ex+y2(6y + V), f "v = Ä- = ^P- = *y2 -eX+r - yexW ■ 2y = V - ^'í1+V), a2/_ dx2 dx dH - *«>_ dy2 dy d2f dxdy dy dx = 3y2 - é :x+y (1 + 2y2). d2f d2f Vidíme, že pro uvažovanou funkci / platí . . — . . dx dy dy dx ve všech bodech [x, y] e E2. m Příklad 142. Ukažte, že funkce u = arctg (2x — t) vyhovuje parciální diferenciální rovnici d2f 2d2f _ dx2 dxdt 2 Řešení: du _ 2 d2u _ -2 • 2(2x - í) • 2 -8(2x - t) dx l + (2x-ť)2' dx2 [1 4- (2x - t)2}2 [1 + (2x - t)2]2 d2u -2-2(2x-ť) • (-1) 4(2x-ť) dxdt [1 + (2x - t)2]2 [1 + (2x - t)2}2' Po dosazení je zřejmé, že rovnice platí ve všech bodech [x, t] 6 E2. ■ d2 f d2f Příklad 143. Dokažte, že ^-^-(0,0) ^ -x-4-(0,0), jestliže dxdy dydx {x2 — 2y2 X2/7+7 p~ [0,0] 0 pro [x,?/] = [0,0]. Řešení: Snadno se přesvědčíme, že funkce / je v bodě [0,0] spojitá : lim f(x,y) = [z,y]->[0,0] = 0 = /(0,0). Derivace /£(0,i/), /y(x,0), £'y(0,0), /£(0,0) vypočítáme pomocí příslušných definic : h-íO n h-*o ti 1 n> f(x,k)-f(x,o) ^fey-o /„(x, 0) = lim-^—:-- lim-~-= x, JyX ' ' *->o A; *->o k •'lyv fc_>0 A; fc-»o A; /,'(0,0) = lim —-;—--= lim - = 1, Jyxy ' h^o h h-^oh /£(0,0) #/£((), 0). ■ r \ě Najděte diferenciály uvedeného řádu : příklad 144. z = sin(2x + y), dPz = ? / d d \n Rešení :■ Diferenciál n-tého řádu ď1 f = í dx • — + dy • — /, potom \ ox ayl ň í , d , d \2 d2 z ,, „ d2 z , , d2 z . , A-(A5 + *5)»-gp(- = —4 sin(2x + y) (dx)2 - 4 sin(2x + y) dx dy - sin(2x + y) (dy)2 = = - sin(2x + y) (2dx + dy)2. u Přiklad 145. z = x3 - y3 - xy + y2, d3z=? Rešení: d3z = 0 (dx)3 + 3-^ (dxfdy + 3^ dx (dy)2 + 0 (dy)3 z'x = 3x2 -y, z'y = -3y2 -x + 2y, dz(A) = 13dx + 5dy = 13(x - 2) + 5(y + 1), a f"x(A) = (for) = 12 a fy'y(A) = (-6x + 2) f':y{A) = (-6y) = -10 a = 6 ďz{A) = 12 (cb)2 + 12 dx dy - 10 (dy)2 = = 12(a; - 2)2 + 12(x - 2)(y + 1) - 10(y + l)2 , f"L(A) = 6 fyxx(Ä) = fyyy{A) = 0 ^ d32(A) = 6 (dx)3-18 dx (dy)2 = 6(x-2)3-18(x-2)(y+l)2, f (x, y) = 16+13(x-2)+5(y+l)+6(x-2)2+6(x-2)(y+l)-5(y+l)2+(x-2)3-3(a:-2)(y+l)2, R4 = 0, /(2.1; -1.1) = 16 + 13-0.1 + 5 (-0.1) + 6 • 0.12 - 6 • O.l2 - 5 • 0.12 + 0.13 - 3 • 0.13 = = 17.3 - 0.552 = 16.748. ■ Příkladl48* Napište Taylorův rozvoj čtvrtého stupně funkce f (x,y) = cos(x2 + y2) v okolí bodu [0,0]. z2 z4 Řešení : Použijeme Taylorův vzorec pro cos z = 1 —— + —, do kterého dosadíme z = x2 + y2 : T1(x,v) = l-l(x,+2X2y^ + V,)■ • Najděte parciální derivace druhého řádu dané funkce 149. 0(s, t) = ln(s3 + í) ['L = 3s(2í-s3) „ -1 „ „ (s3 + t)2 150. {x, ť) = cos x t (s3+ŕ)2' 2 151. f(x,y)=eax+b» - ~3s 1 ~ (s3+t)2J [ill ~1/a 2 2 . n ■ 2\ J.H ^ 2 ill 2x . 2! 0ii = — (4x cosx + 2smx ), 4>tt = p-cosx , 03.« = ^-sini J [f;x = a2eax+b", fv\ = b2e"+», & = abeax+b»] • Rozložte funkci f(x, y) podle Taylorovy věty v okolí bodu A pro n = 4 : 152.* f{x, y) = x3 + 5x2 - 6xy + 2y2, A = [1, -2] r /(x, y) = 26 + 25(x - 1) - 14(y + 2) + 8(x - l)2 1 L +2(y + 2)2 - 6(x - l)(y + 2) + (x - l)3 J 153.* f(x, y)=x2 + 3xy - y3 + 1, A = [2, -1] [ /(x, y) = (x - 2) + 3(y + 1) + (x - 2)2+ +3(y + l)2 + 3(x - 2)(y + 1) - (y + l)3 II.7. Gradient. Derivace ve směru • Určete odchylku gradientů daných funkcí v bodě A : Přiklad 154. f(x, y, z) = xy + yz, g(x, y, z) = sin(xz) + x + y---1, A = [1,1,0] Řešení: grad/ = ^, |£) = (yx*"1, x» lnx + z, y) —> grad /(A) = (1,0,1) grad p = (zcos(xz) + 1,1 4- -^r,xcos(xz) - -) —► gradp(yl) = (1,1,0) V yz y) Označme tp = < (grad f (A), grad y (A)). Potom (1,0,1) (1,1,0) 1 _^ * Příklad 155. /(x, y) = arctg -, g(x, y) = yy/x, A = [1,1] Řešení: grad/(A) = grad 0(4) = l), (i-|Hj,l) v/2 / n/ÍÔn cos o? = ——J. >— =--t=. —>• = arccos - —— ). ■ TM 2VK 10 Příklad 156. Určete, ve kterých bodech je gradient funkce f(x,y, z) = x2 + y2 + z2 - 2xyz roven nulovému vektoru. Řešení: grad f = (2x - 2yz, 2y - 2xz, 2z - 2xy) = (0,0,0) —► x - y z = 0 y — xz = 0 z — xy = 0 Je zřejmé, že jeden z bodů bude bod ^ = [0,0,0]. Další spočítáme ze soustavy : {x = yz ] y-yz2=0—>2 = ±1 }-z - y22 = 0—► y = ±1 J ^2 = [1,1,1], Xa = [-1,1,-1], A4 = [-1,-1,1], A5 = [1,-1,-1]. Příklad 157. Určete, ve kterých bodech má gradient funkce f(x, y, 2) = (re2 + y2)3/2 velikost 9. Řešení: lgrad/| = KS^v^^^y^ + y2)! = V9x2(x2 + y2) + 9y2(x2 + y2) = 9, 9x2(x2 + y2)+9y2(x2 + y2)=81, (x2 + y2)2 = 9—>x2 + y2 = 3. Hledané body leží tedy na kružnici o poloměru \/3- • Vypočtěte derivaci funkce / ve směru s v bodě A : Pfífcíad 158. /(x,y) = 2x4 + xy + y3, s=(3,-4), A[l,2] Řešení : %(A) = grad f (A) ■ ± grad / = (8x3 + y, x + 3y2), os \s] g-d/W-(10,13), ^,.(1o.M).^-3»z=-f, - Příklad 159. /(x, y, 2) = x3 + y3 + z3 - 3xyz, A = [1, -1,2]; s je jednotkový vektor určený svými směrovými úhly 7r/3,7r/3,7, 7 € (0, ir/2). Řešení: s = (cos a, cos cos 7), kde cos2 a + cos2 /5 + cos2 7 = 1, |s| = 1. Tedy Q2+(^)2+cos27=i cos 7 = -2 7T ■£{A) = grad/(A) • s = (3x2 - 3yz,3y2 - 3xz,3z2 - 3*y)|^(± y ^y) = - (9,-3,15). j =-—. . Přiklad 160. /(x, y, z) = x2 + 2y2 - z2, ,4 = [-3,2,4]; směr s je směr vektoru A~É, kde jB = [-2,4,2]. Řešení: Š=IĚ = (1,2, -2), §C(A) = (2x, 4y,-2z) = (-6,8, -8).-^£=Ť = Os /l \Š] y/1 + 4 + 4 = Í(-6 + 16+16)=y. ■ Přiklad 161. Určete derivace funkce z = x2 + ln(x + y2) v bodě .4 = [3,2-\/3] ve směru tečny k parabole y2 = 4x. Uvažujte vektor svírající ostrý úhel s vektorem i. Řešení: Souřadnice směrového vektoru tečny získáme z její směrnice y ^ ^ i i y = 2y/x, y' = —=, k^ = y'(A) =-7= = tga V3 a=6' ^=2~6 = 3' s = (cosa,cos/?) = (-y>^)> 1^1 = 1- XT..... , ... /„ 1 2y \ i /91 4\/3\ Nyní si pripravíme grad z(A) = 2x H---, ——- ] I = I —, —— ), takže V x-Vy1 x + yz/\A V15 15 / 7=-G(0,7r/2). 1 1 V2~y hledaná derivace bude 91 4\/3\ /VŠ 1\ 95^ Vl5' 15 / V 2 ' 2/ 30 x Přiklad 162. Určete v jakém směru je derivace funkce /(x, y) = x y + — + 2y ir v bodě A = [—1,1] maximální a vypočítejte tuto derivaci. Řešení : Z obecné teorie víme, že derivace je maximální ve směru gradientu. ► s = (4,3). 2x grad f (A) = (3x2y + , x3 - — + 2) = (4,3) df. s 16 + 9 c PfífcZad 163. Je dána funkce z = v/2x + y, bod ^ = [1,2,?], vektor s = (-1,1). Určete dz a) ve kterých bodech je funkce z diferencovatelná, , b) — (A), os c) tečnou rovinu ke grafu funkce z v bodě A. Řešení: a) z' = —==L=, z' = n .} —> 2x + y > 0 —> y > -2x, ' 1 ^2x + y' * 2^2x + y b) „-m* |^ = (M)-^r = ^ c) r-:«-2 = i(x-l) + i(y-2). ■ Přiklad 164. Určete vektor s, v jehož směru je rychlost změny funkčních hodnot funkce f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 — Ixyz v bodě A = [1,-1,2] maximální a tuto maximální rychlost vypočítejte. Řešení: Funkce maximálně roste, resp. klesá, ve směru s, resp. (—š), kde v „-o S (1,-1,1) s = grad/(A) = (6, -6,6) 1*1 x/3 |(.) = (6,_6)6).(Wdl = i|=6V3 a .fyA)--**. - Příklad 165. Určete, ve kterých bodech je gradient funkce f(x, y, z) = x2 + y2 + z1 — 2xyz kolmý k ose x. Řešení: i = (1,0,0) je směrovým vektorem osy x, grad / = (2x — 2yz, 2y — 2xz, 2z — 2xy), i X grad / znamená i • grad / = 0. Odtud 2x — 2yz = 0 takže hledané body leží na ploše x = yz. ■ Přiklad 166. Určete úhel vektorů grad f (A) a gradp(B), kde f(x,y) = x — 3y + y/3xy, A = [3,41, g(x, y, z) = Zyjx2 + y2 + xyz, B = [3,4,0]. 1 l3v 1 /3x ižešem ; grad f (A) = [l +-\l—,-3 +— y í: grad/(A) = (l + ±^7» -3 + (A) = (2, -H) € V(£2) /o o +yz> i 9 9 +:C2:' Vx2 + y2 + a;y)(B) = \/x2 + yi y/xl + y2 ' = (0,0,17) e V(£3). Vektor (2, -|) e V(£2) doplníme na (2, o) G V(E3). Nyní (2,-|,0)-(0,0,17) 7t CO^=|(2,-f,0)M(0,0,17)r°-^ *=r 167. Ve kterých bodech je gradientem funkce f(x, y) = \n{x + vektor ^1, _y) ? [v bodech [-1 |] a [|,~|]] 168. Ve kterém bodě je gradient funkce f(x, y, z) = x2 + y2 - 2z2 + xy + 3y + 82; a) kolmý k ose z; b) rovnoběžný s osou z; c) roven nulovému vektoru? a) v bodech roviny z = 2 tj. [x, y, 2] b) v bodech přímky x = —-, y = 1, 2 = í 0[4,1,2] x — 1 169. Nalezněte úhel / y dz _ dz dx dz dy dz _ dz dx ^dz du dx du dy du dt dx dt dt (Derivace s pruhem — je pomocné označení a odpovídá dz přímé šipce od z k t, kdežto — je celková derivace z podle t.) du x2 + y2 + js x2 + y2 + $ x2 + yž + jt dz _ 2x 1 2 _ 2 _j_ dt~x2 + y2 + ^' +x* + y2 + y ť*]~ x* + y* + yX t3'' " PfiWod 177. u = f{xA + y4 - 2z4). Spočítejte výraz V = -L^ + -L^ + -i-^. AxA dx Ay6 ay Az6 dz Řešení: Označme t = x4 + y4 — 2z4. Pak u = f(t) a u I /K x y z Po dosazení snadno spočítáme, že V = 0. , d2z d2z Příklad 178. 2 = tur, u = xlny, w = y lnx, 0 . =?, -r-r — ? <9xay dy1 du du dt dx ~ ~dl dx du du dt dy ~ ~dl dy du du dt Tz ~ ~dl ' dz Řešení: u v 1X1 „r ., . . . dz d2z d2z Nejdnve spočítame — a potom -——, -— dy dx dy dy1 dz dz du dz dv 2 x , —- = — • — + — • — = V1 • - + 2uv • lnx. dy du dy dv dy y Nyní znázorníme závislost derivace ^ na u, v, x, y : oy _ d2z _ d{%) _ t d{%) du } d{%) dv dxdy dx dx du dx dv dx v2 2uv „ , , . 2vx „ ,' y — +--r-2ulnx-lny+(--l-2ulnx)--, y x y x d2z = a(f) = dj%) i d{%) du i d{%) dv _ dy2 dy dy du dy dv dy v2x n , x ,2vx n , . , =---+2ulnx---h(--h 2ulnx) • lnx. ■ y2 y y 179. Přesvědčte se, že funkce y = f (x + at) + g(x — ať) vyhovuje parciální diferenciální d v d v rovnici — a2-^-r = 0. Předpokládáme, že f a, g jsou dvakrát diferencovatelné dt2 dx1 funkce. [Návod: u = x + at, v - x - at, y = f{u) + g(v)] 'l80^Přesvědčte se, že funkce z = /(~) splňuje rovnici x • ^ + y • ^ = 0. Předpokládáme, že / je diferencovatelná funkce. 181. Jsou dány funkce z = f(u,v), u = x2 — y2, v = exy. Spočítejte diferenciální výraz W = y • — + x • kde / je diferencovatelná funkce. \w = (*2 + y2) ezy dx dy L 0vi Je dána funkce f(x, y) = xy, kde x = u2 + v2, y = uv + v2. Spočítejte -r- a — du dv v bodě A, jehož souřadnice jsou u = 1, v = -1. = = -ln2] II.9. Funkce definované implicitně = —17^ 0. Dále spočítáme a Příklad 183. Dokažte, že rovnicí x3 + y3 = 2x2 + xy - 1 = 0 je implicitně definována jediná funkce y — f (x) v okolí bodu A = [1,0]. Určete /'(l) a /"(l). Řešeni : Označme F(x, y) = x3 + y3 — 2x2 — xy + 1 funkci, která je spojitá v E2 a má spojité parciální derivace. K existenci a jednoznačnosti implicitní funkce y = f (x) nyní stačí, že F(A) = F(l, 0) = 0 a F'y = (3y2 - x) nx)--F>=--3y2-x ' /(!) = /(>!) = —ZT = -1- dfW (6x - 4 - /')(3y2 - x) - (3x2 - 4x - y)(6y •/'-!) 1 K ' dx (3y2-x)2 r(1) = m = -(6-4 + 1)(-1j-(3-4)(-1)=4. Pŕtífeíacf 184. Napište rovnici tečny £ a normály n křivky definované implicitně rovnicí F(x, y) = x3y + y3x + x2y - 3 = 0 v bodě A = [1,1]. Řešeni: Jelikož F(l, 1) = 0 a Fý(j4) = (x3+3y2x+x2) = 5 ^ 0, je rovnicí F(x, y) = 0 / [1,1] skutečně definována křivka y = y (x), která prochází bodem A. 6 V>(A) - -^(A) - ( te2y + y* + 2*y) y [A)- FM)~[ x* + 3y*x + x2) t- y-yo = y'(x0)(a;-a:o), kde A = [x0,yo], y-1 =--(x-1)—> 6x+5y-ll = 0, o 5, n : y — 1 = -(x — 1) —► 5x — 6y — 1 = 0. ■ 6 Příklad 185. Rovnicí ln \/x2 + y2 = arctg - je dána logaritmická spirála. Stanovte y' a y". F' Řešení: Můžeme použít známý vzorec y' = —-£,F' ^ 0 nebo můžeme danou rovnici y přímo derivovat a přitom si pamatovat, že y je závislé na x tj. y = y(x). Derivujme přímo : 1 2x + 2yy' _ 1 ý x - y_ x + yy' _y'x-y v/x^V ' 2y/tfŤŕ ~ 1 + (I)2' *2 *2 + y2 *2 + y2 x + yy' = y'x-y—>x + y = y'(x-y)—► y'=-, x#y x-y Druhou derivaci spočítáme podobně : /x + yV _ (1 + y;)(x - y) - (x + y)(l - y') _ x-y- x-y + y'(x - y + x + y) = \x-y/ ~ (z-y)2 [x - y)2 „ = -2y + 2xy' = -2y + 2x • = 2(x2 + y2) b y (x-y)2 (z-y)2 (z- y)3 Příklad 186. Ukažte, že rovnicí x2 + 2xy + y2 - 4x + 2y - 3 = 0 je implicitně určena funkce y = /(x), jejíž graf prochází bodem A = [0,1] a zjistěte, zda je /(x) konvexní v okolí bodu A. Napište rovnici tečny ke grafu funkce v bodě A. Řešení: F(x, y) = x2 + 2xy + y2 — 4x + 2y — 3 je diferencovatelná v E2, F(A) = F(0,1) = 0, F/ = (2x + 2y + 2) /O, a K 2x + 2y-4 x + y-2 = 1 y Fy 2x + 2y + 2 x + y + 1 yK ' 2' „= (l + y')(s + y + l)-(x + y-2)(l + y') _ 3(1 + y') (x + y + 1)2 (x + y + 1)2 3(1-1-1) g y"(A) = ~ _^ ^ -^1)2 = ~~ š < ®' ^un^iCe V ~ Je v bodě A konkávni, jelikož y"(A) < 0. Tečna v bode A má rovnici y - 1 = ^x —> x - 2y + 2 = 0. ■ Přiklad 187. Dokažte, že vztahem F(x, y, z) = z3 + 3x2z - 2xy = 0 je definována jediná funkce z = f(x, y) v okolí bodu A = [-1, -2,1]. Určete grad f (A). Řešení: Funkce F má spojité parciální derivace v okolí bodu A, F(A) = F(-l,-2,l) =0, F'Z(A) = (3z2 + 3x2) =6^0. Tím je existence a jednoznačnost funkce z = /(x,y) v okolí bodu A prokázána. Nyní je grad f (A) = (j^(A), ^(A)^, kde 02 6xz — 2y dx 3z2 + 3x2 Ô z _ -2x 0y ~ *2 322 + 3x2 g«d/(A)-(i.-|)-|(l,-l). Přiklad 188. V okolí bodu [2, —2,1] je dána funkce z = f(x, y) v implicitním tvaru dz — \uz + x2yz + 8 = 0. Určete — , kde s = AB, A = [2, -2], B = [3,-3]. os a Řešení: Označíme F(x, y, 2) = ln z + x2yz + 8. V bodech, kde F(x, y, 2) = 0 a Ft(x,y,z) ^ 0 platí: dz _ F'x _ 2xyz dz _ _8 #2 _ _ x22 dl(A) = í dx ~ F'z ~ \ +x2y ~^ dx{ ' ~ 7' dy " F'z " \ +x2y ~~> dy1 j 7' -04) = grad/(A) • H = (--, -) • = ^ = —. Pťifciad 189. Napište rovnici tečné roviny r a normály n k ploše definované implicitně rovnicí F(x, y, 2) = x2 + y2 + z2 - 25 = 0, v bodě A = [3,0,4]. Řešení: Víme, že normálový vektor k ploše má vyjádření *-(s.|-1)-(44-1)-8-<í'-í:-^ Je-li plocha vyjádřena v implicitním tvaru, pak poslední zápis je výhodnější. Tedy n = (2x,2y,2z)~(x,y,z)\ =(3,0,4), \A r : 3(x - 3) + 0 • y + 4(2 - 4) = 0 —► 3x + 42 - 25 = 0, n:[x,y,2] = [3,0,4] + ř(3,0,4). ■ Príklad 190. Napište rovnici tečné roviny k ploše F(x, y, z) = x(y + z) + z2 — 5 = 0 rovnoběžné s rovinou q : 3x — 3y 4- 6z = 2. Řešení: n = (3, -3,6) ~ (1, -1,2) n = {F'x,F'y,F'z) = (y + z,x,x + 2z) = k(l, -1,2) {y + z = k ] x = —k > a z této soustavy musíme určit souřadnice dotykového bodu A. x + 2z = 2k J k 3 Vychází x = — k, y = ——, z = - k. Víme, že hledaný bod musí ležet na dané ploše, proto dosadíme do F(x, y, z) = 0 a určíme konstantu k , a tím i souřadnice hledaného bodu. Dostáváme postupně -fc(-^ + ^) + (^)2 = 5, -k2 + \k2 = h, k2 = 4, k = ±2, >l! = [-2,3, -1], yl2 = [2, -3,1]; n : x - y + 2z + 7 = 0, r2 : x - y -f 2z - 7 = 0. m Příklad 191. Určete rovnici tečny v bodě A = [—2,1,6] ke křivce v £ľ3, dané rovnicemi 2x2 + 3y2 + z2 = 47, x2 + 2y2 = z. Řešení: Snadno určíme tečnou rovinu v bodě A k první ploše t\ : —4x + 3y + 6z — 47 = 0 a tečnou rovinu ke druhé ploše r2 : — 4x + 4y — z — 6 = 0. Směrový vektor hledané tečny je s = nx x n2 = (—27, —28, —4) ~ (27,28,4) a rovnice tečny [*,y,z] = [-2,l,6]+ŕ(27,28,4). Uvedeme další možný postup. Při daném vyjádření křivky jako průniku dvou ploch budeme předpokládat, že jediná nezávislá proměnná je x. Potom y a z budou funkcemi proměnné x, tj. y(x),z(x). Hledaný tečný vektor s bude (1, y'(x), z'(x)). Proto danou soustavu zderivujeme podle x ' 4x + 6yy' + 2zz' = 0 , í 2x + 3yy' + zz' = 0 . i , neboli < . , , 2x + 4yy' = z' 1 2x + 4yy' = z' Nás zajímá tečný vektor v daném bodě, proto dosadíme souřadnice bodu A a obdržíme postupně vzájemně ekvivalentní soustavy { -4 + 3y' + 6z' = 0 -4 + 4y' -z' = 0 3y' + 6z' = 4 4y' -z' = 4 y' = z = 4 6 4 -1 -28 28 3 6 4 -1 -27 27' 3 4 4 4 -4 4 -27 -27 27 , (28 4 \ 1, —, r= ) ~ (27,28,4). Parametrické vyjádření tečny je tedy opět [x,y,z] = [-2,1,6] + £(27,28,4). ■ Příklad 192. a) Najděte jednotkový vektor ň° vnější normály v bodě A = [1, —1,1] plochy vyjádřené implicitně ve tvaru F(x, y, z) — x2 + y2 + z2 — 3 = 0. b) Spočítejte -^zr(A), kde /(x,y, z) = xy2z3. Řešení: a) n = (F'x,Fý, F'z) = (2x, 2y, 2z) ~ (x,y,z), n° = -^(1, -1,1) b) ^(A) = grad f (A) • n° = (1, -2,3) • (1,"<Í,1) = 2>/5. • Napište rovnici tečny t a normály n křivky definované implicitně rovnicí F(x,y) = 0 v bodě A: 193. F(x, y) = arcsin x + xy2 = 0, A = [0,2] [t ■. x = o, n ■. y = 2] 194. F(x, y) = x2y + xy2 - axy - a3 = 0, A = [a, a] [t:y = -x + 2a,n:y = x] 195. Dokažte, že rovnicí ln(x 4 y) 4- 2x 4 y = 0 je definována funkce y = f (x) splňující /(—1) = 2. Napište rovnici tečny ke křivce y = f (x) v bodě A = [-1,2]. [í:»-2 = -f(x + l)] • Napište rovnici tečné roviny r a normály n k ploše F (x, y, z) = 0 v bodě A: 196. x2 4 2y2 + 3z2 - 21 = 0, A = [1,2,2] [r : a; + 4j/ + 6z - 21 = 0, n : (x, y, 2) = (1,2,2) + t(l, 4,6)] 197. x3 + y3 + z3 + xyz - 6 = 0, A = [1,2,-1] [t : x + lly + 5« - 18 = 0, n : (x, y, z) = (1, 2,-1) + t(l, 11,5)] 198. xyz2 - x - y - z = 0, A = [1, -1, -1] [r : -2x + 2 + 3 = 0, n : (x, y, 2) = (1,-1,-1) + í(-2,0,1)] • Napište rovnici takové tečné roviny k ploše F(x, y, z) = 0, která je rovnoběžná s rovinou g. 199. x2 4- y2 + z2 - 1 = 0, g : x + 2y + z = 0 [x + 2y,+ 2 ± = 0, body dotyku Tu2 = [±^, ±^v±^-]] 200. x2 4 2y2 4 3z2 - 21 = 0, ^:x44y46z = 0 [x + 4y + 62± 21 = o, Tx,2 = [±1,±2,±2]] 201. Je dána funkce z = /(x, y) v implicitním tvaru ez — xyz = e. Určete /í(A), /ý(4), kde bod 4 = [0, e, 1] = = o, = i/e] 202. Jsou dány dvě plochy rovnicemi v implicitním tvaru x + 2y — lnz44 = 0 a x2 — xy — 8x 4- -z2 4- 5 = 0. Určete vzájemnou polohu tečných rovin obou ploch ve společném bodě T = [2, —3,1]. [x + 2y - z + 5 = 0 je společná tečná rovina] 11.10.* Transformace diferenciálních výrazů Nechť platí: 1) G a B jsou oblasti v En, 9i, ■ ■ ■,9n] ■ B —> G, splňující <7i(iíi, ..., ttn),..., 0„(iti,..., ttn)] pro všechna [uít..., un) € B, 2) zobrazení g = [xi,..., xn] je prosté a má spojité parciální derivace v B, 3) Jacobián J = dx\ dxi du\ dun dxn dxn dui dun « celé oblasti B. Potom zobrazení g — [g\,...,gn] nazývame transformací souřadnic [xi,... ,xn] E G do soustavy souřadnic [ui,... ,un] E B. Přiklad 203. Je dána tzv. Eulerova diferenciální rovnice x2y" + xy' — 4y = x ln x. Proveďte její transformaci, jestliže x — e1. Řešení: V daném případě máme jedinou nezávislou proměnnou x, x € G,, G = (0, co), y je funkce x. Transformační funkce x = e1 : R —>• G, R = Ei,G C E\ je prostá dx a její Jacobián se redukuje na jedinou derivaci — = eř ^ 0 pro všechna t € R. r, »/ . , . i dy „ d?y , , . , . dy .. <řy Spočítejme derivace y = — a y = —pomoci derivaci y = —, y — —- : y< = ^> = f = É = y.e dx f x d(ý-e~') -í y" = % = ~^t- = {v-*-1-*-e_ť) •e_ť = » - v) ■e~2í- Po dosazení do dané rovnice e2t • (y -y) • e~2t + é • y ■ e-t - 4y = el ■ ln eř obdržíme transformovanou rovnici ý — 4y = t e*. ■ Přiklad 204. Rovnici w • —--x • — = 0, (y> 0) transformujte do nových souřadnic dx a.y u = x, u = x2 + y2 a získanou rovnici pak vyřešte. Řešení: Zde víme, že z(x,i/), u(x,y), v(x,y) a Jacobián inverzní transformace je 7-1 = 2x 2y =2y^° pr° ^ > °' ^' ^ G Ä X —>[u,v]e Rx (0, oo). Přistoupíme k výpočtu derivací : dz_d'z'dudz d v _dz \jr^z ix dx d u d x d v d x d u dv- dz_dz du^dz dv_dz q^_^z 2y dy du dy dv dy du dv Nyní dosadíme do dané rovnice,takže postupně odvodíme řešení : (d z d z n \ d z „ „ d z „ d z „. y(^- + ^--^)-x- — -2y = 0, y — = Q, — = 0 protože y > 0), \du d v, i dv du du z(u)'— konst., z = f (v), z = f (x2 + y2). m Příklad205. Transformujte diferenciální výraz W= \q^) + \ô~^) ^° P°lárních souřadnic. Řešení: Transformační rovnice , . r x = rcos<^ 1 ^ ' l y = r sin (p /' zobrazují vždy bod [r, do bodu [x, y], takže se oblast (0, oo) x (0,2ir) zobrazí do množiny £ľ2 — [0,0]. přičemž J = cos

r cos

= i) dostaneme „ d2 z d2z 1 d z 1 V —--1-----1----. ■ dr2 dip2 r2 d r r d z d z 207. Transformujte do polárních souřadnic diferenciální výrazy : V = x • ——h y—; a x dy 2 d2z 2 d2* d2z W — X • ——- + y • ——- + 2xy • ——-—. (Použijte předcházející dva příklady a dopočítejte u x d y dxdy derivaci 8'2 •) [v-ft-"-^ _ . . ... .,, , , ... dz dz d2z n y d2z 208. Transformujte diferenciami výrazy VV\ = x • -—(- y • tj— ; vv2 = -r—r + 2 • — dxdy d x d y' d x2 x dxdy do nových souřadnic u, v takových, že x = u, y = tu>, kde [u, t>] 6 (0,00) x R. Lm KV2 aU2 «2 dv2\ d2 z d z 209. Transformujte diferenciální výraz W = 4xy • ^ .--2y • tt— do nových dxdy oy u souřadnic u, u, jestliže x = uv, y = —, kde [u, v] € (0,00) x (0,00). v r.. 2d2z 2 d2z-\ 210. Transformujte diferenciální rovnici : (1 — x2)y" — xy' + a2y = 0, jestliže x = cos í. (x(t) musí být funkce prostá, proto t € (0, n).) [^f +o2y = 0] |y"| 211. Vyjádřete vzorec pro křivost křivky y = f {x), k = ^ ^_ ^2j3/2 v P°^rních souřadnicích. \k = r ~t"2(r) kde r' = r" = ^-4] L (r2 + (r')2) ^ dipi 0 z d z 212. Transformujte parciální diferenciální rovnici (x + y) ■ -r--(x —y)— = 0 do nových d x oy souřadnic u, v takových,že u = ln \Jx2 + y2, v = arctg ^. - ^ = 0] 11.11. Extrémy funkcí Příklad 213. Definujte ostré lokálni maximum a minimum. Má funkce z = y/x2 + y2 v bodě A = [0,0] lokálni extrém? Řešení: Nechť je funkce /(^Y) definovaná v množině T> C E2 & bod A je vnitřní bod množiny V. Jestliže existuje okolí U(^'r) c ^ takové, že pro všechna X G U(A r)-A platí /(Ar) < f (A), resp. /(X) > /(A), pak říkáme, že funkce / má v bodě A lokálni maximum, resp. lokálni minimum. Platí-li ostré nerovnosti, pak mluvíme o ostrém lokálním maximu, resp. minimu. V daném příkladě platí z(A) < z(X) pro každý bod X z okolí bodu A, a tedy v bodě A nastává ostré lokálni minimum. x v Poznámka : Derivace z'x = —===, z' = . v bodě A neexistují, a proto nelze \/x2 + y2 \Jx2jry2 použít grad z (A) = 0. ■ • Najděte lokální extrémy funkce Přiklad 214. z(x, y) = 2x3 + xy2 + 5x2 + y2 Řešení: Máme zde funkci dvou proměnných v explicitním tvaru. Funkce z je diferencovatelná, proto nutné podmínky existence lokálních extrémů jsou : z'x = 0, z' = 0. { z'x = 6x2 + y2 + lOx z'y = 2xy + 2y 6x2 + y2 + lOx y(x + l) = 0- 0 buď y = 0 nebo x = — 1 y = 0: 6x2 + lOx = 0 { xi = 0 5 x2 = --- x = -l: y2 + 6- 10 = 0—> y2 = 4—> Nyní si připravíme derivace druhého řádu { ^ = [0,0] *-[-f'°] y = 2^ y = -2—> A3 A4 ■1,2] 1,-2] Ai A2 A3 AA zlx = 12x + 10 10 -10 -2 -2 4 = 2x + 2 2 4 3 0 0 4'„ = 2y 0 0 4 -4 Pro A(Ai) = Pro A^) = Pro A{A2) = yx "yy 10 0 I 0 2 I -10 Pro { A(A3) = A(A4) = 0 -2 4 4 0 -2 -4 -4 0 > 0 existuje lokální extrém. I \ < 0 neexistuje lokální extrém. > 0, zxx > 0 obdržíme lokální minimum z(A\) = 0. > 0, zxx < 0 dostaneme lokální maximum z(A2) 125 "27 ' < 0 < 0 v bodech A3 a A4 lokální extrémy neexistují. Přiklad 215. Funkce y = f (x), je vyjádřena v implicitním tvaru x2 + 2xy - y2 + 8 = 0. Řešení: Zderivujeme přímo danou rovnici podle x a spočítáme y': 2x + 2y + 2xy' - 2yy' = 0 —y' = pro x ^ y. y - x Položíme y' = 0, tedy x + y = 0 —> y = —x a dosadíme do zadání, abychom určili souřadnice případných lokálních extrémů x2 - 2x2 - x2 + 8 = 0 —► 2x2 = 8—■» x1>2 = ±2, y1>2 = q=2. Dostali jsme dva body A[2, -2] a .B = [-2,2]. Nyní spočítáme (i + y')(ž/-z)-(z + y)(ž/'-i) y" = y"[A) = ll < 0" = ^ > o , takže (y - x)2 /(2) = —2 je lokální maximum a /(—2) = 2 je lokální minimum. Přiklad 216. Funkce z = f(x, y) je dána rovnicí z3 - Zxyz = a3, a ^ 0. —3yz yz , xz Řešeni: zx = . 0 . . — o ) z„ — -7,-• Položíme obě derivace rovny 0. ózz — óxy zz — xy y z1 — xy Za předpokladu z2-xy ^ 0 vychází j ^ — 0 }' COŽ ^e sPměno buď když z = 0 nebo x = y = 0, avšak z = 0 nevyhovuje rovnici 23 — Zxyz = a3. Zbývá případ x = y = 0. Potom po dosazení do výchozího výrazu získáme z = a. Dostali jsme jediný stacionární bod A = [0,0]. Nyní je yz'x(z2 - xy) - yz(2zz'x - y) (z2 — xy)2 „ _ fxz'y(z2 - xy) - xz(2zz'y - x) zxx — ( -( „ _ ({* + yz'y){z2 - xy) - yz(2zz'y - x) ^ i _ a3 _ 1 (z2 - xy)2 ( A(A) = \ i _ a _ i /U a4 a 0 i 1 o' a (z2 - xy)2 < 0, takže v bodě A neexistuje lokální extrém. Příklad 217* f(x, y, z) = x3 + y2 + z2 + 12xy + 2z Řešení: J xx J xy J xz A, = 'XX fll III III Jyx Jyy Jyz tu in in J zx J zy J zz A2 = f" f" J xx J xy in fll Jyx J vi yy Podle Sylvestrovy věty o kvadratických formách platí: A3(M) > 0, Ai(M) > 0, pak f (M) je ostré lokálni minimum. Aa(M) < 0, Ax(M) < 0, pak f (M) je ostré lokálni maximum. Je-li Aa(M) < 0, pak v bodě M neexistuje lokálni extrém. Je-li A2(M) > 0, { Výpočet vypadá následovně : f'x = 3x2 + 12y = 0 neboli x2 + 4y = 0, fy = 2y + 12x = 0 neboli y = -6x, f2 = 2z + 2 = 0, neboli z = -1 ,4 = [0,0,-1], B = [24, -144, -1] f;x = 6x, y; = 2,^, = 2, y; = 12, /;z = o, /;2 = o 0 12 pak x2 — 24x = 0 Xi = 0, x2 = 24, Protože ň2(A) = Protože A2(B) = 12 2 144 12 12 2 < 0, v bodě A nenastává lokální extrém. = 144 > 0, A3(B) = 144 12 0 12 2 0 0 0 2 = 288 > 0 a Ai(B) = 144 > 0, je f(B) = f (24, -144, -1) = -6913 Lokálni minimum. Můžeme se též přesvědčit přímo, že kvadratická forma d2f(B) je pozitivně definitní: d2f(B) = 144 (dx)2 + 24 dx dy + 2 (dy)2 + 2 (dz)2 = (12 dx + dy)2 + (dy)2 + 2 (dz)2 > 0 Přiklad218.* f(x,y,z) = £ + — + - + x Ax y z Řešení: Za předpokladu xyz ^ 0, položíme všechny derivace funkce / rovny 0. UM ť = -— + 1 = 0 Jx Ax* , Jy 2x y2 ' (^-) = 1, takže buď 1) y = 2x nebo 2) y = -2x, Případ : z2 1) Nechť y = 2x. Pak /' = 0 -> 1 - — = 0, z2 = 4x2, zi = 2x, z2 = -2x. y Ax Ax 2 1 o 1 p»„-a,, /; = o -» _-_ = o, 2-^=0, ** = J. Obdrželi jsme stacionární body A= [ 2' *' * ]' ^ ~ [~ 2' ~ *'_ * —Ax 2 1 1 Pro* = -2s, /;=0^—-^5= 0,-2-^=0, *» —f takže neexistuje řešení. z2 2) Nechť y = -2x. Pak fl = 0 -+ -1--0 = 0 a řešení neexistuje . Tím jsme vyčerpali řešení soustavy (1) v oboru reálných čísel. Přistoupíme k výpočtu druhých parciálních derivací: Jxx 2x3' t„ 1 2z2 f" =--1-- Jyy 2x y3' A2(A)= _J "2 A2(B) : Ai(J5) = -4 < 0 -4 2 2 -3 f„ =__y_ f = -- ' V y2 ' = 8 > 0, A3(A) = = 8>0, A3(B) = jxz = 0, J zz 2 = - + y 4 Z3' A -2 0 -2 3 -2 = 32 > 0, Ai(4) 0 -2 6 -4 2 0 2 -3 2 = -32 < 0, 0 2 -6 Je tedy f (A) = 15=4 lokální minimum a /(£) = i, —1, —1^ = —4 lokální maximum. Najděte vázané (podmíněné) extrémy daných funkcí Příklad 219. z = 2(x2 + y2), jestliže x + y = 2. Řešení : Geometricky se jedná o nalezení extrémů z-ové souřadnice na průsečné křivce rotačního paraboloidu z = 2(x2 + y2) s rovinou x + y = 2. Z podmínky x + y = 2 vyjádříme např. y = 2 - x a dosadíme do dané funkce z = 2(x2 + y2). Tím dostaneme z(x) = 2(x2 + (2-x)2), takže z(x) = 4(x2-2x + 2). Pro funkci z(x) hledáme lokální extrém. Položíme tedy • Určete globální (absolutní) extrémy funkce z = f(x, y) na množině M : Přiklad224. f(x,y) = x2 + y2 + xy-x-y, M = {[x,y] e E2 : x > 0,y > 0, x + y < 1} Řešení: 1) určíme stacionární body na M a jejich funkční hodnoty : /; = 2x + y-l = 0 1 1 /; = 2y + x-l=0 J X-y-3 ^ = \ C M 0 05 : y = 0 2) určíme stacionárni body na jednotlivých stranách A OBC 1 hi(x) = x2 - x, h[(x) = 2x-l = 0 x = 2' y = 2' OC : x = 0 —+ /i2(y) = y2 - ž/, ^(v) = 2y - 1 = 0 ^s= [0,^] 6 M, /(i4s) = -i BC : y = 1 - x —> h3(x) = x2 + (1 - x)2 + x(l - x) - x - 1 + x = -x2 - x, /i'3(x) =-2x - 1 = 0 —■> x = ~, [-\,\] Č M\ 3) určíme hodnoty funkce f (x, y) ve vrcholech O, B, C /(O) = /(0,0) = 0, /(B) = /(1,0)=0, /(C) = /(0,1) = 0. Ze všech spočítaných funkčních hodnot vybereme nej menší a nej větší. Globální maximum nastává v bodech O, B, C, fmax(0) = fmax(B) = fmax(C) = 0 a podobně globální minimum v bodě A\, fm\n{Ai) = — \- ■ Příklad 225. z = x2 + y2 - 6x + 6y, M = {[x, y] € E2 : x2 + y2 < 4} Řešení : . f 2; = 2x - 6 = 0 —► xi = 3 2y+ 6 yi = -3 A = [3, -3], A g M. f x — 2 cos t 1 2) Body na hranici množiny M zapíšeme v parametrickém tvaru | y — 2 sin ť }' dz Pak postupně 2 = 4— 12 cos ť -I-12 sin ŕ, — = 12 sin t + 12 cos t = 0, dt sin t = — cos í, , 3 * 7 ťx = ^ 7T —> B = [—y/2, V2], z(B) = 4 + 12>/2 je globálni maximum a 7 í2 = - 7T —► C = [\/2, -\/2], 2(C) = 4 - 12y/2 je globálni minimum. • Určete lokální extrémy funkce : 226. 2 = ln(xy) + x2 + y2 - 4x - 4y + 7 r %/2 v^i lok.max. v boděAi =1--— ,1 ——I, lok.min. v bodě A2 = [l + 1 + —■], další stac.b. A3 = [l + ^, 1 - ^], A, = [l - ^, 1 + ^] 227. z = x2 + y - Xy/y - 6x + 12 228. z = x2 + y2 + 6x - 4y 229. z = ln(l - x2 - y2) 230. z = x3 + 8y3 - 6xy + 5 231. z = ex'2{x + y2) 9 232. z = x3 + y3 + -x2 - 3y - 12x 233. x2 + y2 + z2 - 4x + 6y - 2z + 13 = 0 234. x2 + xy-z2 + z + y + b = 0 235. f (x, y, z) = x2 + y2 + z2 - 6x + 2y + 6z 236. f (x, y, z) = x2 + 2y2 + z3 - Ylyz - §x [2min(4,4)=0] [*1n(-3,2) = -13] [w(0,0) = 0] [zmin(l, ^) = 4, v bodě [0,0] neex.extrém] [zmin(-2,0) = -^] 17 Zmin(l, 1) = -y, Zmax(-4, -1) = 58 v bodechfl, —1], [—4,1] neex.extrém [Zmin(2, -3) = 0, Zmax(2, -3) = 2] ve stac.bodech[-l,2,3], [-1,2,-2] neex.extrémy [/(2, -1, -3)) = -14, lok.min.] /(3,36,12) = -873, lok.min., v bodě [3,0,0] neex.extrém • Určete globální extrémy funkce z = f(x, y) na množině M : 237. f(x, y) = xy(x - a)(y -b), M = {[x, y) € E2 : 0 < x < a, 0 < y < 6} glob.max./(-,-) = — . glob.min. /(0,0) = /(a, 0) = /(0, b) = /(a, b) = 0 238. f(x,y)=xy(2-x-y), M = {[x,y] G E2 : x > 0, y > 0, x + y 0,a;-y + 3 > 0} ;lob.min./(-i,0) = -| glob.max. /(0,3) = 11 239. f(x, y) = x2 + y2 - xy, M = {[x, y] G E2 : \x\ + |y| < 1} 241. f{x,y) =x2 + y, M = {[x,y] e E2 : x > 0, y > 0, x + y < 6} (24|)/(:r, y) = x2 - y2, M = {[*, y] G ^ : x2 + y2 < 4} glob.min. /(0,0) = 0 glob.max. /(6,0) = 36 glob.min./(0, ±2) = -4 glob.max. /(±2,0) = 4 11.12. Rotační plochy Pŕíklad243. Oblouk křivky m (tzv. meridián) f (x, z) = 0, y = 0, odpovídající x G (a, 6), (0 < a < 6) rotuje kolem osy -z. Napište rovnici této rotační plochy. Řešeni: Zvolíme libovolný bod M ležící na křivce m /(x, z) = 0, y — 0, který při rotaci kolem osy z opíše kružnici o poloměru x v rovině kolmé k ose z. Označme jeho libovolnou otočenou polohu M a zapišme vše v souřadnicích : M = [x, 0, z] —> M = [x, y", ž], m=[x,ý.O] z = z, x2 + y2 = x2 x = ±\/x2 + y2. Otočíme-li celý oblouk, pak platí f(±\/x2 + y2,z~) = 0 a po vynechání pruhů obdržíme rovnici hledané rotační plochy f(±y/x2 + y2,z) = 0 (a2 z2 = k2(x2 + y2), kde 0 < X2 + y2 < a2 o a xy Přiklad 245. m : x2 + (y - 6)2 = a2, z = 0, 6 > a > 0, o : osa x 47 Řešení : Kružnice, rotující kolem přímky ležící ve stejné rovině a neprotínající danou přímku vytvoří tzv. anuloid, jehož rovnici odvodíme : x2 + (±y/y2 + z2 - b)2 = a2, {±yjy2 + z2 - b)2 = a2-x2, y2 + z2 + b2 =F 2by/y2~+~ž2 = a2 - x2, (x2 + y2 + z2 + b2- a2)2 = 4 b2(y2 + z2). Příklad 246. m : z = kx2, y = 0, o: osa z, x e (0, a) Řešení: Plocha je rotačním paraboloidem z = k(x2 + y2), 0 < x2 + y2 < a2 o a xy X2 y2 Příklad 247. m: — — — = 1, 2 = 0, o\ : osa x, o2 : osa y Řešení, a2 b2 Rotací hyperboly kolem hlavní osy x vznikne Roztočíme-li tutéž hyperbolu kolem vedlejší osy y, dostaneme hyperboloid dvoudílný hyperboloid jednodílný x2 y2 + z2 a2 W~ = 1 x2 y2 + z2 = a2 b2 • Je-li dána rotační plocha rovnicí F(x, y, z) = 0, určete osu rotace a meridián plochy. Příklad 248. x2 + y2 + 3z - 9 = 0 Řešení : Zvolíme-li rovinu z = konst. (pozor na existenci řezu), pak řez plochy touto rovinou je kružnice se středem na ose z. Z toho usoudíme, že osa rotace je osa z. Meridián dostaneme jako řez plochy rovinou obsahující osu rotace. Zvolíme rovinu (xz), tedy dosadíme y = 0. Obdržíme meridián x2 x2 + 3z — 9 = 0, tj. z = 3 ——, což je v rovině y = 0 parabola s vrcholem v bodě V = [0,0,3]. Daná plocha je rotační paraboloid, osa z je osou rotace. ■ Příklad 249. y2 + z2 - x2 + Ax - 4 = O Řešení: y2 + z2 — k2 —> osa rotace je osa x. Zvolíme z = 0 (řez rovinou (xy)) : y2 = (x — 2)2 —> y = ±(x — 2). Meridián je přímka y = x — 2 v rovině z = 0. Daná plocha je rotační kužel s vrcholem V = [2,0,0], osa x je osou rotace. i 250. x2 + y2 + z3 - 8 = 0 251. 4y2 + Az2 = x2 + 1 253. x2 = y2 + z2 [osa z, z = v'S — x2] [osa x, 4y2 — x2 = 1, jednodílný rot.hyperboloid] x2 m2 [osa y\ — + — = 1, rot.elipsoid] [osa x, y = x, rotační kužel] • Napište rovnici rotační plochy, znáte-li meridián m a osu rotace o 254. m : 2z = x, y = 0, x 6 (0,4), o : osa x, 2 2 2 255. m : x* + y5 = a55 z = 0 (asterioda) , o : osa x 256. m: z = y + 4, x = 0, o: osa z 257. m : x = 1 + 2y2, z = 0, o : osa x [4(y2 + *2) = x2] [x? + vV + z2 =aí] [(*-4)2 = x2 + y2] [x = l + 2(y2 + z2)] III. Dvojný a trojný integrál III.l. Existence Přiklad 258. Rozhodněte, zda daný integrál f [ —- dxdy existuje, jestliže : JJd xz + yz &)D:x2 + (y-l)2<\; b) D : x2 + y2 < 1; c) D : x2 + (y - l)2 < 2. Řešení: Budeme vycházet z toho, že dvojný a trojný integrál je definován pouze pro funkce omezené na D a dále budeme používat větu o existenci: Nechť D je měňtelná (v Jordánově smyslu) množina v £ľ2 (resp. E3) a funkce f je omezená na D. Nechť množina bodů nespojitosti funkce f v D má míru 0. Potom f je inte-grovatelná v D, tj. integrál (resp. J J J f (x, y, z) dx dy dz) existuje Množina D je měřitelná (je omezená a její hranice má míru 0) a f (x, y) = —-- je spojitá a x + y1 omezená na D. Integrál existuje. Množina D je měřitelná, ale f (x, y) není omezená 1 = 00. v D, protože [0,0] G D & lim Integrál neexistuje. [xjr]-»[o,o] x2 + y2 f (x,y) opět není omezená na D ([0,0] G D), integrál neexistuje. Příklad259. Je dána množina D : x2 + y2 < 4. Vyšetřete, zda existují integrály : f f sin(x2 + y2) v f f x dxdy f f dxdy &)JJD *2 + V2 dXd% b)7/.^' JJd x^TŤř + l' xy dx dy, exy - 1 xy dxdy y)' dx dy. Rešení, a) existuje, b) neexistuje, c) existuje, lim 8hl(f+f>=l, [x,s/]->[o,o] x2 + y2 X lim -5——r = 00, [*,»]-+[o,o] x2 + yl je spojitá v celém JEľ2, x2 + y2 + 1 d) neexistuje, protože např. lim [x,2/]->[-l,l] 1 + xy = 00, e) existuje, lim = lim s»* - 1 r->0 x/c J/-+0 y/c f) neexistuje, protože např. lim -- ' [*,y]-»[i,-i] (x + y)2 = 1, kde jfc € (-2,2) = 00. Přiklad 260. Vyšetřete, zda existují integrály : b) Jfj (x + yz)dxdydz, W : x2 < y < 2, z > 3, c' není omezená v W, {l-r-x+2 = 0}nW ^ 0, Řešení: a) neexistuje, protože funkce 1 (1+x + z)3 b) neexistuje, protože W není měřitelná v £ľ3, c) existuje, x2 + y2 + z2 - 9 ^ 0 v W. III.2. Fubiniova věta pro dvojný integrál • Vypočítejte dvojné integrály na daných obdélníkových množinách Příklad261. I = JJ y2sin2xdxdy, D:0 dxdy, D : 0 < x < 2, 0 < y < 3 dy x2 = ť 2x da: = d£ I/4e'dr.i[ln|^ + 3|]; = é\Q • i(ln 12 - ln3) = i(e4 - 1) • \ ln H = I(e4 _ 1) m4 = I(e4 - 1) ln2. Příklad 263. / Řešení: Hd*2- dxdy 2xy + y2 D : 3 < x < 4, O < y < 2 = í (—A - ) dy = Íln|t/-4|-ln|y-3|l2 = ln2-lnl-ln4 + ln3 2-3 3 = ln —— = ln-. 4 2 Pfífc/ad 264. / Hd{x- dxdy 2y + 3): r, £>: 0 < x < 2, 0 < y < 1 y0 íx-2y + 3U " ;„ V5-2J, 3-2»/ 9 7„ V2y-5 2y - 3-* = [i.n|29-5|-ito|2„-3|]; = i.»? dy = • Množina £> je omezená zadanými křivkami. Načrtněte ji a popište pomocí nerovnic. Příklad 265. 2x - y = 1, 2x - y = 5, x = 0, x = 2 Řešení: D 2x-5 x2 = 9 —► x1<2 = ±3 x2 < y < 18 - x2 -3 < x < 3 Příklad 268. xy = 4, y = x, y = 4x, (x > 0) Řešení : D = Di U £>2 -> 0 < y< 2 £>2 : < y 4 T < x < - 4 y 2 v) dy) dx Řešení 1) 0 < y<1-x 0 < x < 1 1 = fQ {fQ f(x,y)dxS)dy. Přiklad 270. 1 = f (f v) rfy) Řešení: 1) t x2 )dy. Přiklad271. I = f í ť~* f(x,y)dy)dx JO ^Jy/4x-X2 ' t \jAx — x2 D = DiUD2UD3 Dx : { Do : l j < x < 2 - ^4-y2 0 < y < 2 ^- < x < 4 4 2 < y < 4 £>3 : < 2+ y/4-y2 0) Rešení: f {f2 f{x,y)dy)dx = !íw \ 2 = J (J f(x,y).dx)dy + ^ (jT f(x,y)dx)dy. x=0 Přiklad 274. a;. = y2 - 4, a; = -3y ( x = y2 — 4 9 Rešení: Vyřešením soustavy < dostaneme průsečíky paraboly x = yl -4 1 x = -3y s přímkou o rovnici x = —3y. / (/a f(x^y)dx)dy = = j (f ^_f(x,y)dy)dx+ + y (y J(x,y)dy>jdx. Načrtněte množinu D a vypočítejte dané integrály Přiklad 275 Řešení: •'•!LÍ dxdy, D : xy = 1, y = 4x, x = 3 '1/2 x4 x2! 3 1225 r ar x* y _ = It ~ tj i/2 ~ 64 Přiklad 276. / = ^ a;3y2 da; dy, £>: a:2 + y2 = a2, a; = 0 (a: > 0) Rešení: y/a2-y2 x y dx .TJ o = f_a £ (a2 - y2)2 dy=\-2JQa y2 (a4 - 2a2y2 + y*)dy = )dy= ľ y2 J —a 2a2V- + V-5 7 1 7/l 2 1\ 4 7 = 2a (3-5 + 7)=IÔ5°- Příklad 277. J _ ľ ľ dxdy ~JJd*+í' D : y = 2x — x2, y = —x Rešení: y = 2x — x2 neboli y - 1 = -(x - l)2 je rovnice paraboly s vrcholem [1,1]. Průsečíky paraboly s přímkou y = —x najdeme tak, že zjistíme jejich x-ové souřadnice y = 2x - x2 ~x — 2x — x po dosazení x(x - 3) = 0 í(/r'^) 0, x € (-2,2) Rešení: y2 — x2 = 1 je rovnice hyperboly . dx = J [J (x + y)dyS)dx = J [xy + /•2 / _ 1 + X2 \ Z*2 ._ = y (xVl + x2 + —-—J dx = J xVT+x2dx + + x ) dx = sudá funkce X x H-- 3 = 0 (lichá funkce) 3,2 _ 14 o ~ 3 ' . / = J J (1 + x) y dxdy, D : y = x2 - 4, y = -3x, x = 0 (x < 0) Příklad 279 Řešení: Stanovíme x-ové souřadnice průsečíků paraboly s přímkou : y = x1 — 4 y = -3x Po dosazení x2 + 3x - 4 = 0 xi = l,x2 = -4 ÍJÚ1+x)y^dx=\ Ůl+x) V\7jx= = \ í (l+x)(9x2-(x2-4)2)dx = l í (-*5-z4+ +17x3 + 17x2 - 16x - 16) dx..= ^ [-y - y + ^+ +—--8x2 - 16x -1376 15 Přiklad 280. //^ (x +1) dx dy, D : y = 2x, 2y = x, y = 2 Řešení : 2y=x [ ([ V(x + l)dx)dy = --- = 8. jo KJy/2 ' Příklad 281. Řešení : [ f - dx dy, D : xy = 1, y = x, x = 4 (x > 0) fU=4 z*4/ i\ r4 I = J \\iix — ln — J dx = 2 J lnxdx = (per partes) u = ln z, t/ = 1 r "14 = , i =2xlnx — x = «=—, « = a; L Ji 81n4-6. 282 SL dxdy , D : x = 3, x = 4, y = 1, y = 2 (x + y)2' 283. cos(x + y)dxdy, D : x = 0, y = tt, y = x 284. JJ (x2 + y2)dxdy, D : y = 0, y = 1 - x, y = 1 + x 285. ^ (x + 2y) dxdy, D : x = y2 - 4, x = 5 286. xydxdy, D : y = x - 4, y2 = 2x 287. ^ ^-j-j- dx dy, Z? : x = 0, y = 2, y = 4, y2 = x 288. JJ ^dxdy, D:y2 = x, y2 = 4x, y = 2 289. jj [xy + y)dxdy, D : x = 1, x = 2, xy = 4, y = 0 [-11 [-2] [|] |50,4] [90] [4 + ,»|] [|] [4 + 81n2J III.3. Fubiniova věta pro trojný integrál • Vypočítejte trojné integrály na daných množinách W C E% : Přiklad 290. 1 = j jj ^(z + l)2 dx dy dz; W:0/2 7T2 1 - — xcosx + smx = — — -. 2 L Jo 16 2 C7T/2 fy/i u = x, v' = sin x I 7T 1 a' = 1, w = — cosi 16 • Vypočítejte integrály na daných množinách W : 295. JIj (x + y + z)dxdydz, W : x = 1, y = 0, y = x, 2 = 0, z = \/2 [H^l 296 297 298 299 //I fffw xdxdydz, W : x = 0, y = 0, z = 0, z = xy, x + y = 1 x2yz3 dx dy dz, W : z ~ xy, y = x, y = l, z = 0 • / / / (x + V) dx dy dz, W : x = 0, y = 0, z = 0, x = a, y = a, z = a2 - x2 - y2 . jJJ xzdxdydz, W : x = 0, y = 0, z = 0, x + y = 1, z = x2 + y2 + 1 [^] III.4. Substituční metoda pro dvojný integrál Přiklad 300. Rozhodněte, zda integrál j j arctg ^ dx dy, kde D = {[x, y] G E2 : x2 + y2 < 1, y > 0} existuje a v kladném případě jej spočítejte. Řešení: y Funkce /(x, y) = arctg - je nespojitá na ose y x (tj. x = 0). Nicméně, množina D je měřitelná a funkce / je na D omezená, neboť - |arctg — | < — pro všechny body [x, ý] € E2. * x 2 Proto daný integrál existuje. Vime, že f- // f (x, y) dxdy = // f(x(u, v), y (u, v)) | J\ dudv. JJD JJB(u,v) v 7 Zde použijeme transformaci do polárních souřadnic x = r cos f 0 < r < 1 y = r sin y> | 0 < y < jt J = r arctg — dxdy — x ÍL = J cp • r dr^ d0 r, / &\2 2 ^ 62 \ ~ 2/ +ž/ ^ x2 + y2 dx dy x = r cos ^ y = r sin ^ J = r x2 + y2 < for —► r2 < 6r cos ip 0 < r < 6 cos ys —► cos y > 0 2 - ^ ~ 2 /ir/2 pbcofxp . rr3 ,ftCos y_w/2 Přiklad 302. ^ ln(l + x2 + y2) dxdy, D : x2 + y2 < a2, x < 0 Rešení: Sk ln(l + x2 + y2) dx dy = r3n/2 pa páir/i ra j j ln(l + r2) • r dr dip = dip ■ / ln(l + r2)r dr = Jn/2 JO Jt/2 •'O x = r cos f y — r sin ip J = r f37ľ/2 0 < r < a 7T , 37T — <

3 -it3u 3 3 3 9 9 3v Užitím věty o substituci dostaneme ÍLx3dxdv=Ĺ (f í • s *0d"= s £ ? * ■ f - **=i [-;] 1 • [* 2-, '1/2 = 1.2.4 = 2 3 2 2 Ji Příklad 304. (2a: - y) dx dy, D : x + y = 1, x + y = 4, y = x, y = 5x Rešeni: Potom < Nejvhodnější substituce bude následující x + y = u y 1 < m < 4, 1 < v < 5. x x = y = l + v (1 + u)2 r u 1+w (l + v)2 + mu (1 + t;)3 (1 + u)3 (l + vf í 0; 2-v JfD(2X-y)dXdy = l (l (^^)_H_du)* = y u2du-[ (l + |>), r«3]4 f5 v + i-3 ŕ( i 3 ■ \ , -* + —)=<>. dv = Přiklad 305 21' [í + v " 2(i + u)2]i= 21(ě " 2-36 2 2-4> + 4x2 + 9y2dxdy, D : 4x + 9y2 < 36, y > 0 -.2 Řešeni: Množina D je vnitřek elipsy — + — < 1 ležící nad osou x. Použijeme transformaci do zobecněných polárních souřadnic (eliptických) : x — 3r cos cp , J = 3-2-r, 0, j/ = 1 + 2r sin y.) y^ y/x2 + y2dxdy, D : x2 + y2 < 2x fa2 + y)dxdy, D : xy = 1, xy = 4, y = x, y = 9x [37ra2 308 309 [4x] 32] (Použijte souřadnice a;y = u, — = v.) x u=- r 4»' 3 J III.5. Substituční metoda pro trojný integrál • Spočítejte integrály substitucí do sférických souřadnic : x = r cos ip cos ů y = r sin 99 cos ů z = r sin $ J = r>0; 0<<£<2tt; -í<^ 0, y < 0 Řešení: jjj y/x2 + y2 + z2 dx dy dz = = ľ'2 ( [** ( ľ r -r2 cos ůdr)dip)dti = í ' cosddů- f d

O, z < Řešení : 1 < r < 3 o < v < t -1 O, z > O Řešení: I xydxdydz = J J Jw x = 2r cos cos i? 0 < r < 1 V = 3r sin v> cos tí i 7r ■ , 2 z = 2rsini? J= 12r2cos# 0<* y = r sin y? z = v r > 0 ; 0 < v? < 27T ; J = x2 + y 2 _ „.2 dx dx dx dr dep dv dy dy dy dr d

0) Řešení, W je část vnitřku rotačního paraboloidu : r 2 x2 + y2 < az —> r2 < av —-¥ — < v < a, a z = a : x2 + y2 = a2 —> r* = ď, 0 < r < a, 0 < (p < 27T. r2Tr , pa , fa 2 _ „2 JJJW^X )dxdydz W 0 0 a 0 0a Z"2* , ľ r2 „ľ r4 ^6la „ /a5 a\ 27r-a5 7ra5 / dy?- / r3(a--)dr = 2n\a— - — = 2tt(— -—) = —— = —. Jo Jo a L 4 6aJo v 4 6 ' 12 6 V tomto příkladě jsme mohli postupovat i bez použití cylindrických souřadnic. Mohli x2 ~\~ y2 jsme vyjádřit z přímo : -< z < a a potom vzít v úvahu průmět tělesa a do roviny (xy), což je řez tělesa rovinou z = a tj. x2 + y2 < a2. Tedy JU (x2 + y2)dxdydz= (^a+>a (x2 + y2) dz) dx dy = x2+y2 0, 2 > 0, _2 .2 ~2 ^ ^ + ^ + ^ 0, z < 0 ^/x2 + y2 + z2 - 4 [xg + MbiS)] 317. / f f x2y dxdydz, W : z < A - x2 - y2, y > 0, z > 0 J J Jw 318. jjj (y2 + z2) dxdydz, W : Ax2 + y2 + j < 1 319. fff y/x2 + V2 + z2+ljrdvd^ W:x2 + y2 + z2<2,x<0, y < 0, z>0 JJJw \/x2 + y2 + z2 r 2752 i L 105 J 105 [4tt] (Návod : cylindrické souř. x = rcos>p,y = h, z = r sin ) j-7t(4- V^)j 320. /// (x2 + y2 + z2)dxdydz, W : x2 - 2x + y2 < 0, -1 < z < 1 [y*] J J Jw 321. xy dxdydz, W : 0 < x2 + z2 < A, 0 < y < A - x2 - z2, x >0 r 10241 l 105 J III.6. Aplikace dvojných a trojných integrálů • Určete plošný obsah rovinného obrazce D ohraničeného danými křivkami: Přiklad 322. y = x2, x + 2y = 3, y = 0 Řešení: y=0 p=//D * * ■ ĺ 1 (/r *=r(s ■* ~ ^ = [3y-y--Hers" dy = x+2y*3 Přiklad 323. xy = 1, xy = 4, y = x, x = 8 Řešení: á p=IIDdxdv=ÍAÍidv)dx+lAL d^dx= -jf(-í)*+jré-í)-[7:"w]> +3[ln= 2 - ln2 - - + 3(ln8 - ln2) = - + ln j-^ = = 3-+ln32. ■ 2 Přiklad 324. Určete plošný obsah rovinného obrazce omezeného osou x a jedním obloukem cykloidy o parametrických rovnicích x = a(t - siní), y = a(l - cosi). Jeden oblouk cykloidy opíše bod kružnice, která se kotálí po přímce y = 0, tj. t € (0,2iv). 1 + cos 2t « » px2 /*2jt /»2ir P= dxdy = / ydx = / yxdt= / a(l - cosi) • a(l - cosi) dt = yji? Jxi * o Jo =a2 /2 (x ~2 cos *+cos2 *)dt=°2 [*"2 sín *] r+°2 / , „ a2 r sin2íi2* „2.2 02 = a2-27rH--li + —— I = 2iraz + a'v = 3^. 2 L 2 Jo Přiklad 325. Určete plošný obsah rovinného obrazce D omezeného asteroidou Řešení : x2/3 + í/2/3 = a2/3 dxdy Použijeme transformace do souřadnic : (r cos3 sin

cos ip 3r sin2 v? cos2 y>. = 3r sin2 v? cos4

cos2ip>0, ip € (0, —) U (—, —) U (—,2ir). P = 4 / (/ rdrj dip = 4 [—^ dip = 2 a2cos2tpd

r4 = r2 cos2 0 —► 0 < y < 7T p-y.(y. ir*)*=š71[T]. = - f - cos4 ip sm2

= 6 Jo 9 54 JQ = 27 X (COS * " COS v) d(p = (WallÍSOVa f0rmUle) = 27 V4T2 ' 2 " 6^2 ' 2i = 864- Příklad 328. (x3 + y3) = 3axy (Descartesův list) Řešení: P = j j dxdy = x = r cos

I f>\ <

7r ,7r r(l) = ■ 3 ' ľ • 3 » °<^^ô> r(0)=r(-) = 0. cos3 ip + smó ip 2 2 1 ľ * í 3a cos v? sin ip \ 2 _ 9a2 ľ 2J0 Vcos3v? + sin3v/ T~ 2 Jq 2 cos2 9? sin2 ip i dip = ( čitatel a jmenovatel vydělíme cos6

^cos3

~lim ——- + 1) = 2 C^+ooJo («3 + l)2 2 C-y+oo U3 + lJo ¥C-*+ao VC3 + 1 / 3 a2 Pŕifc2ad329. Určete plošný obsah rovinného obrazce omezeného křivkami x2 + y2 + x = 0, x2 + y2 + 4x = 0, y = x, y = 0. Řešeni : x2 + y2 + x = 0 —► (x + i)2 + y2 = i x2 + y2 + 4x = 0 —► (x + 2)2 + y2 = 4 dxdy x = r cos y y = r sin ip J = r x2 + y2 + x — 0 —V r = — cos y x2 + y2 + 4x = 0 —> r = —4 cos y — cosy < r < —4cosy t < y < -7t /*!*/ /—4Cosy J n'r -]-4cosy 1 /,47f / \ = / ( / r dr) dip = - r dtp = - I (16 cos cp — cos ip) dtp = h V-cosy ' ' 2 A L -"-cosy 2 Jw V / 15 2 J 15 /"í* 1 + cos2

p = ... 4h 2 y = h--r-ar. a1 a) Moment setrvačnosti k tětivě je nyní momentem setrvačnosti vzhledem k ose x. D II/ dxdy = 0-2 ~ - 2 -SjCMr^*-éJÍ(*-^)'*-T/>--í)*--- 2fc3 /"i/' 12x2 48x4 64x6 ' 2hz 4x3 48x5 x--=- + 5a4 7a6 r]." = 16/i3a _2h3/a a 3a o \ _/i3a/3 1\ _ ~~3~V2~ 2 + 10 ~ 14/ ~ ~3~V5~ 7/ 105 b) T=[0, yr yr m m = JI dxdy = [J °* dy) dx = 2 J' (h - ^Jx2) dx = 2 f í f2í fh~«*x2 \ 2 Mx = JJ ydxdy = J ° ydyjdx = ••■ = - h2a, 2 u2 Přiklad 331. Určete těžiště rovinné desky omezené křivkami x2 + y2 — 2x = 0, z2 + y2 — 4x = 0, je-li £ = 10. Řešení: x2 + y2-2x = 0 —► (a; - l)2 + y2 = 1 x2 + y2 - 4x = 0 —► (x - 2)2 + y2 = 4 T m M, , xT m xT,0 = 10 • P = 10(tt • 22 - 7T • l2) = 30tt lOx dx dy = x = r cos tp y = r sin

2x x2 +y2 <4x r > 2 cos r < 4 cos tp 2 cos y> < r < 4 cos ip ■K 7t --< ifi < — 2-^-2 ^•3 t 4 cos; /"2 / r4 00bv \ f2 rr3i4cosV 10 fl = 10 [I r cos ip dr) dy = 10 / cosy>- — d(p = — / 56 cos (pdip = J-i\j2cos

3 y_» = — • 56 / cos 0, q=1. Řešení T = [xT,o],ra = PD = JJ dxdy (viz př. 328 ) -a2 I (1 + cos , o 27r 3 o —--dtp = a 7r + ď- = - a 7r, ř>27t . /•o(l+COSV>) = -a ^ + 2smv?jo + -a ^ - My = y^ xdxdy = ^polární souř. j = J ^ J r2 cos y> dr} dtp = 1 Z*2* a3 f2w ( \ = - / cos)3 d^ = — / ícos<^+3cos2 v?+3 cos3 je rovna čtverci vzdálenosti od středu koule. Řešení: Zvolíme počátek soustavy souřadnic ve středu koule. Pak koule je popsána nerovnicí x2 + y2 + z2 < a2 a hustota g = x2 + y2 + z2. m = 111 gdxdydz = /// (x2 + y2 + z2) dx dy dz = JJJw JJJw x = r cos ip cos ů y = r sin y cos t? z — r sin 0 J = r2 cos ů 0 < r < o 0 < y> < 2rr -1<ů<-2 - - 2 = / (J2(for4cosůdr>jdů}dip = r5ifl 47ra5 PŕiifcZad341. Určete těžiště tělesa omezeného plochami z = x2 + y2, z = 2, je-li hustota 0, g=l. Řešení: Těžiště T = [O, O, zT], kde zT = m = V, 14 m V = - • -na3, Mxy = III zdx dy dz = J J Jw 2 3 0 cos «9 y = r sin cos i? i 0 < y> < 2n-2 = rsintí J = r2 cos t? 0<* z = 4x. Potom rovnice kuželové plochy je z = 4 — \/x2 + y2 xy = J J V/o *dz)dxdy= j j [j\Q dxdy = x3+y2• r4 < 4(3 - r2) r4 + 4r2 - 12 < 0 —-> (r2 - 2)(r2 + 6) < 0 -0•■*) h+rj]í *= -fcjr ('V3^+3(3-rV^-T--)* = 2.[---— ]o + ŕV2 . o \ / 8 16 \ + 2«jQ (rV^+-/V^)dr = 2«(---—)--7T VŽ^r* (l + ^r2) (-2r) dr = -^7r-7ry >/í(l + |(3-í))dŕ = -^*+*f (3>/t - |íVí) dí = » +„[Ĺ*!!! _2 2^ľ = _» +,(2.3V3 -1.9V5-2 +1) = 2 1 3 3 5 Ji 2 V 15 15/ 3 - r2 = ť -2r dr = dť n = O -» Í! = 3 r2 = \/2 -> í2 = 1 Přiklad 345. Určete moment setrvačnosti vzhledem k ose z tělesa Řešeni: W = {[x,y,z]eE3; yjx2 + y2 < z < 2}, $ = 1. _ /, = y^(x2 + y2)dxdydz = j J ((x2 + y2) j dz)dxdy x2+y2<4 = (x2 + y2)(2-v^2Ti!/2)da;dy = xa+ys<4 /•2ir / /"2 v r „4 -.5,2 / 32 \ "!AL r2(2" T)ri?> * - mj ■ t - t 1. - 2h8 - y) = x = r cos y I 0 < r < 2 y = r sin <^ 0 < (p < 2n J — r 32 \ 16tt 5 Příklad 346. Určete statický moment (vzhledem k rovině (yz)) tělesa omezeného rovinami x = 0, y = 0, 2 = 0, x + y = a, y = h, (a > 0,h > 0), je-li hustota £ konstantní. Rešení: M, yz = q- II I xdxdydz = J J Jw W : 0 0. J J Jw Rešení : W : z2 = x2 + y2 (rotační kuželová plocha) z2 = 4 — x2 — y2 ■ x2 + y2 + z2 = 4 (kulová plocha) x = r cos

< n (»>0) =/ľ(í (ír • r2cos'rfr) *) "*=[t1! • M! • * ■ H1 - t)- Význam : 1) / je celková hmota tělesa při hustotě g = v^2 + y2 + z2> 2) / je statický moment tělesa vzhledem k bodu [0,0,0] při hustotě g = l. Príklad 349. Vypočítejte hmotnost kužele s poloměrem podstavy a = 1 a výškou /i = 4. Hustota se lineárně mění v závislosti na vzdálenosti bodu tělesa od podstavy. Ve vrcholu jeg=la£ = 5v každém bodě podstavy. Řešení. Zvolíme soustavu souřadnic s počátkem ve vrcholu kužele, osa z bude osou rotace, meridiánem bude část přímky z = Ax, y — 0, [1.0.4] 0 < x < 1. Potom kuželová plocha bude mít rovnici z = Ay/x2 + y2. Uvažované těleso W zapíšeme pomocí nerovnic. W : Ayfx2 + y2 1 = 4fci + A;2 0(4) = 5—► 5 = fc2—► h = -1 —► q(z) = -(A - z) + 5 = z + 1 = jjj gdxdydz= j j ( j ^ {z + 1) dz j dxdy — ■ ■ ■ = y 7T. ■ • Určete plošný obsah P rovinného obrazce J9 ohraničeného danými křivkami 350. x = y2, 8x = y2, y = 5 [22] 351. y = x2, x - y + 2 = 0, x - 0, x = 1 [y] 352. x = y2, xy = 1, x = 4y [\ + ln2] 353. (4**+ = 354. y = lni, z - y = 1, y =-1 [i-i] • Určete hmotnost m rovinné desky omezené křivkami : 356. y = x2, x — y + 2 = 0, je-li hustota g(x, y) = xy [y] 357. x2 + y2 = 2ax, je-li g(x, y) = V'x2 + y2, a > 0 [?|a3] 358. x = y2, xy = 1, x = 4, je-li #(x, y) = 2x [y] 359. x2 + y2 = 1, x + y > 1, je-li g(x, y) = y [|] 360. x2 + y2 — 2x = 0, x2 + y2 — 4x = 0, y = x, y = 0, je-li hustota #(x, y) v libovolném bodě rovna vzdálenosti tohoto bodu od počátku soustavy souřadnic. [~^~] • Určete těžiště T rovinné desky omezené křivkami : 361. y = 2x - 3x2, y = -x, je-li g(x, y) = 1 [t = [|, -|]] 362. y = sinx, y = 0, x g (0, tt), je-li ť?(x, v) = 1 [t = [f, §]] 363. y2 = 4x + 4, y2 = -2x + 4, je-li g(x, y) = 1 [t = [|,o]] 2 2 2 364. X3 + y5 = O5, X > 0, y > 0, je-li g(x, y) = 1 (jde o čtvrtinu asteroidy ležící v I. kvadrantu, o o \ r 256q t použijte souřadnice x = r cos 0) vzhledem ke středu mezikruží. rl5fari L 16 J • Vypočítejte objem V tělesa W omezeného plochami : 370. z = 0, y + z = 1, y = ln x, y = ln2 x [3e - 8] 371. z = 0, z = a2-x2, x2 + y2 = a2 [^a4] 372. x2 + y2 + z2 = a2, x2 + y2 < b2, 02)3 )] 373. (x + y)2 + 2z = 1, a; > 0, y > 0, 2 > 0 [|(3^-1)] 374. 1 + x2 + y2 = z2, 2 = 5 - x2 - y2, {z > 0) ffV] + ^ + (!-] • Určete hmotnost m tělesa : 376. W : 0 < x < a, 0 < y < 6, 0 < 2 < c, jestliže hustota q(x, y, z) = x + y + z. [fe+.+«] 377. je koule o poloměru a, jestliže hustota je rovna čtverci vzdálenosti od průměru. (Zvolte kouli se středem v počátku souřadnic a průměr ležící na ose z.) \.TEna J 378. W je omezené plochami o rovnicích: 2 = 0, 2x + y + z = 4, x = 0, y = 0, je-li £(2, y, 2) = 4x. [y] 379. W je omezené plochami o rovnicích : 2 = x2 + y2 + 4, 2 = 3 - x2 — y2, x2 + y2 = 1, je-li q(x, y, 2) = 22(x2 + y2). [^] • Určete těžiště T tělesa W omezeného plochami : 380. W : z = 0, 2 = x2 + y2, x + y = 5, x = 0, y = 0, g(x, y, 2) = 1 ['-[«"11 381. W : 22 = x2 + y2, x2 + y2 + z2 = 3, 2 > 0, e(x, y, 2) = 1 2 2 2 X V Z 382. ^- + 77 + ^- = 1, x = 0, y = 0, 2 = 0 (v prvním oktantu), g(x, y, z) = 1 a2 tr c~ ['-[t-t-t11 • Určete moment setrvačnosti tělesa W : 383. x2 + y2 = 22, x + y = 2 vzhledem k osám souřadnic^ je-li g(x, y, 2) = 1. [j*v = = ^z = 3W'] 384. x2 + y2 + 22 = 2, x2 + y2 = z2, (z > 0) vzhledem k ose 2, je-li g(x, y, 2) = 1. [/, = ^ir(W5-5)] 385. rotačního válce s poloměrem podstavy o a výškou b vzhledem k přímce p, která se dotýká pláště válce a je rovnoběžná s osou rotace. (Zvolte válec (x — a)2 + y2< a2, 0 < z < b, přímka p pak bude osa 2.) i^7™^] IV. Křivkový integrál IV. 1. Parametrizace křivek Nechť P(t) = |x(í),y(č),,z(í)J je zobrazení intervalu (a,b) do £3. Platí-li : 1) P(ť) je spojité a je prosté na (a, b) (k prostosti stačí, aby aspoň jedna ze složek x(t), y(t), z(t) byla ryze monotónní na (a,b)), 2) P (ť) = {x (č), y (t), z je omezené a spojité na (a, b), 3) P (ť) ^ 0 pro všechna t G (a, b). Potom množinu c = {X G JE73; X = P(t), t G (a,b)} nazveme jednoduchou hladkou křivkou v E3 a zobrazení P její parametrizací. Analogicky definujeme i parametrizaci křivky v E2. Řekneme, že kňvka c je orientována souhlasně, resp. nesouhlasně, s parametrizací P, jestliže počáteční bod této křivky je P(a), resp. P(b). Křivka c v Es (též v E2) se dá orientovat pomocí jednotkového tečného vektoru f p(t) v bodě P(t). Je-li f = ^ pak říkáme, že křivka c je souhlasně orientována s parame- p(í) trizací P. Je-li f = —:—— pak říkáme, že křivka c je nesouhlasně orientována s para- |P(í)| metrizací P. POZNÁMKA : Jednoduchá uzavřená po částech hladká křivka c se nazývá kladně, resp. záporně, orientovaná, jestliže pohyb v předepsaném směru je proti směru " hodinových ručiček ", resp. " ve směru hodinových ručiček." Příklad386. Je dána křivka c = {[x, y] G E2; y = x2, x G (-4,4)} s počátečním bodem A = [—4,16]. Zjistěte, zda zobrazení P(t) = |x(č),y(č) je parametrizací jednoduché a hladké křivky c, jestliže a)P(í) = [M2], * €(-4,4), b)P(t) = [t2,t4}, í G (-2,2), c) P{t) = [y/t,t], í G (0,16). Řešení: a) P(t) = [ŕ, í2], í G (—4,4) splňuje všechny požadované podmínky definice, a proto P(t) je parametrizací křivky c. Orientace křivky je souhlasná s parametrizací, jelikož P(—4) = [—4,16] = A . b) P(t) = [t2, í4], t G (-2,2) není prosté zobrazení. Např. P(-l) = P(l) = [1,1], takže P(t) není parametrizací křivky c. Kromě toho x = t2 > 0, kdežto bod A má x-ovou souřadnici — 4 < 0. c) P(t) = [y/i,t],t G (0,16) též není parametrizací, protože P(í) = (^=> není omezená na (0,16). ■ Příklad387. Je dána půlkružnice c = {[x,y] G E2\x2 + y2 = a2,y > 0} s počátečním bodem A = [—a, 0]. Zjistěte, zda zobrazení P(t) je její parametrizací, jestliže a) P(t) = [a cosi, a siní], t £ (0,7r), b) P(ř) = [t, Va^¥}, t € (-a, o), c) P(t) = [^=f, ^=f ], í € A Rešení: a) Ano, P(č) je parametrizací, protože P(ť) vyhovuje podmínkám definice. Orientace křivky je nesouhlasná s parametrizací, protože A = P{n) = [—a, 0]. b) Není parametrizací, protože P (t) = (1, ) není omezená na (—a, a). \ V a2 — t2' c) Ano, je parametrizací. Ověříme, že platí x2 + y2 = a2 : f at \2 ( a \2_a2{t2 + l)_ 2 \VTT¥j +Vv/TT^y " i + í2 _a' lim x(t) = lim _ -j-Q lim w(í) = lim —^—- = 0 —► orientace t-»±00 t->±00 y/l + £2 t->±O0 V í->±00 1 + í2 křivky je souhlasná s parametrizací. Zde se snadno ověří spojitost pro P(i) a P (í). Protože je x (t) =-^—== > 0 pro všechna t, je funkce x(t) monotónní j w (h-í2)v/ttf . a zobrazení P(í) je prosté. P (í) = a2 a2í2 a2 + Ti mřTš = 7tt-^ í 0- ■ (1 + í2)3 (1 + í2)3 (1+í2)5 • Najděte parametrizaci křivky c s počátečním bodem A a rozhodněte o její orientaci vzhledem k parametrizaci : Příklad388. Křivka c je úsečka s počátečním bodem A = [4, —1,3] a koncovým B = [3,1,5]. Řešení: Napíšeme rovnice přímky AB tak, že použijeme bod A a směrový vektor Íx = 4 - t y = -1 + 2t . Úsečku AB obdržíme pro t G (0,1), z = 3 + 2t bod A odpovídá parametru t = 0, takže orientace křivky je souhlasná s parametrizací. Příklad 389. c = {[x, y] G E2; (x + 3)2 + (y - 2)2 = 9,,x <-gjj 4 = [-3, -1] Rešení: x = — 3 + 3cosy? 7T 37T ŕ ^ ^y = 2 + 3sin 0, A = [3,0] /žešem': v? e 0}, ^ = [0,0,0] Řešení: Křivka c je řezem válcové plochy x2 + y2 = 4x rovinou y + 2 = 0. x2 - 4x + y2 = 0 —>• (x - 2)2 -f y2 = 4,[z = > 0 —>• x = 2 + 2 cos y = 2 sin ip —2 sin y? > 0 —> sin tp < 0 —► y? g (7r, 2ix) A = [0,0,0] —► 2-f 2 cos v? = 0 —> cos

sin = 0 ^ = 7T —► orientace křivky je souhlasná s parametrizací. ■ Přiklad 392. c = {[x, y, z] g £3; x2 + y2 + z2 = a2, x = y, x > 0}, A = [0,0, -a] Řešeni: Jde o řez kulové plochy rovinou procházející středem kulové plochy . Použijeme sférické souřadnice , v nichž r = a, ip = —; ů označíme jako parametr t . 7T . N/2 ' x = a cos — cos ť = a—— cos t 2 o • * * >/2 y = 2 sin — cos ť = a— cos r z = a sin t > í = x > 0 7t ~2 • cos í > 0 : A = [0,0, -a] - . 7T 7T. orientace křivky je souhlasná s parametrizací. • Rovinná křivka c je dána v parametrickém tvaru. Najděte její implicitní rovnici a pojmenujte ji : Příklad 393. c : x = 2t +1, y = 3 — t, t g (1,4), orientace je souhlasná s parametrizací. Řešení: Jde o úsečku s počátečním bodem A = [3,2](ť = 1) a koncovým bodem B = [9, — = 4). Vyloučením parametru t obdržíme : í = 3 - y —> x = 2(3 - y) + 1 —► x + 2y = 7 ■ Přiklad 394. c : x = ť - 2t + 3, y = ť - 2í + 1, í g (0,3), orientace křivky je nesouhlasná s parametrizací. Řešení: Po odečtení dostáváme x — y = 2. Opět máme úsečku s počátečním bodem A = [6,4](í = 3) a koncovým B = [3, l](ť = 0). ■ Příklad395. c : x = 2 sin2 ť, y = 4 cos2 í, í g (0, -), orientace c je sou- má hlasná s parametrizací. Řešení: Sečteme x + t = sin2 ť+cos21 2 4 2x + y = 4 . Znovu máme úsečku s počátečním bodem A = [0,4](í = 0) a koncovým B = [2,0](í = -). éU ,7T Přiklad396. Křivka c budiž dána polární rovnicí r( x2 + (y - 2)2 = 4 (kružnice) <^ rx, , , ... , ,. • . .. , f £ = 2cOSC/> .7T 37T. Tutez kružnici jsme mohli parametrizovat i jinak : < , ip G (—, —) . L y = 2 + 2 sin y? 22 Orientace je nesouhlasná s parametrizací. ■ • Ověřte, že c = C\ U ci je jednoduchá uzavřená po částech hladká křivka. Najdětete parametrizace křivek Ci,C2, nakreslete je a rozhodněte o jejich orientaci, jestliže A je počátečním bodem C\ a též koncovým bodem c2 : Přiklad 397. c1( c2 C E2, A = [0,0]; cx : x2 + y2 = 4x, y > 0; c2 : y = 0, x G (0,4) ižešera: ,9 9 íi = 2 + 2cosíi w j. „z _ 4 —> a : < y = 2 sin íi íi G (0,7r), orientace c je nesouhlasná s parametrizací, Cl : {x - 2)2 + y2 = 4 —► cx : { c2 x = t2 t2 G (0,4), orientace c je 4 í y = 0 nesouhlasná s parametrizací. Pŕífc*ad398.Ci,C2 C £ľ2, ;4 = [1,8]; cx : xy = 8, x G (1,4); c2:y + 2x = 10, x G (1,4) {x = ^ h G (1,4), orientace c je ,= !■ souhlasná s parametrizací, r x = t2 č2 G (1,4), orientace c je C2 : \ , 1 y = 10 — 2Í2 nesouhlasná s parametrizaci. 399. Ci, C2 C E2, A = [l, 1]; cx : y = y/x, x G (0,1); c2 : y = x2, x G (0,1) ti € (0,1) í2 e 0; c2 : x - * = 1, y = 0 s" ci : < y = x = 3cosťi íi€(0,7r) 3siníi I orientace c je sou- | c2 2 = 3 cos í i — 1 hlasná s parametrizací x = ť2 í2 € {-3,3) 0 | orientace c je sou-z = Í2 — 1 hlasná s parametrizací • Navrhněte parametrizaci křivky c s počátečním bodem A 401. cC £2 : 3x + y = 1, x e (-1,2); 4 = [-1,4] {x = í y = 1 - 3í 402. c C £3 : 2a; - y = 2, x + z = 3, y G (0,2); 4 = [2,2,1] t€<-l,2) orientace c je souhlasná s parametrizací . x = t :| y = 2t- t€ (1,2) 2 | orientace c je nesouhlasná 2 = —ř + 3 s parametrizací 403. cCE3: 4x2 + z2 = 4, y + z = 0,y < 0; A = [-1,0,0] x = cos t t € (0, «•) : : < y = -2 sir ! sin í | orientace c je nesouhlasná 2 = 2 sin t s parametrizací IV.2. Křivkový integrál skalární funkce (Křivkový integrál prvního druhu) • Vyšetřete existenci křivkového integrálu / f ds a v kladném případě jej vypočítejte Přiklad 404. J —ds, c je úsečka s krajními body A, B , kde a) A = [1,-2], B = [3,0], b) A = [1, -2], B = [3,4]. Řešení: Integrovaná funkce je definovaná a spojitá v E2 s výjimkou přímky x — 2y = 0. V okolí této přímky není funkce / omezená. a) vi - x-2y=0 Integrál existuje, protože funkce spojitá. x-2y je na úsečce AB ds = y/x2 + ý2 dt = = y/4 + Ädt = 2v/2dť 2\[2 dt + 2t - 2(-2 + 2ť) 7c x - 2y = 2V2 f —^—dt = -V2 í = -v/2Íln|5-2í|l1 = -v^- (ln3-ln5) = J0 5 — 2t J0 o — 2t L Jo x = 1 + 2í y = -2 + 2r * € <0,1> -jfr . /z i_ b) ..--"í-2v=0 Integrál neexistuje, protože úsečka AB protíná přímku x — 2y = 0 v bodě [2,1] a lim -—— neexistuje. Přiklad 405 í x + 2 \Jx2 + y: [x,»]-+[2,i] x 2y ds, a) c : x2 + y2 — 4x, b) c : x2 + y2 = 4 Řešení: Integrovaná funkce je definovaná a spojitá v E2 — [0,0]. x + 2 a) Bod [0, Q] e c a lim ._ t*.»H[o,o] y/x2 + y2 b) [0,0] £ c, takže integrál existuje. = oo, takže integrál neexistuje; J c \/x + 2 ds = \Jx2 + y2 ŕ 2cosŕ + 2 " J o 2 l y = = 2 cos t ds = v/x2 + ý2 dt = 2dt 2 sin t t S (0, 2tt> 2dí = 2[siní + t\2* = 4?r Přiklad 406. jTa;2 ds, c : y = ln x, x e (1,3) Řešení: Je zřejmé, že integrál existuje : _ c: y = lnx ds = v^Wdx=v/i+(I)S \/x2 + l y x2 ds = xe | dx = ■ dx 3 2 x/*2!7! dx + 1 • x dx = x2 + 1 = t 2x dx = dí t € (2,10) = 1/ VÍ*=i[^]"-Í<10víä-2,/S). Přiklad 407. / — ds, c : y2 = 2x, y G (>/2,2) Řešení: Integrál existuje {ti.: J c y c:| 2 x = dy> = v/i + y2 dy = ľ £-VT+y2dy = ] ľ y'-VT+ŕ-ydy v/l + y2 = í 2ydy = 2tdt i + j/2 = í2 t e (>/3, %/5> - r°(í2 _ i). ť . í dť = i f í - ^1 ^ = i- (25v/5 - 6>/3). i 4 7^ v y 4 L 5 3 J n/3 30 PftTbZad408. y (x2 + y2 + z2) ds, c je první závit šroubovice x = a cos í, y = a sin í, ^ = bt. Rešení: Integrál existuje : J(x2 + y2 + z2)ds = ds = y/(x)2 + (ý)2 + (i)2 dt = ^ ds = Va2 + Vdt = yV sin2 ť + a2 cos2 t + 62 dt < € <0, 2tt> = / (a2sin2ť + a2cos21 + b2t2) • VoJ+¥dt = VoJTČ / (a2 + b2Ý)dt = Jo Jo = v^TF. [a2í+^]Q =v/a^TF-(27ra2 + |6V). 409. [neexistuje] 410. r ■ . 27ti [existuje, —J [neexistuje] r . In 5l [existuje,--—J f-íl / -~—z ds, a) c : x - t• - 3, y = 3 - í, t G (1,4); ./cx2 + y2 b) c : x2 + y2 = a2. K / -tt— ds, &) c:y = 2x, x G (1,3); /c *2 - y b) c:y = 9, xG (0,2). •j/411. Jxyds, c:x2 + y2 = a2, x < 0, y > 0 ^ 412. /s/2yds, c:x = a(t- siní), y = o(l - cosi), t G (0,2ir> (obloukcykloidy) Je r -| % 413. jf v^ids, c: y = \fx, x G (1,2) ' F^] 414. J zds, C : X = ČCOSÍ, y = ÍSÍní, 2 = t, t G (0, 7r) (kuželová šroubovice) [i((2 + 7r2)v/2+^2-2v/2)] 415. J(x + y) ds, Cl X2 + y2 + Z2 = O2, y = X, X > 0, y > 0, Z > 0 (Použijte parametrizaci z příkladu 392.) [« 6 <&> |)» «V5] /* a2 416. / xyzds, c : x2 + y2 + z2 = a2, x2 + y2 = —, x > 0, y > 0, z > 0 (c leží v rovině Jc . ,- z = 2^3, pakx = f cosť, y = fsiní.) i 32 J rV.3. Aplikace křivkového integrálu prvního; druhu • Vypočítejte délku l křivfey c, jestliže : Příklad 417. c : y = 2 - ln (cos x), x G (0, Řešení: Délka i se vypočítá podle vzorce í = J ds. V daném^padé c : y = /(*) a ÍX2 I-/>./ \\o j / S1I1X. &0a * lln(l±f! = I.l„Í3 + 2V2). 2 1 2 Pfifciad418.c:x = í2, y = í-|", íe(-^V^) /žeiem: Jde o délku smyčky, jelikož x{-y® = = 3 a y(-v^) = y(>/3) = 0- v e= [ds= \J(xý + (yf dt = Jc J-VŠ = J{2tf + {\-ť>ýdt = = /'vs/4ť + i-2ť» + ^^ r VTTWTTut = /'(i + *a)* = = 2- fVa^hllf = 2(V3+V3)=4V3. Jo Pftfciad 419. c : x = a cos3 í, y = a sin31, t E (0, 2tt) flešem: Jde o asteroidu, skládající se ze čtyř stejně dlouhých oblouků. Proto £= fds = 4 V7^)2^^ = 4 jT" /(-Sacos^sin*)' + (3asin21costf dt = ^ „ °__- rli n rsin2tr/2_ = 4 f J9a2sin2ícos2í(cos2í + sin2ť)dí = 4 j Sasinťcosídí = 12a|_—Jq - Jo 0 ' ( ■ = 6a. íS5„^ c je část logaritmické spirály r = «*, ležící uvnitř kruhu o polomen. ^Z^vto^riadL v polních souřadnicích r = r(„). V kartézských souřadnicích bude vyjádřena : x = r( + r cos

\ < a plyne

-ooL k \p p->-0 —u6(0,l), / f ds = f ds = 2 j\sfx~^-yJX^ldx = 4- jT ^(1 - x)(x + 1) dx = 4^'Vl - x2 dx = = [ * = sinř 1 =4 f/2cos2ídť = 2 r/2(l + cos2í)dí = 2Íí+^l'r/2 = 7r. L ds = cosídt J y0 7o L 2 Jo Přiklad 423. x2 + y2 = -, z = xy, x > 0, y>0 Řešení xy ds = i f a; = - cos w l y = -sin

Vypočtěte hmotnost m křivky c při délkové hustotě £ = g(x, y), resp. #(x, y, z) Přiklad 424. c : x2 + y2 = o2, x > 0, y > 0, e(x, y) = x Řešení /f r x = a cc ed8 = Jxd8= |^e:{ y = as. W2 , r W2 = J a cos ť • a dt = a • [sin í J ^ = a = a cos í ds — adt asini ť e{0,n/2) 2y Příklad 425. c : x = ať, y = í2, * = | í3, í € (0,1), a(x,y,z) = ý — Řešení: m — Jgds = JyJ-^-ds = x — at a .2 s/2 i' O 3 2 = -t x = a ds = v^i)2 + (ý)2 + (i)".* = ý = \/2at | = a^l + 2t2 + t* dt = *2 = a(l+ť2)dt z — at Příklad 426. Křivka c je první závit šroubovice x = a cosi, y = a siní, z = at a hustota se rovná čtverci vzdálenosti od osy z Řešení: m = J gda = J{x2 + y2) ds = = / a2 •aV2dt = a3 -2V2tt. Jo Příklad427. c = ci U c2; d : x2 + y2 = 2ax, y > 0; c2 : y = 0, x G (0,2a), a > 0, q{x, y) = x2 + y2 .Řesera': x = acosí Í6<0,2rr> y = asiní | ds = >/(x)2 + (y)2 + (Ž)2 dt m= gds = gds + gds = Jc Jc\ JC2 = f (x2 + y2)ds+ [ (x2 + y2)ds = Jci J c2 x2 + y2 - 2ax = 0 —-> (x - o)2 + y2 = o2 y>o x = o + o cos t ds = adt y = asinť | ť€(0,7r> {x + y> c2 : y = 0 —► ds = dx, x € (0, 2a) x r2a rx3i2a = jf (a2(l+cosí)2 + a2sin2í)-adí + ^ x2dx = a3 ^ (2 + 2cosť) dt + [yjo = ,r 8a3 n , 8a3 - = 2a3[í + sinťJQ + —= 2a37r + — . ■ • Určete těžiště T křivky c při hustotě ^(x,y), resp. £(x,y,z) Příklad 428. c : x2 + y2 = 1, y > O, q(x, y) = a(l - y), a > O ižešem: M T = [0,yT], kde yT = (Všimněte si, že hustota nezáleží na x čili hmotnost levé a pravé čtvrtkružnice je stejná.) {x = cos í y = sin r ds = dt <€ <0,jt> [ m = y gds = ja{\-y)ds= a(l - sin ť) dí = a [ť + cosí]o = a(?r - 2) r p '/"*•/■ 1 -cos2í\ Jjt Mx = J ygds = a y (1 - siní) siní dí = a y [smt--—-J dí = = aj-cosí - + 7 sin2íľ = a (2 - J) L 2 4 Jo l a(2-f) 4-7t ž/t = a (tt - 2) 2 (tt - 2) " Přiklad429. c : x = a (í - siní), y = a(l-cosí), a> 0, í € (0,2tt) , £=1 Řešení: c je první oblouk cykloidy, T = [7ra, j/t], yT = ^L; m = £ = j ds m 2an x = a(í-sinť) ± = a(l-cosí) ds = v/x2 + ý2 dt = a v/l - 2 cos ť + cos2 í + sin2 ť dť l/ = o(l-cosť) I ý = asint ľ ds = a\/2 - 2 coSí dt = a\/2~y/l - cos t dt ť€<0,2w> Vl -cosídt = a\Í2 J V2sin-dí = 2a|^-2cos-Jo = 8a; y ds = / a(l - cos í) • a\Í2y/\ - cos í dt = a?\/2 j (1 - cos í)3/2 dí = o r t /•2JT i p&Tf . n t\ t COS - = Z -aVSjf 2v/2-sin3-dí = 4a2yo (l - cos2 -) sin-dí = = r1 „ r1 ' „r z3!1 , 2 32a2 = -4a2-2-J^ (l-z2)dz = 8a2 J (1 - z2)dz = 16a2|z-yJo .= 16a2 • - = —; 32a2 4 _ r 4 i ^=3-^ = 3a' r=r'3aJ- Přiklad430. c = Ci U c2 U c3, Ci : x2 + y2 = a2, z = 0,x > 0, y > 0, c2 : x2 + z2 = a2, y = 0, x>0, z>0, c3 : y2 + z2 = a2, x = 0, y >0, z > 0, a > 0, 0=1 Řešení: Křivka c je je symetrická vzhledem k osám x, y, z tedy xT = yr = zT • Omezíme se nair = —• M = í = 3 • \ • 2tt = Ka, m 4 2 Myz = xds = / xds+ xds+ / xds Jc Jci J Cl Jez Cl c2 : C3 : x = o cos í, 2 = 0, ds = o dt y = a siní í 6 (0,71/2) x = a cos ť, y = 0, ds = adt 2 = asiní í€(0,7r/2) y = a cos ť, x = 0, ds = a dt z — a sin t tt/2 í€(0,7r/2) I7T/2 a2 cos tdt +j a2costdt + J 0 dí = 2a2 |sin í| q = 2a 2a2 4 a |7ra 37r PfífcZad 431. Určete moment setrvačnosti vzhledem k souřadnicové rovině (yz) prostorově křivky c : x = a cosi, y = a siní, z = 6í í 6 (0,27r), je-li q = x2 + y2. Rešení: )x2 ds = Iyz = j^Q-x2ds = j{x2 + y2) a2 • a2cos2ť • V^a^+l^dť = a4v/a2T&2 / - ds = vV sin2 ť + a2 cos2 t + b2dt = = \fa?TWdt 27r 1 + cos 2í dí = aVa2 + b2 r sin2í 2 Jo a4\/a2 + ft2 7t PiHlfeZad 432. Určete moment setrvačnosti vzhledem k ose z křivky c C £3 '• 2x2 + y2 = 2, i + z = 1, je-li £ = z . Řešení: c je řez eliptické válcové plochy rovinou x + z = 1. J, = J(x2 + y2)gds = j{x2 + y2)zds = X = cos t y = \/2siní 2 = 1 — cos t x = -sint ds = y/sia2 t + 2 cos2 t + sin2t dt = V2 dt jr = \/2cost I i = siní íe(0,27r) 2tt /27r r^* (cos2í + 2sin2ť)(l-cosť)-v/2dí = v/2 / (1 + sin2ť)(l - cosi) dt r f2" / l-cos2í x . 2. \ , /rr. 1. sin2í = V2 y (l +----cos í - sin'' í cos t J dt = V 2 t+2*- 4 — sin t- sin3*!2* ]2* = v/2---27r = 3v/2 7r . Jo 2 Určete délku ^ křivky c 433. y=-Xy/x, x € (0, 5) 434. x = 3í, y = 3í2, z = 2í3, í € (0,1) 435. r((p) = o(l + COS 0 (horní polovina kardioidy) 436. r( 0 —> x € (— y • Určete plošný obsah P válcové plochy omezené rovinou z = 0 a plochami: 438. y2 = x, 9x - 4 = 0, z = 2y, y>0 439. x2 + yz = al, z = x, x > 0, y > 0 440. x2 + y2 = a2, 2 = x2 + y2 [a2] [27ra3; lze vypočítat i bez použití integrálu] 441. Vypočtěte moment setrvačnosti vzhledem k ose souměrnosti homogenní půlkružnice o poloměru a. [^y\ 442. Určete moment setrvačnosti vzhledem k ose x části asteriody ležící v prvním kvadrantu (tj. křivky x = a cos31, y = a sin31, t € (0,ít/2)), při hustotě g = 1 . '3a3 Určete těžiště T křivky c při délkové hustotě g(x, y, z) : 443. Q x2 + y2 , kde c : x = a cos t, y = a sin č, z = aŕ, a > 0, í G (0,27r) m =---, Mxy = 4v2a ir ,T = 0,0, -an ]] 444. ^ = 1, c = C! U c2, c C £2; Ci : y = 6^, x G (1,6); c2 : y = -6^, x G (1,6) = 10, My = 35, T = [|,o]] • Určete hmotnost m křivky c při délkové hustotě g(x, y) : 445. g = x(y2 + z2), cCE3 : y2 + 2z2 = 4, x = 2, x > 0 446. 0 = x(y + 2), c C E2 : x2 + y2 = 4, x > 0 447. g = x4/3 + y4/3, c C £2 : x = a cos31, y = a sin3 ť, í G (0, ir/2) 448. 0 = eV^+i^, c C £2 : x2 + y2 = a2, x > 0, y > 0 32%/2 [16] e • a • IV.4. Křivkový integrál vektorové funkce (Křivkový integrál druhého druhu) • Vypočítejte dané křivkové integrály po orientované křivce c s počátečním bodem A : Přiklad 449. j x dx - y2 dy, c je úsečka spojující body A = [1, -2], B = [3,2] . r r x = l + 2ť, , di = 2dí 1 Řešení: \ c-.{* ; ' | íe I , L L y = -2 + 4i, dy = 4dt J ^xdx-y2dy = jT ((l+2t)2-(4í-2)2-4) dí = 2 jf'(l+2í-2(16ť2-16í+4)) dt = /i r 32 i1 4 (_7 + 34ť _ 32ť2) dt = 2 [-7Í + 17í2 - -jt\Q = ~ 3 • " Pf^íad 450. J(x2 - y2) dx, c : y = x3 z bodu A =* [0,0] do bodu B = [3,27]. r r3 rx3 x7i3 2124 /Žeíem: /(x2 - y2) dx = / (x2 - x6) dx = - yjo = -— • ■ J c «0 Přiklad451. j-xcosydx + ysinxdy, c je úsečka z bodu .4 = [0,0] do bodu B = [k, 2ir] Řešení: c : y = 2x, dy = 2dx, x 6 (0, tt), orientace křivky je souhlasná s parametrizací; 1 = j (-xcos2x + 4xsinx)dx = J x(4 sin x - cos 2x) dx = r x i* /**/ sin2x\ = -|4xcosx+-sin2xjo+y (4cosx+—^—J dx = u = x, 1/ = 4 sin x — cos 2x sin 2x u = 1, v = -4cosx--r— C2 y2 22 f>2 " c : x = o cos t dx = —a sin t dt y — bsint \ dy = bcostdt t 6 (0,7r/2) orientace křivky je souhlasná s parametrizací */2 . abTr r cos 2x1* = 47r + 14 sin x---—J ^ = 47T . Přiklad452. J(-y,x)-ds, c : ^ + ^ = 1, ar > 0,-y > 0, A = [o,0] Řešení: J^-ydx + xdy = r*/2 r'2 Oto = J (bsmt-asint + acost-bcost)dt = ab dt = — Přiklad 453. ^x dy, c je obvod trojúhelníka vytvořeného přímkami x = 0, y = 0 a 2x + 7y = 14 při kladné orientaci . Řešení: _± _. [c=[0,2] c = AB + BC + CA --- — Íc -ÍaÉ ÍbČ ičt A=[0,0] B=[7,0] AB:y = 0, dy = 0, x G (0,7), orientace křivky je souhlasná s parametrizací, BC :x= 14 ~ 7y, y € (0,2), orientace křivky je souhlasná s parametrizací, AC : x = 0, dx - 0, y G (0,2), orientace křivky je nesouhlasná s parametrizací; ■/.*-.+jf^-+o-i[M.-¥]:-r. - (y2 -x2) 466. / = ^-^, c : x2 + y2 = a2, a > O, x > O, y > O z bodu [a, 0] # + y do bodu [-a, 0] . [-| a] 467. f — (y, 2), c je uzavřená křivka tvořená poloosami a čtvrtinou elipsy x = 2 cos í, y = sin t, nacházející se v prvním kvadrantu. Orientace je záporná. [2n] 468. / = (x + y, 2x), c : x = a cos ť, y = a sin í, t G (0,27r), orientace je kladná, [na2] 469. / = (y, z, x), c je úsečka s počátečním bodem [a, 0,0] a koncovým bodem [a, a, a]. 470. / = (y, z, x), c je průsečnice ploch z = xy, x2 + y2 = 1 z bodu [1,0,0] do bodu [0,1,0]. [i-f] at 471. / = (yz,zy/R? — y2,xy), c : x = Rcost, y = ilsiní, z = —, a > 0, R > 0, 27T í G (0,27r), orientace křivky je souhlasná s parametrizací. [0] 472. / = (x, y,xz — y), c : x = í2, y = 2ť, z = 4í3, í G (0,1), orientace křivky je souhlasná s parametrizací. [|] 473. / = (x, y, z), c je čtvrtina elipsy x2 + y2 = 4, x + z = 2 z bodu [2,0,0] do bodu [0,2,2]. [2] 474. / = (y2,z2,x2), c : x = 5, y = 2 + 4siní, z = — 3 + 4cosť, t G (0,27r), orientace křivky je souhlasná s parametrizací. [96*r] rV.6. Potenciální vektorové pole rot f = Vektorové pole f = (fi,f2,fo) je potenciální v oblasti G C E3, jestliže existuje skalární funkce ý v G taková, že f = grad^ v oblasti G. Skalární funkci tp(x,y,z) nazýváme potenciálem vektorového pole f. Nechť f = (/i,/2>/3) je diferencovatelné vektorové pole v oblasti G C E3. Potom vektorovou funkci i J k d_ d_ d_ dx dy dz fi f2 f3 —♦ nazýváme rotací vektorového pole f. Platí věty : Vektorové pole f je potenciální v G právě když J f • ds nezávisí na cestě v oblasti G . Je-li křivka c v G s počátečním bodem M a koncovým N, pak platí íf . d%.= ľ gradV • d% = ip{N) - tp(M). Jc J M Speciálně (j) graňip - ds — 0, kde c je uzavřená křivka v G. 94 Nechť vektorová funkce f má spojité parciální derivace v hvězdovité oblasti G C E3 a nechť rot / = 0 v G. Potom vektorové pole f je potenciální v G. • Budiž dáno vektorové pole / : a) ověřte, že / je potenciální v G, b) stanovte jeho ŕ - -> potenciál, c) vypočtěte / / • ds, jestliže : J a Přiklad 475. f = (3x2y - 3y2,x3 - 6xy), A = [1,3], B = [2,1], G = E2 Řešení: a) Jelikož funkce f\ a f2 jsou spojité a diferencovatelné v celém E2 je G jednoduše souvislá oblast v E2, (hvězdovitá v E3), pak k ověření, že / je potenciální v G C E2 stačí zjistit, zda = oy ox df = 3x2 — 6y, ^j^2- = 3x2 — 6y. Ano, /je potenciální v E2, oy ox h)f = 9rad^=\-^,—) ^ [[x'y] d^.d^, I f-ds= —— + —— dy = / dtp = i/>(x,y) - ip{x0,y0) . J[*o,yo] J[xo,yo] ^ °V J[x0(y0] /•[*,»] Zvolíme (x0, yo) = (0,0) : xp(x, y) = (3x2y - 3y ) dx + (x3 - 6xy) dy = J[0,0] ^ víme, že integrál nezávisí na cestě, proto zvolíme lomenou čáru [0,0] —> [x, 0] —► [x, y]) : [0,0] —► [x,0] : y = 0,dy = 0 [x, 0] —► [x, y] : x = konst., dx = 0 r[x,0] /•[!,»] [0,0] [x,0] r[x,0] />[x,y] /«x /-y = / + / = / 0 dx + / (x3 - 6xy) dy = x3y - 3xy2 —> 70,0] J[x,0] Jo Jo ip(x, y) = x3y - 3xy2 + C, c) f[2,1] / • ďt = V(2,1) - V(l, 3) = (8 - 6) - (3 - 27) = 26. Jfl.3l Přiklad 476. /= (2x cos y, -x2 sin y), A = [2,0], B = [4, tt/2], G = E2 Řešení: a) Oblast G je opět jednoduše souvislá oblast a platí —* -> /je potenciální v E2 . dh n ■ df2 n . —— = -2xsiny, —- = -2xsiny ay ax b)^(x, y)= / 2x cos y dx — x2sin y dy = / + / = J[0,0] J[0,0] J[x,0] = j 2x dx - j x2 sin y dy = x2 + x2 |cos y [0,0]—»[x,0] :y = 0,dy = 0 [x, 0] —► [x, y] : x = konst., dx = 0 = X2 + X2 COS y — X2 V>(x, y) = x2 cos y 4- C. ŕ >[4.*/2] n c)/ /• ds = V(4,7r/2) - ^(2,0) = 16cos-- 4cos0 =-4 . '[2,0] 2 Príklad477. /= (3x2y - z2 + 22, x3 +.2yz - 3, y2 - 2x2 + 2x + 5), ,4 = [0,1,1], B = [3,0,2], G = E3 Řešení: a) Oblast G je hvězdovitá v E3, * J _d_ Í. dx dy rot / = k d_ dz 3x2y - z2 + 2z x3 + 2yz - 3 y2 - 2xz + 2x + 5 = (2y - 2y, -2z + 2 + 2* - 2,3x2 - 3x2) = 0 —► /je potenciální v Ez b)ip{x,y,z) = -í [0,0,0] [x,0,0] (3x2y - z2 + 2z) dx + (x3 + 2yz - 3) dy + +(y2 - 2xz + 2x + 5) dz /•[x,0,0] ŕ[x,y,0] r[x,y,z] = / + +/ = J [0,0,0] J[x,0,0] J[x,y,0] Pŕífc/ad478 [0,0,0] —► [x, 0,0] : y = 0, dy = 0, z = 0, = 0 [x,0,0] —► [x,y,0]: dx = 0, z = 0, dz = 0 [x,y,0] —► [x,y,z] : dx = 0,dy = 0 = / 0dx + / (x3-3)dy + / (y2 - 2x2 + 2x + 5) dz = Jo Jo Jo = x3y - 3y + y2z - xz2 + 2x2 + 5z + C , r[3,o,2] . c) / /• ds = V(3,0,2)-V(0,1,1) = 7. ■ J[0,1,1] Určete oblasti G C E2, v nichž je pole /= f - —+ 2y — 5^ i + Vy x2 / + (--+ 2x + 11) j potenciální a stanovte jeho potenciál tp(x, y), Vx y1 / splňující podmínku ^(—2,2) = 0. Řešení: Gx = {[x, y] e E2; x > 0, y > 0}, G2 = {[x, y] e £2; a: < 0, y > 0}, G3 = {[x,y] 6 £2; x > 0, y < 0}, G4 = {[x,y] e £2; x < 0, y < 0}. d f d f "í "i. Platí -p-i = -t-2- = —---- + 2, tedy je / potenciální v G,, i = 1,2,3,4 . dy dx y2 x2 /[**] /1 y \ /lx \ í---^ + 2y-5 dx+(---5 + 2x + 11 dy = l-i,i]vy x2 / Vx y2 / Vybíráme cestu od [—1,1] do [x, y] v G2 , protože daný bod [—2,2] leží v G2 • [-1,1]—+[x,l] : y = l,dy = 0 [x, 1] —► [x, y] : x = konst., dx = 0 [x.y] [x,l] H.l] =£(i-5-3)&+r(í-^+2x+i^*=[-2i+í]-,+[f+í+2i"+ +lly]V = -2x + - - 2 + 1 + - + - + 2xy + lly - - - x - 2x - 11 = Ji x x y x = - + - + 2xy - 5x + Uy + C; y x t/>(-2,2) = 0: -l + l-8 + 10 + 22 + C = 0 —> C =-22 V>(x,y) = - + -+ 2xy-5x +lly-22 pro [x,y]eG2. ■ y x Příklad479. Určete oblast G C E2, v níž je vektorová funkce / = (~=,4y\/x) spojitá \y/X / a rozhodněte, zda / / • ds nezávisí na cestě v G. V kladném případě Jc I /"[4.-2J _ /[-1,2] vypočtěte / / • ds Řešení: G = {[x, y] £ E2, x > 0} . i f • ds nezávisí na cestě, protože —— = = —j= . J C ČJX yJX /•[4-2] _ /-[4,-2] 2 /-[4,2] /-[4-2] / f-ds= -^=dx + 4yV^dy= + J[l,2] J[l,2) Vx 7(1,2] 7(4,2] [1,2] —► [4,2] y = 2, dy = 0, x 6 (1,4) orientace úsečky je souhlasná s parametrizací [4,2] —► [4, -2] : x = 4, dx = 0, j; e (—2,2), orientace úsečky je nesouhlasná s parametrizací = J*-Ldx + £ \y-2dy= [8v^]'+ [V]"'= 8 ■ Pŕífc/ad 480. Je dána funkce ip(x, y) = x3y + x2y2. Určete a) silové pole /, jehož 5 potenciálem je funkce ip(x, y); b) práci síly / při pohybu z bodu 1 M = [1,1] do bodu N = [-2,3]; c) práci síly / podél křivky c : x2 + 4y2 = 4. j Äešem': a) / = grad ip —> f = (3x2y + 2xy2, x3 + 2x2y); rN__> b) A= j f • d S = (integrál nezávisí na cestě) = 1p(M) — 1p(N) — J M = (-24 + 36) - (1 + 1) = 10; c) A = jj ds = 0. 'c Příklad 481. Vypočtěte / f-ds, kde M = [1,0, e], N = [2, -1, e2], víte-li, že pole / je J M potenciální v oblasti G C E3, jehož potenciál je funkce ip(x, y, z) = xy2 ln z. Určete též oblast G. ľN —> Řešení: G = {[x, y, z] € E3; z > 0}; / / • d s = tl>{M) - ip{N) = 2 lne2 - 0 = 4. J M • Nechť je dáno vektorové pole /. Ověřte, že je pole potenciální v E2, resp. E3, stanovte jeho potenciál a vypočtěte J f • ds : 482. / = (xe2», (x2 + l)e2"), ,4 = [1,0], B = [3,1] ty = f (x2 + De2" + c; 5e2 -1] 483. / = (3x2y - 2xy2,x3 - 2x2y), A = [1,1], B = [2, -1] ty = x3y -x2y2 + C; -12] 484//= (cos 2y + y + x, y - 2xsin 2y + x), A = [0,7], B = [1,0] 485. / = (x2 - 2y2, y2 - 2x2, z2 - 2xy), A = [0,0,3], B = [3,3,0] 486. / = (2y + 22,2x + 1,2x2 + 2), A = [0, !,!],£ = [3,0,2] z2 v2 ty = y + y + xcos2y + xy + G; -23] ty = -(x3 + y3 + z3) - 2xy* + C; 9] ty = 2xy + y + xz2 + 2z + G; 13] [1/»= ^ln(x2 + y2 + l)+z2 + C; 1] 488. Ověřte, že pole / = (y2,2xy) je potenciální v E2 . Stanovte potenciál ip(x,y), splňující VK-4,3) = -9 . ty = xy2 + 27] 489. Stanovte potenciál pole / = (1 - - + -, - + 22 - na G C E3 : y > 0, 2 > 0. y z z y2 z2 0 = x_£ + fK + z2 + C] y * 490. Najděte práci silového pole /, jehož potenciál je funkce ip(x, y) = arctg - x při pohybu a) z bodu M = [1, \/Š] do bodu N — [v/2, \f% ; b) podél křivky (x — 2)2 + y2 = 1 v kladném směru. [a) - ^, b) oj • Vypočtěte : 491 ŕ1'2} ydx — xdy r 3 -i . /--- — -, integrál nezávisí na cestě 7(2,1] & L 2 J /•[t/6,1] 492. / 2y sin 2xdx + (1 - cos 2x) dy -f •/[t/4,2] 2J 493. jf(2x + y) dx + (x + 2y) dy, c : x2 + y2 = a2 [0] —* • Určete oblasti G, v nichž je vektorové pole / potenciální a stanovte potenciál : 494. / = (x3y2 + X, y2 + yx4) [G = 0, / není potenciální] -> / ey ey x\ 495./=(lny-;5,7 + -) Gi C E2 : y > 0, x > 0 Gz C E2 : y > 0,x < 0 e" V>=--1- x ln y + C 496. /= (—, —, ln(x - y) + 4=) \x - y y - x yjz) G C E3 : x > y, z > O ip = z\n(x-y) + 2y/ž + C IV. 7. Greenova věta Nechť : 1) vektorová funkce f = (fi,f2) má spojité parciální derivace v oblasti G C E2, 2) křivka c C G je jednoduchá uzavřená kladné orientovaná po částech hladká, 3) int c C G. Potom Důsledek : P = í í dx dy = i B —>• C, kde A = [1,0], B = [1, -3], C = [-3,0]. Řešení: Cirkulace T = J> f • ds = J>(2x + 3y) dx + (5x - y - 4) dy G= '} = - íf (5 - 3) dxdy = -2 [[ dxdy = -2-PA = -2 = -12 ; J J int c JjAABC 2 (orientace křivky c je záporná, proto před dvojným integrálem je znaménko minus) . ■ I PW3Wod498. Vyšetřete existenci integrálu (x2 + Ž/2)> -2arctg • ďs a rozhod- ! něte o možnosti užití Greenovy věty k jeho výpočtu, jestliže c C E2 l je kladně orientovaná křivka a) x2 + y2 = 1, b) (x - l)2 + y2 = 1, | c) (x — 2)2 + y2 = 1, d) c je obvod čtverce s vrcholy A = [1,0], i B = [0,1], C = [-1,0], D = [0, -1]. V kladném případě vypočtěte ť integrál pomocí Greenovy věty. I j Řešení: Integrál ®(ln (x2 + y2), -2arctg -) • ds existuje v E2 - [0,0], protože I J c x f funkce ln (x2 + y2) je definována jen pro x2 + y2 > 0 a lim ln (x2 + y2) = -oo; I [x,y}-4[0,0] i funkce arctg — není definována pro x = 0, ale je omezená í arctg — < ^ j . | X VI X 2 / i Greenovu větu lze použít za předpokladu, že c, int c C E2 — [0,0] . a) —l—<>—4j—í Integrál existuje, ale nelze použít Greenovu větu . b) c) Integrál neexistuje a nelze použít Greenovu větu Integrál existuje a lze použít Greenovu větu. Proveďme tedy výpočet. d) 1 -l \ / 1 -1 = // Odxdy = 0. J J iní c Integrál existuje, ale nelze použít Greenovu větu Příklad 499. Je dáno vektorové pole /= ^ _t**V^ v G = E2 - [0,0]. dfi df2 x + y* a) Ověřte, že platí = v G. b) Výpočtem integrálu ó f • ds, oy dx Jc kde c je záporně orientovaná kružnice S = [0,0],r = 2, se přesvědčte, že pole není potenciální v G. Řešem, a) a/* a/2 -*2 + y2 b) Cirkulace ľ =

0; c2 : y = 0, a; e (0,2), a) přímým výpočtem, b) pomocí Greenovy věty. Řešení: Cl:(x-l)2 + y2 = l,y>0 c2:y= 0,x e (0,2) J C J C J C\ J C2 ci : x = 1 + cos ť y = sin t c2 : y = 0, dy = 0, dx = — sin í dí dy = cos t dt x € (0,2) t € (0,7T> souhlasná or. souhl.or. í + Sin í1 = 71". 0 = j (sin21+ (1 +cos t) cos tj dt + I Odx = J (l + cosí)dí = b) 0). Rešení: Použijeme známou parametrizaci asteriody : x = o • cos t y = a ■ sin3 t dx = —3a • cos t ■ sin t dt y = 3a • sin21 ■ cos t dt t 6 (0,27r> 1 f 1 f P — - i -ydx + xdy = - / (3a2 cos21 sin4 í + 3a2 sin21 cos4 ť) dt = 2 7c 2 70 3a2 Z"2* . 2 2 , 3a2 /*27r sin2 2í , 3 , f2* 1 = —— / sin í • cos t dt = —— / —-— dt = - a I 2 io 2 J o 4 8 y0 — cos 4í sin 4í 2tt 3 4 Jo 8 = r a 7ľ. 502. Vyšetřete existenci integrálu {——2~> 2x)-ds a rozhodněte o možnosti užití Greenovy věty, jestliže c C fľ2 je kladně orientovaná křivka : a) x2 + y2 = 1, b) x2 + (y — 2)2 = 1, c) (x — 2)2 + y2 = 1. V kladném případě vypočtěte integrál pomocí Greenovy věty. a) neexistuje, nelze b) neexistuje, nelze c) existuje, lze; 2ir 503^Pomocí Greenovy věty vypočtěte cirkulaci vektoru / = (y, (x — y)2^j po záporně orientované křivce c : (x — l)2 + y2 = 1. [-n] r 2(y,-^) 504. Vypočtěte cirkulaci / = _ „ x1 + y2 Lze použít Greenovu větu ? po kladně orientované křivce c: x2 + y2 = 16. [—4rr, nelze] 505. Vypočtěte pomocí Greenovy věty i přímým výpočtem x2)vdx + x(l + y2) dy, kde c je kladně orientovaný obvod čtverce (0,2) x (0,2). [16] , x2 y2 506. Odvoďte pomocí křivkového integrálu vzorec pro plošný obsah elipsy — + -rr- < 1. a1 (r [vab] 507. Užitím krivkového integrálu vypočtěte obsah obrazce omezeného obloukem cykloidy x = a (t - sin t), y = a (1 - cos t), t e (0,27r) a úsečkou z bodu [0,0] do bodu [27T a,0]. [3™* 508. Nechť C\ je úsečka z bodu [0,0] do bodu [1,1] , c2 je část paraboly y = x2 opět z [0,0] do [1,1] a h = í (x + y)2dx-(x-y)2dy,I2 = / (x + y)2dx - (x - y)2 dy Jci J Cl Užitím Greenovy věty vypočtěte I\ — 12. Návod: = I — I (záp.orient.) JciUC2 * C\ Jc2 nebo xe~y2 dx + (—x2ye~y% + ^2 ^ ^2) dy, kde c je kladně orientovaný obvod čtverce s vrcholy [1,0], [2,0], [2,1], [1,1]. [5arctg5 "íl 510. Pomoci Greenovy věty vypočtěte integrál f(y2ex - y3) dx + (2yex - 3) dy, kde c = Ci U c2; ct : x = 0, y € (-2,2), c2 : 4a;2 +y2 = 4, x>0, přičemž [0,2] je počáteční bod křivky c\. [37ť i Art V. Plošný integrál V.l. Parametrizace ploch Nechť oblast Q C E2, P = P(u, v) je zobrazení z Q do E3, ľcíí je jednoduchá uzavřená po částech hladká křivka a B = ľ U intľ. Platí-li : a) zobrazení P je spojité a prosté v B; b) P má omezené a spojité parciální derivace Pu a P„ v B — K, kde K je množina konečného počtu bodů ležících na T; c) Pu x P„ ŕ 0 v B - K, potom množina Q = {X = P(u,v) G E3; [u, v] € B} se nazývá jednoduchá hladká plocha v E3 , zobrazení P její parametrizací a množina c — {X = P(tt, v) G E3; [u, v] € ľ} její okraj. Vektor ň = ±PU x P„, [u, v] 6 B - K nazýváme normálovým vektorem plochy, přičemž znaménko + , resp. - , odpovídá souhlasné, resp. nesouhlasné, orientaci plochy Q s její parametrizaci P. Jednotkový vektor normály označme n°. Rikáme, že plocha Q a její okraj c jsou souhlasně orientovány, jestliže pro směr křivky c a normálu ň plochy platí pravidlo pravé ruky. Poznámka : V geometrických a fyzikálních aplikacích se často používá tzv. rádiusvektor r = (x,y,z) bodu X = [x,y,z]. Potom vektorová rovnice f(t) = (x(t),y(t),z(t)j, t e / vyjadřuje křivku c : x = x(t), y = y (t), z = z(t), tela, podobně r(u,v) = (x(u,v),y(u,v),z(u,v)^j, [u,v] e B C E2 vyjadřuje plochu Q : x = x{u, v), y = y{u, v), z = z(u, v), [u, v] E B. Prikladali. Je dána polovina kulové plochy Q : x2 + y2 + z2 = a2, a > 0, (2 > 0) orientovaná normálovým vektorem ň = (n1,n2,n3), kde n3 > 0. Rozhodněte, která zobrazení P(u, v) jsou parametrizacemi plochy Q. , kde [u, v] € B : u2 + v2 < a2, a) P(tt, v) = ^u, v, v/o2 — u2 — v b) P(u,v) = 2a2u 2o?v 2o? a2 + u2 + v2' a2 + u2 + v2' a2 + u2 + v2 B :u2 + v2 < a2, , kde [u, v] E B, c) P(u,v) = [o cos u cos v, cl sin u cos v, a sin v], kde [u, v] € B = (0,2n) x. (0, —}. Řešení: Dosazením se můžeme snadno přesvědčit, že ve všech případech platí rovnice x2 + y2 4- z2 = a2. a) Funkce P„ = (l, O, U ), P„ = (o, 1, -7==4==) nejsou spojité v V a —u1 — v1' v va2 — u2 — v2' a nejsou omezené pro u2 + u2 = a2, což je celá hranice Ts ( má nekonečný počet bodů). Z toho vyplývá, že dané zobrazení není parametrizací. b) P(u, v) je spojité, prosté zobrazení v B. Snadno se přesvědčíme, že na B skutečně vychází z > 0 : 2a3 z = a2 + u2 + v2 — a = a(a2 — u2 — v2) a2 + u2 + v2 ' 5 : u2 + v2 < a2 Nyní spočítáme Pu, P„ a normálový vektor * j 2a2(a2 - u2 + v2) -Aa2uv n = Pu X P„ = / \ = ^q2 + u2 + viy (3a«(a2 + u2 + v2), 3av(a2 + u2 + u2), a4 - (u2 + v2)2J ^ 0 pro všechna u2+v2 < a2; n3 = a4-(u24-u2)2 = ^a2 + (u2+í;2)^ • (a2-(u2+v2)^ > 0. Dané zobrazení je parametrizací plochy Q . Orientace plochy je souhlasná s danou parametrizací. c) Zobrazení vychází z popisu kulové plochy ve sférických souřadnicích. Víme, že 7t toto zobrazení je prosté a spojité pro u e (0,2ir) & v e (0, —). Navíc jeho parciálni derivace Pu a P„ jsou spojité všude v E2 a ď - vr - v2 > 0 —6a u z>0. (a2 + u2 + v2)2 (a2+u2 + v2)2 (a2 + u2 + v2)2 -4a?uv 2a2(a2 + u2 - v2) -6a3v (a2 + u* + v2)2 (a2 + u2 + v2)2 (a2 + u2 + v2)2 n = i j k -a sin u cos v o cos u cos v Ô —ocos tisín u -asintismv a cos v = (a2 cos u cos2 v, a2 sin u cos2 v, a2 sin v cos v), 7!\ |n| = a cos u ^ 0 pro všechna u e (0,2tt),v 6 (0, -). Na hranici množiny B, kde u je libovolné a v = —, je n = 0. To znamená, že na hranici Tb je n = 0 v nekonečném počtu bodů a z toho vyplývá, že dané zobrazení není parametrizací plochy Q. • Navrhněte parametrizaci plochy Q, jejíž orientace je určena normálovým vektorem Hq. Zjistěte, zda plocha Q je orientována souhlasně či nesouhlasně s navrženou parametrizací: Příklad512. Q je rovnoběžník s vrcholy A = [1,1,1], B = [1,4,4], C = [0,5,6], D = [0,2,3], ňQ-k> 0. Řešení : Snadno se přesvědčíme, že A~B = DÚ = (0,3,3) a D_. C A~Ď = BČ=(-1,1,2). Q je část roviny určené bodem A a vektory Rovnici roviny napíšeme v parametrickém tvaru X = A ~B ^ + uA~Ě + vA~Ď. Za parametrizaci plochy Q zvolíme P(u, v) = A + uA~É + vA~Ď. 1 a/l x = 1 . - v y = 1 + 3tt + v z = 1 + 3u + 2v kde [u, v] e (0,1) x (0,1) ť j k 0 3 3 -1 1 2 = (3,-3,3). Z podmínky ňQ ■ k = (3, -3,3) • (0,0,1) = 3 > 0 vyplývá, že orientace plochy je souhlasná se zvolenou parametrizací. ■ PHklad51S. Q je kruh v rovině x = 2 se středem v bodě [2, -1,3] a poloměrem 4, ňQ = (-1,0,0). Řešení : Plocha Q je popsána rovnicemi (y + l)2 + (z - 3)2 < 16, x = 2. Nyní navrhneme zobrazení X — P(u, v) : a) í x = 2 €B = <0,4> x <0,27r), y = -l + ucos?; | n = P„ x P„ = (u,0,0) = 0 pro u = 0 z = 3 + usinv ^Opro u ^ 0. —* Toto zobrazení není parametrizací plochy Q, protože je Pu x P„ = 0 v nekonečném počtu bodů ležících na hranici množiny B . b) x = 2 y = — 1 + u z = 3 + v množina B : u2 + v2 < 16 ň = Pu x P„ = (1,0,0) # 0 pro všechny [u, v] € B. Toto navržené zobrazení je parametrizací plochy Q a orientace plochy Q je nesouhlasná s touto parametrizací, protože ňQ = (-1,0,0) = - Pu x P„. ■ Přiklad 514. Q : x2 + y2 = z, y > 0, z < 1, no([0,0,0]) = (0,0, -1) Řešení: Jde o část pláště rotačního paraboloidu a) Zvolíme zobrazení : x = u B :u2 + v2 <1 y = v | ň = Pu x P„ = (-2«, -2v, 1) z = u2 + v2 n / 0 v celém 5, (-2u,-2u,l) , n°([0,0,0]) = ň°(u = v = 0) = (0,0,1). V'4m2 + 4í;2 + 1' Navržené zobrazení je parametrizací. Plocha Q je nesouhlasně orientovaná s touto parametrizací, protože ň° = -uq. b) f x = ucosu [u,u] € S = (0,1) x (0,2?r) y=ttsinu | Pu x P„ = (-2íx2cosí;, -2u2únv,u) z = u2, n = 0 pro u = 0. Zobrazení není parametrizací plochy Q. ■ 515. Plocha Q = {[x, y, z] € £3; x2 + y2 = 4, x > 0, z e (1,4)} je orientovaná tak, že vektor normály ňQ v libovolném bodě splňuje podmínku ňQ • i > 0. a) Ověřte, 7T 7T že zobrazení P{u,v) = [2cosu,2sinu,v], [u,v] € B,B = (--, -) x (1,4) je parametrizací plochy Q a rozhodněte o orientaci plochy vzhledem k této parametrizaci b) Zdůvodněte, proč zobrazení P(u, v) = y/4 — u2, u, uj, [u, v] € B, B = (—2,2) x(l,4) není parametrizací plochy Q. a) orientace plochy Q je souhlasná s parametrizací, b) Pu je nespojité v nekonečném počtu bodů množiny B. 516. QC4 Q:x2 + y2 = 4,x>0, 0 < z < 4, nQ([2,0,2]) = (1,0,0) x = 2 cos it [u,v] € <—f,§) x (0,4) 517. Q : z = xy, x2 + y2 < a2, a > 0, • > 0 y = 2 sin w | orientace plochy Q je z = v souhlasná s parametrizací x = mcosv [u,v) € (0,a) x (0,2ir) | zobrazení není y = u sin v « = w2 sin v cos v parametrizací 518. Q : (ž/ 41)2 + z2 = 1, a: € (-1,3), nQ([0,0,1]) = (0,0, -1) x = u {ti, v] e (-1,3) x (0,27r) y = 1 + 2 cos v | orientace plochy Q je z = sin v souhlasná s parametrizací 519. Q : 2x + 3y + z = 6, x > 0, y > 0, z > 0, nQ = K, n2, n3), > 0 0<«<6-2«, 0 souhlasná s parametrizací V.2. Plošný integrál skalární funkce (Plošný integrál prvního druhu) Nechť Q je jednoduchá hladká plocha v E3 s parametrizaciX = P(u, v), [u, v] 6 B C E2. Nechť f je skalární funkce definovaná a omezená na ploše Q. Říkáme, že f je inte- grovatelná na Q, jestliže dvojný integrál J j f(p{u,vÝj • \Pu(u,v) x P„(u, v)\ dudv existuje. V tomto případě pokládáme jjfdp = j j í(p(u,v)y\Pu{u,v)*Pv{u,v)\dudv. Je-li plocha Q C E3 jednoduchá po částech hladká, Q je sjednocením jednoduchých hladkých ploch Qi,...,Qk o / je funkce integrovatelná na každé ploše Qul < i < k, pak je POZNÁMKA : Víme, že ani existence ani hodnota dvojného integrálu ffB f du dv nezávisí na "chování" funkce / na množině míry 0. Z toho plyne, že lze počítat ffQfdp použitím zobrazení P(u, v), které sice není parametrizací plochy Q, ale požadované podmínky na parametrizaci jsou porušeny pouze na množině míry 0 v B. • Rozhodněte o existenci plošného integrálu a v kladném případě integrál vypočítejte, plocha Q C E3 : Příklad 520. J j dp, kde Q:(x-2)2 + y2 + z2 = 1, (z > 0) xv ln txl Řešení: Integrál neexistuje, neboť funkce f(x, y, z) = —-— není definovaná pro z = 0 a není omezená v žádném okolí bodů s nulovou z-tovou souřadnicí. ■ Příklad 521. f f -=-fP , Q : x2 + y2 + {z - 3)2 = a2, a > 0 JJq x2 + y2 + z2 -1 Řešení : Pro existenci integrálu je postačující spojitost integrované funkce na ploše Q. Tato podmínka je splněna vždy, když Q je disjunktní s kulovou plochou x2 + y2 + z2 = 1, což platí pro a € (0,2) U (4, oo). Naopak, pro a e (2,4), integrál neexistuje, protože funkce / není na ploše Q omezená. Nyní integrál spočítáme použitím parametrizace plochy Q: x = acosucosu u e (0,2n) = y = asin«cost> | v &{--,-) \ = „gcos!iucosl!v+a,„na.eo.a.+(a.H,.i..)ä-i = 2 = 3 + asint; |P. x.P,| =oacosw = .a+s+^in.' =//.1 ■ |p»x p"'iuiv=I.\ (f *0 * - a2 f* 6acos?j , 7ra f, . 2 , 0 , . . ,1i jra o' + S + ba = 2tt— / —-dv = — lna2+8+6a sinu = —-ln —— 6aJ t a2 + 8 + 6asnt; 3 L 1 'J-f 3 la2 + 8-6a 7ra , i a2 + 8 + 6a • Vypočítejte integrály na ploše Q C E3 : Příklad 522. J J xydp,kde Q:x2 + y2 = 4, 0 O, z > O Rešení: Jde o část eliptické válcové plochy rovnoběžné s osou x. Použijeme zobecněné cylindrické souřadnice : x = u y = 3 cos v z = sin t; In,t;]€fl = x<0,-> |PU x P„| = |(1,0,0) x (0, -3 sinu, cos v) | = yj9 sin2 v + cos2 v = V8 sin2 v + 1 xyz dp = y^ u • 3 cos v sin v • \J8 sin2 v + 1 du ďu = /•3 /-t/2 -.- = 3 / údu- cos u sin u • v 8 sin2 u H-1 dv = 8sm'v + 1 = í 16 sin v cos vdv = dt ť g (1,9) = 3ÍŮ3 . i T Ví* = |(9 - 1) • i & = | • 2(27 - 1) = 13. L 2 J i 167i 2V , 16 L 3 Ji 4 3V ' Příklad 524. j j xz dp, Q je AABC, kde A — [1,0,0], B = [0,l,0]aC = [0,0,1] Řešení : Q je část roviny x + y 4- z = 1. Průmět vyšetřovaného trojúhelníka do roviny z = 0, je trojúhelník omezený přímkami x + y = 1, x = 0, y = 0 v rovině (xy). z - 1-x - y [x, y] € I> : 0 < y < 1 - x 0 < x < 1 = y/Š dxdy J J xzdp = J ^ x(l — x — y) • VŠdy^j dx = =^3-y1 (xd - x) [yj;- -1 [y2];-1) dx=v^y1 (*a - x? - f a - *>») dx 2 y0 2 L 2 3 4 Jo 2 4 3 4} 24 Poznámka : Plochu Q jsme mohli též parametrizovat 0 < v < 1 - u x = u y = V z = 1 — u — v 0 < u < 1 |P„ xP„| = n/3 Přiklad Rešení: Plocha Q je část pláště rotačního kužele (osa y je osou rotace), ležící uvnitř válcové plochy x2 + z2 — 2x. Použijéme-li dané vyjádření plochy y = g(x, z), potom Wi+(!)2+(l)2^- Průmět plochy Q do roviny (xz) je kruh D : x2 + z2 < 2x —> (x — l)2 + z2 < 1. Nyní můžeme z plošného integrálu přejít k dvojnému integrálu : Q ■ y = y/x2 + z2 Z dxdz = \Í2dxdz z2 x2 + z2 x = r cos

= 4\/2 ^2 y cos5 tp díp+0+O^j = liché funkce 526. y^ (x + y + 2) dp, Q : x2 + y2 + z2 = a2, z > 0, a > 0 527. yy (x2 + y2) dp, Q:z = x/x2 + y2, 0 < z < 1 528. yy x dp, Q : z = 1/a2 - x2 - y2 529. fjzdP> Q :2z = x2 + y2, 0 < z <1 7T [Ž'(1 + 8V5)] V.3. Aplikace plošného integrálu skalární funkce • Vypočítejte obsah plochy Q C E3 : Přiklad 530. Q je část roviny 12x + 3y + 4z = 12 ležící v prvním oktantu. 12 - 12x - 3y Řešení : 12x + 3y < 12, x > 0, y > 0 dp= /1 + (|£)2 + (|£)2dldž/ 1 y \dxJ \dyJ " D: 0 0 —> S = 2 jJ dp Qi: z= v/16 -x2-y2 D : -II. 4 dxdy x2 + y2<9 x = r cos

< 2;r /•2jt /»3 = 8/ / rdrdip y/16 - r2 Přiklad 532. Q je část plochy z = 2xy ležící v prvním oktantu uvnitř válcové plochy x2 + y2 = a2. Řešení: dxdy = x2 + y20,y>0 x = r cos ^ Q '■ z — 2xy dp — y7! + 4y2 + 4x2 dx dy [x,y]€D: *2 + í>2 < «2 * > 0, y > 0 0 < r < a y = r sin (p 0<^<-J = r í -I I * JQ JO + 4r2 • rdrdip = _ 7t i r " 2 " 8 J0 7t Vl + 4r2-8rdr = — lo 2(1 + 4r2)3/2 = ^((l + 4a2)v/TT4^-l). - o _ Přiklad 533. Q je část kuželové plochy z = v^2 + y2 ležící uvnitř válcové plochy x2 + y2 = 2x. Řešení: = 11"»= Ql z=y/x2 + y2 dP = \A + "ä?-? + 2*1 2 dxdy = Ví dx y x2 + y2 x2 +y2 x2 + y2<2x—>(x-l)2+y2 0, y > 0, z > 0 [^] 539. Q je část kulové plochy x2 + y2 + z2 = 12 ležící uvnitř paraboloidu x2 + y2 = 4z. [8tt(3 - VŠ)} 540. Q : z = 4- yjx2 + y2, 0/a;2 + y2 vytínané rovinami x = 0, y = 0, 2x + 3y = 6. [3vTf] 2 2 X V 542. Q je část roviny 2x + y — z = 0 ležící uvnitř eliptické válcové plochy--h — = 1. 9 16 [12\/67r] 543. Q je plocha daná parametrickým vyjádřením x = u + v, y = u — v, z = 4v, [u>t/]e<0,l)x(0,l>. [6] 544. Vypočtěte hmotnost plochy Q : x2 + y2 + z2 = o2, 2 > 0 (a > 0) při plošné hustotě g{x, y, z) = z. [na3] 545. Vypočtěte hmotnost plochy Q : x + y + z = 1, x > 0, y > 0, z > 0 při plošné hustotě g(*,y,z) = {1 + x + y)2- Kln2-Ž)l 546. Vypočtěte těžiště části kuželové plochy z = yjx2 + y2 vyříznuté válcovou plochou x2 + y2 = ax, (a > 0), je-li hustota konstantní (g = k) . [t = [^,o, ^p]] 547. Vypočtěte těžiště plochy Q : x = \/y2 + z2, y > 0, 0 < x < 2 při plošné hustotě g(x,y,z)=x. [T=[!'f-°]] 548. Vypočtěte souřadnici yr těžiště T plochy Q : x2 + z2 = 4, a; > 0, z > 0, y G (0,3) při plošné hustotě £ = xyz. [2] 549. Vypočtěte statický moment vzhledem k ose rotace povrchu homogenní polokoule o poloměru R,g=k. (3* + 4)fcfl3] 550. Vypočtěte moment setrvačnosti vzhledem k ose z homogenního trojúhelníka s vrcholy [a, 0,0], [0, a, 0], [0,0, a] (a > 0, g = k). a4fc] 551. Vypočtěte moment setrvačnosti vzhledem k ose z homogenní plochy Q = Qi u q2, kde : x2 + y2 < 16, z = 0, Q2 : z = 4 - ^x2 + y2, z>0, (g = k) . [128kir(í + y/2)] 552. Vypočtěte moment setrvačnosti vzhledem k ose z homogenní plochy Q : z2 = %{x2 + y2), 0 < z < h, (g = k). [IJkVtfTh*] V.4. Plošný integrál vektorové funkce (Plošný integrál druhého druhú) Nechť Q je orientovaná jednoduchá hladká plocha s jednotkovým vektorem normály ň°. Nechť f je vektorová funkce omezená na Q a nechť skalární funkce f-ň° je integrovatelná —* ■ na ploše Q. Potom říkáme, že f je integrovatelná na Q a značíme f f f-dp= [f f-n°dp J Ja JJq Je-li X = P(u, v) parametrizace plochy Q definovaná na množině B C E2, pak plošný —* integrál vektorové funkce f lze spočítat vzorcem : J J f-dp = ±JJ /• (P„ x P„) du dv, přičemž znaménko vybíráme podle toho, zda plocha Q je souhlasně, resp. nesouhlasně, orientovaná s parametrizací P{u, v). poznámka : Často se používá i jiné značení : Je-li / = {f\,f2,Jz), pak plošný integrál —♦ vektorové funkce / se dá zapsat : jj / • ďp = jj fxdydz + f2dxdz + fadxdy • Vypočítejte dané plošné integrály j j f ■ dp na ploše Q C E3 : Příklad553. f = (xz2,yz2, (x2 + y2)zj, Q : x = ucosv, y = usinv, z = bv (šroubová plocha), [u,v] 6 (0,a) x (0,27r) (a > 0,6 > 0), orientována normálou ň = (ni,n2,n3), kde ra3 > 0. Rešení: jjQ(xz2, v*2, (*2 + y2)z) ■ dp = Q : P„ = (cos v, sin v, 0) P„ = (—u sin t>, u cosi), 6) n = P, xP, = (6 sinu, — 6cosv,u) —► n.3 = u > 0 —► —► orientace plochy je souhlasná s parametrizací /• (Pu x P„) = («cos t; • 62t;2,tisint; ■ b2v2, u2bv) ■ (bsint), -6cos«,ti) = = 63tit;2 sin v cos t; — 63ttt;2 sin v cos v + bu3v — bu3v = j i^j bu3v duj dv = b ru4i a r2i 2tt . 4 . 0 .2. 0 1 2 4i = -7T a b. 2 PHkladbhA. / = (-y,x,x2y2z), Q : x2 + y2 + z2 = o2, z < 0, a > 0, n°([0,0,-a]) = -k. Řešení: Q: n°~ jj (-y,x,x2y2z) -dp = (x,y,z) _ (x,y,z) a jx2 +y2+Zl fT([0,0, -o]) = (0,0,-1) orientace plochy je souhlasná s ň° Q- « = -v/o«-x2-y2 y'a2 — x2 — j B: x2 + y2 0) je orientována n° = k. Řešení: J J (x, y,z)-d% = Iq Q : x— u y = V z— a \u,v\ e (0,a) x (0,a) Ä = P„xP„ = (0,0,1) q je souhlasně orientovaná s n° /•(P, x P.) = («,«, o) -(0,0,1)= a na a dudv = o3. PMWad 556. Spočítejte plošný integrál j J z2 dx dy, kde Q je plocha x2 + y2 + z2 = 4, z > 0 orientovaná normálovým vektorem n°([0,0,2]) = k. v —* Řešení: Integrál lze chápat jako tok vektorového pole / = (0,0, z2) danou plochou Potom j j z2 dxdy = j J /• dp = J J f • fí° dp = \n° = í£i|l?) 0 0, jejíž normálový vektor —* splňuje podmínku ň • k > 0. Řešení: Podle definice se tok $ vektororového pole / plochou Q vyjádří integrálem // / • dp. Použijeme // f - dp = II f ■ n°dp = JJq JJq JJq x2 + y2 < 4 Q- z = 4-x2 -y2,z>0 n • > 0 n=(2x 2u 1) *°- (2x,2y,l) ( ' y'1),n V4*2+V + l = //>-X' (2x,2y,l) dp = y/4x2 + 4y2 + 1 ^ /7q v/4x2 + 4y2 + 1 dp = ^l + (!^)2 + (^)2dxdw = v/4x2+4y2 + ldxdy [i,j]6D: x2+y2<4 4 — x2 — y2 x2+y2<4 y^x2 + 4y2 = • y/1 + 4x2 + 4y2 dx dy = ^J" (4 - x2 — y2) dx dy = z2+u2<4 2 ^4,2 = (polární souřadnice) = y yj (4 - T2)r drj d(f = 27t |4— - —j ^ = 87t. Přiklad 558. f = (x, y, z), Q : x2 + 9y2 = 9, 0 < z < 4, n°([3,0,0]) = -í Řešení : J j f. ďp = ±jj^ f • (P„ x P„) dudv = Q '■ x = 3 cos u y = sin u 2 = V B : 0 < u < 2tt 0 < t; < 4 Pu x P„ = (-3 sin u, cos u, 0) x (0,0,1) = = (cos u, 3 sin u, 0) n([3,0,0]) = n(u = 0,v = 0) = -(1,0,0) —> ň = — (cosit,3sinu,0) 11s = — J {^J (3 cos u, sin u, v) • (cos u, 3 sin u, 0) duj dv = -~ f (fQ (3cos2u + 3sin2u)du) du = -3-27r-4 = -24n. Příklad 559. f = (x,y-z, 2z), Q je trojúhelník o vrcholech A, J3, C, kde A = [3,0,0], B = [0,2,0], C = [0,0,6], n-í<0. Řešení: Q je část roviny, jejíž rovnici napíšeme v úsekovém tvaru 2x + 3y + z = 6 x y z ■ - + - + - = 1 3 2 6 Tok $ Q je rovina s normálou n = ±(2,3,1) z podmínky n • i < 0 plyne, že n = —(2,3,1) -o = JL = -(2,3,1) _ -(2,3,1) = (ar, y - z, 2z) (-2,-3,-1) |n| 74 + 9 + 1 v/Í4 dp \/Í4 VIVJJQ Q : z = 6 - 2x - 3y = —L jj (-2x - 3y + 3z - 2z) dp = =wJL(z-2x-3v)dp= dp = y/\ + 4 + 9 dx dy = y/lidx dy [x, y) € £>, kde D je průmět A ABC do roviny (xy), což je A0.A.B .6-2* D : 0< y < 6 - 2x 0 0,y > 0},Q2 = {[x,0,z] € £3;:c2-r-z2 < l,x > 0,2 > 0}, jednotkovým vektorem normály plochy Q2 je ň2 = —j. Řešení: V souladu s normálovým vektorem ň\ = —j bude —* jednotkový vektor normály plochy Qx ň° = — k. Tok$= [f f'ďp= [[ f-dp+ [[ /ďp = J J J J Q, J JQi q1dq2 = fí f-ň°1dP+ [[ f-ň°2dp = JJQi JJQ2 Qi: z = 0,ňi = (0,0,-1) x2 + y2 < 1, a; > 0, y > 0 /•fí? = (x2 - y2, y2, -x2)- (0,0,-1) = z2 Q2: y = 0,n°2 = (0,-1,0) x2 + 22 < 1,x>0,z>0 /■as = (x2,-22,*2-x2)-(0,-1,0) = z2 // *,**+ // II x2+y2 < 1 x > 0, y > 0 x2 + z2 < 1 x > 0, z > 0 x2 + y2 < 1 x > 0, y > 0 1 1c (polární souřadnice) = 2 jf ' ( jf ■ r3 COS2 p dr) dp - 2 [ j] ^ • 1-+^s2^ ^ = lr SU^UJI*/2 7r -ílV+J J. =8- 561. Vypočítejte plošný integrál jf^ x2 dydť + z2 dxdy, Q : x2 + y2 = z2, 0 < z < 1, n svírá tupý úhel s vektorem k. j^Ij • Určete tok $ vektorového pole / plochou Q C E3 orientovanou normálou ň : (j562^/= (0,0,2), Q je trojúhelník o vrcholech A = [0,0,0], B = [5,0,0], C = [0,4,1], normála svírá s vektorem k = (0,0,1) ostrý úhel. [20] —♦ 563. / = (x, y, 0), Q : z = 9 - x2 - y2, z > 0, normála n = (m, rc2, rc3) má souřadnici n3 kladnou. [si^j 2 564. /= (y, -x, z), q : z = x2 + ^- - 4, y > 0, z < 0, n • jfc < 0 [i2tt] 565. / = (x, y, z), Q : je část válcové plochy x2 + y2 = 9, 0 < z < 4, n°([3,0,0]) = -l [-727t] 566. /= (x,y,-2z), Q : y = 9 - x/x2 + z2, y > 3, n • j < 0 [-108*] 567. / = (x, y, -z), Q : x2 + y2 + z2. = 4, x > 0, n°([2,0,0]) = -i 568. / = (z,x2 + y2,1), Q : z2 = x2 + y2, 0 < z < Ä, n ■ k < 0 [-h**] 569. / = (x, y, x2 -I- y2), Q je část válcové plochy x2 + y2 = b2, 0 < z < h, y > 0, n°([6,0,0]) = ľ. 570. / = (z, x, y), Q:x + z = 2, x2 + y2 < 4, ŕT =-^=(1,0,1) [87r] 571. / = (y,-x, z), Q:z = 4-x2-£, y > 0, z > 0, n-£>0 [27r] 572. / = (x,y,3z), Q : z = x2 + y2 + 1, 1 < z < 2, x > 0, y > 0, n • £ < 0 [J*] 573. f = zľ-xj+ y k, Q je rovnoběžník s vrcholy A = [0,0,0], B = [0,3,3], C = [-1,4,5], D = [-1,1,2] orientován normálou n = (1, -1,1). [12] 574. / = (x2, y2, z2), Q je část válcové plochy + — = 1, z > 0, 0 < x < 3, lo 4 ^([1,0,2]) = -*. (_64] V.6. Gaussova-Ostrogradského věta —* Má-li vektorová funkce f = (/1} /2, /3) spojité parciální derivace v otevřené množině G C Ií3, poA; skalární funkci nazývame divergencí vektorového pole f. Pole f se nazývá solenoidální v G, jestliže tok vektorového pole f každou jednoduchou uzavřenou po částech hladkou plochou Q C G je nulový. Věta G.-O. : Nechť a) funkce f — (f\,f2,fz) má spojité parciální derivace v oblasti G C E3; b) Q C G je jednoduchá uzavřená po částech hladká plocha orientovaná jednotkovým vektorem vnější normály, c) int Q C G. Potom J J f • ďp = J j j div / dx dy dz ® int Q Přiklad575. Jsou dány skalární funkce u(x, y, z) = xy2 - y3z2 a vektorová funkce f(x, y, z) = (xy2, x2 + 2z, Zyz) v E3. Spočítejte div (grad u) a div (rot /). Řešení: grad u = ^—, ^,^J = (y2,2xy - Sy2z2, -2y3z), div (grad u) = O + 2x - 6yz2 - 2y3; rot/ —* i 3 k i —♦ 3 k d d d d d d dx dy dz dx dy dz fi h h xy2 x2 + 2z 3yz = (3z-2,0,2x-2xy), Přiklad div (rot f) = 0. /I 2 576. Ověřte, že pole f(x, y,z) = - + 3y + 5,2x---3,1 + \x y solenoidální ve svém definičním oboru G C E3. x' 2z y 2) Je Řešeni: Pro definiční obor musí platit i^O a y 0. Dostaneme oblasti G{, i — 1,2,3,4 : Gi = {[x,y,z] eE3:x<0,y< 0}, G2 = {[x,y,z] eE3:x<0,y> 0}, G3 = {[x,y,z] eE3:x>0,y< 0}, G4 = {[x,y,z] eE3:x>0,y> 0}. Stačí ověřit, že hodnota toku vektorového pole / libovolnou jednoduchou uzavřenou po částech hladkou plochou Q C G, intQ CG je 0. K výpočtu toku použijeme větu G.-O., jejíž předpoklady jsou splněny : j j f'd%= jjj"div /dxdydz, ^ int Q 1 2 1 2 n kde div / = —ô + ~í + ~ô--9 = u- Přiklad577. Je dáno vektorové pole /(x,y, z) (2~Ž/,X,-X) Určete definiční obor x2 + y2 + z2 G C E3 funkce / a ověřte, že div / = 0 v G. Ve kterých z následujících případů Jj f • d\o existuje a kdy lze použít větu G.-O. ? a) Q:x2 + y2 + z2 - 4x = 0; b) Q je povrch kvádru : x = —l,x = 3, y = -2, y = 1, z = -l,z = 1; c) C? : x2 + y2 + z2 - 6y + 5 = 0. Řešení: Definiční obor je E3 — [0,0,0]. Snadno se přesvědčíme, že div / = Q : div /(X) = - (z-y)-2x _ (x2 + y2 + z2)2 \x2 + y2 + z2)2 ' (x2 + y2 + z2)2 x-2y | x-2z _0 a) Q : (x2-4x + 4) + y2 + z2 = 4 —► (x-2)2 +'y2 + z2 = 22, [0,0,0] €Q; integrál neexistuje a nelze použít větu G.-O.; b) [0,0,0] £ Q —► integrál existuje, ale [0,0,0] € int Q —> nelze použít větu G.-O. c) Q: x2 + (y-3)2 + z2 = 4, [0,0,0] Č Q, [0,0,0] Č intQ. Daný integrál existuje a lze použít větu G.-O. J J /-ďp = JJJdiv f dxdy dz = 0. int Q • Užitím věty G.-O. vypočtěte tok vektorového pole / vnější stranou uzavřené plochy Q Příklad578. f = (3x + y, 2y - z + 5, x + 2y + z), Q je povrch tělesa omezeného rovinami x = 0, y = 0, z = 0, x + z = 1, y = 2. Řešení : Tok $ = ^ f-ďp= JJJdiv f dxdy dz = = JJJ(Z + 2 + l)dxdydz = int Q dx dydz = ( JJJdxdydzse rovná objemu vnitřku int Q plochy Q, což je objem trojbokého hranolu) = 6 int Q 1 • 1 2 = 6. Pfí3Wod579. / = (xy2, yz2, zx2), Q = QlUQ2U Q3, kde Qx : x2 + y2 + z2 = 1, z>0; Q2:^2 + y2 + z2 = 9, z>0; Q3 : 1 < x2 + y2 < 9, z = 0 Řešení: z i i \ l 1 3 xy $ = J J f • ďp= J J J div / drr dy dz = ^ int Q intQ: l0 + z + x ) da; dy dz = x = r cos u cos u 1 < r < 3 y — r sin u cos v 0 < u < 2n z = r sin u J = r2 cos v = / ŕ / í / r2 • r2 cos v dr J du J dv = / cos vdv • du- ŕ4 dr = r tjt/2 rr5i3 1 n x2 + j/2 + z2 = r2 f2jľ 4847t Príklad 580. Určete tok $ vektorového pole f = (x, y, -z) plochou Q : x2 + y2 + z2 = 4, x > 0, orientovanou normálovým vektorem n°([2,0,0]) = —i. Řešení : Plocha Q je polovina kulové plochy s body majícími a>ové souřadnice nezáporné. Takto zadaná plocha není uzavřená. Tok $ touto plochou můžeme spočítat pomocí plošného in- tegrál —* -j f ■ dp. Chceme-li použít větu G.-O., musíme (*) přidat ještě plochu Qi tak, aby QuQi byla plocha uzavřená, stejně orientovaná. Tedy U f • dp + J J ■/• tp = ± JU div f dxdydz f-dp = ďp = int (QUQi) Qi :.x = 0,y2 + z2 < 4 n° = (1,0,0) normály ploch Q,Qi směřují dovnitř = 11 (x,y,-z)-n°dp= J! (0,y,-z)-(l,0,0)dp = 0 Ql y2+z2<4 Vrátíme se k (★) a při použití věty G.-O. pamatujeme, že normály směřují dovnitř, takže před trojným integrálem na pravé straně napíšeme znaménko minus. ll f • ďp + 0 = - Hl (1 + 1-1) dxdydz = (± objemu koule) = ^ int (QUQi) 1 4 . 16 = — — • — 7t • 2 =---7t. ■ 2 3 3 • Užitím věty G.-O. vypočtěte tok <Ž> vektorového pole / po částech hladkou uzavřenou a orientovanou plochou Q : 581. / = (x, y, z), Q je povrch kužele s poloměrem podstavy a a výškou b, orientace vnější normálou. [™2b] 582. / = (xy2, yz, x2z), Q je povrch dutého válce omezeného plochami Qx,: x2+y2 = 1, Q2 '■ x2 + y2 = 4, Qz : z = 1, Q4: z = 3, orientace vnější normálou. [27*] 583. /=(x3,ž/3,23)) Q = Q1UQ2 Qi:a:2 + y2 + z2 = l, z < 0, Q2 : z = 0, x2 + y2 0), orientace je dovnitř plochy. [27ra3] 588. / = (x2, y2, z2), Q je povrch tělesa omezeného -2 < z < 4 - x2 - y2, x2 + y2 < 4, orientace je dovnitř plochy. [~Yn] 589. / = (x, y, z), Q je povrch tělesa omezeného plochami x2 = y2 + z2, x = 3, orientace vnější normálou. [27*] 590. / = (x3, z, y), Q je povrch tělesa omezeného plochami z = x2 + y2, z = 4, orientace vnější normálou. [yrr] 591. / = (2xy, -y2,2z), Q : — + — + — = 1, orientace vnější normálou. [32*] ~r *7 592. / = (x, y, x2 + y2), Q je povrch tělesa omezeného plochami x2 + y2 = b2, z = 0, z = a, y = 0 (y"> 0, o > 0), orientace vnější normálou. [62o7r] 593. / = (x,y,z), Q je část válcové plochy x2+y2 =9, 0 < z < 4 (plocha je otevřená), n°([3,0,0]). = —i . Výpočet proveďte a) přímo pomocí plošného integrálu; b) Užitím Věty G.-O. (Plocha se musí uzavřít pomocí Qi : z = 0, Q2 : z = 4). [-72*] 594. / = ( —--, —--, x2 + z J. Ve kterých následujících zadáních plochy Q lze \xz + y* x + y J použít větu G.-O.? V kladném případě vypočítejte J J f-d~p.&)Q:x2+y2+z2 = 4, orientace vnější normálou; b) Q je povrch kvádru omezeného rovinami x = 0, x = 1, y = 1, y = 3, z = 2, z = 5, orientace vnitřní normálou. [a)nelze; b) lze; -6] V.7. Stokesova věta Nechť : a) vektorová funkce f má v oblasti G C E3 spojité parciální derivace; b) c C G je jednoduchá uzavřená po částech hladká orientovaná křivka; c) Q C G je jednoduchá po částech hladká plocha s okrajem c, která je souhlasně orientovaná s křivkou c. Potom platí J. ds = j j rot / • ďp • Užitím Stokesovy věty vypočtěte cirkulaci T vektorového pole / po křivce c orientované normálovým vektorem n roviny, ve které křivka c leží: Přiklad 595. f = (y + z,x + z,x + y), c je uzavřená křivka x2 + y2 = a2, x + z = 0 orientovaná souhlasně s normálovým vektorem n = (1,0,1). Řešení: Křivka c je řezem válcové plochy x2 + y2 = a2 rovinou x + z = 0. Je tedy elipsou. rot f • dp = inte rot / = t j k Ž. JL JL 9x dy dz y + z x + z x + y = (0,0,0) int c 0-dp = 0. Príklad 596. f = (-y, z, x), c: x2 + y2 + z2 = a2,2x - y + 2z = 0, orientace křivky je souhlasná s normálovým vektorem n = (2, -1,2). Řešení: Křivka c je řezem kulové plochy rovinou procházející středem této plochy. r -ff rot f ■ dp = inte —+ rot / • n° dp = inte rot /= i j k d_ Ô_ d_ dx dy dz —y z x = (-1,-1,1) tni c : x2 + y2 + z2 < a2,2x - y + 2« = 0 = \ff (-1,-1,1)-(2,-1,2) int c dp = — dp = — • S (S je plošný obsah řezu) = — Tra2. i int c Příklad597. f = (y2, z2,x2), c je obvod trojúhelníka o vrcholech A = [2,0,0], B = [0,2,0], C = [0,0,2], orientace křivky je souhlasná s normálovým vektorem ň = (—1, —1, —1). Řešení: j>f-ds = J J rot /• d\o = J J rot f •ň°dp = A ABC A ABC rot / = i j k JL iL iL dx 9y 02 „2 „2 _2 y 2 x = (-2«, -2x, -2y) (-1,-1,-1) rot / • řř = (-2x, -2y, -2z) \/3 (-1,-1,-1) _ 2x + 2y + 22 VŠ n/3 -^//(*+»+*)*- A ABC = jj 2 • VŽ dx dy = 4P, A ABC: x+y+z=2 z — 2 — x — y dp = \/l + 1 + 1 dx dy [x, y] € A OAB ÄČMB = 8. AOAB 598. / = (x, y, z), c : y2+z2 = 1, x+z = 1, orientace krivky je souhlasná s normálovým vektorem (1,0,1). [0] 599 / = (x+l,x+y,l-2z), c je obvod A ABC, A = [3,0,0], B = [0,2,0], C = [0,0,6], orientace křivky je souhlasná s normálovým vektorem n = (2,3,1). [3] 600. / = (yz, xz, xy), c je obvod A ABC, A = [1,0,0], B = [0,2,0], C = [0,0,2], orientace křivky je souhlasná s normálovým vektorem ň = (2,1,1). [o] 601. / = (y, —z, x), c: x2 + y2 + z2 = a2, x — y = 0, orientace křivky je souhlasná s normálovým vektorem (1,—1,0). [y/2na2] 602. f = (—y, x, z), c : x2+y2 = a2, z = 5, orientace křivky je souhlasná s jednotkovým vektorem ň° = (0,0,1). [2na2] 603. / = (z, 2,5 + z), c: x2 + z2 = a2, y = 3, orientace křivky je souhlasná S ň" = (0,1,0). [iro2] 604. / = (y, z, x), c : x2+y2 = 4, x+z = 0, orientace křivky je souhlasná s ň = (1,0,1). ": M*] 605. / = (xy,yz,xz), c: y2 + z2 = 1, x + z = 1, orientace křivky je souhlasná S n = (1,0,1). [-2ir] 606. f = (z + 1, x — y, y), c je průsečná křivka kulové plochy : x2 + y2 + z2 = a2 s rovinou x + y + z = 0, orientace křivky je souhlasná s normálou ň, svírající ostrý úhel s vektorem k. [Vžna2] 607. / = ( . ^ —r^-—-, 2z + 1), č : x2 + y2 = a2, z = b, orientace křivky c je proti xz + y* x* + y2 hodinovým ručičkám, díváme-li se z bodu [0,0,26]. [0] 608. / = (x2 + 2y, y2 - 3x, z2 + 2x + 3y), c : x2 + y2 + z2 = 6, z = x2 + y2, orientace křivky je souhlasná s n = (0,0, —1). [íow] Přehled použití integrálů v geometrii a ve fyzice I. Plošný obsah rovinného obrazce D C E2 -SL dxdy 1) D a < x )d x=x(t) =y(t) í x = x(t) x 3) | y = y(t) y h 0 J kolem osy x : Vx = n í f2(x) dx, kolem osy j/: Vy = 2-K í x f (x) dx. Ja Ja III. Délka křivky c £ = lcdS 1) c C E2, c:y = f (x), a 0 kolem osy x 5 = 2tt f f{x)yj\+\f'(x)fdx J a obecněji S =2*L y ds, c C E2 4) Q je část válcové plochy rovnoběžné s osou 2, dané řídící křivkou c C E2 a omezené rovinou 2 = 0 a plochou 2 = f(x,y) V. Hmotnost m útvaru G C £2(resp.E3), při hustotě £(X"), X € G 1) G je rovinná deska D C £2, m — jj q(x, v) dx dy 2) G je těleso C E3, m = jjj g(x, y, 2) dxdydz 3) G je oblouk křivky c a) c C E2, m = j g(x,y)ds m = / ^(X)dX b)cC£3, m = J g{x,y,z)d8 4) G je plocha Q C E3, m = j j g(x, y, z) dp VI. Statický moment M útvaru G vzhledem k ose o (resp. k rovině a) M0= í fi0(X)-Q(X)dX, JG Ma = fGfiQ(X)-e(X)dX kde Ho{X) (resp. na(X)) je vzdálenost libovolného bodu X € G od osy o (resp. od roviny a.) 1) G je rovinná deska D C E2 Mx = II V e(xiV)dxdy> My = JJ^x ■ g(x,y)dxdy 2) G je těleso W C E3 a) vzhledem k ose, Mx = /// ^2/*"+**g(x,y,z)dxdydz; My, Mz analogicky JJJw b) vzhledem k rovině, Mxy = IH z-g{x,y,z)dxdydz; Mxz, Myz analogicky 3) G je oblouk křivky c a) c G £2, Mx = jy- g(x, y) ds, My = jf a; • p(x, y) ds b) c € £3, Ařx = y v/yT+^ • čfo *)ds ! Msn M* analogicky Mxy = J z-g(x,y,z)ds ; Mxz, Myz analogicky 4) G je plocha Q C E3 a) vzhledem k ose, Mx = j j y/y2 + z2 • g(x, y, z) dp ; My, Mz analogicky b) vzhledem k rovině, Mxy = j j z ■ g{x,y, z) dp ; Mxz, Myz analogicky Těžiště v E2:T = My Mx_ m ' m Těžiště v E3 :T = Myz Mxz Mxy m m m VII. Moment setrvačnosti I útvaru G vzhledem k ose o (resp. k rovině a resp. k bodu A) Io= í ň(X)^X)dX JG kde Ho{X) (resp. na(X) resp. ) je vzdálenost libovolného bodu X € G od osy o (resp. od roviny a resp. od bodu A.) např. pro těleso W C E3 : /z = y^ (a;2 + y2) • p(x, y, z) dx dy dz Iyz = j j j x1g{x, y, z) dx dy dz /[o,o,o]= [íl (x2 + y2 + z2)-g(x,y,z)dxdydz J J Jw VIII. Práce A sily / = (/i, f2, h) podél orientované křivky c C Ez A = j J- ds = fjidx + f2dy + f3 dz Cirkulace ľ je práce po uzavřené křivce ľ = j> f '• ds = = j>Jx dx + f2dy + h dz . Je-li c C E2, pak je /3 = 0, z = 0 IX. Tok $ vektororového pole / = (/i, f2, f3) plochou Q C E3 orientovanou jednotkovým normálovým vektorem n0. /•dp $ = ff fidydz + f2dxdz + f3dxdy = ffQf'ň°dp = = ± í í f. (Pu x P„) du dv, kde P = P(«, u) je parametrizace plochy Q. J JB(u,v) Doporučená literatura [1] B.BudínskÝ, J.CHarvát : Matematika ii SNTL/Alfa, Praha 1987 (Podrobná, dobře a ^zumtíelně napsaná učebnice. V současnosti je též vydávána jako dvoudílné skriptum pro Stavební fakultu ČVUT.) [2] S Čipera, M.Machalický : Tématické celky pro přednášky z předmětu Matematika ii - doplňkové skriptum Ediční středisko ČVUT, Praha 1988 (Soupis definic a vět s poznámkami .) [3] J.Neustupa, S.Kračmar : Mathematics ii ČVUT, Praha 1998 (Základní literatura pro přemet Matematika II vyučovaný v angličtině.) [4] K.Rektorys : Přehled užité matematiky SNTL Praha 1988 (Rozsáhlá encyklopedie aplikované matematiky napsaná pro potřeby technických věd.)