Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy MB102 – 11. demonstrovaná cvičení Vektorové prostory funkcí Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3.5. 2011 Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Plán přednášky 1 Domácí úlohy z minulého týdne 2 Návodné úlohy Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 1. Rozviňte do mocninné řady funkci f (x) = e−3x v bodě 0 a určete, pro která x ∈ R konverguje. Rozhodněte, zda je tato konvergence stejnoměrná. Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 1. Rozviňte do mocninné řady funkci f (x) = e−3x v bodě 0 a určete, pro která x ∈ R konverguje. Rozhodněte, zda je tato konvergence stejnoměrná. Řešení. f (x) = 1 + ∞ n=1(−1)n 3n n! xn, např. podílovým kriteriem zjistíme, že konverguje pro všechna x ∈ R. 2 Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 2. Udejte příklad posloupnosti {fn}∞ n=1 hladkých, Riemanovsky integrovatelných funkcí na intervalu 0, 1 , která bodově konverguje ke spojité funkci f , která je rovněž Riemanovsky integrovatelná, ale lim n→∞ 1 0 fn = 1 0 f . Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 2. Udejte příklad posloupnosti {fn}∞ n=1 hladkých, Riemanovsky integrovatelných funkcí na intervalu 0, 1 , která bodově konverguje ke spojité funkci f , která je rovněž Riemanovsky integrovatelná, ale lim n→∞ 1 0 fn = 1 0 f . Řešení. fn(x) = ne − 1 nx−n2x2 pro x ∈ (0, 1 n ) 0 jinak , pro n ≥ 2. 2 Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 3. Určete následující limitu: lim n→∞ ∞ 0 cos x n 1 + x n n dx. Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 3. Určete následující limitu: lim n→∞ ∞ 0 cos x n 1 + x n n dx. Řešení. ∞ 0 1 ex = 1. 2 Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Plán přednášky 1 Domácí úlohy z minulého týdne 2 Návodné úlohy Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Najděte ortonormální bázi vektorového prostoru generovaného funkcemi sin(x), cos(x) na intervalu 0, π/2 . Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Určete kolmý průmět a vzdálenost funkce x od tohoto podprostoru.