Sada domácích úloh k přednášce Matematika II
k odevzdání 23. května 2011
(stačí spočítat některé tři příklady nebo pouze příklad č.13)
Příklad 1. Rozhodněte, zda existují parametry a, b ∈ R tak, aby polynom
ax2
+ a2
x + b
splňoval podmínky
P(1) = 1, P(2) = −1, P(3) = 1.
Příklad 2. Určete limity posloupností:
1.
lim
n→∞
√
ln n,
2.
lim
n→∞
n2√
n!.
Příklad 3. Určete limity funkcí:
1.
lim
x→0
1 + 21/x
3 + 21/x
,
2.
lim
x→0
1 + 21/x
3 + 21/x
.
3.
lim
x→∞
e
√
x2−x
Příklad 4. Z definice (bez použití L’Hospitalova pravidla) určete určete derivaci
funkce 4
√
2x − 1.
Příklad 5. Určete vzdálenost bodu (1, 0) od paraboly y = x2
− x + 1.
Příklad 6. Určete maximální objem válce vepsaného do rotačního kužele o poloměru
podstavy r a výšce h.
Příklad 7. Určete integrály
1.
(9 + x2
)
3
2 ,
2.
sin4
(x) dx
1
3.
1
√
1 − x
dx
4. √
9 − 4x2
x
dx
5.
x arcsin(x) dx
6.
x2
+ x − 1
(x2 + 1)2
dx
7.
1
3 − 2 cos(x)
dx
Příklad 8. Vyčíslete integrály
1.
1
0
ln(x2
+ 1) dx
2.
3
1
ln x + x2 − 1 dx
3. ∞
2
dx
x ln2
(x)
4. ∞
−∞
dx
1 + 4x2
Příklad 9. Rozhodněte, zda konvergují následující řady
1.
∞
n
n
22n
2.
∞
n
n
3
4
n
2
Příklad 10. Rozviňte do mocninné řady funkci arctan(x) v bodě 0 a určete pro
která x ∈ R konverguje.
Příklad 11. Určete objem tělesa vzniklého rotací paraboly y = 3x2
+ 1 kolem
osy x pro x ∈ 1, 3 .
Příklad 12. Vyšetřete průběh funkce ln x2
−2
x−2 .
Příklad 13. Mezi polynomy třetího stupně s koeficienty v R najděte takový
f(x), pro který je hodnota maxx∈ −1,1 f(x) minimální.
3