Jméno a příjmení:
Příklad číslo: 1 2 3 4
Počet bodů:
Příklad 1. V čase t = 0 vyjelo auto z bodu A = [5, 0] rychlostí 4 jednotky za sekundu směrem (−1, 0). Ve
stejném čase vyjelo druhé auto z bodu B = [−2, −1] rychlostí 2 jednotky za sekundu směrem (0, 1). Kdy si
budou auta nejblíže a jaká bude tato vzdálenost?
Řešení. t = 1, 5s, vzdálenost
√
5 jednotek. 2
Příklad 2. Rozviňte do mocninné řady funkci ln(x3
+ 3x2
+ 3x + 1) v bodě 0 a určete, pro která x ∈ R
konverguje.
Řešení.
f(x) =
∞
n=1
3(−1)n+1
n
xn
,
konverguje pro x ∈ (−1, 1 .
2
Příklad 3. Určete integrál
1
0
(x + 2)
x3 + 2x2 + 3x
dx.
Řešení. Neurčitý intergrál je −1
3 ln(x2
+ 2x + 3) + 1
6
√
2 arctan(1
4 (2x + 2)
√
2) + 2
3 ln(x), určitý ∞, ten lze
určit bez počítání. 2
Příklad 4. Vyšetřete funkci
ln
1
x3 − 3x2 + 4
.
Řešení. . . . , lok. minimum v nule, asympt. bez směrnice x = 2, se směrnicí nejsou. Konvexní na celém def.
oboru (−1, 2) ∪ (2, ∞). 2
1