Cvičení 10: Číselné charakteristiky a transformace náhodných veličin
Teorie:
Strední hodnota diskrétní náhodné veličiny X s pravděpodobnostní funkcí px (x) nenulovou pouze pro Xj, kde i E I, je definována jako
E (X )= ^ x • px (x) = ^2 Xj • Px (xj).
ic=—oo j£l
Strední hodnota spojite náhodne veličiny X s hustotou fx (x) je definována jako
/oo x • fx (x) dx. -oo
Strední hodnotou nahodneho vektoru je vektor strední hodnot jeho jednotlivích slozek (nahodnách veličin).
Rozptylem (variancí) nahodne veličiny X, ktera ma konečnou strední hodnotu, nažívame číslo
D(X) = var X = E ([X - E (X )]2),
odmocnina z rozptylu \JD(x) se pak nažíva smerodatna odchylka. Na vypočet rozptylu je vhodne pouzít vzorec D(X) = E(X2) - E(X)2, platí rovnez D(a + bX) = b2D(X). Kovariancí nahodnych veličin Xi, X2 rozumíme
C(Xi,X2) = E(Xi - E(Xi))(X2 - E(X2)).
Je-li C(X1,X2) = 0, ríkíme, ze X1 ,X2 jsou nekorelovane. Stochasticky nezavisle nahodne veličiny jsou vzdy nekorelovane (nikoliv obracene, nulova kovariance pouze znamena nulovou linearní zívislost, nikoliv íplnou nezavislost!). Koeficient korelace je jen speciílní nízev pro kovarianci dvou normovaních nahodnych veličin:
Kvantily: Pro ryze monotoní distribuční funkci Fx (tj. spojitou níhodnou veličinu X s vsude nenulovou hustotou, jako je tomu napr. u normalního rozdelení) jde o inverzní funkci F—1 : (0,1) R. To znamení, ze hodnota y = F je takoví, ze P(X < y) = a. Obecneji, je-li Fx(x) distribuční funkce níhodne veličiny X, pak definujeme kvantilovou funkci
F—1(a) = inf {x E R; F (x) > a}, a E (0,1). Kvantil s a = 0,5 nazývame median.
1
Transformace (funkce) náhodné veličiny
Náhodnou veličinu X : Q — R můžeme pomocí vhodné třídy (tzv. borelovských) funkcí g : R — R transformovat na jinou náhodnou veličinu Y = g(X) vztahem //u G Q : Y (u;) = g(X(u)). Přitom pro rozdelení pravdepodobnosti diskrétní nahodne veličiny Y žřejme platí
p (Y = y)= £ p (X = Xi)
a pokud existuje inverzní funkce k funkci g (napríklad pri afinní žavislosti, ktera není konstatní), dostavíme pro pravdepodobnostní funkce vžtah
Vy (y) = Pg(x )(y) = px (g-1(y)).
Pro spojitou níhodnou velicinu s distribucní funkcí Fx dostívame ža predpokladu, že transformace g je rostoucí (analogicky klesající) funkce, vžtah
Fy (y) = P (Y < y) = P (g(X) < y) = P (X < g-1(y)) = Fx (g-1(y)),
odkud pro hustotu
dF(y)     f , -i( , ^dg(y)
Príklad 142. Uved'te príklad
a) diskríetní,
b) spojitíe
nahodne veliciny, pro nížž neexistuje strední hodnota.
Príklad 143. Pravdepodobnost žasahu cíle jedním vystrelem je 0,75. Nahodna velicina X udíva pocet žasahu pri 5 nežavislích vystrelech. Urcete její roždelení pravdepodobnosti, strední hodnotu, rožptyl a smerodatnou odchylku.
Príklad 144. Diskretní níhodna velicina X nabíví hodnot k = 0,1, 2, 3,... s pravdepodobností P (X = k) = p(1 — p)k (tžv. geometricke roždelení). Urcete E (X) (strední doba cekaní na íspech) a D (X).
Príklad 145. Nahodna velicina X mí hustotu fX (x) =    pro x G (1, oo) a jinde nulovou. Urcete její distribucní funkci, strední hodnotu a rožptyl.
Príklad 146. Nahodna velicina X mí hustotu rovnu fX(x) = cos x pro x G (0, 2) a jinde nulovou. Urcete strední hodnotu, rožptyl a median teto veliciny.
2
Příklad 147. Náhodná veličina X má hustotu rovnu fx (x) = \e~Xx pro x > 0, kde A > 0 je daný parametr rozdelení, a jinde nulovou (tzv. exponenciální rozdelení). Určete strední hodnotu, rozptyl, modus (realne číslo s maximalní hustotou, resp. pravdepodobnostní funkčí) a median teto veličiny.
Příklad 148. Diskrétní nahodní vektor (Xi, X2) mí simultanní pravdepodobnostní funkči n(0,-1) = c,n(0, 0) = n(0,1) = -1) = n(2,-1) = 0,n(1,0) = n(0,1) = n(2,1) = 2c, n(2, 0) = 3c a rovnou nule jinde. Určete konstantu c a vypočtete:
1. kovarianči C (X1, X2),
2. korelační koefičient R(X1,X2).
Příklad 149. Níhodna veličina X ma hustotu f (x). Určete hustotu nahodne veličiny Y tvaru
a) Y = ex,x > 0,
b) Y = VX,x > 0, č) Y = lnX,x > 0, d) Y = X,x > 0.
Příklad 150. Níhodna veličina X ma rovnomerne rozdelení pravdepodobnosti na intervalu (—n, 2). Určete jeho hustotu a hustotu transformovaníčh veličin Y = sin X, Z = tg X.
Příklad 151. Níhodna veličina X ma hustotu rovnu čos x pro x G (0, n) a nulovou jinde. Určete hustotu nahodne veličiny Y = X2 a vypočtete E(Y),D(Y).
3