Cvičení 13: Náhodný výběr z normálního rozdělení, intervalové odhady
Teorie:
Prípad, kdy je Xí}... ,Xn náhodný výber z normálního rozdelení N(/í,g2):
• M a S2 jsou nezávislé náhodné veličiny.
• M ~ N(/i,G2/n), a tedy U = (M - ^)/(a/^n) ~ N(0,1).
• K = (n - 1)S2/g2 ~ x2(n - 1).
• E(X - /)2/g2 ~ x2(n).
• T = (M - n)/(S/^/ň) ~ t(n - 1).
Intervaly spolehlivosti (jeden, resp. 2 výbery):
/t (známe g2)	
/í (neznáme g2)	(M - -ňíi-«/2(n - 1),M + -ňti-a/2(n - 1))
g2 (neznáme /t)	í    (n-1)S2        (n-1)S2 \ Vxi_a/2(n-i), xa/2(n-1)J
/•íi - /2 (známe g2)	M1 - M2 WŽ + Í ■ U1-a/2
^i - /2 (neznáme g2 = g2)	M1 - M2 ± S*^/£ + n ■ Í1-a/2(m + n - 2)
podál rozptylu g\/g2	/     sl/sl           sl/sl \ \F1_a/2(m-1,n-1) , Fa/i(m-1,n-1) )
Testování hýpotez:
Testování hypotez umožňuje ná zákláde náhodneho váberu s dánou pravdepodobností overovát domnenky o rozdelení, z nehoz pochází dáná náhodná vyber.
Hýpotezou budeme rozumet nejáke tvrzená o parametrech tohoto rozdelená. H0 ... nulová hypotezá (nápr. 9 = c, kde c je domnenká o hodnote párámetru 9) H1 ... (oboustránná) alternativní hypotezá (obvykle negace nulove)
Testováním H0 oproti álternátivná hypoteze rozumíme postup zálozená ná náhodnem vyberu, s jehoz pomocí plátnost H0 zamítneme nebo nezamítneme (= pripouštáme).
Chybá 1. druhu ... H0 platí á my ji zámátneme (závaZnejSí) Chybá 2. druhu ... H0 neplatí á my ji nezamítneme
Právdepodobnost chyby 1. druhu se nazává hladina významnosti (a, obvykle a = 0, 05), právdepodobnost chyby 2. druhu se značí /3 a číslo 1 - /3 se nazává sila testu. Hy-potezy budeme testovat pomocí príslusnosti do intervalu spolehlivosti - na základe realizace náhodneho váberu sestrojíme 100(1 - a)% interval spolehlivosti pro neznámá parametr 9 a
1
zjistíme, zda c patří do tohoto intervalu. Pokud ano, hypotézu H0 nezamítáme (v opačném případě zamítáme) na hladiné významnosti a.
Příklad 169. Ze zakladního souboru, z rozdelení N(/i,a2), kde a2 = 0,06 jsme pořidili nahodný víber s realizacemi 1,3; 1,8; 1,4; 1,2; 0,9; 1,5; 1,7. Určete oboustranní 95% interval spolehlivosti pro neznímou strední hodnotu.
Výsledek. 1,22 < ^ < 1,58.
Příklad 170. Níhodna veličina X nm normalní rozdelení N(//, a2), kde a2 nejsou znamy. V nasledujíčí tabulce jsou uvedeny četnosti jednotlivíčh realizací teto nahodne veličiny.
	8	11	12	14	15	16	17	18	20	21
četnost	1	2	3	4	7	5	4	3	2	1
Vypočtete:
• vyberoví prumer,
• vyberoví rozptyl a vyberovou smerodatnou odčhylku,
• 99% interval spolehlivosti pro strední hodnotu Výsledek. 14,025 < ^ < 16,663
Příklad 171. Nečht' Xi,..., Xn je níhodní vyber z rozdelení N(//, 0,04). Určete nejmensí počet merení, kterí je treba provest, aby sírka 95% intervalu spolehlivosti pro // nepresahla
0,16.
Příklad 172. Byla provedena čtyri nazavisla merení obsahu manganu u dvou vzorku očeli a byly zíískíany vyísledky:
1. vzorek	0,31%	0,30%	0,29%	0,32%
2. vzorek	0,59%	0,57%	0,58%	0,57%
Stanovte 95% interval spolehlivosti pro rozdíl stredníčh hodnot ^1 — //2 za predpokladu, ze jde o realizače nahodneho víberu z normílního rozdelení s neznamími, ale shodními rozptyly.
Příklad 173. Z velkeho souboru resistoru tehoz typu bylo níhodne vybrano 16 kusu s víberovym prumerem hodnot odporu 9,3 kíl Na hladine víznamnosti 0,05 testujte hypotezu, ze víber počhízí z normílního rozdelení se strední hodnotou // = 10 kQ, za predpokladu, ze:
a) a2 = 4kQ,
2
b) a2 není známo a S2 = 6,25kíl. Výsledek, a) zamítáme, b) nezamítáme.
Příklad 174. Na dvou soustruzích se vyrabejí tytez součástky, u nichz se meří vnitřní průmer (predpokladí se normainí rozdelení). Byl pořízen níhodní víber rozsahu 16 z produkce prvního soustruhu a rozsahu 25 z produkce druheho soustruhu. Príslusne vyberove prumery jsou 37,5 mm, resp. 36,8 mm a víberove rozptyly 1,21 mm2, resp. 1,44 mm2. Testujte hypotezu o rovnosti strední hodnoty kontrolovaných rozmeru v produkci obou stroju oproti oboustranne alternative pri a = 0,1.
Příklad 175. Na sachoví turnaj nm bít vybrín jeden zastupce ze dvou oddílovych sachistu, a to ten, jehoz víkon je stabilnejsí (ma mensí rozptyl). Procentuílní uspesnost z posledních turnaju je:
A	49,6	59,4	59,5	76,8	69,4	70,9	68,1	66,3
B	38,5	51,2	79,5	72,3	86,5			
Na hladine vyznamnosti 0,05 testujte, zda je mozno rozhodnout o tom, kterí z hracu se ma turnaje zícastnit.
3