4 Cvičení 4: Homomorfismy a další vlastnosti grup Teorie: Nyní se budeme zabývat zobrazeními mezi grupami. Budeme navíc požadovat, aby toto zobrazení zachovývalo danou operaci. Je proto dUlezite rozumet pojmUm jako injektivní zobrazení, surjektivní zobrazení a umet obe vlastnosti dokazovat. Definice 16. Nechť (G, *), (H, ©) jsou grupy. Řekneme, ze zobrazení ty : G — H je homomorfismus, jestlize pro všechna a, b E G platí, ze y(a * b) = /(a) © y(b). Je-li navíc toto zobrazení injektivní, mluvíme o injektivním homomorfismu (neboli o vnorení). Je-li surjektivní, ríkame danemu zobrazení surjektivní homomorfismus. Jední-li se o bijektivní homomorfismus, potom mluvíme o izomorfismu grup, nebo tez ríkíme, ze dane grupy jsou izomorfní. Definice 17. Necht' (G, *), (H, ©) jsou grupy, ty : G — H homomorfismus. Potom mnozinu Ker ty = {g E G | t/(g) = eH} nazívame jídro homomorfismu ty. Jadro homomorfismu je podgrupa grupy G (overte si) a ma dulezitou vlastnost: Veta 10. Necht (G, *), (H, ©) jsou grupy, ty : G — H homomorfismus. Potom ty je injektivní (vnoření) právě tehdy, když Ker ty = {eG}. Definice 18. Necht' (G, *), (H, ©) jsou grupy, : Z4 x Z3 - Z12, /(([a]4, [6]s)) = [a - b]12 2. / : Z4 x Z3 - Z12, /(([a]4, [b]3)) = [6a + 4b] 12 3. y> : Z4 x Z3 - Z12, /(([a]4, [b]3)) = [0]i2 Výsledek. 1. Není zobrazení 2. Je homomorfismus, ktery není ani injektivní ani surjektivní 3. Je homomorfismus, kterí není ani injektivní ani surjektivní Příklad 55. Rozhodnete, zda predpis t/ zadava zobrazení. Pokud ano, rozhodnete, zda jde o homomorfismus a určete jadro a obraz. Rozhodnete o surjektivite a injektivite