Věta 15 (Eisensteinovo lemma). Nechí f (x) = anxn + an_ixn~l + • • • + a+x + a0 E Z [x]. Pokud existuje prvočíslo p takové, že p|a0,.. . p|an-1, p \ an, p2 \ a0, potom je polynom f ireducibilni nad Z.
Nyní nas bude zajímat, jak určit kořeny polynomů:
Věta 16. Necht f E Z [x], f = anxn + • • • + a1x + a0. Pokud je racionálni cislo - korenem
Příklad 73. Uved'te příklad
1. Konečneho okruhu, ktery nebude oborem integrity.
2. Nekonečneho okruhu, který nebude oborem integrity.
3. Konečneho oboru integrity, který nebude telesem.
4. Nekonečneho oboru integrity, který nebude telesem.
5. Konečeneho telesa.
6. Nekonečneho telesa.
Příklad 74. Rozhodnete, zda množina R s operačemi 0, © tvorí okruh, komutativní okruh, obor integrity či teleso.
1. R = Z, a 0 b = a + b + 3, a © b = -3
2. R = Z, a 0 b = a + b - 3, a © b = a • b - 1
3. R = Z, a 0 b = a + b - 1, a © b = a + b - a • b
4. R = Q, a 0 b = a + b, a © b = b
5. R = Q, a 0 b = a + b + 1, a © b = a + b + a • b
6. R = Q, a 0 b = a + b - 1, a © b = a + b + a • b
polynomu f, potom p\a0,q\a.
Výsledek.
1. je okruh
4. není okruh
2. není okruh
5. je teleso
3. je obor integrity
6. není okruh
25
Příklad 75. Dokažte, že podmnožina komplexních čísel Z [i] = {a + bi\a, b G Z} tvoří obor integrity. Jedna se o teleso?
Výsledek. Ne
Příklad 76. Na množine R = Q x Q definujeme operace 0 a © vžtahem (a, b) 0 (c, d) =
(a + c, b + d), (a, b) © (c, d) = (ac + 2bd, ad + bc). Dokažte, že (R, 0, ©) tvoří teleso.
Příklad 77. Na množine R = R x R definujeme operace 0 a © vžtahem (a, b) 0 (c, d) =
(a + c, b + d), (a, b) © (c, d) = (ac+2bd, ad + bc). Dokažte, že (R, 0, ©) netvoří obor integrity.
Příklad 78. Necht' X je nepraždna množina. Rožhodnete, žda (P(X), -1-, n) tvorí okruh, obor integrity, teleso, pričemž A — B = (A \ B) U (B \ A).
Příklad 79. Ožnačme symbolem RR množinu všech reálných funkcí. Definujme (f 0 = f (x) +        (f ©        = f (x) •        Rožhodnete, žda (RR, 0, ©) tvorí okruh, obor integrity, teleso.
Příklad 80. Ožnacme R = {a + b-\/2+^V/3 + d-\/6|a, b, c, d G Q}. Rožhodnete, žda (R, +, •) tvorí okruh, obor integrity, teleso.
Příklad 81. Uved'te príklad
1. Polynomu 2011-teho stupne s celocíselnými koeficienty, který je nad Z ireducibilní.
2. Polynomu s celocíselními koeficienty, kterí je nad Z ireducibilní, presto ma celocíselní koren.
3. Polynomu s celocíselními koeficienty, kterí je nad Z ireducibilní, nemí celocíselny koren, ale ma koren racionalní.
4. Polynomu s celocíselními koeficienty, kterí je ireducibilní nad Z, presto nesplňuje podmínky Eisensteinova lemmatu.
5. Polynomu pateho stupne s celocíselními koeficienty, kterí není nad Z ireducibilní, pňresto nemaí celoňcíselníy koňren.
6. Polynomu tretího stupne, kterí je nad Z5 ireducibilní.
7. Polynomu píteho stupne, kterí není nad Z5 ireducibilní, presto nema koren.
8. Nenuloveho polynomu, kterí ma více korenu, než je jeho stupeň.
26
Příklad 82. Určete všechny kořeny polynomu
1. x8 + 3x4 + 1 G Z5 [x].
2. x5 + 3x3 + x - 3 G Z5[x].
Příklad 83. Určete šoučet, rozdíl, šoučin a podíl polynomu f, g G Z5[x], f (x) = 3x3 + 2x2 + 4x + 1, g(x) = x2 + 2x + 2.
Příklad 84. Určete, kolik je polynomu f (x) G Z5[x] takových, ze f (3) = 2. Výsledek. 100
Příklad 85. Uved'te příklad normovaneho polynomu třetího štupne š koefičienty ze Z3, jehoz jedine koreny budou 1a —1, oba jednonašobne.
Příklad 86. Uved'te príklad 2010 polynomu 2011-teho štupne š račionalními koefičienty, jejičhz jedine račionýlní koreny budou dvojníšobný koren 1, trojníšobný koren — | a petinašobny koren 0.
Příklad 87. Určete všečhna a G Z5 tak, aby byl polynom x3 + 3x2 + 4x + a iredučibilní nad Z5.
Příklad 88. Určete všečhna a G Z5 tak, aby byl polynom x5 + 4x4 + 4x3 + 4x2 + ax + 4 iredučibilní nad Z5.
Příklad 89. Určete všečhny polynomy f G Z2[x], ktere jšou nad Z2 iredučibilní a jšou
1. druheho štupne.
2. tretího štupne.
3. čtvrteho štupne.
4. pateho štupne.
Příklad 90. Dokazte, ze jšou dane polynomy iredučibilní nad Z:
1. 3x5 + 2x4 + 6x3 — 14x2 + 8x — 10
2. x7 + 35x5 — 70x3 + 140x — 175
27
3. x2 + 5x - 8
4. x3 + x2 + x — 1
5. x4 + 8x3 + 24x2 — 18x — 1 Nápověda: Uvazujte Tayloruv rozvoj se středem v 1. Příklad 91. Určete všechny racionální kořeny polynomu f G Z[x]:
1.	f (x)	=	6x5 - 11x4 - 19x3 + 18x2 + 28x + 8	
2.	f (x)	=	5x6 + 11x5 - 28x4 - 26x3 + 61x2 - 17x	-6
3.	f (x)	=	4x5 - 8x4 - 27x3 + 29x2 + 44x + 12	
4.	f(x)	=	4x5 - 24x4 + 37x3 + 9x2 - 32x - 12	
5.	f(x)	=	2x6 - 7x5 - 6x4 + 26x3 + 14x2 - 27x -	18
Rešeni.				
1.	f(x)	=	(x + 1)(2x + 1)(3x + 2)(x - 2)(x - 2)	
2.	f(x)	=	(x + 3)(5x + 1)(x + 2)(x - 1)(x - 1)(x -	-1)
3.	f(x)	=	(x + 2)(2x + 1)(2x + 1)(x - 3)(x - 2)	
4.	f(x)	=	(x - 2)(2x + 1)(2x + 1)(x - 3)(x - 2)	
5.	f(x)	=	(x + 1)(x + 1)(x + 1)(x - 3)(x - 2)(2x -	- 3)
Příklad 92. Metodou neurčitých koeficientů rozložte polynom x4 - 3x3 + 5x2 - 4x + 2 na ireducibilní faktory nad Z.
Výsledek. f (x) = (x2 - x + 1)(x2 - 2x + 2)
Příklad 93. Uved'te príklad kubickeho polynomu f s celočíselnými koeficienty, který ma jedničku za koren a platí, že f (2) = f (3) = f (4).
28