Cvičení 9: Náhodná veličina, náhodný vektor
Teorie:
• Náhodná veličina, distribuční funkce, pravděpodobnostní funkce, hustota;
• Nezávislost náhodnách veličin, náhodný vektor, marginální a sdruzeně pravděpodobnostní funkce, hustoty a distribuční funkce.
Príklad 128. Hodíme jedenkrát kostkou, množina elementarních jevu je Q = {u^, u2, u3, u4, u5, u6}. Jevovám polem necht' je A = {0, {u^, u2}, {u3, u4, u5, u6}, Q}. Zjistete jestli zobrazená X : Q — R dane predpisem
a) X(ují) = i pro kazde i G {1, 2, 3, 4, 5, 6},
b) X(ui) = X(U2) = -2, X(U3) = X(U4) = X(u^) = X(gus) = 3 je náhodnou velicinou vzhledem k A.
Príklad 129. Je dáno jevove pole (Q, A), kde Q = {u1,u2,u3,u4,u5} a
Najdete nejake (co nejobecnejsá) zobrazená X : Q — R, ktere bude nahodnou velicinou vzhledem k A.
Príklad 130. Nahodná velicina X nabáva hodnoty i s pravdepodobností P (X = i) = 6 pro i = 1,..., 6. Zapiste distibucná funkci FX(x) a jejá graf.
Príklad 131. Strelec strih do terce az do prvnáho zasahu. Ma v zasobe 4 naboje. Pravdepodobnost zasahu je pri kazdem výstrelu rovna 0,6. Necht' nahodna velicina X udavá pocet nespotrebovaných naboju. Urcete pravdepodobnostná a distribucná funkci X a nakreslete
jejich grafý.
Príklad 132. Náhodna velicina X má pravdepodobnostná funkci
( )     p(x      )     í 3 • 0,7x   pro i = 1, 2, 3,... n (x) = P (X = x) = < 7
0 jinak.
Urcete
a) P (X < 3),
b) P(X> 4),
c) P(1 < X < 4).
1
Příklad 133. Náhodná veličina má distribuční funkci
{0 pro x < 3
3 x — 1   pro 3 < x < 6 1 pro 6 < x.
a) Zdůvodněte, ze jde skutečné o distribuční funkci.
b) Určete hustotu pravdepodobnosti náhodne veličiny X.
c) Vypočtete P(0,25 < X < 0,75).
Příklad 134. Náhodná veličina má distribuční funkči
{0 pro x < —2
1 + 1 arčsin x   pro — 2 < x < 2 1 pro 2 < x.
a) Určete hustotu pravdepodobnosti náhodne veličiny X.
b) Vypočtete P(—1 < X < 1).
Příklad 135. Hustota pravdepodobnosti náhodne veličiny X má tvar f (x) = pro x G R. Určete
a) koefičient a,
b) distribuční funkči,
č) P(—1 < X < 1).
Příklad 136. Diskretní nahodná vektor má sdruženou pravdepodobnostní funkči danou tabulkou
	2	5	6
1	i 5	1 10	1 20
2	i 10	1 20	0
3	3 10	1 20	3 20
Určete
a) marginalní distribuční a pravdepodobnostní funkče;
b) sdruženou distribuční funkči a vhodnám zpusobem ji znazornete;
2
c) P (Y > 3X).
Příklad 137. UrCete distribuCní funkci náhodného vektoru (X, Y), jehož hustota je
1 (4x — y)   pro 1 ; 0 jinak.
,2(4x — y)   pro 1 < x < 2, 2 < y < 4,
/(x,y) -
UrCete dále P (X > 2Y).
Příklad 138. UrCete marginální distribuCní funkce, sdruženou a marginální hustotu náhodneho vektoru (X, Y), je-li
0 pro x < 0, y < 0 F(x,Y)(x,y) = { 1 x2y2   pro 0 < x < 1, 0 < y < 2
1 pro x > 1 , y > 2
Příklad 139. UrCete hustotu pravdepodobnosti nahodneho vektoru (X, Y), jehož distribuCní funkCe je
Í0 pro x < — 1
n2(arCsinx + 2)(arCtgy + |)   pro |x| < 1 1 (arCtg y + 2) pro x > 1.
UrCete rovnež marginalní hustoty a rozhodnete, jsou-li veliCiny X a Y nežavisle.
Příklad 140. V urne je 14 kuliCek - 4 Cervene, 5 bílyCh a 5 modríCh. Nahodne bež vraCení vybereme 6 kuliCek. UrCete rožložení nahodneho vektoru (X, Y), ožnaCuje-li X poCet taženyCh CerveníCh kuliCek a Y poCet taženíCh bílíCh kuliCek. UrCete rovnež marginalní rožložení veliCin X a Y. Dale vypoCtete P (X < 3), P (1 < Y < 4).
Příklad 141. Hustota nahodneho vektoru (X, Y, Z) je
'c(x + y + z)   pro0 < x < 1,0 < y < 2,0 < z < 3
(i
/(x, y, z) =
0 jinak.
UrCete konstantu c, distribuCní funkd a vypoCtete P(0 < X < 2, 0 < Y < 1, 0 < Z < 2-).
3