8. demonstrační cvičení
Q - základní prostor, množina všech elementárních jevů (výsledků) uj\,..., ujn,... - elementární jevy A C Q - nahodny jev, Ac = A = Q \ A - jev opaCný, A, B G A pro ktere A n B = 0 - neslůCitelne jevy, A - jevove pole, je system podmnožin Q, splňující:
• jistí jev Q G A,
• pro libovolne A, B G A je i A \ B G A
• pro libovolnou nejvíse spoCetnoů množinu jevů Ai, kde i G I jsoů prvky vhodne indexove množiny, je i UiG/Ai G A.
Pravděpodobnostní prostor je jevove pole A podmnožin (koneCneho) zíkladního prostorů Q, na kterém je definovína fůnkce P : A —>• R s nasledůjícími vlastnosti:
• je nežíporna, tj. P (A) > 0 pro vsechny jevy A,
• je aditivní, tj. P(UiGlAi) = ^ieI P(Ai), pro každí nejvíse spocetní system po dvoů neslůcitelních jevů,
• pravdepodobnost jisteho jevů je P (Q) = 1.
Fůnkci P nažívíme pravdepodobností na jevovem poli (Q, A).
8
Příklad 1. Náhodný pokus spočívá v hodu kostkou. Jev A znamená, že padne ličhe číslo, jev B, padne-li prvočíslo.
a) Určete základní prostor Q.
b) Uveddte vsečhny možne výsledky příznivé nastoupení jevU A, B. č) Pomočí A, B a operací s jevy vyjadrete:
• padne sude číslo,
• padne číslo 2,
• padne číslo 2 nebo 3
d)  Určete nejmensí meritelný prostor (Q, A), obsahujíčí jevy A i B.
9
Příklad 2. Přístroj se skládá ze dvou částí, první část má 2 bloky, druhá 3 bloky. Nečht jev A\, resp. A2, znamená, ze blok 1, resp. blok 2, první části je v pořádku, jevy B1,B2, B3 jsou ánálogicke pro druhou část. Přístroj je schopen provozu, pokud jsou álespoň jeden blok první části á álespon dvá bloky druhá části v porádku.
Zápiste jev C vyjádrujáčí, ze prístroj je sčhopen provozu.
10
Příklad 3. a) Z urny, v níž je a bílých a b černých koulí, vybereme postupně (bez vracení) dve koule. Jakaje pravděpodobnost. ze druha koule je bílí, za predpokladu, ze první byla bíla.
b) Ze skupiny 100 výrobků, ktem obsahuje 10 zmetku, vybereme nahodne bez vracení 3 výrobky. Určete pravdepodobnost, ze:
• tretí je zmMek za podmínky, ze první 2 byly kvalitní.
• první 2 jsou kvalitní a tretí zmetek.
Příklad 4. Střelec střílí třikrát nezávisle na sobě áo terče. Pravděpodobnosti zásahu jsou postupně 0,4 , 0,5 a 0,7.Jakáje pravdepodobnost, ze zasáhne terč
a) práve jednou,
b) aspoň jednou?
12
Příklad 5. Necht Al,..., An jsou stochasticky nezávislé náhodné jevy, P(Ai) = pi pro i = 1,... ,n. Vyjádřete pravděpodobnost, ze
a) nastane aspon jeden z uvedených jevU,
b) nastanou všechny uvedene jevy,
c) nastane práavne jeden z uvedenyách jevUu.
13
Příklad 6. Dva střelci vystřeli nezávisle na sobě do téhož terče každý jednu rénu. Po streľbe byl v teči nalezen 1 zásah. Určete pravdepodobnost, že zasah patři 1. střelci, pokud tento trefuje terče s pravdepodobnosti 0,8, zatímco druhý strelec s pravdepodobnosti 0,4.
[Odpověď: 6/7]
14
Příklad 7. V testu jsou u každé otázky 4 možné odpovědi. Pokud student nezná odpověď, tak hádé (uhodne s pravděpodobnosti 1). Dobré student zná 75% odpovědi, slabé 30%. Jestliže byla určitá otézka zodpovězena správně, určete pravděpodobnost, ze student jen hádal, jde-li o:
• dobrého studenta,
• špatného studenta,
• náhodněho studenta, kdy navíc víme, ze dobrých studentu jsou 2/3.
[Odpověď: 1/13;7/19;1/7]
15
Příklad 8. Turistické oddíl si predava zpravy Morseovou abecedou s temito vlastnostmi: pokud je odvysélana tecka, pak ve 40% prépadů je prijata cirka (jinak tecka), pokud je odvyséléna carka, je v 1/3 prépadů prijata tecka (jinak cirka). Zpréva obsahuje tecky a carky v pomeru 5:3. Urcete pravdepodobnost,
• ze byla vyslana tecka, pokud je prijaté carka,
• ze byla vyslana tecka, pokud je prijata tecka.
[Odpověď: 3/4; 1/2]
16
Příklad 9. Jaká je pravdepodobnost, ze dve nahodne zvolena čísla z intervalu (0,1) budou mít soucet mensí nez 1 a soucin vetsé nez 2/9?
[Odpověď: 1/6 - 2/9 • ln 2 rs 0,126.]
17
Příklad 10. Osoby X a Y prijdou na smluvené místo kdykoliv mezi 9.00 a 10.00 (okamžiky príchodu jsou nezávisle a stejne mozne behem celeho intervalu). Určete pravdepodobnost, ňe:
1. prvnáí z práíchozáích nebude muset na druháeho cekat dáele nez 10 minut,
2. osoba Y prijde az jako druha, jestlize prijde po 9.30.
[Odpověď: 1 - (5/6)2; (3/8)/(l/2)/
18
Příklad 11 (Buffonova úloha). Rovina je rozdělena rovnobežkami umístenymi rovnomerne ve vzdalenosti d. Do roviny je níhodne umístena jehla délky l < d. Jaka je pravdepodobnost, ze jehla protne nekterou rovnobezku.
[Odpověď: 2l/nd]
19