9. demonstrační cvičení Náhodná veličina: Je-li (fž, A, P) pravděpodobnostní prostor, pak zobrazení X : f — R nazveme náhodná veličina, pokud VB G B : X—1 (B) G A, tj. vzor kaZde borelovske mnoZiny je (meritelný) jev. Jev X-1(B) časteji zapisujeme jako (X G B) nebo [X G B] a jeho pravdepodobnost jako P (X G B). Distribuční funkce FX : R — R nýhodne veličiny X je definovana vztahem FX (x) = P (X < x) a je neklesající, zprava spojitý, s hodnotami z intervalu [0,1]. Dale zrejme P (a < X < b) = FX (b) — FX (a). Diskretní náhodná veličina je takova, jez nabyvajen nejvýše spočetne mnoha hodnot x1, x2,..., xn,..., G R a pro níz existuje tzv. pravdepodobnostní funkče p(x) takový, ze , N í P (X = x i) > 0 pro x = Xi p(x) = < 0 jinak. Spojitá nahodna veličina je takový, pro ní:ž existuje tzv. hustota pravdepodobnosti f (x) s vlastnosti', ze pro kazde x G R platý Fx (x) = P (X < f (t) dt. Pro hustotu platý f (x) = FX (x) a f (t) dt = 1. (Stočhastičky) nezávisle jsou takove náhodne veličiny X1,..., Xn, pro nez platý: Vx1,... ,xn G R : F(x1,... ,xn) = Fxx(x1) • • • Fx„(xn), kde F je (sdruzena) distribučný funkce nahodneho vektoru (X1,..., Xn) a FXl,..., FXn prýslusne marginýlný ditribučný funkce. Ekvivalentne, p(x1,... ,xn) = pxi (x1) • • • pxn (xn) pro diskretný, resp. f (xb ...,x„) = fXl (x1) • • • fXn (xn) pro spojite nahodne veličiny. 20 Příklad 1. Třikrát nezávisle na sobě hoáíme mincí. Náhodná veličina X udává pocet hlav, ktere padnou pri techto hodech. Určete pravděpodobnostní a distribuční funkci nahodne veličiny X. 21 Příklad 2. Pravděpodobnost, že výrobek bude vyhovovat všem technickým požadavkům, je 0,9. Popište rozdelení náhodné veličiny udávající počet nevyhovujících várobkU meži 3 výrobky. 22 Příklad 3. Predpokiadejme, že X má diskrétní rozdelení taková, že P(X = k) = c • k2 pro k = 1, 2,3 a P (X = k) = 0 jinak. Urcete 1. hodnotu c, 2. P (X > 2), 3. P (X G {1,3}). 23 Příklad 4. Rozhodněte, které z následujících funkcí jsou hustotami (mimo vymezeny interval je vZdy funkce nulová, c je vhodná konstanta - v případe, ze jde o hustotu, tuto konstantu určete): 1. c pro x G (—1,1), 2. cx pro x G (0,1), 3. cx pro x G (—1, 2), 4. cx sin x pro x G (—|, |), 5. cex pro x G (0, to), 6. ce—x pro x G (0, to), 7. 1+x2 . 24 Příklad 5. Náhodný veliciná X má distribuční funkci !0 pro x < 0 c • x2 pro 0 < x < 2 1 pro x > 2. Jáke hodnoty muže nábývát konstántá c? 25 Příklad 6. Náhodna veličina X ma distribuční funkci Určete: 1. hustotu pravdepodobnosti f (x), 2. P(-2 < X < 2), 3. P (X = 2), 4. P(-6 2. 26 Příklad 7. V zásilce s 10 výrobky je 8 kvalitních (z nich je 5 první jakosti a 3 jsou druhé jakosti) a 2 zmetky. Ze zásilky vybereme bez vracení 2 výrobky. Nahodné veličina X necht' značí pocet vybraných kvalitních vyrobkU a Y pocet vybraných vyrobkU první jakosti. Určete sdruženou i marginélní pravdepodobností funkci a rozhodnete, zda jsou néhodne veliciny X a Y stochasticky nezavisle. 27 Příklad 8. Spojitý náhodný vektor (X, Y) má hustotu f (x,y) = 24x2y(1 - x) pro 0 < x,y < 1 á jinde nulovou. Dokážte, ze X á Y jsou stochasticky nezávisle. 28 Příklad 9. Spojitý náhodný vektor (X, Y, Z) má hustotu k • xyz pro O < x,y < 1,0 < z < 3 a jinak rovnou nule. Určete konstantu k a vypočtěte p(0