10. demonstrační cvičení
Příklad 1. Náhodná veličina X je dána pravděpodobnostní funkci
pro x = —2 pro x = 3 pro x = 1 jinak.
Určete E(X), E(2X + 5), E(X2), D(X) a D(2X + 1).
31
p(x) = \
1 3
1
2 1 6
0
Příklad 2. Nekorelované náhodné veličiny X a Y mají rozptyly D(X) = a a D(Y) = 2. Určete konstantu a, jestliže roztpyl nahodne veličiny Z = 3Y - X je D (Z) = 25.
32
Příklad 3. Náhodná veličina X má na intervalu (O, a) konstantní hustotu pravděpodobnosti (a jinde nulovou). S využitím vlastností strední hodnoty a rozptylu určete:
1. E(2X + 3),
2. E(3X2 - 2X + 1),
3. D(2X + 3),
4. D(X2 + 1),
5. momentovou vytvořující funkči E(etX) nahodne veličiny X.
33
Příklad 4. Náhodná veličina X má Poissonovo rozdělení (tj. pravděpodobnostní funkci p(x) = X"e~x). Určete její momentovou vytvořující funkci, střední hodnotu a rozptyl.
34
Příklad 5.   1. Dokažte Markovovu nerovnost
P[X > A] <
2. Z Markovovy nerovnosti odvod te Cebysevovu nerovnost
DX
P(|X - EX| > e) < —r.
3. Počet aut vjíždějících do križovatky v určitém časovém intervalu se řídí Poissonovym rozdelením se strední hodnotou 120. Určete dolní odhad pravdepodobnosti, ze v tomto intervalu vjede do križovatky 100 až 140 aut.
35
Příklad 6. Nechi! má X binomické rozděleni s parametry n = 4, p = 2/3. Urcete rozdělení transformovane náhodne veličiny Y = (X — 2)2 a nakreslete graf její distribuční funkce.
36
Příklad 7. Mějme náhodnou veličinu X hustoty f (x) = 2xe~x2 pro x > O (a jinde nulově). Určete hustotu pravděpodobnosti náhodně veličiny Y = X2.
37
Příklad 8. Na vyrobčíčh meréme délku s presností ±0,5mm a šírku s presností ±0,2mm. Nahodna veličina X udava čhybu pri merení délky a Y čhybu pri merení šířky. Predpokladejme, ze simultánní hustota pravdepodobnosti tp(x, y) je uvnitr mezí čhyb konstantní (a jinde samozrejme nulova). Určete
1. tuto konstantu,
2. obe marginalní hustoty pravdepodobnosti,
3. simultánní distribuční funkči,
4. obe marginalní distribuční funkče,
5. P(-0,1 < X < 0,1),
6. zda jsou X a Y stočhastičky nezavisle.
38