13. demonstrační cvičení
Algoritmus konstrukce intervalu spolehlivosti
1. Zvolíme statistiku V, která je nestranným bodovým odhadem parametru Q.
2. Najdeme tzv. pivotovou statistiku W, která je transformací V se známým rozdelením a nezavisí na nezname hodnote Q.
3. Najdeme príslušne kvantilý rozdelení statistiky W tak, ze
P(Wa/2 < W < Wi_a/2J = 1 - a.
4. Nerovnost wa/2 < W < w1-a/2 prevedeme ekvivalentními ípravami na nerovnost TL < Q < TU.
5. Z daneho výberu zjistíme konkrétní Číselne realizace statistik TL, Tu a dostaneme tak intervaloví odhad pozadovane spolehlivosti 1—a.
Intervaly spolehlivosti pro parametry normálního rozdelení
/i (zníme a2)	(M - ^ Ui_a/2,M + ^ Ui_ a/2)
/i (nezname a2)	(M _ -JZt1_a/2,M + ^h-a/J
a2 (nezníme /i)	í    (n-1)S2        (n-1)S2 \ \xLa/2(n-1) ' xi/2(n-1)J
Príklad 1. Televizní stanice, ktera vysíla seriál Vrazedna čísla, by rada vedela, kolik času se průměrný student matematiky vydrží dívat na TV, aby na ne mohla zamerit případnou reklamníkampan. Nahodnym víyberem
a) 100 studentu,
b) 5 studentů
zjistila, ze tydne sledují TV průmerne 20 hodin s (výberovou) smerodatnou odchylkou 5 hodin. Za predpokladu, ze se počet hodin u TV rídí normílním rozdelením, sestrojte v obou prípadech 95% interval spolehlivosti pro strední hodnotu počtu hodin, ktery matematici stmví pred TV obrazovkou.
[Odpověď: a) (19,01;20,99); b) (13,79;26,20)]
49
Příklad 2. Pevnost nosníků má normální rozdělení s variabilitou vyjádřenou směrodatnou odchylkou a = 120. Nová technologie výroby bude akceptována, jestliže zajistí variabilitu nejvýše 100.
Rozhodnete, zdaje mozne na základe 16 merení s výberovou smerodatnou odchylkou rovnou 107,5 s rizikem 0,05 prijmout novou technologii.
50
Příklad 3. Spotřeba nového modelu auta byla testována 11 řidiči s výsledky 7,5; 7,8; 6,9; 8,2; 8,0; 7,5; 9,0; 7,6; 8,1; 7,9; 8,3. Rozhodnete, zda je mozne se spolehlivosti 0,95 vyvrátit tvrzená vyřobce o přUmeřne spotrebe 7,7 1/100 km.
51
Příklad 4. Hloubka moře se měří přístrojem, jehož systematická chyba je nulová a náhodné chyby merení mají normální rozdelení se smerodatnou odchylkou a = 1 m. Urcete, kolik meření je třeba provést, aby se hloubka more urcila s chybou nejvýše 1/4 metru pri riziku 0,05.
[Odpověď: 62]
52
Příklad 5. 31 pacientů s rakovinou plic, léčených novým lékem, má průměrnou dobu přežití 28 mésíců se smérodatnou odchýlkou 4 mésíce. Z předchozích studií je známo, že průmérné prežití pacientů bez podávání nového léku je 26 měsíců.
a) Lze na základe téchto dat usoudit, ze nové lék prodlužuje dobu prežití (a = 0,01)?
b) Jak se zméní zavér, pokud se významné zvétsé pocet pacientů, resp. rozptyl?
53
Intervaly spolehlivosti pro parametry 2 normálních rozdělení
Mi — M2 (známe o2, a2.)	Ml - M2 ±y/Í + £Ml_a/2
Mi — M2 (neznáme o2 = a2.)	mi _ M2 ± s,^l m + n íi_„/2
společná rozptyl o2	/    (m+n-2)S2        (m+n-2)S2 \ Vxi_a/2(m+n-2) ' Xa/2(m+n-2V
podál rozptylů a\/V2.	/         S2/S2                  S2/S2 \ \Fi_a/2(m-l,n-l) ' Fa/2(m-l,n-l) j
Príklad 6. Aktivní studenti chtěli dopravnímu podniku dokázat, ze autobusy trpí většími vákyvy príjezdovích dob na danou zastávku nez tramvaje a provedli měrení odchylek od jízdního radu:
autobus	0	2	4	-3	2	-4	-3	0	0	5
tramvaj	4	6	3	0	-2	2	0	1	1	0
Z tabulky lze snadno vypočítat, ze S2 = 9,12 a S| = 5,39. Na hladine 0,05 testujte nulovou hypotézu, ze autobus i tramvaj jsou stejne spolehlivé oproti alternativní hypoteze, ze tramvaj je spolehlivejsí.
54
Příklad 7. Ve dvou nadrzích se zkoumal obsah chláru. Z první bylo odebrano 22 vzorku, z druhe 10 vzorku. Byly vypočteny následující hodnoty váyberováych průměrů a rozptylů: Mi = 34,23, M2 = 35,73, S2 = 1,76, S| = 1,81. Hodnoty zjistene z odebranáych vzorku povazujeme za realizace dvou nezavislych náhodnáych výběrů z rozdelení N(/ii, a2), resp. N(/i2, a2). Sestrojte 95% interval spolehlivosti pro rozdíl stěedních hodnot /i — /i2 a vyslovte zíver na dane hladine spolehlivosti o pod-statnosti rozdílu namerenych hodnot.
[Odpověď: Dosadíme do vztahu Mi - M2 ± Stý i + i • t1-a/2(m + n - 2) hodnoty Mi - M2 = -1,5, S, = 1,3323 a dostaneme interval (-2,5377; -0,4623). Do tohoto intervalu 0 nepatrí, proto je rozdíl ni - n2 statisticky významně rUzny od nuly.]
55