Transformace náhodných veličin OOOOO číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooooooooooooooo Matematika IV - 10. přednáška Transformace a číselné charakteristiky náhodných veličin Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 27. 4. 2011 číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooooooooooooooo Obsah přednášky Transformace náhodných veličin OOOOO Q Transformace náhodných veličin q Číselné charakteristiky náhodných veličin Transformace náhodných veličin OOOOO číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooooooooooooooo Doporučené zdroje • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Karel Zvára, Josef Štěpán, Pravděpodobnost a matematická statistika, Matfyzpress, 4. vydání, 2006, 230 stran, ISBN 80-867-3271-1. • Marie Budíková, Štěpán Mikoláš, Pavel Osecký, Teorie pravděpodobnosti a matematická statistika (sbírka příkladů), Masarykova univerzita, 3. vydání, 2004, 117 stran, ISBN 80-210-3313-4. • Marie Budíková, Statistika, Masarykova univerzita, 2004, distanční studijní opora ESF, http: //www.math.muni.cz/~budikova/esf/Statistika.zip. • Marie Budíková, Tomáš Lerch, Štěpán Mikoláš, Základní statistické metody, Masarykova univerzita, 2005, 170 stran, ISBN 80-210-3886-1. číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooooooooooooooo Plán přednášky Transformace náhodných veličin OOOOO Q Transformace náhodných veličin Transformace náhodných veličin •oooo číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooooooooooooooo Věta (de Moivre-Laplaceova) Pro náhodné veličiny Xn s rozdělením Bi(n,p) platí Xn - np lim P n—>oo a < < b Hb) - Ha), y/np(l - p) kde je distribuční funkce normovaného normálního rozdělení. Příklad Hodíme kostkou celkem 12 000 krát. Určete pravděpodobnost toho, že počet hozených šestek je mezi 1800 a 2 100. Transformace náhodných veličin •oooo číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooooooooooooooo Věta (de Moivre-Laplaceova) Pro náhodné veličiny Xn s rozdělením Bi(n,p) platí Xn - np lim P n—>oo a < < b Hb) - Ha), y/np(l - p) kde je distribuční funkce normovaného normálního rozdělení. Příklad Hodíme kostkou celkem 12 000 krát. Určete pravděpodobnost toho, že počet hozených šestek je mezi 1800 a 2 100. Řešení Přesná pravděpodobnost je dána výrazem ZS»o eTK^íf)12000^ což je obtížně vyčíslitelné. Transformace náhodných veličin číselné charakteristiky náhodných veličin o«ooo ooooooooooooooooooooo Řešení (pokr.) Využijeme tvrzení Moivre-Laplaceovy věty, přepsaného do tvaru P[A• 0. Volbou p = 1/6, A = 1800, B = 2100, n = 12000 dostáváme odhad p^^í 2100 - 2000 \ _ I 1800 - 2000 W12000 ^/ V V12000'M = (^6) - (-2^6) ~ 0,992. Transformace náhodných veličin o«ooo číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooooooooooooooo Řešení (pokr.) Využijeme tvrzení Moivre-Laplaceovy věty, přepsaného do tvaru P[A• 0. Volbou p = 1/6, A = 1800, B = 2100, n = 12000 dostáváme odhad „ ^ , 2100 - 2000 \ ^ / 1800 - 2000 P pá <ř> —, - <ř> 12000 -11 12000-||_ (^6) - (-2^6) ~ 0,992. Poznámka Statistické tabulky - viz např. zde v ISu nebo sbírka příkladů [BMO]. číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooooooooooooooo Moivre-Laplaceova věta - opakování Transformace náhodných veličin oo«oo Příklad Nezávisle opakujeme pokus s výsledky 1 a 0, které mají neznáme pravděpodobnosti p a 1 — p. Parametr p chceme odhadnout pomocí relativních četnostíXn/n {Xn je počet jedniček při n pokusech). Víme, že je Xn ~ Bi(n,p), proto nám Moivre-Laplaceova věta umožní určit počet pokusů n potřebný k zajištění požadované přesnosti odhadu ô se spolehlivostí 1 — /?. číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooooooooooooooo Moivre-Laplaceova věta - opakování Transformace náhodných veličin oo«oo Příklad Nezávisle opakujeme pokus s výsledky 1 a 0, které mají neznáme pravděpodobnosti p a 1 — p. Parametr p chceme odhadnout pomocí relativních četnostíXn/n {Xn je počet jedniček při n pokusech). Víme, že je Xn ~ Bi(n,p), proto nám Moivre-Laplaceova věta umožní určit počet pokusů n potřebný k zajištění požadované přesnosti odhadu ô se spolehlivostí 1 — /?. Využijeme Moivre-Laplaceovu větu zapsanou ve tvaru \Xn 0 = lim n—>oo 1 — /?, kterou můžeme podle věty aproximovat nerovností □ o Transformace náhodných veličin ooo«o číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooooooooooooooo Řešení Hledáme nejmenší n, splňující nerovnost P[\Xn/n — p\ < ô] > 1 — /?, kterou můžeme podle věty aproximovat nerovností \y/np(l-p)J \ V"P(1 " P) = 24> ( / nÔ )-l>l-p. \^np(l-p)J ~ Ta je ekvivalentní s podmiň kou nô/y/np(l-p) > z((3/2), kde z(p) je řešení rovnice (z(p)) = 1 — p (tzv. kritická hodnota normovaného normálního rozdělení nebo 1 — p-tý kvantil). Transformace náhodných veličin ooo«o číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooooooooooooooo Řešení Hledáme nejmenší n, splňující nerovnost P[\Xn/n — p\ < ô] > 1 — /?, kterou můžeme podle věty aproximovat nerovností \y/np(l-p)J \ V"P(1 " P) = 24> ( / nÔ )-l>l-p. \^np(l-p)J ~ Ta je ekvivalentní s podmiň kou nô/y/np(l-p) > z((3/2), kde z(p) je řešení rovnice (z(p)) = 1 — p (tzv. kritická hodnota normovaného normálního rozdělení nebo 1 — p-tý kvantil). Pro ó = 0,05 a 1 - fj = 0,9 máme z tabulek z(/3/2) « 1,645 a s využitím snadného odhadu p(l — p) < 1/4 dostáváme n > (z(/?/2)/2á)2 « 270,6. Transformace náhodných veličin oooo» číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooooooooooooooo Transformace normálně rozložené veličiny Zkusme nyní afinně transformovat veličinu Z s normálním rozdělením A/(0,1). Pro pevně zvolená čísla /x, a € R, a > 0 spočtěme rozdělení náhodné veličiny X = ji + aZ. Transformace náhodných veličin číselné charakteristiky náhodných veličin oooo» ooooooooooooooooooooo Transformace normálně rozložené veličiny Zkusme nyní afinně transformovat veličinu Z s normálním rozdělením A/(0,1). Pro pevně zvolená čísla /x, a G M, a > 0 spočtěme rozdělení náhodné veličiny X = /j, + aZ. Dostáváme distribuční funkci Fx(x) = P(X (x,)P(X = x,) = ^(x;)6f(x/). / i Je tedy E(tp(X)) přímo spočítatelná pomocí pravděpodobnostní funkce 5c- Transformace náhodných veličin číselné charakteristiky náhodných veličin ooooo o«ooooooooooooooooooo Střední hodnota transformované náhodné veličiny Střední hodnotu můžeme přímo vyjádřit také pro funkce Y = tp(X) náhodné veličiny X. V diskrétním případě můžeme přímo spočíst E(Y) = J2yjP(Y = yj) j = £» E nx=*i) j ^(X;)=yy = £>(x,)P(X = x,) = V>(*/)6<(x/). Je tedy E(tp(X)) přímo spočítatelná pomocí pravděpodobnostní funkce 5c- Podobně vyjadřujeme střední hodnotu funkce ze spojité náhodné veličiny: /oo V(x)fx(x)dx, -oo pokud tento integrál absolutně konverguje. číselné charakteristiky náhodných \ oo«oooooooooooooooooo Příklad Spočtěme střední hodnotu binomického rozdelení. Transformace náhodných veličin číselné charakteristiky náhodných veličin OOOOO oo«oooooooooooooooooo Příklad Spočtěme střední hodnotu binomického rozdělení. Řešení Pro X ~ Bi(n, p) je E(X) = pk^pHí-p)"-k = j=0 v J ' J = np(p + (1 - p))""1 = np. Transformace náhodných veličin číselné charakteristiky náhodných veličin ooooo ooo«ooooooooooooooooo Základní vlastnosti střední hodnoty Věta Necht a, b G R a X, Y jsou náhodné veličina s existující střední hodnotou. Pak • E{a) = a, □ s - ■ m Transformace náhodných veličin číselné charakteristiky náhodných veličin ooooo ooo«ooooooooooooooooo Základní vlastnosti střední hodnoty Věta Necht a, b G R a X, Y jsou náhodné veličina s existující střední hodnotou. Pak • E{a) = a, • E(a + bX) = a + bE(X), Transformace náhodných veličin číselné charakteristiky náhodných veličin ooooo ooo«ooooooooooooooooo Základní vlastnosti střední hodnoty Věta Necht a, b e R a X, Y jsou náhodné veličina s existující střední hodnotou. Pak » E (a) = a, » E (a + bX) = = a + bE(X), • E(X + Y) = E(X) + E(Y), Transformace náhodných veličin číselné charakteristiky náhodných veličin ooooo ooo«ooooooooooooooooo Základní vlastnosti střední hodnoty Věta Necht a, b G R a X, Y jsou náhodné veličina s existující střední hodnotou. Pak • E{a) = a, • E(a + bX) = a + bE(X), • E(X + Y) = E(X) + E(Y), • jsou-HX a Y nezávislé, pak E{XY) = E{X) ■ E (Y). Transformace náhodných veličin číselné charakteristiky náhodných veličin ooooo ooo«ooooooooooooooooo Základní vlastnosti střední hodnoty Věta Necht a, b G R a X, Y jsou náhodné veličina s existující střední hodnotou. Pak • E{a) = a, • E(a + bX) = a + bE(X), • E(X + Y) = E(X) + E(Y), • jsou-HX a Y nezávislé, pak E{XY) = E{X) ■ E (Y). Transformace náhodných veličin číselné charakteristiky náhodných veličin ooooo ooo«ooooooooooooooooo Základní vlastnosti střední hodnoty Věta * Necht a,beR a X,Y jsou náhodné veličina s existující střední hodnotou. Pak • E (a) = a, » E (a + bX) = a + bE(X), • E(X + Y) = E(X) + E(Y), • jsou-li X a Y nezávislé, pak E(XY) = E(X) ■ E(Y). Důkazy těchto tvrzení jsou přímočaré, zkuste si je udělat! Analogická tvrzení platí i pro náhodné vektory. Transformace náhodných veličin OOOOO číselné charakteristiky náhodných veličin oooo«oooooooooooooooo Příklad Spočtěme ještě jednou střední hodnotu binomického rozdělení, tentokrát s využitím vlastností střední hodnoty. Transformace náhodných veličin OOOOO číselné charakteristiky náhodných veličin oooo«oooooooooooooooo Příklad Spočtěme ještě jednou střední hodnotu binomického rozdělení, tentokrát s využitím vlastností střední hodnoty. Řešení Vyjádříme počet zdarů v n pokusech jako počet zdarů v jednotlivých pokusech * = í>> k=l přičemž náhodné veličiny Yk mají všechny alternativní rozdělení A{p). Snadno spočítáme E( Yk) = 1 ■ p + 0 ■ (1 — p) = p. Dále víme, že střední hodnota součtu je součtem středních hodnot, proto n E(X) = J2E(Yk) = np. k=l Transformace náhodných veličin OOOOO číselné charakteristiky náhodných veličin ooooo»ooooooooooooooo Kvantily Dalšími užitečnými charakteristikami jsou tzv. kvantily. Pro ryze monotónní distribuční funkci Fx (tj. spojitou náhodnou veličinu X s všude nenulovou hustotou, jako je tomu např. u normálního rozdělení) jde prostě o inverzní funkci F^1 : (0,1) —> R. To znamená, že hodnota y = F~1{a) je taková, že P{X < y) = a. Obecněji, je-li Fx(x) distribuční funkce náhodné veličiny X, pak definujeme kvantilovou funkci2 F_1(a) = inf{x G R; F(x) > a}, a e (0,1). Zřejmě jde o zobecnění předchozí definice. 2Uvědomte si, že jsme se již s kvantily setkali, jen jsme jím tak zatím neříkali. Transformace náhodných veličin OOOOO číselné charakteristiky náhodných veličin ooooo»ooooooooooooooo Kvantily Dalšími užitečnými charakteristikami jsou tzv. kvantily. Pro ryze monotónní distribuční funkci Fx (tj. spojitou náhodnou veličinu X s všude nenulovou hustotou, jako je tomu např. u normálního rozdělení) jde prostě o inverzní funkci F^1 : (0,1) —> R. To znamená, že hodnota y = F~1{a) je taková, že P{X < y) = a. Obecněji, je-li Fx(x) distribuční funkce náhodné veličiny X, pak definujeme kvantilovou funkci2 F_1(a) = inf{x G R; F(x) > a}, a e (0,1). Zřejmě jde o zobecnění předchozí definice. Nejčastěji jsou používané kvantily s a = 0.5, tzv. medián, s a = 0.25, tzv. první kvartil, a = 0.75, tzv. třetí kvartil, a podobně pro decily a percentily (kdy je a rovno násobkům desetin a setin). K těmto hodnotám se vrátíme v popisné statistice později. 2Uvědomte si, že jsme se již s kvantily setkali, jen jsme jím tak zatím neříkali. Transformace náhodných veličin číselné charakteristiky náhodných veličin ooooo oooooo«oooooooooooooo Rozptyl a směrodatná odchylka Tyto číselné charakteristiky rozdělení náhodné veličiny nepopisují nějakou střední či typickou hodnotu (jako střední hodnota či medián), ale míru „kolísání" náhodné veličiny kolem střední hodnoty. Transformace náhodných veličin číselné charakteristiky náhodných veličin ooooo oooooo«oooooooooooooo Rozptyl a směrodatná odchylka Tyto číselné charakteristiky rozdělení náhodné veličiny nepopisují nějakou střední či typickou hodnotu (jako střední hodnota či medián), ale míru „kolísání" náhodné veličiny kolem střední hodnoty. Rozptylem (variancí) náhodné veličiny X, která má konečnou střední hodnotu, nazýváme číslo D(X) = varX = E([X - E(X)]2), odmocnina z rozptylu \JD(x) se pak nazývá směrodatná odchylka. Transformace náhodných veličin číselné charakteristiky náhodných veličin ooooo ooooooo»ooooooooooooo Základní vlastnosti rozptylu Věta Pro náhodnou veličinu X a reálná čísla a, b platí: O D{X) = E(X2) - E{Xf, Transformace náhodných veličin číselné charakteristiky náhodných veličin ooooo ooooooo»ooooooooooooo Základní vlastnosti rozptylu Věta Pro náhodnou veličinu X a reálná čísla a, b platí: O D{X) = E(X2) - E{Xf, Q D(a + bX) = b2D(X), Transformace náhodných veličin číselné charakteristiky náhodných veličin ooooo ooooooo»ooooooooooooo Základní vlastnosti rozptylu Věta Pro náhodnou veličinu X a reálná čísla a, b platí: O D{X) = E(X2) - E{Xf, Q D(a + bX) = b2D(X), O ^D{a + bX) = \b\^/Ď(X). Transformace náhodných veličin číselné charakteristiky náhodných veličin ooooo ooooooo»ooooooooooooo Základní vlastnosti rozptylu Věta Pro náhodnou veličinu X a reálná čísla a, b platí: O D{X) = E(X2) - E{Xf, Q D(a + bX) = b2D(X), O ^D{a + bX) = \b\^/Ď(X). Transformace náhodných veličin číselné charakteristiky náhodných veličin ooooo ooooooo»ooooooooooooo Základní vlastnosti rozptylu Věta Pro náhodnou veličinu X a reálná čísla a, b platí: O D{X) = E(X2) - E{Xf, Q D(a + bX) = b2D(X), O ^D{a + bX) = \b\^/Ď(X). Důkaz. Důkaz je přímočarý. Poznamenejme, že tvrzení 1 se často používá k výpočtům D{X). □ Transformace náhodných veličin OOOOO číselné charakteristiky náhodných veličin oooooooo«oooooooooooo Kovariance O závislosti dvou náhodných veličin do jisté míry vypovídá tzv. kovariance, definovaná předpisem C(X, Y) = cov(X, Y) = E([X - E(X)][Y - E(Y)]). Veličinám X, Y, pro než je C(X, Y) = 0, říkáme nekorelované . Transformace náhodných veličin OOOOO číselné charakteristiky náhodných veličin oooooooo«oooooooooooo Kovariance O závislosti dvou náhodných veličin do jisté míry vypovídá tzv. kovariance, definovaná předpisem C(X, Y) = cov(X, Y) = E([X - E(X)][Y - E(Y)]). Veličinám X, Y, pro něž je C(X, Y) = 0, říkáme nekorelované . Věta Transformace náhodných veličin OOOOO číselné charakteristiky náhodných veličin oooooooo«oooooooooooo Kovariance O závislosti dvou náhodných veličin do jisté míry vypovídá tzv. kovariance, definovaná předpisem C(X, Y) = cov(X, Y) = E([X - E(X)][Y - E(Y)]). Veličinám X, Y, pro něž je C(X, Y) = 0, říkáme nekorelované . Věta Transformace náhodných veličin OOOOO číselné charakteristiky náhodných veličin oooooooo«oooooooooooo Kovariance O závislosti dvou náhodných veličin do jisté míry vypovídá tzv. kovariance, definovaná předpisem C(X, Y) = cov(X, Y) = E([X - E(X)][Y - E(Y)]). Veličinám X, Y, pro něž je C(X, Y) = 0, říkáme nekorelované . Věta Transformace náhodných veličin OOOOO číselné charakteristiky náhodných veličin oooooooo«oooooooooooo Kovariance O závislosti dvou náhodných veličin do jisté míry vypovídá tzv. kovariance, definovaná předpisem C(X, Y) = cov(X, Y) = E([X - E(X)][Y - E(Y)]). Veličinám X, Y, pro něž je C(X, Y) = 0, říkáme nekorelované . Pro náhodné veličiny s existujícími rozptyly platí: O (X,Y) = C(Y,X), @ C(X,X) = D(X), O C(X, Y) = E{XY) - E{X)E{Y), O C(a + bX,c + dY) = bd ■ C(X, Y), Transformace náhodných veličin číselné charakteristiky náhodných veličin ooooo oooooooo«oooooooooooo Kovariance O závislosti dvou náhodných veličin do jisté míry vypovídá tzv. kovariance, definovaná předpisem C(X, Y) = cov(X, Y) = E([X - E(X)][Y - E(Y)]). Veličinám X, Y, pro něž je C(X, Y) = 0, říkáme nekorelované . Pro náhodné veličiny s existujícími rozptyly platí: O (X,Y) = C(Y,X), @ C(X,X) = D(X), O C(X, Y) = E{XY) - E{X)E{Y), O C(a + bX,c + dY) = bd ■ C(X, Y), Q D(X + Y) = D(X) + D(Y) + 2C(X, Y), speciálně, jsou-li X, Y nezávislé, je D(X + Y) = D(X) + D{Y), tj. C(X, Y) = 0 a X, Y jsou nekorelované. •O O. o- Transformace náhodných veličin číselné charakteristiky náhodných veličin ooooo ooooooooo»ooooooooooo Koeficient korelace Koeficient korelace je jen speciální název pro kovarianci dvou normovaných náhodných veličin: Rix,y) = l>XY = c(X-J^\Y-5lA. Transformace náhodných veličin číselné charakteristiky náhodných veličin ooooo ooooooooo»ooooooooooo Koeficient korelace Koeficient korelace je jen speciální název pro kovarianci dvou normovaných náhodných veličin: R(X, Y) = px>Y = C X-E(X) Y-E(Y) 9 R(X,X) = 1, Transformace náhodných veličin číselné charakteristiky náhodných veličin ooooo ooooooooo»ooooooooooo Koeficient korelace Koeficient korelace je jen speciální název pro kovarianci dvou normovaných náhodných veličin: Rix,y) = l>XY = c(X-J^\Y-5lA. Věta O R(X,X) = 1, O R{a + bX,c + dY) = sgn(bd)R(X, Y), Transformace náhodných veličin číselné charakteristiky náhodných veličin ooooo ooooooooo»ooooooooooo Koeficient korelace Koeficient korelace je jen speciální název pro kovarianci dvou normovaných náhodných veličin: Rix,y) = l>XY = c(X-J^\Y-5lA. Věta O R(X,X) = 1, O R{a + bX,c + dY) = sgn(bd)R(X, Y), O jsou-li X, Y nezávislé, je R{X, Y) = 0, Transformace náhodných veličin číselné charakteristiky náhodných veličin ooooo ooooooooo»ooooooooooo Koeficient korelace Koeficient korelace je jen speciální název pro kovarianci dvou normovaných náhodných veličin: Rix,y) = l>XY = c(X-J^\Y-5lA. Věta O R(X,X) = 1, O R{a + bX,c + dY) = sgn(bd)R(X, Y), O jsou-li X, Y nezávislé, je R{X, Y) = 0, O (Cauchyova nerovnost) \ R{X, Y)\ < 1. Transformace náhodných veličin OOOOO číselné charakteristiky náhodných veličin oooooooooo«oooooooooo Příklad Spočtěme rozptyl binomického rozdělení. □ s - ■ Transformace náhodných veličin OOOOO číselné charakteristiky náhodných veličin oooooooooo«oooooooooo Příklad Spočtěme rozptyl binomického rozdělení. Řešení Stejně jako dříve lze psát X = J2k=i ^k, kde Y\,... ,Yn jsou nezávislé náhodné veličiny vyjadřující úspěch v k-tém pokusu. Snadno vypočteme E(Y^) = l2 • p + O2 • (1 — p) = p, proto D{Yk) = E(V2) - E{Ykf = p - p2 = p(l - p). Protože pro nezávislé Yk platí D(£ Yk) = £ D(Yk), je D(X) = np(l - p) Transformace náhodných veličin OOOOO číselné charakteristiky náhodných veličin OOOOOOOOOOO0OOOOOOOOO Normovaná náhodná veličina a limitní věty Všimněme si, že výraz " "p vystupující v Moivre-Laplaceově V"p(1-p) x —e(x ) větě je totéž, co " ^4— a Jde tedy o tzv. normovanou vD(x) náhodnou veličinu (tj. veličinu lineárně transformovanou tak, aby měla střední hodnotu 0 a rozptyl 1). Moivre-Laplaceova věta pak říká, že pro n —> oo se rozložení této náhodné veličiny blíží normovanému normálnímu rozdělení A/(0,1). Transformace náhodných veličin OOOOO číselné charakteristiky náhodných veličin OOOOOOOOOOO0OOOOOOOOO Normovaná náhodná veličina a limitní věty Všimněme si, že výraz " "p vystupující v Moivre-Laplaceově V"p(1-p) x —e(x ) větě je totéž, co " ^4— a Jde tedy o tzv. normovanou vD(x) náhodnou veličinu (tj. veličinu lineárně transformovanou tak, aby měla střední hodnotu 0 a rozptyl 1). Moivre-Laplaceova věta pak říká, že pro n —> oo se rozložení této náhodné veličiny blíží normovanému normálnímu rozdělení A/(0,1). Jde o speciální případ limitních vět, ukazujících, že za určitých podmínek platí „zákony velkých čísel", kdy se obdobným způsobem transformované náhodné veličiny chovají jako normální rozdělení (podrobněji příště). Transformace náhodných veličin OOOOO číselné charakteristiky náhodných veličin oooooooooooo«oooooooo Další momenty Někdy je užitečné studovat řadu dalších charakteristik rozdělení náhodných veličin. Za rozumných předpokladů jsou definovány k-té obecné momenty A = E(Xk) a k-té centrální momenty /xk = E([X-E(X)]k). Transformace náhodných veličin OOOOO číselné charakteristiky náhodných veličin oooooooooooo«oooooooo Další momenty Někdy je užitečné studovat řadu dalších charakteristik rozdělení náhodných veličin. Za rozumných předpokladů jsou definovány k-té obecné momenty A = E(Xk) a k-té centrální momenty /xk = E([X-E(X)]k). Pomocí momentů pak definujeme např. šikmost (asymetrii) náhodné veličiny X jako £t3 nebo špičatost (exces) jako Transformace náhodných veličin číselné charakteristiky náhodných veličin OOOOO OOOOOOOOOOOOO0OOOOOOO 30 4 20 4 10 4 Q |..........| Kladná šikmost distribuce (více vysokých kladných hodnot než odpovídá normálnímu rozdělení s nulovou šikmostí). Transformace náhodných veličin OOOOO číselné charakteristiky náhodných veličin oooooooooooooo«oooooo Momentová vytvořující funkce Definice Reálnou funkci proměnné t G R Mx(ŕ) = E(e ) nazveme momentovou vytvořující funkcí náhodné veličiny X. Transformace náhodných veličin OOOOO číselné charakteristiky náhodných veličin oooooooooooooo«oooooo Momentová vytvořující funkce Definice Reálnou funkci proměnné t G R Mx(ŕ) = E(etX) nazveme momentovou vytvořující funkcí náhodné veličiny X. Poznámka Je-li X např. spojitá, platí /oo e* f {x) dx = -OD ľ°° t2x2 = / (1 + tx+i—+ ...)f(x)dx J — oo = i + + +''' a jde vlastně o exponenciální vytvořující funkci posloupnosti k-tých obecných momentů jd!k. Transformace náhodných veličin OOOOO číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooooooooo»ooooo Věta Pro momentovou vytvořující funkci platí: • A = ŮMx{t) |t=0. Transformace náhodných veličin OOOOO číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooooooooo»ooooo Věta Pro momentovou vytvořující funkci platí: • A = ŮMx{t) |t=0. • Platí-li Mx{t) = MY{ť) pro všechna t e (- b, b), mají náhodné veličiny stejné rozdělení, tj. fx(x) = FY{x). Transformace náhodných veličin OOOOO číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooooooooo»ooooo ' Věta * Pro momentovou vytvořující funkci platí: • A = ŮMx{t) |t=0. • Platí-li Mx{t) = MY{ť) pro všechna t e (- b, b), mají náhodné veličiny stejné rozdělení, tj. Fx{x) = FY{x). • Ma+bX(t) = eatMx{bt). Transformace náhodných veličin OOOOO číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooooooooo»ooooo Věta Pro momentovou vytvořující funkci platí: • A = ŮMx{t) |t=0. 9 Platí-li Mx{t) = MY{ť) pro všechna t e {-b, b), mají náhodné veličiny stejné rozdělení, tj. Fx(x) = Fy (x). • Ma+bX(t) = eatMx{bt). • Jsou-li X, Y nezávislé, je Mx+Y(t) = Mx(t)MY(t). Transformace náhodných veličin číselné charakteristiky náhodných veličin OOOOO oooooooooooooooo«oooo Příklad Určete momentovou vytvořující funkci binomického rozdělení. Transformace náhodných veličin OOOOO číselné charakteristiky náhodných veličin oooooooooooooooo«oooo Příklad Určete momentovou vytvořující funkci binomického rozdělení. M(t) = E(e*) = g e*(jj)p* (1 - Py~k = = £(ľW)*(i-pr* = = (pet + (l-p)y = (p(et-l) + iy. Transformace náhodných veličin OOOOO číselné charakteristiky náhodných veličin oooooooooooooooo«oooo Příklad Určete momentovou vytvořující funkci binomického rozdělení. M(í) = E(eíX) = £ etk (") pk{l - Py~k = k=0 ^ ' k=0 ^ ' = (peí + (l-p))" = (p(eí-l) + ir. Snáze jsme mohli funkci určit s využitím předchozích vět a momentové vytvořující funkce alternativního rozdělení, neboť pro Y ~ A(p) je E(etY) = eM • p + eí0(l - p) = p(eř - 1) + 1. Transformace náhodných veličin OOOOO číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooooooooooo«ooo Příklad Naposled spočtěme střední hodnotu a rozptyl binomického rozdělení, tentokrát s využitím vytvořující funkce. Transformace náhodných veličin OOOOO číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooooooooooo«ooo Příklad Naposled spočtěme střední hodnotu a rozptyl binomického rozdělení, tentokrát s využitím vytvořující funkce. Řešení M(t) = {p{é - 1) + 1)", proto je ±M{t) = n{p{et - -i) + iy-Vp, což pro ř = 0 dá E{X) = //j = np Podobně spočítáme i D{x) = jjl'2 — 04)2- Transformace náhodných veličin číselné charakteristiky náhodných veličin ooooo oooooooooooooooooo«oo Momenty normálního rozdělení Přímý výpočet střední hodnoty a rozptylu normovaného normálního rozdělení není triviální. S využitím momentové vytvořující funkce je ale poměrně jednoduchý. Nechť Z ~ N(0,1). Pak Poslední integrál je roven 1 díky tomu, že na místě integrované funkce je funkce s vlastnostmi hustoty. Transformace náhodných veličin OOOOO číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooooooooooooo«o Střední hodnota a rozptyl normálního rozdělení S využitím předchozího výpočtu Mz(t) = exp^yj snadno spočítáme, že M^(t) = texp(|), 2 2 A^(í) = t2exp(^)+exp(^). Dosazením t = 0 pak dostaneme E(Z) = 0,D(Z) = 1. Transformace náhodných veličin OOOOO číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooooooooooooo«o Střední hodnota a rozptyl normálního rozdělení S využitím předchozího výpočtu Mz(t) spočítáme, že , a, řexpl exp snadno M'z(t) Mz(t) t exp + exp Dosazením t = 0 pak dostaneme E(Z) = 0,D(Z) = 1. Pro transformovanou náhodnou veličinu Y = /j, + aZ ~ A/(/x, a2) pak snadno odvodíme z vlastností střední hodnoty, resp. rozptylu, že E(Y) = fj,, D{Y) = a2 (což zpětně zdůvodňuje zápis A/(/x,