27. května 2011 MB104 Matematika IV Čas: 100 minut Jméno: Skupina: A Místnost: 1. zkouška příklad c j l I učo L u c u ľ j ľ- u ľ u ľ j ľ j body l u ľ j ľ j D IE3H5B1B3 Náhodné veličiny (8 bodů): Příklcld 1 (a) Zapište definici střední hodnoty spojité náhodné veličiny. (1) (b) Dokažte přímo z definice, že E(a + bX) = a + bE(X) pro a, b G IR a spojitou náhodnou veličinu X. (1) (c) Náhodná veličina X má hustotu fx(x) = Ji Pro ^ £ (1)°°) a jinde nulovou. Určete její distribuční funkci, střední hodnotu a rozptyl. (3) (d) Hmotnost jedné porce kávy považujeme za náhodnou veličinu s normálním rozdělením iV(6g; l,196g2). Určete pravděpodobnost, že k přípravě 16 porcí kávy postačí jeden lOOg balíček. (3) □ □□i Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu. 27. května 2011_MB104 Matematika IV_Cas: 100 minut Jméno: Skupina: A Místnost: 1. zkouška D D D l příklad c , 2 příklad c I—— mčo L ^ L ^ L -j L ^ L u L -j L -j body L ^ L L -j _D IB3H5E1B9 Polynomy (7 bodů): Příklad 2 (a) Určete počet kořenů polynomu xn + 1 pro všechna n G N nad i) Z, ii) R, iii) C. (2) (b) Uveďte příklad (nebo zdůvodněte, že neexistuje) polynomu / G Z[x], který je ireducibilní nad Z a přesto má celočíselný kořen. (1) (c) Určete všechny alespoň dvojnásobné kořeny polynomu x7 + 7x6 + 23x5 + A5x4 + 56x3 + 44x2 + 20x + 4 v C. (4) Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu. 27. května 2011_MB104 Matematika IV_Cas: 100 minut Jméno: Skupina: A Místnost: 1. zkouška D D D I pHkiad c, 3 příklad c —I mčo L ^ L ^ L -j L ^ L u L -j L -j body L ^ L L -j _D IB3H5E1B9 Grupy a jejich homomorfismy (5 bodů) : Příklad 3 (a) Udejte příklad (nebo zdůvodněte, že neexistuje) konečné nekomutativní grupy. (1) (b) Zapište všechny prvky grupy symetrií čtverce. (1) (c) Uveďte (a zdůvodněte) příklad netriviálního homomorŕismu grupy (IR+, •) do(M,+). (1) (d) Určete řády všech prvků v grupě (Z*8, •), rozhodněte, zda je tato grupa cyklická a v kladném případě uveďte nějaký generátor. (2) Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu. 27. května 2011 MB104 Matematika IV Čas: 100 minut Jméno: Skupina: B Místnost: 1. zkouška DDDE příklad c l I učo l ^ l ^ l j l j l c j l j body l ^ l ^ l j _D IE3H5ElBg Náhodné veličiny (8 bodů): Příklcld 1 (a) Zapište definici střední hodnoty diskrétní náhodné veličiny. (1) (b) Dokažte přímo z definice, že E(a + bX) = a + bE(X) pro a, b G IR a diskrétní náhodnou veličinu X. (1) (c) Náhodná veličina X je dána pravděpodobnostní funkcí p(—3) = 1/6, p(2) = 1/3, p(3) = 1/2, p(x) = 0 jinak. Určete distribuční funkci X, E(X), E(2X + 5), E(X2), D(X) a D(2X + 1). (3) (d) Zformulujte Cebyševovu nerovnost a s její pomocí určete pravděpodobnost, že při 600 hodech regulérní kostkou padne šestka alespoň 80 krát a nejvýše 120 krát. (3) Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu. 27. května 2011 MB104 Matematika IV Čas: 100 minut Jméno: Skupina: B Místnost: 1. zkouška 0 D D ^ příklad c , 2 příklad c I—— mčo L ^ L ^ L -j L ^ L ^ L -j L -j body L L ^ L -j _D IB3H5E1B9 Polynomy (7 bodů): Příklad 2 (a) Pro každý z okruhů Z, IR, Z<4,Z5 (s obvyklými operacemi) rozhodněte (a stručně zdůvodněte), zda je okruh polynomů nad tímto okruhem i) obor integrity ii) těleso. (2) (b) Vypište všechny polynomy stupně nejvýše 3 nad Z2 a určete, které z nich jsou ireducibilní (zdůvodněte). (1) (c) Určete všechny racionální kořeny polynomu 8x5 + 50x4 + 77x3 — 63x2 — 216x — 108 a rozložte jej nad Z na ireducibilní faktory. (4) Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu. 27. května 2011_MB104 Matematika IV_Cas: 100 minut Jméno: Skupina: B Místnost: 1. zkouška 0 D D ^ příklad c , 3 příklad c —I mčo L ^ L ^ L -j L ^ L c -j L -j body L ^ L ^ L -j _D IB3H5E1B9 Grupy a jejich homomorfismy (5 bodů) : Příklad 3 (a) Udejte příklad (nebo zdůvodněte, že neexistuje) prvku okruhu (Z25, +, •), který nemá inverzi. (1) (b) Popište všechny podgrupy grupy (Z25, +). (1) (c) Popište všechny homomorfismy grupy (Z25, +) do grupy (Z10, +). (1) (d) Vypočtěte [14]nV (2) Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu. 27. května 2011 MB104 Matematika IV Čas: 100 minut Jméno: Skupina: C Místnost: 1. zkouška příklad c j l I učo L u c u ľ j ľ- u ľ u ľ j ľ j body l u ľ j ľ j D IE3H5B1B3 Náhodné veličiny (8 bodů): Příklad 1 (a) Zapište definici rozptylu spojité náhodné veličiny. (1) (b) Dokažte, že pro rozptyl spojité náhodné veličiny platí D(X) = E(X2) - E(X)2. (1) (c) Náhodná veličina X má hustotu fx(x) = Pro x £ (1)°°) a jinde nulovou. Určete její distribuční funkci, střední hodnotu a rozptyl. (3) (d) Hmotnost jedné porce kávy považujeme za náhodnou veličinu s normálním rozdělením iV(3g; yg2)- Určete pravděpodobnost, že k přípravě 16 porcí kávy postačí jeden lOOg balíček. (3) □□□3 Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu. 27. května 2011_MB104 Matematika IV_Cas: 100 minut Jméno: Skupina: C Místnost: 1. zkouška 0 D D 3 příklad c , Ě příklad c I—— mčo L ^ L ^ L -j L ^ L ^ L -j L -j body L L ^ L -j _D IB3H5E1B9 Polynomy (7 bodů): Příklad 2 (a) Určete počet kořenů polynomu xn — 2 pro všechna n G N nad i) Q, ii) IR, iii) C. (2) (b) Uveďte příklad (nebo zdůvodněte, že neexistuje) polynomu / G Z[x], který není ireducibilní nad Z a přesto nemá celočíselný kořen. (1) (c) Určete všechny alespoň dvojnásobné kořeny polynomu x7 - 7x6 + 23x5 - A5x4 + 5Qx3 - AAx2 + 20x - 4. (4) Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu. 27. května 2011_MB104 Matematika IV_Cas: 100 minut Jméno: Skupina: C Místnost: 1. zkouška 0 D D 3 příklad c , 3 příklad c —I mčo L ^ L ^ L -j L ^ L ^ L -j L -j body L L ^ L -j _D IB3H5E1B9 Grupy a jejich homomorfismy (5 bodů) : Příklad 3 (a) Udejte příklad (nebo zdůvodněte, že neexistuje) nekonečné nekomutativní grupy. (1) (b) Zapište všechny podgrupy grupy všech permutací na tříprvkové množině. (1) (c) Uveďte (a zdůvodněte) příklad netriviálního homomorfismu grupy (IR, +) do(M+,-). (1) (d) Určete řády všech prvků v grupě (Z*4, •), rozhodněte, zda je tato grupa cyklická a v kladném případě uveďte nějaký generátor. (2) Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu. 27. května 2011 MB104 Matematika IV Čas: 100 minut Jméno: Skupina: D Místnost: 1. zkouška DDDH příklad c l I učo l ^ l ^ l j l j l c j l j body l ^ l ^ l j _D IE3H5ElBg Náhodné veličiny (8 bodů): Příklcld 1 (a) Zapište definici rozptylu diskrétní náhodné veličiny. (1) (b) Dokažte, že pro rozptyl diskrétní náhodné veličiny platí D(X) = E(X2) - E(X)2. (1) (c) Náhodná veličina X je dána pravděpodobnostní funkcí p(—l) = 1/6, p(l) = 1/3,p(4) = 1/2,p(x) = 0 jinak. Určete distribuční funkci X, E(X),E(-X + 1),E(X2),D(X) &D(±X-l). (3) (d) S pomocí Moivre-Laplaceovy věty určete pravděpodobnost, že při 600 hodech regulérní kostkou padne šestka alespoň 80 krát a nejvýše 120 krát. (3) Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu. 27. května 2011 MB104 Matematika IV Čas: 100 minut Jméno: Skupina: D Místnost: 1. zkouška DDDH ,,..... B příklad c I—— mčo L ^ L ^ L -j L ^ L ^ L -j L -j body L ^ L ^ L -j _D IB3H5E1BB Polynomy (7 bodů): Příklad 2 (a) Pro každý z okruhů C,Q,Z3,Z6 (s obvyklými operacemi) rozhodněte (a stručně zdůvodněte), zda je okruh polynomů nad tímto okruhem i) obor integrity, ii) těleso. (2) (b) Rozložte polynom x4 — 2x3+x2+3 nad Z na dva kvadratické ireducibilní faktory. (1) (c) Určete všechny racionální kořeny polynomu 12x5+88x4+155x3+69a:2 — 35x — 25 a rozložte jej nad Z na ireducibilní faktory. (4) Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu. 27. května 2011_MB104 Matematika IV_Cas: 100 minut Jméno: Skupina: D Místnost: 1. zkouška DDDH ,,..... 3 příklad c —I mčo L ^ L ^ L -j L ^ L ^ L -j L -j body L ^ L ^ L -j _D IB3H5E1B9 Grupy a jejich homomorfismy (5 bodů) : Příklcld 3 (a) Udejte příklad (nebo zdůvodněte, že neexistuje) prvku okruhu (Z35, +, •), který nemá inverzi. (1) (b) Popište všechny podgrupy grupy (Z35, +). (1) (c) Popište všechny homomorfismy grupy (Z35, +) do grupy (Z14, +). (1) (d) Vypočtěte [14]r2\. (2) Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu.