10. června 2011 MB104 Matematika IV Čas: 100 minut Jméno: Skupina: A Místnost: Dl 2. zkouška ■■^f rr ■ rr n rr ■ rr ,n rr ,n rr ,~i rr ,n rr ,n rr ,n rr ,n rr n rr ,n ■■h l_l LJ LJ l_l 1 příklad c l I učo L L ^ L -j L ^ L ^ L -j L -j body L ^ L ^ LJ _D IB3H5E1B9 Náhodné veličiny (8 bodů): Příklad 1 (a) Uveďte příklad náhodných veličin X, Y, pro něž E(X ■ Y) = E(X) ■ E{Y). Určete, zda jsou ve vašem případě X a Y nekorelované. Vše zdůvodněte. (1) (b) Náhodná veličina X má na intervalu (0,7r) hustotu pravděpodobnosti f(x) = a jinde nulovou. Určete distribuční funkci náhodné veličiny V a a načrtněte její graf s vyznačením významných bodů. Dále určete hustotu náhodné veličiny Y = X2 (nezapomeňte na uvedení příslušných intervalů) a vypočtěte E(Y),D(X). (4) (c) V lese tvaru trojúhelníka s vrcholy v bodech (1,0), (—|, -^) a (—|, — -^) se ztratilo dítě. Pravděpodobnost výskytu dítěte v určité části lesa je úměrná velikosti této části, nikoliv umístění této části. Určete rozdělení vzdálenosti dítěte od zvolené strany lesa. (3) Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu. 10. června 2011 MB104 Matematika IV Čas: 100 minut Jméno: Skupina: A Místnost: Dl 2. zkouška nnn i n l 11 11 11 11 11 11 l n l_l LJ LJ l_l 1 příklad c L_ učo L L L -j L ^ L L -j L -j body L ^ L ^ LJ _D IB3H5E1B9 Polynomy a kryptografie (8 bodů): Příklad 2 (a) V závislosti na hodnotě parametru a G IR určete násobnost kořene -1 polynomu x5 — ax2 — ax + 1. (2) (b) O kubickém polynomu f(x) = x3 + ax + b víte, že má tři různé kořeny xi,X2,xs. Sestavte normovaný polynom (s koeficienty vyjádřenými pomocí a, b), který bude mít právě kořeny X\ + x2, X\ + x3, x2 + x3. (2) (c) Adam si v kryptosystému RSA zvolil za veřejný klíč modul n = 1189 a exponent e = 19. Zašifrujte pro Adama zprávu m = 11. V pozici Adama, kdy navíc znáte rozklad n = 29 • 41, vypočtěte jeho soukromý klíč a zprávu zašifrovanou v předchozím kroku dešifrujte. Uveďte teoretické zdůvodnění funkčnosti tohoto postupu. (4) Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu. 10. června 2011_MB104 Matematika IV_Cas: 100 minut Jméno: Skupina: A Místnost: Dl 2. zkouška nnn i q l 11 11 11 11 11 11 l n l_l LJ LJ l_l 1 příklad c _l učo L L L -j L L L -j L -j body L ^ L ^ LJ _D IB3H5E1B9 Algebra (4 body) : Nechť Sn značí grupu permutací na n-prvkové množině Příklad 3 s operací skládání zobrazení. (a) Určete, pro která n G N je grupa Sn komutativní a v nekomutativních případech ukažte příklad nekomutujících prvků. (1) (b) Určete všechna m G N pro něž v Sj existuje prvek řádu m. (1) (c) Vyčíslete počet permutací řádu 3 v Sj. (1) (d) Určete všechny permutace s G SV pro něž platí s2 o (6, 7) o s2 = (6, 7) o *2°(6,7). (1) Vše zdůvodňujte. Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu. 10. června 2011 MB104 Matematika IV Čas: 100 minut Jméno: Skupina: B Místnost: Dl 2. zkouška nnnj] i l 11 11 11 11 11 11 l n l_l LJ LJ l_ příklad c l I učo L L L -j L L L -j L -j body L ^ L ^ LJ _D IB3H5E1B9 Náhodné veličiny (8 bodů): Příklcld 1 (a) Uveďte příklad náhodných veličin X, Y, pro něž D(X + Y) = D(X) + D(Y). Určete, zda jsou ve vašem případě X a Y nekorelované. Vše zdůvodněte. (1) (b) Náhodná veličina X má na intervalu (0, |) hustotu pravděpodobnosti f(x) = cos x a jinde nulovou. Určete distribuční funkci náhodné veličiny V a a načrtněte její graf s vyznačením významných bodů. Dále určete hustotu náhodné veličiny Y = X2 (nezapomeňte na uvedení příslušných intervalů) a vypočtěte E(Y),D(X). (4) (c) V lese tvaru trojúhelníka s vrcholy v bodech (0,0), (1,0) a (0,1) se ztratilo dítě. Pravděpodobnost výskytu dítěte v určité části lesa je úměrná velikosti této části, nikoliv umístění této části. Určete rozdělení vzdálenosti dítěte od nejdelší strany lesa. (3) Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu. 10. června 2011 MB104 Matematika IV Čas: 100 minut Jméno: Skupina: B Místnost: Dl 2. zkouška nnnj] n lllimillllll n l_l LJ LJ l_ příklad c L_ učo c L- L- -j c L- L- -j l j body ^ ^ L- ^ LJ _D IB3H5E1B9 Polynomy a kryptografie (8 bodů): Příklad 2 (a) V závislosti na hodnotě parametru a G IR určete násobnost kořene -1 polynomu x6 — ax4 — ax2 — 1. (2) (b) O kubickém polynomu f(x) = x3 + ax2 + bx — 1 víte, že má tři různé kořeny Xi,X2,x%. Sestavte normovaný polynom (s koeficienty vyjádřenými pomocí a, b), který bude mít právě kořeny XxX2, x1x3,x2x3. (3) (c) Alice si chce s Bobem pomocí protokolu Dimeho a Hellmana vyměnit klíč pro symstrickou komunikaci. Zvolí parametr p = 29. (3) i) Určete generátor grupy (Zgg, •). ii) Alice zvolila číslo a = 10 a Bob b = 20. Vypočtěte sdílený klíč a popište postup, jak se na něm dohodli. Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu. 10. června 2011_MB104 Matematika IV_Cas: 100 minut Jméno: Skupina: B Místnost: Dl 2. zkouška nnnj] q lllimillllll n l_l LJ LJ l_ příklad c _l učo c L- L- -j c L- L- -j l j body c c LJ _D IB3H5E1B9 Algebra (4 body) : Nechť Sn značí grupu permutací na n-prvkové množině Příklad 3 s operací skládání zobrazení, An její podgrupu sudých permutací. (a) Určete, pro která n G N je grupa An komutativní a v nekomutativních případech ukažte příklad nekomutujících prvků. (1) (b) Určete všechna m G N, m < 8 pro něž v A7 existuje prvek řádu m. (1) (c) Vyčíslete počet permutací řádu 5 v A7. (1) (d) Určete počet inverzí permutace a = (1,4, 5)(2,3, 6) G SV (1) Vše zdůvodňujte. Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu. 10. června 2011_MB104 Matematika IV_Cas: 100 minut Jméno: Skupina: Místnost: 2. zkouška nnnn ~ :::::::::::::: n l_l LJ l_l l_l přiklad L u ľ j učo c u ľ u ľ j ľ- u ľ u ľ j ľ j body c u ľ -j LJ D IE3H5B1B3 Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu.