m IV-11-tabule, notebook May 04, 2011 Přímý výpočet střední hodnoty a rozptylu normovaného normálního rozdělení není triviální. S využitím momentové vytvořující funkce je ale poměrně jednoduchý. Nechť Z ~ 0(0,1). Pak Wu^*^ 2-2tz + t2- t2 ľ i exp 4) jC^-(-^) Poslední integrál je roven 1 díky tomu, že na místě integrované funkce je funkce s vlastnostmi hustoty. 5 4-14:10 5 4-14:12 Střední hodnota a rozptyl normálního rozdělení S využitím předchozího výpočtu Mz{t) = exp^y^J snadno spočítáme, že - M'z{t) = rexpf Dosazením t — 0 pak ^=f=exp(L)+exp(LJ. ak dostaneme TXíb) ~ &«Ľ~ VI]~ r(Z) = 0.D(Z) = l. 5 4-14:16 Určete rozdělení součtu nezávisfch náhodných veličin Z vlastností momentové vytvořující funkce dostáváme t2 t2 Mx+y(t)j= exp(/ixt + r/xy)"exp(ryt + cryy) = « far) < ^) Nechť je f (X) = D(X) = a2. O Odhadněte P(\X - pt\ > 3a). o Vypočtěte P(\X — /.í| > 3ti), jestliže navíc víte, že X - N(0,1). ,0027jfi^1 "* O 1/9 o 0,0027- 5 4-14:40 Mezi matematiky v ČR jejich 10% s příjmem přesahujícím celostátní průměr. Kolik matematiků je třeba pozvat na konferenci, aby s pravděpodobností aspoň 0,95 mezi nimi bylo 8 až 12 procent s nadprůměrným příjmem? Y„ ~ Bi{rj; 0.1}. E(Y„) = 0.1 ■ n. D(Y„) = 0.1 • 0.9 • "iPfa| 0.975, což je ekvivalentní y/ň/15 > ] n > 865. b 4-1b:U4 m IV-11-tabule, notebook May 04, 2011 e K**r- 5 4-15:15 Ukážeme na příkladech, že pravděpodobnostní struktura náhodného vektoru (X. Y) není určena pouze marginálními rozděleními veličin X a Y. Podstatný je rovněž pravděpodobnostní vztah mezi X a V, který je částečně popsán např. prostřednictvím korelačního koeficientu. Jsou-li X a V náhodné veličiny, nabývající hodnot 0 a 1, pak P(X = 1. V = 1) - P(X = 1)P{Y = 1) = E(XY) - E(X)E(Y) = jcov(x. y|\0 -^p/^K^i^V/^ A•) -fl>i Odtud je snadno vidět, že pokud jsou X a Y nekorelované, jsou nezávislé (což obecně neplatí) 5 4-15:19 5 4-15:33 2