Hodnocení předmětu IBO 1 3 Logické programování I Hana Rudová jaro 2012 Základní informace Přednáška: účast není povinná, nicméně ... Cvičení: účast povinná ■ individuální doplňující příklady za zmeškaná cvičení ■ nelze při vysoké neúčasti na cvičení ■ skupina 01, sudý pátek, první cvičení 24.února ■ skupina 02, lichý pátek, první cvičení 2.března Web předmětu: interaktivní osnova v ISu ■ průsvitky dostupné postupně v průběhu semestru ■ harmonogram výuky, předběžný obsah výuky pro jednotlivé přednášky během semestru ■ elektronicky dostupné materiály ■ informace o zápočtových projektech Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 3 Organizace předmětu ■ Průběžná písemná práce: až 30 bodů (základy programování v Prologu) ■ pro každého jediný termín: 22.března ■ alternativní termín pouze v případech závažných důvodů pro neúčast ■ vzor písemky na webu předmětu ■ Závěrečná písemná práce: až 1 50 bodů ■ vzor písemky na webu předmětu ■ opravný termín možnýjako ústní zkouška ■ Zápočtový projekt: celkem až 40 bodů ■ Hodnocení: součet bodů za projekt a za obě písemky ■ známka A za cca 1 75 bodů, známka F za cca 11 0 bodů ■ známka bude zapsána pouze těm, kteří dostanou zápočet za projekt ■ Ukončení předmětu zápočtem: zápočet udělen za zápočtový projekt Hana Rudová, Logickě programování I, 18. května 2012 2 Organizace předmětu Rámcový obsah předmětu Obsah přednášky ■ základy programování v jazyce Prolog ■ teorie logického programováni ■ logické programování s omezujícími podmínkami ■ implementace logického programováni Obsah cvičení ■ zaměřeno na praktické aspekty, u počítačů ■ programování v Prologu ■ logické programování ■ DCC gramatiky ■ logické programování s omezujícími podmínkami Hana Rudová, Logickě programování I, 18. května 2012 4 Organizace předmětu Literatura Bratko, I. Prolog Programming for Artificial Intelligence. Addison-Wesley, 2001. ■ prezenčně v knihovně Clocksin, W. F. - Mellish, Ch. S. Programming in Prolog. Springer, 1 994. Sterling, L. - Shapiro, E. Y. The art of Prolog : advanced programming techniques. MIT Press, 1 987. Nerode, A. - Shore, R. A. Logic for applications. Springer-Verlag, 1 993. ■ prezenčně v knihovně Dechter, R. Constraint Processing. Morgan Kaufmann Publishers, 2003. ■ prezenčně v knihovně - Elektronicky dostupné materiály (viz web předmětu) Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 5 Organizace předmětu Zápočtové projekty Týmová práce na projektech, až 3 řešitelé ■ zápočtové projekty dostupné přes web předmětu Podrobné pokyny k zápočtovým projektům na webu předmětu ■ bodování, obsah předběžné zprávy a projektu ■ typ projektu: LP, CLP, DCC ■ CLP a LP: Adriana Strejčkova ■ DCC: Miloš Jakubíček, Vojtěch Kovář Předběžná zpráva ■ podrobné zadání ■ vjakém rozsahu chcete úlohu řešit ■ které vstupní informace bude program používat a co bude výstupem programu ■ scénáře použití programu (tj. ukázky dvojic konkrétních vstupů a výstupů) Průběžná písemná práce ■ Pro každého jediný termín 22. března ■ Alternativní termín pouze v závažných důvodech pro neúčast ■ Celkem až 30 bodů (1 50 závěrečná písemka, 40 projekt) ■ 3 příklady, 40 minut ■ Napsat zadaný predikát, porovnat chování programů ■ Obsah: první čtyři přednášky a první dvě cvičení ■ Oblasti, kterých se budou příklady zejména týkat ■ unifikace ■ seznamy ■ backtracking ■ optimalizace posledního volání ■ řez ■ aritmetika ■ Ukázka průběžné písemné práce na webu Hana Rudová, Logickě programování I, 18. května 2012 6 Organizace předmětu Časový harmonogram k projektům ■ Zveřejnění zadání (většiny) projektů: 27. února ■ Zahájení registrace řešitelů projektu: 7. března, 19:00 ■ Předběžná analýza řešeného problému: 13. dubna ■ Termín pro odevzdání projektů: 18. května ■ Předvádění projektů (po registraci): 21.května - 22.června Hana Rudová, Logickě programování I, 18. května 2012 7 Organizace předmětu Hana Rudová, Logickě programování I, 18. května 2012 8 Organizace předmětu Software: SICStus Prolog Doporučovaná implementace Prologu Dokumentace: http://www.fi.muni.cz/~hanka/sicstus/doc/html Komerční produkt ■ licence pro instalace na domácí počítače studentů Nové IDE pro SICStus Prolog SPIDER ■ dostupné až od verze SICStus 4.1.3 ■ http://www.si cs.se/si cstus/spi der ■ používá Eclipse SDK Podrobné informace dostupné přes web předmětu ■ stažení SICStus Prologu (sw + licenční klíče) ■ pokyny k instalaci (SICStus Prolog, Eclipse, Spider) Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 Organizace předmětu Úvod do Prologu SICStus IDE SPIDER & SlCStus Debugging -My Prolog Project'my_module.pio - Eclipse SDK File Edit SCHus Source Navigate Search Project Run Favorites Win do* Help Debug 1» I ■ , ■ | J>. J. 5. jt. ~ = □ M-vanatH t Prolog Top-levd Configuration [SICStus Launch Configuration Typel) N,m. j® Prolog Target ♦ 5u = calk 5iiffK[[a,_7551rc],_181D) = my_predlt_1810) ,3 Prolog Trjp-levd Ptoces Z_ I # acsiutDtbu... fc B " ° P rr.y c-edl (XI : -sufflifíLiít. 'Suffix) is true whin List and iuNn. jk ti-.i. ji id Suŕfu is s suffiscf List, Ills Nfl solutions, Suffi-es are enumerated in descending order of len íiHin.ittinijivill In? improved later!) siiiflliton variables Tcple.d 1 in C: Users penn.aCš-^Ľ i'jntime-EclipseApplicrtion42'My Prolog Project Hana Rudová, Logické programování I, 1 8. května 201 2 no l/B-ft" -n převzato z http://www.si cs.se/si cstus/spide r Organizace předmětu Prolog PROgramming in LOCic ■ část predikátové logiky prvního řádu Deklarativní programování ■ specifikační jazyk, jasná sémantika, nevhodné pro procedurální postupy ■ Co dělat namísto Jak dělat Základní mechanismy ■ unifikace, stromové datové struktury, automatický backtracking Hana Rudová, Logickě programováni I, 18. května 2012 12 Uvod do Prologu Logické programování Historie ■ Rozvoj začíná po roce 1 970 ■ Robert Kowalski - teoretické základy ■ Alain Colmerauer, David Warren (Warren Abstract Machine) - implementace ■ SICStus Prolog vyvíjen od roku 1 985 ■ Logické programování s omezujícími podmínkami - od poloviny 80. let Aplikace ■ rozpoznávání řeči, telekomunikace, biotechnologie, logistika, plánování, data mining, business rules, ... ■ SICStus Prolog—the first 2 5 years, Mats Carlsson, Per Mildner. Theory and Practice of Logic Programming, 12 (1-2): 35-66, 2012. http://arxiv.org/abs/1011.5640. Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 13 Úvod do Prologu Program = fakta + pravidla ■ (Prologovský) program je seznam programových klauzulí ■ programové klauzule: fakt, pravidlo ■ Fakt: deklaruje vždy pravdivé věci ■ clovekC novak, 18, student ). ■ Pravidlo: deklaruje věci, jejichž pravdivost závisí na daných podmínkách ■ studujeC X ) :- clovekC X, _Vek, student ). ■ alternativní (obousměrný) význam pravidel pro každé X, pro každé X, X studuje, jestliže X je student, potom Xje student X studuje ■ pracujeC X ) :- clovekC X, _Vek, CoDela ), praceC CoDela ). ■ Predikát: seznam pravidel a faktů se stejným funktorem a aritou ■ značíme: clovek/3, student/l; analogie procedury v procedurálních jazycích, Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 14 Úvod do Prologu Komentáře k syntaxi ■ Klauzule ukončeny tečkou ■ Základní příklady argumentů ■ konstanty: (tomas , anna) ... začínají malým písmenem ■ proměnné ■X, Y ... začínají velkým písmenem ■ _, _A, _B ... začínají podtržítkem (nezajímá nás vracená hodnota) ■ Psaní komentářů clovekC novak, 18, student ). % komentář na konci řádku clovekC novotny, 30, učitel ). /* komentář '■'•'/ Hana Rudová, Logické programování 1,18. května 2012 15 Úvod do Prologu Dotaz ■ Dotaz: uživatel se ptá programu, zda jsou věci pravdivé ?- studujeC novak ). % yes splnitelný dotaz ?- studujeC novotny ). % no nesplnitelný dotaz ■ Odpověď na dotaz ■ positivní - dotaz je splnitelný a uspěl ■ negativní - dotaz je nesplnitelný a neuspěl ■ Proměnné jsou během výpočtu instanciovány (= nahrazeny objekty) ■ ?- clovekC novak, 18, Prace ). Prace = student ■ výsledkem dotazuje instanciace proměnných v dotazu ■ dosud nenainstanciovaná proměnná: volná proměnná ■ Prolog umí generovat více odpovědí, pokud existují ?- clovekC novak, Vek, Prace ). % všechna řešení přes ";" Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 16 Úvod do Prologu Klauzule = fakt, pravidlo, dotaz Rekurzivní pravidla Klauzule se skládá z hlavy a těla Tělo je seznam cílů oddělených čárkami, čárka = konjunkce Fakt: pouze hlava, prázdné tělo ■ rodic( pavla, robert ). Pravidlo: hlava i tělo ■ upracovany_c"lovekC X ) :- clovekC X, _Vek, Prace ), praceC Prace, tezka ). Dotaz: prázdná hlava, pouze tělo ■ ?- clovekC novak, Vek, Prace ). ?- rodicC pavla, Dite ), rodic( Dite, Vnuk ). predekC X, Z ) :- rodic( X, Z ). predekC X, Z ) predekC X, Z ) rodicC X, Y ), rodicC Y, Z ). rodicC X, Y ), predekC Y, Z ). % CD % (2) % C2") Hana Rudová, Logické programování I, 1 8. května 201 2 Úvod do Prologu Hana Rudová, Logické programování I, 1 8. května 201 2 Úvod do Prologu Příklad: rodokmen rodic( pavla, robert ). rodic( tomas, robert ). rodicC tomas, e "liská ). rodicC robert, anna ). rodicC robert, petr ). rodicC petr, ji rka ). Výpočet odpovědi na dotaz ?- predek(tomas,robert) rodi rodi rodi rodi rodi cC pavla, robert ) . cC tomas, robert ). c C tomas, eli ska ). cC robert, anna ). cC robert, petr ). rodicC petr, jirka ). predekC X, Z ) predekC X, Z ) predekC X, Z ) :- rodicC X, Z ). % CD rodicC X, Z ). rodicC X, Y ), predekC Y, Z ). predek(tomas,robert) dle (1) yes rodic(tomas, robert) % CD % C2') predekC X, Z ) :- rodicC X, Y ), predekC Y, Z ). % C2') Hana Rudová, Logické programování I, 1 8. května 201 2 Úvod do Prologu Hana Rudová, Logické programování I, 1 8. května 201 2 Uvod do Prologu Výpočet odpovědi na dotaz ?- predek(tomas, petr) Odpověď na dotaz s proměnnou predek(tomas, petr) dle (1) dle (2') no rodic( tomas, petr) rodic(tomas, Y) predek( Y, petr) rodicC tomas, robert ). rodicC tomas, eliska ). rodicC robert, petr ). Y=robert dle rodic(tomas, robert) predek( robert, petr) predekC X, Z ) predekC X, Z ) rodicC X, Z ). % (1) rodicC X, Y ), % (2') predekC Y, Z ). dle (1) rodic(robert, petr) yes Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 Úvod do Prologu rodicC pavla, robert ). rodicC tomas, robert ). rodicC tomas, eliska ). rodicC robert, anna ). rodicC robert, petr ). rodicC petr, jirka ). predekC X, Z ) :- rodicC X, Z ). predekC X, Z ) :- rodicC X, Y ), predekC Y, Z ). predekCpetr,Potomek) --> ??? predekCrobert,P) --> ??? Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 1. P=anna, 2. Potomek=ji rka P=petr, 3. P=jirka Úvod do Prologu Syntaxe a význam Prologovských programu Syntaxe Prologovských programů ■ Typy objektů jsou rozpoznávány podle syntaxe ■ Atom ■ řetězce písmen, čísel, „_" začínající malým písmenem: pavel , pavel_novak, x25 ■ řetězce speciálních znaků: <-->, ====> ■ řetězce v apostrofech: 'Pavel', 'Pavel Novák' ■ Celá a reálná čísla: 0, -1056, 0.35 ■ Proměnná ■ řetězce písmen, čísel, „_" začínající velkým písmenem nebo „_" ■ anonymní proměnná: ma_diteCX) :- rodicC X, _ ). ■ hodnotu anonymní proměnné Prolog na dotaz nevrací: ?- rodicC X, _ ) ■ lexikální rozsah proměnné je pouze jedna klauzule: prvni CX,X,X). prvni CX,X,_). Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 24 Syntaxe a význam Prologovských programů Termy ■ Term - datové objekty v Prologu: datum( 1, kveten, 2003 ) ■ funktor: datum ■ argumenty: 1, kveten, 2003 ■ arita - počet argumentů: 3 ■ Všechny strukturované objekty v Prologu jsou stromy ■ trojuhelnikC bod(4,2), bod(6,4), bod(7,l) ) ■ Hlavní funktor termu - funktor v kořenu stromu odpovídající termu ■ trojuhelnikje hlavní funktor v trojuhelnikC bod(4,2), bod(6,4), bod(7,l) ) Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 25 Syntaxe a význam Prologovských programů Unifikace Termy S a T jsou unifikovatelné, jestliže 1. SaTjsou konstanty a tyto konstanty jsou identické; 2. S je proměnná a T cokoliv jiného - S je instanciována na T; Tje proměnná a S cokoliv jiného - Tje instanciována na S 3. S a T jsou termy ■ S a T mají stejný funktor a aritu a ■ všechny jejich odpovídající argumenty jsou unifikovatelné ■ výsledná substituce je určena unifikací argumentů Příklady: k = k ... yes, kl = k2 ... no, A = k(2,3) ... yes, k(s,a,1(1)) = A ... yes s(sss(2),B,ss(2)) = s(sss(2),4,ss(2),s(l))... no s(sssCA),4,ss(3)) = s(sss(2),4,ss(A))... no s(sss(A),4,ss(C)) = s(sss(t(B)),4,ss(A))... A=t(B),C=t(B)... yes Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 27 Syntaxe a význam Prologovských programů Unifikace ■ Termy jsou unifikovatelné, jestliže ■ jsou identické nebo ■ proměnné v obou termech mohou být instanciovány tak, že termy jsou po substituci identické ■ datumC Dl, Ml, 2003 ) = datum( 1, M2, Y2) operátor = Dl = 1, Ml = M2, Y2 = 2003 ■ Hledáme nejobecnější unifikátor (most generál unifler (MGU) ■ jiné instanciace? ... Dl = 1, Ml = 5 , Y2 = 2003 ... není MCU ■ ?- datumC Dl, Ml, 2003 ) = datum( 1, M2, Y2), Dl = Ml. ■ Test výskytu (occurs check) ?- X=f(X). X = f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(...)))))))))) Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 26 Syntaxe a význam Prologovských programů Deklarativní a procedurální význam programů ■ p :- q, r. ■ Deklarativní: Co je výstupem programu? ■ p je pravdivé, jestliže q a r jsou pravdivé ■ Z q a r plyne p => význam mají logické relace ■ Procedurální: Jak vypočítáme výstup programu? ■ p vyřešíme tak, že nejprve vyřešíme q a pak r => kromě logických relací je významné i pořadí cílů ■ výstup ■ indikátor yes/no určující, zda byly cíle splněny ■ instanciace proměnných v případě splnění cílů Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 28 Syntaxe a význam Prologovských programů Deklarativní význam programu Konjunce "," vs. disjunkce ";" cílů Instance klauzule: proměnné v klauzuli jsou substituovány termem ma_dite(X) :- rodic( X, Y ). ma_dite(petr) :- rodic( petr, Z ). % klauzule % instance klauzule Máme-li program a cíl C, pak deklarativní význam říká: cíl C je splnitelný právě tehdy, když existuje klauzule C v programu taková, že existuje instance I klauzule C taková, že hlava Ije identická s Ca všechny cíle v těle Ijsou pravdivé. cíl ?- ma_dite(petr) . Hana Rudová, Logické programování 1,18. května 2012 Syntaxe a význam Prologovských programů Pořadí klauzulí a cílů Ca) a(l). a(X) :- b(X,Y), a(Y). b(l,l). ?- a(l). (b) a(X) :- b(X,Y), a(Y). a(l). bCl.D. % změněné pořadí klauzulí v programu vzhledem k (a) % nenalezení odpovědi: nekonečný cyklus (c) a(X) :- b(X,Y), c(Y). ?- a(X). b(l,l). c(2). c(l). (d) a(X) :- c(Y), b(X,Y). % změněné pořadí cílů v těle klauzule vzhledem k (c) bCl.D. c(2). c(l) . % náročnější nalezení první odpovědi než u (c) V obou případech stejný deklarativní ale odlišný procedurální význam Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 Syntaxe a význam Prologovských programů Konjunce = nutné splnění všech cílů ■ p :- q, r. Disjunkce = stačí splnění libovolného cíle ■ P :- q; r. p :- q. p :- r. ■ priorita středníku je vyšší (viz ekvivalentní zápisy): p :-q, r; s, t, u. P :- Cq, r) ; (s, t, u). P :- q, r. p : - s , t, u . Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 Syntaxe a význam Prologovských programů Pořadí klauzulí a cílů II. (1) a(X) :- c(Y), b(X,Y). (2) b(l,l). (3) c(2). (4) c(l). Vyzkoušejte si: (1) a(X) :- b(X,X), c(X). (3) a(X) :- b(Y,X), c(X). (4) b(2,2). (5) b(2,l). (6) c(l). ?- a(X). a(X) dle (1) c(Y), b(X,Y) dle (3j/Ý=2 dle (4)\Y=1 b(X,2) b(X,1) no dle (2) X=1 yes Hana Rudová, Logické programování I, 1 8. května 201 2 Syntaxe a význam Prologovských programů Cvičení: průběh výpočtu a b b c. d. e e g- h. i. b,c,d. e,c,f,g. g,h. h. Jak vypadá průběh výpočtu pro dotaz ?- a. Operátory, aritmetika Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 33 Syntaxe a význam Prologovských programu Operátory ■ Infixová notace: 2*a + b*c ■ Prefixová notace: +( *(2,a), *(b,c) ) priorita +: 500, priorita *: 400 ■ prefixovou notaci lze získat predikátem display/l :- display((a:-s(0),b,c)). :-(a, ,(s(0), ,(b,c))) ■ Priorita operátorů: operátor s nejvyšší prioritou je hlavní funktor ■ Uživatelsky definované operátory: zna petr zna alese. zna( petr, alese). ■ Definice operátoru: :- op( 600, xfx, zna ). priorita: i ..i 200 ■ :- opC 1100, xfy, ; ). nestrukturované objekty: 0 :- op( 1000, xfy, , ). p :- q, r; s, t. p :- (q, r) ; (s, t). ; má vyšší prioritu než , ■ :- op( 1200, xfx, :- ). :-má nejvyšší prioritu ■ Definice operátoru není spojena s datovými manipulacemi (kromě spec. případů) Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 35 Operátory, aritmetika Typy operátorů ■ Typy operátorů ■ infixové operátory: xfx, xfy, yfx př. xfx = yfx - ■ prefixové operátory: fx, fy př. fx ?- fy- ■ postfixové operátory: xf, yf ■ x a y určují prioritu argumentu ■ x reprezentuje argument, jehož priorita musí být striktně menší než u operátoru ■ y reprezentuje argument, jehož priorita je menší nebo rovna operátoru ■ a-b-c odpovídá (a-b)-c a ne a-(b-c): „-" odpovídá yfx priorita: 500 Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 36 Operátory, aritmetika Aritmetika Předdefinované operátory + , -, *, /, '■'•"■'•'mocnina,// celočíselné dělení, mod zbytek po dělení ?- X = 1 + 2. X=l+2 = odpovídá unifikaci ?- X i s 1 + 2. X = 3 „i s" je speciální předdefinovaný operátor, který vynutí evaluaci ■ porovnej: N = (1+1+1+1+1) N i s (1+1+1+1+1) ■ pravá strana musí být vyhodnotitelný výraz (bez proměnné) ■ výraz na pravé straně je nejdříve aritmeticky vyhodnocen a pak unifikován s levou stranou volání?- X i s Y + 1. způsobí chybu Další speciální předdefinované operátory >, <, >=, =<, =:= aritmetická rovnost, =\= aritmetická nerovnost ■ porovnej: 1+2 =:= 2+1 1+2 = 2+1 ■ obě strany musí být vyhodnotitelný výraz: volání ?- 1 < A + 2. způsobí chybu Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 37 Operátory, aritmetika Rez, negace Různé typy rovností a porovnání X = Y XaY jsou unifikovatelné X \= Y XaY nejsou unifikovatelné, (také \+ X = Y) X == Y XaY jsou identické porovnej: ?-A == B. ... no ?-A=B, A==B. ... B = A yes X \== Y XaY nejsou identické porovnej: ?- A \== B. ... yes ?- A=B, A \== B. ... A no X i s Y Y je aritmeticky vyhodnoceno a výsledek je přiřazen X X =:= Y X a Y jsou si aritmeticky rovny X =\= Y XaY si aritmeticky nejsou rovny X < Y aritmetická hodnota X je menší než Y (=<, >, >=) X @< Y term X předchází term Y (@=<, @>, @>=) 1. porovnání termů: podle alfabetického n. aritmetického uspořádání 2. porovnání struktur: podle arity, pak hlavního funktoru a pak zleva podle argumentů ?- f( pavel, g(b)) @< f( pavel, h(a)). .. .yes Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 Operátory, aritmetika Řez a upnutí f(X,0) f(X,2) f(X,4) X < 3, ! . 3 =< X, X < 6, ! 6 =< X. přidání operátoru řezu , , ! ' ' 6 ?- f(l,Y), Y>2. f(X,0) :- X < 3, !. %(1) f(X,2) :- X < 6, !. %(2) f(X,4). ?- fCl.Y). Smazání řezu v (1) a (2) změní chování programu Upnutí: po splnění podcílů před řezem se už další klauzule neuvažují Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 Rez a ořezání Chování operátoru řezu f(X,Y) s(X,Y) s(X,Y) s(X,Y). Y is X + 1. Y is X + 2. f(X,Y) s(X,Y) s(X,Y) s(X,Y), !. Y is X + 1. Y is X + 2. Předpokládejme, že klauzule H :- TI, T2, Tm, ! aktivována voláním cíle C, který je unifikovatelný s H. V momentě, kdy je nalezen řez, existuje řešení cílů TI, ..., Tm ...Tn.je G=h(X,Y) X=1,Y=1 ?- fCl,Z). Z = 2 ? ; Z = 3 ? ; no ?- fCl,Z). Z = 2 ? ; no Ořezání: při provádění řezu se už další možné splnění cílů TI, .. nehledá a všechny ostatní alternativy jsou odstraněny Upnutí: dále už nevyvolávám další klauzule, jejichž hlava je také unifikovatelná s C Tm Y=2 X=2 Ořezání: po splnění podcílů před řezem se už neuvažuje další možné splnění těchto podcílů Smazání řezu změní chování programu ?- h(X,Y). hCl.Y) hC2,Y) tlCY), !. a. tlCD :- b. b tlC2) :- c. / Hana Rudová, Logické programování 1, 18. května 2012 41 Řez, negace Hana Rudová, Logické programování 1, 18 května 2012 42 Řez: návrat na rodiče Řez: příklad ?- a(X). a(x) cCX) :-cCX) :- PCX). v (X). clCX) :-clCX) :- P(X), ! vCX). Cl) a(X) :- h(X,Y). h(xxí (2) a(X) :- d. m/ X 1 tl(Y),!,e(X') upnutí □ PCD- PC2) vC2) (3) h(l,Y) :- tl(Y), !, e(X). Y/l / X (4) h(2,Y) :- a. b,!,e(X') ořezání ?- cC2) ?- clC2) (5) tl(l) :- b. c,!,e(X') d,!,e(X') true ? %PC2) true ? ; %pC2) (6) tl(2) :- c. || true ? %vC2) no no !,e(X') (7) b :- c. | , no (8) b :- d. e(X') (9) d. X/^// NX^/2 (10) e(l) . (11) e(2). ?- cCX) X = 1 ? X = 2 ? X = 2 ? ; %pCD ; %pC2) ; %vC2) ?- clCX) X = 1 ? no ; %pCD ■ Po zpracování klauzule s řezem se vracím až na rodiče této klauzule, tj. a(X) no Hana Rudová, Logické programování 1, 18. května 2012 43 Řez, negace Hana Rudová, Logické programování 1, 18 května 2012 44 hCX,Y) X=l / \ X=2 tlCY) a (vynechej: upnutí) Y=l / \ Y=2 c (vynechej: ořezání) Řez: cvičení 1. Porovnejte chování uvedených programů pro zadané dotazy. a(X,X) :- b(X). a(X,X) :- b(X),!. a(X,X) :- b(X),c. a(X,Y) :- Y i s X+l. a(X,Y) :- Y i s X+l. a(X,Y) :- Y i s X+l. b(X) :- X > 10. b(X) :- X > 10. b(X) :- X > 10. c :- ! . ?- a(X,Y). ?- a(l,Y). ?- a(ll,Y). 2. Napište predikát pro výpočet maxima max( X, Y, Max ) Typy řezu ■ Zlepšení efektivity programu: určíme, které alternativy nemá smysl zkoušet Poznámka: na vstupu pro X očekávám číslo ■ Zelený řez: odstraní pouze neúspěšná odvození ■ f(X,l) :- X >= 0, !. f(X,-l) :- X < 0. bez řezu zkouším pro nezáporná čísla 2. klauzuli ■ Modrý řez: odstraní redundantní řešení ■ f(X,l) :- X >= 0, !. f(0,l). f(X,-l) :- X < 0. bez řezu vrací f(0,l) 2x ■ Červený řez: odstraní úspěšná řešení ■ f(X,l) :- X >= 0, !. f(_X,-l). bez řezu uspěje 2. klauzule pro nezáporná čísla Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 45 Řez, negace Negace jako neúspěch ■ Speciální cíl pro nepravdu (neúspěch) fail a pravdu true ■ X a Y nejsou unifikovatelné: different(X, Y) ■ different( X, Y ) :- X = Y, !, fail. different( _X, _Y ). ■ Xje muž: muz(X) muz( X ) :- zena( X ), !, fail. muz( _X ). Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 46 Řez, negace Negace jako neúspěch: operátor \+ ■ different(X,Y) :- X = Y, !, fail. muz(X) :- zena(X), !, fail. different(_X,_Y). muz(_X). ■ Unární operátor \+ P ■ jestliže P uspěje, potom \+ P neuspěje \+(P) :- P, !, fail. ■ v opačném případě \+ P uspěje \+(_)■ ■ different( X, Y ) :- \+ X=Y. ■ muz( X ) :- \+ zena( X ). ■ Pozor: takto definovaná negace \+P vyžaduje konečné odvození P Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 47 Řez, negace Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 Negace a proměnné \+(P) :- P, !, fail. % (I) \+(_). % (ID dobre( citroen ). dobre( bmw ). drahe( bmw ). rozumne( Auto ) :-\+ drahe( Auto ). % (D % (2) % (3) % (4) d ob re (X), rozum n e (X) dle (1), X/citroen rozumne(citroen) dle (4) \+ drahe(citroen) \ dle (II) dle (I) drahe(citroen),!, fail ?- dobre( X ), rozumne( X ). Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 □ yes no Bezpečný cíl ?- \+ drahe( citroen ). yes ?- \+ drahe( X ). no ?- rozumne( citroen ). yes ?- rozumne( X ). no \+ Pje bezpečný: proměnné Pjsou v okamžiku volání P instanciovány ■ negaci používáme pouze pro bezpečný cíl P Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 Negace a proměnní* \+(P) :- P, !, fail. % (I) \+(_). % (ID dobre( citroen ). % (1) dobre( bmw ). % (2) drahe( bmw ). % (3) rozumne( Auto ) :- % (4) \+ drahe( Auto ). ?- rozumne( X ), dobre( X ). mne(X), dobre(X) dle (4) \+ drahe(X), dobre(X) dle (I) drahe(X),!,fail,dobre(X) dle (3), X/bmw !, fail, dobre(bmw) fail,dobre(bmw) no Hana Rudová, Logické programování I, 1 8. května 201 2 Chování negace ?- \+ drahe( citroen ). ?- \+ drahe( X ). Negace jako neúspěch používá předpoklad uzavřeného světa pravdivé je pouze to, co je dokazatelné ?- \+ drahe( X ). \+ drahe( X ) :- drahe(X),!,fail. yes no \+ drahe( X). z definice \+ plyne: není dokazatelné, že existuje X takové, že drahe( X ) platí tj. pro všechna X platí \+ drahe( X ) ?- drahe( X ). PTÁME SE: existuje X takové, že drahe( X ) platí? ALE: pro cíle s negací neplatí existuje X takové, že \+ drahe( X ) negace jako neúspěch není ekvivalentní negaci v matematické logice Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 Predikáty na řízení běhu programu I. řez „!" fai 1: cíl, který vždy neuspěje true: cíl, který vždy uspěje \+ P: negace jako neúspěch \+ P :- P, !, fail; true. once(P): vrátí pouze jedno řešení cíle P once(P) :- P, !. Vyjádření podmínky: P -> Q ; R ■ jestliže platí P tak Q (P -> Q ; R) : - P, ! , Q. ■ v opačném případě R (P -> Q ; R) :- R. ■ príklad: min(X,Y,Z) : - X =< Y -> Z = X ; Z = Y. P -> Q ■ odpovídá: (P -> Q; fail) ■ příklad: zaporne(X) :- number(X) -> X < 0. Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 53 Rez, negace Predikáty na řízení běhu programu II. ■ cal 1 (P): zavolá cíl P a uspěje, pokud uspěje P ■ nekonečná posloupnost backtrackovacích voleb: repeat repeat. repeat :- repeat. klasické použití: generuj akci X, proveď ji a otestuj, zda neskončit Hlava :- ... uloz_stav( StaryStav ), repeat, generuje X ), % deterministické: generuj, prováděj, testuj prováděj( X ), testuj C X ), i obnov_stav( StaryStav ), Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 54 Řez, negace Reprezentace seznamu ■ Seznam: [a, b, c], prázdný seznam [] ■ Hlava (libovolný objekt), tělo (seznam): .(Hlava, Telo) ■ všechny strukturované objekty stromy - i seznamy ■ funktordva argumenty Seznamy ■ .(a, .cb, .cc, □))) = [a, b, c] ■ notace: [ Hlava | Telo ] = [a | Tel o] Telo je v [a | Tel o] seznam, tedy píšeme [ a, b, c ] = [ a | [ b, c ] ] ■ Lze psát i: [a, b | Tel o] ■ před " |" je libovolný počet prvku seznamu , za " |" je seznam zbývajících prvku ■ [a,b,c] = [a|[b,c]] = [a,b|[c]] = [a,b,c|[]] ■ pozor: [ [a,b] | [c] ] + [ a, b | [c] ] ■ Seznam jako neúplná datová struktura: [a,b,c|T] ■ Seznam = [a,b,c|T], T = [d,e|S], Seznam = [a,b,c,d,e|S] Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 56 Seznamy Prvek seznamu ■ member( X, S ) ■ platí: member( b, [a,b,c] ). ■ neplatí: member( b, [[a,b]|[c]] ). ■ Xje prvek seznamu S, když ■ Xje hlava seznamu S nebo memberC X, [ X | _ ] ). %(1) ■ Xje prvek těla seznamu S member( X, [ _ | Telo ] ) :- memberC X, Telo ). %(2) ■ Příklady použití: ■ memberCl,[2,1,3]). ■ member(X,[1,2,3]) . Hana Rudová, Logické programování I, 1 8. května 201 2 57 dle (1). □ yes dle(1). □ yes member(1,[2,1,3,1,4]) | dle (2) member(1,[1,3,1,4]) dle (2) member(1,[3,1,4]) dle (2) member(1 ,[1,4]) dle (2) member(1 ,[4]) | dle (2) member(1,[]) dle (2) no Cvičení: append/2 appendC [], S, S ). % (1) appendC [X|S1], S2, [X|S3] ) :- appendC SI, S2, S3). % (2) :- append([l,2],[3,4],A). I (2) I A=[1|B] I :- append([2],[3,4],B). I (2) I B=[2|C] => A=[1,2|C] I :- append([],[3,4],Q. I CD | C=[3,4] => A=[l,2,3,4], I yes Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 Spojení seznamů append( LI, L2, L3 ) Platí: append( [a,b], [c,d], [a,b,c,d] ) Neplatí: appendC [b,a], [c,d], [a,b,c,d] ), appendC [a,[b]], [c,d], [a,b,c,d] ) Definice: ■ pokud je 1. argument prázdný seznam, pak 2. a 3. argument jsou stejné seznamy: appendC □ , S, S ). ■ pokud je 1. argument neprázdný seznam, pak má 3. argument stejnou hlavu jako 1.: appendC [X|S1], S2, [X|S3] ) :- appendC SI, S2, S3). X S1 S2 S3 Hana Rudová, Logické programování I, 1 8. května 201 2 Optimalizace posledního volání Last Call Optimization (LCO) Implementační technika snižující nároky na paměť Mnoho vnořených rekurzivních volání je náročné na paměť Použití LCO umožňuje vnořenou rekurzi s konstantními pamětovými nároky Typický příklad, kdy je možné použití LCO: ■ procedura musí mít pouze jedno rekurzivní volání: v posledním cíli poslední klauzule ■ cíle předcházející tomuto rekurzivnímu volání musí být deterministické ■ p( ...):- ... % žádné rekurzivní volám' v těle klauzule ) % žádné rekurzivní voláni v těle klauzule p(...) :- !, p( ... ). % řez zajišťuje determinismus Tento typ rekurze lze převést na iteraci Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 LCO a akumulátor Reformulace rekurzivní procedury, aby umožnila LCO Výpočet délky seznamu length( Seznam, Délka ) lengthC [] , 0 ) . lengthC [ H | T ], Délka ) :- lengthC T, DelkaO ), Délka is 1 + DelkaO. Upravená procedura, tak aby umožnila LCO: % lengthC Seznam, ZapocitanaDelka, CelkovaDelka ): % CelkovaDelka = ZapocitanaDelka + ,,počet prvků v Seznam'' lengthC Seznam, Délka ) :- lengthC Seznam, 0, Délka ). % pomocný predikát lengthC □ , Délka, Délka ). % celková délka = započítaná délka lengthC [ H I T ], A, Délka ) :- A0 is A + 1, lengthC T, A0, Délka ). Přídavný argument se nazývá akumulátor Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 61 Seznamy Akumulátor jako seznam Nalezení seznamu, ve kterém jsou prvky v opačném pořadí reverse( Seznam, OpacnySeznam ) ■ reverseC [] , [] ) • reverseC [ H | T ], Opacny ) :-reverseC T, OpacnyT ), appendC OpacnyT, [ H ], Opacny ). ■ naivní reverse s kvadratickou složitosti reverse pomocí akumulátoru s lineární složitostí ■% reverseC Seznam, Akumulátor, Opacny ): % Opacny obdržíme přidáním prvků ze Seznam do Akumulátor v opačném poradi reversef Seznam, OpacnySeznam ) :- reversef Seznam, [], OpacnySeznam). reversef [], S, S ). reversef [ H | T ], A, Opacny ) :- reversef T, [ H | A ], Opacny ). % přidání H do akumulátoru ■ zpětná konstrukce seznamu (srovnej s předchozí dopřednou konstrukcí, např. append) Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 63 Seznamy max_list s akumulátorem Výpočet největšího prvku v seznamu max_1i st (Seznam, Max) max_listC[X], X). max_listC[X|T], Max) :-max_li st CT,MaxT), C MaxT >= X, !, Max = MaxT Max = X ). max_listC[H|T],Max) :- max_listCT,H,Max). max_listC[], Max, Max). max_listC[H|T], CastecnyMax, Max) :-C H > CastecnyMax, !, max_listCT, H, Max ) max_listCT, CastecnyMax, Max) ). Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 62 Seznamy reverse/2: cvičení reverseC Seznam, OpacnySeznam ) :- % Cl) reverseC Seznam, [], OpacnySeznam). reverseC [], S, S ). % (2) reverseC [ H | T ], A, Opacny ) :- % C3) reverseC T, [ H | A ], Opacny ). ? - reverseC[l,2,3],0). reverseC[l,2,3] ,0) -> CD reverseC[l,2,3], [], 0) - (3) reverseC [2, 3] , [1] , 0) -~ (3) reverseC[3], [2,1], 0) -~ (3) reverseC[] , [3,2,1] , 0) - (2) yes 0=[3,2,1] Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 64 Seznamy Neefektivita při spojování seznamů Sjednocení dvou seznamů append( [], S, S ). append( [X|S1], S2, [X|S3] ) :- append( SI, S2, S3 ). ?- append( [2,3], [1], S ). postupné volání cílů: append( [2,3], [1], S ) - append( [3], [1], S') - append( [], [1], S" ) Vždyje nutné projít celý první seznam Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 Akumulátor vs. rozdílové seznamy: reverse reverseC [] , [] ) . reverseC [ H | T ], Opacny ) :- reverseC T, OpacnyT ), appendC OpacnyT, [ H ], Opacny ). kvadratická složitost reverseC Seznam, Opacny ) :- reverseOC Seznam, [], Opacny ). reverseOC [] , S, S ) . reverseOC [ H | T ], A, Opacny ) :- reverseOC T, [ H | A ], Opacny ). akumulátor Oineárni) reverseC Seznam, Opacny ) :- reverseOC Seznam, Opacny-[]). reverseOC □ , S-S ) . reverseOC [ H | T ], Opacny-OpacnyKonec ) :- reverseOC T, Opacny-[ H | OpacnyKonec] ). Příklad: operace pro manipulaci s frontou ■ test na prázdnost, přidání na konec, odebrání ze začátku rozdílové seznamy Cl i neárni) Hana Rudová, Logické programování 1,18. května 2012 Rozdílové seznamy Zapamatování konce a připojení na konec: rozdílové seznamy [a,b] = L1-L2 = [a,b|T]-T = [a,b,c|S]-[c|S] = [a,b,c]-[c] Reprezentace prázdného seznamu: L-L A1 i' Z1 A2 Z2 L1 i L2 \ append( Al-Zl, Z1-Z2, A1-Z2 ). LI L2 L3 [2,3] [1] [2,3,1] [2,3|Z1]-Z1 [1|Z2]-Z2 [2,3,1|Z2]-Z2 L3 ■ ?- append( [2,3|Z1]-Z1, [1|Z2]-Z2, S ). S = AI - Z2 = [2,3|Zl] - Z2 = [2,3| [1|Z2] ] - Z2 Zl = [1|Z2] S = [2,3,1|Z2]-Z2 1 Jednotková složitost, oblíbená technika ale není tak flexibilní Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 66 Vestavěné predikáty Vestavěné predikáty Predikáty pro řízení běhu programu ■ fail, true,... Různé typy rovností ■ unifikace, aritmetická rovnost, ... Databázové operace ■ změna programu (programové databáze) za jeho běhu Vstup a výstup Všechna řešení programu Testování typu termu ■ proměnná?, konstanta?, struktura?, ... Konstrukce a dekompozice termu ■ argumenty?, funktor?, ... Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 Vestavěné predikáty Příklad: databázové operace Caching: odpovědi na dotazyjsou přidány do programové databáze ■ ?- solve( problem, Solution), asserta( solve( problem, Solution) ). ■ :- dynamic solve/2. % nezbytné při použití v SICStus Prologu Příklad: uloz_trojice( Seznámí, Seznam2 ) :-member( XI, Seznámí ), member( X2, Seznam2 ), spocitej_treti( XI, X2, X3 ), assertz( trojice( XI, X2, X3 ) ), f a i 1. uloz_trojice( _, _ ) :- !. Hana Rudová, Logické programování I, 1 8. května 201 2 Vestavěné predikáty Databázové operace Databáze: specifikace množiny relací Prologovský program: programová databáze, kde jsou relace specifikovány explicitně (fakty) i implicitně (pravidly) Vestavěné predikáty pro změnu databáze během provádění programu: assert( Klauzule ) přidání Klauzule do programu asserta( Klauzule ) přidání na začátek assertz( Klauzule ) přidání na konec retract( Klauzule ) smazání klauzule unifikovatelné s Klauzule Pozor: nadměrné použití těchto operací snižuje srozumitelnost programu Hana Rudová, Logické programování I, 1 8. května 201 2 Vestavěné predikáty Vstup a výstup uživatelsky terminal program může číst data ze vstupního proudu (input stream) program může zapisovat data do výstupního proudu (output stream) dva aktivní proudy ■ aktivní vstupní proud ■ aktivní výstupní proud uživatelský terminál - user ■ datový vstup z terminálu user I chápán jako jeden ze vstupních proudů ■ datový výstup na terminál chápán jako jeden z výstupních proudů soubor 1 soubor 2 —ta program —w — user soubor 3 vstupni proudy vystupni proudy Hana Rudová, Logické programováni I, 18. května 2012 Vestavěné predikáty Vstupní a výstupní proudy: vestavěné predikáty ■ změna (otevření) aktivního vstupního/výstupního proudu: see(S)/tell (S) ctěni( Soubor ) :- see( Soubor ), cteni_ze_souboru( Informace ), see( user ). ■ uzavření aktivního vstupního/výstupního proudu: seen/told ■ zjištění aktivního vstupního/výstupního proudu: seeing(S)/te"l"ling(S) ctěni( Soubor ) :- seeing( StarySoubor ), see( Soubor ), cteni_ze_souboru( Informace ), seen, see( StarySoubor ). Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 Vestavěné predikáty Příklad čtení ze souboru process_file( Soubor ) :- seeing( StarySoubor ), see( Soubor ), repeat, read( Term ), process_term( Term ), Term == end_of_file, % zjištění aktivního proudu % otevření souboru Soubor % čtení termu Term % manipulace s termem % je konec souboru? seen, see( StarySoubor ). % uzavření souboru % aktivace původního proudu repeat. repeat repeat. % opakování Sekvenční přístup k textovým souborům čtení dalšího termu: read(Term) ■ při čtení jsou termy odděleny tečkou | ?- read(A), read( ahoj(B) ), read( [C,D] ). |: ahoj. ahoj C petre ). [ ahojC 'Petre!' ), jdeme ]. A = ahoj, B = petre, C = ahoj('Petre!'), D = jdeme ■ po dosažení konce souboru je vrácen atom end_of_f i le zápis dalšího termu: write(Term) ?- writeC ahoj ). ?- writeC 'Ahoj Petre!' ). nový řádek na výstup: nl N mezer na výstup: tab(N) čtení/zápis dalšího znaku: getO(Znak) , get(NeprazdnyZnak)/put(Znak) ■ po dosažení konce souboru je vrácena -1 Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 Vestavěné predikáty Čtení programu ze souboru Interpretování kódu programu ■ ?- consult(program). ■ ?- consult('program.pl'). ■ ?- consult( [programl, 'program2.pl'] ). Kompilace kódu programu ■ ?- compile( [programl, 'program2.pl']). ■ ?- [program]. ■ ?- [user]. zadávání kódu ze vstupu ukončené CTRL+D ■ další varianty podobně jako u interpretování ■ typické zrychlení: 5 až 10 krát Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 75 Vestavěné predikáty Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 76 Vestavěné predikáty Všechna řešení ■ Backtracking vrací pouze jedno řešení po druhém ■ Všechna řešení dostupná najednou: bagof/3 , setof/3, findall/3 ■ bagof( X, P, 5 ): vrátí seznam S, všech objektů X takových, že P je splněno vek( petr, 7 ). vek( anna, 5 ). vek( tomas, 5 ) . ?- bagofC Dite, vek( Dite, 5 ), Seznam ). Seznam = [ anna, tomas ] ■ Volné proměnné v cíli P jsou všeobecně kvantifikovány ?- bagofC Dite, vek( Dite, Vek ), Seznam ). Vek = 7, Seznam = [ petr ]; Vek = 5, Seznam = [ anna, tomas ] Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 77 Vestavěné predikáty Existenční kvantifikátor „" " ■ Přidání existenčního kvantifikátoru ,," " => hodnota proměnné nemá význam ?- bagofC Dite, Vek"vek( Dite, Vek ), Seznam ). Seznam = [petr,anna,tomas] ■ Anonymní proměnné jsou všeobecně kvantifikovány, i když jejich hodnota není (jako vždy) vracena na výstup ?- bagofC Dite, vek( Dite, _Vek ), Seznam ). Seznam = [petr] ; Seznam = [anna,tomas] ■ Před operátorem „" " může být i seznam ?- bagof( Vek ,[Jméno,Prijmeni]"vekC Jméno, Prijmeni, Vek ), Seznam ). Seznam = [7,5,5] Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 79 Vestavěné predikáty Všechna řešení II. ■ Pokud neexistuje řešení bagof(X, P, S) neuspěje ■ bagof: pokud nějaké řešení existuje několikrát, pak S obsahuje duplicity ■ bagof, setof, findall: P je libovolný cíl vekC petr, 7 ). vekC anna, 5 ). vekC tomas, 5 ). ?- bagofC Dite, C vekC Dite, 5 ), Dite \= anna ), Seznam ). Seznam = [ tomas ] ■ bagof, setof, findall: na objekty shromažďované vX nejsou žádná omezení: Xje term ?- bagofC Dite-Vek, vekC Dite, Vek ), Seznam ). Seznam = [petr-7,anna-5,tomas-5] Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 78 Vestavěné predikáty Všechna řešení III. ■ setof ( X, P, S ): rozdíly od bagof ■ S je uspořádaný podle @< ■ případné duplicity v S jsou eliminovány ■ findalK X, P, S ): rozdíly od bagof ■ všechny proměnné jsou existenčně kvantifikovány ?- findalK Dite, vek( Dite, Vek ), Seznam ). ^vS jsou shromažďovány všechny možnosti i pro různá řešení => findall uspěje přesně jednou ■ výsledný seznam může být prázdný => pokud neexistuje řešení, uspěje a vrátí S = [] ■ ?- bagofC Dite, vekC Dite, Vek ), Seznam ). Vek = 7, Seznam = [ petr ]; Vek = 5, Seznam = [ anna, tomas ] ?- findallC Dite, vekC Dite, Vek ), Seznam ). Seznam = [petr,anna,tomas] Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 80 Vestavěné predikáty Testování typu termu Určení počtu výskytů prvku v seznamu var(X) nonvar(X) atom(X) i nteger(X) float (X) atomi c(X) compound(X) X je volná proměnná X není proměnná X je atom (pavel, 'Pavel Novák', <-->) X je integer X je float X je atom nebo číslo X je struktura count( X, S, N ) :- count( X, S, 0, N ). count( _, [], N, N ). count( X, [X|S], NO, N) :- !, Nl is NO + 1, count( X, S, Nl, N). count( X, [_|S], NO, N) :- count( X, S, NO, N). :-? count( a, [a,b,a,a], N ) N=3 :-? count( a, [a,b,X,Y], N). N=3 count( _, [], N, N ). count( X, [Y|S], NO, N ) :- nonvar(Y), X = Y, !, Nl is NO + 1, count( X, S, Nl, N ). count( X, [_|S], NO, N ) :- count( X, S, NO, N ). Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 81 Vestavěné predikáty Konstrukce a dekompozice atomu ■ Atom (opakování) ■ řetězce písmen, čísel, „_" začínající malým písmenem: pavel , pavel_novak, x2, x4_34 ■ řetězce speciálních znaků:+, <->, ===> ■ řetězce v apostrofech: ' Pavel ' , 'Pavel Novák', 'prši', 'ano' ?- 'ano'=A. A = ano ■ Řetězec znaků v uvozovkách ■ př. "ano", "Pavel" ?- A="Pavel". ?- A="ano". A = [80,97,118,101,108] A=[97,110,111] ■ př. použití: konstrukce a dekompozice atomu na znaky, vstup a výstup do souboru ■ Konstrukce atomu ze znaků, rozložení atomu na znaky name( Atom, SeznamASCIIKodu ) nameC ano, [97,110,111] ) nameC ano, "ano" ) Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 83 Vestavěné predikáty Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 82 Vestavěné predikáty Konstrukce a dekompozice termu ■ Konstrukce a dekompozice termu Term =.. [ Funktor | SeznamArgumentu ] a(9,e) =.. [a,9,e] Cil =.. [ Funktor | SeznamArgumentu ], call( Cil ) atom =. . X => X = [atom] ■ Pokud chci znát pouze funktor nebo některé argumenty, pak je efektivnější: functor( Term, Funktor, Arita ) functorC a(9,e), a, 2 ) functor(atom,atom,0) functor(l,1,0) arg( N, Term, Argument ) argC 2, a(9,e), e) Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 84 Vestavěné predikáty Rekurzivní rozklad termu Term je proměnná (var/l), atom nebo číslo (atomic/1) => konec rozkladu Term je seznam ([_!_])=> []... řešen výše jako atomic procházení seznamu a rozklad každého prvku seznamu Term je složený (=../2 , functor/3) => procházení seznamu argumentů a rozklad každého argumentu Příklad: ground/1 uspěje, pokud v termu nejsou proměnné; jinak neuspěje ground(Term) :- atomic(Term), !. ground(Term) :- var(Term), !, fail. groundC[H|T]) :- !, ground(H), ground(T). ground(Term) :- Term =.. [ _Funktor | Argumenty ], groundC Argumenty ). ?- ground(s(2,[a(l,3),b,c],X)). ?- ground(s(2, [a(l,3),b,c])). no yes Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 85 Vestavěné predikáty Cvičení: dekompozice termu Napište predikát substitute( Podterm, Term, Podterml, Terml), který nahradí všechny výskyty Podterm v Term termem Podterml a výsledek vrátí v Terml Předpokládejte, že Term a Podterm jsou termy bez proměnných ?- substitute( sin(x), 2*sin(x)*f(sin(x)), t, F ). F=2*t*f(t) Příklad: dekompozice termu I. ■ count_term( Integer, Term, N ) určí počet výskytů celého čísla v termu ■ ?- count_term( 1, a(l,2,b(x,z(a,b,1)),Y), N ). N=2 ■ count_term( X, T, N ) :- count_term( X, T, 0, N). count_term( X, T, NO, N ) :- integer(T), X = T, !, N i s NO + 1. count_term( _, T, N, N ) :- atomic(T), !. count_term( _, T, N, N ) :- var(T), !. count_term( X, T, NO, N ) :- T =.. [ _ | Argumenty ], count_arg( X, Argumenty, NO, N ). count_arg( _, [], N, N ). count_arg( X, [ H | T ], NO, N ) :- count_term( X, H, 0, Nl), N2 i s NO + Nl, count_arg( X, T, N2, N ). ■ ?- count_term( 1, [a,2,[b,c] ,[d,[e,f],Y]] , N ) . count_term( X, T, NO, N ) :- T = [_|_], !, count_arg( X, T, NO, N ). klauzuli přidáme před poslední klauzuli count_term/4 Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 86 Vestavěné predikáty Technika a styl programování v Prologu Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 87 Vestavěné predikáty Technika a styl programování v Prologu Styl programování v Prologu ■ některá pravidla správného stylu ■ správný vs. špatný styl ■ komentáře Ladění Efektivita Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 Technika a styl programování v Prologu Správný styl programování konstrukce setříděného seznamu Seznam3 ze setříděných seznamů Seznámí, Seznam2: merge( Seznámí, Seznam2, Seznam3 ) merge( [2,4,7], [1,3,4,8], [1,2,3,4,4,7,8] ) merge( [], Seznam, Seznam ) merge( Seznam, [], Seznam ). % prevence redundantních řešení merge( [X|Telol], [Y|Telo2], [X|Te"lo3] ) :■ X < Y, !, mergeC Telol, [Y|Telo2], Te"lo3 ). mergeC Seznámí, [Y|Telo2], [Y|Te"lo3] ) :-merge( Seznámí, Te"lo2, Te"lo3 ). Styl programování v Prologu I. ■ Cílem stylistických konvencí je ■ redukce nebezpečí programovacích chyb ■ psaní čitelných a srozumitelných programů, které se dobře ladí a modifikují ■ Některá pravidla správného stylu ■ krátké klauzule ■ krátké procedury; dlouhé procedury pouze s uniformní strukturou (tabulka) ■ klauzule se základními (hraničními) případy psát před rekurzivními klauzulemi ■ vhodnájmena procedur a proměnných ■ nepoužívat seznamy ([. . . ]) nebo závorky ({...}, (...)) pro termy pevné arity ■ vstupní argumenty psát před výstupními ■ struktura programu - jednotné konvence v rámci celého programu, např. ■ mezery, prázdné řádky, odsazení ■ klauzule stejné procedury na jednom místě; prázdné řádky mezi klauzulemi; každý cíl na zvláštním řádku Hana Rudová, Logické programování I, 1 8. května 201 2 90 Technika a styl programování v Prologu Špatný styl programování merge( SI, S2, S3 ) 51 = [], ! , S3 = S2; 52 = [], ! , S3 = SI; 51 = [X|TI], 52 = [Y|T2], ( X < Y, !, Z = X, merge( TI, S2, T3 ); Z = Y, merge( SI, T2, T3) ), 53 = [ Z I T3 ]. % první seznam je prázdný % druhý seznam je prázdný % Z je hlava seznamu S3 Hana Rudová, Logické programování I, 1 8. května 201 2 91 Technika a styl programování v Prologu Hana Rudová, Logické programování I, 1 8. května 201 2 92 Technika a styl programování v Prologu Styl programování v Prologu II. Dokumentace a komentáře Středník „;" může způsobit nesrozumitelnost klauzule ■ nedávat středník na konec řádku, používat závorky ■ v některých případech: rozdělení klauzle se středníkem do více klauzulí Opatrné používání operátoru řezu ■ preferovat použití zeleného řezu (nemění deklarativní sémantiku) ■ červený řez používat v jasně definovaných konstruktech negace: P, !, fail; true \+ P alternativy: Podmínka, !, Cill ; Cil2 Podmínka -> Cill ; Ci 12 Opatrné používání negace „\+" ■ negace jako neúspěch: negace není ekvivalentní negaci v matematické logice Pozor na assert a retract: snižuji transparentnost chování programu Hana Rudová, Logické programování I, 1 8. května 201 2 93 Technika a styl programování v Prologu ■ co program dělá, jak ho používat (jaký cíl spustit a jaké jsou očekávané výsledky), příklad použití ■ které predikáty jsou hlavní (top-level) ■ jak jsou hlavní koncepty (objekty) reprezentovány ■ doba výpočtu a paměťové nároky ■ jaké jsou limitace programu ■ zda jsou použity nějaké speciální rysy závislé na systému ■ jaký je význam predikátů v programu, jaké jsou jejich argumenty, které jsou vstupní a které výstupní (pokud víme) ■ vstupní argumenty „+", výstupní „-" mergeC +Seznaml, +Seznam2, -Seznam3 ) ■ ]menoPredikatu/Anta merge/3 ■ algoritmické a implementační podrobnosti Hana Rudová, Logické programování I, 1 8. května 201 2 94 Technika a styl programování v Prologu Ladění Přepínače na trasování: trace/0, notrace/0 Trasování specifického predikátu: spy/1, nospy/1 ■ spy( merge/3 ) debug/0, nodebug/0: pro trasování pouze predikátů zadaných spy/1 Libovolná část programu může být spuštěna zadáním vhodného dotazu: trasování cíle ■ vstupní informace: jméno predikátu, hodnoty argumentů při volání ■ výstupní informace ■ při úspěchu hodnoty argumentů splňující cíl ■ při neúspěchu indikace chyby ■ nové vyvolání přes stejný cíl je volán při backtrackingu Hana Rudová, Logické programování I, 1 8. května 201 2 95 Technika a styl programování v Prologu Krabičkový (4-branový) model ■ Vizualizace řídícího toku (backtrackingu) na úrovni predikátu ■ Cal 1: volání cíle ■ Exit: úspěšné ukončení volání cíle ■ Fai 1: volání cíle neuspělo ■ Redo: jeden z následujících cílů neuspěl a systém backtrackuje, aby nalezl alternativy k předchozímu řešení | Exit predekC X, Z ) :- rodicC X, Z ). +---------> i predekC X, Z ) :- rodicC X, Y ) , 1 1 predekC Y, Z ). + <--------- | Redo Hana Rudová, Logické programování I, 1 8. května 201 2 96 Technika a styl programování v Prologu Příklad: trasování Efektivita a(X) a(X) a(X) c(l). d(2). nonvar(X). c(X). d(X). Call I ------> + a(X) I a(X) <------+ a(X) Fai 1 I I Exit nonvar(X).| ------> c(X). I d(X). + <------ I Redo I ?- a(X). 1 ? 1 1 Call : a(_463) ? 2 2 Call : nonvarC. _463) ? 2 2 Fai 1 : nonvarC. _463) ? 3 2 Call : c(_463) 7 3 2 Exi t: c Cl) ? 1 1 Exi t: a(l) ? 1 1 Redo: a(l) ? 4 2 Call : d(_463) 7 4 2 Exi t: d(2) ? 1 1 Exi t: a(2) ? X = 2 ? no % trace I ?- Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 Technika a styl programování v Prologu Čas výpočtu, paměťové nároky, a také časové nároky na vývoj programu ■ u Prologu můžeme častěji narazit na problémy s časem výpočtu a pamětí ■ Prologovské aplikace redukují čas na vývoj ■ vhodnost pro symbolické, nenumerické výpočty se strukturovanými objekty a relacemi mezi nimi Pro zvýšení efektivity je nutno se zabývat procedurálními aspekty ■ zlepšení efektivity při prohledávání ■ odstranění zbytečného backtrackingu ■ zrušení provádění zbytečných alternativ co nejdříve ■ návrh vhodnějších datových struktur, které umožní efektivnější operace s objekty Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 Technika a styl programování v Prologu Zlepšení efektivity: základní techniky ■ Optimalizace posledního volání (LCO) a akumulátory ■ Rozdílové seznamy při spojování seznamů ■ Caching: uložení vypočítaných výsledků do programové databáze - Indexace podle prvního argumentu Predikátová logika l.řádu ■ např. v SICStus Prologu ■ při volání predikátu s prvním nainstaniovaným argumentem se používá hašovací tabulka zpřístupňující pouze odpovídající klauzule ■ zamestnanecC Prijmeni, Krestni]meno, Odděleni, ...) ■ seznamyC [], ...) :- ... . seznamyC [H|T], ...) :- ... . ■ Determinismus: ■ rozhodnout, které klauzule mají uspět vícekrát, ověřit požadovaný determinismus Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 Technika a styl programování v Prologu Teorie logického programování Predikátová logika I. řádu (PL1) ■ PROLOG: PROgramming in LOCic, část predikátové logiky l.řádu ■ fakta: rodic(petr,petrik), VXa(X) ■ klauzule: VXVY rodic(X,Y) => predek(X.Y) ■ Predikátová logika I. řádu (PL1) ■ soubory objektů: lidé, čísla, body prostoru, ... ■ syntaxe PL1, sémantika PL1, pravdivost a dokazatelnost ■ Rezoluce ve výrokové logice, v PL1 ■ dokazovací metoda ■ Rezoluce v logickém programování ■ Backtracking, řez, negace vs. rezoluce Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 101 Teorie logického programování Jazyky PL1 ■ Specifikace jazyka £ je definována funkčními a predikátovými symboly symboly tedy určují oblast, kterou jazyk popisuje ■ Jazyky s rovností: obsahují predikátový symbol pro rovnost „=" Příklady ■ jazyk teorie uspořádání ■ jazyk s =, binární prediátový symbol < ■ jazyk teorie množin ■ jazyk s =, binární predikátový symbol e ■ jazyk elementární aritmetiky ■ jazyk s =, nulární funkční symbol 0 pro nulu, unární funkční symbol s pro operaci následníka, binární funkční symboly pro sčítání + a násobení x Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 103 Predikátová logika Abeceda JA jazyka L PLI se skládá ze symbolů: ■ proměnné X, Y, ... označují libovolný objekt z daného oboru ■ funkční symboly f, g, ... označují operace (příklad: +, x ) ■ arita = počet argumentů, n-ární symbol, značíme f/n ■ nulární funkční symboly - konstanty: označují význačné objekty (příklad: 0, 1, ...) ■ predikátové symboly p,q, ... pro vyjádření vlastností a vztahů mezi objekty ■ arita = počet argumentů, n-ární symbol, značíme p/n příklad: <, e ■ logické spojky a, v, =>, = ■ kvantifikátory V, 3 ■ logika I. řádu používá kvantifikaci pouze pro individua (odlišnost od logik vyššího řádu) ■ v logice 1. řádu nelze: vE:V/t£K,V/:K-l ■ závorky: ),( Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 102 Predikátová logika Term, atomická formule, formule ■ Term nad abecedou JA ■ každá proměnná z je term ■ je-li f In z A ati.....tn jsou termy, pak f(t\.....tn) je také term ■ každý term vznikne konečným počtem užití přechozích kroků f( X, g(X,0)) ■ Atomická formule (atom) nad abecedou JA ■ je-li p/n z a ti.....tn jsou termy, pak p(ti.....tn) je atomická formule f(X) < g(X,0) ■ Formule nad abecedou JA ■ každá atomická formule je formule ■ jsou-li F a G formule, pak také (-ip), (F a G), (F v G), (F => G), (F = G) jsou formule ■ je-li X proměnná a F formule, pak také (VX F) a (3X F) jsou formule ■ každá formule vznikne konečným počtem užití přechozích kroků (3X ((f(X) = 0) a p(0))) Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 104 Predikátová logika Interpretace Interpretace 1 jazyka L nad abecedou JA je dána ■ neprázdnou množinou T> (také značíme \1\, nazývá se univerzum) a ■ zobrazením, které ■ každé konstantě cei přiřadí nějaký prvek T> ■ každému funkčnímu symbolu f/n e JA přiřadí n-ární operaci nad T> ■ každému predikátovému symbolu p/n e JA přiřadí n-ární relaci nad T> Příklad: uspořádání na R ■ jazyk: predikátový symbol menší/2 ■ interpretace: univerzum K; zobrazení: mensí(x,y) := x < y Příklad: elementární aritmetika nad množinou N (včetně 0) ■ jazyk: konstanta zero, funční symboly s/l, plus/2 ■ interpretace: ■ univerzum N; zobrazení: zero := 0, s(x):=l + x, plus(x,y) := x + y Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 105 Predikátová logika Model Interpretace se nazývá modelem formule, je-li v ní tato formule pravdivá ■ interpretace množiny N s obvyklými operacemi je modelem formule ( 1 + s(0) = s(s(0))) ■ interpretace, která se liší přiřazením s/l: s(x):=x není modelem této formule Teorie T" jazyka £ je množina formulí jazyka £, tzv. axiomů ■ -i s(X) = Oje jeden z axiomů teorie elementární aritmetiky Model teorie: libovolná interpretace, která je modelem všech jejích axiomů ■ všechny axiomy teorie musí být v této interpretaci pravdivé Pravdivá formule v teorii T" i= F: pravdivá v každém z modelů teorie T" ■ říkáme také formule platí v teorii nebo je splněna v teorii ■ formule 1 + s(0) = s(s(0)) je pravdivá v teorii elementárních čísel Logicky pravdivá formule i= F: libovolná interpretace je jejím modelem ■ nebo-li F je pravdivá v každém modelu libovolné teorie ■ formule C v C je logicky pravdivá, formule 1 + s(0) = s(s(0)) není logicky pravdivá Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 107 Predikátová logika Sémantika formulí ■ Ohodnocení proměnné qp(X): každé proměnném je přiřazen prvek \1\ ■ Hodnota termu (plus(s(zero),X)) = cp(s(zero)) + cp(X) = (1 + cp(zero)) + 0= (1 + 0)+ 0=1 ■ Každá dobře utvořená formule označuje pravdivostní hodnotu (pravda, nepravda) v závislosti na své struktuře a interpretaci Pravdivá formule 1 \=v Q: formule Q označena pravda Nepravdivá formule 1 tfv Qj. formule Q označena nepravda ■ příklad: p/1 predikátový symbol, tj. p s p := {(1), (3), (5),...} '1 N p (zero) a p (s (zero)) iff '1 N p (zero) a 'i N p (s (zero)) iff (q}(zero)) e p a (q?(s(zero))) e p iff (q}(zero)) e p a ((1 + q?(zero)) e p iff <0)epa G lze odvodit G ■ rezoluční princip: z formulí F v A, G v odvodit F v G ■ F je dokazatelná z formulí A\, ■ ■ ■ ,An A\, ■ ■ ■ ,An\- F existuje-li důkaz F z A\, ■ ■ ■ ,An ■ Dokazatelné formule v teorii T' nazýváme teorémy teorie T' Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 108 Predikátová logika Korektnost a úplnost Uzavřená formule: neobsahuje volnou proměnnou (bez kvantifikace) ■ VY ((0 < Y) a ( 3X (X < Y))) je uzavřená formule ■ ( 3X (X < Y)) není uzavřená formule Množina odvozovacích pravidel se nazývá korektní, jestliže pro každou množinu uzavřených formulí T a každou uzavřenou formuli F platí: jestliže řhf pak T 1= F (jestliže je něco dokazatelné, pak to platí) Odvozovací pravidla jsou úplná, jestliže jestliže T 1= F pak T V- F (jestliže něco platí, pak je to dokazatelné) PL1: úplná a korektní dokazatelnost, tj. pro teorii T" s množinou axiomů JA platí: T" i= F právě když JA v- F Rezoluce v predikátové logice l.řádu Hana Rudová, Logické programování 1,18. května 2012 109 Predikátová logika Rezoluce ■ rezoluční princip: z F v A, G v - formule je vždy pravdivá Hana Rudová, Logické programování 1,18. května 2012 111 Rezoluce v PL1 Formule ■ literál / ■ pozitivní literál = atomická formule p(t\, ■ ■ ■ ,tn) ■ negativní literál = negace atomické formule ->p(t\, ■ ■ ■ ,tn) ■ klauzule C = konečná množina literálů reprezentující jejich disjunkci ■ příklad: p(X) v q(a,f) v -ip(Y) notace: {p(X),q(a,f), ^p(Y)} ■ klauzule je pravdivá <=> je pravdivý alespoň jeden z jejích literálů ■ prázdná klauzule se značí □ a je vždy nepravdivá (neexistuje v ní pravdivý literál) ■ formule F = množina klauzulí reprezentující jejich konjunkci ■ formule je v tzv. konjuktivní normální formě (konjunkce disjunkcí) ■ příklad: (pvij)A (->p) a (p v -iq v r) notace: {{p,q}, {->p}, {p, -^,r}} ■ formule je pravdivá <=> všechny klauzule jsou pravdivé ■ prázdná formule je vždy pravdivá (neexistuje klauzule, která by byla nepravdivá) ■ množinová notace: literál je prvek klauzule, klauzule je prvek formule, ... Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 112 Rezoluce v PL1 Splnitelnost Rezoluční princip ve výrokové logice [Opakování:] Interpretace 2 jazyka £ je dána univerzem T) a zobrazením, které přiřadí konstantě c prvek T>, funkčnímu symbolu f In n-ární operaci v T> a predikátovému symbolu p/nn-ámi relaci. ■ příklad: F = {{f (a, b) = f (b,a)}, {f (f (a, a), b) = a}} interpretace 'h: D = Z, a := 1, b := -l,f := " + " Formule je splnitelná, existuje-li interpretace, pro kterou je pravdivá ■ formule je konjunkce klauzulí, tj. všechny klauzule musí být v dané interpretaci pravdivé ■ příklad (pokrač.): F je splnitelná (je pravdivá v íi) Formule je nesplnitelná, neexistuje-li interpretace, pro kterou je pravdivá ■ tj. formule je ve všech iterpretacích nepravdivá ■ tj. neexistuje interpretace, ve které by byly všechny klauzule pravdivé ■ příklad: G = {{p(b)}, {p(a)}, {->p(«)}} je nesplnitelná ({p(a)\ a {-ip(a)} nemohou být zároveň pravdivé) Hana Rudová, Logické programování 1,18. května 2012 113 Rezoluce v PL1 Rezoluční důkaz rezoluční důkaz klauzule C z formule F je konečná posloupnost Ci,..., Cn = C klauzulí taková, že d je buď klauzule z F nebo rezolventa C,, Ct pro k, j < í. příklad: rezoluční důkaz {p} z formule F = {{p,r}, {q, - -iF je nepravdivá ve všech interpretacích => F je vždy pravdivá ■ začneme-li z klauzulí reprezentujících -if, musíme postupným uplatňováním rezolučního principu dospět k prázdné klauzuli □ ■ Příklad: F ... -ifl v a -i F... a a -i a ^F ...{{a},{^a}} Ci = {fl},C2 = {-■«} rezolventa C\ a C2 je □, tj. F je vždy pravdivá ■ rezoluční důkaz □ z formule G se nazývá rezoluční vyvrácení formule G ■ a tedy C je nepravdivá ve všech interpretacích, tj. C je nesplnitelná Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 116 Rezoluce v PL1 Strom rezolučního důkazu ■ strom rezolučního důkazu klauzule C z formule F je binární strom: ■ kořen je označen klauzulí C, ■ listy jsou označeny klauzulemi z F a ■ každý uzel, který není listem, ■ má bezprostředními potomky označené klauzulemi C\ a Ci ■ je označen rezolventou klauzulí C\ a Ci ■ příklad: F = {{p,r}, {q, -.r}, {^q}, {^p}} C = □ {p,r} {q,^r} {^q} {^p} strom rezolučního vyvrácení (rezoluční důkaz □ z F) příklad: {{p,r}, {q, -.r}, {^q}, {^p, t}, {^s}, {s, ^ŕ}} Hana Rudová, Logické programování I, 1 8. května 201 2 Rezoluce v PLI Rezoluční princip ve výrokové logice Rezoluční princip = pravidlo, které umožňuje odvodit z klauzulí d u {1} a {-ii} u Cz klauzuli C\ u Cz Ciujil HluC2 QuC2 Ci u C2 se nazývá rezolventou původních klauzulí příklad: {p,r} {^r,s} (p v r) a (-if v í) {p,s} p v s obě klauzule (pvr)a (-ir v 5) musí být pravdivé protože r nestačí k pravdivosti obou klauzulí, musí být pravdivé p (pokud je pravdivé -p(t\, ■ ■ ■ ,tn) klauzule C = konečná množina literálů reprezentující jejich disjunkci ■ příklad: p(X) v q(a,f) v -ip(Y) notace: {p(X),q(a,f), ^p(Y)} ■ klauzule je pravdivá <=> je pravdivý alespoň jeden z jejích literálů ■ prázdná klauzule se značí □ a je vždy nepravdivá (neexistuje v ní pravdivý literál) formule F = množina klauzulí reprezentující jejich konjunkci ■ formule je v tzv. konjuktivní normální formě (konjunkce disjunkcí) ■ příklad: (pvij)A (->p) a (p v -iq v r) notace: {{p,q}, {->p}, {p, ^q,r}\ ■ formule je pravdivá <=> všechny klauzule jsou pravdivé ■ prázdná formule je vždy pravdivá (neexistuje klauzule, která by byla nepravdivá) množinová notace: literál je prvek klauzule, klauzule je prvek formule, . Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 Rezoluce v PL1 Rezoluční důkaz rezoluční důkaz klauzule C z formule F je konečná posloupnost Ci,..., Cn = C klauzulí taková, že Q je buď klauzule z F nebo rezolventa C,, Ct pro k, j < í. příklad: rezoluční důkaz {p} z formule F = {{p,r}, {q, - f(h(c), a,g(Y)) < 1 substituce je libovolná funkce 9 zobrazující výrazy do výrazů tak, že platí ■ 9(E) = E pro libovolnou konstantu E ■ 0(f(Ei, ■ ■ ■ ,£„)) = f (9(Ei), ■ ■ ■ , 9(En)) pro libovolný funkční symbol / ■ 9(p(E\, ■ ■ ■ ,En)) = p(0(Ei), ■ ■ ■ , 9(En)) pro libovolný predik. symbol p substituce je tedy homomorfismus výrazů, který zachová vše kromě proměnných - ty lze nahradit čímkoliv substituce zapisujeme zpravidla ve tvaru seznamu [Xi/gi, ■ ■ ■ ,Xn/%n] kde Xi jsou proměnné a substituované termy ■příklad: p(X)[X/f(a)] = p(f(a)) přejmenování proměnných: speciální náhrada proměnných proměnnými ■příklad: p(X)[X/Y] = p(Y) Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 121 Rezoluce v PL1 Unifikace ■ Ztotožnění dvou literálů p, q pomocí vhodné substituce a takové, že pa = qa nazýváme unifikací a příslušnou substituci unifikátorem. ■ Unifikátorem množiny S literálů nazýváme substituce 9 takovou, že množina S9 = {te\t e S} má jediný prvek. ■ příklad: S = { datum( Dl, Ml, 2003 ), datum( 1, M2, Y2) } unifikátor 9 = [Dl/l, Ml/2, M2/2, Y2/2003] S0 = { datum( 1, 2, 2003 ) } ■ Unifikátor a množiny S nazýváme nejobecnějším unifikátorem (mgu - most generál unifier), jestliže pro libovolný unifikátor 9 existuje substituce A taková, že 9 = ctA. ■ příklad (pokrač.): nejobecnější unifikátor a = [Dl /l, Y2/2003, Ml /M2], A=[M2/2] Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 122 Rezoluce v PL1 Rezoluční princip v PL1 základ: ....... ... Q u {i} HluC2 ■ rezoluční princip ve výrokové logice -—-—- Ci u c2 ■ substituce, unifikátor, nejobecnější unifikátor rezoluční princip v PL1 je pravidlo, které ■ připraví příležitost pro uplatnění vlastního rezolučního pravidla nalezením vhodného unifikátoru ■ provede rezoluci a získá rezolventu Ci u {A} {^B}uC2 C\pu u C2cr ■ kde p je přejmenováním proměnných takové, že klauzule (C\ uA)p a {B} u C2 nemají společné proměnné ■ a je nejobecnější unifikátor klauzulí Ap a B Příklad: rezoluce v PL1 ■ příklad: d = {p(X,Y), q(Y)} C2 = {^q(a), s(X,W)} ■ přejmenování proměnných: p = [X/Z] d = {p(Z,Y), q(Y)} C2 = {^q(a), s(X,W)} ■ nejobecnější unifikátor: a = [Yla] Ci = {p(Z,a), q(a)} C2 = {^q(a), s(X,W)} ■ rezoluční princip: C = {p(Z, a), s(X, W)} ■ vyzkoušejte si: d = {q(X), -.r(y), p(X,Y), p(/(Z),/(Z))} C2 = {n(Y), -^r(W), ->p(f(W),f(W)} Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 123 Rezoluce v PL1 Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 124 Rezoluce v PL1 Rezoluce v PLI Obecný rezoluční princip v PL1 Ciu{4-Al {-.ďi,-■-,-.£„} uC2 C\pu u C20- ■ kde p je přejmenováním proměnných takové, že množiny klauzulí {A\p, ■ ■ ■ ,Amp, C\p} a {Bi, ■ ■ ■ ,Bn, C2} nemají společné proměnné ■ ctje nejobecnější unifikátor množiny {A\p, ■ ■ ■ ,Amp,B\, ■ ■ ■ ,Bn} ■ příklad: Ai = a(X) vs. {-1B1, -iB2] = {^a(b),^a(Z)} v jednom kroku potřebuji vyrezolvovat zároveň Bi i B2 Rezoluce v PL1 ■ korektní: jestliže existuje rezoluční vyvrácení F, pak F je nesplnitelná ■ úplná: jestliže F je nesplnitelná, pak existuje rezoluční vyvrácení f Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 125 Rezoluce v PL1 Varianty rezoluční metody Věta: Každé omezení rezoluce je korektní. ■ stále víme, že to, co jsme dokázali, platí T-rezoluce: klauzule účastnící se rezoluce nejsou tautologie úplná ■ tautologie nepomůže ukázat, že formule je nesplnitelná sémantická rezoluce: úplná zvolíme libovolnou interpretaci a pro rezoluci používáme jen takové klauzule, z nichž alespoň jedna je v této interpretaci nepravdivá ■ pokud jsou obě klauzule pravdivé, těžko odvodíme nesplnitelnost formule vstupní (input) rezoluce: neúplná alespoň jedna z klauzulí, použitá při rezoluci, je z výchozí vstupní množiny S " {{p,í?}, í-'P.q.}, {p,"■ varianty rezoluční metody ■ vylepšení prohledávání ■ zastavit prohledávání cest, které nejsou slibné ■ specifikace pořadí, jak procházíme alternativními cestami Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 126 Rezoluce v Rezoluce a logické programování Lineární rezoluce Lineární rezoluce II. varianta rezoluční metody ■ snaha o generování lineární posloupnosti místo stromu ■ v každém kroku kromě prvního můžeme použít bezprostředně předcházející rezolventu a k tomu buď některou z klauzulí vstupní množiny S nebo některou z předcházejících rezolvent lineární rezoluční důkaz C z S je posloupnost dvojic , ■ ■ ■ {Cn,Bn) taková, že C = Cn+i a ■ Co a každá Bi jsou prvky S nebo některé Cj.j < i ■ každá Ci+i, i < n je rezolventa Q a Bi lineární vyvrácení S = lineární rezoluční důkaz □ z S C, C příklad: 5 = {Ax, A2, A3, A4] Ai = {p,q} A2 = {p, -*q} Aj, = {^p.q} A4 = {^p, -^q] S: vstupní množina klauzulí (',: střední klauzule Bc boční klauzule C i Bi {p,q}{p, -iq} \/ (pJ l^p,q} \/ lq} {~TU ■ ■ ■ , -.r„} Hi v ■ ■ ■ v Hm v -iTi v ■■■ v -iTu Hornova klauzule: nejvýše jeden pozitivní literál ' {H.^Ti.....^T„} {H} HTi.....^T„} ■ H v -iTi v ■ ■ ■ v ->Tn H -iTi v ■ ■ ■ v ->Tn Pravidlo: jeden pozitivní a alespoň jeden negativní literál ■ Prolog: H : - Ti, ■ ■ ■ ,Tn. Matematická logika: H <= Ti a ■ ■ ■ a Tn ■H^T H v-.T H v -.Ti v ■ ■ ■ v -iTn Klauzule: {H,-.Ti.....-iTn] Fakt: pouze jeden pozitivní literál ■ Prolog: H. Matematická logika: H Klauzule: {H} Cílová klauzule: žádný pozitivní literál ■ Prolog: : - Ti,... Tn. Matematická logika: -iTi v ■ ■ ■ v -iTn Klauzule: {-iTi, ■ ■ ■ ->Tn} Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 131 Rezoluce a logické programování Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 130 Rezoluce a logické programování Logický program ■ Programová klauzule: právě jeden pozitivní literál (fakt nebo pravidlo) ■ Logický program: konečná množina programových klauzulí ■ Příklad: ■ logický program jako množina klauzulí: P = {P1.P2.P3} Pi = {p], Pz = {p,^q}, P3={q] ■ logický program v prologovské notaci: V- v ■ -a- q. ■ cílová klauzule: G = {^q, -^p} : -q, p. Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 1 32 Rezoluce a logické programování Lineární rezoluce pro Hornovy klauzule Začneme s cílovou klauzulí: Co = G Boční klauzule vybíráme z programových klauzulí P G={^q,^p} P={P1,P2,P3}: Pi = {p), P2 = iP,^q}, P3 = iq) :-q,p. p. P--q, q. {^q,^p} Iq} \/, , \/ \/ {-i>} (pJ {^ql lil \/ \/ □ □ Střední klauzule jsou cílové klauzule Hana Rudová, Logické programování I, 1 8. května 201 2 Rezoluce a logickě programování Cíle a fakta při lineární rezoluci ■ Věta: Je-li S nesplnitelná množina Hornových klauzulí, pak S obsahuje alespoň jeden cíl a jeden fakt. ■ pokud nepoužiji cíl, mám pouze fakta (1 požit.literál) a pravidla (1 požit.literál a alespoň jeden negat. literál), při rezoluci mi stále zůstává alespoň jeden požit, literál ■ pokud nepoužiji fakt, mám pouze cíle (negat.literály) a pravidla (1 požit.literál a alespoň jeden negat. literál), v rezolventě mi stále zůstávají negativní literály ■ Věta: Existuje-li rezoluční důkaz prázdné množiny z množiny S Hornových klauzulí, pak tento rezoluční strom má v listech jedinou cílovou klauzuli. ■ pokud začnu důkaz pravidlem a faktem, pak dostanu zase pravidlo ■ pokud začnu důkaz dvěma pravidly, pak dostanu zase pravidlo ■ na dvou faktech rezolvovat nelze => dokud nepoužiji cíl pracuji stále s množinou faktů a pravidel ■ pokud použiji v důkazu cílovou klauzulí, fakta mi ubírají negat.literály, pravidla mi je přidávají, v rezolventě mám stále samé negativní literály, tj. nelze rezolvovat s dalším cílem Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 135 Rezoluce a logickě programování Lineární vstupní rezoluce Vstupní rezoluce na P u {G} ■ (opakování:) alespoň jedna z klauzulí použitá při rezoluci je z výchozí vstupní množiny ■ začneme s cílovou klauzulí: Co = G ■ boční klauzule jsou vždy z P (tj. jsou to programové klauzule) (Opakování:) Lineární rezoluční důkaz C z P je posloupnost dvojic (C0,Bo>, ■ ■ ■ (Cn,Bn) taková, že C = Cn+i a ■ Q a každá i?; jsou prvky P nebo některé Cj,j < í ■ každá Cí+i, í < n je rezolventa C; a Bí Lineární vstupní (Linear ínput) rezoluce (Ll-rezoluce) C z P u {G} posloupnost dvojic (Co,Bo), ■ ■ ■ (Cn,Bn) taková, že C = CM+i a ■ Co = G a každá Bi JSOU prvky P lineární rezoluce + vstupní rezoluce ■ každá Cí+i, í < n je rezolventa Q a Bi Hana Rudová, Logickě programování I, 18. května 2012 Rezoluce a logickě programování Korektnost a úplnost 1 Věta: Množina S Hornových klauzulí je nesplnitelná, právě když existuje rezoluční vyvrácení S pomocí vstupní rezoluce. 1 Korektnost platí stejně jako pro ostatní omezení rezoluce 1 Úplnost Ll-rezoluce pro Hornovy klauzule: Nechť P je množina programových klauzulí a G cílová klauzule. Je-li množina P u {G} Hornových klauzulí nesplnitelná, pak existuje rezoluční vyvrácení P u {G} pomocí Ll-rezoluce. ■ vstupní rezoluce pro (obecnou) formuli sama o sobě není úplná => Ll-rezoluce aplikovaná na (obecnou) formuli nezaručuje, že nalezeneme důkaz, i když formule platí! 1 Význam Ll-rezoluce pro Hornovy klauzule: ■ P = ÍPl.....Pn], G = {Gl.....Gm\ ■ Ll-rezolucí ukážeme nesplnitelnost P\ a ■ ■ ■ a Pn a (-iGi v ■ ■ ■ v -iGm) ■ pokud tedy předpokládáme, že program {Pi.....Pn\ platí, tak musí být nepravdivá (-iGi v ■ ■ ■ v -iGm), tj. musí platit Gi a ■ ■ ■ a Gm Hana Rudová, Logickě programování I, 18. května 2012 136 Rezoluce a logickě programování Uspořádané klauzule (definite clauses) Klauzule = množina literálů Uspořádaná klauzule (definite clause) = posloupnost literálů ■ nelze volně měnit pořadí literálů Rezoluční princip pro uspořádané klauzule: Í^A0,...,^An} {ď,-.ď0, ...,-.£,„} {^A0,-lAf-i, -ifioP, ■ ■ ■, ^Bmp, -lAf+i,..., -*A„}cr ■ uspořádaná rezolventa: {-*Ao.....-*Aí-i, -s(X), -.t(l), -^u(X)} {t(Z),^q(Z,X), -.r(3)} {-.í(A-),-.q(l,A),-.r(3),-.u(A-)} : -s(X), t(l),u(X). ř(Z) : -q(Z,X),r(3). : -s(X),q(l,A),r(3),u(X). p = [X/A] a=[Z/l] Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 1 38 Rezoluce a logické programování LD-rezoluce LD-rezoluční vyvrácení množiny uspořádaných klauzulí P u {G} je posloupnost (Go, Co),..., {Gn, Cn) taková, že ■ GuCíjsou uspořádané klauzule ■ G = Go ■ Gn+i = □ ■ d je uspořádaná cílová klauzule ■ Ci je přejmenování klauzule z P ■ Q neobsahuje proměnné, které jsou v Gj,j < í nebo v Q, k < i • Gr+i,0 < i < n je uspořádaná rezolventa d a Ct LD-rezoluce: korektní a úplná Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 139 Rezoluce a logické programování SLD-rezoluce ■ Lineární rezoluce se selekčním pravidlem = SLD-rezoluce (Selected Linear resolution for Definite clauses) ■ rezoluce ■ Selekční pravidlo ■ Lineární rezoluce ■ Definite (uspořádané) klauzule ■ vstupní rezoluce ■ Selekční pravidlo R je funkce, která každé neprázdné klauzuli C přiřazuje nějaký z jejích literálů R(C) e C ■ při rezoluci vybírám z klauzule literál určený selekčním pravidlem ■ Pokud se R neuvádí, pak se předpokládá výběr nejlevějšího literálů ■ nejlevější literál vybírá i Prolog Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 140 Rezoluce a logické programování Lineární rezoluce se selekčním pravidlem p= {{p}Ap,^q}Aq}}, G={^q,^p} {^q,^p} Iq} {^q,^p} (pI | y" výběr | y" Příklad: SLD-strom výběr nejlevějšího {~p} (PÍ literálu výběr nejpravějšího í-"?/ M literálu □ □ SLD-rezoluční vyvrácení p u {G} pomocí selekčního pravidla R je LD-rezoluční vyvrácení (Go, Co), (Gn, Cn) takové, že G = Go, Gn+\ = □ a R(Gí) je literál rezolvovaný v kroku i SLD-rezoluce - korektní, úplná Efektivita SLD-rezoluce je závislá na ■ selekčním pravidle R ■ způsobu výběru příslušné programové klauzule pro tvorbu rezolventy ■ v Prologu se vybírá vždy klauzule, která je v programu první ř : -p,r. t: -s. P '■ -q,v. p : -u, w. q. s. u. (D (2) (3) (4) (5) (6) (7) Hana Rudová, Logické programování I, 1 8. května 201 2 Rezoluce a logické programování Hana Rudová, Logické programování I, 1 8. května 201 2 Rezoluce a logické programování Strom výpočtu (SLD-strom) SLD-strom je strom tvořený všemi možnými výpočetními posloupnostmi logického programu p vzhledem k cíli G kořenem stromu je cílová klauzule G v uzlech stromu jsou rezolventy (rodiče uzlu a programové klauzule) ■ číslo vybrané programové klauzule pro rezoluci je v příkladu uvedeno jako ohodnocení hrany listyjsou dvojího druhu: ■ označené prázdnou klauzulí - jedná se o úspěšné uzly (succes nodes) ■ označené neprázdnou klauzulí - jedná se o neúspěšné uzly (failure nodes) úplnost SLD-rezoluce zaručuje existenci cesty od kořene k úspěšnému uzlu pro každý možný výsledek příslušející cíli G Příklad: SLD-strom a výsledná substituce : -a(Z). a(X) : -b(X,Y),c(Y). a(X) : -c(X). fc(2,3). fc(l,2). c(2). Cvičení: p(B) : -q(A,E),r(E). p (A) : -q(A,A). q(a, a). q(a, b). r(b). (1) (2) (3) (4) (5) :- a(Z). (1)/ \2) b(Z,Y), c(Y). :-c(Z). [Z/2.Y/3] (3)/ \(4) [Z/1 ,Y/2] \ (5) [Z/2] c(3). - c(2). (5) □ [Z/2] fail □ ÍZ/11 ve výsledné substituci jsou pouze proměnné z dotazu výsledné substituce jsou [Z/l] a [Z/2] nezajímá mě substituce [Y12] Hana Rudová, Logické programování 1,18. května 2012 Rezoluce a logické programování Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 Rezoluce a logické programování Výsledná substituce (answer substitution) Význam SLD-rezolučního vyvrácení P u {G} q(a). p(a,b). .-q(X), p(X,Y). X=a, Y=b q(X),p(X,Y). q(a). [X/a] :-pfaji^a.b). [Y/b] \/ □ [X/a, Y/b] Každý krok SLD-rezoluce vytváří novou unifikační substituci 9i => potenciální instanciace proměnné ve vstupní cílové klauzuli Výsledná substituce (answer substitution) 9 = 0001 ■ ■ ■ 9„ složení unifikací Množina P programových klauzulí, cílová klauzule G Dokazujeme nesplnitelnost (DPA(VÍ)hGi(I) v ^G2(X) v ■ ■ ■ v -^Gn(X)) kde G = {^Gi, -^G2, ■ ■ ■ , ^Gn} a X je vektor proměnných v G nesplnitelnost (1) je ekvivalentní tvrzení (2) a (3) (2) P h -"G (3) P ^ (3X)(GAX) A ■ ■ ■ AGn(X)) a jedná se tak o důkaz existence vhodných objektů, které na základě vlastností množiny P splňují konjunkci literálů v cílové klauzuli Důkaz nesplnitelnosti P u {G} znamená nalezení protipříkladu ten pomocí SLD-stromu konstruuje termy (odpověď) splňující konjunkci v (3) Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 Rezoluce a logické programování Výpočetní strategie Korektní výpočetní strategie prohledávání stromu výpočtu musí zaručit, že se každý (konečný) výsledek nalézt v konečném čase Korektní výpočetní strategie = prohledávání stromu do šířky ■ exponenciální paměťová náročnost ■ složité řídící struktury Použitelná výpočetní strategie = prohledávání stromu do hloubky ■ jednoduché řídící struktury (zásobník) ■ lineární paměťová náročnost ■ není ale úplná: nenalezne vyvrácení i když existuje ■ procházení nekonečné větve stromu výpočtu => na nekonečných stromech dojde k zacyklení ■ nedostaneme se tak najiné existující úspěšné uzly Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 Rezoluce a logické programování Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 146 Rezoluce a logické programování SLD-rezoluce v Prologu: úplnost Prolog: prohledávání stromu do hloubky => neúplnost použité výpočetní strategie Implementace SLD-rezoluce v Prologu ■ není úplná logický program: q : -r. (1) r:-q. (2) q. (3) dotaz: : -q. 7 q. (3) □ Hana Rudová, Logické programování I, 1 8. května 201 2 14 Rezoluce a logické programování Test výskytu SLD-rezoluce v Prologu: korektnost Kontrola, zda se proměnná vyskytuje v termu, kterým ji substituujeme ■ dotaz : -a(B,B). ■ logický program: a(X,f(X)). ■ by vedl k: [B/X], [X/f(X)] Unifikátorpro0(*i,...,*n) a g(f(X0,X0),f(X1,X1),... ,f(Xn^,Xn^)) Xi=f(X0,X0), X2 = f(X\,X\),..., Xn = f(Xn-i,Xn-i) X2=f(f(X0,Xo),f(X0,Xo)),... délka termu pro Xt exponenciálně narůstá => exponenciální složitost na ověření kontroly výskytu Test výskytu se při unifikaci v Prologu neprovádí Důsledek: ? - X = f(X) uspěje s X = /(/(/(/(/(/(/(/(/(/(...)))))))))) Hana Rudová, Logické programování I, 1 8. května 201 2 Rezoluce a logické programování Řízení implementace: řez nemá ale žádnou deklarativní sémantiku místo toho mění implementaci programu p : -q,!, v. ová jako kterýkoliv jiný literál pokud uspěji => přeskočím řez a pokračuji jako by tam řez nebyl pokud ale neuspěji (a tedy i při backtrackingu) a vracím se přes řez => vracím se až na rodiče : -p. a zkouším další větev => nezkouším tedy další možnosti, jak splnit p upnutí => a nezkouším ani další možnosti, jak splnit q v SLD-stromu ořezání Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 Rezoluce a logické programování Implementace SLD-rezoluce v Prologu nepoužívá při unifikaci test výskytu => není korektní (1) t(X) : -p(X,X). P(XJ(X)). :-t(X). X = /(/(/(/(...)))))))))) problém se projeví (2) ř : -p(X,X). :-t. p(X,f(X)). yes dokazovací systém nehledá unifikátor pro X a f(X) ■ Řešení: problém typu (2) převést na problém typu (1) ? ■ každá proměnná v hlavě klauzule se objeví i v těle, aby se vynutilo hledání unifikátoru (přidáme X = X pro každou X, která se vyskytuje pouze v hlavě) ř : -p(X,X). P(XJ(X)):-X = X. ■ optimalizace v kompilátoru mohou způsobit opět odpověď „yes" Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 Rezoluce a logické programování ř : -p,r. t: -s. P ■ -q(X), p : -u, w. q(a). q(b). s. u. (D (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) Příklad: řez (i)/ \^) - p, r. [X/a] (5) X !,v,r. (!) v.r. sí7) q(X),!,v,r. a fail Hana Rudová, Logické programování I, 1 8. května 201 2 Rezoluce a logické programování Příklad: řez II a(X) : -b(X,Y),\,c(Y). (1) a(X) : -c(X). (2) b(2,3). (3) b(l,2). (4) c(2). (5) í(A-) : -a(A-). (6) í(A-) :-p(A-). (7) : -q(A,B),r(B). (8) p(A) (9) q(a,a). (10) a zobrazením, které přiřadí konstantě c prvek T>, funkčnímu symbolu f In n-ární operaci v D a predikátovému symbolu p In n-ární relaci. ■ příklad: F = {{f (a, b) = f (b,a)}, {f (f (a, a), b) = a}} interpretace 'h: D = Z, a := 1, b := -1,/ := " + " Interpretace se nazývá modelem formule, je-li v ní tato formule pravdivá ■ interpretace množiny N s obvyklými operacemi je modelem formule ( 0 + s(0) = s(0)) Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 1 57 Sémantiky Specifikace Herbrandova modelu Herbrandovy interpretace mají předdefinovaný význam funktorů a konstant Pro specifikaci Herbrandovy interpretace tedy stačí zadat relace pro každý predikátový symbol Příklad: Herbrandova interpretace a Herbrandův model množiny formulí lichy(s(0)). % (1) lichyCs(sCX))) :- "lichy(X). % (2) ■ 2i = 0 není model (1) ' 12 = {Uchy(s(0))} není model (2) ■ % = {líchy(s(0)),líchy(s(s(s(0))))} není model (2) ■ 24 = {líchy(sn(0))\n e {1,3, 5, 7,...}} Herbrandův model (1) i (2) ■ 25 = {líchy(sn(0))\n e N}} Herbrandův model (1) i (2) Hana Rudová, Logické programování I, 1 8. května 201 2 Herbrandovy interpretace ■ Omezení na obor skládající se ze symbolických výrazů tvořených z predikátových a funkčních symbolů daného jazyka ■ při zkoumání pravdivosti není nutné uvažovat modely nad všemi interpretacemi ■ Herbrandovo univerzum: množina všech termů bez proměnných, které mohou být tvořeny funkčními symboly a konstantami daného jazyka ■ Herbrandova interpretace: libovolná interpretace, která přiřazuje ■ proměnným prvky Herbrandova univerza ■ konstantám sebe samé ■ funkčním symbolům funkce, které symbolu f pro argumenty ti, ■ ■ ■ , tn přiřadí term f(ti, ■■■,(„) ■ predikátovým symbolům libovolnou funkci z Herbrand. univerza do pravdivostních hodnot ■ Herbrandův model množiny uzavřených formulí T: Herbrandova interpretace taková, že každá formule z P je v ní pravdivá. Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 1 58 Sémantiky Příklad: Herbrandovy interpretace rodic(a,b). rodi c(b,c). predek(X,Y) :- rodic(X,Y). predek(X,Z) :- rodic(X,Y), predek(Y,Z). 1\ = {rodíc(a, b),rodíc(b, c), predek(a, b), predek(b, c), predek(a, c)} 12 = {rodíc(a,b),rodíc(b,c), predek(a, b), predekib, c), predekia, c), predekia, a)} 1\ i 12 jsou Herbrandovy modely klauzulí Cvičení: Napište minimální Herbrandův model pro následující logický program. muz(petr). muz(pavel). zena(olga). zena(jitka). pary(X,Y) :- zena(X), muz(Y). Uveďte další model tohoto programu, který není minimální. Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 160 Séma Deklarativní a operační sémantika ■ Je-li S množina programových klauzulí a M libovolná množina Herbrandových modelů S, pak průnik těchto modelů je opět Herbrandův model množiny S. 1 Důsledek: Existuje nejmenší Herbrandův model množiny S, který značíme M(S). ■ Deklarativní sémantikou logického programu P rozumíme jeho minimální Herbrandův model M(P). ■ Připomenutí: Operační sémantikou logického programu P rozumíme množinu O(P) všech atomických formulí bez proměnných, které lze pro nějaký cíl g1 odvodit nějakým rezolučním důkazem ze vstupní množiny P u {G.}. ^ímto výrazem jsou míněny všechny cíle, pro něž zmíněný rezoluční důkaz existuje. ■ Pro libovolný logický program P platí M(P) = O(P) Hana Rudová, Logické programování 1,18. května 2012 161 Sémantiky Negativní znalost logické programy vyjadřují pozitivní znalost negativní literály: pozice určena definicí Hornových klauzulí => nelze vyvodit negativní informaci z logického programu ■ každý predikát definuje úplnou relaci ■ negativní literál není logickým důsledkem programu relace vyjádřeny explicitně v nejmenším Herbrandově modelu ■ nad(X, Y) : -na(X, Y). na(c, b). nad(X, Y) : -na(X,Z),nad(Z, Y). na(b,a). ■ nejmenší Herbrandův model: {na(b,a),na(c, b),nad(b, a),nad(c, b),nad(c,a)} ani program ani model nezahrnují negativní informaci ■ a není nad c, a není na c ■ i v realitě je negativní informace vyjádřena explicitně zřídka, např. jízdní řád Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 Negace v logickém programování Negace v logickém programování Předpoklad uzavřeného světa neexistence informace chápána jako opak: předpoklad uzavřeného světa (dosed world assumption, CWA) převzato z databází určitý vztah platí pouze když je vyvoditelný z programu. P if A „odvozovací pravidlo" (A je (uzavřený) term): (CWA) pro SLD-rezoluci: P ý= nad(a, c), tedy lze podle CWA odvodit -^nad(a, c) problém: není rozhodnutelné, zda daná atomická formule je logickým důsledkem daného logického programu. ■ nelze tedy určit, zda pravidlo CWA je aplikovatelné nebo ne CWA v logickém programování obecně nepoužitelná. Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 Negace v logickém programování Negace jako neúspěch (negation as failure) Podstata zúplnění logického programu slabší verze CWA: definitivně neúspěšný (finitely failed) SLD-strom cíle : -A : -A má definitivně (konečně) neúspěšný SLD-strom . . , ., -—----- (negation as failure, NF normální cíl: cíl obsahující i negativní literály ■ : -nad(c,a), -inad(b,c). rozdíl mezi CWA a NF ■program nad(X, Y) : -nad(X,Y), cíl :--inad(b,c) ■ neexistuje odvození cíle podle NF, protože SLD-strom : -nad(b, c) je nekonečný ■ existuje odvození cíle podle CWA, protože neexistuje vyvrácení: -nad(b,c) CWA i NF jsou nekorektní: A není logickým důsledkem programu P řešení: definovat programy tak, aby jejich důsledkem byly i negativní literály zúplnění logického programu Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 Negace v logickém programování převod všech if příkazů v logickém programu na iff ■ nad(X,Y) : -na(X,Y). nad(X, Y) : -na(X, Z),nad(Z, Y). ■ lze psát jako: nad(X, Y) : -(na(X, Y)) v (na(X,Z),nad(Z, Y)). • zúplnění: nad(X, Y) « (na(X, Y)) v (na(X,Z),nad(Z, Y)). ■ X je nad Y právě tehdy, když alespoň jedna z podmínek platí ■ tedy pokud žádná z podmínek neplatí, X není nad Y kombinace klauzulí je možná pouze pokud mají identické hlavy ■ na(c, b). na(b, a). ■ lze psát jako: na(Xi,X2) : —X\ = c,X2 = b. na(XuX2) : -Xi = b,X2 = a. ■ zúplnění: na(Xi,X2) « (Xi = c,X2 = b) v (Xi = b,X2 = a). Hana Rudová, Logické programování I, 1 8. května 201 2 Negace v logickém programování Zúplnění programu Zúplnění programu P je: comp(P) := IFF(P) u CET Základní vlastnosti: ■ comp(P) f= P ■ do programuje přidána pouze negativní informace IFF(P): spojka : - vIF(P) je nahrazena spojkou « IF(P): množina všech formulí IF(q,P) pro všechny predikátové symboly q v programu P Cíl: definovat IF(q,P) def(pln) predikátu p/nje množina všech klauzulí predikátu pln Hana Rudová, Logické programování 1,18. května 2012 167 Negace v logickém programování na(XuX2) : -3Y(Xi = c,X2 = b,f(Y)) v (Xi = b,X2 = a,g). ■ q/n predikátový symbol programu P na(c,b):-f(Y). na(b,a):-g. ■ X\,..., Xn jsou „nové" proměnné, které se nevyskytují nikde v P ■ Nechť C je klauzule ve tvaru q(t\,..., tn) : -Li,..., Lm kde m > 0, h,..., tn jsou termy a Li,... ,Lm jsou literály. Pak označme E(C) výraz 3Yi,Yu(X\ = t\,... ,Xn = tn,L\,... ,Lm) kde Yi,..., Yk jsou všechny proměnné v C. ■ Nechť def(qln) = {Ci,..., Cj}. Pak formuli l¥(q,P) získáme následujícím postupem: q(Xi,...,Xn) : -E(Ci) VE(C2) v ■ ■ ■ vE(Q) pro j > 0a q(X\,.. .,Xn) : - □ pro j = 0 [q/n není v programu P Hana Rudová, Logické programování I, 1 8. května 201 2 1 68 Negace v logickém programování Čiarková Teorie Rovnosti (CET) všechny formule jsou univerzálně kvantifikovány: 1. X = X 2. X = Y^Y = X 3. X = YaY = Z^X = Z 4. pro každý f Im: Xx = Yx a ■ ■ ■ a Xm = Ym - f(X1,...,Xm) = f(Y1,...,Ym) 5. pro každý p/m: Xx = Yx a ■ ■ ■ a Xm = Ym - (p(Xlt...,Xm) - p(Ylt..., Ym)) 6. pro všechny různé f Im a g In, (m, n > 0): f(X\,.. .,Xm) ± g(Y\,..., Yn) 7. pro každý f Im: f(Xu...,Xm) = f(Yu...,Ym) —► X\ = ľi a ■ ■ ■ a Xm = Ym 8. pro každý term ŕ obsahující X jako vlastní podterm: ŕ ^ X X ± Y je zkrácený zápis (X = Y) Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 Negace v logickém programování Normální a stratifikované programy normální program: obsahuje negativní literály v pravidlech problém: existence zúplnění, která nemají žádný model ■ p : -->p. zúplnění: p «- -ip rozdělení programu na vrstvy ■ vynucují použití negace relace pouze tehdy pokud je relace úplně definovaná a. a: --ib, a. b. stratifi kovaný a. a: --ib, a. b : --ia. není stratifi kovaný normální program P je stratifikovaný: množina predikátových symbolů programu lze rozdělit do disjunktních množin So,..., Sm (Si = stratům) ■ p(...):-..., q(...),... e P, p e Sk => q e S0 u ... u Sk ' p(...) : - -KJ (...), ... e P, p e Sk => q e S0 u ... u 5k_i Hana Rudová, Logické programování I, 1 8. května 201 2 Negace v logickém programování Korektnost a úplnost NF pravidla Korektnost NF pravidla: Nechť P logický program a : -A cíl. Jestliže : -A má definitivně neúspěšný SLD-strom, pak V(-iA) je logickým důsledkem comp(P) (nebo-li comp(P) f= V(-iA)) Úplnost NF pravidla: Nechť P je logický program. Jestliže comp(P) f= V(-iA), pak existuje definitivně neúspěšný SLD-strom : -A. ■ zůstává problém: není rozhodnutelné, zda daná atomická formule je logickým důsledkem daného logického programu. ■ teorém mluví pouze o existenci definitivně neúspěšného SLD-stromu ■ definitivně (konečně) neúspěšný SLD-strom sice existuje, ale nemusíme ho nalézt ■ např. v Prologu: může existovat konečné odvození, ale program přesto cyklí (Prolog nenajde definitivně neúspěšný strom) Odvození pomocí NF pouze test, nelze konstruovat výslednou substituci ■ v (comp(P) i= V(-vl)) je A všeob. kvantifikováno, v V(-vl) nejsou volné proměnné Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 Negace v logickém programování Stratifi kované programy II program je m-stratifikovaný m je nejmenší index takový, že So u ... u Sm je množina všech predikátových symbolů z P Věta: Zúplnění každého stratifikovaného programu má Herbrandův model. ■ p :-~ úspěšné odvození Hana Rudová, Logické programování I, 1 8. května 201 2 1 73 Negace v logickém programování SLDNF rezoluce: neúspěšné odvození ■ NF pravidlo: : _ C. má konečně neúspěšný SLD-strom ■ Pokud máme negativní podcíl - neúspěšné odvození Hana Rudová, Logické programování I, 1 8. května 201 2 1 74 Negace v logickém programování SLDNF rezoluce: uvázlé odvození ■ NF pravidlo: :-C. má konečně neúspěšný SLD-strom ■ Pokud máme negativní podcíl -,,,... kde v každém kroku m + l(m > 0), R vybírá pozitivní literál v Gm a dospívá k Gm+\ obvyklým způsobem. ■ konečné SLD+-odvození může být: 1. úspěšné: Gí = □ 2. neúspěšné 3. blokované: Gí je negativní (např. -^a) Hana Rudová, Logické programování 1,18. května 2012 177 Negace v logickém programování ■ Úroveň cíle ■ P normální program, Go normální cíl, R selekční pravidlo: úroveň cíle Go se rovná ■ 0 <^ žádné SLD+-odvození s pravidlem R není blokováno ■ k + 1 maximální úroveň cílů : -a, které ve tvaru -,..., {Gí, e), (: - L\,... ,Lm-i,Lm+i,..., Ln) je (úspěšné) SLDNF odvození cíle Go ■ e označuje prázdnou cílovou substituci Hana Rudová, Logické programování 1,18. května 2012 179 Negace v logickém programování Typy SLDNF odvození Konečné SLDNF-odvození může být: 1. úspěšné: Gí = □ 2. neúspěšné 3. uvázlé (flounder): Gí je negativní (-*a) a : -a je úspěšné s neprázdnou cílovou substitucí 4. blokované: Gí je negativní (-*a) a : -a nemá konečnou úroveň. Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 Negace v logickém programování Korektnost a úplnost SLDNF odvození ■ korektnost SLDNF-odvození: P normální program, : -G normální cíl a R je selekční pravidlo: je-li 9 cílová substituce SLDNF-odvození cíle : -G, pak G9 je logickým důsledkem comp(P) ■ implementace SLDNF v Prologu není korektní ■ Prolog neřeší uvázlé SLDNF-odvození (neprázdná substituce) ■ použití bezpečných cílů (negace neobsahuje proměnné) ■ úplnost SLDNF-odvození: SLDNF-odvození není úplné ■ pokud existuje konečný neúspěšný strom : -A, pak -iA platí ale místo toho se odvozování: -A může zacyklit, tj. SLDNF rezoluce -iA neodvodí => -iA tedy sice platí, ale SLDNF rezoluce ho nedokáže odvodit Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 181 Negace v logickém programování CP: elektronické materiály ■ Dechter, R. Constraint Processing. Morgan Kaufmann Publishers, 2003. ■ http://www.ics.uci.edu/~dechter/books/materials.html průsvitky ke knize ■ Barták R. Přednáška Omezující podmínky na MFF UK, Praha. ■ http://kti.ms.mff.cuni.cz/~bartak/podmi nky/i ndex.html ■ SICStus Prolog User's Manuál. Kapitola o CLP(FD). ■ http://www.fi.muni.cz/~hanka/sicstus/doc/html / ■ Příklady v distribuci SICStus Prologu: cca 60 příkladů, zdrojový kód ■ 1 i b/sicstus-'-'-'/l i brary/cl pfd/examples/ Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 183 Logické programování s omezujícími podmínkami Logické programování s omezujícími podmínkami Constraint Logic Programming: CLP Probírané oblasti ■ Obsah ■ úvod: od LP k CLP ■ základy programování ■ základní algoritmy pro řešení problémů s omezujícími podmínkami ■ Příbuzné přednášky na Fl ■ PA163 Programování s omezujícími podmínkami ■ viz interaktivní osnova IS ■ PA167 Rozvrhování ■ http://www.fi.muni.cz/~hanka/rozvrhováni ■ zahrnuty CP techniky pro řešení rozvrhovacích problémů Hana Rudová, Logické programování I, 1 8. května 201 2 1 84 Logické programování s omezujícími podmínkami ,Vfc} Dk} Omezení (constraint) Dána ■ množina (doménových) proměnných Y = {yi ■ konečná množina hodnot (doména) D = {Di,. Omezení c na Y je podmnožina D\ x ... x Dk ■ omezuje hodnoty, kterých mohou proměnné nabývat současně Příklad: ■ proměnné: A,B ■domény: {0,1} pro A {1,2} pro B ■omezení: A^B nebo (A,B) e {(0,1 ),(0,2),(1,2)} Omezení c definováno na y\,.. .yt je splněno, pokud pro d\ e D\,.. .dk e Dk platí (tři, ■ ■ ■ dk) e c ■ příklad (pokračování): omezení splněno pro (0,1), (0,2), (1, 2), není splněno pro (1,1) Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 Logické programování s omezujícími podmínkami Řešení CSP Částečné ohodnocení proměnných (d\,dk),k < n ■ některé proměnné mají přiřazenu hodnotu Úplné ohodnocení proměnných (d\,..., dn) ■ všechny proměnné mají přiřazenu hodnotu Řešení CSP ■ úplné ohodnocení proměnných, které splňuje všechna omezení ■ (tři, ■ ■ ■, d„) e Di x ... x Dn je řešení (X, D, C) ■ pro každé cf e C na X{v .. platí (d\l,.. .dik) e cf Hledáme: jedno nebo všechna řešení nebo optimální řešení (vzhledem k objektivní funkci) Hana Rudová, Logické programování I, 1 8. května 201 2 Logické programování s omezujícími podmínkami Problém splňování podmínek (CSP) Dána ■ konečná množina proměnných X = {xi,...,x„} ■ konečná množina hodnot (doména) D = {D\,...,Dn} ■ konečná množina omezení C = {C\.....cm} ■ omezení je definováno na podmnožině X Problém splňování podmínek je trojice (X,D,C) (constraint satisfaction problem) Příklad: ■ proměnné: A,B,C ■domény: {0,1} pro A {1,2} pro B {0,2} pro C ■ omezení: A^B, B^C Hana Rudová, Logické programování I, 1 8. května 201 2 Logické programování s omezujícími podmínkami Příklad: jednoduchý školní rozvrh proměnné: Jan, Petr, ... domény: {3,4, 5,6}, {3,4},... omezení: al 1_di sti nct( [Jan, Petr, . . . ]) částečné ohodnocení: Jan=6, Anna=5, Marie=l úplné ohodnocení: Jan=6, Petr=3, Anna=5, 0ta=2, Eva=4, Marie=6 řešení CSP: 3an=6, Petr=3, Anna=5, 0ta=2, Eva=4, Marie=l všechna řešení: ještě Jan=6, Petr=4, Anna=5, 0ta=2, Eva=3, Marie=l optimalizace: ženy učí co nejdříve Anna+Eva+Marie #= Cena minimalizace hodnoty proměnné Cena optimální řešení: Jan=6, Petr=4, Anna=5, 0ta=2, Eva=3, Marie=l učitel min max Jan 3 6 Petr 3 4 Anna 2 5 Ota 2 4 Eva 3 4 Marie 1 6 Hana Rudová, Logické programování I, 1 8. května 201 2 Logické programování s omezujícími podmínkami CLPCFD) program Kód CLPCFD) programu Základní struktura CLP programu 1. definice proměnných a jejich domén 2. definice omezení 3. hledání řešení (1) a (2) deklarativní část ■ modelování problému ■ vyjádření problému splňování podmínek (3) řídící část ■ prohledávání stavového prostoru řešení ■ procedura pro hledání řešení (enumeraci) se nazývá labeling ■ umožní nalézt jedno, všechna nebo optimální řešení Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 189 Logické programování s omezujícími podmínkami Příklad: algebrogram Přiřaďte cifry 0, ... 9 písmenům S, E, N, D, M, O, R, Y tak, aby platilo: ■ SEND + MORE = MONEY ■ různá písmena mají přiřazena různé cifry ■ S a M nejsou 0 domain([E,N,D,0,R,Y], 0, 9), domain([S,M],1,9) 1000*S + 100*E + 10*N + D + 1000*M + 100*0 + 10*R + E #= 10000*M + 1000*0 + 100*N + 10*E + Y all_distinct( [S,E,N,D,M,0,R,Y] ) labelingC [S,E,N,D,M,0,R,Y] ) Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 191 Logické programováni s omezujícími podmínkami % základní struktura CLP programu solveC Variables ) :- declare_variablesC Variables ), domainCpan] ,3,6], ... post_constraints( Variables ), a]]_distinct(pan,Petr,...]) labelingC Variables ). % triviálni labeling labelingC [] )■ labelingC [Var|Rest] ) :- fd_minCVar,Min) , % výběr nejmenší hodnoty z domény C Var#=Min, labelingC Rest ) i Var#>Min , labelingC [Var|Rest] ) Hana Rudova, Logické programování 1,18. května 201 2 1 90 Logické programování s omezujícími podmínkami Od LP k CLP I. ■ CLP: rozšíření logického programování o omezující podmínky ■ CLP systémy se liší podle typu domény ■ CLP(JZI) generický jazyk ■ CLP(FD) domény proměnných jsou konečné (Finite Domains) ■ CLP(K) doménou proměnných je množina reálných čísel ■ Cíl ■ využít syntaktické a výrazové přednosti LP ■ dosáhnout větší efektivity ■ Unifikace v LPje nahrazena splňováním podmínek ■ unifikace se chápe jako jedna z podmínek ■ A = B ■ A #< B, A in 0..9, domai n ([A, B] , 0,9), a]]_di sti net ([A, B, C]) Hana Rudová, Logické programování I, 1 8. května 201 2 1 92 Logické programováni & omezujícími podmínkami Od LP k CLP II. Syntaxe CLP ■ Pro řešení podmínek se používají konzistenční techniky ■ consistency techniques, propagace omezení (constraint propagation) ■ omezení: A in 0. .2 , B in 0. .2 , B #< A domény po propagaci omezení B #< A: A in 1..2, B in 0..1 ■ Podmínky jsou deterministicky vyhodnoceny v okamžiku volání podmínky ■ Prohledávání doplněno konzistenčními technikami ■A in 1..2, B in 0..1, B# Vyvolání dvou řešičů: unifikace + řešič omezení Hana Rudová, Logické programování I, 1 8. května 201 2 1 94 Logické programování s omezujícími podmínkami CLP(FD) v SICStus Prologu Systémy a jazyky pro CP CLP(FD) v SICStus Prologu IBM ILOC CP 1987 ■ omezující podmínky v C++,Jave nebo generickém modelovacím jazyku OPL ■ implementace podmínek založena na objektově orientovaném programování ■ špičkový komerční sw, vznikl ve Francii, nedávno zakoupen IBM ■ nyní nově volně dostupný pro akademické použití Swedish Institute of Computer Science: SICStus Prolog 1 985 ■ silná CLP(FD) knihovna, komerční i akademické použití IC-PARC, Imperiál College London, Cisco Systems: ECLŕPSe 1 984 ■ široké možnosti kooperace mezi různými řešičemi: konečné domény, reálná čísla, repair ■ od 2004 vlastní Cisco Systems volně dostupné pro akademické použití, rozvoj na IC-PARC, platformy: Windows, Linux, Solaris Mnoho dalších systémů: Choco, Cecode, Minion, Oz, SWI Prolog, ... Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 CLPCfD) v SICStus Prologu Příslušnost k doméně: Range termy ?- domainC [A,B], 1,3). A in 1. . 3 B in 1. . 3 ?- A in 1..8, A #\= 4. A in Cl..3) \/ (5..8) domain( +Variables, +Min, +Max) ?X in +Min..+Max Doména reprezentována jako posloupnost intervalů celých čísel ?- A in (i..3) \/ C8..15) \/ C5..9) \/ {100}. ?X in +Range A in Cl..3) \/ (5..15) \/ {100} Zjištění domény Range proměnné Var: ■A in 1..8, A #\= 4, fd_domCA, Range). ■ A in 2..10, fd_domCA,(1..3) \/ C5..8)). Range term: reprezentace nezávislá na implementaci fd_dom(?Var,?Range) Range=(l..3) \/ (5..8) Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 CLPCfD) v SICStus Prologu Vestavěné predikáty jsou dostupné v separátním modulu (knihovně) :- use_module("library(clpfd)) . Obecné principy platné všude nicméně standarty jsou nedostatečné ■ stejné/podobné vestavěné predikáty existují i jinde ■ CLP knihovny v SWI Prologu i ECLiPSe se liší Hana Rudová, Logické programování I, 1 8. května 201 2 clp(fd) v SICStus Prologu Příslušnost k doméně: FDSet termy FDSet term: reprezentace závislá na implementaci ?- A in 1..8, A #\= 4, fd_setCA,FDSet). A in Cl..3) \/ (5..8) FDSet = [[113],[5|8]] fd_set(?Var,?FDSet) ?- A in 1. .8, A #\= 4, fd_set CA, FDSet), B in_set FDSet. ?X in_set +FDSet A in Cl..3) \/ C5..8) FDSet = [[113],[5|8]] B in Cl..3) \/ C5..8) FDSet termy představují nízko-úrovňovou implementaci FDSet termy nedoporučeny v programech ■ používat pouze predikáty pro manipulaci s nimi ■ omezit použití A in_set [[11 2] , [6 | 9]] Range termy preferovány Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 CLP(fD) v SICStus Prologu Další fd_. . . predikáty fdset_to_list(+FDset, -List) vrací do seznamu prvky FDset 1 ist_to_fdset(+List, -FDset) vrací FDset odpovídající seznamu fd_var(?Var) je Var doménová proměnná? fd_min(?Var,?Min) nejmenší hodnota v doméně fd_max(?Var, ?Max) největší hodnota v doméně fd_size(?Var,?Size) velikost domény fd_degree(?Var, ?Degree) počet navázaných omezení na proměnné ■ mění se během výpočtu: pouze aktivní omezení, i odvozená aktivní omezení Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 201 CLP(fD) v SICStus Prologu Aritmetická omezení ■ Expr RelOp Expr RelOp -> #= | #\= | #< | #=< | #> | #>= ■ A + B #=< 3, A #\= (C - 4) * C D - 5), A/2 #= 4 ■ POZOR: neplést #=< a #>= s operátory pro implikaci: #<= #=> ■ sum(Variables,RelOp,Suma) ■ domain([A,B,C,F],1,3), sum([A,B,C],#= ,F) ■ Variables i Suma musí být doménové proměnné nebo celá čísla ■ scalar_product(Coeffs,Variables,RelOp,Seal arProduct) ■ domain([A,B,C,F],1,6), scalar_product( [1,2,3],[A,B,C],#= ,F) ■ Variables i Val ue musí být doménové proměnné nebo celá čísla, Coeff s jsou celá čísla ■ POZOR na pořadí argumentů, nejprve jsou celočíselné koeficienty, pak dom. proměnné ■ scalar_product(Coeffs, Variables, #= , Value, [consistency(domain)]) ■ silnější typ konzistence ■ POZOR: domény musí mít konečné hranice Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 202 CLP(f d) v SICStus Prologu Základní globální omezení Všechny proměnné různé all_distinct(List) ■ všechny proměnné různé cumulative(...) ■ disjunktivní a kumulativní rozvrhování cumulatives(. . .) ■ kumulativní rozvrhování na více zdrojů all_distinet(Variables), all_different(Variables) Proměnné v seznamu Variables jsou různé all_distinct a all_different se liší úrovní propagace ■ all_distinct má úplnou propagaci ■ all_different má slabší (neúplnou) propagaci Příklad: učitelé musí učit v různé hodiny ■ all_di sti nct([Jan,Petr,Anna,Ota,Eva,Marie]) Jan = 6, Ota = 2, Anna = 5, Marie = 1, Petr in 3..4, Eva in 3..4 ■ all_different([Jan,Petr,Anna,Ota,Eva,Marie]) Jan in 3..6, Petr in 3..4, Anna in 2..5, Ota in 2..4, Eva in 3..4, Marie in 1..6 učitel min max Jan 3 6 Petr 3 4 Anna 2 5 Ota 2 4 Eva 3 4 Marie 1 6 Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 203 clp(fd) v SICStus Prologu Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 204 clp(fd) v SICStus Prologu Disjunktivní rozvrhování (unární zdroj) Kumulativní rozvrhování cumulative([task(Start, Duration, End, 1, Id) | Tasks]) Rozvržení úloh zadaných startovním a koncovým časem (Start, End), dobou trvání (nezáporné Duration) a identifikátorem (Id) tak, aby se nepřekrývaly ■ příklad s konstantami: cumulative([task(0,2,2,l ,1), task(3,l ,4,1,2), task(5,l ,6,1,3)]) 3 1 2 3 4 5 6 příklad: vytvoření rozvrhu, za předpokladu, že doba trvání hodin není stejná JanE#= Jan+3, PetrE#= Petr+1, AnnaE#= Anna+2, ... cumulativeCtaskQan ,3 , JanE, 1,1) , task(Petr, 1, PetrE, 1,2) , task(Anna, 2 , AnnaE, 1, task(Ota,2,OtaE,1,4),task(Eva,2,EvaE,1,5),task(Mari e,3,Mari eE,1,6)]) Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 CLP(fD) v SICStus Prologu cumulative([task(Start,Duration,End,Demand,TaskId) | Tasks], [li mi t (Li mi t)]) Rozvržení úloh zadaných startovním a koncovým časem (Start, End), dobou trvání (nezáporné Duration), požadovanou kapacitou zdroje (Demand) a identifikátorem (Id) tak, aby se nepřekrývaly a aby celková kapacita zdroje nikdy nepřekročila Limit Příklad s konstantami: cumulative([task(0,4,4,l,l),task(l,2,3,2,2),task(3,3,6,2,3),task(4,2,6,l,4)],[limit(3)]) 3 1 2 Hana Rudová, Logické programování I, 1 8. května 201 2 CLP(ŕD> v SICStus Prologu Kumulativní rozvrhování s více zdroji Rozvržení úloh tak, aby se nepřekrývaly a daná kapacita zdrojů nebyla překročena (limit zdroje chápán jako horní mez - bound (upper)) cumulatives([tas k(Start,Duration,End,Demand,Machi neld)|Tasks], [machi ne(Id,Limit)|Machi nes],[bound(upper)]) Úlohy zadány startovním a koncovým časem (Start, End), dobou trvání (nezáporné Duration), požadovanou kapacitou zdroje (Demand) a požadovaným typem zdroje (Machi neld) Zdroje zadány identifikátorem (Id) a kapacitou (Limit) Příklad: ?- domain([B,C],1,2), cumulatives([task(0,4,4,l,l),task(3,1,4,1,B), task(5,l,6,l,C)] [machine(l,l),machine(2,1)], [bound(upper)]). C in 1..2, B=2 Hana Rudová, Logické programování 1,18. května 2012 207 CLP(f d) v SICStus Prologu Příklad: kumulativní rozvrhování ■ Vytvořte rozvrh pro následující úlohy, tak aby nebyla překročena kapacita 1 3 zdroje, a minimalizujte celkovou dobu trvání úloha doba trvání kapacita tl 16 2 t2 6 9 t3 13 3 t4 7 7 t5 5 10 t6 18 1 t7 4 11 Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 208 CLP(fD) v SICStus Prologu Řešení: kumulativní rozvrhování | ?- Schedule(13, [16,6,13,7,5,18,4], [2,9,3,7,10,1,11], 69, Ss, End). Ss = [0,16,9,9,4,4,0], End = 22 ? schedule(l_imit, Ds, Rs, MaxCas, Ss, End) :-domainCSs, 0, MaxCas), End in 0..MaxCas, vytvor_ulohy(Ss,Ds,Rs,1,Tasks), cumulative(Tasks, [1 i mit(Li mit)]), after(Ss, Ds , End), % koncový čas appendCSs, [End], Vars), labeling([minimize(End)],Vars). vytvor_ulohy([] ,[],[] ,_Id, []) . vytvor_ulohy([S|Ss], [D|Ds], [R|Rs], Id, [task(S,D,E,R,Id)|Tasks]):-Newld is Id+1, E #= S+D, vytvor_ulohy(Ss,Ds,Rs, Newld,Tasks). after([], [] , _) . after([S|Ss], [D|Ds], End) :- E #>= S+D, afterCSs, Ds, End). Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 209 CLP(fD) v SICStus Prologu Uspořádání hodnot a proměnných ■ Při prohledávání je rozhodující uspořádání hodnot a proměnných ■ Určují je heuristiky výběru hodnot a výběru proměnných labelingC [] ). labelingC Variables ) :- select_variable(Variables,Var,Rest), select_value(Var,Value), C Var #= Value, labelingC Rest ) Var #\= Value , % nemusí dojít k instanciaci Var labelingC Variables ) % proto pokračujeme se všemi proměnnými včetně Var ). ■ Statické uspořádání: určeno už před prohledáváním ■ Dynamické uspořádání: počítá se během prohledávání Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 21 1 CLP(fD) v SICStus Prologu Vestavěné predikáty pro labeling ■ Instanciace proměnné Variable hodnotami v její doméně indomain( Variable ) hodnotyjsou instanciovány při backtrackingu ve vzrůstajícím pořadí ?- X in 4..5, indomainCX). X = 4 ? ; X = 5 ? labelingC [] )■ labelingC [Var|Rest] ) :- % výběr nejlevější proměnné k instanciaci indomainC Var ), % výběr hodnot ve vzrůstajícím pořadí labelingC Rest ). ■ labelingC Options, Variables ) ?- A in 0..2, B in 0..2, B#< A, labelingCt], [A,B]). Hana Rudová, Logické programování 1,18. května 2012 210 CLP(fD) v SICStus Prologu Výběr hodnoty ■ Obecný princip výběru hodnoty: první úspěch (succeed first) ■ volíme pořadí tak, abychom výběr nemuseli opakovat ■ ?- domai nC [A, B, C] , 1,2) , A#=B+C. optimální výběr A=2,B=1 ,C=1 je bez backtrackingu ■ Parametry 1 abeling/2 ovlivňující výběr hodnoty př. labelingCtdown], Vars) ■ up: doména procházena ve vzrůstajícím pořadí (default) ■ down: doména procházena v klesajícím pořadí ■ Parametry 1 abel i ng/2 řídící, jak je výběr hodnoty realizován ■ step: volba mezi X #= M, X #\= M (default) ■ viz dřívější příklad u "Uspořádání hodnot a proměnných" ■ enum: vícenásobná volba mezi všemi hodnotami v doméně ■ podobně jako při indomain/1 Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 212 CLP(f d) v SICStus Prologu Výběr proměnné Obecný princip výběru proměnné: first-fail ■ výběr proměnné, pro kterou je nejobtížnější nalézt správnou hodnotu pozdější výběr hodnoty pro tuto proměnnou by snadněji vedl k failu ■ vybereme proměnnou s nejmenší doménou ■ ?- domai n ([A, B, C] , 1,3) , A#<3 , A#=B+C. nejlépe je začít s výběrem A Parametry labeling/2 ovlivňující výběr proměnné ■ leftmost: nejlevější (default) ■ ff: s (1) nejmenší velikostí domény fd_size(Var,Size) (2) (pokud s nejmenší velikostí domény více, tak) nejlevější z nich ■ f f c: s (1) nejmenší velikostí domény (2) největším množstvím omezením „čekajících" na proměnné fd_degree(Var,Size) (3) nejlevější z nich ■ mi n/max: s (1) nejmenší/největší hodnotou v doméně proměnné (2) nejlevnějšíz nich fd_min(Var,Min)/fd_max(Var,Max) Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 21 3 CLP(fD) v SICStus Prologu Opakování: kumulativní rozvrhování Vytvořte rozvrh pro následující úlohy, tak aby nebyla překročena kapacita 1 3 zdroje, a minimalizujte celkovou dobu trvání úloha doba trvání kapacita tl 16 2 t2 6 9 t3 13 3 t4 7 7 t5 5 10 t6 18 1 t7 4 11 Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 21 5 CLP(fD) v SICStus Prologu Hledání optimálního řešení (předpokládejme minimalizaci) ■ Parametry 1 abeling/2 pro optimalizaci: minimize(F)/maximize(F) ■ Cena #= A+B+C, labe"ling([minimize(Cena)] , [A,B,C]) ■ Metoda větví a mezí (branch&bound) ■ algoritmus, který implementuje proceduru pro minimalizaci (duálně pro maximalizaci) ■ uvažujeme nejhorší možnou cenu řešení UB (např. cena už nalezeného řešení) ■ počítáme dolní odhad LB ceny částečného řešení Li? je tedy nejlepší možná cena pro rozšíření tohoto řešení ■ procházíme strom a vyžadujeme, aby prozkoumávaná větev měla cenu LB < UB pokud je LB > UB, tak víme, že v této větvi není lepší řešení a odřízneme ji ■ přidává se tedy inkrementálně omezení LB#= S+D, afterCSs, Ds, End). Hana Rudová, Logické programování 1,18. května 2012 216 CLP(fD) v SICStus Prologu Algoritmy pro řešení problému splňování podmínek (CSP) Binární CSP Binární CSP ■ CSP, ve kterém jsou pouze binární podmínky ■ unární podmínky zakódovány do domény proměnné Graf podmínek pro binární CSP ■ není nutné uvažovat hypergraf, stačí graf (podmínka spojuje pouze dva vrcholy) Každý CSP lze transformovat na "korespondující" binární CSP Výhody a nevýhody binarizace ■ získáváme unifikovaný tvar CSP problému, řada algoritmů navržena pro binární CSP ■ bohužel ale značné zvětšení velikosti problému Nebinární podmínky ■ složitější propagační algoritmy ■ lze využít jejich sémantiky pro lepší propagaci ■ příklad: a"l"l_different vs. množina binárních nerovností Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 219 Algoritmy pro CSP Grafová reprezentace CSP ■ Reprezentace podmínek ■ intenzionální (matematická/logická formule) ■ extenzionální (výčet k-tic kompatibilních hodnot, 0-1 matice) 1 Graf: vrcholy, hrany (hrana spojuje dva vrcholy) 1 Hypergraf: vrcholy, hrany (hrana spojuje množinu vrcholů) 1 Reprezentace CSP pomocí hypergrafu podmínek ■ vrchol = proměnná, hyperhrana = podmínka ■ Příklad ■ proměnné x\.....s doménou {0,1 ■ omezení c\ : X\ + x-i + = 1 /X C2 i Xi - X3 + %4 = 1 C3 \ X4 + Xs - X% > 0 C4 : X2 + Xs - X% = 0 Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 Algoritmy pro CSP Vrcholová a hranová konzistence Vrcholová konzistence (node consistency) NC ■ každá hodnota z aktuální domény V proměnné splňuje všechny unární podmínky s proměnnou Ví Hranová konzistence (arc consistency) AC pro binární CSP ■ hrana (Ví, V}) je hranově konzistentní, právě když pro každou hodnotu x z aktuální domény Dí existuje hodnota y tak, že ohodnocení [Ví = x,Vj = y] splňuje všechny binární podmínky nad Ví, V,. ■ hranová konzistence je směrová ■ konzistence hrany (VuVj) nezaručuje konzistenci hrany (Vj,Ví) A|3..7|ae= = H1-5| B A|3..4|<- - J| 1 ..5| B A|3..4|^=^|4..5| B A v ■ hranu (m, fe) vedoucí z proměnné Vm, která zmenšení domény způsobila, není třeba revidovat (změna sejí nedotkne) Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 222 Algoritmy pro CSP Algoritmus AC-3 procedure AC-3CC) Q := {(í.j) I Cíi j) e hrany(G), i 4= j} % seznam hran pro revizi while Q non empty do vyber a smaž (fe,m) z Q if revise((fc,m)) then % přidáni pouze hran, které Q := Q u {(í, k) e hrany(G), í 4 k, í4=in} % dosud nejsou ve fronte end while end AC-3 A řešení neexistuje ■ všechny domény jsou jednoprvkové => máme řešení ■ v obecném případě se alespoň zmenší prohledávaný prostor NE NE Hana Rudová, Logické programování I, 1 8. května 201 2 Algoritmy pro CSP k-konzistence Silná k-konzistence Mají NC a AC něco společného? ■ NC: konzistence jedné proměnné ■ AC: konzistence dvou proměnných "... můžeme pokračovat CSPje k-konzistentní právě tehdy, když můžeme libovolné konzistentní ohodnocení (k-1) různých proměnných rozšířit do libovolné k-té proměnné 4-konzistentní graf ■ Pro obecné CSP, tedy i pro nebinární podmínky Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 225 Algoritmy pro CSP 3-konzistentní graf (1.1) lze rozšířit na (1,1,1) (2.2) lze rozšířit na (2,2,2) 1,2 _ 1,2 _ 1 ?3 není 2-konzistentní (3) nelze rozšířit (1,3) ani (2,3) nejsou konzistentní dvojice (nerozšiřujeme je) ■ CSPje silně k-konzistentní právě tehdy, když je j-konzistentní pro každé j k-konzistence ■ Silná k-konzistence => j-konzistence V j < k ■ k-konzistence =fr silná k-konzistence ■ NC = silná 1-konzistence = 1-konzistence ■ AC = (silná) 2-konzistence Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 Algoritmy pro CSP Konzistence pro nalezení řešení ■ Máme-li graf s n vrcholy, jak silnou konzistenci potřebujeme, abychom přímo našli řešení? ■ silná n-konzistence je nutná pro graf s n vrcholy ■ n-konzistence nestačí (viz předchozí příklad) ■ silná k-konzistence pro k min(A) = min(B)+min(C), max(A) = max(B)+max(C) min(B) = mi n (A)-max (C) , max(B) = max (A) -mi n (C) mi n(C) = mi n(A)-max(B) , max(C) = max(A)-mi n (B) ■ změna mi n (A) vyvolá pouze změnu mi n (B) a mi n (C) ■ změna max(A)vyvolá pouze změnu max(B) amax(C), ... ■ Příklad: A in 1..10, B in 1.. 10, A #= B + 2, A #> 5, A #\= 8 A #= B + 2 => min(A)=l+2, max(A)=10+2 => A in 3. . 10 => min(B)=l-2, max(B)=10-2 => B in 1..8 A #> 5 => min(A)=6 => A in 6.. 10 => min(B)=6-2 => B in 4.. 8 (nové vyvolání A #= B + 2) A #\= 8 => A i n (6..7) \/ (9.. 10) (meze stejné, k propagaci A #= B + 2 nedojde) ■ Vyzkoušejte si: A #= B - C, A #>= B + C Konzistence mezí ■ Bounds consistency BC: slabší než obecná hranová konzistence ■ podmínka má konzistentní meze (BC), právě když pro každou proměnnou Vj z této podmínky a každou hodnou x e D j existuje ohodnocení zbylých proměnných v podmínce tak, že je podmínka splněna a pro vybrané ohodnocení yi proměnné Ví platí min(Dí) < yi < max(Dj) ■ stačí propagace pouze při změně minimální nebo maximální hodnoty (při změně mezí) v doméně proměnné ■ Konzistence mezí pro nerovnice ■ A #> B=> min(A) = min(B)+l, max(B) = max(A)-l ■ příklad: A in 4. . 10, B in 6. . 18, A #> B mi n (A) = 6+1 => A in 7. . 10 max(B) = 10-1 => B in 6. . 9 ■ podobně: A #< B, A #>= B, A #=< B Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 230 Algoritmy pro CSP Globální podmínky ■ Propagace je lokální ■ pracuje se s jednotlivými podmínkami ■ interakce mezi podmínkami je pouze přes domény proměnných ■ Jak dosáhnout více, když je silnější propagace drahá? ■ Seskupíme několik podmínek do jedné tzv. globální podmínky ■ Propagaci přes globální podmínku řešíme speciálním algoritmem navrženým pro danou podmínku ■ Příklady: ■ all_different omezení: hodnoty všech proměnných různé ■ serialized omezení: rozvržení úloh zadaných startovním časem a dobou trvání tak, aby se nepřekrývaly Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 231 Algoritmy pro CSP Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 232 Algoritmy pro CSP Propagace pro all_distinet U = {X2, X4, X5}, dom(U) = {2, 3, 4}: {2,3,4} nelze pro XI, X3, X6 XI in 5..6, X3 = 5, X6 in {1} \/ (5..6) Konzistence: V{Xi,.. .,Xk} c V : card{Di u ■ ■ ■ u Dk} > k stačí hledat Hallův interval ľ. velikost intervalu / je rovna počtu proměnných, jejichž doména je v J Inferenční pravidlo ■ U = {Xi,...,Xk}, dom(U) = {Di u ■ ■ ■ uDk] ' card(U) = card(dom(U)) ^Vve dom(U), VX e (V - U),X ± v ■ hodnoty v Hallově intervalu jsou pro ostatní proměnné nedostupné Složitost: 0(2") - hledání všech podmnožin množiny n proměnných (naivní) O(nlogn) - kontrola hraničních bodů Hallových intervalů (1 998) učitel min max Jan 3 6 Petr 3 4 Anna 2 5 Ota 2 4 Eva 3 4 Marie 1 6 Hana Rudová, Logické programování I, 1 8. května 201 2 Algoritmy pro CSP Prohledávání do hloubky Základní prohledávací algoritmus pro problémy splňování podmínek Prohledávání stavového prostoru do hloubky (depth first search) Dvě fáze prohledávání s navracením ■ dopředná fáze: proměnné jsou postupně vybírány, rozšiřuje se částečné řešení přiřazením konzistení hodnoty (pokud existuje) další proměnné ■ po vybrání hodnoty testujeme konzistenci ■ zpětná fáze: pokud neexistuje konzistentní hodnota pro aktuální proměnnou, algoritmus se vrací k předchozí přiřazené hodnotě Proměnné dělíme na ■ minulé - proměnné, které už byly vybrány (a mají přiřazenu hodnotu) ■ aktuální - proměnná, která je právě vybrána a je jí přiřazována hodnota ■ budoucí - proměnné, které budou vybrány v budoucnosti Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 Algoritmy pro CSP Prohledávání + konzistence Splňování podmínek prohledáváním prostoru řešení ■ podmínky jsou užívány pasivně jako test ■ přiřazuji hodnoty proměnných a zkouším co se stane ■ vestavěný prohledávací algoritmus Prologu: backtracking, triviální: generuj & testuj ■ úplná metoda (nalezneme řešení nebo dokážeme jeho neexistenci) ■ zbytečně pomalé (exponenciální): procházím i „evidentně" špatná ohodnocení Konzistenční (propagační) techniky ■ umožňují odstranění nekonzistentních hodnot z domény proměnných ■ neúplná metoda (v doméně zůstanou ještě nekonzistentní hodnoty) ■ relativně rychlé (polynomiální) Používá se kombinace obou metod ■ postupné přiřazování hodnot proměnným ■ po přiřazení hodnoty odstranění nekonzistentních hodnot konzistenčními technikami Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 234 Algoritmy pro CSP Základní algoritmus prohledávání do hloubky 1 Pro jednoduchost proměnné očíslujeme a ohodnocujeme je v daném pořadí 1 Na začátku voláno jako 1 abel i ng (C, 1) procedure labeling(G,a) if a > |uzlyCC)| then return uzly(G) for V x e Da do if consistent(G,a) then % consistent(G,a) je nahrazeno FC(G,a), LA(G,<; R := Tabel ing(G,a +1) if R 4s fail then return R return fail end labeling Po přiřazení všech proměnných vrátíme jejich ohodnocení 1 Procedury consistent uvedeme pouze pro binární podmínky Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 Algoritmy pro CSP Backtracking (BT) Príklad: backtracking Backtracking ověřuje v každém kroku konzistenci podmínek vedoucích z minulých proměnných do aktuální proměnné Backtracking tedy zajišťuje konzistenci podmínek ■ na všech minulých proměnných ■ na podmínkách mezi minulými proměnnými a aktuální proměnnou procedure BT(G,a) Q:={(Ví, V a) e hranyCC) , i < a] % hrany vedoucí z minulých proměnných do aktuální Consistent := true while Q neni prázdná a Consistent do vyber a smaž libovolnou hranu (VJt,Vm) z Q Consistent := not reviseiV^, Vm) % pokud vyradíme prvek, bude doména prázdná return Consistent end BT Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 237 Algoritmy pro CSP Kontrola dopředu (FC - forward checking) FCje rozšíření backtrackingu FC navíc zajišťuje konzistenci mezi aktuální proměnnou a budoucími proměnnými, které jsou s ní spojeny dosud nesplněnými podmínkami procedure FC(G,a) Q:={(Ví, V a) e hranyCC) , i > a] % přidání hran z budoucích do aktuální proměnné Consistent := true while Q neni prázdná a Consistent do vyber a smaž libovolnou hranu (VJt,Vm) z Q if revi se((VJt, Vm)) then Consistent := (|Djt|>0) % vyprázdnění domény znamená nekonzistenci return Consistent end FC Hrany z minulých proměnných do aktuální proměnné není nutno testovat ■ Omezení: Vu V2, V3 in 1... 3, V1# = 3xV3 ■ Stavový prostor: 4 ■ červené čtverečky: chybný pokus o instanciaci, řešení neexistuje ■ nevyplněná kolečka: nalezeno řešení ■ černá kolečka: vnitřní uzel, máme pouze částečné přiřazení Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 238 Příklad: kontrola dopředu ■ Omezení: Vlt V2, V3 in 1... 3, c:V1#=3x V3 ■ Stavový prostor: C => fail C => fail Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 239 Algoritmy pro CSP Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 240 Pohled dopředu (LA - looking aheacl) LAje rozšíření FC, navíc ověřuje konzistenci hran mezi budoucími proměnnými % začínáme s hranami do a procedure LA(G,a) Q := {(VuVa) e h rany (C), í > a] Consistent := true while Q není prázdná a Consistent do vyber a smaž libovolnou hranu (Vk,Vm) z Q if revi seC(Vk, Vm)) then Q := Q u {(VuVk)\(VuVk) e hrany(G), í + k, í + m, í > a] Consistent := (\Dk\ > 0) return Consistent end LA ■ Hrany z minulých proměnných do aktuální proměnné opět netestujeme ■ Tato LA procedura je založena naAC-3, lze použít i jiné AC algoritmy LA udržuje hranovou konzistenci: protože ale LA(G,a) používá AC-3, musíme zajistit iniciální konzistenci pomocí AC-3 ještě před startem prohledávání Příklad: pohled dopředu (pomocí AC-3) Omezení: V1.y2.V3 in 1...4, cl:V1#>V2, c2 : V2# = 3 x V3 Stavový prostor (spouští se iniciální konzistence se před startem prohledávání) ^ d => V1 in 2..4 V2in 1..3 C2 => V2=3 V3= 1 d => V1= 4 Ví 41 V2 3, Vo 1j v3 o Hana Rudová, Logické programování I, 1 8. května 201 2 Algoritmy pro CSP Hana Rudová, Logické programování I, 1 8. května 201 2 Algoritmy pro CSP Přehled algoritmů Cvičení proměnné BT Backtracking (BT) kontroluje v kroku a podmínky c(V1,Va),...,c(Va-1,Va) z minulých proměnných do aktuální proměnné Kontrola dopředu (FC) kontroluje v kroku a podmínky \^ c(V«+i,V«),...,c(V„,Vfl) z budoucích proměnných do aktuální proměnné Pohled dopředu (LA) kontroluje v kroku a podmínky ^ /I Vi(a < l < n), Vfe(a < fe 1 0. Implementace Prologu 2. Ukažte, jak je dosaženo hranové konzistence v následujícím příkladu: domain([X,Y,Z],l ,5]), X #< Y, Z#= Y+l . Literatura: ■ Matýska L., Toman D.: Implementační techniky Prologu, Informační systémy, (1 990), 21-59. http://www.i cs.muni.cz/people/matyska/vyuka/1 p/l p.html Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 245 Algoritmy pro CSP Opakování: základní pojmy ■ Konečná množina klauzulí Hlava :- Tělo tvoří program P. ■ Hlava je literál ■ Tělo je (eventuálně prázdná) konjunkce literálů Ti,... Ta, a > 0 ■ Literál je tvořen m-árním predikátovým symbolem (m/p) a m termy (argumenty) ■ Term je konstanta, proměnná nebo složený term. ■ Složený term s n termy na místě argumentů ■ Dotaz (cíl) je neprázdná množina literálů. Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 247 Implementace Prologu Interpretace Deklarativní sémantika: Hlava platí, platí-li jednotlivé literály těla. Procedurální (imperativní) sémantika: Entry: Hlava:: { call Ti call Ta } Volání procedury s názvem Hlava uspěje, pokud uspěje volání všech procedur (literálů) v těle. Procedurální sémantika = podklad pro implementaci Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 248 Implementace Prologu Abstraktní interpret Abstraktní interpret - pokračování Vstup: Logický program P a dotaz C. 1. Inicializuj množinu cílů S literály z dotazu C; S:=C 2. while ( S != empty ) do 3. Vyber AeS a dále vyber klauzuli A' : -Bi, . . . ,B„ (n > 0) z programu P takovou, že 3cr : Aer = A' cr; cr je nejobecnější unifikátor. Pokud neexistuje A' nebo cr, ukonči cyklus. 4. Nahraď A v S cíli Bi až B„. 5. Aplikuj (r na C a S. 6. end while 7. Pokud S==empty, pak výpočet úspešne skončil a výstupem je C se všemi aplikovanými substitucemi. Pokud S!=empty, výpočet končí neúspěchem. Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 Implementace Prologu Nedeterminismus interpetu 1. Selekční pravidlo: výběr cíle A z množiny cílů S ■ neovlivňuje výrazně výsledek chování interpretu 2. Způsob prohledávání stromu výpočtu: výběr klauzule A' z programu P ■ je velmi důležitý, všechny klauzule totiž nevedou k úspěšnému řešení Vztah k úplnosti: 1. Selekční pravidlo neovlivňuje úplnost ■ možno zvolit libovolné v rámci SLD rezoluce 2. Prohledávání stromu výpočtu do šířky nebo do hloubky „Prozření" - automatický výběr správné klauzule ■ vlastnost abstraktního interpretu, kterou ale reálné interprety nemají Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 Implementace Prologu Kroky (3) až (5) představují redukci (logickou inferenci) cíle A. Počet redukcí za sekundu (LIPS) == indikátor výkonu implementace Věta Existuje-li instance C dotazu C, odvoditelná z programu P v konečném počtu kroků, pak bude tímto interpretem nalezena. Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 Implementace Prologu Prohledávání do šířky 1. Vybereme všechny klauzule Ar, které je možno unifikovat s literálem A ■ nechť je těchto klauzulí q 2. Vytvoříme q kopií množiny S 3. V každé kopii redukujeme A jednou z klauzulí Ar. ■ aplikujeme příslušný nejobecnější unifikátor 4. V následujících krocích redukujeme všechny množiny Sí současně. 5. Výpočet ukončíme úspěchem, pokud se alespoň jedna z množin Sí stane prázdnou. ■ Ekvivalence s abstraktnímu interpretem ■ pokud jeden interpret neuspěje, pak neuspěje i druhý ■ pokud jeden interpret uspěje, pak uspěje i druhý Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 Implementace Prologu Prohledávání do hloubky 1. Vybereme všechny klauzule A' i, které je možno unifikovat s literálem A. 2. Všechny tyto klauzule zapíšeme na zásobník. 3. Redukci provedeme s klauzulí na vrcholu zásobníku. 4. Pokud v nějakém kroku nenajdeme vhodnou klauzuli A', vrátíme se k předchozímu stavu (tedy anulujeme aplikace posledního unifikátoru cr) a vybereme ze zásobníku další klauzuli. 5. Pokud je zásobník prázdný, končí výpočet neúspěchem. 6. Pokud naopak zredukujeme všechny literály v S, výpočet končí úspěchem. ■ Není úplné, tj. nemusí najít všechna řešení ■ Nižší paměťová náročnost než prohledávání do šířky ■ Používá se v Prologu Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 253 Implementace Prologu Reprezentace objektů ■ Beztypový jazyk ■ Kontrola „typů" za běhu výpočtu ■ Informace o struktuře součástí objektu Typy objektů ■ Primitivní objekty: ■ konstanta ■ číslo ■ volná proměnná ■ odkaz (reference) ■ Složené (strukturované) objekty: ■ struktura ■ seznam Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 254 Implementace Prologu Reprezentace objektů II Příznaky (tags): Objekt Příznak volná proměnná FREE konstanta CONST celé číslo INT odkaz REF složený term FUNCT Obsah adresovatelného slova: hodnota a příznak. Primitivní objekty uloženy přímo ve slově Složené objekty ■ jsou instance termu ve zdrojovém textu, tzv. zdrojového termu ■ zdrojový term bez proměnných => každá instanciace ekvivalentní zdrojovému termu ■ zdrojový term s proměnnými => dvě instance se mohou lišit aktuálními hodnotami proměnných, jedinečnost zajišťuje kopírování struktur nebo sdílení struktur Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 Implementace Prologu Příklad: a(b(X),c(X,Y),d), Kopírování struktur FUNCT a/3 REF REF CONST d FUNCT c/2 REF FREE Y FUNCT b/1 FREE X Hana Rudová, Logické programování I, 1 8. května 201 2 Implementace Prologu Kopírování struktur II Term F s aritou A reprezentován A+l slovy: ■ funktor a arita v prvním slově ■ 2. slovo nese první argument (resp. odkaz najeho hodnotu) ■ ■ A+l slovo nese hodnotu A-tého argumentu Reprezentace vychází z orientovaných acyklických grafů: a/3 c/2 b/l X Vykopírována každá instance => kopírování struktur Termy ukládány na globální zásobník Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 Implementace Prologu Sdílení struktur II Příklad: a(b(X),c(X,Y),d) reprezentuje < a(b($l),c($l,$2),d) ; [FREE, FREE] > kde symbolem $i označujeme i-tou proměnnou. Implementace: < &kostra_termu; &rámec > (& vrací adresu objektu) Všechny instance sdílí společnou kostru_termu => sdílení struktur Sdílení struktur Vychází z myšlenky, že při reprezentaci je třeba řešit přítomnost proměnných Instance termu < kostra_termu; rámec > ■ kostra_termu je zdrojový term s očíslovanými proměnnými ■ rámec je vektor aktuálních hodnot těchto proměnných ■ i-tá položka nese hodnotu i-té proměnné v původním termu Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 258 Implementace Prologu Srovnání: příklad Naivní srovnání: sdílení paměťově méně náročné Platí ale pouze pro rozsáhlé termy přítomné ve zdrojovém kódu Postupná tvorba termů: A = a(K,L,M), K = b(X), L = c(X,Y), M = d ■ Sdílení termů: kostra_a M:d kostra_b ^ kostra_c X —i Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 259 Implementace Prologu Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 260 Implementace Prologu Srovnání: příklad - pokračování Kopírování struktur: A = a(K,L,M), K = b(X), L = c(X,Y), M = d FUNCT a/3 REF - REF - CONST d FUNCT c/2 - REF FREE Y FUNCT b/1 FREE X tj. identické jako přímé vytvoření termu a(b(X) , c(X,Y) ,d) Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 261 Implementace Prologu Řízení výpočtu Dopředný výpočet ■ po úspěchu (úspěšná redukce) ■ jednotlivá volání procedur skončí úspěchem ■ klasické volání rekurzivních procedur Zpětný výpočet (backtracking) ■ po neúspěchu vyhodnocení literálu (neúspěšná redukce) ■ nepodaří se unifikace aktuálních a formálních parametrů hlavy ■ návrat do bodu, kde zůstala nevyzkoušená alternativa výpočtu ■ je nutná obnova původních hodnot jednotlivých proměnných ■ po nalezení místa s dosud nevyzkoušenou klauzulí pokračuje dále dopředný výpočet Srovnání II ■ Složitost algoritmů pro přístup k jednotlivým argumentům ■ sdílení struktur: nutná víceúrovňová nepřímá adresace ■ kopírování struktur: bez problémů ■ jednodušší algoritmy usnadňují i optimalizace ■ Lokalita přístupů do paměti ■ sdílení struktur: přístupy rozptýleny po paměti ■ kopírování struktur: lokalizované přístupy ■ při stránkování paměti - rozptýlení vyžaduje přístup k více stránkám ■ Z praktického hlediska neexistuje mezi těmito přístupy zásadní rozdíl Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 262 Implementace Prologu Aktivační záznam ■ Volání (=aktivace) procedury ■ Aktivace sdílí společný kód, liší se obsahem aktivačního záznamu ■ Aktivační záznam uložen na lokálním zásobníku ■ Dopředný výpočet ■ stav výpočtu v okamžiku volání procedury ■ aktuální parametry ■ lokální proměnné ■ pomocné proměnné ('a la registry) ■ Zpětný výpočet (backtracking) ■ hodnoty parametrů v okamžiku zavolání procedury ■ následující klauzule pro zpracování při neúspěchu Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 263 Implementace Prologu Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 264 Implementace Prologu Aktivační záznam a roll-back Neúspěšná klauzule mohla nainstanciovat nelokální proměnné ■ a(X) : - X = b(c,Y), Y = d. ?- w = b(Z,e), a(W) . (viz instanciace Z) Při návratu je třeba obnovit (roll-back) původní hodnoty proměnných Využijeme vlastností logických proměnných ■ instanciovat lze pouze volnou proměnnou ■ jakmile proměnná získá hodnotu, nelze ji změnit jinak než návratem výpočtu => původní hodnoty všech proměnných odpovídají volné proměnné Stopa (trail): zásobník s adresami instanciovaných proměnných ■ ukazatel na aktuální vrchol zásobníku uchováván v aktivačním záznamu ■ při neúspěchu jsou hodnoty proměnných na stopě v úseku mezi aktuálním a uloženým vrcholem zásobníku změněny na „volná" Globální zásobník: pro uložení složených termů ■ ukazatel na aktuální vrchol zásobníku uchováván v aktivačním záznamu ■ při neúspěchu vrchol zásobníku snížen podle uschované hodnoty v aktivačním záznamu Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 265 Implementace Prologu Řez Prostředek pro ovlivnění běhu výpočtu programátorem ■ a(X) :- b(X), !, c(X). a(3). b(l). b(2). c(l). c(2). Řez: neovlivňuje dopředný výpočet, má vliv pouze na zpětný výpočet Odstranění alternativních větví výpočtu => odstranění odpovídajících bodů volby ■ tj. odstranění bodů volby mezi současným vrcholem zásobníku a bodem volby procedury, která řez vyvolala (včetně bodu volby procedury s řezem) => změna ukazatele na „nejmladší" bod volby Vytváření deterministických procedur Optimalizace využití zásobníku Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 267 Implementace Prologu Okolí a bod volby Aktivační záznam úspěšně ukončené procedury nelze odstranit z lokálního zásobníku => rozdělení aktivačního záznamu: ■ okolí (environment) - informace nutné pro dopředný běh programu ■ bod volby (choice point) - informace nezbytné pro zotavení po neúspěchu ■ ukládány na lokální zásobník ■ samostatně provázány (odkaz na předchozí okolí resp. bod volby) Důsledky: ■ samostatná práce s každou částí aktivačního záznamu (optimalizace) ■ alokace pouze okolí pro deterministické procedury ■ možnost odstranění okolí po úspěšném vykonání (i nedeterministické) procedury (pokud okolí následuje po bodu volby dané procedury) ■ pokud je okolí na vrcholu zásobníku Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 266 Implementace Prologu Interpret Prologu Základní principy: ■ klauzule uloženy jako termy ■ programová databáze ■ pro uložení klauzulí ■ má charakter haldy ■ umožňuje modifikovatelnost prologovských programů za běhu (assert) ■ klauzule zřetězeny podle pořadí načtení ■ triviální zřetězení Vyhodnocení dotazu: volání procedur řízené unifikací Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 268 Implementace Prologu Interpret - Základní princip 1. Vyber redukovaný literál („první", tj. nejlevější literál cíle) 2. Lineárním průchodem od začátku databáze najdi klauzuli, jejíž hlava má stejný funktor a stejný počet argumentů jako redukovaný literál 3. V případě nalezení klauzule založ bod volby procedury 4. Založ dále okolí první klauzule (velikost odvozena od počtu lokálních proměnných v klauzuli) 5. Proveď unifikaci literálu a hlavy klauzule 6. Úspěch => přidej všechny literály klauzule k cíli („doleva", tj. na místo redukovaného literálu). Tělo prázdné => výpočet se s úspěchem vrací do klauzule, jejíž adresa je v aktuálním okolí. 7. Neúspěch unifikace => z bodu volby se obnoví stav a pokračuje se v hledání další vhodné klauzule v databázi. 8. Pokud není nalezena odpovídající klauzule, výpočet se vrací na předchozí bod volby (krátí se lokální i globální zásobník). 9. Výpočet končí neúspěchem: neexistuje již bod volby, k němuž by se výpočet mohl vrátit. 1 0. Výpočet končí úspěchem, jsou-li úspěšně redukovány všechny literály v cíli. Hana Rudová, Logické programování 1,18. května 2012 269 Implementace Prologu Optimalizace: Indexace ■ Zřetězení klauzulí podle pořadí načtení velmi neefektivní ■ Provázání klauzulí se stejným funktorem a aritou hlavy (tvoří jednu proceduru) ■ tj., indexace procedur ■ Hash tabulka pro vyhledání první klauzule ■ Možno rozhodnout (parciálně) determinismus procedury Interpret - vlastnosti ■ Lokální i globální zásobník ■ při dopředném výpočtu roste ■ při zpětném výpočtu se zmenšuje Lokální zásobník se může zmenšit při dopředném úspěšném výpočtu deterministické procedury. ■ Unifikace argumentů hlavy - obecný unifikační algoritmus Současně poznačí adresy instanciovaných proměnných na stopu. ■ „Interpret": interpret(Query, Vars) :- call(Query), success(Query, Vars). interpret(_,_) :- failure. ■ dotaz vsazen do kontextu této speciální nedeterministické procedury ■ tato procedura odpovídá za korektní reakci systému v případě úspěchu i neúspěchu Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 270 Implementace Prologu Indexace argumentů a(l) :- q Cl). a(a) :- b(X). a([A|T]) :- c(A,T). ■ Obecně nedeterministická ■ Při volání s alespoň částečně instanciovaným argumentem vždy deterministická (pouze jedna klauzule může uspět) ■ Indexace podle prvního argumentu Základní typy zřetězení: ■ podle pořadí klauzulí (aktuální argument je volná proměnná) ■ dle konstant (aktuální je argument konstanta) ■ formální argument je seznam (aktuální argument je seznam) ■ dle struktur (aktuální argument je struktura) Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 271 Implementace Prologu Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 272 Implementace Prologu Indexace argumentů II Tail Recursion Optimization, TRO Složitější indexační techniky ■ podle všech argumentů ■ podle nejvíce diskriminujícího argumentu ■ kombinace argumentů (indexové techniky z databází) ■ zejména pro přístup k faktům Iterace prováděna pomocí rekurze => lineární paměťová náročnost cyklů Optimalizace koncové rekurze (Tail Recursion Optimisation), TRO: Okolí se odstraní před rekurzivním voláním posledního literálu klauzule, pokud je klauzule resp. její volání deterministické. Řízení se nemusí vracet: ■ v případě úspěchu se rovnou pokračuje ■ v případě neúspěchu se vrací na předchozí bod volby („nad" aktuální klauzulí) ■ aktuální klauzule nemá dle předpokladu bod volby Rekurzivně volaná klauzule může být volána přímo z kontextu volající klauzule. Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 273 Implementace Prologu TRO - příklad Program: append([], L, L). append([A|X], L, [A|Y]) :- append(X, L, Y). Dotaz: ?- append([a,b,c], [x], L). append volán rekurzivně 4krát ■ bez TRO: 4 okolí, lineární paměťová náročnost ■ s TRO: 1 okolí, konstatní paměťová náročnost Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 275 Implementace Prologu Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 274 Implementace Prologu Optimalizace posledního volání TRO pouze speciální případ obecné optimalizace posledního volání (Last Call Optimization), LCO Okolí (před redukcí posledního literálu) odstraňováno vždy, když leží na vrcholu zásobníku. Nutné úpravy interpretu ■ disciplina směrování ukazatelů ■ vždy „mladší" ukazuje na „starší" („mladší" budou odstraněny dříve) ■ z lokálního do globálního zásobníku vyhneme se vzniku „visících odkazů" při předčasném odstranění okolí ■ „globalizace" lokálních proměnných: lokální proměnné posledního literálu ■ nutno přesunout na globální zásobník ■ pouze pro neinstanciované proměnné Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 276 Implementace Prologu Překlad ■ Motivace: ■ dosažení vyšší míry optimalizace ■ kompaktní kód ■ částečná nezávislost na hardware Překlad ■ Etapy překladu: 1. zdrojový text => kód abstraktního počítače 2. kód abstraktního počítače => kód (instrukce) cílového počítače ■ Výhody: ■ snazší přenos jazyka (nutno přepsat jen druhou část) ■ kód abstraktního počítače možno navrhnout s ohledem na jednoduchost překladu; prostor pro strojově nezávislou optimalizaci ■ Překlad Prologu založen na principu existence abstraktního počítače V dalším se věnujeme jeho odvození a vlastnostem Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 278 Preklad Parciální vyhodnocení Parciální vyhodnocení - příklad Jak navrhnout Warrenův abstraktní počítač? ■ prostřednictvím parciálního vyhodnocení Parciální vyhodnocení ■ forma zpracování programu, tzv. transformace na úrovni zdrojového kódu ■ dosazení známých hodnot vstupních parametrů a vyhodnocení všech operací nad nimi ■ příklad: vyhodnocení aritmetických výrazů nad konstantami a(X,Y) :- b(X), c(X,Y). a(X,Y) :- b(Y), c(Y,X). b(l). b(2). b(3). b(4). c(l,2). c(l,3). c(l,4). c(2,3). c(2,4). c(3,4). Dotaz ?- a(2 ,Z) . lze společně s uvedeným programem parciálně vyhodnotit na nový program a'(3). a'(4). a'(l). a nový dotaz ?- a'(Z). Je evidentní, že dotaz nad parciálně vyhodnoceným programem bude zpracován mnohem rychleji (efektivněji) než v případě původního programu. Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 Parciální vyhodnocení II Konstrukce překladače: parciálním vyhodnocením interpretu Problémy: ■ příliš složitá operace ■ vyhodnocení se musí provést vždy znovu pro každý nový program ■ výsledný program příliš rozsáhlý ■ nedostatečná dekompozice ■ zejména při použití zdrojového jazykajako implementačního jazyka interpretu Vhodnější: ■ využití („ručního") parciálního vyhodnocení pro návrh abstraktního počítače 1. nalezení operací zdrojového jazyka, které lze dekomponovat do jednodušších operací 2. dekomponujeme tak dlouho, až jsou výsledné operace dostatečně jednoduché nebo již neexistují informace pro parciální vyhodnocení Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 281 Pre Explicitní unifikace Příklad: append/3 s explicitní unifikací: append(AI, A2, A3) append(AI, A2, A3) unify(A1,[]), unify(A2 , L) , unify(A3,L). unify(Al,[A|X]), unify(A2 , L) , unify(A3,[A|Y]), put(X,Bl), put(L,B2), put(Y,B3), append(Bl,B2,B3). CM: parciálne vyhodnotit predikáty unify/2 a put/2 append([],L,L). append([A|X],L,[A|Y] append(X,L,Y). Hana Rudová, Logické programování I, 1 8. května 201 2 Parciální vyhodnocení Prologu Cílová operace: unifikace. Důvod: ■ řízení výpočtu poměrně podrobné i v interpretu ■ unifikace v interpretu atomickou operací ■ unifikace v interpretu nahrazuje řadu podstatně jednodušších operací (testy, přiřazení, předání a převzetí parametrů ...) ■ většina unifikací nevyžaduje obecnou unifikaci a lze je nahradit jednoduššími operacemi Zviditelnění unifikace: transformací zdrojového programu ■ termy reprezentujeme kopírováním struktur na globálním zásobníku ■ parametry procedur jsou vždy umístěny na globální zásobník (predikátem put/2) a předávány jsou pouze adresy ■ formálním parametrem procedury jsou pouze volné proměnné, které se v hlavě vyskytují pouze jednou ■ všechny unifikace jsou explicitně zachyceny voláním predikátu unify/2 Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 282 I Pomocné termy a predikáty 1 term $addr$(A) - odkaz na objekt s adresou A 1 predikát is_addr(P,V) - je-li P ve tvaru $addr$(A), pak V se unifikuje s hodnotou slova na adrese A (jinak predikát selže) 1 predikát : = (X,T) - přiřadí volné proměnné X term T; X musí být volná proměnná. 1 predikát repres(A,Tag, V) - uloží do proměnné Tag příznak a do proměnné V hodnotu slova na adrese A. A musí být adresa na globálním zásobníku, Tag i V musí být volné proměnné. ■ příznak: informace o struktuře součástí objektu volná proměnná FREE, konstanta CONST, celé číslo INT, odkaz REF, složený term FUNCT 1 je-li A adresa a i celočíselná konstanta, pak výraz A+i reprezentuje adresu o i slov vyšší (ukazatelová aritmetika) Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 284 Prekla unify pro volnou proměnnou unify pro konstantu unify(A,T) unifikuje term na adrese A (aktuální parametr) s termem T (formální parametr). Podle hodnoty T mohou nastat následující 4 případy: 1) T je volná proměnná: výsledkem je instanciace unify(A,T) :- var(T), C var(A), create_var(A) ; trne ), T := $addr$(A). Disjunkce garantuje, že Aje korektní adresa na globálním zásobníku: nutný run-time test, tedy nelze využít při pare. překladu. Lze proto přepsat na unify(A,T) :- var(T), unify_var(A,T). kde unify_var/2 vloží do T odkaz nebo založí novou proměnnou. Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 285 Preklad 2) T je konstanta: výsledkem je test nebo přiřazení unify(A,T) :-atomic(T), C C var(A), create_var(A), instantiate_const(A,T) ) ; C repres(A,Tag,Value), Tag == 'FREE', instantiate_const(A,T) ; Tag == 'CONST', Value == T ) ). kde i nstanti ate_const/2 uloží do slova s adresou A hodnotu T. Opět možno přepsat do kompaktního tvaru unify(A,T) :-atomic(T), unify_const(A,T). kde unify_const/2 provede příslušný test nebo přiřazení. Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 286 Preklad unify pro složený term 3) T je složený term: dvoufázové zpracování, v první fázi test nebo založení funktoru, v druhé rekurzivní unifikace argumentů unify(A,T) :-struct(T), f unctor(T,F,N), unify_struct(F,N,A), T =.. [_|T1], unify_args(Tl,A+1). Predikát uni fy_struct/3 je analogický výše použitým predikátům unify_var/2 a unify_const/2. Druhá fáze: unify_args([] ,_) . unify_args([T|Tl], A) : unify(A,T), unify_args(Tl,A+1). Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 28 uni fy pro odkaz 4) Tje odkazem: nutno použít obecnou unifikaci (není žádná informace pro parciální vyhodnocení) unify(A,T) :- is_addr(T,P), unification(A,P). Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 put První klauzule append/3 Parametry procedur jsou vždy umístěny na globální zásobník predikátem put/2 a předávány jsou pouze adresy. Predikát put/2 je jednodušší (nikdy nepotřebuje unifikaci) put(T,B) :- is_addr(T,B). % Tje odkaz put(T,B) :- var(T), % Tje proměnná create_var(B), T := $addr$(B). put(T.B) :- atomic(T), % Tje konstanta create_const(B,T). put(T.B) :- struct(T), % Tje struktura create_struct(B,T). Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 289 Preklad Parciální vyhodnocení první klauzule programu append/3 append(Al, A2, A3) :- unify(Al,[]), | append([],L,L). unÍfy(A2,L), | unify(A3,L). | upraví unify(Al,[]) na unify_const(Al,[]) unify(A2,L) na L:=$addr$(A2) unify(A3,L) na is_addr(L,T), unification(T,A3) posloupnost L:=$addr$(A2) , is_addr(L,T) odpovídá přejmenování T na A2 => není nutné vytvářet novou proměnnout T => stačí provést unifi cation(A2 ,A3) Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 290 Preklad Výsledný tvar append/3 appendCAl, A2, A3) :-unify_const(Al,[]), unification(A2,A3). appendCAl, A2, A3) :- unify_struct('.',2,AI), uni fy_va r(A,Al+1), unify_var(X,Al+2), unify_var(L,A2), unify_struct('.',2,A3), unification(Al+l,A3+l), unify_var(Y,A3+2), append(Al+2,A2,A3+2). appendCAl, A2, A3) :- unify(AI,[]), unify(A2,L), unify(A3,L). appendCAl, A2, A3) :- unify(AI,[A|X]), unify(A2,L), unify(A3, [A| Y]) , put(X.Bl), put(L,B2), put(Y,B3), append(Bl,B2,B3). Většina původních unifikací převedena na jednodušší operace; unifikace v posledním kroku je nezbytná (důsledkem dvojího výskytu proměnné) Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 Jiný příklad a(c,s(f),d,X) :- g(X). Procedurální pseudokód (testy a přiřazení) a kód abstraktního počítače: proceduře a(X,Y,Z,A) is if ( x == 'c' && ( is_struct(Y,'s',1) && first_arg(Y) == 'f ) && Z == 'ď ) then call g(A) el se call fail end proceduře tj. posloupnost testů jako v procedurálním jazyce Vyzkoušejte si: delete(X, [Y|T], [Y|T1]) :- delete(X, T, TI). a(AI, A2, A3, A4) :-unify_const(c,Al), unify_struct(s,l,A2), unify_const(f,A2+1), unify_const(d,A3), unify_var(A,A4), g(A4). Hana Rudová, Logické programování I, 1 8. května 201 2 Warrenův abstraktní počítač, WAM I. Navržen D.H.D. Warrenem v roce 1 983, modifikace do druhé poloviny 80. let Datové oblasti: ■ Oblast kódu (programová databáze) ■ separátní oblasti pro uživatelský kód (modifikovatelný) a vestavěné predikáty (nemění se) ■ obsahuje rovněž všechny statické objekty (texty atomů a funktorů apod.) ■ Lokální zásobník (Stack) ■ Stopa (Trail) ■ Globální zásobník n. ba\da(Heap) ■ Pomocný zásobník (Push Down List, PDL) ■ pracovní paměť abstraktního počítače ■ použitý v unifikaci, syntaktické analýze apod. Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 293 Preklad Registry WAM u ■ Stavové registry: P čitač adres (Program counter) CP adresa návratu (Continuation Pointer) E ukazatel na nejmladší okolí (Environment) B ukazatel na nejmladší bod volby (Backtrack point) TR vrchol stopy (TRail) H vrchol haldy (Heap) HB vrchol haldy v okamžiku založení posledního bodu volby (Heap on Backtrack point) S ukazatel, používaný při analýze složených termů (Structure pointer) CUT ukazatel na bod volby, na který se řezem zařízne zásobník ■ Argumentové registry: A1,A2 , . . . (při předávání parametrů n. pracovní registry) ■ Registry pro lokální proměnné: Y1,Y2,... ■ abstraktní znázornění lok. proměnných na zásobníku Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 295 Preklad Rozmístění datových oblastí ■ Příklad konfigurace Halda Stopa \ Zásobník , PDL > \ Oblast kodu ■ Halda i lokální zásobník musí růst stejným směrem ■ lze jednoduše porovnat stáří dvou proměnných srovnáním adres využívá se při zabránění vzniku visících odkazů Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 294 Preklad Typy instrukcí WAM u ■ put instrukce - příprava argumentů před voláním podcíle ■ žádná z těchto instrukcí nevolá obecný unifikační algoritmus ■ get instrukce - unifikace aktuálních a formálních parametrů ■ vykonávají činnost analogickou instrukcím unify u pare. vyhodnocení ■ obecná unifikace pouze při get_va"lue ■ unify instrukce - zpracování složených termů ■ jednoargumentové instrukce, používají registr S jako druhý argument ■ počáteční hodnota S je odkaz na 1. argument ■ volání instrukce unify zvětší hodnotu S o jedničku ■ obecná unifikace pouze při unify_va"lue a unify_1oca"l_va"lue ■ Indexační instrukce - indexace klauzulí a manipulace s body volby ■ Instrukce řízení běhu - předávání řízení a explicitní manipulace s okolím Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 296 Preklad Instrukce put a get: příklad WAM - optimalizace Příklad: a(X,Y,Z) :- get_var A1.A5 get_var A2.A6 get_var A3.A7 put_const Al,f put_value A2.A5 put_value A3.A6 put_value A4.A7 execute b/4 b(f,X,Y,Z). 1. Indexace klauzulí 2. Generování optimální posloupnosti instrukcí WAMu 3. Odstranění redundancí při generování cílového kódu. ■ Příklad: a(X,Y,Z) :- b(f,X,Y,Z). naivní kód (vytvoří kompilátor pracující striktně zleva doprava) vs. optimalizovaný kód (počet registrů a tedy i počet instrukcí/přesunů v paměti snížen): get_var A1.A5 1 get_var A3, A4 get_var A2.A6 1 get_var A2.A3 get_var A3.A7 1 get_var A1.A2 put_const Al,f 1 put_const Al,f put_value A2.A5 1 execute b/4 put_value A3.A6 1 put_value A4.A7 1 execute b/4 1 Hana Rudová, Logické programování I, 1 8. května 201 2 Hana Rudová, Logické programování I, 1 8. května 201 2 Instrukce WAMu get instrukce put instrukce unify instrukce get_var Ai,Y put_var Ai ,Y unify_var Y get_value Ai ,Y put_value Ai ,Y unify_value Y get_const Ai,C put_unsafe_value Ai,Y unify_local_value Y get_nil Ai put_const Ai ,C unify_const C get_struct Ai,F/N put_ni1 Ai u n i fy_n i1 get_list Ai put_struct Ai,F/N unify_void N put_li st Ai instrukce řízení indexační instrukce allocate try_me_else Next try Next deallocate retry_me_else Next retry Next call Proc/N,A trust_me_else fail trust fail execute Proc/N proceed cut_last switch_on_ term Var,Const,List,Struct save_cut Y switch_on_ const Table load_cut Y switch_on_ struct Table Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 299 Preklad WAM - indexace ■ Provázání klauzulí: instrukce XX_me_el se: ■ první klauzule: try_me_else; založí bod volby ■ poslední klauzule: trust_me_else; zruší nejmladší bod volby ■ ostatní klauzule: retry_me_el se; znovu použije nejmladší bod volby po neúspěchu ■ Provázání podmnožiny klauzulí (podle argumentu): ■ try ■ retry ■ trust ■ „Rozskokové" instrukce (dle typu a hodnoty argumentu): ■ switch_on_term Var, Const, List, Struct výpočet následuje uvedeným návěstím podle typu prvního argumentu ■ switch_on_YY: hashovací tabulka pro konkrétní typ (konstanta, struktura) Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 300 Preklad Příklad indexace instrukcí Proceduře a(atom) :- bodyl. a(l) :- body2. a(2) :- body3. odpovídají instrukce aCĽXIY]) a([X|Y]) aCs(N)) : a(fCN)) : - body4. - body5. body6. bodyľ. a: switch_on_term LI, L2, L3, L4 L5a: body2 L2: switch_on_const atom :Lla L6: retry. _me_ _el se L7 1 :L5a L6a: body3 2 :L6a L7: retry. _me_ _el se L8 l_3: try L7a L7a: body4 trust L8a L8: retry. _me_ _el se L9 L4: switch_on_struct s/l :L9a L8a: body5 f/1 :LlOa L9: retry. _me_ _el se L10 LI: try_me_else L5 L9a: body6 Lla: bodyl L10: trust. _me_ _el se fail L5: retry_me_else L6 LlOa: bodyľ Hana Rudová, Logické programování 1, 18. května 2012 301 WAM - řízení výpočtu 1 execute Proč: ekvivalentní příkazu goto 1 proceed: zpracování faktů 1 allocate: alokuje okolí (pro některé klauzule netřeba, proto explicitně generováno) 1 deallocate: uvolní okolí (je-li to možné, tedy leží-li na vrcholu zásobníku) 1 cal 1 Proč, N: zavolá Proč, N udává počet lok. proměnných (odpovídá velikosti zásobníku) Možná optimalizace: vhodným uspořádáním proměnných lze dosáhnout postupného zkracování lokálního zásobníku a(A,B,C,D) :- b(D), c(A,C), d(B), e(A), f. generujeme instrukce allocate call b/1,4 call c/2,3 call d/1,2 call e/1,1 deallocate execute f/0 Hana Rudová, Logické programování I, 18. května 2012 302 Prekl