Algebra II, 1. termín, úloha A, 3.6. 2010
Jméno : UCO :
Uvažujme jazyk jediného unárního operačního symbolu /. (Veškeré výrazy typu o G S budou při opravě ignorovány !)
a) Připomeňte definici součinu systému množin (Ai)iej. ( I je libovolná množina ! )
b) Algebra A = (A,g) je součinem systému (Aí = (A,-ng,j))iei , jestliže
c) Algebra A = (A,g) je podpřímým součinem systému (Aí = (Ai} gi))iej, jestliže
d) Nechť A a, B jsou algebry s neprázdnými nosiči a nechť C je jejich podpřímý součin. Nechť o~ je identita. U jednotlivých tvrzení vyznačte zda platí či nikoliv.
(i) (A nebo B splňuje a) ==>- C splňuje a,
(ii) C splňuje o =^r- (A nebo B splňuje a),
(iii) (A i B splňují a) C splňuje a,
(iv) C splňuje o =^r- (A i B splňují a).
e) Doplňte a dokažte. Nechť A je podpřímým součinem systému (*4.j)ie/. Pak f|ie7 ker..................
f) Algebra A je podpřímo nerozložitelná, platí-li
g) Netriviální algebra A je podpřímo nerozložitelná právě když po odstranění nejmenšího prvku ze svazu všech kongruencí algebry A vznikne
h) Nechť j\4n je svaz s nejmenším prvkem 0, největším prvkem 1 a dalšími n po dvou nesrovnatelnými prvky a±,... ,an. Pro která n G Nje Ain podpřímo nerozložitelná ? Tvrzení zdůvodněte.
i) Rozložte n-prvkový řetězec na podpřímý součin podpřímo nerozložitelných svazů.
Algebra II, 1. termín, úloha B, 3.6. 2010
Jméno : UCO :
Báze ve svazech
Nechť L = (L, A, V) je svaz. Nechť J(£) značí množinu všech jeho spojově ireducibilních prvků. Množina S C J(£) (může být nekonečná) se nazývá bazíprvku a E L, je-li a = sup S* a platí-li
( V s E S ) sup(S\ {s}) Ý a ■ a) Ukažte, že v libovolné bázi prvku a nemohou být dva různé srovnatelné prvky.
b) Nechť C je distributivní bez nekonečných řetězců. Ukažte, že množina J(£) je konečná.
Důkaz: Nechť C je maximální řetězec v C Definujeme zobrazení ip : J(£) —► C vztahem x i—► iní ({y G L | x < y} fl C) a ukážeme, že je prosté. Nechť tedy x, y E -i (C), <p(x) = <p(y) = a. Prvek z C pokrytý prvkem a označme b. Pro zbytek důkazu upravte prvek x A (6 V y) dvěma způsoby.
c) Nechť v C jsou pro všechna a E L množiny {x G L | x < a} bez nekonečných řetězců. Ukažte, že libovolné a E L má konečnou bázi. Důkaz:
d) Jak je tomu s jednoznačností bází pro prvky svazů M3 a iY"5 ?
e) Nechť C je distributivní a nechť jsou jeho množiny {x G L | x < a}, a E L, bez nekonečných řetězců. Ukažte, že libovolné a E L má nejvýše jednu bázi.
Důkaz: Nechť S,T jsou báze prvku a E L. Podle ... jsou množiny S,T konečné. Uvažujte t A sup S pro t E T a s A sup T pro s E S.
Algebra II, 1. termín, úloha C, 3.6. 2010
Jméno :
UCO :
a) Je třída všech grupoidů (S,-), v nichž existuje neutrální prvek, uvažovaná v jazyku jediného binárního operačního symbolu, uzavřená na operátor H ?
(Odpověď ano/ne: ± 4 body, důkaz/protipříklad: 6 bodů.)
b) Nechť E je konečná množina a (E*, •) je monoid všech slov nad E s operací zřetězení. Nechť p je relace na množině E* definovaná vztahem
Je relace p kongruencí monoidu (E*, •) ?
(Odpověď ano/ne: ± 4 body, důkaz/protipříklad: 6 bodů.)
c) Na množině Z uvažujeme unární operaci / danou předpisem f(x) = x+1. Rozhodněte, zda jsou unární algebry Z = (Z, /) a Z x Z izomorfní.
(Odpověď ano/ne: ± 4 body, důkaz/protipříklad: 6 bodů.)
Záporné body se počítají pouze v rámci úlohy C, tj. minimální možný počet bodů za tuto úlohu je 0. V případě nedostatku místa pokračujte na zadní stranu.
u p v
Algebra II, 2. termín, úloha A, 16. 6. 2010
Jméno : UCO :
Identity ve faktor-algebrách (Žádné a e S !)
Uvažujeme jazyk asociativního binárního operačního symbolu o a v něm pologrupu S = (S,-). ^
a) n-ární termy lze psát ve tvaru   t =     o • • • o Xik , kde
b) Napište formulku pro realizaci ts,n termu t na pologrupě S a (indukcí) ji dokažte.
c) Nechť u = Xj1 o • • • oXjt je další n-ární term. Pologrupa S splňuje identitu t = u, jestliže
d) Nechť p je kongruencí pologrupy S. Víme, že zobrazení     : S —► S/p, a i—► ..... je
.................pologrupy S na...................
e) Doplňte a dokažte: Nechť pologrupa S splňuje identitu t = u. Pak
f) Nechť A a, B jsou alespoň dvouprvkové množiny. Na A respektive B definujeme operace * resp. -k vztahy
a *b = a, c* d = d, a, b G A, c, d G B . Charakterizujte identity platné v (A,*) x (B,-k).
Algebra II, 2. termín, úloha B, 16. 6. 2010
Jméno : UCO :
Spojově a průsekově ireducibilní prvky.
Nechť L = (L, A, V) je svaz. Nechť J(£) (respektive M(£)) značí mmožinu všech spojově (resp. průsekově) ireducibilních prvků s eventuelní výjimkou nejmenšího (resp. největšího) prvku. Nechť pro xEL]e]x = {yEL\x<y}a,{x = {yEL\y< x}.
a) Nechť C = (L, A, V) je distributivní svaz, nechť i / 0 (pokud 0 existuje). Dokažte ekvivalenci následujících podmínek:
(i) x e J(£),
(ii) pro libovolná a, b G L, nerovnost x < a V b implikuje (buď x < a nebo x < b),
(iii) pro libovolná k E N, a1}... ,ak E L, nerovnost x < aľ V • • • V implikuje existenci i G {1,..., k} takového, že x < a,i.
Nechť v dalším je C konečný distributivní svaz.
b) Ukažte, že pro x G J(£) existuje prvek x £ L takový, že | x = L\ f x.
c) Ukažte, že x z bodu b) patří do množiny M(£).
d) Ukažte, že
if : J(£) ->■ M(£), x i-> x
je izomorfismem uspořádané množiny (J(£), <) na uspořádanou množinu (M(£), <). (Možný návod: najděte inverzní zobrazení.)
e) Ve svazu z tabule vyznačte množiny J(£), M(£) a zobrazení ip.
Algebra II, 2. termín, úloha C, 16. 6. 2010
Jméno : UCO :
a) Je třída všech unárních algeber (A, /), kde / ° / = /, uvažovaná v jazyku jediného unárního operačního symbolu uzavřená na operátor H ?
(Odpověď ano/ne: ± 4 body, důkaz/protipříklad: 6 bodů.)
b) Na množině Z uvažujeme binární operaci sčítání a unární operaci / danou předpisem f(x) = x2. Dále je p relace na množině Z definovaná vztahem
Je tato relace p kongruencí algebry (Z, +, /) ?
(Odpověď ano/ne: ± 4 body, důkaz/protipříklad: 6 bodů.)
c) Na množině Q uvažujeme unární operaci / danou předpisem f(x) = x + 1, x G Q. Rozhodněte, zda jsou unární algebry Q = (Q, /) a Q x Q izomorfní. (Odpověď ano/ne: ± 4 body, důkaz/protipříklad: 6 bodů.)
Záporné body se počítají pouze v rámci úlohy C, tj. minimální možný počet bodů za tuto úlohu je 0. V případě nedostatku místa pokračujte na zadní stranu.
pro a, b G Z máme
a p b
7 I (a - b) .
Algebra II, 3. termín, úloha A, 29. 6. 2010
Jméno : UCO :
Identity v podalgebrách (Žádné a e S !)
Uvažujeme jazyk asociativního binárního operačního symbolu o a unárního operačního symbolu e pro neutrální prvek a v něm monoid Ai = (M, •, 1). a) n-ární termy lze psát ve tvaru   t = x^ o • • • o Xik , kde
b) Napište formulku pro realizaci tM,n termu t na monoidu Ai a (indukcí) ji dokažte.
c) Nechť u = Xj1 o • • • o Xjt je další n-ární term. Monoid Ai splňuje identitu t = u, jestliže
d) Nechť monoid J\í = (N, o^y, ex) je podmonoidem monoidu Ai. Pak zobrazení i : N M, oh.....je ..................... monoidu M do ...................
e) Doplňte a dokažte: Nechť monoid ........................ splňuje identitu t = u. Pak též
f) Nechť A a, B jsou alespoň dvouprvkové množiny. Na A, respektive, B definujeme operace * resp. -k vztahy
a *b = a, c* d = d, a, b G A, c, d G B .
K pologrupé (A, *) x (B,-k) přidáme neutrální prvek 1. Které z následujících identit jsou ve vzniklém monoidu splněny ?
xyzx = xzyx, xyxy = xy, xyx = yxy, xyxzx = xyzx
Algebra II, 3. termín, úloha B, 29. 6. 2010
Jméno : UCO :
Uspořádané množiny izotonních zobrazení.
Nechť pro uspořádané množiny (P, <) a (Q, <) je (Q, <)(p'-*) množinou všech izotonních zobrazení (P, <) do (Q, <). Tato množina je uspořádaná "po složkách", tj. a < f3 právě když pro každé a E P máme a(a) < /3(a).
H (P, <) značí množinu všech dědičných podmnožin uspořádané množiny (P, <). Pro n G N je n množina {0,1,..., n — 1} s přirozeným uspořádáním.
a) Nechť (P, <) je uspořádaná množina. Dokažte, že (H(P, <), C) je izomorfní s (2^, > ).
b) Nechť (P, <), (Q, <) a (P, <) jsou uspořádané množiny. Dokažte, že platí (((R,<){Q'-\<){P'-\<)    je izomorfní s    ((P, <)(ř.<)x(Q.<), <).
c) Nechť (P, <) je uspořádaná množina. Dokažte, že
(2(P'-), <)    je izomorfní s    (2(p'^), >) .
d) Nechť (P, <) a (Q, <) jsou uspořádané množiny. Dokažte, že
((H(Q, <), C)(^), <)    je izomorfní s    (H((P, >) x (Q, <)), C).
e) Nechť (P, <) je uspořádaná množina a nechť (L, <) je svaz. Dokažte, že ((L, <)(p'-}, <) je podsvazem svazu flpep (L, <).
f) Uveďte diagramy uspořádaných množin (24, <) a (42, <).
Algebra II, 2. termín, úloha C, 29. 6. 2010
Jméno : UCO :
a) Je třída všech unárních algeber (A, f), kde / : A —► A je bijekce, která je sama k sobě inverzní, uvažovaná v jazyku jediného unárního operačního symbolu uzavřená na operátor H ?
(Odpověď ano/ne: ± 4 body, důkaz/protipříklad: 6 bodů.)
b) Nechť S je alespoň dvouprvková množina a operace • a o na této množině jsou dány takto: pro libovolná a,b G S platí a-b = a, aob = b. Rozhodněte, zda jsou grupoidy (S, •) a (S,o) izomorfní.
(Odpověď ano/ne: ± 4 body, důkaz/protipříklad: 6 bodů.)
c) Předně si uvědomme, že každé přirozené číslo n G N lze jednoznačným způsobem zapsat ve tvaru 2x~1(2y — 1), kde x,y G N. Rozhodněte, zda zobrazení a : N —► N x N definované předpisem a(2x~ľ(2y — 1)) = (x,y) je homomorfismus grupoidu J\í = (N,+) do grupoidu J\í x J\í.
(Odpověď ano/ne: ± 4 body, důkaz/protipříklad: 6 bodů.)
Záporné body se počítají pouze v rámci úlohy C, tj. minimálni možný počet bodů za tuto úlohu je 0. V případě nedostatku místa pokračujte na zadní stranu.