(DeTtwcvieení
M<B101 -jaro 2012 14. bhzna 2012
Příklad 1. Zvolme náhodně dvě čísla z intervalu (0,1). Určete pravděpodobnost, že bude
1. součet jejich druhých mocnin menší než 1
2. jejich součet větší než 1 a zároveň součet jejich druhých mocnin menší než 1
3. součet jejich druhých mocnin menší než 1 a zároveň součet druhých mocnin jejich dvojnásobků větší než 1.
Příklad 2. Je dán obdélník o rozměrech a^/Š a a, kde a E IR+. Určete pravděpodobnost, že nám přímka kolmá k úhlopříčce (a s úhlopříčkou různoběžná) rozdělí tento obdélník na dva lichoběžníky.
Příklad 3. Nádrž má obdélníkový půdorys, východní a západní stěna mají hranu délky 40 m, jižní a severní pak 100 m. V nádrži plave labuť. Jaká je pravděpodobnost, že je k jižní stěně blíž než ke zbývajícím třem?
Příklad 4. Na množině N definujme relaci p vztahem
a p b ^ 3c E N : a = b ■ c.
Rozhodněte, zda je relace p reflexivní, symetrická, antisymetrická, tranzitivní, úplná a zobrazení.
Příklad 5. Je dána relace p mezi množinami {1,2, 3,4, 5} a {P,        Jl». ^-}:
p = {(1, *), (2, *), (3, P), (4, 0), (5, *), (1, *)}.
1. Dokažte, že je relace p zobrazení, resp. bijektivní zobrazení
2. Určete p o p_1; p-1 o p
Příklad 6. Uvažme množinu M = {/ | / : IR —y IR} všech reálných funkcí. Na množině M definujme relaci a vztahem
1. / a g & /(0) = g(0)
2. fag^f(l)-g(l) = 0
Rozhodněte, zda je relace p reflexivní, symetrická, antisymetrická, tranzitivní, úplná. Příklad 7. Na množině M = {a, b, c, d] je definována relace o
o = {(a, a), (6, b), (c, c), (d, d), (a, b), (6, a), (a, d), (d, a), (6, d), (d, b)} Dokažte, že je tato relace relací ekvivalence a určete rozklad příslušný ekvivalenci a.
1
Příklad 8. Určete všechny rozklady množiny {a, b, c} a určete příslušné ekvivalence.
Příklad 9. Na množině M = {1,2,..., 20} definujme relaci a
a a b <^> čísla a, b mají stejný ciferný součet.
Dokažte, že je tato relace relací ekvivalence a popište příslušný rozklad.
Příklad 10. Rozhodněte, zdaje zobrazení / : NxN —> 2N dané vztahem /((a, b)) = {a, b}, injektivní, surjektivní a bijektivní.
Příklad 11. Rozhodněte, zda je zobrazení / : N x N —> N dané vztahem f ((a,b)) = 2*~1(2y — 1), injektivní, surjektivní a bijektivní.
Příklad 12. Je dána množina M = {a,b, c}. Uveďte příklad relace na množině M, která, bude
1. ekvivalence i uspořádání
2. ekvivalence i zobrazení
3. reflexivní i tranzitivní, ale není uspořádání
2