(DeTtwcvieení
M<B101 -jaro 2012 28. bhzna 2012
Příklad 1. Dokažte, že množinavšech čtvercových matic n-tého řádu s reálnými koeficienty tvoří vektorový prostor nad IR, kde sčítání matic definujeme po složkách a násobení reálným číslem také.
Příklad 2. Rozhodněte, zda množina ľ = Mxffi tvoří vektorový prostor nad IR, jestliže je operace © definována vztahem, (a, b) © (x,y) = (a • x,b + y) a násobení skalárem je definováno t 0 (x, y) = (tx,ty). Rozhodněte, které z podmínek vektorového prostoru platí a které nikoliv.
Příklad 3. Rozhodněte, zda je množina {(x,0,1) | x G IR} vektorový prostor nad IR, jestliže je sčítání definováno vztahem (x, 0,1) © (y, 0,1) = (x + y, 0,1) a násobení skalárem
je definování	
1. t(x,0,1)	= (í2x,0,l
2. t(x,0,1)	= o,o, 1)
3. t(x,0,1)	= O,0,ť)
4. t(x,0,1)	= (x,0,l)
Příklad 4. Rozhodněte, zda tvoří Q3 vektorový prostor nad Q, jestliže je násobení skalárem definováno klasicky po složkách a sčítání je definováno vztahem
1. (a, b, c) © (x, y, z) = (a — y, x — b, c + z)
2. (a, 6, c) © (x, y, z) = (\a - x\, b + y, 0)
3. (a, 6, c) © (x, y, z) = (—a — x,—b — y, —c — z)
Příklad 5. Rozhodněte, zda množina U tvoří podprostor vektorového prostoru Mat2(IR), jestliže
1
5. U
6. U
7. U
l. U
9. U
a	b
c	d
a	b
c	d
a	b
c	d
a	b
c	d
a	b
c	d
a+b+c+d=0
ad — bc = O
ad — bc
a ■ b ■ c ■ d = O
součin prvků v prvním i ve druhém řádku, v prvním i druhém sloupci je nulový j>
Příklad 6. Rozhodněte, zda množina M tvoří podprostor vektorového prostoru B^rc].
1. M = {f(=R5[x
2. M = {f e R5[x
3. M = {f e R5[x
4. M = {f e R5[x
5. M = {f E R5[x
/(o)-/(i) = o>
x2 + l\f}
f nemá reálný kořen}
/(0) = /(l) = /(2) = /(3) = ---
/(0) = /(l) = /(2) = /(3)=0}
0}
Příklad 7. Uvažujme vektorový prostor matic řádu 3, které jsou symetrické a které mají součet prvků v každém jednotlivém řádku roven 0 a současně mají součet prvků v každém jednotlivém sloupci roven 0 a současně mají součet prvků na hlavní diagonále roven 0.
2