(Democvicení
M<B101 - jaro 2012 18. dubna 2012
Příklad 1. Lineární transformace vektorového prostoru IR3 je dána obrazy bázových vektorů:
<p((2; 1; 1)) = (-1; 0; 0); ^((1; 1; 1)) = (0; 4; 0); ^((1; 0; 2)) = (0; 0; 2). Určete matici transformace a předpis tohoto zobrazení.
Příklad 2. Ve vektorovém prostoru Mat22(K) je pro libovolné dva vektory A, B definováno reálné číslo A ■ B. Rozhodněte, zda je takto definován skalární součin
1. A-B = det{A ■ B)
2. A-B = det(A + B)
3. A ■ B = a\b\ + a4&4
4. A ■ B = a\h\ + a2b2 + a3b3 + a464
Příklad 3 (*). Ve vektorovém prostoru M2H Je definován skalární součin
f -9 = J f{x)g{x)áx.
Dokažte, že se skutečně jedná o skalární součin a rozhodněte, zda dané vektory tvoří ortogonální bázi
1. h=2x, f2 = 3x2-l, /3 = 3
2. j\ = x2 - 2x + 1, f2 = hx2 + 2x - 1, /3 = 2x + 1
Příklad 4. Určete ortogonální doplněk podprostoru ((1; —1; 1; 0; 0); (1; 0; 1; 0; 1); (1; 1; 0; —1; 1)} v IR5.
Příklad 5. Mějme vektory m = (l;í;2;0), u2 = (—1; 1; 0; 0), u3 = (l;-2;2;3), u4 = (2;-5; 6; 3).
1. Určete ortogonální bázi prostoru (ui,u2,u3)
2. Určete, pro jaké hodnoty t lze vektor u\ napsat jako lineární kombinace vektorů z předchozího cvičení.
Příklad 6. Najděte kolmý průmět vektoru v do podprostoru W = (wl;w2) v E4, kde uh = (1;-1;-1;2) , w2 = (3; 1;0; 1) , v = (-2; 2; 2; 5).
1