Matematika 1 27. května 2009
(UČO: )
Hodnocení:
Semestr (max. 15b.)	1.	2.	3.	4.	5.	6.	E
0							
Potřebné minimum (včetně bodů ze semestru) je 20 bodů.
Na práci máte cca 100 minut.
1. (6 bodů) Rozhodněte, je-li matice
/ 2    -1    1 \
A =   -1    2 -1 \ 0     0     1 /
diagonalizovatelná, určete regulární matici P a diagonální D takové, že A = P ■ D ■ P~ľ a prostřednictvím diagonalizace vypočtete A5 a A~3 .
2. (6 bodů) Určete všechny dvojice parametrů, pro něž je množina řešení soustavy
x + y + az = 1 x + ay + 2z = 1 x + y + 3z = b
s neznámými x, y, z G IR
(a) nekonečná,
(b) prázdná.
3. (5 bodů) Mějme vektory
ul = (1,-2,2,0), m2 = (-1,1,0,0) m3 = (1,-2,2,3),   íí4 = (2,-5,í,3).
(a) Určete, pro které hodnoty t G IR je it4 lineární kombinací u1}U2,u3,
(b) pomocí Gram-Schmidtova procesu určete ortogonální bázi (u1,u2,u3),
(c) určete souřadnice it4 (pro hodnotu í určenou v (a)) v bázi určené v (b).
4. (4 body) Určete obecnou rovnici roviny určené body A = [—1,1,0], B = [2,1,6], c = [3,0,4].
5. (6 bodů) V každém pytli s 1000 zlaťáky jsou 4 falešné, pokud je pytel z Kutné Hory, a 2 falešné, pokud je z Prahy. Máme 20 pytlů z Kutné Hory a 30 pytlů z Prahy. Náhodně vybereme pytel a z něho zlaťák. Určete pravděpodobnost, že:
(a) zlaťák je falešný,
(b) pokud je vytažen pravý zlaťák, tak je z Prahy.
6. (3 body) Definujte pojem tranzitivní relace a pojem relace ekvivalence. Udejte příklad relace na tříprvkové množiněm, která je reflexivní a tranzitivní, ale není symetrická.
Matematika 1 27. května 2009
IB
(UČO: )
Hodnocení:
Semestr (max. 15b.)	1.	2.	3.	4.	5.	6.	E
0							
Potřebné minimum (včetně bodů ze semestru) je 20 bodů.
Na práci máte cca 100 minut.
1. (5 bodů) Určete vlastní hodnoty a vlastní vektory matice
M
Určete algebraickou a geometrickou násobnost všech vlastních hodnot a uveďte, je-li matice M diagonalizovatelná.
2. (6 bodů) V IR4 určete vzdálenost roviny a : [1, 2, 0,-1] + s(l, 0,3, 0) + t(2, 0,1, 0) od přímky p : [4,3,4,6] +r(3,4,4, 3) a body, v nichž se tato vzdálenost realizuje (tj. nejkratší úsečku s jedním koncovým vrcholem v a a druhým na p).
3. (6 bodů) U zkoušky je 70% studentů, kteří se učili, zbytek se neučil (šli to zkusit). Student, který se poctivě učil, zkoušku úspěšně absolvuje s pravděpodobností 90%, student, který se neučil, s pravděpodobností 20%. Určete pravděpodobnosti následujících jevů:
(a) náhodně vybraný student zkoušku udělá;
(b) student, který zkoušku udělal, se na to ani nepodíval;
(c) student, který zkoušku neudělal, se poctivě připravoval.
4. (5 bodů) Pomocí výpočtu vhodného determinantu rozhodněte o lineární (ne)závislosti vektorů
(a G IR je parametr):
Mi = (1,1,1,1),   u2 = (a,0,a,0) u3 = (a, 2, 3,4),   u4 = (1,-1,0,0).
5. (5 bodů) Uvažujte množiny A = {1, 2, 3,4}, B = {a, b, c, d} a relaci p mezi těmito množinami danou předpisem
p = {[l,d],[2,a],[2,6],[3,c]}.
(a) Určete, je-li relace p zobrazení a pokud ano, je-li toto zobrazení sujektivní a/nebo injek-tivní.
(b) Určete inverzní relaci p-1 a uveďte, jde-li o zobrazení a pokud ano, je-li toto zobrazení sujektivní a/nebo injektivní.
(c) Určete složené relace p-1 o p a p o p_1.
6. (3 body)
(a) Definujte pojem hodnost matice.
(b) Zformulujte Frobeniovu větu o řešitelnosti soustavy lineárních rovnic.
(c) Uveďte souvislost mezi determinantem regulární matice A a matic A~ľ, AT.