jaro 2012
MB101    Matematika I
Čas: 100 minut
Jméno: Místnost: 1. vnitrosemestrální písemka
list   c  _i i_l I uco   c  _i i_l  _i ll  j ľ  _i c  _i i_l  j c  _i    body   c  _i i_l  _j ll j
Oblast strojově snímatelných informací. Své UCO vyplňte zleva dle přiloženého vzoru číslic. Jinak do této oblasti nezasahujte.
D IE3H5E1B3
Je dána n-prvková množina M. Určete počet všech symetrických relací na množině Přiklad 1 M, které nebudou reflexivní. Své tvrzení zdůvodněte. 5 bodů
Označme tuto relaci i? C M x M. To, že relace není reflexivní, znamená, že (a, a) ^ R pro nějaké a G M. Symetričnost, znamená, že pokud je v relaci prvek a, b pro a ^ b, musí být v relaci nutně i prvek (6, a), jinak nastává spor s vlastností symetrie.
Pro každou dvojici různých prvků a, b, musí být v R buď (a, b) i (6, a), nebo ani jeden z nich. Máme tak pro každou dvojici různých prvků, kterých je ZIÍZL-L^ celkem 2 možnosti, proto je celkový počet různých relací splňující vlastnost ze zadání
Na množině Z je dána relace o vztahem: Přiklad 2
10 bodů
(a, b) G a <=)> 3c G Z : a = b + 3c.
Rozhodněte, zda je relace a reflexivní, symetrická, antisymetrická, tranzitivní a úplná. Své tvrzení zdůvodněte.
1. Reflexivní: ano
a = a + 3 • 0
2. Symetrická: ano
(a,b) G a     3c G Z : a = b + 3c     b = a + 3(-c)     (b, a) G a
3. Antisymetrická: ne
(1,4) G a A (4,1) G a ale 1 ^4
4. Tranzitivní: ano
(a, b) G a A (6, c) G a 3<i, e G Z : a = b + 3<i, 6 = c + 3e a = c + 3(e + d)
(a, c) G a
5. Úplná: ne, ani (1,2), ani (2,1) nejsou v a
Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu.
jaro 2012
MB101    Matematika I
Čas: 100 minut
Jméno: Místnost: 1. vnitrosemestrální písemka
E
list   c  _i ^h^h uco   c  _i i_l  _i ll  j ľ  _i ľ  _i ll  j c  _i    body   c  _i i_l  _j ll j
Oblast strojově snímatelných informací. Své UCO vyplňte zleva dle přiloženého vzoru číslic. Jinak do této oblasti nezasahujte.
D IE3H5E1B3
Jsou dána zobrazení /, g : Z x Z -?► Z x Z vztahem Přiklad 3
15 bodů
/((^ V)) = (x + V, 2y + 1), y)) = (x2 + y, x), pro x, y G Z.
a) Rozhodněte, zda je zobrazení / injektivní, surjektivní, bijektivní. Své tvrzení zdůvodněte.
b) Určete předpis zobrazení / o g.
a) Snadno rozepsáním dostaneme, že zobrazení je injektivní, stačí srovnat druhé složky a dosadit do složek prvních. Zobrazení však není surjektivní, protože například (0, 0) nemá svůj vzor.
b)
9 ° f((x,y)) = g(f((x,y))) = g((x + y,2y + 1)) = ((z + y)2 + (2y + 1),x + y) =
= (x2 + 2xy + y2+2y + l,x + y)
Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu.
jaro 2012
MB101    Matematika I
Čas: 100 minut
Jméno: Místnost: 1. vnitrosemestrální písemka
3
list   c  _i ^h^J uco   c  _i i_l  _i ll  j ľ  _i ľ  _i ll  j c  _i    body   c  _i i_l  _j ll j
Oblast strojově snímatelných informací. Své UCO vyplňte zleva dle přiloženého vzoru číslic. Jinak do této oblasti nezasahujte.
□ ÍIS3HBEHB3
Střelec opakovaně střílí do terče. Pravděpodobnost, že zasáhne, je při každém Přiklad 4 výstřelu 0,3. Kolikrát nejméně musí vystřelit, abychom s pravděpodobností ale- 10 bodů
spoň 0, 95 mohli říci, že se trefí alespoň jednou. Své tvrzení zdůvodněte.
Jev „trefí alespoň jednou" označme A, je jevem opačným k jevu „netrefí ani jednou". Pravděpodobnost, že se netrefí ani jedním z n pokusů je 0, 7n. Proto
P(A) = 1 - 0, 7n
Chceme, aby tato pradvděpodobnost byla vyšší než 0, 95. Stačí vyřešit rovnici
> 0,95
> 0,7n
> n-ln(0,95)
> ln(0,05) "    ln(0,7)
> 8,399...
Jelikož má být výsledek zjevně přirozené číslo, je dostatečný počet výstřelů roven 9.
1 - 0, 7n 0,05 ln(0, 05)
Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu.
jaro 2012 MB101    Matematika I Cas: 100 minut
Jméno: Místnost: 1. vnitrosemestrální písemka
rr     ■   rr     ■   rr     m   rr     a rr     ,n   ■     ■ rr     ,n   rr     ,n   rr    ,~i   rr     ,n   rr     ,n   rr    ,n   rr     ,n rr     n   rr     ,n   rr ,n
H
list   c  _i i_l J uco   c  _i i_l  _i ll  j ľ  _i c  _i ll  j ľ  _i    body   c  _i i_l  _j ll j
Oblast strojově snímatelných informací. Své UCO vyplňte zleva dle přiloženého vzoru číslic. Jinak do této oblasti nezasahujte.
D IE3H5E1B3
Určete všechna komplexní čísla z, která splňují rovnost
ž-(z-l) = \z\2.
Komplexní číslo z dosadíme ve tvaru z = a + bi
(a — bi)(a + bi — 1) = \a + bi\2 a2 +b2 - a + bi = a2 + b2
Porovnáme reálné a komplexní části a dostáváme dvě rovnice:
6 = 0
a2 + b2 - a = a2 + b2
Z obou rovnic je hned vidět, že jediné řešení je b = 0 a a = 0, tudíž hledané z = 0. Jiné řešení: nic nedosazujeme, roznásobíme rovnici a dosadíme známý fakt, že |z|2 = zž
žz — ž = žz ž = 0
tudíž i z = 0.
Přiklad 5
10 bodů
Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu.
jaro 2012 MB101    Matematika I Cas: 100 minut
Jméno: Místnost: 1. vnitrosemestrální písemka
B
list   c  _i ^h^J uco   c  _i i_l  _i ll  j ľ  _i ľ  _i ll  j c  _i    body   c  _i i_l  _j ll j
Oblast strojově snímatelných informací. Své UCO vyplňte zleva dle přiloženého vzoru číslic. Jinak do této oblasti nezasahujte.
D IE3H5E1B3
Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu.