Skaláry Skalární funkce Kombinatorické forrr lule Diferenční rovnice ooooo 00 oooooooo oooooo Matematika I - 1. přednáška Základní matematické pojmy - úvod a motivace Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 20. 2. 2012 Skaláry ooooo Skalární funkce 00 Kombinatorické formule oooooooo Diferenční rovnice oooooo Q Skaláry Q Skalární funkce Ql Kombinatorické formule • Permutace, kombinace a variace • Permutace, kombinace a variace s opakováním Q| Diferenční rovnice Skaláry ooooo Skalární funkce 00 Kombinatorické formule oooooooo Diferenční rovnice oooooo • Martin Panák, Jan Slovák - Drsná matematika, e-text (studijní materiály) • Roman Hilscher - MB102, e-text (studijní materiály). • Pavel Horák, Úvod do lineární algebry, MU Brno, skripta (viz též http://www.math.muni.cz/~vondra/vyuka/p2011/ zm/zm_skripta.pdf) • Luboš Motl, Miloš Zahradník, Pěstujeme lineární algebru, 3. vydání, Univerzita Karlova v Praze, Karolinum, 348 stran (elektronické vydání také na http://www.kolej.mff.cuni.cz/~lmotm275/skripta/). Skaláry ooooo Skalární funkce 00 Kombinatorické formule oooooooo Diferenční rovnice oooooo • Martin Panák, Jan Slovák - Drsná matematika, e-text (studijní materiály) • Roman Hilscher - MB102, e-text (studijní materiály). • Pavel Horák, Úvod do lineární algebry, MU Brno, skripta (viz též http://www.math.muni.cz/~vondra/vyuka/p2011/ zm/zm_skripta.pdf) • Luboš Motl, Miloš Zahradník, Pěstujeme lineární algebru, 3. vydání, Univerzita Karlova v Praze, Karolinum, 348 stran (elektronické vydání také na http://www.kolej.mff.cuni.cz/~lmotm275/skripta/). • Další sbírky úloh - lehké http://www.math.muni.cz/ ~vondra/vyuka/p2011/zm/bakalarka.pdf, zajímavé a těžší http://www.kolej.mff.cuni.cz/~lmotm275/ skripta/sbirka/karel-milos.pdf • Předmětové záložky v IS MU Skaláry ooooo Skalární funkce 00 Kombinatorické formule oooooooo Diferenční rovnice oooooo Q Skaláry Q Skalární funkce Q Kombinatorické formule • Permutace, kombinace a variace • Permutace, kombinace a variace s opakováním Q Diferenční rovnice Skaláry •oooo Skalární funkce 00 Kombinatorické formule oooooooo Diferenční rovnice oooooo Míváme (často chorobnou) snahu mít jasno • kolik něco je • za kolik to je, • jak dlouho to je • kde přesně to je «... a výsledkem takových úvah je většinou nějaké číslo, případně spousta čísel. Budeme učeněji říkat hodnoty. Skaláry •oooo Skalární funkce 00 Kombinatorické formule oooooooo Diferenční rovnice oooooo Míváme (často chorobnou) snahu mít jasno • kolik něco je • za kolik to je, • jak dlouho to je • kde přesně to je «... a výsledkem takových úvah je většinou nějaké číslo, případně spousta čísel. Budeme učeněji říkat hodnoty. Za číslo se přitom považuje něco, co umíme sčítat a násobit a splňuje to obvyklé zákonitosti, ať už všechny nebo jen některé. Skaláry Skalární funkce Kombinatorické forrr lule Diferenční rovnice o»ooo 00 oooooooo oooooo Nejjednodušší příklady jsou přirozená čísla, budeme je značit No = {0,1,2,3,...}, resp. N = {1,2, 3,...} (v informatice brána včetně nuly, jinde spíše ne), a čísla celá Z = {...,-2,-l,0,l,2,...}. Skaláry Skalární funkce Kombinatorické formule Diferenční rovnice o»ooo 00 oooooooo oooooo Nejjednodušší příklady jsou přirozená čísla, budeme je značit No = {0,1,2,3,...}, resp. N = {1,2, 3,...} (v informatice brána včetně nuly, jinde spíše ne), a čísla celá Z = {...,-2,-l,0,l,2,...}. Formálně můžeme definovat O := 0, 1 := {0}, 2 := {0,1},..., n + 1 := {0,1,..., n}. Pak lze snadno formálně definovat sčítání a násobení celých čísel, uspořádání, ukázat, že každá podmnožina v N má nejmenší prvek a spoustu dalších vlastností, o kterých zpravidla už dávno nepřemýšlíme a máme je za samozřejmé. Nejjednodušší příklady jsou přirozená čísla, budeme je značit No = {0,1,2,3,...}, resp. N = {1,2, 3,...} (v informatice brána včetně nuly, jinde spíše ne), a čísla celá Z = {...,-2,-l,0,l,2,...}. Formálně můžeme definovat 0 := 0, 1 := {0}, 2 := {0,1},..., n + 1 := {0,1,..., n}. Pak lze snadno formálně definovat sčítání a násobení celých čísel, uspořádání, ukázat, že každá podmnožina v N má nejmenší prvek a spoustu dalších vlastností, o kterých zpravidla už dávno nepřemýšlíme a máme je za samozřejmé. Budeme navíc místo s čísly manipulovat s písmeny abecedy, případně jinými znaky, ať už jejich hodnota je nebo není předem známa. Skaláry Skalární funkce Kombinatorické formule Diferenční rovnice oo»oo OO oooooooo oooooo Vlastnost i sčítání Vyjmenujme takto obvyklé vlastnosti, které sčítání a násobení čísel má: (a + b) + c = a + (b + c), pro všechny a, b, c (KG1) a + b = b + a, pro všechny a, fa (KG2) existuje prvek 0 tak, že pro všechny a je a + 0 = a (KG3) pro všechny a existuje (—a) tak, že a + (—a) = 0. (KG4) Skaláry Skalární funkce Kombinatorické formule Diferenční rovnice oo»oo OO oooooooo oooooo Vlastnost i sčítání Vyjmenujme takto obvyklé vlastnosti, které sčítání a násobení čísel má: (a + b) + c = a + (b + c), pro všechny a, b, c (KG1) a + b = b + a, pro všechny a, fa (KG2) existuje prvek 0 tak, že pro všechny a je a + 0 = a (KG3) pro všechny a existuje (—a) tak, že a + (—a) = 0. (KG4) Vlastnostem (KG1) - (KG4) říkáme vlastnosti komutativní grupy. Celá čísla Z jsou dobrým příkladem komutativní grupy, přirozená čísla nikoliv, protože nesplňují KG4 (a případně neobsahují nulu pokud ji do N nezahrnujeme). Skaláry Skalární funkce Kombinatorické formule Diferenční rovnice ooo»o oo oooooooo oooooo Vlastnosti násobení (a • b) ■ c = a ■ (b • c), pro všechny a, b, c (Ol) a • b = b ■ a, pro všechny a, b (02) existuje prvek 1 takový, že pro všechny a platí 1 • a = a (03) a • (b + c) = a • b + a • c, pro všechny a, fa, c. (04) Poslední vlastnosti 04 se říká distributivita. Skaláry Skalární funkce Kombinatorické formule Diferenční rovnice ooo»o oo oooooooo oooooo Vlastnosti násobení (a • b) ■ c = a ■ (b • c), pro všechny a, b, c (Ol) a • b = b • a, pro všechny a, b (02) existuje prvek 1 takový, že pro všechny a platí 1 • a = a (03) a • (b + c) = a • b + a • c, pro všechny a, fa, c. (04) Poslední vlastnosti 04 se říká distributivita. Množiny s operacemi +, • a vlastnostmi (KG1)-(KG4), (01)-(04) se nazývají komutativní okruhy. Potřebujeme však zpravidla ještě další běžnou vlastnost čísel: pro každé a / O existuje a-1 tak, že platí, a • a-1 = 1. (P) Skaláry Skalární funkce Kombinatorické formule Diferenční rovnice ooo»o oo oooooooo oooooo Vlastnosti násobení (a • b) ■ c = a ■ (b • c), pro všechny a, b, c (Ol) a • b = b • a, pro všechny a, b (02) existuje prvek 1 takový, že pro všechny a platí 1 • a = a (03) a • (b + c) = a • b + a • c, pro všechny a, fa, c. (04) Poslední vlastnosti 04 se říká distributivita. Množiny s operacemi +, • a vlastnostmi (KG1)-(KG4), (01)-(04) se nazývají komutativní okruhy. Potřebujeme však zpravidla ještě další běžnou vlastnost čísel: pro každé a / O existuje a-1 tak, že platí, a • a-1 = 1. (P) Když naše objekty splňují navíc i (P), hovoříme o poli (často také o komutativním tělese). Skaláry oooo» Skalární funkce 00 Kombinatorické formule oooooooo Diferenční rovnice oooooo Někdy se ale setkáme se slabší dodatečnou vlastností než je (P). Např. okruh celých čísel Z nesplňuje (P), ale splňuje a-b = Q =>- bud' a = 0 nebo b = 0. (01) Hovoříme o oboru integrity. Prvky nějaké množiny s operacemi + a • splňujícími (ne nutně všechny) výše uvedené vlastnosti (tj. komutativní okruh, obor integrity, pole) budeme nazývat skaláry. Skaláry oooo» Skalární funkce 00 Kombinatorické formule oooooooo Diferenční rovnice oooooo Někdy se ale setkáme se slabší dodatečnou vlastností než je (P). Např. okruh celých čísel Z nesplňuje (P), ale splňuje a-b = Q =>- bud' a = 0 nebo b = 0. (01) Hovoříme o oboru integrity. Prvky nějaké množiny s operacemi + a • splňujícími (ne nutně všechny) výše uvedené vlastnosti (tj. komutativní okruh, obor integrity, pole) budeme nazývat skaláry. Budeme pro ně vesměs užívat latinská písmena ze začátku abecedy. Skaláry ooooo Skalární funkce 00 Kombinatorické formule oooooooo Diferenční rovnice oooooo Q Skaláry Q Skalární funkce Q Kombinatorické formule • Permutace, kombinace a variace • Permutace, kombinace a variace s opakováním Q Diferenční rovnice Skaláry Skalární funkce Kombinatorické forrr lule Diferenční rovnice ooooo •O oooooooo oooooo Většinou hodnoty neznáme, místo toho ale něco víme o závislosti naší hodnoty na hodnotách jiných. Formálně píšeme, že hodnota y = f (x) naší závislé veličiny y je dána nezávislou veličinou x. Přitom bereme f jen formálně (jenom víme, že je definována) nebo operačně (tj. f(x) je dáno formulí poskládanou ze známých operací. Skaláry Skalární funkce Kombinatorické forrr lule Diferenční rovnice ooooo •O oooooooo oooooo Většinou hodnoty neznáme, místo toho ale něco víme o závislosti naší hodnoty na hodnotách jiných. Formálně píšeme, že hodnota y = f (x) naší závislé veličiny y je dána nezávislou veličinou x. Přitom bereme f jen formálně (jenom víme, že je definována) nebo operačně (tj. f(x) je dáno formulí poskládanou ze známých operací. Je-li hodnotou skalár, hovoříme o skalární funkci. Hodnoty mohou být také dány pouze přibližně nebo s jistou pravděpodobností. Skaláry Skalární funkce Kombinatorické forrr lule Diferenční rovnice ooooo •O oooooooo oooooo Většinou hodnoty neznáme, místo toho ale něco víme o závislosti naší hodnoty na hodnotách jiných. Formálně píšeme, že hodnota y = f (x) naší závislé veličiny y je dána nezávislou veličinou x. Přitom bereme f jen formálně (jenom víme, že je definována) nebo operačně (tj. f(x) je dáno formulí poskládanou ze známých operací. Je-li hodnotou skalár, hovoříme o skalární funkci. Hodnoty mohou být také dány pouze přibližně nebo s jistou pravděpodobností. Matematické úvahy z formálního popisu nachází explicitní formule, které funkce popisují. Pracujeme s: • s přesným a konečným výrazem Skaláry Skalární funkce Kombinatorické forrr lule Diferenční rovnice ooooo •O oooooooo oooooo Většinou hodnoty neznáme, místo toho ale něco víme o závislosti naší hodnoty na hodnotách jiných. Formálně píšeme, že hodnota y = f (x) naší závislé veličiny y je dána nezávislou veličinou x. Přitom bereme f jen formálně (jenom víme, že je definována) nebo operačně (tj. f(x) je dáno formulí poskládanou ze známých operací. Je-li hodnotou skalár, hovoříme o skalární funkci. Hodnoty mohou být také dány pouze přibližně nebo s jistou pravděpodobností. Matematické úvahy z formálního popisu nachází explicitní formule, které funkce popisují. Pracujeme s: • s přesným a konečným výrazem • s nekonečným výrazem Skaláry Skalární funkce Kombinatorické forrr lule Diferenční rovnice ooooo •O oooooooo oooooo Většinou hodnoty neznáme, místo toho ale něco víme o závislosti naší hodnoty na hodnotách jiných. Formálně píšeme, že hodnota y = f (x) naší závislé veličiny y je dána nezávislou veličinou x. Přitom bereme f jen formálně (jenom víme, že je definována) nebo operačně (tj. f(x) je dáno formulí poskládanou ze známých operací. Je-li hodnotou skalár, hovoříme o skalární funkci. Hodnoty mohou být také dány pouze přibližně nebo s jistou pravděpodobností. Matematické úvahy z formálního popisu nachází explicitní formule, které funkce popisují. Pracujeme s: • s přesným a konečným výrazem • s nekonečným výrazem • s přiblížením neznámé funkce známým odhadem (většinou s vyčíslenou možnou chybou) Skaláry Skalární funkce Kombinatorické forrr lule Diferenční rovnice ooooo •O oooooooo oooooo Většinou hodnoty neznáme, místo toho ale něco víme o závislosti naší hodnoty na hodnotách jiných. Formálně píšeme, že hodnota y = f (x) naší závislé veličiny y je dána nezávislou veličinou x. Přitom bereme f jen formálně (jenom víme, že je definována) nebo operačně (tj. f(x) je dáno formulí poskládanou ze známých operací. Je-li hodnotou skalár, hovoříme o skalární funkci. Hodnoty mohou být také dány pouze přibližně nebo s jistou pravděpodobností. Matematické úvahy z formálního popisu nachází explicitní formule, které funkce popisují. Pracujeme s: • s přesným a konečným výrazem • s nekonečným výrazem • s přiblížením neznámé funkce známým odhadem (většinou s vyčíslenou možnou chybou) • s odhadem hodnot s vyčíslením jejich pravděpgdobnosti^apod.. Skaláry ooooo Skalární funkce O* Kombinatorické formule oooooooo Diferenční rovnice oooooo Example (1) Roční mzda pracovníků (hodnoty nezávislé veličiny jsou jednotliví pracovníci x z nějaké množiny, f(x) je jejich roční mzda za dané období), 00.0 Skaláry ooooo Skalární funkce O* Kombinatorické formule oooooooo Diferenční rovnice oooooo Example (1) Roční mzda pracovníků (hodnoty nezávislé veličiny jsou jednotliví pracovníci x z nějaké množiny, f(x) je jejich roční mzda za dané období), (2) měsíční mzda konkrétního pracovníka v čase (nezávislou hodnotou je čas v měsících, závislou příjem). 00.0 Skaláry ooooo Skalární funkce O* Kombinatorické formule oooooooo Diferenční rovnice oooooo Example (1) Roční mzda pracovníků (hodnoty nezávislé veličiny jsou jednotliví pracovníci x z nějaké množiny, f(x) je jejich roční mzda za dané období), (2) měsíční mzda konkrétního pracovníka v čase (nezávislou hodnotou je čas v měsících, závislou příjem). (3) Plocha obrazce v rovině, objem tělesa v prostoru, rychlost konkrétního auta v čase atd. Dovedeme si jistě představit, že ve všech uvedených případech může být hodnota dána nějakou volně popsanou souvislostí nebo naměřena přibližně nebo odhadnuta atd. 00.0 Skaláry ooooo Skalární funkce O* Kombinatorické formule oooooooo Diferenční rovnice oooooo Example (1) Roční mzda pracovníků (hodnoty nezávislé veličiny jsou jednotliví pracovníci x z nějaké množiny, f(x) je jejich roční mzda za dané období), (2) měsíční mzda konkrétního pracovníka v čase (nezávislou hodnotou je čas v měsících, závislou příjem). (3) Plocha obrazce v rovině, objem tělesa v prostoru, rychlost konkrétního auta v čase atd. Dovedeme si jistě představit, že ve všech uvedených případech může být hodnota dána nějakou volně popsanou souvislostí nebo naměřena přibližně nebo odhadnuta atd. (4) Obyčejné sčítání nebo násobení přirozených čísel 00.0 Skaláry ooooo Skalární funkce O* Kombinatorické formule oooooooo Diferenční rovnice oooooo Example (1) Roční mzda pracovníků (hodnoty nezávislé veličiny jsou jednotliví pracovníci x z nějaké množiny, f(x) je jejich roční mzda za dané období), (2) měsíční mzda konkrétního pracovníka v čase (nezávislou hodnotou je čas v měsících, závislou příjem). (3) Plocha obrazce v rovině, objem tělesa v prostoru, rychlost konkrétního auta v čase atd. Dovedeme si jistě představit, že ve všech uvedených případech může být hodnota dána nějakou volně popsanou souvislostí nebo naměřena přibližně nebo odhadnuta atd. (4) Obyčejné sčítání nebo násobení přirozených čísel (5) Důležitou operačně definovou skalární funkcí na přirozených číslech je faktoriál, který definujeme vztahy f{0) = l, f{n + l) = {n + l)-f{n). Píšeme f(n) = n\ a definice zjevně znamená n\ = n ■ (n — 1) • • • 1. (To není příliš efektivní formule pro velká n, lepší ale těžko hledat.) 00.0 Skaláry ooooo Skalární funkce 00 Kombinatorické formule oooooooo Diferenční rovnice oooooo Q Skaláry Q Skalární funkce Ql Kombinatorické formule • Permutace, kombinace a variace • Permutace, kombinace a variace s opakováním Q Diferenční rovnice Skaláry ooooo Skalární funkce 00 Kombinatorické formule •ooooooo Diferenční rovnice oooooo Z množiny n předmětů vytváříme pořadí jejich prvků. Pro volbu prvního prvku je n možností, další je volen z n — 1 možností atd., až nám nakonec zbude jediný poslední prvek. Skaláry ooooo Skalární funkce 00 Kombinatorické formule •ooooooo Diferenční rovnice oooooo Z množiny n předmětů vytváříme pořadí jejich prvků. Pro volbu prvního prvku je n možností, další je volen z n — 1 možností atd., až nám nakonec zbude jediný poslední prvek. Proto je na dané konečné množině S s n prvky právě n! různých pořadí. Hovoříme o permutacích prvků množiny S. Skaláry ooooo Skalární funkce 00 Kombinatorické formule •ooooooo Diferenční rovnice oooooo Z množiny n předmětů vytváříme pořadí jejich prvků. Pro volbu prvního prvku je n možností, další je volen z n — 1 možností atd., až nám nakonec zbude jediný poslední prvek. Proto je na dané konečné množině S s n prvky právě n! různých pořadí. Hovoříme o permutacích prvků množiny S. Jestliže si předem prvky v S očíslujeme, tj. ztotožníme si S s množinou S = {1,..., n} n přirozených čísel, pak permutace odpovídají možným pořadím čísel od jedné do n. Skaláry Skalární funkce Kombinatorické formule Diferenční rovnice OOOOO OO »0000000 oooooo Z množiny n předmětů vytváříme pořadí jejich prvků. Pro volbu prvního prvku je n možností, další je volen z n — 1 možností atd., až nám nakonec zbude jediný poslední prvek. Proto je na dané konečné množině S s n prvky právě n! různých pořadí. Hovoříme o permutacích prvků množiny S. Jestliže si předem prvky v S očíslujeme, tj. ztotožníme si S s množinou S = {1,..., n} n přirozených čísel, pak permutace odpovídají možným pořadím čísel od jedné do n. Dokázali jsme tak: Věta Počet různých pořadí na konečné množině s n prvky je dán funkcí faktoriál: f(n) = n\ Skaláry ooooo Skalární funkce 00 Kombinatorické formule o»oooooo Diferenční rovnice oooooo Dalším jednoduchým příkladem hodnoty určené formulí je počet způsobů, kterými lze vybrat k různých rozlišitelných předmětů z množiny n předmětů. Skaláry ooooo Skalární funkce 00 Kombinatorické formule o»oooooo Diferenční rovnice oooooo Dalším jednoduchým příkladem hodnoty určené formulí je počet způsobů, kterými lze vybrat k různých rozlišitelných předmětů z množiny n předmětů. Zjevně máme n(n — 1) • • • (n — k + 1) možných výsledků postupného výběru našich k prvků, přitom ale stejnou výslednou /c-tici dostaneme v k\ různých pořadích. Skaláry Skalární funkce Kombinatorické forrr ule Diferenčn ooooo 00 o»oooooo oooooo Dalším jednoduchým příkladem hodnoty určené formulí je počet způsobů, kterými lze vybrat k různých rozlišitelných předmětů z množiny n předmětů. Zjevně máme n(n — 1) • • • (n — k + 1) možných výsledků postupného výběru našich k prvků, přitom ale stejnou výslednou /c-tici dostaneme v k\ různých pořadích. Dokázali jsme tedy: Pro počet kombinací /c-tého stupně z n prvků platí (samozřejmě je k < n) c(n,k) n(n-l)...(n - k + 1) _ n\ k(k- l)...l ~ (n- k)\k\ Číslům c(n,k) říkáme binomická čísla. Skaláry Skalární funkce Kombinatorické forrr ule Diferenční rovnice ooooo 00 oo»ooooo oooooo Pokud nám ale záleží i na pořadí vybrané /c-tice prvků, hovoříme o variaci /c-tého stupně. Jak jsme si již ověřili: Věta Pro počet variací platí v(n,k) = n(n-l)---(n-k + l) pro všechny O < k < n (a nula jinak). Skaláry ooooo Skalární funkce 00 Kombinatorické formule oo»ooooo Diferenční rovnice oooooo Pokud nám ale záleží i na pořadí vybrané /c-tice prvků, hovoříme o variaci /c-tého stupně. Jak jsme si již ověřili: Věta Pro počet variací platí v(n,k) = n(n-l)---(n-k + l) pro všechny O < k < n (a nula jinak). Binomická čísla dostala svůj název od tzv. binomického rozvoje: (a + b)n = ^2 (n\akbn~k protože koeficient u mocniny akbn~k je roven právě počtu možností, jak vybrat /c-tici z n závorek v součinu. Skaláry Skalární funkce Kombinatorické formule Diferenční rovnice ooooo oo oo»ooooo oooooo Pokud nám ale záleží i na pořadí vybrané /c-tice prvků, hovoříme o variaci /c-tého stupně. Jak jsme si již ověřili: Věta Pro počet variací platí v(n,k) = n(n-l)---(n-k + l) pro všechny 0 < k < n (a nula jinak). Binomická čísla dostala svůj název od tzv. binomického rozvoje: (a + b)n = ^2 (n\akbn~k protože koeficient u mocniny akbn~k je roven právě počtu možností, jak vybrat /c-tici z n závorek v součinu. Všimněme si, že pro odvození jsme potřebovali pouze distributivitu, komutativnost a asociativitu násobenia sčítání. Formule proto platí v každém komutativním okruhu. Skaláry ooooo Skalární funkce 00 Kombinatorické formule ooo»oooo Diferenční rovnice oooooo Jako ukázku, jak vypadá matematický důkaz si odvoďme několik jednoduchých tvrzení o kombinačních číslech. Definujme (£) = O, kdykoliv je bud' k < O nebo k > n. Věta Pro všechna přirozená čísla k a n platí o (2) = (A) o otl) = (^) + (fcy @ ELo (2) = 2" Skaláry ooooo Skalární funkce 00 Kombinatorické formule oooo»ooo Diferenční rovnice oooooo Všechna kombinační čísla si můžeme sestavit do tzv. Pascalova trojúhelníku, kde každé číslo obdržíme jako součet dvou bezprostředně nad ním ležících sousedů: n = 0 0 1 0 n = 1 0 1 1 0 n = 2 0 1 2 1 0 n = 3 0 1 3 3 1 0 n = 4 0 1 4 6 4 1 n = 5 1 5 10 10 5 1 Skaláry ooooo Skalární funkce 00 Kombinatorické formule oooo»ooo Diferenční rovnice oooooo Všechna kombinační čísla si můžeme sestavit do tzv. Pascalova trojúhelníku, kde každé číslo obdržíme jako součet dvou bezprostředně nad ním ležících sousedů: n = 0 0 1 0 n = 1 0 1 1 0 n = 2 0 1 2 1 0 n = 3 0 1 3 3 1 0 n = 4 0 1 4 6 4 1 n = 5 1 5 10 10 5 1 V jednotlivých řádcích máme právě koeficienty u jednotlivých mocnin z binomického rozvoje, např. (a + b)5 = a5 + baAb + 10a3 b2 + 10a2 Ď3 + babA + b5. )br-i=0 / r=0 \/=r+l / Skaláry Skalární funkce Kombinatorické forrr ule Diferenční rovnice ooooo 00 oooooooo oooo»o Důsledek Obecné řešení lineární diferenční rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty a ^ 1, b a počáteční podmínkou f(0) = y0 je f{n) = anyQ + l—^b. 1 — a Skaláry Skalární funkce Kombinatorické formule Diferenční rovnice ooooo 00 oooooooo oooo»o Důsledek Obecné řešení lineární diferenční rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty a ^ 1, b a počáteční podmínkou f(0) = y0 je f{n) = anyQ + l—^b. 1 — a Důkaz. Dosazením konstantních hodnot za a, a b\ do obecné formule dostáváme první sčítanec okamžitě. Pro vyčíslení součtu součinů v druhém si je třeba všimnout, že se jedná o výrazy (1 + a + • • • + an~1)b. Sečtením této geometrické řady (připomeňme, že 1 — a" = (1 — a)(l + a + • • • + a"-1)) dostaneme právě požadovaný výsledek. □ Skaláry ooooo Skalární funkce 00 Kombinatorické formule oooooooo Diferenční rovnice 00000« Uveďme si praktický příklad na řešení diferenčních rovnic prvního řádu: Příklad Mirek si chce koupit nové auto. Auto stojí 300 000 Kč. Mirek by chtěl auto koupit na měsíční splátky. Prodávající společnost mu nabízí půjčku na koupi auta s ročním úrokem 6%. Mirek bych chtěl auto splatit za tři roky. Jak vysoká bude měsíční splátka? 4Ľ3k4l3*4 = k4 = * -š -O^O