Ortogonální zobrazení ooo Analytická geometrie oooooooooooooooo Matematika I - 10. přednáška Ortogonální zobrazení, základy analytické geometrie Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 30. 4. 2012 Ortogonální zobrazení ooo Analytická geometrie oooooooooooooooo O Ortogonální zobrazení Q Analytická geometrie • Afinní geometrie « Základní afinní úlohy Ortogonální zobrazení ooo Analytická geometrie oooooooooooooooo • Martin Panák, Jan Slovák - Drsná matematika, e-text. • Roman Hilscher - MB101, e-text. • Slidy z přednášek a democvičení Ortogonální zobrazení ooo Analytická geometrie oooooooooooooooo • Martin Panák, Jan Slovák - Drsná matematika, e-text. • Roman Hilscher - MB101, e-text. • Slidy z přednášek a democvičení • Pavel Horák, Úvod do lineární algebry, MU Brno, skripta (http://www.math.muni.cz/~horak) • Luboš Motl, Miloš Zahradník, Pěstujeme lineární algebru, 3. vydání, Univerzita Karlova v Praze, Karolinum, 348 stran (elektronické vydání také na http://www.kolej.mff.cuni.cz/~lmotm275/skripta/). Q Ortogonální zobrazení O Analytická geometrie • Afinní geometrie • Základní afinní úlohy Podívejme se teď na speciální případ zobrazení f : V —> W mezi prostory se skalárními součiny, která zachovávají velikosti pro všechny vektory u 6 V. Definice Lineární zobrazení f : V —^ W mezi prostory se skalárním součinem se nazývá ortogonální zobrazení, jestliže pro všechny u £ V (f(u),f(u)} = (u,u). Podívejme se teď na speciální případ zobrazení f : V —> W mezi prostory se skalárními součiny, která zachovávají velikosti pro všechny vektory u £ V. Definice Lineární zobrazení f : V —» W mezi prostory se skalárním součinem se nazývá ortogonální zobrazení, jestliže pro všechny u £ V (f(u),f(u)) = (u,u). * Z linearity f a z vlastností skalárního součinu vyplývá pro všechny dvojice vektorů rovnost (f(u + v), f(u + v)) = (f(u), f(u)) + (f(v), f(v)) + 2(f(u), f(v)). Proto všechna ortogonální zobrazení splňují i zdánlivě silnější požadavek, aby platilo pro všechny vektory u, v 6 V (f(u),f(v)) = (u, v). Ortogonální zobrazení Analytická geometrie o»o oooooooooooooooo V úvodní diskusi o geometrii v rovině jsme dokázali, že lineární zobrazení M2 —> M2 zachovává velikosti vektorů, právě když jeho matice ve standardní bázi (a ta je ortonormální vzhledem ke standardnímu skalárnímu součinu) splňuje AT ■ A = E, tj. A'1 =AT. Ortogonální zobrazení Analytická geometrie oooooooooooooooo V úvodní diskusi o geometrii v rovině jsme dokázali, že lineární zobrazení M2 —> M2 zachovává velikosti vektorů, právě když jeho matice ve standardní bázi (a ta je ortonormální vzhledem ke standardnímu skalárnímu součinu) splňuje AT ■ A = E, tj. A'1 =AT. Obecně, ortogonální zobrazení f : V —^ W musí být vždy injektivní, protože podmínka (f(u), f(u)} = 0 znamená i (u, u) = 0 a tedy u = 0. Bez újmy na obecnosti tedy předpokládejme W = V. Ortogonální zobrazení Analytická geometrie oooooooooooooooo V úvodní diskusi o geometrii v rovině jsme dokázali, že lineární zobrazení M2 —> M2 zachovává velikosti vektorů, právě když jeho matice ve standardní bázi (a ta je ortonormální vzhledem ke standardnímu skalárnímu součinu) splňuje AT ■ A = E, tj. A'1 =AT. Obecně, ortogonální zobrazení f : V —» W musí být vždy injektivní, protože podmínka (f(u), f(u)} = 0 znamená i (u, u) = 0 a tedy u = 0. Bez újmy na obecnosti tedy předpokládejme W = V. Naše podmínka pro matici A ortogonálního zobrazení v ortonormální bázi pak říká pro všechny vektory x a y v prostoru Rn toto: (A ■ x)T ■ (A ■ y) = xT ■ (AT ■ A) ■ y = xT ■ y. Speciálními volbami vektorů standardní báze za x a y dostaneme přímo, že AT ■ A = E, tedy tentýž výsledek jako v dimenzi dvě. Dokázali jsme tak následující tvrzení: Věta Nechť V je reálný vektorový prostor se skalárním součinem a f : V —» V je lineární zobrazení. Pak f je ortogonální, právě když v některé ortonormální bázi (a pak už ve všech) má matici A splňující AT = A^1 (tedy ortogonální matici). Ortogonální zobrazení ooo Plán přednášky Analytická geometrie oooooooooooooooo Ortogonální zobrazení Q Analytická geometrie • Afinní geometrie • Základní afinní úlohy Ortogonální zobrazení Analytická geometrie ooo •ooooooooooooooo Vrátíme se teď k úlohám elementární geometrie z podobného pohledu, jako když jsme zkoumali polohy bodů v rovině. Ortogonální zobrazení ooo Analytická geometrie •ooooooooooooooo Vrátíme se teď k úlohám elementární geometrie z podobného pohledu, jako když jsme zkoumali polohy bodů v rovině. Definice (Afinní prostor) Standardní afinní prostor An je množina všech bodů v M" spolu s operací, kterou k bodu A = (ai,..., a„) g An a vektoru v = (1/1,..., vn) g M" přiřadíme bod A + v = (ai + 1/1,..., a„ + vn) g M". Tyto operace splňují následující tři vlastnosti: Q A + 0 = A pro všechny body A g P a nulový vektor 0 g V 0 A + (i/ + w/) = (A+i/) + w/ pro všechny vektory v, w g V, A g P O pro každé dva body A, 6 g P existuje právě jeden vektor v g P takový, že A + i/ = B. Značíme jej B — A, někdy také A6. Vektorový prostor W nazýváme zaměření afinního prostoru An. Ortogonální zobrazení ooo Analytická geometrie o^oooooooooooooo Proč vlastně chceme rozlišovat množinu bodů prostoru An od jeho zaměření V, když se jedná jakoby o stejné Wl Je to patrně podstatný formální krůček pro pochopení geometrie v W\ Geometrické objekty jako jsou přímky, body, roviny a pod. nejsou totiž přímo závislé na vektorové struktuře na množině W a už vůbec ne na tom, že pracujeme s n-ticemi skalárů. Musíme ale mít možnost říci, co je to rovně v daném směru. K tomu právě potřebujeme na jedné straně vnímat třeba rovinu jako neohraničenou desku bez zvolených souřadnic, ale s možností posunout se o zadaný vektor. Když přejdeme navíc k takovému abstraktnímu pohledu, budeme umět diskutovat rovinnou geometrii pro dvourozměrné podprostory, tj. roviny ve vícerozměrných prostorech, prostorovou pro třírozměrné atd., aniž bychom museli přímo manipulovat /c-ticemi souřadnic. Ortogonální zobrazení ooo Analytická geometrie OO0OOOOOOOOOOOOO Definice Afinním prostorem A se zaměřením V rozumíme množinu bodů P, spolu se zobrazením P x V —» P, (A, v) i-> /4 + v, splňující vlastnosti (l)-(3). Pro libovolný pevně zvolený vektor v g V je tak definována translace tv : A —> „4, jako zúžené zobrazení tv : P ~ P x {v} ->• P, + Dimenzí afinního prostoru „4 rozumíme dimenzi jeho zaměření. « Všimněme si, že volba jednoho pevného bodu Aq g A nám určuje bijekci mezi V a A. Při volbě pevné báze u ve V tak dostáváme pro každý bod A g A jednoznačné vyjádření A = A0 + xitvi H-----h xnu„. Hovoříme o afinní soustavě souřadnic (Aq; u\, ..., u„) zadané počátkem afinní souřadné soustavy Aq a bází zaměření u. Ortogonální zobrazení ooo Analytická geometrie ooosoooooooooooo Jestliže si vybereme v A jen body, které budou mít některé předem vybrané souřadnice nulové (třeba poslední jednu), dostaneme opět množinu, která se bude chovat jako afinní prostor. Takto budeme skutečně parametricky popisovat tzv. afinní podprostory ve smyslu následující definice. Ortogonální zobrazení ooo Analytická geometrie ooosoooooooooooo Jestliže si vybereme v A jen body, které budou mít některé předem vybrané souřadnice nulové (třeba poslední jednu), dostaneme opět množinu, která se bude chovat jako afinní prostor. Takto budeme skutečně parametricky popisovat tzv. afinní podprostory ve smyslu následující definice. Definice Neprázdná podmnožina Q (Z A afinního prostoru A se zaměřením V se nazývá afinní podprostor v A, je-li podmnožina W = {B — A; A, B £ Q} c V vektorovým podprostorem a pro libovolné AeQ, veWjeA+veQ. Ortogonální zobrazení Analytická geometrie ooo oooo»ooooooooooo Pro libovolnou množinu bodů M (Z A v afinním prostoru se zaměřením V definujeme vektorový podprostor Z(M) = {{B — A; B,A e M}) c V. Ortogonální zobrazení ooo Analytická geometrie oooo»ooooooooooo Pro libovolnou množinu bodů M c A v afinním prostoru se zaměřením V definujeme vektorový podprostor Z(M) = {{B — A; B,A e M}) c V. Přímo z definic je zřejmé, že průnik libovolné množiny afinních podprostorů je bud' opět afinní podprostor nebo prázdná množina. Afinní podprostor (M) v A generovaný neprázdnou podmnožinou M c A je průnikem všech afinních podprostorů, které obsahují všechny body podmnožiny M. Přímo z definic plyne, že pro kterýkoliv bod Aq g M je (M) = {A0 + v; v g Z(M) c Z (A)}, tj. pro generování afinního podprostorů vezmeme vektorový podprostor Z(M) v zaměření generovaný všemi rozdíly bodů z M a ten pak přičteme k libovolnému z nich. Hovoříme také o afinním obalu množiny bodů M v A. Ortogonální zobrazení ooo Analytická geometrie ooooo«oooooooooo Naopak, kdykoliv zvolíme podprostor U v zaměření Z(A) a jeden pevný bod A g A, pak podmnožina A + U vzniklá všemi možnými součty bodů A s vektory v U je afinní podprostor. Takový postup vede k pojmu parametrizace podprostorů: Nechť Q = A + Z(Q) je afinní podprostor v An a (ui,..., u^) je báze Z(Q) c W. Pak vyjádření podprostorů Q = {A+ ritvi H-----h tfrUfr; ŕi, ...,/* g M} nazýváme parametrický popis podprostorů Q. Jeho zadání systémem rovnic v daných souřadnicích je implicitní popis podprostorů Q. Ortogonální zobrazení ooo Analytická geometrie oooooo»ooooooooo Příklad O Jednorozměrný (standardní) afinní prostor je množina všech bodů reálné přímky A\. Její zaměření je jednorozměrný vektorový prostor M. (a nosná množina také M). Afinní souřadnice dostaneme volbou počátku a měřítka (tj. báze ve vektorovém prostoru M). Všechny vlastní afinní podprostory jsou 0-rozměrné, jsou to právě všechny body reálné přímky R Ortogonální zobrazení Analytická geometrie ooo oooooo»ooooooooo Příklad O Jednorozměrný (standardní) afinní prostor je množina všech bodů reálné přímky A\. Její zaměření je jednorozměrný vektorový prostor M (a nosná množina také M). Afinní souřadnice dostaneme volbou počátku a měřítka (tj. báze ve vektorovém prostoru M). Všechny vlastní afinní podprostory jsou 0-rozměrné, jsou to právě všechny body reálné přímky R. O Trojrozměrný (standardní) afinní prostor je množina všech bodů prostoru ^,3 se zaměřením M3. Afinní souřadnice dostaneme volbou počátku a tří nezávislých vektorů (směrů a měřítek). Vlastní afinní podprostory jsou pak všechny body, přímky a roviny (0-rozměrné, 1-rozměrné a 2-rozměrné). Ortogonální zobrazení ooo Analytická geometrie ooooooo«oooooooo Příklad O Podprostor všech řešení jedné lineární rovnice a • x = b pro neznámý bod (xi,... ,x„) 6 An, známý nenulový vektor koeficientů (ai,..., an) a skalár b £ M. je afinní podprostor dimenze n — 1, tj. tzv. nadrovina v An. 4Ľ3k4l3*4 = k4 = * ^ -o^o Ortogonální zobrazení ooo Analytická geometrie ooooooo«oooooooo Příklad O Podprostor všech řešení jedné lineární rovnice a • x = b pro neznámý bod (xi,... ,x„) g An, známý nenulový vektor koeficientů (ai,..., an) a skalár b g M je afinní podprostor dimenze n — 1, tj. tzv. nadrovina v An. Poslední příklad je zvláštním případem následující obecné věty popisující geometrickou podstatu systémů lineárních rovnic. Věta Nechi (Aq \ u) je afinní souřadný systém v n-rozměrném afinním prostoru A. Afinní podprostory dimenze k v A, vyjádřené v daných souřadnicích, jsou právě množiny řešení řešitelných systémů n — k lineárně nezávislých lineárních rovnic v n proměnných. Ortogonální zobrazení ooo Analytická geometrie oooooooo»ooooooo Dvě libovolně zvolené afinní soustavy souřadnic (Aq, u), (Bq,v) se obecně liší posunutím počátku o vektor (60 — A)) a jinou bází zaměření. Transformační rovnice tedy vyčteme ze vztahu pro obecný bod X Ai - Aq) + • • • + tk(Ak - Aq); ři,..., tk € R} a v libovolných afinních souřadnicích (tj. A, je vyjádřen sloupcem skalárů) můžeme tutéž množinu zapsat jako k (A0, ...,Ak) = {t0A0 + Mi + • • • + tkAk- ti g R, ti = 1}. /=o Obecně výrazy řoA) + + • • • + tkAk s koeficienty splňujícími YI^-q ti = 1 rozumíme body Aq + J^/Li ř/(A' ~~ A)) a nazýváme je afinní kombinace bodů. Ortogonální zobrazení Analytická geometrie ooo ooooooooo»oooooo Afinní kombinace bodů Nechť Aq, ... ,Ak jsou body v afinním prostoru a. Jejich afinní obal ({Aq ..., Ak}} můžeme zapsat jako {A) + ři(>Ai - Aq) + • • • + tk(Ak - Aq); ři,..., tk g R} a v libovolných afinních souřadnicích (tj. A, je vyjádřen sloupcem skalárů) můžeme tutéž množinu zapsat jako k {Aq, ...,Ak) = {t0A0 + Mi + • • • + tkAk- ti g R, Y, ti = 1}. /=o Obecně výrazy ŕoA) + t\A\ + • • • + tkAk s koeficienty splňujícími Yl'i-o ti = 1 rozumíme body Aq + X^/Li ŕ/(A' ~~ A)) a nazýváme je afinní kombinace bodů. Body Aq ..., Ak jsou v obecné poloze, jestliže generují /c-rozměrný podprostor. Z našich definic je vidět, že to nastane právě, když pro kterýkoliv z nich platí, že vektory vzniklé pomocí rozdílů tohoto pevného s ostatními jsou lineárně nezávislé. Ortogonální zobrazení ooo Analytická geometrie oooooooooo»ooooo Nechť Ao,..., Ak je k + 1 bodů afinního prostoru A v obecné poloze, /c-rozměrný simplex A = A(Ao,...,Ak) generovaný těmito body je definován jako množina všech afinních kombinací bodů A; s pouze nezápornými koeficienty, tzn. k A = {t0A0 + Ml + • • • + tkAk; ti g [0, ljci,^ t/ = 1}. /=o Jednorozměrný simplex je úsečka, dvourozměrný trojúhelník. Ortogonální zobrazení ooo Analytická geometrie oooooooooo»ooooo Nechť Aq, ..., Ak je k + 1 bodů afinního prostoru A v obecné poloze, /c-rozměrný simplex A = A(Aq, ... ^A^) generovaný těmito body je definován jako množina všech afinních kombinací bodů A; s pouze nezápornými koeficienty, tzn. k A = {t0A0 + Mi + • • • + tkAk; ti G [0, ljci,^ t/ = 1}. /=o Jednorozměrný simplex je úsečka, dvourozměrný trojúhelník. Zadání podprostorů jako množiny afinních kombinací bodů v obecné poloze je ekvivalentní parametrickému popisu. Obdobně pracujeme s parametrickými popisy simplexů. Ortogonální zobrazení ooo Analytická geometrie ooooooooooo»oo Definice Podmnožina M afinního prostoru se nazývá konvexní, jestliže s každými svými dvěma body A, B obsahuje i celou úsečku A(A, B). Přímo z definice je vidět, že každá konvexní množina obsahuje s každými k + 1 body v obecné poloze i celý jimi definovaný simplex. Ortogonální zobrazení ooo Analytická geometrie ooooooooooo»oo Definice Podmnožina M afinního prostoru se nazývá konvexní, jestliže s každými svými dvěma body A, B obsahuje i celou úsečku A(/4, B). Přímo z definice je vidět, že každá konvexní množina obsahuje s každými k + 1 body v obecné poloze i celý jimi definovaný simplex. Příklad Konvexními množinami jsou např. (1) prázdná podmnožina (2) afinní podprostory (3) úsečky, polopřímky p = {P + t ■ v; t > 0}, obecněji k— rozměrné poloprostory a = {P + ti • i/i + • • • + tk ■ vk; ti,..., tk G M, tk > 0}, úhly v dvojrozměrných pod prostorech P = {P + h ■ i/i + t2 • i/2; h > 0, t2 > 0}, atd. Ortogonální zobrazení ooo Analytická geometrie oooooooooooo»ooo Přímo z definice také plyne, že průnik libovolného konvexních množin je opět konvexní. Průnik všech množin obsahujících danou množinu M nazýváme K,{M) množiny M. Věta Konvexní obal libovolné podmnožiny M (Z A je s K{M) = {Mi + • • • + tsAs- ř' = x' ř' ^ °> /=1 systému konvexních konvexní obal Ortogonální zobrazení ooo Analytická geometrie oooooooooooo»ooo Přímo z definice také plyne, že průnik libovolného konvexních množin je opět konvexní. Průnik všech množin obsahujících danou množinu M nazýváme K,{M) množiny M. Věta Konvexní obal libovolné podmnožiny M (Z A je s K{M) = {Mi + • • • + Ms; ř' = x' ř' ^ °> Konvexní obaly konečných množin bodů se nazývají konvexní mnohostěny. Jsou-li definující body Aq, ..., Ak konvexního mnohostěnu v obecné poloze, dostáváme právě /c-rozměrný simplex. V případě simplexu je vyjádření jeho bodů ve tvaru afinní kombinace definujících vrcholů jednoznačné. systému konvexních konvexní obal Ortogonální zobrazení ooo Analytická geometrie ooooooooooooo#oo Jiným příkladem jsou konvexní podmnožiny generované jedním bodem a konečně mnoha vektory: Nechť u\,..., u^, jsou libovolné vektory v zaměření M", A G An je libovolný bod. Rovnoběžnostěn Vk(A; ui,..., Uk) c »4n je množina Vk(A; m,...,uk) = {/A+ciuiH-----hq^; 0 < q < 1, / = 1,..., /c}. Jsou-li vektory u\,..., uk nezávislé, hovoříme o /c-rozměrném rovnoběžnostěnu Vk(A; u\,..., u^) c An. Z definice je zřejmé, že rovnoběžnostěny jsou konvexní. Ve skutečnosti jde o konvexní obaly jejich vrcholů. Ortogonální zobraz ooo Analytická geometrie oooooooooooooo»o K podprostoru zadanému implicitně nalézt parametrický popis Nalezením partikulárního řešení nehomogenního systému a fundamentálního řešení zhomogenizovaného systému rovnic získáme (v souřadnicích, ve kterých byly rovnice zadány) právě hledaný parametrický popis. Ortogonální zobrazení Analytická geometrie ooo oooooooooooooo^o K podprostoru zadanému implicitně nalézt parametrický popis Nalezením partikulárního řešení nehomogenního systému a fundamentálního řešení zhomogenizovaného systému rovnic získáme (v souřadnicích, ve kterých byly rovnice zadány) právě hledaný parametrický popis. Příklad Parametricky vyjádřete průnik rovin v M3: p : 2x + 3y - z + 1 = 0, cr:x-2y + 5 = 0. Ortogonální zobrazení ooo Analytická geometrie OOOOOOOOOOOOOOO* Z parametrického popisu získat popis implicitní Zapíšeme-li parametrický popis v souřadnicích, můžeme volné parametry ti,..., f> vyeliminovat a získáme právě rovnice zadávající daný podprostor implicitně. Ortogonální zobrazení ooo Analytická geometrie oooooooooooooooo Nalézt podprostor generovaný několika podprostory Výsledný podprostor Q je vždy určen jedním pevně zvoleným z nich a součtem všech zaměření. Např. bodem A, v každém Q = A1 + {Z{{AU Ak}) + Z(Qi) + • • • + Z(QS)). Pokud jsou podprostory zadány implicitně, je možné je nejdříve převést na parametrický tvar. V konkrétních situacích bývají funkční i jiné postupy. Všimněme si, že obecně je skutečně nutné využít jednoho bodu z každého podprostoru. Např. dvě paralelní přímky v rovině vygenerují celou rovinu, ale sdílí totéž jednorozměrné zaměření. Ortogonální zobrazení ooo Analytická geometrie oooooooooooooooo Výsledný podprostor Q je vždy určen jedním pevně zvoleným bodem A, v každém z nich a součtem všech zaměření. Např. Pokud jsou podprostory zadány implicitně, je možné je nejdříve převést na parametrický tvar. V konkrétních situacích bývají funkční i jiné postupy. Všimněme si, že obecně je skutečně nutné využít jednoho bodu z každého podprostoru. Např. dvě paralelní přímky v rovině vygenerují celou rovinu, ale sdílí totéž jednorozměrné zaměření. Nalezněte parametrické vyjádření roviny procházející body Q = A1 + (Z({4i,..., Ak}) + Z(Qi) + • • • + Z(QS)). 4 = [2,1,1], 6 = [3,4,5], C = [4,-2, 3]. Ortogonální zobrazení ooo Analytická geometrie oooooooooooooooo Nalézt průnik pod prostorů Qi,... ,QS Pokud jsou zadány v implicitním tvaru, stačí sjednotit všechny rovnice do jednoho systému (a případně vynechat lineárně závislé). Pokud je vzniklý systém neřešitelný, je průnik prázdný. V opačném případě získáme implicitní popis afinního podprostoru, který je hledaným průnikem. Ortogonální zobrazení ooo Analytická geometrie oooooooooooooooo Nalézt průnik pod prostorů Qi,... ,QS Pokud jsou zadány v implicitním tvaru, stačí sjednotit všechny rovnice do jednoho systému (a případně vynechat lineárně závislé). Pokud je vzniklý systém neřešitelný, je průnik prázdný. V opačném případě získáme implicitní popis afinního podprostoru, který je hledaným průnikem. Pokud máme dány parametrické tvary, můžeme také hledat přímo společné body jako řešení vhodných rovnic, podobně jako při hledání průniků vektorových podprostoru. Získáme tak přímo opět parametrický popis. Pokud je podprostoru více než dva, musíme průnik hledat postupně. Ortogonální zobrazení ooo Analytická geometrie oooooooooooooooo Nalézt průnik pod prostorů Qi,... ,QS Pokud jsou zadány v implicitním tvaru, stačí sjednotit všechny rovnice do jednoho systému (a případně vynechat lineárně závislé). Pokud je vzniklý systém neřešitelný, je průnik prázdný. V opačném případě získáme implicitní popis afinního podprostoru, který je hledaným průnikem. Pokud máme dány parametrické tvary, můžeme také hledat přímo společné body jako řešení vhodných rovnic, podobně jako při hledání průniků vektorových podprostoru. Získáme tak přímo opět parametrický popis. Pokud je podprostoru více než dva, musíme průnik hledat postupně. Máme-li jeden prostor zadaný parametricky a ostatní implicitně, stačí dosadit parametrizované souřadnice a řešit výsledný systém rovnic. ■0 0.0 Ortogonální zobrazení ooo Analytická geometrie oooooooooooooooo Příklad Nalezněte průnik podprostorů Qi, Q2, je-li (?i : [4, -5,1, -2] + ti • (3, 5, 4, 2) + t2 ■ (2,4, 5,1) + ř3 • (0, 3,1, 2 Q2 : [4,4,4,4] + si • (0, -6, -2, -4) + s2 • (-1, -5, -3, -3) Ortogonální zobrazení ooo Analytická geometrie oooooooooooooooo Nalezení příčky mimoběžek p, q v A3 procházející daným bodem nebo mající předem daný směr (tj. zaměření) Příčkou rozumíme přímku, která má neprázdný průnik s oběma mimoběžkami. Ortogonální zobrazení ooo Analytická geometrie oooooooooooooooo Nalezení příčky mimoběžek p, q v A3 procházející daným bodem nebo mající předem daný směr (tj. zaměření) Příčkou rozumíme přímku, která má neprázdný průnik s oběma mimoběžkami. Výsledná příčka r tedy bude jednorozměrným afinním podprostorem. Pokud máme zadán jeho bod Aer, pak afinní podprostor generovaný p a A je bud' přímka (A G p) nebo rovina (A £ p). V prvém případě máme nekonečně mnoho řešení, jedno pro každý bod z q, v druhém stačí najít průnik B roviny (pUA) s q a r = ({A, B}}. Pokud je průnik prázdný, úloha nemá řešení, v případě že q c (pUA), máme opět nekonečně mnoho řešení, a pokud je průnik jednoprvkový, dostáváme právě jedno řešení. Ortogonální zobrazení ooo Analytická geometrie oooooooooooooooo Nalezení příčky mimoběžek p, q v A3 procházející daným bodem nebo mající předem daný směr (tj. zaměření) Příčkou rozumíme přímku, která má neprázdný průnik s oběma mimoběžkami. Výsledná příčka r tedy bude jednorozměrným afinním podprostorem. Pokud máme zadán jeho bod Aer, pak afinní podprostor generovaný p a A je bud' přímka (A G p) nebo rovina (A ^ p). V prvém případě máme nekonečně mnoho řešení, jedno pro každý bod z q, v druhém stačí najít průnik B roviny (p U A) s q a r = ({A, B}}. Pokud je průnik prázdný, úloha nemá řešení, v případě že q c (p U A), máme opět nekonečně mnoho řešení, a pokud je průnik jednoprvkový, dostáváme právě jedno řešení. Máme-li místo bodu dán směr u G M", tj. zaměření r, pak uvažujeme opět podprostor Q generovaný p a zaměřením Z(p) + (u) c M". Opět, pokud q c Q, máme nekonečně mnoho řešení, jinak uvážíme průnik Q s q a úlohu dokončíme stejně jako v předchozím případě. 5 000