Analytická ge ometrie Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru ooooooo oooooooooooooooooo ooooooooooooooooooo Matematika I - 10. přednáška Základy analytické geometrie, vlastní hodnoty a vlastní vektory Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 7. 5. 2012 Analytická geometrie Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru ooooooo oooooooooooooooooo ooooooooooooooooooo Obsah přednášky Q Analytická geometrie • Euklidovská geometrie • Základní úlohy euklidovské geometrie Q| Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory Q Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru • Mocniny diagonalizovatelných matic Analytická geometrie Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru ooooooo oooooooooooooooooo ooooooooooooooooooo Doporučené zdroje • Martin Panák, Jan Slovák - Drsná matematika, e-text. • Roman Hilscher - MB101, e-text. • Slidy z přednášek a democvičení Analytická geometrie Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru ooooooo oooooooooooooooooo ooooooooooooooooooo Doporučené zdroje • Martin Panák, Jan Slovák - Drsná matematika, e-text. • Roman Hilscher - MB101, e-text. • Slidy z přednášek a democvičení • Pavel Horák, Úvod do lineárni algebry, MU Brno, skripta (http://www.math.muni.cz/~horak) • Luboš Motl, Miloš Zahradník, Pěstujeme lineární algebru, 3. vydání, Univerzita Karlova v Praze, Karolinum, 348 stran (elektronické vydání také na http://www.kolej.mff.cuni.cz/~lmotm275/skripta/). Analytická geometrie Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru ooooooo oooooooooooooooooo ooooooooooooooooooo Plán přednášky Ql Analytická geometrie • Euklidovská geometrie • Základní úlohy euklidovské geometrie Q Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory Q Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru • Mocniny diagonalizovatelných matic Definice Standardní bodový euklidovský prostor £n je afinní prostor An, jehož zaměřením je standardní euklidovský prostor M." se skalárním součinem (x,y) =xT -y. ■0 0.0 Definice Standardní bodový euklidovský prostor £n je afinní prostor An, jehož zaměřením je standardní euklidovský prostor M." se skalárním součinem (x,y) =xT -y. Kartézská souřadná soustava je afinní souřadná soustava (Aq\ u) s ortonormální bází u. ■0 0.0 Definice Standardní bodový euklidovský prostor En je afinní prostor An, jehož zaměřením je standardní euklidovský prostor M." se skalárním součinem (x,y) =xT -y. Kartézská souřadná soustava je afinní souřadná soustava (Aq\ u) s ortonormální bází u. Vzdálenost bodů A, B £ S„ definujeme jako velikost vektoru ||6 — /4||, budeme ji značit p(A, B). Euklidovské podprostory v £n jsou afinní podprostory, jejichž zaměření uvažujeme spolu se zúženými skalárními součiny. 9 Analytická geometrie o»ooooo Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory oooooooooooooooooo Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru ooooooooooooooooooo Pripomeňme několik tvrzení o prostorech se skalárním součinem: Věta Pro každé vektory u a v, které leží v reálném vektorovém prostoru V se skalárním součinem, platí O \\u + v\\ < \\u\\ + \\v\\ ^trojúhelníková nerovnost,). Přitom rovnost nastane právě, když jsou u a v lineárně závislé. ■0 0.0 Analytická geometrie o»ooooo Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory oooooooooooooooooo Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru ooooooooooooooooooo Připomeňme několik tvrzení o prostorech se skalárním součinem: Věta Pro každé vektory u a v, které leží v reálném vektorovém prostoru V se skalárním součinem, platí O \\u + v\\ < \\u\\ + \\v\\ ^trojúhelníková nerovnost,). Přitom rovnost nastane právě, když jsou u a v lineárně závislé. 0 \u ■ v\ < \\u\\ \\v\\ fCauchyova nerovnost^. Přitom rovnost nastane právě, když jsou u a v lineárně závislé. ■0 0.0 Analytická geometrie o»ooooo Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory oooooooooooooooooo Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru ooooooooooooooooooo Pripomeňme několik tvrzení o prostorech se skalárním součinem: Věta Pro každé vektory u a v, které leží v reálném vektorovém prostoru V se skalárním součinem, platí O \\u + v\\ < \\u\\ + \\v\\ ^trojúhelníková nerovnost,). Přitom rovnost nastane právě, když jsou u a v lineárně závislé. 0 \u ■ v\ < \\u\\ \\v\\ fCauchyova nerovnost,). Přitom rovnost nastane právě, když jsou u a v lineárně závislé. O pro každý ortonormální systém vektorů (ei,..., e^) platí \\u\\2 > \u • ei|2 + • • • + \u ■ e^j2 fBesselova nerovnost,). O Pro ortonormální systém vektorů (ei,..., e^) je u £ (ei,..., e k) právě když \\u\\2 = \u • ei|2 + • • • + \u • e^j2 fParsevalova rovnost,). O Pro ortonormální systém vektorů (ei,..., e^) a u G V je w = (u • ei)ei + • • • + (u • e/t)e/t jediným vektorem, který minimalizuje velikost \\u — v\\ pro všechny v G (ei,..., e^). Analytická geometrie oo»oooo Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory oooooooooooooooooo Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru ooooooooooooooooooo Odtud dostávame jednoduché geometrické důsledky: p(A,B) = p(B,A) p(A, B) = 0 právě, když A = B p(A,B)+p(B,C)>p(A,C) V každé kartézské souřadné soustavě (Aq; e) mají body A = Aq + aiei H-----h anen, B = A0 + faiei H-----h bnen vzdálenost -\/S/Li(a/ ~~ ^')2- Je-// c/an bod A a podprostor Q v £n, pak existuje bod P £ Q minimalizující vzdálenosti bodů Q od A. Vzdálenost bodů A a P je rovna velikosti kolmého průmětu vektoru A — B do Z{Q)L pro libovolný B e Q. Obecněji, pro podprostory Q a 1Z v £n existují body Q 6 Q a R £ 1Z minimalizující vzdálenosti bodů A 6 Q a B 6 1Z. Vzdálenost bodů Q a R je rovna velikosti kolmého průmětu vektoru A - B do Z(Q U R)L pro libovolné body A e Q a ReTZ. 00.0 Analytická geometrie Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru ooo#ooo oooooooooooooooooo ooooooooooooooooooo Určení vzdálenosti podprostorů Příklad Určete vzdálenost přímek v M3: p: [1,-1,0]+ ŕ(-l,2,3), a q : [2, 5,-1] + ŕ(-l, -2,1). Analytická geometrie Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru ooo#ooo oooooooooooooooooo ooooooooooooooooooo Určení vzdálenosti podprostorů Příklad Určete vzdálenost přímek v M3: p: [1,-1,0] + t(-l, 2,3), a q : [2, 5,-1] + t(-l, -2,1). Vzdálenost je dána jako velikost kolmého průmětu libovolné příčky (spojnice) daných přímek do ortogonálního doplňku vektorového podprostorů generovaného jejich zaměřeními. Tento ortogonální doplněk zjistíme například pomocí vektorového součinu: ((-1,2,3),(-1,-2,1))± = ((-1,2,3) x (-1,-2,1)) = ((8,-2,4)). ■0 0.0 Analytická geometrie Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru ooo#ooo oooooooooooooooooo ooooooooooooooooooo Určení vzdálenosti podprostorů Příklad Určete vzdálenost přímek v M3: p: [1,-1,0]+ ŕ(-l,2,3), a q : [2, 5,-1] + ŕ(-l, -2,1). Řešení Vzdálenost je dána jako velikost kolmého průmětu libovolné příčky (spojnice) daných přímek do ortogonálního doplňku vektorového podprostorů generovaného jejich zaměřeními. Tento ortogonální doplněk zjistíme například pomocí vektorového součinu: ((-1,2,3),(-1,-2,1))± = ((-1,2,3) x (-1,-2,1)) = ((8,-2,4)). Spojnicí daných přímek je například úsečka [1, —1, 0][2, 5,-1], promítneme tedy vektor [1,-1,0]-[2, 5,-1] = (-1,-6,1). ■0 0.0 Analytická geometrie Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru ooo#ooo oooooooooooooooooo ooooooooooooooooooo Určení vzdálenosti podprostorů Příklad Určete vzdálenost přímek v M3: p: [1,-1,0]+ ŕ(-l,2,3), a q : [2, 5,-1] + ŕ(-l, -2,1). Vzdálenost je dána jako velikost kolmého průmětu libovolné příčky (spojnice) daných přímek do ortogonálního doplňku vektorového podprostorů generovaného jejich zaměřeními. Tento ortogonální doplněk zjistíme například pomocí vektorového součinu: ((-1,2,3),(-1,-2,1))± = ((-1,2,3) x (-1,-2,1)) = ((8,-2,4)). Spojnicí daných přímek je například úsečka [1, —1, 0][2, 5,-1], promítneme tedy vektor [1, —1, 0] — [2, 5, —1] = (—1, —6,1). Pro vzdálenost přímek pak dostáváme: p(p, q) = ^~\l'^i^1,2^ = Analytická geometrie oooo^oo Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory oooooooooooooooooo Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru ooooooooooooooooooo Příklad Na přímce p:x + 2y + z- l = 0, 3x-y + 4z-29 = 0 nalezněte bod A, který má stejnou vzdálenost od bodů B = [3,11,4] a C = [-5,-13,-2]. Analytická geometrie oooo^oo Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory oooooooooooooooooo Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru ooooooooooooooooooo Príklad Na přímce p:x + 2y + z- l = 0, 3x-y + 4z-29 = 0 nalezněte bod A, který má stejnou vzdálenost od bodů B = [3,11,4] a C = [-5,-13,-2]. Řešení Nejprve vyjádříme přímku p parametricky a poté O porovnáme porovnáme délky (parametrizovaných) vektorů A - B, A - C nebo Analytická geometrie oooo^oo Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory oooooooooooooooooo Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru ooooooooooooooooooo Príklad Na přímce p:x + 2y + z- l = 0, 3x-y + 4z-29 = 0 nalezněte bod A, který má stejnou vzdálenost od bodů B = [3,11,4] a C = [-5,-13,-2]. Řešení Nejprve vyjádříme přímku p parametricky a poté O porovnáme porovnáme délky (parametrizovaných) vektorů A - B, A - C nebo Q pomocí normálového vektoru vyjádříme obecnou rovnici roviny, tvořené body se stejnou vzdáleností od bodů A a B a pak určíme její průsečík s přímkou p. Definice Nechť U\, U2 jsou podprostory v euklidovském prostoru V. Odchylka podprostorů U\, U2 je reálné číslo a = ip(Ui, U2) £ [0, splňující: 1 Je-li dim U! = dim U2 = 1, ÍA = (u), C2 = (1/), pak cos a = -———-. \\u\\\\v\\ Definice Nechť U\, U2 jsou podprostory v euklidovském prostoru V. Odchylka podprostorů U\, U2 je reálné číslo a = ip(Ui, U2) £ [0, splňující: 1 Je-li dim U! = dim U2 = 1, ÍA = (u), C2 = (1/), pak cos a 2 Jsou-li dimenze U\, U2 kladné a U\ n í/2 = {0}, pak je odchylka minimem všech odchylek jednorozměrných podprostorů a = min{((u), (1/)); 0/u£ ^.O^e í/2}- Analytická ge ometrie Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru 000000» oooooooooooooooooo ooooooooooooooooooo Definice (pokr.) 3 Je-li U\ C U2 nebo U2 C U\ (zejména, je-li jeden z nulový), je a = 0. nich Odchylka podprostorů Q\, Q2 v bodovém euklidovském prostoru S„ se definuje jako odchylka jejich zaměření Z(Qi), Z{Q,2)- Analytická geometrie 000000» Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory oooooooooooooooooo Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru ooooooooooooooooooo Definice (pokr.) 3 Je-li U\ C U2 nebo U2 C U\ (zejména, je-li jeden z nich nulový), je a = 0. 4 Je-li Uí n U2 + {0} a í/i 7^ ^1 n ^2 7^ U2, pak Odchylka podprostorů Q\, Q2 v bodovém euklidovském prostoru S„ se definuje jako odchylka jejich zaměření Z(Qi), Z(Q2)- « Analytická geometrie 000000» Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory oooooooooooooooooo Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru ooooooooooooooooooo Definice (pokr.) 3 Je-li U\ C U2 nebo U2 C U\ (zejména, je-li jeden z nich nulový), je a = 0. 4 Je-li Uí n U2 + {0} a í/i 7^ ^1 n ^2 7^ U2, pak Odchylka podprostorů Q\, Q2 v bodovém euklidovském prostoru S„ se definuje jako odchylka jejich zaměření Z(Qi), Z(Q2)- « Analytická geometrie 000000» Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory oooooooooooooooooo Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru ooooooooooooooooooo Definice (pokr.) 3 Je-li U\ C U2 nebo U2 C U\ (zejména, je-li jeden z nich nulový), je a = 0. 4 Je-li Uí n U2 + {0} a í/i 7^ ^1 n ^2 7^ U2, pak a = y>(íA n (í/i n L^, c2 n (ía n L^). Odchylka podprostorů Q\, Q2 v bodovém euklidovském prostoru S„ se definuje jako odchylka jejich zaměření Z(Qi), Z{Q,2). Všimněme si, že odchylka je vždy dobře definována, zejména v posledním případě je (íA n (t/i n U2)L) n (í/2 n (ía n L^) = {0} můžeme tedy opravdu odchylku určit podle bodu (2). Analytická geometrie ooooooo Plán přednášky Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory oooooooooooooooooo Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru ooooooooooooooooooo Q Analytická geometrie • Euklidovská geometrie • Základní úlohy euklidovské geometrie Qi Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory Q Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru • Mocniny diagonalizovatelných matic <(5> « -O^O Analytická geometrie ooooooo Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory •ooooooooooooooooo Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru ooooooooooooooooooo Je-1i A čtvercová matice řádu n, pak uvažujme lineárni zobrazení La : M" —> M", které je dáno maticí A. V tomto lineárním zobrazení nás zajímají směry, které toto zobrazení preferuje (zachovává), tj. zajímá nás, které vektory u G M" se zobrazí na svůj násobek. Číslo vyjadřující tento násobek pak můžeme chápat jako přirozenou frekvenci zobrazení La a příslušný vektor (nebo vektory) jako přirozené směry zobrazení La- Analytická geometrie ooooooo Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory •ooooooooooooooooo Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru ooooooooooooooooooo Je-1i A čtvercová matice řádu n, pak uvažujme lineárni zobrazení La : M" —> M", které je dáno maticí A. V tomto lineárním zobrazení nás zajímají směry, které toto zobrazení preferuje (zachovává), tj. zajímá nás, které vektory u G M" se zobrazí na svůj násobek. Číslo vyjadřující tento násobek pak můžeme chápat jako přirozenou frekvenci zobrazení La a příslušný vektor (nebo vektory) jako přirozené směry zobrazení La- V celé této přednášce budeme uvažovat pouze čtvercové matice řádu n. Navíc, i když budeme nuceni občas pracovat s komplexními čísly, prvky matice A budou vždy reálné. Viz např. http: //en.wikipedia.org/wiki/Eigenvalues_and_eigenvectors. Analytická geometrie Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru ooooooo o»oooooooooooooooo ooooooooooooooooooo Vlétni hnrlnnty (čísla) a vlastní vektory Definice Vlastní hodnota (též vlastní číslo) matice A je číslo A G C, pro které existuje (alespoň jeden) nenulový vektor u G C" s vlastností A ■ u = X ■ u. Vektor u se pak nazýva vlastní vektor (eigenvector) matice A příslušející vlastní hodnotě (eigenvalue) A. Množina všech vlastních vektorů příslušejících téže vlastní hodnotě A (společně s nulovým vektorem) se nazývá vlastní prostor příslušející vlastní hodnotě A a značíme ji Eigen(A) (z angl./něm. eigenspace). Analytická geometrie Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru ooooooo o»oooooooooooooooo ooooooooooooooooooo Vlétni hnrlnnty (čísla) a vlastní vektory Definice Vlastní hodnota (též vlastní číslo) matice A je číslo A G C, pro které existuje (alespoň jeden) nenulový vektor u G C" s vlastností A ■ u = X ■ u. Vektor u se pak nazýva vlastní vektor (eigenvector) matice A příslušející vlastní hodnotě (eigenvalue) A. Množina všech vlastních vektorů příslušejících téže vlastní hodnotě A (společně s nulovým vektorem) se nazývá vlastní prostor příslušející vlastní hodnotě A a značíme ji Eigen(A) (z angl./něm. eigenspace). Nulový vektor u = 0 vždy vyhovuje rovnici A ■ u = A • u, a proto je v Definici požadavek na existenci nenulového vlastního vektoru. Analytická geometrie ooooooo Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory oo»ooooooooooooooo Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru ooooooooooooooooooo Príklad Uvažujme matici A a vektory u a v, kde Potom platí A- u = A ■ v = Jsou tedy Ai = — 1 a A2 = 2 vlastní hodnoty matice A a jejich příslušné vlastní vektory jsou právě vektory u (pro Ai = —1) a v (pro A2 = 2). Analytická geometrie ooooooo Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory 000*00000000000000 Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru ooooooooooooooooooo Príklad Uvažujme matici A a vektory u a v, kde *=(-10 -s)' "= (-1 + 3/) ' v=(-l-3/)- Analytická geometrie ooooooo Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní v 000*00000000000000 Príklad Uvažujme matici A a vektory u a v, kde -1 1 10 -3/ ' A = Potom platí A-u A- v -1 + 3/7 ' -1 -10 -3 -1 -10 -3 1 -1 + 3/ 1 -1 - 3/ (-2 + 3/)-(-2 - 3/) • 1 -1 - 3/ 1 -1 + 3/, 1 -1 - 3/7 " Analytická geometrie ooooooo Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory 000*00000000000000 Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru ooooooooooooooooooo Príklad Uvažujme matici A a vektory u a v, kde *=(-10 -s)' "= (-1 + 3/) ' v=(-l-3/)-Potom platí —U i)(.11.,)=(-->(.11.^ Jsou tedy Ai = —2 + 3/ a A2 = —2 — 3/ vlastní hodnoty matice /4 a jejich příslušné vlastní vektory jsou právě vektory u (pro Ai = -2 + 3/) a v (pro A2 = -2 - 3/). Analytická geometrie ooooooo Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory oooo»ooooooooooooo Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru ooooooooooooooooooo Poznámka Je-1i u vlastní vektor matice A příslušející vlastní hodnotě A, potom je také libovolný jeho (nenulový) násobek vlastní vektor příslušející téže vlastní hodnotě, protože A(au) = a (Au) = a (X u) = A (a u). Analytická geometrie ooooooo Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory oooo»ooooooooooooo Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru ooooooooooooooooooo Poznámka Je-1i u vlastní vektor matice A příslušející vlastní hodnotě A, potom je také libovolný jeho (nenulový) násobek vlastní vektor příslušející téže vlastní hodnotě, protože A(au) = a (Au) = a (X u) = A (a u). Podobně, jsou-li u, v vlastní vektory matice A příslušející vlastní hodnotě A, potom je také jejich součet vlastní vektor příslušející téže vlastní hodnotě, protože A(u + v) = (Au) + (Av) = (A u) + (A v) = A (u + v). Vlastní vektory příslušející téže vlastní hodnotě tedy tvoří (společně s nulovým vektorem) podprostor vektorového prostoru M". To také zdůvodňuje terminologii vlastní prostor. Analytická geometrie ooooooo Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory ooooo^oooooooooooo Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru ooooooooooooooooooo Príklad (a) Pro matici A -3 2 -5 4 z 1. příkladu je Eigen(-l) = (u) = < L > Eigen(2) = Eigen(2) = Analytická geometrie ooooooo Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory oooooooooooooooooo Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru o»ooooooooooooooooo Důkaz. Indukcí vzhledem k počtu vektorů. Pro k = 1 tvrzení zrejme platí, protože jeden vlastní vektor u\ tvoří sám o sobě lineárně nezávislou množinu. Analytická ge ometrie Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru ooooooo oooooooooooooooooo o»ooooooooooooooooo Důkaz. Indukcí vzhledem k počtu vektorů. Pro k = 1 tvrzení zrejme platí, protože jeden vlastní vektor u\ tvoří sám o sobě lineárně nezávislou množinu. Předpokládejme, že tvrzení platí pro libovolnou množinu k — 1 vlastních vektorů příslušejících různým vlastním hodnotám. Lineární závislost či nezávislost vektorů ui,..., Uk určíme z jejich nulové lineární kombinace, tj. 31 ui + a2 u2 H-----h a k uk = 0. Předně si uvědomme, že pro / = 1,..., k je (A — Ai E) u; = Au; — Ai u; = A/ u,- — Ai u,- = (A/ — Ai) u,-, zejména pro / = 1 je pak (A — Ai E) u\ = 0. Předchozí rovnost vynásobíme zleva maticí A — Ai E a dostaneme □ Analytická geometrie ooooooo Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory oooooooooooooooooo Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru oo»oooooooooooooooo Pokr. důkazu. 0 = (A - Ai E) (ai ui + a2 u2 H-----h a/r t^) = ai - Ai E) ui +a2 (i4 - Ai E) u2 + • • • + ak {A - Ai E) ufc v__• V = a2 (A2 - Ai) u2 H-----h 3/r (A/r - Ai) Dostali jsme tedy nulovou lineární kombinaci vlastních vektorů U2,..., u/r, kterých je /c — 1. Podle indukčního předpokladu je tato množina /c — 1 vektorů lineárně nezávislá, a tedy musí platit 32 (A2 - Ai) = 33 (A3 - Ai) = • • • = 3/r (A/r - Ai) = 0. Ale protože jsou vlastní hodnoty Ai,..., A/r navzájem různé, plyne z předchozího, že 32 = 33 = • • • = ak = 0. Odtud dále plyne, že 3i u\ = 0. A protože je u\ 7^ 0, je také koeficient 3i = 0. □ Analytická geometrie ooooooo Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory oooooooooooooooooo Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru ooo»ooooooooooooooo ' Príklad Ukázali jsme, že pro (2 -3 1\ A = 1 -2 1 \l -3 2j dostáváme vlastní hodnoty Ai = 0, A2 = 1 a jim příslušné Eigen(0) = ((l,l,l)T),Eigen(l) = (( -l,0,l)r,(3,l,0)r). Analytická geometrie ooooooo Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory oooooooooooooooooo Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru ooo»ooooooooooooooo Príklad Ukázali jsme, že pro dostáváme vlastní hodnoty Ai = 0, A2 = 1 a jim příslušné Eigen(O) = <(l,l,l)r),Eigen(l) = <(-l, 0, l)r, (3,1, 0)r). Vlastní vektor (1,1,1)T (či jeho libovolný nenulový násobek) je lineárně nezávislý s každým z vektoru (—1, 0,1)T, (3,1, O)7" (či jejich libovolnou nenulovou lineární kombinací). Samozřejmě platí, že poslední 2 vektory jsou lineárně nezávislé, je tedy lineárně nezávislá celá trojice těchto vektorů. Analytická geometrie ooooooo Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory oooooooooooooooooo Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru ooo»ooooooooooooooo Príklad Ukázali jsme, že pro dostáváme vlastní hodnoty Ai = 0, A2 = 1 a jim příslušné Eigen(O) = <(l,l,l)r),Eigen(l) = <(-l, 0, l)r, (3,1, 0)r). Vlastní vektor (1,1,1)T (či jeho libovolný nenulový násobek) je lineárně nezávislý s každým z vektoru (—1, 0,1)T, (3,1, O)7" (či jejich libovolnou nenulovou lineární kombinací). Samozřejmě platí, že poslední 2 vektory jsou lineárně nezávislé, je tedy lineárně nezávislá celá trojice těchto vektorů. Důsledek Má-li matice A n navzájem různých vlastních hodnot, potom je množina příslušných vlastních vektorů (on prvcích) lineárně nezávislá a tedy tvoří bázi prostoru W. Analytická geometrie ooooooo Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory oooooooooooooooooo Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru oooo»oooooooooooooo Tvrzení Je-li A G C vlastní hodnota matice A a u G C" príslušný vlastní vektor, potom splňují vztah _ (Au, u) _ uTAu (u, u) \\u\\l ' Analytická geometrie Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru ooooooo oooooooooooooooooo oooo»oooooooooooooo Tvrzení Je-li A G C vlastní hodnota matice A a u G C" príslušný vlastní vektor, potom splňují vztah _ (Au, u) _ uTAu (u, u) \\u\\l ' Důkaz. Snadno vynásobením rovnice Au = A u zleva vektorem uT. □ Analytická geometrie ooooooo Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory oooooooooooooooooo Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru oooo»oooooooooooooo Tvrzení Je-li A G C vlastní hodnota matice A a u G C" príslušný vlastní vektor, potom splňují vztah _ (Au, u) _ uTAu (u, u) \\u\\l ' Důkaz. Snadno vynásobením rovnice Au = X u zleva vektorem uT. □ Príklad Pro matici z předchozího příkladu máme Ai = 0, ui = (l,l,l)r, II 112 Ilul|l2 0 = 5 = 0 = *,. A2 = l, u2 = (-l,0,l)r u Jau2 II 112 IIU2||2 2 = - = l = A2. Analytická geometrie ooooooo Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory oooooooooooooooooo Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru ooooo»ooooooooooooo Tvrzení Je-li A (horní nebo dolní) trojúhelníková matice, potom jsou její vlastní hodnoty rovny prvkům na hlavní diagonále. Zejména toto pravidlo platí pro matice diagonálni Analytická geometrie ooooooo Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory oooooooooooooooooo Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru ooooo»ooooooooooooo Tvrzení Je-li A (horní nebo dolní) trojúhelníková matice, potom jsou její vlastní hodnoty rovny prvkům na hlavní diagonále. Zejména toto pravidlo platí pro matice diagonálni Poznámka Z vlastností kořenů polynomu vyplývá, že pokud má matice A pouze reálné prvky, tak potom pokud má komplexní vlastní hodnotu A = a + (3i, tak potom je vlastní hodnota i číslo komplexně sdružené A = a — (3i, tj. komplexní vlastní hodnoty se vyskytují jako komplexně sdružené páry. Přitom vlastní vektory příslušné komplexně sdruženým vlastním hodnotám jsou také navzájem komplexně sdružené. Analytická geometrie ooooooo Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory oooooooooooooooooo Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru oooooo^oooooooooooo Pomocí vlastních hodnot lze jednoduše charakterizovat regulární a singulární matice. Tvrzení (i) Matice A je singulární 44> A = 0 je vlastní hodnota matice A. (ii) Matice A je regulární 44> všechny vlastní hodnoty matice A jsou různé od nuly. Analytická geometrie ooooooo Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory oooooooooooooooooo Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru oooooo^oooooooooooo Pomocí vlastních hodnot lze jednoduše charakterizovat regulární a singulární matice. Tvrzení (i) Matice A je singulární 44> A = 0 je vlastní hodnota matice A. (ii) Matice A je regulární 44> všechny vlastní hodnoty matice A jsou různé od nuly. Důkaz. (i) Je-li matice A singulární, potom má homogenní systém Au = 0 netriviální řešení u. Tedy pro tento vektor u platí Au = 0 . u, neboli u je vlastní vektor příslušející vlastní hodnotě A = 0. Naopak, je-li A = 0 vlastní hodnota matice A, potom pro příslušný vlastní vektor u (^ 0) platí vztah Au = 0 . u = 0, tedy matice A je singulární. (ii) Tato část plyne z části (i), protože A = 0 nemůže být vlastní hodnota regulární matice A. 00.0 Analytická geometrie ooooooo Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory oooooooooooooooooo Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru oooooo^oooooooooooo Pomocí vlastních hodnot lze jednoduše charakterizovat regulární a singulární matice. Tvrzení (i) Matice A je singulární 44> A = 0 je vlastní hodnota matice A. (ii) Matice A je regulární 44> všechny vlastní hodnoty matice A jsou různé od nuly. Důkaz. (i) Je-li matice A singulární, potom má homogenní systém Au = 0 netriviální řešení u. Tedy pro tento vektor u platí Au = 0 . u, neboli u je vlastní vektor příslušející vlastní hodnotě A = 0. Naopak, je-li A = 0 vlastní hodnota matice A, potom pro příslušný vlastní vektor u (^ 0) platí vztah Au = 0 . u = 0, tedy matice A je singulární. (ii) Tato část plyne z části (i), protože A = 0 nemůže být vlastní hodnota regulární matice A. Alternativně plyne důkaz obou částí plyne z tvrzení o výpočtu \A\ pomocí vlastních hodnot. □ * Analytická geometrie ooooooo Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory oooooooooooooooooo Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru ooooooo»ooooooooooo Tvrzení Necht A je regulárni matice. Číslo A 6 C je vlastní hodnota matice A 44> číslo j- je vlastní hodnota matice A^1. Analytická geometrie ooooooo Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory oooooooooooooooooo Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru ooooooo»ooooooooooo Tvrzení Necht A je regulárni matice. Číslo A 6 C je vlastní hodnota matice A 44> číslo j je vlastní hodnota matice A^1. Důkaz. Toto tvrzení plyne přímo ze vztahu \A(E - A/4_1)| E - A -i A" /o A^ \A\ (-1)" 1-1 A kde jsme použili Cauchyovu větu o determinantu součinu. Tedy číslo A G C je vlastní hodnota matice A 44> číslo j je vlastní hodnota matice A-1. □ Analytická geometrie ooooooo Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory oooooooooooooooooo Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru oooooooosoooooooooo V části o reprezentaci lineární transformace pomocí matice jsme se zabývali podobnými maticemi, tj. A~ B pokud B = T^1 A T pro nějakou regulární matici T. Tvrzení Podobné matice mají stejný charakteristický polynom. Analytická geometrie ooooooo Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory oooooooooooooooooo Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru oooooooosoooooooooo V části o reprezentaci lineární transformace pomocí matice jsme se zabývali podobnými maticemi, tj. A~ B pokud B = T^1 A T pro nějakou regulární matici T. Tvrzení Podobné matice mají stejný charakteristický polynom. Je-li B = T AT, potom je charakteristický polynom matice B roven pe(A) = \B-\E\ = \T-1 AT -\E\ = | T^1 (A - XT E T^1) T\ = | T~1\.\A - X E\ . | T\ = \A - X E\ = pA(X), tj. charakteristické polynomy matic A a B jsou totožné. □ Analytická geometrie ooooooo Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory oooooooooooooooooo Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru oooooooosoooooooooo V části o reprezentaci lineární transformace pomocí matice jsme se zabývali podobnými maticemi, tj. A~ B pokud B = T^1 A T pro nějakou regulární matici T. Tvrzení Podobné matice mají stejný charakteristický polynom. Je-li B = T AT, potom je charakteristický polynom matice B roven pe(A) = \B-\E\ = \T-1 AT -\E\ = | T^1 (A - XT E T^1) T\ = | T~1\.\A - X E\ . | T\ = \A - X E\ = pA(X), tj. charakteristické polynomy matic A a B jsou totožné. □ Důsledek Podobné matice mají stejné vlastní hodnoty a tedy i stejný determinant a stejnou stopu (součet prvků na hlavní diagonále). Analytická geometrie ooooooo Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory oooooooooooooooooo Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru ooooooooo»ooooooooo Předchozí důsledek říká, že vlastní hodnoty a vlastní vektory (tj. preferované násobky a preferované směry) lineární transformace nezávisejí na volbě báze, v níž tuto lineární transformaci reprezentujeme pomocí matice. Analytická geometrie ooooooo Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory oooooooooooooooooo Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru ooooooooo»ooooooooo Předchozí důsledek říká, že vlastní hodnoty a vlastní vektory (tj. preferované násobky a preferované směry) lineární transformace nezávisejí na volbě báze, v níž tuto lineární transformaci reprezentujeme pomocí matice. Jelikož je charakteristický polynom založen na výpočtu determinantu a determinant lze spočítat rozvojem podle libovolného řádku nebo sloupce (Laplaceova věta o rozvoji), mají matice A a AT stejný charakteristický polynom a tedy i stejné vlastní hodnoty. Tvrzení Matice A a matice AT mají stejný charakteristický polynom a tedy i stejné vlastní hodnoty. Před časem jsme viděli, že někdy je možné zvolit bázi prostoru M" z vlastních vektorů matice A. Před časem jsme viděli, že někdy je možné zvolit bázi prostoru M" z vlastních vektorů matice A. Uvažujeme lineární transformaci L : M" —> M" zadanou maticí A, tj. L(u) = A - u (tedy L = La)- Je zřejmé, že maticová reprezentace takové lineární transformace záleží na volbě báze u prostoru M". Pokud ale zvolíme bázi u šikovně, může být maticová reprezentace transformace L velmi jednoduchá. Tvrzení Má-li matice A n lineárně nezávislých vlastních vektorů ui,..., un a označíme-li jako u := (ui,..., un) příslušnou bázi, potom má lineární zobrazení La v této bázi diagonální maticovou reprezentaci. Navíc, na hlavní diagonále jsou právě vlastní hodnoty příslušné (postupně) vlastním vektorům ui,..., un. Je-li A čtvercová matice řádu n, potom nás zajímá, Kolik lineárně nezávislých vlastních vektorů matice A vlastně má? Je-li A čtvercová matice řádu n, potom nás zajímá, Kolik lineárně nezávislých vlastních vektorů matice A vlastně má? Pokud má matice A plný počet (tj. n) lineárně nezávislých vlastních vektorů, potom lze tuto matici diagonalizovat. Označme jako Ai,..., A„ vlastní hodnoty (nemusí být nutně všechny navzájem různé) a jako ui,..., un příslušné lineárně nezávislé vlastní vektory (jako sloupcové vektory!), a položme /Ai ... 0\ \0 ... Xn) Matice P se nazývá matice vlastních vektorů a matice D se nazývá matice vlastních hodnot. Analytická ge ometrie Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru ooooooo oooooooooooooooooo oooooooooooo«oooooo Definice Čtvercová matice A řádu n se nazývá diagonalizovatelná, jestliže je podobná diagonálni matici, tj. jestliže existuje diagonálni matice D a regulárni matice P takové, že platí A = PDP-1, neboli D = P~1AP. Proces nalezení diagonálni matice D a regulárni matice P se nazývá diagonalizace matice A Důsledek Každá matice A, která má n navzájem různých vlastních hodnot, je diagonalizovatelná. Analytická geometrie ooooooo Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory oooooooooooooooooo Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru oooooooooooo»oooooo Definice Čtvercová matice A řádu n se nazývá diagonalizovatelná, jestliže je podobná diagonálni matici, tj. jestliže existuje diagonálni matice D a regulárni matice P takové, že platí A = PDP-1, neboli D = P~1AP. Proces nalezení diagonálni matice D a regulárni matice P se nazývá diagonalizace matice A Důsledek Každá matice A, která má n navzájem různých vlastních hodnot, je diagonalizovatelná. Poznámka Snadno se ukáže i platnost opačného tvrzení, tj. každá diagonalizovatelná matice má n lineárně nezávislých vlastních vektorů (což ale neznamená, že musí mít n různých vlastních Analytická geometrie ooooooo Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory oooooooooooooooooo Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru ooooooooooooo»ooooo Príklad Podle předchozího tvrzení není matice diagonalizovatelná, protože má (jak jsme ukázali minule) pouze jeden lineárně nezávislý vlastní vektor Analytická geometrie ooooooo Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory oooooooooooooooooo Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru oooooooooooooo»oooo Důsledek Čtvercová matice A řádu n je diagonalizovatelná 44> pro každou vlastní hodnotu A/ matice A je její geometrická násobnost rovna násobnosti algebraické. Analytická geometrie ooooooo Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory oooooooooooooooooo Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru oooooooooooooo»oooo Důsledek Čtvercová matice A řádu n je diagonalizovatelná 44> pro každou vlastní hodnotu A/ matice A je její geometrická násobnost rovna násobnosti algebraické. Odtud plyne: Algoritmus pro nalezení maximálního počtu lineárně nezávislých vlastních vektorů matice Najdeme všechny navzájem různé vlastní hodnoty matice A, označme je jako Ai,..., A^. Analytická geometrie ooooooo Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory oooooooooooooooooo Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru oooooooooooooo»oooo Důsledek Čtvercová matice A řádu n je diagonalizovatelná 44> pro každou vlastní hodnotu A/ matice A je její geometrická násobnost rovna násobnosti algebraické. Odtud plyne: Algoritmus pro nalezení maximálního počtu lineárně nezávislých vlastních vektorů matice 1. Najdeme všechny navzájem různé vlastní hodnoty matice A, označme je jako Ai,..., A^. 2. Pro každý index / = 1,..., k (tj. pro každou vlastní hodnotu A/), najdeme bázi příslušného pod prostoru vlastních vektorů. Analytická geometrie ooooooo Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory oooooooooooooooooo Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru oooooooooooooo»oooo Důsledek Čtvercová matice A řádu n je diagonalizovatelná 44> pro každou vlastní hodnotu A/ matice A je její geometrická násobnost rovna násobnosti algebraické. Odtud plyne: Algoritmus pro nalezení maximálního počtu lineárně nezávislých vlastních vektorů matice 1. Najdeme všechny navzájem různé vlastní hodnoty matice A, označme je jako Ai,..., A^. 2. Pro každý index / = 1,..., k (tj. pro každou vlastní hodnotu A/), najdeme bázi příslušného pod prostoru vlastních vektorů. 3. Sjednocení všech vektorů z takto nalezených bází je maximální množina lineárně nezávislých vlastních vektorů matice A. Má-li tato množina n prvků, potom je matice A diagonalizovatelná. Má-li tato množina méně než n prvků, potom matice A diagonalizovatelná není. Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní \ oooooooooooooooooo izovatelnýd Vzorec PDP -i lze dobře využít k výpočtu mocnin diagonalizovatelných matic. Např. pro druhou mocninu matice A platí A2 =A-A = (PDP-1) ■ (PDP-1) = PD(P-1P)DP-1 = PD2p-1, přičemž druhá mocnina diagonálni matice je opět diagonální matice, jejíž diagonální prvky jsou druhými mocninami původních prvků, tj. D2 \0 0\ a„/ / Ai \0 0\ a„/ \0 0\ A2J Analytická geometrie ooooooo Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory oooooooooooooooooo Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru ooooooooooooooo»ooo Mocniny diagonalizovatelných matic Vzorec PDP -i lze dobře využít k výpočtu mocnin diagonalizovatelných matic. Např. pro druhou mocninu matice A platí A2 =A-A = (PDP-1) ■ (PDP-1) = PD(P-1P)DP-1 = PD2p-1, přičemž druhá mocnina diagonálni matice je opět diagonální matice, jejíž diagonální prvky jsou druhými mocninami původních prvků, tj. Ai ... o\ D \0 0\ a„/ A? a2J \o ... any Podobně se ukáže pomocí matematické indukce (a pro záporná k pomocí tvrzení o vlastních hodnotách inverzní matice) , že Ak = PDkp-\ kde Dk = d\ag(Xk,.S{X^.^ 1 -00.0 Analytická ge ometrie Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru ooooooo oooooooooooooooooo oooooooooooooooo»oo Príklad Určete Ak, kde k E Z pro matici Analytická geometrie ooooooo Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory oooooooooooooooooo Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru oooooooooooooooo»oo Príklad Určete Ak, kde k G Z pro matici Řešení Ukázali jsme, že A má vlastní hodnoty Ai = 0, A2 = 1 a jim příslušné Eigen(O) = <(l,l,l)r),Eigen(l) = <(-l, 0, l)7", (3,1, O)7"). Vlastní vektor (1,1,1)T (či jeho libovolný nenulový násobek) je lineárně nezávislý s každým z vektoru (—1, 0, l)7", (3,1, O)7" (či jejich libovolnou nenulovou lineární kombinací). Samozřejmě platí, že poslední 2 vektory jsou lineárně nezávislé, je tedy lineárně nezávislá celá trojice těchto vektorů. Analytická geometrie ooooooo Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory oooooooooooooooooo Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru ooooooooooooooooo»o Řešení (pokr.) Odtud A = PDP \ kde -i 3) 1 p= 0 u 1 0) D Matice A má vlastní hodnotu 0, není proto regulární a Ak není pro /c < 0 definováno. 00.0 Analytická geometrie ooooooo Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory oooooooooooooooooo Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru ooooooooooooooooo»o Řešení (pokr.) Odtud A = PDP \ kde -i 3) 1 p= 0 u 1 0) D Matice A má vlastní hodnotu 0, není proto regulární a Ak není pro /c < 0 definováno. Pro k > 0 pak jde o tzv. idempotentnímatici (splňující A2 = A), neboť PDkp-i 00.0 Analytická geometrie Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru OOOOOOO OOOOOOOOOOOOOOOOOO 000000000000000000» Caley-Hamiltonova věta Poslední důležitý vztah, který lze bezprostředně vyvodit z mocniny diagonalizovatelné matice, je tzv. Cayley-Hamiltonova věta, která říká, že každá (tzn. nejen diagonalizovatelná) matice A je kořenem svého charakterictického polynomu. Analytická geometrie Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru OOOOOOO OOOOOOOOOOOOOOOOOO 000000000000000000» Caley-Hamiltonova věta Poslední důležitý vztah, který lze bezprostředně vyvodit z mocniny diagonalizovatelné matice, je tzv. Cayley-Hamiltonova věta, která říká, že každá (tzn. nejen diagonalizovatelná) matice A je kořenem svého charakterictického polynomu. Věta Je-li A čtvercová matice řádu n a p(A) = (-1)" A" + c„_i A""1 + • • • + Cl A + c0 její charakteristický polynom, potom platí identita p(A) = (-1)" An + c„_i A"'1 + --- + ClA + coEn = Q. Analytická geometrie Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory Vlastnosti vlastních hodnot a vektoru OOOOOOO OOOOOOOOOOOOOOOOOO 000000000000000000» Caley-Hamiltonova věta Poslední důležitý vztah, který lze bezprostředně vyvodit z mocniny diagonalizovatelné matice, je tzv. Cayley-Hamiltonova věta, která říká, že každá (tzn. nejen diagonalizovatelná) matice A je kořenem svého charakterictického polynomu. Věta Je-li A čtvercová matice řádu n a p(A) = (-1)" A" + c„_i A""1 + • • • + Cl A + c0 její charakteristický polynom, potom platí identita p{A) = (-1)" A" + c„_i A"'1 + --- + ClA + coEn = Q. Důkaz. Pro diagonalizovatelné matice je důkaz je přímým důsledkem předchozího. Tvrzení platí i pro obecné matice, kde je však třeba vvužít ieiich Jordánova tvaru, čemuž se zde nevěnuieme.