Podmíněná pravděpodobnost oooooooooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení oooooooooooooooooooaaraoooooooooooo< Matematika I - 3. přednáška Podmíněná a geometrická pravděpodobnost, geometrie v rovině Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 5. 3. 2012 Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOOOOOO OOOO OOOOOOOOOOOOOOOOOOOa00DQ00E>OOOOOOOOOO< Q Podmíněná pravděpodobnost Q| Geometrická pravděpodobnost O Rovina geometrie • Afinní rovina • Lineární zobrazení a matice • Euklidovská rovina • Obsah trojúhelníka • Viditelnost v rovině Q Relace a zobrazení • Relace na množině • Rozklad podle ekvivalence Podmíněná pravděpodobnost oooooooooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOOOOOOOOOOOOOOOa00DQ00E>OOOOOOOOOO< • Martin Panák, Jan Slovák - Drsná matematika, e-text. • Roman Hilscher - MB101, e-text. • Slidy z přednášek a democvičení Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOOOOOO OOOO OOOOOOOOOOOOOOOOOOOa00DQ00E>OOOOOOOOOO< Doporučené zdroje • Martin Panák, Jan Slovák - Drsná matematika, e-text. • Roman Hilscher - MB101, e-text. • Slidy z přednášek a democvičení • Pavel Horák, Úvod do lineární algebry, MU Brno, skripta (http://www.math.muni.cz/~horak) • Luboš Motl, Miloš Zahradník, Pěstujeme lineární algebru, 3. vydání, Univerzita Karlova v Praze, Karolinum, 348 stran (elektronické vydání také na http://www. kolej, mff.cuni.cz/~lmotm275/skripta/). Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOOOOOO OOOO OOOOOOOOOOOOOOOOOOOCD0DQD0DOOOOOOOOOO* Plán přednášky Q| Podmíněná pravděpodobnost q Geometrická pravděpodobnost Q Rovina geometrie • Afinní rovina • Lineární zobrazení a matice • Euklidovská rovina • Obsah trojúhelníka • Viditelnost v rovině Relace a zobrazení • Relace na množině • Rozklad podle ekviva id> <1> « O^O Podmíněná pravděpodobnost •ooooooooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOOOOOOOOOOOOOOOa00DQ00E>OOOOOOOOOO< Obvyklé je také klást dotazy s dodatečnou podmínkou. Např. • Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami padly dvě pětky, je-li součet hodnot deset? Podmíněná pravděpodobnost •ooooooooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOOOOOOOOOOOOOOOa00DQ00E>OOOOOOOOOO< Obvyklé je také klást dotazy s dodatečnou podmínkou. Např. • Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami padly dvě pětky, je-li součet hodnot deset? • Mějme urnu s 10 koulemi. Desetkrát jsem vytáhl kouli, zkontroloval její barvu a vrátil do urny. Jestliže byla vždy bílé barvy, s jakou pravděpodobností jsou všechny koule v urně bílé? Podmíněná pravděpodobnost •ooooooooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOOOOOOOOOOOOOOOa00DQ00E>OOOOOOOOOO< Obvyklé je také klást dotazy s dodatečnou podmínkou. Např. • Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami padly dvě pětky, je-li součet hodnot deset? • Mějme urnu s 10 koulemi. Desetkrát jsem vytáhl kouli, zkontroloval její barvu a vrátil do urny. Jestliže byla vždy bílé barvy, s jakou pravděpodobností jsou všechny koule v urně bílé? • Na dostizích jsou známy pravděpodobnosti vítězství jednotlivých koní. Jak se tyto pravděpodobnosti změní, pokud uprostřed závodu spadne jezdec jednoho z koní ze sedla? Podmíněná pravděpodobnost o»oooooooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOOOOOOOOOOOOOOOa00DQ00E>OOOOOOOOOO< Formalizovat takové potřeby umíme následovně. Definice Nechť H je jev s nenulovou pravděpodobností v jevovém poli A v pravděpodobnostním prostoru (Q,A,P). Podmíněná pravděpodobnost P(A\H) jevu A OOOOOOOOOO< Formalizovat takové potřeby umíme následovně. Definice Nechť H je jev s nenulovou pravděpodobností v jevovém poli A v pravděpodobnostním prostoru (Q,A,P). Podmíněná pravděpodobnost P(A\H) jevu A OOOOOOOOOO< Formalizovat takové potřeby umíme následovně. Definice Nechť H je jev s nenulovou pravděpodobností v jevovém poli A v pravděpodobnostním prostoru (Q,A,P). Podmíněná pravděpodobnost P(A\H) jevu A OOOOOOOOOO< Definice Říkáme, že jevy /4i,/42, .. jsou nezávislé, jestliže pro každou /c-tici A-n, • • • , A-,k z nich platí / k \ k P o*■ =iľw- \ J=l ) 7=1 Podmíněná pravděpodobnost oo»ooooooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOOOOOOOOOOOOOOOa00DQ00E>OOOOOOOOOO< Definice Říkáme, že jevy /4i,/42, .. jsou nezávislé, jestliže pro každou /c-tici A-n, • • • , A-,k z nich platí / k \ k P n^ó)=up(AiJ). \ Příklad V urně jsou 4 lístky označené 000, 110, 101, 011. Uvažujme pro / = 1,2,3 náhodné jevy A; = {náhodně vytažený lístek má na /-tém místě 1}. Podmíněná pravděpodobnost oo»ooooooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOOOOOOOOOOOOOOOa00DQ00E>OOOOOOOOOO< Definice Říkáme, že jevy Ai,A2, .. jsou nezávislé, jestliže pro každou /c-tici A-n, • • • , A-,k z nich platí / k \ k P o*)=up(AiJ). \ Příklad V urně jsou 4 lístky označené 000, 110, 101, 011. Uvažujme pro / = 1,2,3 náhodné jevy A; = {náhodně vytažený lístek má na /-tém místě 1}. Snadno se vidí, že P(A1) = P(A2) = P(A3) = \, dále, že P(Ai n A2) = P{AÍ n a3) = P(A2 nA3) = ± P(A1nA2nA3) = o. a ze Podmíněná pravděpodobnost oo»ooooooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOOOOOOOOOOOOOOOa00DQ00E>OOOOOOOOOO< Definice Říkáme, že jevy Ai,A2, .. jsou nezávislé, jestliže pro každou /c-tici A-n, • • • , A-,k z nich platí / k \ k P o*)=up(AiJ). \ Příklad V urně jsou 4 lístky označené 000, 110, 101, 011. Uvažujme pro / = 1,2,3 náhodné jevy A; = {náhodně vytažený lístek má na /-tém místě 1}. Snadno se vidí, že P(A1) = P(A2) = P(A3) \, dále, že P{A! n A2) = P{AÍ n A3) = P{A2 n A3) = \ a že P{A\ n A2 n A3) = 0. Jevy A\, A2, A3 jsou tedy po dvou nezávislé, ale nejsou nezávislé. Podmíněná pravděpodobnost ooo#oooooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOOOOOOOOOOOOOOOa00DQ00E>OOOOOOOOOO< Bayesovy věty Přepsáním formule pro podmíněnou pravděpodobnost dostáváme P(A n fi) = P{B r\A) = P(A)P(B\A) = P(B)P(A\B). Věta (Bayesovy věty) Pro pravděpodobnost jevů A a B platí 9 P{A\B) = P(A\B) - P(A)P(B\A) Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Rovina geometrie Relace a zobrazení 000#OOOOOQ OOOO OOOOOOOOOOOOOOOOOOOa00DQ00E>OOOOOOOOOO< Bayesovy věty Přepsáním formule pro podmíněnou pravděpodobnost dostáváme P{A n fi) = P{B r\A) = P(A)P(B\A) = P(B)P(A\B). Věta (Bayesovy věty) Pro pravděpodobnost jevů A a B platí 9 P{A\B) = P(A\B) - P(A)P(B\A) Důkaz. První tvrzení je přepsáním předchozí formule, druhé z prvého plyne dosazením P(B) = P(A)P(B\A) + P(AC)P(B\AC). □ Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOO0OOOOO OOOO OOOOOOOOOOOOOOOOOOOa00DQ00E>OOOOOOOOOO< Specifičnost a senzitivita (citlivost) testu Pozitivní skutečnost Negativní skutečnost Test pozitivní True positive Falše positive Test negativní Falše negative True negative Senzitivita Specifičnost Podmíněná pravděpodobnost ooooo»oooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení oooooooooooooooooooaaraoooooooooooo< Příklad - preventivní screening Předpokládejme, že krevní test na HIV pozitivní osoby má 99% správnost v případě osoby skutečně HIV pozitivní (vysoká citlivost -sensitivity). Zároveň předpokládejme, že u HIV negativní osoby dopadne test pozitivně v 0,2% případů (relativně vysoká specifičnost - specificity). Podmíněná pravděpodobnost ooooo»oooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení oooooooooooooooooooaaraoooooooooooo< Příklad - preventivní screening Předpokládejme, že krevní test na HIV pozitivní osoby má 99% správnost v případě osoby skutečně HIV pozitivní (vysoká citlivost -sensitivity). Zároveň předpokládejme, že u HIV negativní osoby dopadne test pozitivně v 0,2% případů (relativně vysoká specifičnost - specificity). Náhodně z populace vybereme osobu a otestujeme pozitivně. S jakou pravděpodobností je skutečně HIV pozitivní, jestliže četnost výskytu HIV v populaci je p promile (tj. p osob z tisíce je skutečně HIV pozitivní). Podmíněná pravděpodobnost ooooo»oooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení oooooooooooooooooooaaraoooooooooooo< Příklad - preventivní screening Předpokládejme, že krevní test na HIV pozitivní osoby má 99% správnost v případě osoby skutečně HIV pozitivní (vysoká citlivost -sensitivity). Zároveň předpokládejme, že u HIV negativní osoby dopadne test pozitivně v 0,2% případů (relativně vysoká specifičnost - specificity). Náhodně z populace vybereme osobu a otestujeme pozitivně. S jakou pravděpodobností je skutečně HIV pozitivní, jestliže četnost výskytu HIV v populaci je p promile (tj. p osob z tisíce je skutečně HIV pozitivní). Označme A jev, že je daná osoba HIV pozitivní, a B jev, že daná osoba má pozitivní test. Dle druhé Bayesovy věty je hledaná pravděpodobnost P(A\B)- P/1000-99/100 p/1000 • 99/100 + (1000 - p)/1000 • 2/1000 Podmíněná pravděpodobnost oooooo»ooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení oooooooooooooooooooaaraoooooooooooo< Příklad - preventivní screening, pokr. Jestliže zvolíme za p nějaké konkrétní četnosti, dostaneme příslušné očekávatelné spolehlivosti testu. V následující tabulce je spočten výsledek pro několik p: P 100 10 1 0,1 P(A\B) 0,982 0,8333 0,3313 0,0471 Výsledek asi neodpovídá naší intuici a může se zdát šokující ve vztahu k použití takovýchto testů. Podmíněná pravděpodobnost oooooo»ooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení oooooooooooooooooooaaraoooooooooooo< Příklad - preventivní screening, pokr. Jestliže zvolíme za p nějaké konkrétní četnosti, dostaneme příslušné očekávatelné spolehlivosti testu. V následující tabulce je spočten výsledek pro několik p: P 100 10 1 0,1 P(A\B) 0,982 0,8333 0,3313 0,0471 Výsledek asi neodpovídá naší intuici a může se zdát šokující ve vztahu k použití takovýchto testů. Poznámka Sami si můžete podobný výpočet udělat pro tzv. triple test na Downův syndrom, prováděný ve 2. trimestru těhotenství s 70% citlivostí a 5% falše-positive rate či pro statistiky svého oblíbeného spamfilteru (např. SpamAssassin s někde udávanou citlivostí 99,64% a specifičností 98.23%). Podmíněná pravděpodobnost ooooooo»oo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOOOOOOOOOOOOOOOa00DQ00E>OOOOOOOOOO< Triple test a jeho výsledky Triple test je vyšetření krevního séra na hodnoty choriogonadotropinu, estriolu a alfa-fetoproteinu. Provádí se v druhém trimestru těhotenství a má sloužit k detekci rizik genetických poruch a poruch vývoje nervové trubice. Detekuje poruchy s úspěšností 70% a naopak 5% zdravých případů rozpozná jako porušené. Budoucím matkám, u kterých triple test ukáže zvýšené riziko vad plodu, je obvykle doporučeno nějaké další zpřesňující vyšetření, například amniocentéza (odběr plodové vody). Podmíněná pravděpodobnost ooooooo»oo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOOOOOOOOOOOOOOOa00DQ00E>OOOOOOOOOO< Triple test a jeho výsledky Triple test je vyšetření krevního séra na hodnoty choriogonadotropinu, estriolu a alfa-fetoproteinu. Provádí se v druhém trimestru těhotenství a má sloužit k detekci rizik genetických poruch a poruch vývoje nervové trubice. Detekuje poruchy s úspěšností 70% a naopak 5% zdravých případů rozpozná jako porušené. Budoucím matkám, u kterých triple test ukáže zvýšené riziko vad plodu, je obvykle doporučeno nějaké další zpřesňující vyšetření, například amniocentéza (odběr plodové vody). Uvádí se, že u těhotné ženy ve věku 20-24 let je pravděpodobnost narození dítěte s Downovým syndromem cca 1:1500, u těhotné ženy ve věku 35-39 let je pravděpodobnost narození dítěte s Downovým syndromem cca 1:200. Podmíněná pravděpodobnost ooooooo»oo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOOOOOOOOOOOOOOOa00DQ00E>OOOOOOOOOO< Triple test a jeho výsledky Triple test je vyšetření krevního séra na hodnoty choriogonadotropinu, estriolu a alfa-fetoproteinu. Provádí se v druhém trimestru těhotenství a má sloužit k detekci rizik genetických poruch a poruch vývoje nervové trubice. Detekuje poruchy s úspěšností 70% a naopak 5% zdravých případů rozpozná jako porušené. Budoucím matkám, u kterých triple test ukáže zvýšené riziko vad plodu, je obvykle doporučeno nějaké další zpřesňující vyšetření, například amniocentéza (odběr plodové vody). Uvádí se, že u těhotné ženy ve věku 20-24 let je pravděpodobnost narození dítěte s Downovým syndromem cca 1:1500, u těhotné ženy ve věku 35-39 let je pravděpodobnost narození dítěte s Downovým syndromem cca 1:200. Prozkoumejme (alespoň z matematického hlediska) význam provádění tohoto testu za uvedených předpokladů, kdy se rodí cca 100 tis. dětí ročně, z toho cca 10% ženám ve věku 35-39 let a cca 12% ženám ve věku 20-24 let. Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOOOOSO OOOO OOOOOOOOOOOOOOOOOOOa00DQ00E>OOOOOOOOOO< Specifičnost a senzitivita (citlivost) testu Triple test Pozitivní skutečnost Negativní skutečnost Test pozitivní 70% 5% Test negativní 30% 95% Senzitivita Specifičnost Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOOOOSO OOOO OOOOOOOOOOOOOOOOOOOa00DQ00E>OOOOOOOOOO< Specifičnost a senzitivita (citlivost) testu Triple test Pozitivní skutečnost Negativní skutečnost Test pozitivní 70% 5% Test negativní 30% 95% Senzitivita Specifičnost Za dříve uvedených předpokladů snadno vypočteme, že pravděpodobnost, že dítě starší matky bude skutečně postiženo Downovým syndromem, pokud vyšel pozitivní test, je pouhých cca 6,6%). U mladých žen se pak tato pravděpodobnost pohybuje kolem 0,9%) a je tedy na zváženou, zda toto plošné testování v dané věkové skupině provádět, pokud navíc uváděné riziko potratu při případné amniocentéze se rovněž pohybuje kolem jednoho promile. Podmíněná pravděpodobnost 000000000» Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOOOOOOOOOOOOOOOa00DQ00E>OOOOOOOOOO< Evidentně prostý výběr náhodné osoby a použití jediného testu, byť velmi citlivého a specifického, nejsou vhodné ani na otestování skutečného stavu populace, ani na preventivní vyšetření jednotlivců, pokud nemáme další podpůrné informace a lepší nástroje. Podmíněná pravděpodobnost 000000000» Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOOOOOOOOOOOOOOOa00DQ00E>OOOOOOOOOO< Evidentně prostý výběr náhodné osoby a použití jediného testu, byť velmi citlivého a specifického, nejsou vhodné ani na otestování skutečného stavu populace, ani na preventivní vyšetření jednotlivců, pokud nemáme další podpůrné informace a lepší nástroje. Lepší nástroje na kvalifikovanější postupy v medicínské i průmyslové diagnostice, ekonomických modelech, vyhodnocování experimentálních dat atd. poskytuje matematická statistika (viz MB104). Podmíněná pravděpodobnost oooooooooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení oooooooooooooooooooaaraoooooooooooo< Plán přednášky m Podmíněná pravděpodobnost Q| Geometrická pravděpodobnost q Rovina geometrie • Afinní rovina • Lineární zobrazení a matice • Euklidovská rovina • Obsah trojúhelníka • Viditelnost v rovině q Relace a zobrazení • Relace na množině • Rozklad podle ekvivalence Podmíněná pravděpodobnost oooooooooo Geometrická pravděpodobnost •ooo Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOOOOOOOOOOOOOOOa00DQ00E>OOOOOOOOOO< V praktických problémech se často setkáváme s daleko složitějšími modely, kde základní prostor není konečnou množinou. Nemáme momentálně k dispozici ani základní nástroje pro dostatečné zobecnění pojmu pravděpodobnosti, nicméně můžeme uvést alespoň jednoduchou ilustraci. Podmíněná pravděpodobnost oooooooooo Geometrická pravděpodobnost •ooo Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOOOOOOOOOOOOOOOa00DQ00E>OOOOOOOOOO< V praktických problémech se často setkáváme s daleko složitějšími modely, kde základní prostor není konečnou množinou. Nemáme momentálně k dispozici ani základní nástroje pro dostatečné zobecnění pojmu pravděpodobnosti, nicméně můžeme uvést alespoň jednoduchou ilustraci. Uvažme rovinu M2 dvojic reálných čísel a v ní podmnožinu Q se známým obsahem vol Q (symbol vol od anglického volume, tj. obsah/objem). Příkladem může sloužit třeba jednotkový čtverec. Náhodné jevy budou reprezentovány podmnožinami A c Q. za jevové pole A bereme systém podmnožin, u kterých umíme určit jejich obsah. Třeba všechna konečná sjednocení trojúhelníků. Nastoupení nebo nenastoupení jevu je dáno výběrem bodu v Q, kterým se trefíme nebo netrefíme do množiny reprezentující jev A. Podobně jako u klasické pravděpodobnosti pak definujeme pravděpodobnostní funkci P : A —> M vztahem Podmíněná pravděpodobnost oooooooooo Geometrická pravděpodobnost o«oo Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOOOOOOOOOOOOOOOa00DQ00E>OOOOOOOOOO< Příklad Uvažme jako příklad problém, kdy náhodně výběrem dvě hodnoty a < b v intervalu (0,1) C M. Všechny hodnoty a i b jsou stejně pravděpodobné a otázka zní jaká je pravděpodobnost, že interval (a, b) bude mít velikost alespoň jedna polovina? Podmíněná pravděpodobnost oooooooooo Geometrická pravděpodobnost o«oo Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOOOOOOOOOOOOOOOa00DQ00E>OOOOOOOOOO< Příklad Uvažme jako příklad problém, kdy náhodně výběrem dvě hodnoty a < b v intervalu (0,1) C M. Všechny hodnoty a i b jsou stejně pravděpodobné a otázka zní jaká je pravděpodobnost, že interval (a, b) bude mít velikost alespoň jedna polovina? Odpověď je docela jednoduchá: volba čísel a, b je volbou libovolného bodu (a, b) ve vnitřku trojúhelníku Q s hraničními vrcholy [0,0], [0,1], [1,1] (načrtněte si obrázek!). Potřebujeme znát plochu podmnožiny, která odpovídá bodům s b > a + |, tj. vnitřku trojúhelníku A ohraničeného vrcholy [0, ^], [0,1], [^, 1]. Evidentně dostáváme P(A) = |. Zkuste si samostatně odpovědět na otázku pro jakou požadovanou minimální délku intervalu (a, b) dostaneme pravděpodobnost jedna polovina? Podmíněná pravděpodobnost oooooooooo I Geometrická pravděpodobnost oo»o Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOOOOOOOOOOOOOOOa00DQ00E>OOOOOOOOOO< Příklad V lese tvaru trojúhelníka s vrcholy v bodech (—1, 0), (1, 0) a (0, VŠ) se ztratilo dítě. Pravděpodobnost výskytu dítěte v určité části lesa je úměrná velikosti této části, nikoliv umístění této části. Určete pravděpodobnost, že dítě je vzdáleno nejvíce \ od zvolené strany lesa. Podmíněná pravděpodobnost oooooooooo I Geometrická pravděpodobnost oo»o Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOOOOOOOOOOOOOOOa00DQ00E>OOOOOOOOOO< Příklad V lese tvaru trojúhelníka s vrcholy v bodech (—1, 0), (1, 0) a (0, VŠ) se ztratilo dítě. Pravděpodobnost výskytu dítěte v určité části lesa je úměrná velikosti této části, nikoliv umístění této části. Určete pravděpodobnost, že dítě je vzdáleno nejvíce \ od zvolené strany lesa. Příklad (Buffonova úloha) Rovina je rozdělena rovnoběžkami umístěnými rovnoměrně ve vzdálenosti d. Do roviny je náhodně umístěna jehla délky I < d. Jaká je pravděpodobnost, že jehla protne některou rovnoběžku. Podmíněná pravděpodobnost oooooooooo Geometrická pravděpodobnost ooo» Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOOOOOOOOOOOOOOOa00DQ00E>OOOOOOOOOO< Jednou z účinných výpočetních metod přibližných hodnot je naopak simulace známé takovéto pravděpodobnosti pomocí relativní četnosti nastoupení vhodně zvoleného jevu. Např. známá formule pro obsah kruhu o daném poloměru říká, že obsah jednotkového kruhu je roven právě konstantě tt = 3,1415 ..., která vyjadřuje poměr obsahu a čtverce poloměru. Pokud zvolíme za Q jednotkový čtverec a za A průnik Q a jednotkového kruhu se středem v počátku, pak vol/4 = jtt. Máme-li tedy spolehlivý generátor náhodných čísel mezi nulou a jedničkou a počítáme relativní četnosti, jak často bude vzdálenost vygenerované dvojice (a, b) menší než jedna, tj. \/a2 + b2 < 1, pak výsledek bude při velkém počtu pokusů s velikou jistotou dobře aproximovat číslo ^tt. Numerickým postupům založeným na tomto principu se říká metody Monte Carlo. Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Rovina geometrie Relace a zobrazení oooooooooo oooo oooooooooooooooooooanoQB»oooooooooo< Plán přednášky Q Podmíněná pravděpodobnost q Geometrická pravděpodobnost q Rovina geometrie • Afinní rovina • Lineární zobrazení a matice • Euklidovská rovina • Obsah trojúhelníka • Viditelnost v rovině q Relace a zobrazení • Relace na množině • Rozklad podle ekvivalence Budeme nyní podrobněji zkoumat jak se vypořádávat s potřebou popisovat polohu v rovině, resp. dávat do souvislostí polohy různých bodů roviny. Budeme nyní podrobněji zkoumat jak se vypořádávat s potřebou popisovat polohu v rovině, resp. dávat do souvislostí polohy různých bodů roviny. Zkusme si množinu A = M2 představit z pohledu pozorovatele, který sedí v některém pevně zvoleném místě (můžeme mu říkat třeba bod O = (x0,y0) £ M2). Předpoklá dejme, že ji vnímá jako nekonečnou desku bez jakýchkoliv zvolených měřítek a popisů a ví, co to znamená posunout se v libovolném násobku nějakého směru. Takové rovině budeme říkat afinní rovina. Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOOOOOO OOOO O»OOOOOOOOOOOOOOOOOa00DQ00E>OOOOOOOOOO< Aby pozorovatel mohl vidět kolem sebe dvojice reálných čísel, musí si vybrat nějaký bod E\, kterému řekne bod [1,0] a jiný bod E2, kterému začne říkat bod [0,1]. Podmíněná pravděpodobnost oooooooooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení O»OOOOOOOOOOOOOOOOOa00DQ00E>OOOOOOOOOO< Aby pozorovatel mohl vidět kolem sebe dvojice reálných čísel, musí si vybrat nějaký bod E\, kterému řekne bod [1,0] a jiný bod E2, kterému začne říkat bod [0,1]. Do všech ostatních se pak dostane tak, že poskočí a-krát ve směru [1,0], pak 6-krát ve směru [0,1] a takovému bodu bude říkat bod [a,b]. Pokud to bude dělat obvyklým způsobem, nebude výsledek záviset na pořadí, tzn. může také napřed jít fa-krát ve směru [0,1] a pak teprve v tom druhém. Podmíněná pravděpodobnost oooooooooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení O»OOOOOOOOOOOOOOOOOa00DQ00E>OOOOOOOOOO< Aby pozorovatel mohl vidět kolem sebe dvojice reálných čísel, musí si vybrat nějaký bod E\, kterému řekne bod [1,0] a jiný bod E2, kterému začne říkat bod [0,1]. Do všech ostatních se pak dostane tak, že poskočí a-krát ve směru [1,0], pak 6-krát ve směru [0,1] a takovému bodu bude říkat bod [a,b]. Pokud to bude dělat obvyklým způsobem, nebude výsledek záviset na pořadí, tzn. může také napřed jít fa-krát ve směru [0,1] a pak teprve v tom druhém. To, co jsme popsali, se nazývá volba (afinního) souřadného systému v rovině, bod O je jeho počátkem, posunutí E\ — O ztotožňujeme s dvojicí [1,0], podobně u E2 a obecně každý bod P roviny je ztotožněn s dvojicí čísel [a, b] = P — O. Podmíněná pravděpodobnost oooooooooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení O»OOOOOOOOOOOOOOOOOa00DQ00E>OOOOOOOOOO< Aby pozorovatel mohl vidět kolem sebe dvojice reálných čísel, musí si vybrat nějaký bod E\, kterému řekne bod [1,0] a jiný bod E2, kterému začne říkat bod [0,1]. Do všech ostatních se pak dostane tak, že poskočí a-krát ve směru [1,0], pak 6-krát ve směru [0,1] a takovému bodu bude říkat bod [a,b]. Pokud to bude dělat obvyklým způsobem, nebude výsledek záviset na pořadí, tzn. může také napřed jít fa-krát ve směru [0,1] a pak teprve v tom druhém. To, co jsme popsali, se nazývá volba (afinního) souřadného systému v rovině, bod O je jeho počátkem, posunutí E\ — O ztotožňujeme s dvojicí [1,0], podobně u £2 a obecně každý bod P roviny je ztotožněn s dvojicí čísel [a, b] = P — O. Všimněme si, že volbou pevného počátku O jsou zároveň ztotožněny jednotlivé body P roviny se směry posuvu v = P — O a že všechny takové posuvy umíme skládat (budeme říkat sčítat) a také jednotlivé směry násobit v poměru každého reálného čísla (budeme říkat násobit skalárem). Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Rovina geometrie Relace a zobrazení oooooooooo oooo oo»ooooooooooooooooanraDoooooooooo< Přímky v rovině Naše operace sčítání bodů v rovině a jejich násobení skaláry splňují hodně vlastností skalárů. Budeme místo o směrech posuvu mluvit o vektorech a od bodů je budeme rozlišovat tím, že budou dány dvojicemi souřadnic v kulatých závorkách místo hranatých. Podmíněná pravděpodobnost oooooooooo Přímky v Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení OO»OOOOOOOOOOOOOOOOa00DQ00E>OOOOOOOOOO< Naše operace sčítání bodů v rovině a jejich násobení skaláry splňují hodně vlastností skalárů. Budeme místo o směrech posuvu mluvit o vektorech a od bodů je budeme rozlišovat tím, že budou dány dvojicemi souřadnic v kulatých závorkách místo hranatých. Když se náš pozorovatel umí posouvat o libovolný násobek pevného vektoru, pak také ví, co je to přímka. Je to podmnožina p d A v rovině taková, že existují bod O a vektor v takové, že p = {P G A; P - O = t ■ v, tet}. Naše operace sčítání bodů v rovině a jejich násobení skaláry splňují hodně vlastností skalárů. Budeme místo o směrech posuvu mluvit o vektorech a od bodů je budeme rozlišovat tím, že budou dány dvojicemi souřadnic v kulatých závorkách místo hranatých. Když se náš pozorovatel umí posouvat o libovolný násobek pevného vektoru, pak také ví, co je to přímka. Je to podmnožina p d A v rovině taková, že existují bod O a vektor v takové, že Popišme si P = P (t) G p ve zvolených souřadnicích s volbou p = {P £ A P - O = t ■ v, t G R}. (a,/3): x(ŕ) = x0 + a • t, y(t) = yo + p-t. Podmíněná pravděpodobnost oooooooooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení OOO»OOOOOOOOOOOOOOOa00DQ00E>OOOOOOOOOO< Jednoduchým výpočtem dostaneme (vyloučíme t z parametrického vyjádření pro x a y, když pro určitost předpokládáme, že třeba -j3x + ay + (j3x0 - ay0) = 0. To je obecná rovnice přímky ax + by = c, se známým vztahem dvojice čísel (a, b) a vektoru v = (a, (3) aa + b/3 = 0. Podmíněná pravděpodobnost oooooooooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení OOO»OOOOOOOOOOOOOOOa00DQ00E>OOOOOOOOOO< Jednoduchým výpočtem dostaneme (vyloučíme t z parametrického vyjádření pro x a y, když pro určitost předpokládáme, že třeba -j3x + ay + (j3x0 - ay0) = 0. To je obecná rovnice přímky ax + by = c, se známým vztahem dvojice čísel (a, b) a vektoru v = (a, (3) aa + b/3 = 0. Výraz nalevo v rovnici přímky můžeme vidět jako skalární funkci F závislou na bodech v rovině a s hodnotami v M, samu rovnici pak jako požadavek na její hodnotu. Podmíněná pravděpodobnost oooooooooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOO»OOOOOOOOOOOOOOa00DQ00E>OOOOOOOOOO< Mějme dvě přímky p a q a ptejme se na jejich průnik p n q. Ten bude popsán jako bod, splňující rovnice obou přímek: ax + by = r cx + dy = s. Podmíněná pravděpodobnost oooooooooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOO»OOOOOOOOOOOOOOa00DQ00E>OOOOOOOOOO< Mějme dvě přímky p a q a ptejme se na jejich průnik p n q. Ten bude popsán jako bod, splňující rovnice obou přímek: ax + by = r cx + dy = s. Opět můžeme levou stranu vnímat jako přiřazení, které každé dvojici souřadnic [x(P),y(P)] bodů v rovině přiřadí vektor hodnot dvou skalárních funkcí F\ a F2. Podmíněná pravděpodobnost oooooooooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOO»OOOOOOOOOOOOOOa00DQ00E>OOOOOOOOOO< Mějme dvě přímky p a q a ptejme se na jejich průnik p n q. Ten bude popsán jako bod, splňující rovnice obou přímek: ax + by = r cx + dy = s. Opět můžeme levou stranu vnímat jako přiřazení, které každé dvojici souřadnic [x(P),y(P)] bodů v rovině přiřadí vektor hodnot dvou skalárních funkcí F\ a F2. Můžeme tedy naše rovnice napsat jako jediný vztah F(v) = w, kde F je přiřazení, které vektor v popisující polohu obecného bodu v rovině zobrazí na vektor zadaný levou stranou rovnic, a požadujeme, aby se toto zobrazení strefilo do předem zadaného vektoru w = (r, s). Podmíněná pravděpodobnost oooooooooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOO»OOOOOOOOOOOOOa00DQ00E>OOOOOOOOOO< Přiřazení F, se kterým jsme pracovali při popisu průniku přímek, zjevně respektuje operace sčítání a násobení s vektory a skaláry: F(r ■ v + s • w) = r • F(v) + s • F(w) pro všechny r, s 6 M, v, w £ M. . Říkáme, že F je lineární zobrazení z M2 do M2, a píšeme F : M2 —> M2. Obdobně, v rovnici pro přímku šlo o lineární zobrazení F : M2 —> M. a jeho předepsanou hodnotu c. Podmíněná pravděpodobnost oooooooooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOO»OOOOOOOOOOOOOa00DQ00E>OOOOOOOOOO< Přiřazení F, se kterým jsme pracovali při popisu průniku přímek, zjevně respektuje operace sčítání a násobení s vektory a skaláry: 9 v pro všechny r, s £ M, v, w G M . Říkáme, že F je lineární zobrazení z M2 do M2, a píšeme F : M2 —> M2. Obdobně, v rovnici pro přímku šlo o lineární zobrazení F : M2 —> M a jeho předepsanou hodnotu c. Stručně budeme zapisovat taková zobrazení pomocí matic a jejich násobení, které definujeme takto: F(r ■ v + s • w) = r • F (v) + s • F(w) Podmíněná pravděpodobnost oooooooooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOO»OOOOOOOOOOOOa00DQ00E>OOOOOOOOOO< Podobně, můžeme místo vektoru v zprava násobit jinou maticí B stejného rozměru jako je A. Prostě aplikujeme předchozí formule po jednotlivých sloupcích matice B a obrdržíme jako výsledek opět matice. Podmíněná pravděpodobnost oooooooooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOO»OOOOOOOOOOOOa00DQ00E>OOOOOOOOOO< Podobně, můžeme místo vektoru v zprava násobit jinou maticí B stejného rozměru jako je A. Prostě aplikujeme předchozí formule po jednotlivých sloupcích matice B a obrdržíme jako výsledek opět matice. Snadno ověříme tzv. asociativitu násobení: (A - B) ■ v = A - (B ■ v). Podmíněná pravděpodobnost oooooooooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOO»OOOOOOOOOOOOa00DQ00E>OOOOOOOOOO< Podobně, můžeme místo vektoru v zprava násobit jinou maticí B stejného rozměru jako je A. Prostě aplikujeme předchozí formule po jednotlivých sloupcích matice B a obrdržíme jako výsledek opět matice. Snadno ověříme tzv. asociativitu násobení: (A - B) ■ v = A - (B ■ v). Stejně snadno je vidět i distributivita A-(B + C) = A- B+ A- C, neplatí však komutativita a existují dělitelé nuly. Např. Vo oy'Vo i) ~ \o o)1 \o i)' [o o)~[p o)' Podmíněná pravděpodobnost oooooooooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOOO»OOOOOOOOOOOa00DQ00E>OOOOOOOOOO< Výrazu ad — bc říkáme determinant matice A a značíme jej detA = \A\, neboli detA a b c d ad — bc. Podmíněná pravděpodobnost oooooooooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOOO»OOOOOOOOOOOa00DQ00E>OOOOOOOOOO< Výrazu ad — bc říkáme determinant matice A a značíme jej detA = \A\, neboli detA a b c d ad — bc. Jestliže k výsledku lineárního zobrazení ještě dovolíme přičíst pevný vektor T = (x(7"),y(7")), tj. naše zobrazení bude y ^ A ■ v + T ax + by + x( 7") cx + dy + y(T) máme popsána právě všechna tzv. afinní zobrazení roviny do sebe. Známými příklady jsou všechny afinní podobnosti. Lineární zobrazení pak odpovídají těm afinním zobrazením, které zachovávají pevný bod O. Podmíněná pravděpodobnost oooooooooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOOOO#OOOOOOOOOO0G00Q03E>OOOOOOOOOO Přidejme nyní schopnost našeho pozorovatele vidět vzdálenosti. Pak lze definovat pojmy jako jsou úhel a otočení v rovině. <□! Ijl <|l I|> « 0<*0 Podmíněná pravděpodobnost oooooooooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOOOO»OOOOOOOOOOa00DQ00E>OOOOOOOOOO< Přidejme nyní schopnost našeho pozorovatele vidět vzdálenosti. Pak lze definovat pojmy jako jsou úhel a otočení v rovině. Jednoduše si to můžeme představit takto: pozorovatel se rozhodne o nějakých referenčních bodech E\ a E2, že jsou od něj ve vzdálenosti jedna, a zároveň si řekne, že jsou na sebe kolmé. Vzdálenosti ve směrech těchto bodů, tj. ve směrech souřadných os jsou dány příslušným poměrem, obecně používá Pythagorovu větu. Odtud vyjde známý vzorec pro velikost vektoru v = (a, b) \\v\\ = \J a2 + b2. Podmíněná pravděpodobnost oooooooooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOOOO»OOOOOOOOOOa00DQ00E>OOOOOOOOOO< Přidejme nyní schopnost našeho pozorovatele vidět vzdálenosti. Pak lze definovat pojmy jako jsou úhel a otočení v rovině. Jednoduše si to můžeme představit takto: pozorovatel se rozhodne o nějakých referenčních bodech E\ a E2, že jsou od něj ve vzdálenosti jedna, a zároveň si řekne, že jsou na sebe kolmé. Vzdálenosti ve směrech těchto bodů, tj. ve směrech souřadných os jsou dány příslušným poměrem, obecně používá Pythagorovu větu. Odtud vyjde známý vzorec pro velikost vektoru v = (a, b) \\v\\ = \J a2 + b2. Jiný možný postup by byl, kdyby pozorovatel vyšel z pojmu vzdálenost (a věděl, co znamená být kolmý, třeba díky Pythagorově větě), zvolil první z vektorů velikosti jedna, zvolil si orientaci (třeba proti směru hodinových ručiček) a vybral jednotkový kolmý směr (jednoznačně určí z požadavku platnosti Pythagorovy věty třeba pomocí pravoúhlého trojúhelníku se stranami o velikostech 3, 4 a 5). Podmíněná pravděpodobnost oooooooooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOOOOO«OOOOOOOOOa00DQ00E>OOOOOOOOOO< Úhel tp dvou vektorů v, w vyjadřujeme pomocí goniometrické funkce cosOOOOOOOOOO< Úhel tp dvou vektorů v, w vyjadřujeme pomocí goniometrické funkce cosOOOOOOOOOO< Příkladem lineárního zobrazení, které zachovává velikosti, je rotace kolem počátku O o předem daný úhel ip. Je dána formulí s maticí R^: v=(X)^R,-v=(C°^ (*). \Y) \s\x\ip cosip J \yJ Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Rovina geometrie Relace a zobrazení oooooooooo oooo oooooooooo»ooooooooaaraoooooooooooo< Příklady lineárních zobrazení Příkladem lineárního zobrazení, které zachovává velikosti, je rotace kolem počátku O o předem daný úhel ip. Je dána formulí s maticí R^: x\ ícosip — s\nip\ íx y J ^ ysmip cosip J \y Aplikací na jednotkový vektor (1,0) dostáváme skutečně právě očekávaný výsledek (cos-;/;, sin tp). Podmíněná pravděpodobnost oooooooooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOOOOOOO«OOOOOOOa00DQ00E>OOOOOOOOOO< Rotaci kolem jiného bodu P = O + w, snadno napíšeme formulí s pomocí posunutí: = v i—y v — w i—y R,ij, • (v — w/) i—> ■ (v — w) + w 'cos-í/>(x — x(m/)) — sin ip{y — y{w)) + x(m/)n vsin ip(x — x(w)) + cos-í/>(y — y{w)) + y{w)/ Podmíněná pravděpodobnost oooooooooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOOOOOOOO»OOOOOOa00DQ00E>OOOOOOOOOO< Dalším příkladem je tzv. zrcadlení vzhledem k přímce. Opět nám bude stačit popsat zrcadlení vzhledem k přímkám procházejícím počátkem O a ostatní se z nich odvodí pomocí translací. Hledáme matici zrcadlení vzhledem k přímce s jednotkovým směrovým vektorem v svírajícím úhel ip s vektorem (1,0). Např. a obecně můžeme psát (otočíme do nulové polohy, odzrcadlíme a vrátíme zpět) Podmíněná pravděpodobnost oooooooooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOOOOOOOOO»OOOOOa00DQ00E>OOOOOOOOOO< Díky asociativitě násobení matic spočteme: cos-;/; — sin-í/A fl 0\ / cosip sin-0N sin-0 cosvp j \0 —lj \— sin-0 cos-;/;, cosip — sin-í/A / cosip sin-;/;' sin -0 cosvp j \— sintp cosvpy cos2 ip — sin2 ip 2 sin ip cosip 2 si n ip cos ip — (cos2 V> — sin2 ip) cos 2-0 sin 2-0 sin 2-0 —cos 2-0 Podmíněná pravděpodobnost oooooooooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOOOOOOOOOO»OOOOOD0DQ00E>OOOOOOOOOO< Povšimněme si také, že _ /cos2V> sin 2^ \ (1 0 \ _ /cos2V> -sin2V>\ ^ ' °~\vsin2V' -cos2V>y V° -l) ~ \sm2ý cos2V> J ' To lze zformulovat jako Věta Otočení o úhel ip obdržíme následným provedením dvou zrcadlení vzhledem ke směrům, které spolu svírají úhel ^ip. Podmíněná pravděpodobnost oooooooooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOOOOOOOOOO»OOOOa00DQ00E>OOOOOOOOOO< í\ 0 \ _ /cos2V> -sin2V>\ Věta Otočení o úhel ip obdržíme následným provedením dvou zrcadlení vzhledem ke směrům, které spolu svírají úhel ^tp. Pokud umíme odůvodnit předchozí tvrzení ryze geometrickou úvahou (zkuste), pak jsme takto dokázali standardní formule pro goniometrické funkce dvojnásobného úhlu (též lze snadno odvodit pomocí Moivreovy věty pro komplexní čísla). Povšimneme si take, ze /cos 2-0 sin 2-0 ^ 0=Vsin2V -cos2V To lze zformulovat jako Podmíněná pravděpodobnost oooooooooo Použití Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOOOOOOOOOOO»OOOa00DQ00E>OOOOOOOOOO< path p[]; pair k[]; picture krychle,obrys; u:=3cm;d:=u/5; zl=origin;z2=(d,0);z3=(d,d);z4=(0,d); transform T; T = identity shifted ((sqrt(2)/4)*(d,d)); z5=z2 transformed T; z6=z3 transformed T; z7=z4 transformed T; kl=origin;k2=kl transformed T;k3=k2 shifted (d,0); k4=k3 transformed T; k5=k4 shifted (d,0); pl — zl-z2-z3-z4-cycle; p2 — z2-z5-z6-z3-cycle; p3 — z3-z6- z7-z4-cycle; krychle:=nullpicture; addto krychle contour pl withcolor white; addto krychle contour p2 withcolor .4[white,black]; addto krychle contour p3 withcolor .2[white,black]; draw krychle shifted k4; draw krychle shifted k5; draw krychle shifted k2; draw krychle shifted k3; draw krychle shifted kl; 4Ľ3k4l3*4 = k4 = * ^ -O^O Podmíněná pravděpodobnost oooooooooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOOOOOOOOOOOO»OOa00DQ00E>OOOOOOOOOO< Viz též http://www.tlhiv.org/mppreview/ Podmíněná pravděpodobnost oooooooooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení ooooooooooooooooo»ocototjdoooooooooo< Obsah trojúhelníka Závěrem úvodního výletu do geometrie se zaměřme na pojem obsah. Trojúhelník je vymezen dvojicí vektorů v a w, které přiloženy do počátku O zadají zbylé dva vrcholy. Chtěli bychom tedy najít formuli (skalární funkci vol), která dvěma vektorům přiřadí číslo rovné obsahu vol A(v, w) takto definovaného trojúhelníku A(v, w). Ze zadání je vidět, že by mělo platit vol A(v + v', w) = vol A(v, w) + vol A(v', w) vol A(av, w) = a vol A(v, w) Podmíněná pravděpodobnost oooooooooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOOOOOOOOOOOOO»Oa00DQ00E>OOOOOOOOOO< Závěrem úvodního výletu do geometrie se zaměřme na pojem obsah. Trojúhelník je vymezen dvojicí vektorů v a w, které přiloženy do počátku O zadají zbylé dva vrcholy. Chtěli bychom tedy najít formuli (skalární funkci vol), která dvěma vektorům přiřadí číslo rovné obsahu vol A(v, w) takto definovaného trojúhelníku A(v, w). Ze zadání je vidět, že by mělo platit který odpovídá představě, že opatříme plochu znaménkem podle toho, v jakém pořadí bereme vektory. vol A(v + v', w) = vol A(v, w) + vol A(v', w) vol A(av, w) = a vol A(v, w) a přidejme požadavek vol A(v, w) vol A(w/, v) Podmíněná pravděpodobnost oooooooooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOOOOOOOOOOOOOO»OD0DQ00E>OOOOOOOOOO< Pokud vektory v a w napíšeme do sloupců matice A, pak A = (v, w) 1-» detA splňuje všechny tři naše požadavky. Kolik takových zobrazení ale může být? Podmíněná pravděpodobnost oooooooooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOOOOOOOOOOOOOO»a00DQ00E>OOOOOOOOOO< Pokud vektory v a w napíšeme do sloupců matice A, pak A = (v, w) 1-» detA splňuje všechny tři naše požadavky. Kolik takových zobrazení ale může být? Každý vektor umíme vyjádřit pomocí dvou souřadných vektorů v = (1, 0) a w = (0,1) a evidentně tedy každá možnost pro vol A je jednoznačně určena už vyčíslením na této jediné dvojici argumentů (v, w). Jsou si tedy všechny možnosti rovny až na skalární násobek. Ten umíme určit požadavkem volA((l,0),(0,l)) = Í tj. volíme orientaci a měřítko. Podmíněná pravděpodobnost oooooooooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOOOOOOOOOOOOOO»a00DQ00E>OOOOOOOOOO< Pokud vektory v a w napíšeme do sloupců matice A, pak A = (v, w) 1-» detA splňuje všechny tři naše požadavky. Kolik takových zobrazení ale může být? Každý vektor umíme vyjádřit pomocí dvou souřadných vektorů v = (1, 0) a w = (0,1) a evidentně tedy každá možnost pro vol A je jednoznačně určena už vyčíslením na této jediné dvojici argumentů (v, w). Jsou si tedy všechny možnosti rovny až na skalární násobek. Ten umíme určit požadavkem volA((l,0),(0,l)) = Í tj. volíme orientaci a měřítko. Vidíme tedy, že determinant zadává plochu rovnoběžníka určeného sloupci matice A (a plocha trojúhelníku je tedy poloviční). Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Rovina geometrie Relace a zobrazení oooooooooo oooo ooooooooooooooooooo«nraoooooooooooo< Obsah mnohoúhelníka Mnohoúhelník rozdělíme na trojúhelníky, jejichž obsahy sečteme (tzv. triangulace promyslete si, že je to vždy - i u nekonvexních -možné). Poznámka Úloha o hlídačích v galerii - je možné obarvit vrcholy každé triangulace n-úhelníka 3 barvami tak, že žádné 2 sousední nemají tutéž barvu (indukcí). Podmíněná pravděpodobnost oooooooooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení oooooooooooooooooooodioqoodooooooooooc Předchozí popis hodnot pro orientovaný objem nám dává do rukou elegantní nástroj pro určování viditelnosti orientovaných úseček. Orientovanou úsečkou rozumíme dva body v rovině M2 s určeným pořadím. Můžeme si ji představovat jako šipku od prvého k druhému bodu. Taková orientovaná úsečka nám rozděluje rovinu na dvě poloroviny, říkejme jim levou a pravou. Podmíněná pravděpodobnost oooooooooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOOOOOOOOOOOOOOO(M0QGTOOOOOOOOOOO< Předchozí popis hodnot pro orientovaný objem nám dává do rukou elegantní nástroj pro určování viditelnosti orientovaných úseček. Orientovanou úsečkou rozumíme dva body v rovině M2 s určeným pořadím. Můžeme si ji představovat jako šipku od prvého k druhému bodu. Taková orientovaná úsečka nám rozděluje rovinu na dvě poloroviny, říkejme jim levou a pravou. Jestliže uvažujeme obvyklou orientaci proti směru hodinových ručiček pro hranici mnohoúhelníka, pak pozorovatel stojící vně takového mnohoúhelníka některé jeho hrany vidí a některé nevidí. Pokud je daný mnohoúhelník konvexní, tj. jeho hrany zatáčejí pouze doleva, potom pozorovatel vidí právě ty hrany (orientované úsečky), od nichž je napravo. Podmíněná pravděpodobnost oooooooooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOOOOOOOOOOOOOOOa00DW0E>OOOOOOOOOO< Je-li AB vektor takové orientované úsečky, potom pro bod C ležící napravo od ní platí, že vektory CA = A — C a CB = B — C, které směřují z bodu C do bodů A a B, jsou vzájemně orientovány v záporném směru, a proto je jejich jejich vol A(ČA, ČB) < 0, úsečku AB z bodu C vidíme. Naopak, pro bod C ležící nalevo od AB platí, že vol A(G4, CB) > 0, úsečku AB z bodu C nevidíme. Protože je funkce vol A pouze kladným násobkem funkce det/4, kde sloupce matice A jsou vektory CA, CB v tomto pořadí, stačí pouze sledovat znaménka příslušných determinantů. Pro konvexní mnohoúhelník nastanou zřejmě právě 2 znaménkové změny v posloupnosti těchto determinantů. Podmíněná pravděpodobnost oooooooooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOOOOOOOOOOOOOOOa00DW0E>OOOOOOOOOO< Je-li AB vektor takové orientované úsečky, potom pro bod C ležící napravo od ní platí, že vektory CA = A — C a CB = B — C, které směřují z bodu C do bodů A a B, jsou vzájemně orientovány v záporném směru, a proto je jejich jejich vol A(ČA, ČB) < 0, úsečku AB z bodu C vidíme. Naopak, pro bod C ležící nalevo od AB platí, že vol A(G4, CB) > 0, úsečku AB z bodu C nevidíme. Protože je funkce vol A pouze kladným násobkem funkce det/4, kde sloupce matice A jsou vektory CA, CB v tomto pořadí, stačí pouze sledovat znaménka příslušných determinantů. Pro konvexní mnohoúhelník nastanou zřejmě právě 2 znaménkové změny v posloupnosti těchto determinantů. Uvedený jednoduchý postup je často využíván pro testování polohy při standardních úlohách v 2D (a podobně pro příslušnou funkci vol v 3D) grafice. Podmíněná pravděpodobnost oooooooooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOODQOIOOOOOOOOOOO< Příklad Určete, které hrany jsou vidět z bodu C = [2,0] pro čtyřúhelník daný vrcholy ^ = [0,0], 6 = [2,1], D = [3,3], E = [1,4]. Podmíněná pravděpodobnost oooooooooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOODQOIOOOOOOOOOOO< Příklad Určete, které hrany jsou vidět z bodu C = [2,0] pro čtyřúhelník daný vrcholy ^ = [0,0], 6 = [2,1], D = [3,3], E = [1,4]. Body jsou již seřazeny v kladném směru a tvoří konvexní čtyřúhelník. Vypočítáme příslušné determinanty \A-C,B-C\ = \D- C,E - C\ = Pororovatel v bodě -2 0 0 1 1 -1 3 4 = -2, \B — C, D — C = 7,|E- C,A- C\ ~- C tedy vidí pouze první dvě hrany: AB a BD. Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOOOOOO OOOO OOOOOOOOOOOOOOOOOOOODODODODOOOOOOOOOOíj Plán přednášky q Podmíněná pravděpodobnost q Geometrická pravděpodobnost q Rovina geometrie • Afinní rovina • Lineární zobrazení a matice • Euklidovská rovina a Obsah trojúhelníka • Viditelnost v rovině Q Relace a zobrazení • Relace na množině • Rozklad podle ekvivalence Podmíněná pravděpodobnost oooooooooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení oooooooooooooooooooOOOOOOOOOO< Speciálním případem relace mezi množinami je zobrazení z množiny A do množiny B. Je to případ, kdy pro každý prvek definičního oboru relace existuje právě jeden prvek z oboru hodnot, který je s ním v relaci. Nám známým případem zobrazení jsou všechny skalární funkce, kde oborem hodnot zobrazení je množina skalárů, třeba celých nebo reálných čísel. Pro zobrazení zpravidla používáme značení, které jsme také u skalárních funcí zavedli. Píšeme f:Dc/l4/c B,f(a) = b pro vyjádření skutečnosti, že (a, b) patří do relace, a říkáme, že b je hodnotou zobrazení f v bodě a. Podmíněná pravděpodobnost oooooooooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOOOOOOOOOOOOOOO000D0W>OOOOOOOOOO< Dále říkáme, že f je • zobrazení množiny A do množiny B, jestliže je D = A, • zobrazení množiny A na množinu B, jestliže je D = A a I = B, často také surjektivní zobrazení • injektivní zobrazení, jestliže je D = A a pro každé b G / existuje právě jeden vzor a G A, f (a) = b. Vyjádření zobrazení f : A —^ B jakožto relace f c A x B, f = {(a, f (a)); a G Ä} známe také pod názvem graf zobrazení f. Podmíněná pravděpodobnost oooooooooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení oooooooooooooooooooaooDoa»oooooooooo< U zobrazení je jasná koncepce, jak se skládají. Máme-li zobrazení f: A^-Bag: B^-C, pak jejich složení g o f je definováno (gof)(a) = g(f(a)). Podmíněná pravděpodobnost oooooooooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOD0DQ0»OOOOOOOOOO< U zobrazení je jasná koncepce, jak se skládají. Máme-li zobrazení f: A^-Bag: B^-C, pak jejich složení g o f je definováno (gof)(a) = g(f(a)). Ve značení používaném pro relace totéž můžeme zapsat jako fcAxB, f = {{aj{a));a e A} gcBxC, g = {(b,g(b));be B} gofcAxC, gof = {{a,g{f{a)));aeA}. Podmíněná pravděpodobnost oooooooooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOOOOOOOOOOOOOOOa00DQ00E>»OOOOOOOOO< Zcela obdobně definujeme skládání relací, v předchozích vztazích jen doplníme existenční kvantifikátory, tj. musíme uvažovat všechny vzory a všechny obrazy.Uvažme relace R c A x B, S C B x C. Potom S o R c A x C, So R = {(a, c); 3b G B, (a, b) G R, (b, c) G S}. Zvláštním případem relace je identické zobrazení \dA = {{a, a) G A x A; a G A} na množině A. Je neutrální vzhledem ke skládání s každou relací s definičním oborem nebo oborem hodnot A. Podmíněná pravděpodobnost oooooooooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOOOOOOOOOOOOOOOa00DQ00E>O»OOOOOOOO< Pro každou relaci R c A x B definujeme inverzní relaci R-1 = {(/,, a); (a, b) G R} C B x A. Pozor, u zobrazení, je stejný pojem užíván ve specifičtější situaci. Samozřejmě, že existuje pro každé zobrazení jeho invezní relace, ta však nemusí být zobrazením. Zcela logicky proto hovoříme o existenci inverzního zobrazení, pokud každý prvek b G B je obrazem pro právě jeden vzor v A. V takovém případě je samozřejmě inverzní zobrazení právě inverzní relací. Podmíněná pravděpodobnost oooooooooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOOOOOOOOOOOOOOOa00DQ00E>O»OOOOOOOO< Pro každou relaci R d A x B definujeme inverzní relaci R-1 = {(/,, a); (a, b) G R} C B x A. Pozor, u zobrazení, je stejný pojem užíván ve specifičtější situaci. Samozřejmě, že existuje pro každé zobrazení jeho invezní relace, ta však nemusí být zobrazením. Zcela logicky proto hovoříme o existenci inverzního zobrazení, pokud každý prvek b G B je obrazem pro právě jeden vzor v A. V takovém případě je samozřejmě inverzní zobrazení právě inverzní relací. Všimněme si, že složením zobrazení a jeho inverzního zobrazení (pokud obě existují) vždy vznikne identické obražení, u obecných relací tomu tak být nemusí. Podmíněná pravděpodobnost oooooooooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení ooooooooooooooooooocototjdoo»ooooooo< Definice V případě a = b hovoříme o relaci na množině a. Říkáme, že r je: • reflexivní, pokud id^ c r (tj. (a, a) 6 r pro všechny a 6 a), • symetrická, pokud Z?-1 = /? (tj. pokud (a,b) £ /?, pak i (Ď,a) G /?), » antisymetrická, pokud Z?-1 n /? C id^ (tj. pokud (a,b) £ /? a zároveň (fa, a) 6 /?, pak a = fa), « tranzitivní, pokud r o /? c r, tj. pokud z (a, fa) £ /? a (fa, c) 6 /? vyplývá i (a, c) £ /?. Relace se nazývá ekvivalence, pokud je současně reflexivní, symetrická i tranzitivní. Relace se nazývá uspořádání jestliže je reflexivní, tranzitivní a antisymetrická. Podmíněná pravděpodobnost oooooooooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOOOOOOOOOOOOOOOa00DQ00E>OOO»OOOOOO< Dobrým příkladem uspořádání je inkluze. Uvažme množinu 2A všech podmnožin konečné množiny A (značení je speciálním případem obvyklé notace BA pro množinu všech zobrazení A —> B) a na ní relací X c Z danou vlastností být podmnožinou. Evidentně jsou splněny všechny tři vlastnosti pro uspořádání: skutečně, je-li X c Y a zároveň Y c X musí být nutně množiny X a Y stejné. Je-li X c V C Z je také X c Z a také reflexivita je zřejmá. Podmíněná pravděpodobnost oooooooooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOOOOOOOOOOOOOOOa00DQ00E>OOO»OOOOOO< Dobrým příkladem uspořádání je inkluze. Uvažme množinu 2A všech podmnožin konečné množiny A (značení je speciálním případem obvyklé notace BA pro množinu všech zobrazení A —> B) a na ní relací X c Z danou vlastností být podmnožinou. Evidentně jsou splněny všechny tři vlastnosti pro uspořádání: skutečně, je-li X c Y a zároveň Y c X musí být nutně množiny X a Y stejné. Je-li X c V C Z je také X c Z a také reflexivita je zřejmá. Říkáme, že uspořádání je úplné, když pro každé dva prvky platí že jsou srovnatelné, tj. bud' a < b nebo b < a. Všimněme si, že ne všechny dvojice (X, Y) podmnožin v A jsou srovnatelné v tomto smyslu. Přesněji, pokud je v A více než jeden prvek, existují podmnožiny X a Y, kdy není ani X c Y ani Y C X. Podmíněná pravděpodobnost oooooooooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOOOOOOOOOOOOOOOa00DQ00E>OOOO»OOOOO< Připomeňme rekurentní definici přirozených čísel N = {0,1,2,3,...}, kde 0 = 0, n + 1 = {0,1,2,...,/)}. Definujeme relaci m < n právě, když m £ n. Evidentně jde o úplné uspořádání. Např. 2 < 4, protože 2 = {0,{0}} C {0, {0}, {0, {0}},{0,{0},{0,{0}}}} = 4. Jinak řečeno, samotná rekurentní definice zadává vztah n < n + 1 a tranzitivně pak n < k pro všechna k, která jsou tímto postupem definována později. Podmíněná pravděpodobnost oooooooooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOOOOOOOOOOOOOOOa00DQ00E>OOOOO«OOOO< Každá ekvivalence R na množině A zadává zároveň rozklad množiny A na podmnožiny vzájemně ekvivalentních prvků, tzv. třídy ekvivalance. Klademe pro libovolné a G A Ra = {be A; {a, b) G A}. Často budeme psát pro Ra prostě [a], je-li z kontextu zřejmé, o kterou ekvivalenci jde. Podmíněná pravděpodobnost oooooooooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOOOOOOOOOOOOOOOa00DQ00E>OOOOO«OOOO< Každá ekvivalence R na množině A zadává zároveň rozklad množiny A na podmnožiny vzájemně ekvivalentních prvků, tzv. třídy ekvivalance. Klademe pro libovolné a G A Ra = {be A; {a, b) G A}. Často budeme psát pro Ra prostě [a], je-li z kontextu zřejmé, o kterou ekvivalenci jde. Zjevně Ra = Rt, právě, když (a, b) G R a každá taková podmnožina je tedy reprezentována kterýmkoliv svým prvkem, tzv. reprezentantem. Zároveň Ra n /?£, 7^ 0 právě, když Ra = Rt,, tj. třídy ekvivalence jsou po dvou disjunktní. Konečně, A = Uae^/?a, tj. celá množina A se suktečně rozloží na jednotlivé třídy. Můžeme také třídám rozkladu rozumět tak, že třídu [a] vnímáme jako prvek a až na ekvivalenci. Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOOOOOO OOOO OOOOOOOOOOOOOOOOOOOanj0BDOOOOOO»OOO< Příklad - konstrukce celých čísel Na přirozených číslech umíme sice sčítat a víme, že přičtením nuly se číslo nezmění. Umíme i definovat odečítání, při něm ale jen někdy existuje výsledek. Na přirozených číslech umíme sice sčítat a víme, že přičtením nuly se číslo nezmění. Umíme i definovat odečítání, při něm ale jen někdy existuje výsledek. Základní ideou konstrukce celých čísel z přirozených je tedy přidat k nim chybějící rozdíly. To můžeme udělat tak, že místo výsledku odečítání budeme pracovat s uspořádanými dvojicemi čísel, které nám samozřejmě vždy výsledek dobře reprezentují. Zbývá jen dobře definovat, kdy jsou (z hlediska výsledku odečítání) takové dvojice ekvivalentní. Potřebný vztah tedy je: (a, fa) ~ (a', Z/) a-b = a'-b' a + b' = a' + b. Všimněme si, že zatímco výrazy v prostřední rovnosti v přirozených číslech neumíme, výrazy v pravo už ano. Snadno ověříme, že skutečně jde o ekvivalenci a její třídy označíme jako celá čísla Z. Podmíněná pravděpodobnost oooooooooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOOOOOOOOOOOOOOOa00DQ00E>OOOOOOO«OO< Na třídách ekvivalence definujeme operaci sčítání (a s ní i odečítání) pomocí reprezentantů. Např. [(a, b)] + [(c,d)] = [(a + c,b + d)], což zjevně nezávisí na výběru reprezentantů. Lze si přitom vždy volit reprezentanty (a, 0) pro kladná čísla a reprezentanty (0, a) pro čísla záporná, se kterými se nám bude patrně počítat nejlépe. Podmíněná pravděpodobnost oooooooooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOOOOOOOOOOOOOOOa00DQ00E>OOOOOOO«OO< Na třídách ekvivalence definujeme operaci sčítání (a s ní i odečítání) pomocí reprezentantů. Např. [(a, b)] + [(c,d)] = [(a + c,b + d)], což zjevně nezávisí na výběru reprezentantů. Lze si přitom vždy volit reprezentanty (a, 0) pro kladná čísla a reprezentanty (0, a) pro čísla záporná, se kterými se nám bude patrně počítat nejlépe. Tento jednoduchý přklad ukazuje, jak důležité je umět nahlížet na třídy ekvivalence jako na celistvý objekt a soustředit se na vlastnosti těchto objektů, nikoliv formální popisy jejich konstrukcí. Ty jsou však důležité k ověření, že takové objekty vůbec existují. Podmíněná pravděpodobnost oooooooooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOOOOOOOOOOOOOOOa00DQ00E>OOOOOOOO»O< U celých čísel nám už platí všechny vlastnosti skalárů (KG1)-(KG4) a (01)-(04), z popisu vlastností skalárů. Pro násobení je neutrálním prvkem jednička, ale pro všechna čísla a různá od nuly a jedničky neumíme najít číslo a-1 s vlastností a • a-1 = 1, tzn. chybí nám inverzní prvky. Zároveň si povšimněte, že platí vlastnost oboru integrity (Ol), tzn. je-li součin dvou čísel nulový, musí být alespoň jedno z nich nula. Podmíněná pravděpodobnost oooooooooo Geometrická pravděpodobnost oooo Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOOOOOOOOOOOOOOOa00DQ00E>OOOOOOOO»O< U celých čísel nám už platí všechny vlastnosti skalárů (KG1)-(KG4) a (01)-(04), z popisu vlastností skalárů. Pro násobení je neutrálním prvkem jednička, ale pro všechna čísla a různá od nuly a jedničky neumíme najít číslo a-1 s vlastností a • a-1 = 1, tzn. chybí nám inverzní prvky. Zároveň si povšimněte, že platí vlastnost oboru integrity (Ol), tzn. je-li součin dvou čísel nulový, musí být alespoň jedno z nich nula. Díky poslední jmenované vlastnosti můžeme zkonstruovat racionální čísla Q přidáním všech chybějících inverzí zcela obdobným způsobem, jak jsme konstruovali Z z N. Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Rovina geometrie Relace a zobrazení OOOOOOOOOO OOOO OOOOOOOOOOOOOOOOOOOanjOBDOOOOOOOOO»< Příklad - konstrukce racionálních čísel Na množině uspořádaných dvojic (p,q), q 7^ 0, celých čísel definujeme relaci ~ tak, jak očekáváme, že se mají chovat podíly p/q- (p, q) ~ (p', q') p/q = p'/q' p ■ q' = p' ■ q. Na množině uspořádaných dvojic (p,q), q 7^ 0, celých čísel definujeme relaci ~ tak, jak očekáváme, že se mají chovat podíly Opět neumíme očekávané chování v prostřední rovnosti v množině Z formulovat, nicméně rovnost na pravé straně ano. Zjevně jde o dobře definovanou relaci ekvivalence (ověřte podrobnosti!) a racionální čísla jsou pak její třídy ekvivalence. Když budeme formálně psát p/q místo dvojic (p,q), budeme definovat operace násobení a sčítání právě pomocí formulí, které nám jsou jistě dobře známy. P/fT- pl q = p1 I q' p-q = p ■ q- Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Rovina geometrie Relace a zobrazení oooooooooo oooo oooooooooooooooooooaaraoooooooooooo< Příklad - zbytkové třídy Jiným dobrým a jednoduchým příkladem jsou tzv. zbytkové třídy celých čísel. Pro pevně zvolené přirozené číslo k definujeme equivalenci ~^ tak, že dvě čísla a, b G Z jsou ekvivalentní, jestliže jejich zbytek po dělení číslem k je stejný. Výslednou množinu tříd ekvivalence označujeme Z^. Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Rovina geometrie Relace a zobrazení oooooooooo oooo oooooooooooooooooooaaraoooooooooooo< Příklad - zbytkové třídy Jiným dobrým a jednoduchým příkladem jsou tzv. zbytkové třídy celých čísel. Pro pevně zvolené přirozené číslo k definujeme equivalenci ~^ tak, že dvě čísla a, b G Z jsou ekvivalentní, jestliže jejich zbytek po dělení číslem k je stejný. Výslednou množinu tříd ekvivalence označujeme Z^. Nejjednodušší je tato procedura pro k = 2. To dostáváme Z2 = {0,1}, kde nula reprezentuje sudá čísla, zatímco jednička čísla lichá. Opět lze snadno zjistit, že pomocí reprezentantů můžeme definovat násobení a sčítání. Zkuste si ověřit, že výsledná množina skalárů je komutativním tělesem (tj. splňuje i vlastnost (P) pole) právě když je k prvočíslo.