Vektory ooooo Matice nad skaláry oooooooooooooooooo Ekvivalentní úpravy matic ooooooooooooo Lineární závislost OOOOO 1 Matematika I - 5. přednáška Elementární lineární algebra - Vektory a matice ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 19. 3. 2012 Vektory Matice nad skaláry Ekvivalentní úpravy matic Lineární' závislost ooooo oooooooooooooooooo ooooooooooooo ooooo Obsah přednášky 0 Vektory Q Matice nad skaláry • Lineární rovnice a jejich soustavy Q Ekvivalentní úpravy matic Q Lineární závislost Vektory Matice nad skaláry Ekvivalentní úpravy matic Lineárni z; ívislost ooooo oooooooooooooooooo ooooooooooooo OOOOO Doporu čené zdroje • Martin Panák, Jan Slovák - Drsná matematika, e-text. • Roman Hilscher - MB101, e-text. • Slidy z přednášek a democvičení Vektory Matice nad skaláry Ekvivalentní úpravy matic Lineární závislost ooooo oooooooooooooooooo ooooooooooooo ooooo Doporučené zdroje • Martin Panák, Jan Slovák - Drsná matematika, e-text. • Roman Hilscher - MB101, e-text. • Slidy z přednášek a democvičení • Pavel Horák, Úvod do lineárni algebry, MU Brno, skripta (http://www.math.muni.cz/~horak) • Luboš Motl, Miloš Zahradník, Pěstujeme lineární algebru, 3. vydání, Univerzita Karlova v Praze, Karolinum, 348 stran (elektronické vydání také na http://www. kolej, mff.cuni.cz/~lmotm275/skripta/). Vektory Matice nad skaláry Ekvivalentní úpravy matic Lineární závislost ooooo oooooooooooooooooo ooooooooooooo ooooo Plán přednášky 0 Vektory 0 Matice nad skaláry • Lineární rovnice a jejich soustavy Q Ekvivalentní úpravy matic Q Lineární závislost Vektory •oooo Matice nad skaláry oooooooooooooooooo Ekvivalentní úpravy matic ooooooooooooo Lineární závislost ooooo Definice Symbolem K budeme nadále značit nějakou množinu skalárů (obvykle M nebo C). Prozatím budeme vektorem rozumět uspořádanou n-tici skalárů, kde pevně zvolené n G N budeme nazývat dimenzí. Vektory •oooo Matice nad skaláry oooooooooooooooooo Ekvivalentní úpravy matic ooooooooooooo Lineární závislost ooooo Definice Symbolem K budeme nadále značit nějakou množinu skalárů (obvykle M nebo C). Prozatím budeme vektorem rozumět uspořádanou n-tici skalárů, kde pevně zvolené n G N budeme nazývat dimenzí. Sčítání vektorů definujeme po složkách (skaláry samozřejmě sčítat umíme) u + v = (ui + 1/1,..., un + vn) Vektory •oooo Matice nad skaláry oooooooooooooooooo Ekvivalentní úpravy matic ooooooooooooo Lineární závislost ooooo Definice Symbolem K budeme nadále značit nějakou množinu skalárů (obvykle M nebo C). Prozatím budeme vektorem rozumět uspořádanou n-tici skalárů, kde pevně zvolené n G N budeme nazývat dimenzí. Sčítání vektorů definujeme po složkách (skaláry samozřejmě sčítat umíme) u + v = (ui + 1/1,..., un + vn) a násobení vektoru u = (ui,..., un) skalárem a definujeme tak, že každý prvek n-tice u vynásobíme skalárem a (skaláry v K násobit umíme), tj. a - u = a - (ui, ...,un) = (a-u1,...,a- un). Vektory Matice nad skaláry Ekvivalentní úpravy matic Lineárni z; ívislost o»ooo oooooooooooooooooo ooooooooooooo ooooo Pro vektory a jejich sčítaní zjevně platí axiomy komutativní grupy s nulovým prvkem 0 = (0,...,0) G K". Zámerne zde používame pro nulový prvek stejný symbol jako pro nulový prvek skalárů. Vektory o»ooo Matice nad skaláry oooooooooooooooooo Ekvivalentní úpravy matic ooooooooooooo Lineární závislost ooooo Pro vektory a jejich sčítaní zjevně platí axiomy komutativní grupy s nulovým prvkem 0 = (0,...,0) G K". Zámerne zde používame pro nulový prvek stejný symbol jako pro nulový prvek skalárů. Konvence značení Podobně budeme pro sčítání a násobení používat stále stejný symbol (plus a bud' tečku nebo prosté zřetězení znaků). Navíc nebudeme používat pro vektory žádné speciální značení, a ponecháváme na čtenáři aby udržoval svoji pozornost přemýšlením o kontextu. Pro skaláry ale spíše budeme používat písmena ze začátku abecedy a pro vektory od konce (prostředek nám zůstane na indexy proměných a pro použití v součtech). Vektory Matice nad skaláry Ekvivalentní úpravy matic Lineární z svislost oo»oo oooooooooooooooooo ooooooooooooo ooooo Vlastnosti operací na vektorech Pro všechny vektory v, w G K" a skaláry a, b G K platí a ■ [v + w) = a ■ v + a ■ w (vi) (a + b)-v = a ■ v + b ■ v (V2) a-(b-v) = {a-b)-v (V3) 1 • v = v (V4) Vektory Matice nad skaláry Ekvivalentní úpravy matic Lineární závislost ooo»o oooooooooooooooooo ooooooooooooo ooooo Skalární součin reálných vektorů Skalární součin dvou vektorů u, v £ M" je reálné číslo n u-v = (tví,..., un)-(i/i, ...,vn) = uvv1+u2-v2-\-----\-un-vn = ^2 ui'vi- i=l Skalární součin lze tedy brát jako zobrazení • : 1" x 8" -> 8. Vektory Matice nad skaláry Ekvivalentní úpravy matic Lineární závislost ooo»o oooooooooooooooooo ooooooooooooo ooooo Skalární součin reálných vektorů Skalární součin dvou vektorů u, v £ M" je reálné číslo n u-v = (tví,..., un)-(i/i, ...,vn) = uvv1+u2-v2-\-----\-un-vn = ^2 ui'vi- i=l Skalární součin lze tedy brát jako zobrazení • : 1" x 8" -> 8. Příklad (1, 2,3) • (2, -3,1) = 1 • 2 + 2 • (-3) + 3-1 = 2- 6 + 3 =-1 Pozor! Nepleťte si násobení vektoru skalárem (tj. násobení vektoru číslem, kdy je výsledek opět vektor) se skalárním součinem (dvou vektorů, kdy je výsledek číslo)! Vektory Matice nad skaláry Ekvivalentní úpravy matic Lineárni z; ívislost oooo» oooooooooooooooooo ooooooooooooo OOOOO Pomocí skalárního součinu lze zjednodušit geometrický vztah pro úhel dvou vektorů u-v cos-0 = -———-, případně zavést pojem kolmosti mezi vektory, tj. u _L v pokud u ■ v = 0 (neboli cosip = 0, tj. ip = ^). Všimněte si, že pro velikost vektoru u = (ui,..., un) platí u\ + • • • + u% = u ■ u, neboli u ■ u = \\u\\2. Je-li dimenze obou vektorů 1, je zřejmě skalární násobení vektorů (= čísel) obyčejným násobením čísel. Vektory Matice nad skaláry Ekvivalentní úpravy matic Lineární závislost ooooo oooooooooooooooooo ooooooooooooo OOOOO Plán prednášky O Vektory Q Matice nad skaláry • Lineární rovnice a jejich soustavy Qi Ekvivalentní úpravy matic Q Lineární závislost <□> 3 O^O Vektory Matice nad skaláry Ekvivalentní úpravy matic Lineární z svislost OOOOO •ooooooooooooooooo ooooooooooooo ooooo Definice Maticí typu m/n nad skaláry K rozumíme obdélníkové schéma / 3n 3i2 • • • 3ln\ 321 322 • • • 32n \3f7?l 3m2 . . . 3mnJ kde 3ý- G K pro všechny 1 < / < m, 1 < j < n. Matici A s prvky 3ý- značíme také A = (ay). Vektory Matice nad skaláry Ekvivalentní úpravy matic Lineární z svislost ooooo •ooooooooooooooooo ooooooooooooo OOOOO Definice Maticí typu m/n nad skaláry K rozumíme obdélníkové schéma 3ln\ ämn J kde a,-,- G K pro všechny 1 < i < m, 1 < j < n. Matici A s prvky 3ý- značíme také A = (ay). (Řádkové) vektory (s/i, 3/2,..., a-,n) G K" nazýváme (/-té) řádky matice A / = 1,..., m, (sloupcové) vektory (sij, 32/,..., 3m/) G Km nazýváme (y'-té) sloupce matice A, j = l,...,n. ( a\\ 3i2 ... 321 322 • • • \ami am2 ■ ■■ Vektory Matice nad skaláry Ekvivalentní úpravy matic Lineární z svislost ooooo •ooooooooooooooooo ooooooooooooo OOOOO Definice Maticí typu m/n nad skaláry K rozumíme obdélníkové schéma 3ln\ ämn J kde a,-,- G K pro všechny 1 < i < m, 1 < j < n. Matici A s prvky 3ý- značíme také A = (ay). (Řádkové) vektory (s/i, 3/2,..., a-,n) G K" nazýváme (/-té) řádky matice A / = 1,..., m, (sloupcové) vektory (sij, 32/,..., 3m/) G Km nazýváme (y'-té) sloupce matice A, j = l,...,n. Matici můžeme také chápat jako zobrazení A : {1,..., m} x {!,...,/?} ->• K. / 3n 312 ••• 321 322 • • • \ami am2 ■ ■■ Vektory ooooo Matice nad skaláry o»oooooooooooooooo Ekvivalentní úpravy matic ooooooooooooo Lineární závislost OOOOO Matice typu l/n nebo n/l jsou vlastně právě vektory v Kn. Obecné matice lze však chápat jako vektory v Km'n, prostě zapomeneme na řádkování. Zejména tedy je definováno sčítání matic a násobení matic skaláry: A + B = {aij + bij), kde A = (ay), B = (by), a-A = (a.ay), kde A = (a/,-), a G K. Vektory Matice nad skaláry Ekvivalentní úpravy matic Lineárni z; ívislost ooooo o»oooooooooooooooo ooooooooooooo OOOOO Matice typu l/n nebo n/l jsou vlastně právě vektory v Kn. Obecné matice lze však chápat jako vektory v Km'n, prostě zapomeneme na řádkování. Zejména tedy je definováno sčítání matic a násobení matic skaláry: A + B = {aij + bij), kde A = (ay), B = (by), a-A = (a.ay), kde A = (a/,-), a G K. Dále pak matice -A = (-aiJ) se nazývá matice opačná k matici A. Vektory Matice nad skaláry Ekvivalentní úpravy matic Lineární závislost ooooo oo»ooooooooooooooo ooooooooooooo ooooo Konečně, matice /O ... 0\ Vo ... 0/ se nazýva nulová matice. Vektory Matice nad skaláry Ekvivalentní úpravy matic Lineární z svislost OOOOO oo»ooooooooooooooo ooooooooooooo OOOOO Konečně, matice /O ... 0\ Vo ... oj se nazýva nulová matice. Zapomenutím řádkování tak získáme následující tvrzení: Předpisy pro A + B, a ■ A, —A, 0 zadávají na množině všech matic typu m/n operace sčítání a násobení skaláry splňující axiomy (V1)-(V4). Vektory Matice nad skaláry Ekvivalentní úpravy matic Lineární závislost ooooo ooo»oooooooooooooo ooooooooooooo ooooo Lineárni rovnice a jejich soustav\ Lineární rovnice je rovnice typu ayxy + a2x2 H-----h anxn = b xy,..., xn jsou neznámé (též proměnné), ay,..., an, b jsou koeficienty. Vektory Matice nad skaláry Ekvivalentní úpravy matic Lineární závislost ooooo ooo»oooooooooooooo ooooooooooooo ooooo Lineárni rovnice a jejich soustav\ Lineární rovnice je rovnice typu ayxy + a2x2 H-----h anxn = b xy,..., xn jsou neznámé (též proměnné), ay,..., an, b jsou koeficienty. Příklad Rovnice (a) 2xy + 3X2 — *3 = 1 je lineární, (b) 2xy + ax| — X3 = 1 není lineární, (c) 2xy + 3x2X3 — X3 = 1 není lineární, (d) 2xy — X3 = 1 je lineární. Vektory Matice nad skaláry Ekvivalentní úpravy matic Lineární závislost ooooo oooo»ooooooooooooo ooooooooooooo ooooo Maticový zápis systémů lineárních rovnic Matice lze vhodně využít pro zápis lineárních rovnic. Uvažme následující systém m rovnic o n neznámých: aiixi + 3i2X2 H-----h alnxn = yi 321X1 + 322X2 H-----h 32nX„ = y2 3mlXl + 3m2X2 + • • • + amnXn = ym. Posloupnost xi,... ,xn lze chápat jako vektor proměnných, tj. sloupec v matici typu n/l, a podobně s hodnotami yi,... ,yn Vektory Matice nad skaláry Ekvivalentní úpravy matic Lineární z svislost OOOOO ooooo^oooooooooooo ooooooooooooo OOOOO Systém rovnic lze pak formálně psát ve tvaru A ■ x = y : í 311 • ■ aln^ (xí\ \3ml ■ 3mn / w w Vektory Matice nad skaláry Ekvivalentní úpravy matic Lineární z svislost ooooo ooooo^oooooooooooo ooooooooooooo OOOOO \ / w W Systém rovnic lze pak formálně psát ve tvaru A ■ x = y í au ... \ami ... Původní rovnice nyní obdržíme tak, že vždy bereme řádky z/la sčítáme součiny odpovídajících komponent, tj. a\\X\ + • • • + a-inxn. Tím získáme i-tý prvek výsledného vektoru. V rovině, tj. pro vektory dimenze 2, jsme už zavedli takovýto počet a viděli jsme, že s ním lze pracovat velice efektivně. Nyní budeme postupovat obecněji a zavedeme i na maticích operace násobení. Vektory Matice nad skaláry Ekvivalentní úpravy matic Lineární z svislost OOOOO oooooo»ooooooooooo ooooooooooooo ooooo Součin matic Pro libovolnou matici A = (a,-,-) typu m/n nad okruhem skalárů K a libovolnou matici B = (bjk) typu n/q nad K definujeme jejich součin C = A ■ B = (c,^) jako matici typu m/q s prvky n Cjk = ajjbjk, pro libovolné 1 < / < m, 1 < k < q, 7=1 tj. prvek Cfr ve výsledné matici součinu dostaneme tak, že skalárně vynásobíme (i-tý řádek matice A) a (k-tý sloupec matice B). Vektory ooooo Matice nad skaláry oooooo»ooooooooooo Ekvivalentní úpravy matic ooooooooooooo Lineární závislost OOOOO Součin matic Pro libovolnou matici A = (a,-,-) typu m/n nad okruhem skalárů K a libovolnou matici B = (bjk) typu n/q nad K definujeme jejich součin C = A ■ B = (c,^) jako matici typu m/q s prvky n Cjk = ajjbjk, pro libovolné 1 < / < m, 1 < k < q, 7=1 tj. prvek Cfr ve výsledné matici součinu dostaneme tak, že skalárně vynásobíme (i-tý řádek matice A) a (k-tý sloupec matice B). Příklad (-i l i) 2 3\ 1 oj Vektory OOOOO Matice nad skaláry oooooo»ooooooooooo Ekvivalentní úpravy matic ooooooooooooo Lineární závislost OOOOO Součin matic Pro libovolnou matici A = (ay-) typu m/n nad okruhem skalárů K a libovolnou matici B = (bjk) typu n/q nad K definujeme jejich součin C = A ■ B = (c,^) jako matici typu m/q s prvky n Cjk = ajjbjk, pro libovolné 1 < / < m, 1 < k < q, 7=1 tj. prvek Cfr ve výsledné matici součinu dostaneme tak, že skalárně vynásobíme (i-tý řádek matice A) a (k-tý sloupec matice B). Příklad 2 1 1 -1 2 1 1 -1 0 1 3 2 3 3 1 0 V opačném pořadí nelze tyto dvě matice násobit! Vektory Matice nad skaláry Ekvivalentní úpravy matic Lineární závislost ooooo ooooooo»oooooooooo ooooooooooooo ooooo Čtvercové matice U matice typu n/n hovoríme o čtvercové matici. Počet řádků a sloupců se nazývá dimenze matice. Matici En = (ôij) (\ ... 0\ \0 ... lj se říká jednotková matice (symbol 5-,j je tzv. Kroneckerovo delta, které je rovno 1, pokud / = j, jinak je rovno 0). Vektory ooooo Matice nad skaláry oooooooo»ooooooooo Ekvivalentní úpravy matic ooooooooooooo Lineární závislost OOOOO Na množině čtvercových matic nad K dimenze n je součin matic definován pro každé dvě matice: Věta Pro libovolný okruh skalárů je na množině všech čtvercových matic dimenze n definována operace násobení. Splňuje vlastnosti (Ol) (asociativita) a (03) vzhledem k jednotkové matici E = (ôij). Dále spolu se sčítáním matic vyhovuje (04) (distributivita). Obecně však neplatí (02) (komutativita) ani (Ol) neexistence dělitelů nuly, zejména tedy neplatí (P) (existence inverzního prvku) Vektory OOOOO Matice nad skaláry oooooooo»ooooooooo Ekvivalentní úpravy matic ooooooooooooo Lineární závislost ooooo Na množině čtvercových matic nad K dimenze n je součin matic definován pro každé dvě matice: Pro libovolný okruh skalárů je na množině všech čtvercových matic dimenze n definována operace násobení. Splňuje vlastnosti (Ol) (asociativita) a (03) vzhledem k jednotkové matici E = (ôij). Dále spolu se sčítáním matic vyhovuje (04) (distributivita). Obecně však neplatí (02) (komutativita) ani (Ol) neexistence dělitelů nuly, zejména tedy neplatí (P) (existence inverzního prvku) Při důkazu předchozího tvrzení není podstatný stejný počet řádků a sloupců, kromě samotné existence operace násobení pro všechny dvojice matice. Příslušné vlastnosti proto platí obecněji: Násobení matic je asociativní a distributivní, tj. A-(B-C) = (A- B)-C, A-(B + C) = A- B+A-C, kdykoliv jsou tato násobení definována. Jednotková matice je neutrálním prvkem pro násobení zleva i zprava. Vektory ooooo Matice nad skaláry ooooooooo»oooooooo Ekvivalentní úpravy matic ooooooooooooo Lineární závislost OOOOO Trojúhelníkové matice Speciálním případem čtvercové matice je matice trojúhelníková, která má buď pod hlavní diagonálou pouze nuly (tzv. horní trojúhelníková matice) nebo nad hlavní diagonálou pouze nuly (tzv. dolní trojúhelníková matice). Na hlavní diagonále mohou být prvky nenulové nebo i nulové. Vektory ooooo Matice nad skaláry ooooooooo«oooooooo Ekvivalentní úpravy matic ooooooooooooo Lineární závislost OOOOO Speciálním případem čtvercové matice je matice trojúhelníková, která má buď pod hlavní diagonálou pouze nuly (tzv. horní trojúhelníková matice) nebo nad hlavní diagonálou pouze nuly (tzv. dolní trojúhelníková matice). Na hlavní diagonále mohou být prvky nenulové nebo i nulové. Příklady horních trojúhelníkových matic jsou jednotková matice En nebo nulová matice 0 (obě řádu n) nebo např. matice Vektory ooooo Matice nad skaláry ooooooooo«oooooooo Ekvivalentní úpravy matic ooooooooooooo Lineární závislost OOOOO Speciálním případem čtvercové matice je matice trojúhelníková, která má buď pod hlavní diagonálou pouze nuly (tzv. horní trojúhelníková matice) nebo nad hlavní diagonálou pouze nuly (tzv. dolní trojúhelníková matice). Na hlavní diagonále mohou být prvky nenulové nebo i nulové. Příklady horních trojúhelníkových matic jsou jednotková matice En nebo nulová matice 0 (obě řádu n) nebo např. matice Ověřte si, že součin dvou (či více) horních trojúhelníkových matic (případně dolních trojúhelníkových matic) je opět horní trojúhelníková matice (případně dolní trojúhelníková maticeY Vektory Matice nad skaláry Ekvivalentní úpravy matic Lineární závislost ooooo OOOOOOOOOO0OOOOOOO ooooooooooooo OOOOO Diagon; ální matice Je-1i matice A současně horní i dolní trojúhelníková, potom má mimo hlavní diagonálu pouze nuly. Taková matice se nazývá diagonální. Na hlavní diagonále mohou být prvky nenulové nebo i nulové. Tj. čtvercová matice A = (s/,-) řádu n je diagonální, pokud 3ý- = 0 pro všechny indexy / 7^ j. Vektory Matice nad skaláry Ekvivalentní úpravy matic Lineární závislost ooooo OOOOOOOOOO0OOOOOOO ooooooooooooo OOOOO Diagon; ální matice Je-1i matice A současně horní i dolní trojúhelníková, potom má mimo hlavní diagonálu pouze nuly. Taková matice se nazývá diagonální. Na hlavní diagonále mohou být prvky nenulové nebo i nulové. Tj. čtvercová matice A = (ay) řádu n je diagonální, pokud 3ý- = 0 pro všechny indexy / ^ j. Príklad Příklady diagonálních matic jsou jednotková matice / nebo nulová matice 0 (obě řádu n) nebo např. matice C8- CO- 6; •)- Vektory Matice nad skaláry Ekvivalentní úpravy matic Lineární závislost ooooo OOOOOOOOOO0OOOOOOO ooooooooooooo OOOOO Diagon; ální matice Je-1i matice A současně horní i dolní trojúhelníková, potom má mimo hlavní diagonálu pouze nuly. Taková matice se nazývá diagonální. Na hlavní diagonále mohou být prvky nenulové nebo i nulové. Tj. čtvercová matice A = (ay) řádu n je diagonální, pokud 0 pro všechny indexy / ^ j. Príklad Příklady diagonálních matic jsou jednotková matice / nebo nulová matice 0 (obě řádu n) nebo např. matice 2 0 0 0 0 0 0 3 2 0 0 0 3 0 0 0 -1 Ověřte si, že součin dvou (či více) diagonálních matic je opět diagonální matice. Vektory Matice nad skaláry Ekvivalentní úpravy matic Lineárni z; ívislost OOOOO ooooooooooo»oooooo ooooooooooooo OOOOO Inverzn í matice Se skaláry umíme počítat tak, že z rovnosti a ■ x = b umíme vyjádřit x = a-1 • b, kdykoliv inverze k a existuje. Podobně bychom to chtěli umět s maticemi, máme ale problém, jak poznat, zda taková inverze existuje, a jak ji spočítat. Vektory Matice nad skaláry Ekvivalentní úpravy matic Lineární z svislost OOOOO ooooooooooo»oooooo ooooooooooooo OOOOO Inverzn í matice Se skaláry umíme počítat tak, že z rovnosti a ■ x = b umíme vyjádřit x = a-1 • b, kdykoliv inverze k a existuje. Podobně bychom to chtěli umět s maticemi, máme ale problém, jak poznat, zda taková inverze existuje, a jak ji spočítat. Definice Říkáme, že B je matice inverzní k matici A, když A ■ B = B ■ A = E. Píšeme pak B = A^1 a je samozřejmé, že obě matice musí mít tutéž dimenzi n. Matici, k níž existuje matice inverzní, říkáme regulární (invertibilní) matice. Vektory Matice nad skaláry Ekvivalentní úpravy matic Lineární z svislost ooooo ooooooooooo»oooooo ooooooooooooo OOOOO Inverzn í matice Se skaláry umíme počítat tak, že z rovnosti a ■ x = b umíme vyjádřit x = a-1 • b, kdykoliv inverze k a existuje. Podobně bychom to chtěli umět s maticemi, máme ale problém, jak poznat, zda taková inverze existuje, a jak ji spočítat. Definice Říkáme, že B je matice inverzní k matici A, když A ■ B = B ■ A = E. Píšeme pak B = A^1 a je samozřejmé, že obě matice musí mít tutéž dimenzi n. Matici, k níž existuje matice inverzní, říkáme regulární (invertibilní) matice. Pokud A'1 a B'1 existují, pak existuje i (A ■ B)'1 = B'1 ■ A'1. Je totiž (díky asociativitě násobení) (B-1 ■ A'1) ■ (A.B) = B'1 ■ (A-1 ■ A) ■ B = E a (A-B)- {B-1 ■ A-1) = A-(B- B-1) ■ A'1 = E. Vektory Matice nad skaláry Ekvivalentní úpravy matic Lineární z svislost ooooo oooooooooooo»ooooo ooooooooooooo OOOOO Příklad Matice -(Si) nemá inverzi. Pokud by měla být nějaká matice -C 5) inverzní k matici A, potom by muselo platit «=(S J)-(:s)=(sž)=G!) což nelze splnit pro libovolnou volbu čísel a, b, c, Vektory ooooo Matice nad skaláry ooooooooooooo»oooo Ekvivalentní úpravy matic ooooooooooooo Lineární závislost OOOOO Základní vlastnosti regulárních a singulárních matic jsou shrnuty v následujícím tvrzení. Věta Nechť A, B jsou čtvercové matice řádu n. (i) Je-li A regulární, je její inverze A^1 určena jednoznačně. (ii) Je-li A regulární, pak je (A'1)-1 = A. (iii) Jsou-li A i B regulární, potom je také AB regulární a platí {ABY1 = B^A'1. (Pozor, pořadí u inverzí se vyměnilo!) Vektory ooooo Matice nad skaláry oooooooooooooo»ooo Ekvivalentní úpravy matic ooooooooooooo Lineární závislost OOOOO Protože s maticemi umíme počítat obdobně jako se skaláry, jen mají složitější chování, můžeme formálně snadno řešit systémy lineárních rovnic: Jestliže vyjádříme soustavu n rovnic pro n neznámých součinem matic A-x ( 311 \3ml 3lm\ \ / vw \ymj a existuje matice inverzní k matici A, pak lze násobit zleva A a dostaneme A -i •y 1-1 • A ■ x = E ■ x = x, tj. hledané řešení. Vektory ooooo Matice nad skaláry oooooooooooooo»ooo Ekvivalentní úpravy matic ooooooooooooo Lineární závislost OOOOO Protože s maticemi umíme počítat obdobně jako se skaláry, jen mají složitější chování, můžeme formálně snadno řešit systémy lineárních rovnic: Jestliže vyjádříme soustavu n rovnic pro n neznámých součinem matic / au A-x 3lm\ /yi\ ) vw \ymj a existuje matice inverzní k matici A, pak lze násobit zleva A^1 í dostaneme A^1 ■ y = A^1 ■ A ■ x = E ■ x = x, tj. hledané řešení. Naopak rozepsáním podmínky A ■ A^1 = E pro neznámé skaláry v hledané matici A^1 dostaneme n systémů lineárních rovnic se stejnou maticí na levé straně a vektory napravo (postupně) (l,0,...,0)r,(0,l,0,...,0)r,...,(0,...,0,l)r Vektory Matice nad skaláry Ekvivalentní úpravy matic Lineárni z; ívislost ooooo ooooooooooooooo»oo ooooooooooooo OOOOO Později si ukážeme, jak lze jednoduše vypočítat matici A 1. Pro začátek ale můžeme uvést vzorec pro výpočet inverze k matici typu 2x2: a b\ ._i 1 ŕ d -b c d J ' det/4 \-c a kde det/4 = ad — bc je determinant matice A. Ověřte přímým výpočtem, že jsou splněny definiční vztahy pro inverzi. Je tedy vidět, že matice A řádu 2 je regulární det/4 ^ 0 (a tedy A je singulární det/4 = 0.) Vektory Matice nad skaláry Ekvivalentní úpravy matic Lineární závislost ooooo oooooooooooooooo»o ooooooooooooo ooooo Transponovaná matice Nechť A = (a/y) je matice typu m x n. Matici AT := (a/;), nazývame transponovaná matice k matici A. Matice AT vznikne tak, že řádky matice A napíšeme do sloupců (nebo sloupce matice A do řádků). Má tedy matice AT typ n x m. Vektory Matice nad skaláry Ekvivalentní úpravy matic Lineární závislost ooooo oooooooooooooooo»o ooooooooooooo ooooo Transponovaná matice Nechť A = (a/y) je matice typu m x n. Matici AT := (a//), nazývame transponovaná matice k matici A. Matice AT vznikne tak, že řádky matice A napíšeme do sloupců (nebo sloupce matice A do řádků). Má tedy matice AT typ n x m. Příklad Vektory Matice nad skaláry Ekvivalentní úpravy matic Lineární z svislost ooooo ooooooooooooooooo# ooooooooooooo OOOOO Tvrzení Platí následující vztahy: • (AT)T = A, {A + B)T = AT + BT, • (AB)T = BTAT (Pozor, pořadíu transponovaných matic se vyměnilo!), • (A7)'1 = {A-1)7. Vektory Matice nad skaláry Ekvivalentní úpravy matic Lineární z svislost ooooo ooooooooooooooooo# ooooooooooooo OOOOO Tvrzení Platí následující vztahy: • (AT)T = A, {A + B)T = AT + BT, • (AB)T = BTAT (Pozor, pořadíu transponovaných matic se vyměnilo!), • (A7)'1 = {A-1)7. Důkaz. Zkuste sami, jsou jednoduché. Vektory Matice nad skaláry Ekvivalentní úpravy matic Lineární závislost OOOOO OOOOOOOOOOOOOOOOOO OOOOOOOOOOOOO OOOOO Plán přednášky Q Vektory Matice nad skaláry • Lineární rovnice a jejich soustavy Q Ekvivalentní úpravy matic Q Lineární závislost Vektory Matice nad skaláry Ekvivalentní úpravy matic Lineárni z; ívislost ooooo oooooooooooooooooo •oooooooooooo OOOOO Z hlediska řešení systémů rovnic A - x = b je jistě přirozené považovat za ekvivalentní matice A a vektory b, které zadávají systémy rovnic se stejným řešením. Uvedeme si jednoduché manipulace s řádky rovnic a stejným způsobem pak můžeme upravovat i vektor napravo. Když se nám podaří vlevo dostat systém s jednotkovou maticí, bude napravo řešení původního systému. Vektory Matice nad skaláry Ekvivalentní úpravy matic Lineárni z; ívislost ooooo oooooooooooooooooo •oooooooooooo OOOOO Z hlediska řešení systémů rovnic A - x = b je jistě přirozené považovat za ekvivalentní matice A a vektory b, které zadávají systémy rovnic se stejným řešením. Uvedeme si jednoduché manipulace s řádky rovnic a stejným způsobem pak můžeme upravovat i vektor napravo. Když se nám podaří vlevo dostat systém s jednotkovou maticí, bude napravo řešení původního systému. Takovým operacím říkáme řádkové elementární transformace. Jsou to: • záměna dvou řádků • vynásobení vybraného řádku nenulovým skalárem • přičtení řádku k jinému řádku. Vektory Matice nad skaláry Ekvivalentní úpravy matic Lineární závislost OOOOO OOOOOOOOOOOOOOOOOO «000000000000 ooooo Z hlediska řešení systémů rovnic A - x = b je jistě přirozené považovat za ekvivalentní matice A a vektory b, které zadávají systémy rovnic se stejným řešením. Uvedeme si jednoduché manipulace s řádky rovnic a stejným způsobem pak můžeme upravovat i vektor napravo. Když se nám podaří vlevo dostat systém s jednotkovou maticí, bude napravo řešení původního systému. Takovým operacím říkáme řádkové elementární transformace. Jsou to: • záměna dvou řádků • vynásobení vybraného řádku nenulovým skalárem • přičtení řádku k jinému řádku. Je zjevné, že odpovídající operace na úrovni rovnic v systému nemohou změnit množinu všech jeho řešení. Později bude vidět, že sloupcové transformace rovněž odpovídají řešení téhož systému, tentokrát ale v transformovaných souřadnicích^ Vektory ooooo Matice nad skaláry oooooooooooooooooo Ekvivalentní úpravy matic o»ooooooooooo Lineární závislost OOOOO Analogicky, sloupcové elementární transformace matic jsou • záměna dvou sloupců • vynásobení vybraného sloupce nenulovým skalárem • přičtení sloupce k jinému sloupci, ty však nezachovávají řešení příslušných rovnic, protože mezi sebou míchají samotné proměnné. Vektory ooooo Matice nad skaláry oooooooooooooooooo Ekvivalentní úpravy matic o»ooooooooooo Lineární závislost OOOOO Analogicky, sloupcové elementární transformace matic jsou • záměna dvou sloupců • vynásobení vybraného sloupce nenulovým skalárem • přičtení sloupce k jinému sloupci, ty však nezachovávají řešení příslušných rovnic, protože mezi sebou míchají samotné proměnné. Systematicky můžeme použít elementární řádkové úpravy k postupné eliminaci proměnných. Postup je algoritmický a většinou se mu říká Gausova eliminační metoda . •£ = '2 = ťxg + £x - Sx^ + ixfr 'T = frx — £x£ + Sx — ix— LU31SÄS 31S3JÄA 33eUILUI|3 ÄAOSSľie^ nopO}3|/\| ooooo lSO|SIAEZ JUJE3UI"! OOOOOOOOOO0OO DUELU ÄAE-ldn IUq.U3|EAIA>|g OOOOOOOOOOOOOOOOOO ÄJE|E>|S pEU 3Diq.E[AJ Vektory ooooo Matice nad skaláry oooooooooooooooooo Ekvivalentní úpravy matic OOO0OOOOOOOOO Lineární závislost OOOOO Věta Nenulovou matici nad libovolným okruhem skalárů K lze konečně mnoha elementárními řádkovými transformacemi převést na tzv. (řádkově) schodovitý tvar. • Je-li a-,j = 0 a všechny předchozí prvky na i-tém řádku jsou také nulové, potom a^j = 0 pro všechna k > i • je-li první nenulový prvek na (/' — l)-ním řádku, pak a-,j = 0. Vektory ooooo Matice nad skaláry oooooooooooooooooo Ekvivalentní úpravy matic OOO0OOOOOOOOO Lineární závislost OOOOO Věta Nenulovou matici nad libovolným okruhem skalárů K lze konečně mnoha elementárními řádkovými transformacemi převést na tzv. (řádkově) schodovitý tvar. • Je-li a-,j = 0 a všechny předchozí prvky na i-tém řádku jsou také nulové, potom a^j = 0 pro všechna k > i • je-li první nenulový prvek na (/' — l)-ním řádku, pak a-,j = 0. Matice v řádkově schodovitém tvaru vypadá takto /O ... 0 ay ......... alm\ 0 ... 0 0 ... a2k a2m 0 ............ 0 a/p ... V / a matice může, ale nemusí, končit několika nulovými řádky. Vektory ooooo Matice nad skaláry oooooooooooooooooo Ekvivalentní úpravy matic oooo»oooooooo Lineární závislost OOOOO K převodu libovolné matice můžeme použít jednoduchý algoritmus: Úprava matice na schodovitý tvar Q Záměnou řádků docílíme, že v prvním řádku bude v prvním nenulovém sloupci nenulový prvek, nechť je to j-tý sloupec. Vektory ooooo Matice nad skaláry oooooooooooooooooo Ekvivalentní úpravy matic oooo»oooooooo Lineární závislost OOOOO K převodu libovolné matice můžeme použít jednoduchý algoritmus: Úprava matice na schodovitý tvar Q Záměnou řádků docílíme, že v prvním řádku bude v prvním nenulovém sloupci nenulový prvek, nechť je to j-tý sloupec. O Pro / = 2,..., vynásobením prvního řádku prvkem a-,j, /-tého řádku prvkem ay a odečtením vynulujeme prvek 3,-y na /-tém řádku. Vektory Matice nad skaláry Ekvivalentní úpravy matic Lineární z svislost ooooo oooooooooooooooooo oooo»oooooooo OOOOO K převodu libovolné matice můžeme použít jednoduchý algoritmus: Úprava matice na schodovitý tvar & Záměnou řádků docílíme, že v prvním řádku bude v prvním nenulovém sloupci nenulový prvek, nechť je to j-tý sloupec. O Pro / = 2,..., vynásobením prvního řádku prvkem a-,j, /-tého řádku prvkem ay a odečtením vynulujeme prvek 3,-y na /-tém řádku. O Opakovanou aplikací bodů (1) a (2), vždy pro zbytek řádků a sloupců v získané matici dospějeme po konečném počtu kroků k požadovanému tvaru. Vektory Matice nad skaláry Ekvivalentní úpravy matic Lineární z svislost ooooo oooooooooooooooooo oooo»oooooooo OOOOO K převodu libovolné matice můžeme použít jednoduchý algoritmus: Úprava matice na schodovitý tvar & Záměnou řádků docílíme, že v prvním řádku bude v prvním nenulovém sloupci nenulový prvek, nechť je to j-tý sloupec. O Pro / = 2,..., vynásobením prvního řádku prvkem a-,j, /-tého řádku prvkem ay a odečtením vynulujeme prvek 3,-y na /-tém řádku. O Opakovanou aplikací bodů (1) a (2), vždy pro zbytek řádků a sloupců v získané matici dospějeme po konečném počtu kroků k požadovanému tvaru. Vektory ooooo Matice nad skaláry oooooooooooooooooo Ekvivalentní úpravy matic oooo»oooooooo Lineární závislost OOOOO K převodu libovolné matice můžeme použít jednoduchý algoritmus: Úprava matice na schodovitý tvar & Záměnou řádků docílíme, že v prvním řádku bude v prvním nenulovém sloupci nenulový prvek, nechť je to j-tý sloupec. @ Pro / = 2,..., vynásobením prvního řádku prvkem a-,j, /-tého řádku prvkem ay a odečtením vynulujeme prvek 3,-y na /-tém řádku. O Opakovanou aplikací bodů (1) a (2), vždy pro zbytek řádků a sloupců v získané matici dospějeme po konečném počtu kroků k požadovanému tvaru. i Uvedený postup je obvyklá eliminace proměnných v systémech lineárních rovnic. Pro řešení systémů rovnic má ale uvedený postup rozumný smysl jen, když mezi skaláry neexistují dělitelé nuly. Pokud tvoří skaláry pole, pak můžeme navíc ze schodovitého tvaru snadno spočíst řešení (případně ověřit jeho neexistenci). Rozdíly jsou dobře vidět při porovnání třeba I = Z a K = 1, případně Z2 neboj^. ^ Vektory ooooo Matice nad skaláry oooooooooooooooooo Ekvivalentní úpravy matic ooooo»ooooooo Lineární závislost OOOOO Realizace pomocí elementárních matic Všimněme si, že elementární řádkové (resp. sloupcové) transformace odpovídají vynásobením zleva (resp. zprava) následujícími maticemi: • Přehození /-tého a _/-tého řádku (resp. sloupce) /l 0 ... \ o '■. 0 ... 1 1 ... 0 Vektory Matice nad skaláry Ekvivalentní úpravy matic Lineární z svislost ooooo oooooooooooooooooo oooooo»oooooo OOOOO ■-' Realizace pomocí elementárních matic • Vynásobení /-tého řádku (resp. sloupce) skalárem a: A \ i a 1 l V Vektory Matice nad skaláry Ekvivalentní úpravy matic Lineární z svislost ooooo oooooooooooooooooo ooooooo»ooooo OOOOO Realizace pomocí elementárních matic • Sečtení /-tého řádku (resp. sloupce) s 7-tým: n 0 \ 0 ■■ / —> 1 l V t j Vektory Matice nad skaláry Ekvivalentní úpravy matic Lineárni z; ívislost ooooo oooooooooooooooooo oooooooo»oooo OOOOO Toto jednoduché pozorovaní je ve skutečnosti velice podstatné, protože součin invertibilních matic je invertibilní a všechny elementární transformace jsou nad polem skalárů invertibilní. Pro libovolnou matici A tedy dostaneme násobením vhodnou invertibilní maticí P = • • • P\ zleva (postupné násobení k maticemi zleva) její ekvivalentní řádkový schodovitý tvar A' = P ■ A. Vektory ooooo Matice nad skaláry oooooooooooooooooo Ekvivalentní úpravy matic oooooooo»oooo Lineární závislost OOOOO Toto jednoduché pozorovaní je ve skutečnosti velice podstatné, protože součin invertibilních matic je invertibilní a všechny elementární transformace jsou nad polem skalárů invertibilní. Pro libovolnou matici A tedy dostaneme násobením vhodnou invertibilní maticí P = • • • P\ zleva (postupné násobení k maticemi zleva) její ekvivalentní řádkový schodovitý tvar A' = P ■ A. Jestliže obecně aplikujeme tentýž eliminační postup na sloupce, dostaneme z každé matice B její sloucový schodovitý tvar B' vynásobením vhodnou invertibilní maticí Q = Qi ■ ■ ■ Q^. Pokud ale začneme s maticí B = A' v řádkově schodovitém tvaru, eliminuje takový postup pouze všechny dosud nenulové prvky mimo diagonálu matice a závěrem lze ještě i tyto elementárními operacemi změnit na jedničky. Celkem jsme tedy ověřili důležitý výsledek, ke kterému se budeme mnohokrát vracet: Vektory Matice nad skaláry Ekvivalentní úpravy matic Lineární z svislost ooooo oooooooooooooooooo OOOOOOOOO0OOO OOOOO Pro každou matici A typu m j n nad polem skalám K existují čtvercové invertibilní matice P dimenze m a Q dimenze n takové, že matice P • A je v řádkově schodovitém tvaru a P-A-Q /l 0 0 0 0 ...... 1 o ... 0 1 o 0 0 0 o\ o o o Vektory Matice nad skaláry Ekvivalentní úpravy matic Lineární závislost ooooo oooooooooooooooooo oooooooooo»oo ooooo Algoritmus pro výpočet inverzní matice V předchozích úvahách jsme se dostali prakticky k úplnému algoritmu pro výpočet inverzní matice. Během jednoduchého niže uvedeného postupu bud' zjistíme, že inverze neexistuje, nebo bude inverze spočtena. I nadále pracujeme nad polem skalárů. Vektory Matice nad skaláry Ekvivalentní úpravy matic Lineární závislost ooooo oooooooooooooooooo oooooooooo»oo ooooo Algoritmus pro výpočet inverzní matice V předchozích úvahách jsme se dostali prakticky k úplnému algoritmu pro výpočet inverzní matice. Během jednoduchého niže uvedeného postupu bud' zjistíme, že inverze neexistuje, nebo bude inverze spočtena. I nadále pracujeme nad polem skalárů. Ekvivalentní řádkové transformace se čtvercovou maticí A dimenze n vedou k matici P' takové, že P' • A bude v řádkově schodovitém tvaru. Přitom může (ale nemusí) být jeden nebo více posledních řádků nulových. Jestliže má existovat inverzní matice k A, pak existuje i inverzní matice k P1 • A. Jestliže však je poslední řádek v P • A nulový, bude nulový i poslední řádek v P • A • B pro jakoukoliv matici B dimenze n. Existence takového nulového řádku ve výsledku (řádkové) Gaussovy eliminace tedy vylučuje existenci A'1. Vektory Matice nad skaláry Ekvivalentní úpravy matic Lineárni z; ívislost ooooo oooooooooooooooooo ooooooooooo^o OOOOO Předpokládejme nyní, že A existuje. Podle předchozího nalezneme řádkově schodovitý tvar bez nulového řádku, tzn. že všechny diagonální prvky v P' • A jsou nenulové. Pak ovšem pokračováním eliminace od pravého dolního rohu zpět a vynormováním diagonálních prvků na jedničky získáme jednotkovou matici E. Vektory Matice nad skaláry Ekvivalentní úpravy matic Lineárni z; ívislost ooooo oooooooooooooooooo ooooooooooo^o OOOOO Předpokládejme nyní, že A existuje. Podle předchozího nalezneme řádkově schodovitý tvar bez nulového řádku, tzn. že všechny diagonální prvky v P' • A jsou nenulové. Pak ovšem pokračováním eliminace od pravého dolního rohu zpět a vynormováním diagonálních prvků na jedničky získáme jednotkovou matici E. Matice /4je tedy ekvivalentní s jednotkovou maticí E, tj. existují elementární matice Pi,..., Pk takové, že PkPk^ ...P1A = E. Využijme asociativitu násobení matic a uzávorkujme tento vztah následovně: {PkPk-1...P1)-A = E, neboli {PkPk^ ... P{) ■ E = A'1. (1) Vektory Matice nad skaláry Ekvivalentní úpravy matic Lineárni z; ívislost ooooo oooooooooooooooooo ooooooooooo^o OOOOO Předpokládejme nyní, že A existuje. Podle předchozího nalezneme řádkově schodovitý tvar bez nulového řádku, tzn. že všechny diagonální prvky v P' • A jsou nenulové. Pak ovšem pokračováním eliminace od pravého dolního rohu zpět a vynormováním diagonálních prvků na jedničky získáme jednotkovou matici E. Matice /4je tedy ekvivalentní s jednotkovou maticí E, tj. existují elementární matice Pi,..., Pk takové, že PkPk^ ...P1A = E. Využijme asociativitu násobení matic a uzávorkujme tento vztah následovně: {PkPk-1...P1)-A = E, neboli {PkPk^ ... P{) ■ E = A'1. (1) Potom lze snadno vidět, že pro matici B := PkPk-i... Pi platí BA = E neboli B = A'1. 2, • • • , bm)T. □ Vektory OOOOO Matice nad skaláry oooooooooooooooooo Ekvivalentní úpravy matic ooooooooooooo Lineární závislost ooo»o Lineární nezávislost sloupců matice Regulární a singulární matice umožňují jednoduše charakterizovat lineární nezávislost a závislost n vektorů u\,..., un G W. Mají-li být vektory u\,...,un lineárně nezávislé, musí mít lineární systém 3i ui + a2 u2 H-----h an un = 0 pouze triviální řešení (ai,..., an) = (0,..., 0). To nastane právě tehdy, když je čtvercová matice U:={ul ... uTn), jejíž sloupce jsou právě vektory ui,..., un, regulární. Vektory Matice nad skaláry Ekvivalentní úpravy matic Lineární z avislost ooooo oooooooooooooooooo ooooooooooooo oooo* Tvrzení "* Nechť jsou dány vektory u\,..., un G W a nechť U je matice, jejíž sloupce jsou vektory ui,..., un. Potom ui,..., un jsou lineárně nezávislé 4^ matice U je regulární, u\,..., un jsou lineárně závislé 4$ matice U je singulární. Vektory Matice nad skaláry Ekvivalentní úpravy matic Lineární z avislost ooooo oooooooooooooooooo ooooooooooooo oooo* Tvrzení "* Nechť jsou dány vektory u\,..., un G W a nechť U je matice, jejíž sloupce jsou vektory ui,..., un. Potom ui,..., un jsou lineárně nezávislé 4^ matice U je regulární, u\,..., un jsou lineárně závislé 4$ matice U je singulární \ Příklad Rozhodněte o lineární (ne)závislosti vektorů Ul = (l,2,l)T,u2 = ( -2,l,l)T,U3 = (0,5,3)r.