Determinanty Věty Cauchyova a Laplaceova oooooooo Determinant a inverzní matice OOOOOOOO Matematika I - 6. přednáška Matice a determinanty Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 26. 3. 2012 Ql Determinanty O Věty Cauchyova a Laplaceova Q| Determinant a inverzní matice Martin Panák, Jan Slovák - Drsná matematika, e-text. Roman Hilscher - MB101, e-text. Slidy z přednášek a democvičení Pavel Horák, Úvod do lineárni algebry, MU Brno, skripta (http://www.math.muni.cz/~horak) Luboš Motl, Miloš Zahradník, Pěstujeme lineární algebru, vydání, Univerzita Karlova v Praze, Karolinum, 348 stran (elektronické vydání také na http://www. kolej, mff.cuni.cz/~lmotm275/skripta/). Determinanty Věty Cauchyova a Laplaceova oooooooo Determinant a inverzní matice OOOOOOOO V rovině M2 jsme pracovali s maticemi lineárních zobrazení a determinant matice A detA a b c d ad — be prozrazoval, jestli umíme najít inverzi k A. Pokud je totiž _ i id -fr determinant nenulový, pak A det/4 Determinant byl užitečný i jinak: obsah rovnoběžníka by měl být lineárně závislý na každém ze dvou vektorů definujících rovnoběžník a je užitečné zároveň požadovat změnu znaménka při změně pořadí těchto vektorů. Protože tyto vlastnosti měl, až na pevný skalární násobek, jedině determinant, odvodili jsme, že je obsah dán právě takto. Nyní budeme takové číslo det/4 G M definovat pro libovolnou čtvercovou matici řádu n a ukážeme, že má právě ty vlastnosti, které jsme potřebovali výše. Determinanty Věty Cauchyova a Laplaceova oooooooo Determinant a inverzní matice OOOOOOOO Budeme pracovat s libovolnými skaláry K a maticemi nad těmito skaláry (např. Z, R, C, Zk). Připomeňme, že bijektivní zobrazení množiny X na sebe se nazývá permutace množiny X. Je-li X = {1, 2,..., n}, lze permutace zapsat pomocí výsledného pořadí ve formě tabulky: Prvek x G X se nazývá samodružným (pevným) bodem permutace a, je-li cr(fa). Permutace u se nazývá sudá (resp. lichá), obsahuje-li sudý (resp. lichý) počet inverzí. Parita permutace uje (—l)P°cet mverzi a znagíme jj právě sgn(u). Tolik definice, chceme ale vědět, jak s paritou počítat. Z následujícího tvrzení už je jasně vidět, že Sarrusovo pravidlo skutečně počítá determinant v dimenzi 3. Věta Na množině X = {1, 2,..., n} je právě n\ různých permutací. Tyto lze seřadit do posloupnosti tak, že každé dvě po sobě jdoucí se liší právě jednou transpozicí. Lze při tom začít libovolnou permutací a každá transpozice mění paritu. Deterrr inanty Věty Cauchyova a Laplaceova Determinant a inver zní matice oooooooo OOOOOOOO Zjistili jsme, že provedení libovolné transpozice změní paritu permutace a že každé pořadí čísel {1,2,..., n} lze získat postupnými transpozicemi sousedních prvků. Důsledkem tohoto popisu je, že na každé množině X = {1,..., n}, n > 1, je právě sudých a lichých permutací. Jestliže složíme dvě permutace za sebou, znamená to provést napřed všechny transpozice tvořící první a pak druhou. Proto pro libovolné permutace a, r\ : X —> X platí sgn(cr o v) = sgn(cr) • sgn(^), sgn(cr_1) = sgn(cr). ' Příklad ^ Napište permutaci fl 2 3 4 5\ \3 1 2 5 A) jako složení transpozic a určete její paritu. Věta Pro každou čtvercovou matici A platí O \AT\ = \A\, @ Je-li jeden řádek v A tvořen nulovými prvky z K, pak \A\ = 0, O Jestliže matice B vznikla z A výměnou dvou řádků, pak \A\ = -\B\, Q Jestliže matice B vznikla z A vynásobením řádku skalárem 3ěK, pak \B\ = a\A\, O Jsou-li prvky k-tého řádku v A tvaru a^j = b^j + c^j a všechny ostatní řádky v maticích A, B = (bij), C = (c/,) jsou stejné, pak \A\ = \B\ + \C\, O Determinant \A\ se nezmění, přicteme-li k libovolnému řádku A lineární kombinaci ostatních řádků. Determinanty Věty Cauchyova a Laplaceova oooooooo Determinant a inverzní matice OOOOOOOO Důsledkem prvního tvrzení předchozí věty o rovnosti determinantů matice a matice transponované je, že kdykoliv se nám podaří dokázat nějaké tvrzení o determinantech formulované s využitím řádků příslušné matice, pak analogické tvrzení platí i pro sloupce. Např. tedy můžeme okamžitě všechna tvrzení (2)-(6) této věty přeformulovat jako tvrzení o sloupcích matice. Vlastnosti (3)-(5) říkají, že determinant jako zobrazení, které n vektorům dimenze n (řádkům nebo sloupcům matice) přiřadí skalár je antisymetrické zobrazení lineární v každém svém argumentu, přesně jak jsme podle analogie z dimenze 2 požadovali. Determinanty Věty Cauchyova a Laplaceova oooooooo Determinant a inverzní matice OOOOOOOO Výpočet determinantu úpravou na schodovitý tvar Pro matici v řádkovém nebo sloupcovém schodovitém tvaru je jediným nenulovým členem determinantu ten, který odpovídá identické permutaci. Vidíme tedy, že determinant takové matice je \A\ = 3n • 322 • • • • 3nn. Předchozí věta tedy poskytuje velice efektivní metodu výpočtu determinantů pomocí Gaussovy eliminační metody. Determinanty Věty Cauchyova a Laplaceova •ooooooo Determinant a inverzní matice oooooooo Věta (Cauchyova) Necht A = (ajj), B = (b-,j) jsou čtvercové matice dimenze n nad okruhem skalám K. Pak \A ■ B\ = \A\ ■ \B\. • Časem uvidíme, že skutečně stejně jako v dimenzi dva je determinant matice roven orientovanému objemu rovnoběžnostěnu určeného jejími sloupci. Uvidíme také, že když uvážíme zobrazení x i—> A ■ x zadané čtvercovou maticí A na M", pak můžeme determinant této matice vidět jako vyjádření poměru mezi objemem rovnoběžnostěnů daných vektory x\,...xn a jejich obrazy A • xi,..., A • xn. Protože skládání zobrazení x i—> A ■ x i—> B ■ (A ■ x) odpovídá násobení matic, je Cauchyova věta docela pochopitelná. My tuto větu odvodíme ryze algebraicky jako důsledek tzv. Laplaceovy věty o rozvoji. Ta bude vyžadovat zavedení několika nových pojmů. Determinanty Věty Cauchyova a Laplaceova o»oooooo Determinant a inverzní matice oooooooo Nechť A = (a/y) je matice typu m/na 1 < \\ <... \A\ = 0. Q Necht U je matice, jejíž sloupce jsou vektory uj,..., uj. Pak vektory ui,..., un jsou lineárně závislé 4^ \ U\ = 0. Věta (Cramerovo pravidlo) Necht A je regulární matice řádu n a b G M" a uvažujme systém lineárních rovnic Ax = b. Označme jako A, matici, kterou získáme z matice A záměnou jejího i-tého sloupce za sloupec pravých stran b. Potom (jediné) řešení x = (xi,... ,x„) tohoto systému je dáno vztahem IA-1 ■ , Determinanty Věty Cauchyova a Laplaceova oooooooo Determinant a inverzní matice ooooo»oo Důkaz. Zřejmě je x = A 1b jediným řešením tohoto systému. Podle vzorce pro výpočet inverzní matice pomoci matice adjungované je neboli (s využitím Laplaceova rozvoje) — • (i-tý prvek (sloupcového) vektoru A* b) 1^1 — • (hAu + b2A2i + ■■■ + bnAni) \Ai\ \A\' □ Determinanty Věty Cauchyova a Laplaceova oooooooo Determinant a inverzní matice ooooooso Poznámka Cramerovo pravidlo je výhodné použít pro systémy s malým n (řekněme n < 3) nebo pro systémy, kde je v matici systému hodně nul. Příklad Vyřešte následující systém Cramerovým pravidlem: xi + 2x2 + 3x3 2xi - 3x2 - x3 -3xi + x2 + 2x3 2, -3, -3. Determinanty Věty Cauchyova a Laplaceova oooooooo Determinant a inverzní matice 0000000» \A\ 1 2 3 2 -3 -1 -3 1 2 -28, 0 2 3 \Ai\ = -3 -3 -1 = • • • = -28 =>- xi -3 1 2 1 m 3 \A2\ = 2 -3 -1 = • • • = -56 x2 -3 -3 2 1 2 \A3\ = 2 -3 -3 = • • • = 28 ^ x3 = -3 1 -3 _ _ -28 \A\ -28 \A3\ = 28 \A\ -28 56 28