Matematika I - 7. přednáška Vektorové prostory Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 2. 4. 2012 Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru oooooooo oooooooo ooooo oooooo oooo Obsah přednášky Q Matice a determinanty Q Vektorové prostory Q Generátory a podprostory Q Báze a součty podprostorů Q Souřadnice vektoru Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru oooooooo oooooooo ooooo oooooo oooo Doporučené zdroje • Martin Panák, Jan Slovák - Drsná matematika, e-text. • Roman Hilscher - MB101, e-text. • Slidy z přednášek a democvičení Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru oooooooo oooooooo ooooo oooooo oooo zd roje • Martin Panák, Jan Slovák - Drsná matematika, e-text. • Roman Hilscher - MB101, e-text. • Slidy z přednášek a democvičení • Pavel Horák, Úvod do lineárni algebry, MU Brno, skripta (http://www.math.muni.cz/~horak) • Luboš Motl, Miloš Zahradník, Pěstujeme lineární algebru, 3. vydání, Univerzita Karlova v Praze, Karolinum, 348 stran (elektronické vydání také na http://www. kolej, mff.cuni.cz/~lmotm275/skripta/). Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru oooooooo oooooooo ooooo oooooo oooo Plán přednášky Q Matice a determinanty Q Vektorové prostory Q Generátory a podprostory Q Báze a součty podprostorů Q Souřadnice vektoru Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru •ooooooo oooooooo ooooo oooooo oooo Pripomenutí z minula • determinant - definice a jeho základní vlastnosti • Cauchyova věta \A ■ B\ = \ A\ -\B\. • Laplaceův rozvoj determinantu Jiný výpočet inverzní matice Předpokládejme nejprve, že existuje matice inverzní k matici A, tj. A ■ A^1 = E. Protože pro jednotkovou matici platí vždy \E\ = 1, je pro každou invertibilní matici vždy \A\ invertibilní skalár a platí \A\-i = \A-i\. Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru •ooooooo oooooooo ooooo oooooo oooo Pripomenutí z minula • determinant - definice a jeho základní vlastnosti • Cauchyova věta \A ■ B\ = \ A\ -\B\. • Laplaceův rozvoj determinantu Jiný výpočet inverzní matice Předpokládejme nejprve, že existuje matice inverzní k matici A, tj. A ■ A^1 = E. Protože pro jednotkovou matici platí vždy \E\ = 1, je pro každou invertibilní matici vždy \A\ invertibilní skalár a platí \A\-i = \A-i\. Pro libovolnou čtvercovou matici A = (ay) dimenze n definujeme matici A* = (a*j), kde a*j = Aj, jsou algebraické doplnky k prvkům a y, v A (všimněte si transponování!). Nazýváme ji adjungovaná matice k matici A. Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru o»oooooo oooooooo ooooo oooooo oooo Věta Pro každou čtvercovou matici A nad okruhem skalárů K platí AA* = A*A = \ A\ ■ E. Zejména tedy O A^1 existuje jako matice nad okruhem skalám K právě, když |/4|_1 existuje v K. O Pokud existuje A'1, pak platí A'1 = {A^1 ■ A*. Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru oo»ooooo oooooooo ooooo oooooo oooo Důkaz. Jak jsme již zmínili, Cauchyova věta ukazuje, že z existence A vyplývá invertibilita \A\ G K. Předpokládejme naopak, že \A\ je invertibilní skalár. Spočteme přímým výpočtem A • A* = (cy-): n n C'J = 5ľ 3*3^/ = 5ľ 3*^/*- Pokud / = j je to právě Laplaceův rozvoj \A\ podle /-tého řádku. Pokud / 7^ i jde o rozvoj determinantu matice v níž je i-tý a j-tý řádek stejný a proto je c-,j = 0. Odtud plyne A • A* = \A\ • E, a tedy i A" • 4 = |y*| • E. □ Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru ooo#oooo oooooooo ooooo oooooo oooo Príklad Vypočtěte inverzní matici k Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru ooo#oooo oooooooo ooooo oooooo oooo Příklad Vypočtěte inverzní matici k íl -2 2N 2 1 2 V 3 \, 1 Řešení \A\ = a tedy A'1 = -A 1 -2 2 2 1 2 2 3 1 í" * = -2 V-4 = -1, -8 6 \ 3 -2 . 7 -5/ Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru oooo»ooo oooooooo ooooo oooooo oooo Důsledky předchozích tvrzení Důsledek O A je singulární 44> \A\ = 0. Q Necht U je matice, jejíž sloupce jsou vektory uj,..., uj. Pak vektory ui,..., un jsou lineárně závislé 4^ \ U\ = 0. Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru oooo»ooo oooooooo ooooo oooooo oooo Důsledky předchozích tvrzení Důsledek O A je singulární 44> \A\ = 0. Q Necht U je matice, jejíž sloupce jsou vektory uj,..., uj. Pak vektory ui,..., un jsou lineárně závislé 4^ \ U\ = 0. Věta (Cramerovo pravidlo) Necht A je regulární matice řádu n a b G M" a uvažujme systém lineárních rovnic Ax = b. Označme jako A, matici, kterou získáme z matice A záměnou jejího i-tého sloupce za sloupec pravých stran b. Potom (jediné) řešení x = (xi,... ,x„) tohoto systému je dáno vztahem Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru ooooo»oo oooooooo ooooo oooooo oooo Důkaz. Zrejme je x = A 1b jediným řešením tohoto systému. Podle vzorce pro výpočet inverzní matice pomoci matice adjungované je neboli (s využitím Laplaceova rozvoje) — • (i-tý prvek (sloupcového) vektoru A* b) 1^1 — • (hAu + b2A2i + ■■■ + bnAni) \Ai\ \A\' □ Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru oooooo»o oooooooo ooooo oooooo oooo Poznámka Cramerovo pravidlo je výhodné použít pro systémy s malým n (řekněme n < 3) nebo pro systémy, kde je v matici systému hodně nul. Príklad Vyřešte následující systém Cramerovým pravidlem: xi + 2x2 + 3x3 2xi - 3x2 - x3 -3xi + x2 + 2x3 2, -3, -3. Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru OOOOOOO* oooooooo ooooo oooooo oooo Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru OOOOOOOO OOOOOOOO 00000 oooooo oooo Plán prednášky Q Matice a determinanty Q Vektorové prostory 0 Generátory a podprostory Q Báze a součty podprostorů Qi Souřadnice vektoru <□> <9» i O^O Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru OOOOOOOO »0000000 ooooo oooooo oooo Uvažujme systém m lineárních rovnic pro n proměnných a předpokládejme, že jde o rovnice tvaru A ■ x = O, tj. / au • • • \ami ... M ) w W Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru OOOOOOOO »0000000 ooooo oooooo oooo Uvažujme systém m lineárních rovnic pro n proměnných a předpokládejme, že jde o rovnice tvaru A ■ x = O, tj. / au • • • \ M / w W \ami ... Díky vlastnosti distributivity pro násobení matic je okamžitě zřejmé, že součet dvou řešení x = (xi,... ,x„) a y = (yi,... ,y„) splňuje A-(x + y)=A-x + A-y = Q a je tedy také řešením. Stejně tak zůstává řešením i skalární násobek a ■ x. Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru oooooooo o»oooooo ooooo oooooo oooo Množina všech řešení pevně zvoleného systému rovnic s nulovou pravou stranou je proto uzavřená na sčítání vektoru a násobení vektoru skaláry. To byly základní vlastnosti vektoru dimenze n v Kn. Ted' ale máme vektory v prostoru řešení s n souřadnicemi a dimenze tohoto prostoru určitě nebude n (pokud matice systému není nulová). Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru oooooooo o»oooooo ooooo oooooo oooo Množina všech řešení pevně zvoleného systému rovnic s nulovou pravou stranou je proto uzavřená na sčítání vektoru a násobení vektoru skaláry. To byly základní vlastnosti vektoru dimenze n v Kn. Ted' ale máme vektory v prostoru řešení s n souřadnicemi a dimenze tohoto prostoru určitě nebude n (pokud matice systému není nulová). Případ dvou rovnic pro dvě neznámé jsme potkali při řešení geometrických problémů v rovině a pro dvě závislé rovnice byl množinou všech řešení jednorozměrný prostor - přímka. U dvou nezávislých rovnic to byl průsečík dvou přímek, tj. nularozměrný prostor. Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru oooooooo o»oooooo ooooo oooooo oooo Množina všech řešení pevně zvoleného systému rovnic s nulovou pravou stranou je proto uzavřená na sčítání vektoru a násobení vektoru skaláry. To byly základní vlastnosti vektoru dimenze n v Kn. Ted' ale máme vektory v prostoru řešení s n souřadnicemi a dimenze tohoto prostoru určitě nebude n (pokud matice systému není nulová). Případ dvou rovnic pro dvě neznámé jsme potkali při řešení geometrických problémů v rovině a pro dvě závislé rovnice byl množinou všech řešení jednorozměrný prostor - přímka. U dvou nezávislých rovnic to byl průsečík dvou přímek, tj. nularozměrný prostor. Potřebujeme proto obecnější definici vektorového prostoru a jeho dimenze. Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru oooooooo oo»ooooo ooooo oooooo oooo Vektorový prostor V nad polem skalárů K je množina s operací sčítání, pro kterou platí axiomy komutativní grupy, a násobení skaláry takové, že platí a-{y + w) = a- v + a- w (VI) (a + b)-v = a-v + b-v (V2) a ■ (b ■ v) = (a ■ b) ■ v (V3) 1 • v = v (V4) Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru oooooooo oo»ooooo ooooo oooooo oooo Definice Vektorový prostor V nad polem skalárů K je množina s operací sčítání, pro kterou platí axiomy komutativní grupy, a násobení skaláry takové, že platí a • [v + w~) = a • v + a • w (a + b)-v = a- v + b- v a • (b ■ v) = (a • b) ■ v 1 • v = v Příklad Množina W := {(2,x), xéI} s obvyklými operacemi sčítání a násobení po složkách, tj. (2, xi) + (2, x2) = (4, xi + x2) 0 W, a ■ (2, x) = (2a, ax) 0 W není vektorový prostor. (VI) (V2) (V3) (V4) Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru OOOOOOOO ooo»oooo ooooo oooooo oooo Príklad 0 Množina Matmxn(M) všech matic typu m x n s operacemi sčítaní matic a násobení matice reálným číslem je vektorový prostor nad M. Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru oooooooo ooo»oooo ooooo oooooo oooo Příklad 0 Množina Matmxn(M) všech matic typu m x n s operacemi sčítaní matic a násobení matice reálným číslem je vektorový prostor nad M. 0 Množina T všech funkcí f : M —> M s operacemi je vektorový prostor. Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru oooooooo ooo»oooo ooooo oooooo oooo Příklad 0 Množina Matmxn(M) všech matic typu m x n s operacemi sčítaní matic a násobení matice reálným číslem je vektorový prostor nad M. 0 Množina T všech funkcí f : M —> M s operacemi + .. . sčítaní funkcí, tj. (f + g)(x) :— f (x) + g(x), a je vektorový prostor. Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru oooooooo ooo»oooo ooooo oooooo oooo Příklad 0 Množina Matmxn(M) všech matic typu m x n s operacemi sčítaní matic a násobení matice reálným číslem je vektorový prostor nad M. 0 Množina T všech funkcí f : M —> M s operacemi + .. . sčítaní funkcí, tj. (f + g)(x) :— f (x) + g(x), a • ... násobení funkce reálným číslem, tj. (a • f)(x) :— a ■ f (x), je vektorový prostor. Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru oooooooo ooo»oooo ooooo oooooo oooo Příklad 0 Množina Matmxn(M) všech matic typu m x n s operacemi sčítaní matic a násobení matice reálným číslem je vektorový prostor nad M. 0 Množina T všech funkcí f : M —> M s operacemi + .. . sčítaní funkcí, tj. (f + g)(x) :— f (x) + g(x), a • ... násobení funkce reálným číslem, tj. (a • f)(x) :— a ■ f (x), je vektorový prostor. O Množina M+ všech kladných reálných čísel s operacemi je vektorový prostor. Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru oooooooo ooo»oooo ooooo oooooo oooo Príklad 0 Množina Matmxn(M) všech matic typu m x n s operacemi sčítaní matic a násobení matice reálným číslem je vektorový prostor nad M. 0 Množina T všech funkcí f : M —> M s operacemi + .. . sčítaní funkcí, tj. (f + g)(x) :— f (x) + g(x), a • ... násobení funkce reálným číslem, tj. (a • f)(x) :— a ■ f (x), je vektorový prostor. O Množina M+ všech kladných reálných čísel s operacemi © .. . sčítaní, pro x, y e M+ definujme x © y :— xy, a je vektorový prostor. Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru oooooooo ooo»oooo ooooo oooooo oooo Príklad 0 Množina Matmxn(M) všech matic typu m x n s operacemi sčítaní matic a násobení matice reálným číslem je vektorový prostor nad M. 0 Množina T všech funkcí f : M —> M s operacemi + .. . sčítaní funkcí, tj. (f + g)(x) :— f (x) + g(x), a • ... násobení funkce reálným číslem, tj. (a • f)(x) :— a ■ f (x), je vektorový prostor. O Množina M+ všech kladných reálných čísel s operacemi © .. . sčítaní, pro x, y e M+ definujme x © y :— xy, a 0 .. . násobení skalárem, pro x e M+ a a e M definujme a 0 x :— xa, je vektorový prostor. Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru oooooooo ooo»oooo ooooo oooooo oooo Príklad 0 Množina Matmxn(M) všech matic typu m x n s operacemi sčítaní matic a násobení matice reálným číslem je vektorový prostor nad M. 0 Množina T všech funkcí f : M —> M s operacemi + .. . sčítaní funkcí, tj. (f + g)(x) :— f (x) + g(x), a • ... násobení funkce reálným číslem, tj. (a • f)(x) :— a ■ f (x), je vektorový prostor. O Množina M+ všech kladných reálných čísel s operacemi © .. . sčítaní, pro x, y e M+ definujme x © y :— xy, a 0 .. . násobení skalárem, pro x e M+ a a e M definujme a 0 x :— xa, je vektorový prostor. O Množina C komplexních čísel s obvyklými operacemi sčítání a násobení je vektorový prostor nad M. ■0 0.0 Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru oooooooo oooo^ooo ooooo oooooo oooo Příklad O Množina 1/1/ všech polynomů sudého stupně s operacemi sčítání polynomů a násobení polynomu skalárem ■0 0.0 Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru oooooooo oooo^ooo ooooo oooooo oooo Příklad O Množina 1/1/ všech polynomů sudého stupně s operacemi sčítání polynomů a násobení polynomu skalárem není vektorový prostor. Není splněna podmínka uzavřenosti množiny 1/1/ na operaci + Např. pro polynomy p(x) = x4 + x3 + x2 a q(x) = —x4 + 1, pro které je p, q £ 1/1/, platí (p + q)(x) = x3 + x2 + 1 0 1/1/ (není sudého stupně). ■0 0.0 Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru oooooooo oooo^ooo ooooo oooooo oooo Príklad O Množina 1/1/ všech polynomů sudého stupně s operacemi sčítání polynomů a násobení polynomu skalárem není vektorový prostor. Není splněna podmínka uzavřenosti množiny 1/1/ na operaci + Např. pro polynomy p(x) = x4 + x3 + x2 a q(x) = —x4 + 1, pro které je p, q G 1/1/, platí (p + q)(x) = x3 + x2 + 1 0 1/1/ (není sudého stupně). O Množina Gl„ všech (čtvercových) regulárních matic řádu n s operacemi © .. . sčítání, definované pro A, B e GL„ jako A © B :— AB, a 0 .. . násobení matice skalárem, tj. pro A e GL„ a a e M je aQA :=a-A, ■0 0.0 Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru oooooooo oooo^ooo ooooo oooooo oooo Príklad O Množina 1/1/ všech polynomů sudého stupně s operacemi sčítání polynomů a násobení polynomu skalárem není vektorový prostor. Není splněna podmínka uzavřenosti množiny 1/1/ na operaci + Např. pro polynomy p(x) = x4 + x3 + x2 a q(x) = —x4 + 1, pro které je p, q G 1/1/, platí (p + q)(x) = x3 + x2 + 1 0 1/1/ (není sudého stupně). O Množina Gl„ všech (čtvercových) regulárních matic řádu n s operacemi © .. . sčítání, definované pro A, B e GL„ jako A © B :— AB, a 0 .. . násobení matice skalárem, tj. pro A e GL„ a a e M je aQA :=a-A, není vektorový prostor. Není např. splněna podmínka komutativity operace ©. Prozkoumejte, které axiomy splněny jsou! Zejména si všimněte, že pro A, B G GL„ je také A © B = AB G GL„, oproti tomu pro A G GL„ a a G M je a ■ A G GL„ pouze pokud a / 0. Lj- - -00.O Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru oooooooo ooooo»oo ooooo oooooo oooo Věta Necht V je vektorový prostor nad polem skalám K, dále uvažme a, b, a,- G K, vektory u, v, uj G V. Potom Q a ■ u = 0 právě když 3 = 0 nebo u = 0 O (-1) -u = -u 0 a ■ (u — v) = a ■ u — a • v 0 (a — b) • u = a • u — b • u O (EÍLi a,) • (£7=i u;) = E?=1 E7=1 a/ • Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru oooooooo ooooooso ooooo oooooo oooo U matic jsme pracovali s tzv. lineárními kombinacemi řádků matice. S obecnými vektory budeme zacházet zcela analogicky: Výrazy tvaru a\ • v\ + • • • + a^ • nazýváme lineární kombinace vektorů vi,..., C V. Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru oooooooo ooooooso ooooo oooooo oooo U matic jsme pracovali s tzv. lineárními kombinacemi řádků matice. S obecnými vektory budeme zacházet zcela analogicky: Výrazy tvaru a\ • v\ + • • • + ak • vk nazýváme lineární kombinace vektorů vi,..., vk C V. Definice Množina vektorů M C V ve vektorovém prostoru V nad K se nazývá lineárně nezávislá jestliže pro každou /c-tici vektorů vi,.. -, y k £ M a každé skaláry a\,..., ak G K platí: 3i • vi H-----h ak ■ vk = 0 =>- ai = a2 = • • • = ak = 0. Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru oooooooo ooooooso ooooo oooooo oooo U matic jsme pracovali s tzv. lineárními kombinacemi řádků matice. S obecnými vektory budeme zacházet zcela analogicky: Výrazy tvaru a\ • v\ + • • • + ak • vk nazýváme lineární kombinace vektorů vi,..., vk C V. Definice Množina vektorů M C V ve vektorovém prostoru V nad K se nazývá lineárně nezávislá jestliže pro každou /c-tici vektorů vi,.. -, y k £ M a každé skaláry a\,..., ak G K platí: 3i • vi H-----h ak ■ vk = 0 =>- ai = a2 = • • • = ak = 0. Posloupnost vektorů vi,... ,vk nazveme lineárně nezávislou jestliže vii ■ ■ ■ > vk Jsou P° dvou různé a {vi,..., vk} je lineárně nezávislá. Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru oooooooo ooooooso ooooo oooooo oooo U matic jsme pracovali s tzv. lineárními kombinacemi řádků matice. S obecnými vektory budeme zacházet zcela analogicky: Výrazy tvaru a\ • v\ + • • • + ak • vk nazýváme lineární kombinace vektorů vi,..., vk C V. Definice Množina vektorů M C V ve vektorovém prostoru V nad K se nazývá lineárně nezávislá jestliže pro každou /c-tici vektorů vi,.. -, y k £ M a každé skaláry a\,..., ak G K platí: 3i • vi H-----h ak ■ vk = 0 =>- 3i = a2 = • • • = ak = 0. Posloupnost vektorů vi,... ,vk nazveme lineárně nezávislou jestliže vii ■ ■ ■ > vk Jsou P° dvou různé a {vi,..., vk} je lineárně nezávislá. Množina M vektorů je lineárně závislá, jestliže není lineárně nezávislá. Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru oooooooo ooooooo* ooooo oooooo oooo Lineární závislost a nezávislost Přímo z definice pak vyplývá, že neprázdná podmnožina M vektorů ve vektorovém prostoru nad polem skalárů K je závislá právě, když je jeden z jejích vektorů vyjádřitelný jako lineární kombinace ostatních. Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru oooooooo ooooooo* ooooo oooooo oooo Lineární závislost a nezávislost Přímo z definice pak vyplýva, že neprázdna podmnožina M vektoru ve vektorovém prostoru nad polem skalárů K je závislá právě, když je jeden z jejích vektorů vyjádřitelný jako lineární kombinace ostatních. Přímo z definic plyne, že každá podmnožina lineárně nezávislé množiny M je lineárně nezávislá. Stejně snadno vidíme, že M C V je lineárně nezávislá právě tehdy, když každá konečná podmnožina v M je lineárně nezávislá. Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru oooooooo oooooooo ooooo oooooo oooo ášky Qi Matice a determinanty Q Vektorové prostory Q Generátory a podprostory Q Báze a součty podprostorů Qi Souřadnice vektorů Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru oooooooo oooooooo »oooo oooooo oooo Definice Podmnožina MC 1/se nazýva vektorovým podprostorem (nad K), jestliže spolu se zúženými operacemi sčítaní a násobení skaláry je sama vektorovým prostorem. Tzn. požadujeme \/a, b G K, Vľ.iveM, a ■ v + b ■ w G M. Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru oooooooo oooooooo »oooo oooooo oooo Definice Podmnožina MC 1/se nazýva vektorovým podprostorem (nad K), jestliže spolu se zúženými operacemi sčítaní a násobení skaláry je sama vektorovým prostorem. Tzn. požadujeme \/a, b G K, Vľ.iveM, a ■ v + b ■ w G M. Príklad O Nechť V = R2 a W := {(xi,x2) G M2, xi +x2 = 0}. Potom je W vektorový pod prostor prostoru M2. Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru oooooooo oooooooo »oooo oooooo oooo Definice Podmnožina MC 1/se nazýva vektorovým podprostorem (nad K), jestliže spolu se zúženými operacemi sčítaní a násobení skaláry je sama vektorovým prostorem. Tzn. požadujeme \/a, b g K, Vľ.iveM, a ■ v + b ■ w g M. ' Príklad O Nechť V = R2 a W := {(xi,x2) g M2, xi +x2 = o}- Potom je W vektorový pod prostor prostoru M2. 0 Množina 1/1/ := {A g Matnxn, matice A má samé nuly na diagonále} je vlastní podprostor vektorového prostoru Matnxr ■ Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru oooooooo oooooooo o»ooo oooooo oooo Príklad Prostor n-tic skalárů Mm se sčítáním a násobením po složkách je vektorový prostor nad M, ale také vektorový prostor nad Q. Např. pro m = 2 jsou vektory (1, 0), (0,1) G M2 lineárně nezávislé, protože z a ■ (1, 0) + b ■ (0,1) = (0, 0) plyne a = b = 0. Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru oooooooo oooooooo o»ooo oooooo oooo Příklad Prostor n-tic skalárů Mm se sčítáním a násobením po složkách je vektorový prostor nad M, ale také vektorový prostor nad Q. Např. pro m = 2 jsou vektory (1, 0), (0,1) G M2 lineárně nezávislé, protože z a ■ (1, 0) + b ■ (0,1) = (0, 0) plyne a = b = 0. Dále, vektory (1, 0), (\/2, 0) G M2 jsou lineárně závislé nad M, protože y/2 - (1,0) = (V2, 0), ovšem nad Q jsou lineárně nezávislé! Nad M tedy tyto dva vektory generují jednorozměrný podprostor, zatímco nad Q je dvourozměrný. Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru oooooooo oooooooo oo»oo oooooo oooo Príklad Polynomy stupně nejvýše m tvoří vektorový prostor Mm[x]. Polynomy můžeme chápat jako zobrazení f : M. —> M. a sčítání a násobení skaláry definujeme takto: [f + g)(x) = f(x) + g(x), (a ■ f)(x) = a ■ f(x). Polynomy všech stupňů také tvoří vektorový prostor Moo[x] a Mm[x] C M„[x] je vektorový podprostor pro všechna m < n < oo. Podprostory jsou rovněž např. všechny sudé polynomy nebo liché polynomy (f(—x) = ±f(x)). Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru oooooooo oooooooo oo»oo oooooo oooo Príklad Polynomy stupně nejvýše m tvoří vektorový prostor Mm[x]. Polynomy můžeme chápat jako zobrazení f : M. —> M. a sčítání a násobení skaláry definujeme takto: [f + g)(x) = f(x) + g(x), (a ■ f)(x) = a ■ f(x). Polynomy všech stupňů také tvoří vektorový prostor Moo[x] a Mm[x] C M„[x] je vektorový podprostor pro všechna m < n < oo. Podprostory jsou rovněž např. všechny sudé polynomy nebo liché polynomy (f(—x) = ±f(x)). Příklad Úplně analogicky jako u polynomů můžeme definovat strukturu vektorového prostoru na množině všech zobrazení M. —> M. nebo všech zobrazení M —> V libovolné pevně zvolené množiny M do vektorového prostoru V. Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru oooooooo oooooooo ooo«o oooooo oooo Generátory podprostoru Protože podmínka v definici podprostoru obsahuje pouze univerzální kvantifikátory, je jistě průnik podprostorů opět podprostor. Snadno to ověříme i přímo: Nechť l/l//, / £ /, jsou vektorové podprostory ve V, a, b £ K, u, v 6 n,-e/l/l//. Pak pro všechny / G /, a • u + b • v £ l/l//, to ale znamená, že a ■ u + b ■ v G n/e/W/. Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru oooooooo oooooooo ooo»o oooooo oooo Generátory podprostoru Protože podmínka v definici podprostoru obsahuje pouze univerzální kvantifikátory, je jistě průnik podprostorů opět podprostor. Snadno to ověříme i přímo: Nechť l/l//, / £ /, jsou vektorové podprostory ve V, a, b £ K, u, v 6 n,-e/l/l//. Pak pro všechny / G /, a • u + b • v £ 1/1//, to ale znamená, že a ■ u + b ■ v G n/e/W/. Definice Zejména je tedy podprostorem průnik všech podprostorů 1/1/ C V, které obsahují předem danou množinu vektorů M C V. Říkáme, že tato M generuje podprostor (M), nebo že prvky M jsou generátory podprostoru (M). Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru oooooooo oooooooo oooo» oooooo oooo Věta Pro každou podmnožinu M C V platí 0 (M) = {a\ ■ u\ H-----h ak- uk; k G N, a-, G K, uj G M, j = l,...,k} 0 M = (M) právě když M je vektorový podprostor 0 jestliže N C M pak (N) C (M) _/e vektorový podprostor 0 (0) = {0} C V, triviálni podprostor. Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru oooooooo oooooooo ooooo oooooo oooo ášky Qi Matice a determinanty Q Vektorové prostory Q Generátory a podprostory Q Báze a součty podprostorů Qi Souřadnice vektorů Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru OOOOOOOO OOOOOOOO OOOOO »00000 oooo Definice Nechť V;, i G /, jsou podprostory ve V. Pak podprostor generovaný jejich sjednocením, tj. (U/e/V/), nazývame součtem podprostorů V/. Značíme Yliel ^i- Zejména pro Vi,..., Vk C V, Vi + • • • + Vk = (Vi U V2U ■ ■ ■ U Vk). Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru OOOOOOOO OOOOOOOO OOOOO »00000 oooo Definice Nechť V;, i 6 /, jsou podprostory ve V. Pak podprostor generovaný jejich sjednocením, tj. (U/e/V/), nazýváme součtem podprostorů V/. Značíme £,e/ V,. Zejména pro Vi,..., Vk C V, Ví + ■ ■ ■ + Vk = (ViU V2U ■ ■ ■ u vk). Viděli jsme, že každý prvek v uvažovaném součtu podprostorů můžeme vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů z podprostorů V/. Protože však je sčítání vektorů komutativní, lze k sobě poskládat členy patřící do stejného podprostorů a pro konečný součet k podprostorů tak dostáváme V1 + V2 + ---+Vk = {v1 + --- + vk; vj £ Vj, / = !,...,*}. Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru oooooooo oooooooo ooooo o»oooo oooo Definice Součet 1/1/ = Vi + • • • + Vk C V se nazýva přímý součet podprostorů, jsou-li průniky všech dvojic triviální, tj. V, n Vj = {0} pro všechny / 7^_/'. V takovém případě lze každý vektor w G 1/1/ napsat právě jedním způsobem jako součet iv = 1/1 H-----h v/o kde v,- G V/. Pro přímé součty píšeme 1/1/= Ví©---© Vfc = ©ÍL1V/. Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru oooooooo oooooooo ooooo oo»ooo oooo Definice Podmnožina MC 1/se nazýva báze vektorového prostoru V, jestliže (M) = V a M je lineárně nezávislá. Vektorový prostor, který má konečnou bázi nazýváme konečněrozměrný, mohutnost báze nazýváme dimenzí Va. Nemá-li V konečnou bázi, říkáme, že V je nekonečněrozměrný. Píšeme dim V = k, k G N, případně k = oo. aVsimněme si, že triviální podprostor je generován prázdnou množinou, která je prázdnou bazí. Má tedy triviální podprostor dimenzi nulovou. Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru oooooooo oooooooo ooooo oo»ooo oooo Definice Podmnožina MC 1/se nazýva báze vektorového prostoru V, jestliže (M) = V a M je lineárně nezávislá. Vektorový prostor, který má konečnou bázi nazýváme konečněrozměrný, mohutnost báze nazýváme dimenzí Va. Nemá-li V konečnou bázi, říkáme, že V je nekonečněrozměrný. Píšeme dim V = k, k G N, případně k = oo. aVšimněme si, že triviální podprostor je generován prázdnou množinou, která je prázdnou bazí. Má tedy triviální podprostor dimenzi nulovou. Bázi /c-rozměrného prostoru budeme obvykle zapisovat jako /c-tici v = (vi ..., Vk) bázových vektorů. Jde tu především o zavedení konvence: U konečněrozměrných podprostorů budeme totiž vždy uvažovat bázi včetně zadaného pořadí prvků i když jsme to takto, striktně vzato, nedefinovali. Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru oooooooo oooooooo ooooo oo»ooo oooo Definice Podmnožina MC 1/se nazýva báze vektorového prostoru V, jestliže (M) = V a M je lineárně nezávislá. Vektorový prostor, který má konečnou bázi nazýváme konečněrozměrný, mohutnost báze nazýváme dimenzí Va. Nemá-li V konečnou bázi, říkáme, že V je nekonečněrozměrný. Píšeme dim V = k, k G N, případně k = oo. aVšimněme si, že triviální podprostor je generován prázdnou množinou, která je prázdnou bazí. Má tedy triviální podprostor dimenzi nulovou. Bázi /c-rozměrného prostoru budeme obvykle zapisovat jako /c-tici v = (vi ..., Vk) bázových vektorů. Jde tu především o zavedení konvence: U konečněrozměrných podprostorů budeme totiž vždy uvažovat bázi včetně zadaného pořadí prvků i když jsme to takto, striktně vzato, nedefinovali. Zjevně, je-li (i/i,..., vn) bazí V, je celý prostor V přímým součtem jednorozměrných podprostorů V = (l/i) © • • • © (vn). n><9> < 1 ► 1 Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru oooooooo oooooooo ooooo ooo»oo oooo Věta Z libovolné konečné množiny generátoru vektorového prostoru V lze vybrat bázi. Každá báze V má přitom stejný počet prvků. Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru oooooooo oooooooo ooooo ooo»oo oooo Věta Z libovolné konečné množiny generátoru vektorového prostoru V lze vybrat bázi. Každá báze V má přitom stejný počet prvků. Silnější tvrzení je Steinitzova věta o výměně, která říká, že pro každou konečnou bázi a každý systém lineárně nezávislých vektorů ve V umíme najít podmnožinu bázových vektorů, které záměnou za zadané nové vektory dají opět bázi. Důsledky tohoto tvrzení jsou: Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru oooooooo oooooooo ooooo ooo»oo oooo Z libovolné konečné množiny generátorů vektorového prostoru V lze vybrat bázi. Každá báze V má přitom stejný počet prvků. Silnější tvrzení je Steinitzova věta o výměně, která říká, že pro každou konečnou bázi a každý systém lineárně nezávislých vektorů ve V umíme najít podmnožinu bázových vektorů, které záměnou za zadané nové vektory dají opět bázi. Důsledky tohoto tvrzení jsou: Důsledek O Každé dvě báze konečněrozměrného vektorového prostoru mají stejný počet vektorů. Q Má-li V konečnou bázi, lze každou lineárně nezávislou množinu doplnit do báze. O Báze konečněrozměrných vektorových prostorů jsou právě maximální lineárně nezávislé množiny O Báze prostoru s konečnou dimenzí jsou právě minimální množiny generátorů Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru oooooooo oooooooo ooooo oooo»o oooo Věta Nechi l/l/, Wi, I/I/2 c V jsou podprostory v prostoru konečné dimenze. Pak platí O dim 1/1/ < dim V O V = W právě když dim V = dim 1/1/ O dim l/l/i + dim W2 = dim(Wi + W2) + dim(l/l/i n W2). Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru oooooooo oooooooo ooooo oooo»o oooo Věta Nechi l/l/, Wi, I/I/2 C V jsou podprostory v prostoru konečné dimenze. Pak platí © dim 1/1/ < dim V O V = W právě když dim V = dim 1/1/ O dim l/l/i + dim W2 = dim(Wi + W2) + dim(l/l/i n W2). Důsledek Je-li V prostor dimenze n, pak • každá n-prvková množina lineárně nezávislých vektorů generuje V a • každá n-prvková množina generátorů V je lineárně nezávislá. V obou případech jde tedy o bázi vektorového prostoru V. Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru oooooooo oooooooo ooooo 00000» oooo Q Kn má (jako vektorový prostor nad K) dimenzi n. Bází je např. n-tice vektoru ((1,0,...,0),(0,1,...,0)...,(0,...,0,1)). Tuto bázi nazýváme standardní báze v K". Všimněme si, že v případě konečného pole skalárů, např. Z^, má celý vektorový prostor Kn jen konečný počet k" prvků. ■0 0.0 Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru OOOOOOOO OOOOOOOO OOOOO 00000» oooo Příklad O Kn má (jako vektorový prostor nad K) dimenzi n. Bází je např. n-tice vektoru ((1,0,...,0),(0,1,...,0)...,(0,...,0,1)). Tuto bázi nazýváme standardní báze v Kn. Všimněme si, že v případě konečného pole skalárů, např. Z^, má celý vektorový prostor Kn jen konečný počet k" prvků. 0 C jako v. p. nad M má dimenzi 2, bázi tvoří např. čísla 1 a /'. ■0 0.0 Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru OOOOOOOO OOOOOOOO OOOOO 00000» oooo Příklad Q Kn má (jako vektorový prostor nad K) dimenzi n. Bází je např. n-tice vektoru ((1,0,...,0),(0,1,...,0)...,(0,...,0,1)). Tuto bázi nazýváme standardní báze v Kn. Všimněme si, že v případě konečného pole skalárů, např. Z^, má celý vektorový prostor Kn jen konečný počet k" prvků. 0 C jako v. p. nad M má dimenzi 2, bázi tvoří např. čísla 1 a /'. O Km[x], tj. prostor polynomů stupně nejvýše m, má dimenzi m + 1, bazí je např. posloupnost 1, x, x2,..., xm. ■0 0.0 Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru OOOOOOOO OOOOOOOO OOOOO 00000» oooo Příklad Q Kn má (jako vektorový prostor nad K) dimenzi n. Bází je např. n-tice vektoru ((1,0,...,0),(0,1,...,0)...,(0,...,0,1)). Tuto bázi nazýváme standardní báze v Kn. Všimněme si, že v případě konečného pole skalárů, např. Z^, má celý vektorový prostor Kn jen konečný počet k" prvků. 0 C jako v. p. nad M má dimenzi 2, bázi tvoří např. čísla 1 a /'. O Km[x], tj. prostor polynomů stupně nejvýše m, má dimenzi m + 1, bazí je např. posloupnost 1, x, x2,..., xm. O Vektorový prostor všech polynomů K[x] má dimenzi oo, umíme však ještě stále najít bázi (i když s nekonečně mnoha prvky): l,x,x2,.... ■0 0.0 Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru OOOOOOOO OOOOOOOO OOOOO 00000» oooo Příklad O Kn má (jako vektorový prostor nad K) dimenzi n. Bází je např. n-tice vektoru ((1,0,...,0),(0,1,...,0)...,(0,...,0,1)). Tuto bázi nazýváme standardní báze v Kn. Všimněme si, že v případě konečného pole skalárů, např. Z^, má celý vektorový prostor Kn jen konečný počet k" prvků. 0 C jako v. p. nad M má dimenzi 2, bázi tvoří např. čísla 1 a /'. O Km[x], tj. prostor polynomů stupně nejvýše m, má dimenzi m + 1, bazí je např. posloupnost 1, x, x2,..., xm. O Vektorový prostor všech polynomů K[x] má dimenzi oo, umíme však ještě stále najít bázi (i když s nekonečně mnoha prvky): l,x,x2,.... O Vektorový prostor M nad Q má dimenzi oo a nemá spočetnou bázi. Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru oooooooo oooooooo ooooo oooooo oooo ášky Qi Matice a determinanty Q Vektorové prostory Q Generátory a podprostory Q Báze a součty podprostorů Q Souřadnice vektoru Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru OOOOOOOO OOOOOOOO OOOOO OOOOOO »000 Když je množina {i/i,..., vn} c V báze, můžeme každý vektor v g V vyjádřit jako lineární kombinaci v = a\V\ + • • • + anvn. Předpokládejme, že to uděláme dvěma způsoby: v = ai 1/1 H-----h anvn = b\v\ H-----h bnvn. Potom ale O = (si - b{) ■ i/i H-----h {an - bn) ■ vn a proto a,- = b; pro všechna / = 1,..., n. Lze tedy každý vektor zadat právě jediným způsobem jako lineární kombinaci bázových vektorů. Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru OOOOOOOO OOOOOOOO OOOOO OOOOOO »000 Když je množina {i/i,..., vn} c V báze, můžeme každý vektor v g V vyjádřit jako lineární kombinaci v = a\v\ + • • • + anvn. Předpokládejme, že to uděláme dvěma způsoby: v = ai 1/1 H-----h anvn = b\v\ H-----h bnvn. Potom ale O = (si - b{) ■ i/i H-----h {an - bn) ■ vn a proto a,- = b; pro všechna / = 1,..., n. Lze tedy každý vektor zadat právě jediným způsobem jako lineární kombinaci bázových vektorů. Definice Koeficienty této jediné lineární kombinace vyjadřující daný vektor v g V ve zvolené bázi (i/i,..., vn) se nazývají souřadnice vektoru v v této bázi. Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru oooooooo oooooooo ooooo oooooo o»oo obraze Přiřazení, které vektoru u = a\V\ + • • • + anvn přiřadí jeho souřadnice v bázi v, budeme značit stejným symbolem v : V ->• K". Má tyto vlastnosti: • ¥.{u + w) = v(u) + v(w); Vu, w £ V • v(a ■ u) = a ■ v(u); V a e K,Vu £ V. Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektoru OOOOOOOO OOOOOOOO ooooo oooooo oo»o Příklad Vektor w = (3, 2,1) má ve standardní bázi e = (ei, e2, 63) prostoru M3 souřadnice zatímco v bázi u = ((1,1,1), (1,1, 0), (1, 0, 0)) má w souřadnice protože w = (3, 2,1) = 1 • (1,1,1) + 1 • (1,1, 0) + 1 • (1, 0, 0). Všimněte si, že když říkáme vektor w = (3,2,1), tak tím vlastně automaticky myslíme tento vektor vztažený ke standardní bázi e. ■0 0.0 Matice a determinanty Vektorové prostory Generátory a podprostory Báze a součty podprostorů Souřadnice vektorů oooooooo oooooooo ooooo oooooo ooo» Příklad Polynom p(x) = kx + q má ve standardní bázi lineárních polynomů souřadnice e = (x, 1) prostoru [pmi. = q, zatímco v bázi u = (x — 1, x + 1) má polynom p(x) souřadnice [P(x)]„ = (^j , protože p(x) = kx + q = ^ • (* - 1) + ^ • (x + 1).