Báze a souřadnice ooooooo Lineární zobrazení oooooo Maticová reprezentace lineárních zobrazení ooooooooooo Matematika I - 8. přednáška Lineární zobrazení Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 16. 4. 2012 Báze a souřadnice Lineární zobrazení Maticová reprezentace lineárních zobrazení ooooooo oooooo ooooooooooo Obsah přednášky Báze a souřadnice Lineární zobrazení Maticová reprezentace lineárních zobrazení Maticová reprezentace lineárních zobrazení ooooooooooo Dop Lineární zobraz' oooooo • Martin Panák, Jan Slovák - Drsná matematika, e-text. • Roman Hilscher - MB101, e-text. • Slidy z přednášek a democvičení Báze a souřadnice ooooooo Lineární zobrazení oooooo Maticová reprezentace lineárních zobrazení ooooooooooo Doporučené zdroje • Martin Panák, Jan Slovák - Drsná matematika, e-text. • Roman Hilscher - MB101, e-text. • Slidy z přednášek a democvičení • Pavel Horák, Úvod do lineární algebry, MU Brno, skripta (http://www.math.muni.cz/~horak) • Luboš Motl, Miloš Zahradník, Pěstujeme lineární algebru, 3. vydání, Univerzita Karlova v Praze, Karolinum, 348 stran (elektronické vydání také na http: //www. kole j .mf f . cuni. cz/~Olmotm275/skripta/). Báze a souřadnice Lineární zobrazení Maticová reprezentace lineárních zobrazení ooooooo oooooo ooooooooooo Plán přednášky Q Báze a souřadnice Q Lineární zobrazení Q Maticová reprezentace lineárních zobrazení Báze a souřadnice Lineární zobrazení Maticová reprezentace lineárních zobrazení •oooooo oooooo ooooooooooo Souřadnice vektoru v dané bázi Když je množina {vi,..., vn} c V báze, můžeme každý vektor v g V vyjádřit jako lineární kombinaci v = a\V\ + • • • + anvn. Předpokládejme, že to uděláme dvěma způsoby: v = ai 1/1 H-----h anvn = b\v\ H-----h £>„!/„. Potom ale 0 = (si — b\) • y\ H-----h (a„ - Z>„) • i/„, a proto a,- = b; pro všechna / = 1,..., n. Lze tedy každý vektor zadat právě jediným způsobem jako lineární kombinaci bázových vektorů. Báze a souřadnice Lineární zobrazení Maticová reprezentace lineárních zobrazení •oooooo oooooo ooooooooooo Souřadnice vektoru v dané bázi Když je množina {vi,..., vn} c V báze, můžeme každý vektor v £ V vyjádřit jako lineární kombinaci v = a\V\ + • • • + anvn. Předpokládejme, že to uděláme dvěma způsoby: v = a\vi H-----h anvn = b\v\ H-----h fanvn. Potom ale 0 = (ai — b\) • v\ H-----h (a„ - fan) • a proto af- = b; pro všechna / = 1,..., n. Lze tedy každý vektor zadat právě jediným způsobem jako lineární kombinaci bázových vektorů. Definice Koeficienty této jediné lineární kombinace vyjadřující daný vektor v g V ve zvolené bázi (vi,..., vn) se nazývají souřadnice vektoru v v této bázi. ■0 0.0 Báze a souřadnice Lineární zobrazení Maticová reprezentace lineárních zobrazení 0*00000 oooooo ooooooooooo Báze jako zobrazení Přiřazení, které vektoru u = a\v\ + • • • + anvn přiřadí jeho souřadnice v bázi v, budeme značit stejným symbolem v : V ->• K". Má tyto vlastnosti: • ¥.{u + w) = v(u) + v(w); Vu, 1/1/ £ V • ^(a ■ u) = a ■ v(u); V a e K,Vu £ V. 1Transpozici píšeme proto, abychom si zvykali, že se souřadnicemi budeme pracovat jako se sloupcovými vektory. Báze a souřadnice o»ooooo Báze ja Lineární zobrazeni oooooo Maticová reprezentace lineárních zobrazení ooooooooooo Přiřazení, které vektoru u = a\\/\ + • • • + anvn přiřadí jeho souřadnice v bázi v, budeme značit stejným symbolem v : V ->• K". Má tyto vlastnosti: • ¥.{u + w) = v(u) + v(w); Vu, w £ V • ^(a • u) = a • Va e K,Vu £ V. Totéž zobrazení (v případě potřeby explicitního zmínění báze) budeme rovněž značit [u]v = (ai,..., an)T. 1 1Transpozici píšeme proto, abychom si zvykali, že se souřadnicemi budeme pracovat jako se sloupcovými vektory. Báze a souřadnice oo»oooo Lineární zobrazení oooooo Maticová reprezentace lineárních zobrazení ooooooooooo Příklad Vektor w = (3, 2,1) má ve standardní bázi e = (ei, ě2, 63) prostoru M3 souřadnice zatímco v bázi u = ((1,1,1), (1,1, 0), (1, 0, 0)) má w souřadnice protože w = (3, 2,1) = 1 • (1,1,1) + 1 • (1,1, 0) + 1 • (1, 0, 0). Všimněte si, že když říkáme vektor w = (3,2,1), tak tím vlastně automaticky myslíme tento vektor vztažený ke standardní bázi e. ■0 0.0 Báze a souřadnice Lineární zobrazení Matica vá reprezentace li íeárních zobrazení ooo#ooo oooooo ooooooooooo Příklad Polynom p(x) = kx + q má ve standardní bázi lineárních polynomů souřadnice e = (x, 1) prostoru [pmi. = q, zatímco v bázi u = (x — l,x + 1) má polynom p(x) souřadnice [P(x)]„ = (^j , protože p(x) = kx + g = ^ • (* - 1) + ^ • (x + 1). Maticová reprezentace lineárních zobrazení ooooooooooo Změna báze Příklad Uvažujme vektorový prostor M3, vektor w = (3, 2,1) a dvě báze e = (ei,e2,e3), u= ((1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)). Ul u2 u3 Viděli jsme, že souřadnice vektoru w v jednotlivých bázích jsou w 3^ e — | 2 w Zejména si všimněte, že '1N [ui] e-,1 [U3]e = | 0 ,0, 00.0 Báze a souřadnice Lineární zobrazení Maticová reprezentace lineárních zobrazení ooooo»o oooooo ooooooooooo Vztah dvou souřadnicových vektorů pro vektor w můžeme jednoduše popsat pomocí maticového násobení. Pokud dáme vektory báze u (či přesněji souřadnice vektorů báze u v bázi e) do sloupců matice (označme ji jako 7"), potom je w =:T T ■ [w]u. Báze a souřadnice Lineární zobrazení Matica vá reprezentace li íeárních zobrazení ooooo»o oooooo ooooooooooo Vztah dvou souřadnicových vektorů pro vektor w můžeme jednoduše popsat pomocí maticového násobení. Pokud dáme vektory báze u (či přesněji souřadnice vektorů báze u v bázi e) do sloupců matice (označme ji jako 7"), potom je w =:T T ■ [w]u. Matici T říkáme matice přechodu od báze u k bázi e. Zkuste si rovnou rozmyslet, jak bude vypadat matice přechodu od báze u k bázi e. Báze a souřadnice Lineární zobrazení Maticová reprezentace lineárních zobrazení 000000» oooooo ooooooooooo Obecně: Matici T přechodu (od báze u k bázi v) získáme tak, že souřadnice vektorů báze u v bázi v napíšeme do sloupců matice T. latice přechodu a její inverze Funkce matice přechodu je taková, že známe-li souřadnice x vektoru v bázi u, pak jeho souřadnice v bázi v se obdrží vynásobením sloupce x maticí přechodu (zleva). Protože inverzní zobrazení k identickému je opět totéž identické zobrazení, je matice přechodu vždy invertibilní a její inverze je právě matice přechodu opačným směrem, tj. od báze v k bázi u_. Báze a souřadnice Lineární zobrazení Maticová reprezentace lineárních zobrazení ooooooo oooooo ooooooooooo Plán přednášky Q Báze a souřadnice Q Lineární zobrazení Q Maticová reprezentace lineárních zobrazení 4 P ► 4 S ► < -š ► ' - ► Báze a souřadnice Lineární zobrazení Maticová reprezentace li íeárních zobrazení ooooooo •ooooo ooooooooooo Lineární zobr azení Definice Nechť V a 1/1/ jsou vektorové prostory nad týmž polem skalárů K. Zobrazení f : V —> 1/1/ se nazývá lineární zobrazení, jestliže platí: Q f(u + v) = f{u) + f(v), Vu, v g V O f(a-u) = a- f(u), Va éK, Vu g V. Báze a souřadnice Lineární zobrazení Maticová reprezentace li íeárních zobrazení ooooooo •ooooo ooooooooooo Lineární zobr azení Definice Nechť V a 1/1/ jsou vektorové prostory nad týmž polem skalárů K. Zobrazení f : V —> W se nazývá lineární zobrazení, jestliže platí: & f(u + v) = f{u) + f {v), Vu,veV Q f(a-u) = a- f(u), Va e K, Vu e V. Pokud je cílový vektorový prostor W totožný s výchozím prostorem V, potom nazýváme lineární zobrazení L : V —> V lineární transformace prostoru V. Maticová reprezentace lineárních zobrazení ooooooooooo Lineární zobrazení Baze a souřadnice Lineární zobrazeni OOOOOOO »00000 Definice Nechť V a 1/1/ jsou vektorové prostory nad týmž polem skalárů K. Zobrazení f : V —> W se nazývá lineární zobrazení, jestliže platí: & f(u + v) = f{u) + f {v), Vu,veV Q f(a-u) = a- f(u), Va e K, Vu e V. Pokud je cílový vektorový prostor W totožný s výchozím prostorem V, potom nazýváme lineární zobrazení L : V —> V lineární transformace prostoru V. Taková zobrazení jsme již viděli např. ve formě násobení matic: Kn 3 A-x eKm pro matici A typu m/n nad K je (díky vlastnostem násobení matic) lineárním zobrazením Kn —> Km. Báze a souřadnice ooooooo Lineární zobrazení o«oooo Maticová reprezentace lineárních zobrazení ooooooooooo Příklady lineárních zobrazení Příklad Následující zobrazení jsou lineární transformace na vektorovém prostoru M2: O Prodloužení nebo zkrácení vektoru Z_((x,y)) = a • (x,y). aVyzkoušet a rozmyslet můžete např. s využitím apletu na tomto webu. Báze a souřadnice ooooooo Lineární zobrazení o«oooo Maticová reprezentace lineárních zobrazení ooooooooooo Příklady lineárních zobrazení Příklad Následující zobrazení jsou lineární transformace na vektorovém prostoru M2: O Prodloužení nebo zkrácení vektoru Z_((x,y)) = a • (x,y). O Rotace o ^ v kladném smyslu L((x, y)) = (—y,x). aVyzkoušet a rozmyslet můžete např. s využitím apletu na tomto webu. Báze a souřadnice ooooooo Lineární zobrazení o»oooo Maticová reprezentace lineárních zobrazení ooooooooooo Následující zobrazení jsou lineární transformace na vektorovém prostoru M2: O Prodloužení nebo zkrácení vektoru Z_((x,y)) = a • (x,y). O Rotace o ^ v kladném smyslu L((x, y)) = (—y,x). O Obecněji, rotace o úhel ip v kladném smyslua aVyzkoušet a rozmyslet můžete např. s využitím apletu na tomto webu. Báze a souřadnice ooooooo Lineární zobrazení o»oooo Maticová reprezentace lineárních zobrazení ooooooooooo Následující zobrazení jsou lineární transformace na vektorovém prostoru M2: O Prodloužení nebo zkrácení vektoru Z_((x,y)) = a • (x,y). O Rotace o ^ v kladném smyslu L((x, y)) = (—y,x). O Obecněji, rotace o úhel ip v kladném smyslua Projekce vektoru na některou souřadnou osu, např. aVyzkoušet a rozmyslet můžete např. s využitím apletu na tomto webu. L{{x,y))=ye2 = (0,y). Báze a souřadnice ooooooo Lineární zobrazení 00*000 Maticová reprezentace lineárních zobrazení ooooooooooo Příklady lineárních zobrazení - pokr. Příklad O L : M3 R, Z.((xi,x2,x3)) = xx + 2x2 - x3 je lineární zobrazení. O Z. : M3 ^ M, /.((xi,x2,x3)) = X! + 2x2x3 není lineární zobrazení. O L : M3 M, Z.((xi,x2,x3)) = xi + 2x2 - x3 - 1 není lineární zobrazení. Báze a souřadnice ooooooo Lineární zobrazení ooo*oo Maticová reprezentace lineárních zobrazení ooooooooooo Vlastnosti lineárních zobrazení Obraz Im f := f (V) c W je zjevně vektorový podprostor. Stejně tak je vektorovým podprostorem množina všech vektorů Ker f := f~1({0}) c V. Nazývá se jádro (kernel) lineárního zobrazení f. Lineární zobrazení, které je bijekcí, nazýváme izomorfismus vektorových prostorů. Báze a souřadnice ooooooo Lineární zobrazení ooo»oo Maticová reprezentace lineárních zobrazení ooooooooooo Obraz Im f := f (V) c W je zjevně vektorový podprostor. Stejně tak je vektorovým podprostorem množina všech vektorů Ker f := f~1({0}) c V. Nazývá se jádro (kernel) lineárního zobrazení f. Lineární zobrazení, které je bijekcí, nazýváme izomorfismus vektorových prostorů. Li(u) L2{u) y X ei = (x, 0) e2 = (0,y) projekce na osu x, projekce na osu y. A proto platí Li(u) L2{u) 0 0 x = 0 tedy je Ker/_i = (e2), y = 0 tedy je Ker/_2 = (ei). 00.0 Báze a souřadnice ooooooo Lineární zobrazení oooo«o Maticová reprezentace lineárních zobrazení ooooooooooo Věta Nechť f : V —» 1/1/ je lineární zobrazení. Pro všechny u, ui,..., Uk g V, 3i,..., a k g K platí: O f(0) = 0 © f(-u) = -f(u) 0 f(ai • ui H-----h afe • uk) = ai • f(m) H-----f O pro každý vektorový pod prostor V\ c V je jeho obraz f(Vi) vektorový pod prostor ve W. O Pro každý podprostor \N\ c 1/1/ _/e množina f~1{Wí) = {v e V; f (v) g l/l/i} ve/cřorový podprostor ve V. Báze a souřadnice ooooooo Lineární zobrazení ooooo* Maticová reprezentace lineárních zobrazení ooooooooooo Jednoduché důsledky o Složení g o f : V —> Z dvou lineárních zobrazení f : V —» 1/1/ a g : 1/1/ Z je opět lineární zobrazení. o Lineární zobrazení f : V —» 1/1/ je izomorfismus právě když Im f = 1/1/ a Ker f = {0} c V. Inverzní zobrazení k izomorfismu je opět izomorfismus. o Pro podprostory V\, V2 a lineární zobrazení f : V —» 1/1/ platí f (V! + v2) = f( Vi) + f(\/2), ^(Vi n v2) c f( Vi) n f(\/2). O Zobrazení přiřazení souřadnic u : V —>■ K", dané libovolně zvolenou bází u = (ui,..., u„) vektorového prostoru V, je izomorfismus. o Dva konečněrozměrné vektorové prostory jsou izomorfní právě když mají stejnou dimenzi. o Složení dvou izomorfismu je izomorfismus. Q Báze a souřadnice Q Lineárni zobrazení Q Maticová reprezentace lineárních zobrazení Báze a souřadnice Lineární zobrazení Matico vá reprezentace li leárních zobrazení ooooooo oooooo •oooooooooo Uvažujme libovolné vektorové prostory U, V nad K s dim U = n, dim V = m a mějme lineární zobrazení f : U —> V. Pro každou volbu bází u = (ui,..., un) na U, v = (vi,..., vn) na V, máme k dispozici příslušná přiřazení souřadnic: U V Přitom je každé lineární zobrazení jednoznačně určeno svými hodnotami na libovolné množině generátorů, zejména tedy na bázi u. Báze a souřadnice Lineární zobrazení Maticová reprezentace li íeárních zobrazení ooooooo oooooo o«ooooooooo Matice linear ního zobrazení Věta Pro každé lineární zobrazení L : V —> W mezi (konečněrozměrnými) vektorovými prostory V (dimenze n s bází u) a W (dimenze m s bází v) existuje matice A typu m x n s vlastností [L(w)]v = A ■ [w]u pro všechny vektory w g V. Matice A reprezentuje toto lineárni zobrazení L v bázích u a v, přičemž sloupce matice A jsou souřadnice obrazů bázových vektorů u\,..., un (výchozího prostom V) v bázi v (cílového prostom W), tj- A=(aW ... a["l), kde aW = [L{Ui)]v g Rm, / = !,..., n. Báze a souřadnice ooooooo Lineární zobrazení oooooo Maticová reprezentace lineárních zobrazení oo»oooooooo Příklad Nechť L : M3 —> M2 je pro dáno předpisem: L(u) = x1v1 + (x3 - x2) 1/2, kde u = (xi,x2,x3)r, v\ = (2, — l)7", V2 = (1, — 2)T. Určete matici A, která reprezentuje toto lineární zobrazení (a) v bázích e = (ei, ě2, 63) a e = (ei, 62) (standardní báze prostorů R3 a R2), (b) v bázích e = (ei, ě2, 63) a v = (i/i, 1/2). Báze a souřadnice ooooooo Lineární zobrazení oooooo Maticová reprezentace lineárních zobrazení ooo»ooooooo Řešení a) Protože je , , / 2xi - x2 + x3 \ '(u)=Ui+2*2-2x3J< je L(ei) = (2,-1)T, L(e2) = (-1,2)T, L(e3) = (1, -2)7 Protože ve standardní bázi e cílového prostoru M2 je w = [w]e, je maticová reprezentace zobrazení L v těchto bázích tj- Báze a souřadnice Lineární zobrazení Matico vá reprezentace li leárních zobrazení ooooooo oooooo oooo»oooooo b) Protože je L(ei) = (2, -l)r = vi, L(e2) = (-1, 2)T = -v2, L(e3) = (1, -2)T = v2, je [Z.(ei)]v = (l,0)r, [Z.(e2)]v = (0,-l)r, [Z.(e3)]v = (0, l)r, je maticová reprezentace zobrazení L v těchto bázích B = Be 0 tj. [/.(/,)]„ 0 Báze a souřadnice ooooooo Lineární zobrazení oooooo Maticová reprezentace lineárních zobrazení ooooo»ooooo Jestliže za U i V zvolíme tentýž prostor, ale s různými bázemi, a za f identické zobrazení, vyjadřuje náš postup vektory báze u v souřadnicích vzhledem k v. Označme výslednou matici T. Když pak zadáme vektor u v souřadnicích vzhledem k u a dosadíme za uj, obdržíme souřadné vyjádření x téhož vektoru v bázi v. Stačí k tomu přeskládat pořadí sčítanců a vyjádřit skaláry u jednotlivých vektorů báze. Podle výše uvedeného postupu musí vyjít x = T • x. Tuto matici jsme již dříve nazvali matice přechodu od báze u k bázi v. Matice T zadávající transformaci souřadnic z báze u_ do báze v je tedy maticí identického zobrazení idy : U —^ U: u = xiui H-----h xnun U U u K' lu.v Báze a souřadnice ooooooo Lineární zobrazení oooooo Maticová reprezentace lineárních zobrazení oooooo»oooo Nyní snadno uvidíme, jak se skládají souřadná vyjádření lineárních zobrazení. Uvažme ještě další vektorový prostor 1/1/ nad K dimenze k s bází w, lineární zobrazení g : V —> 1/1/ a označme příslušnou matici gv,w- Pro matice těchto zobrazení dostáváme čímž jsme odvodili: gv,w o ^(x) = B ■ {A ■ x) = (fi • A) ■ x = {g o f)u,w{*) pro všechny x g K". Všimněte si, že izomorfismy odpovídají právě invertibilním maticím. Báze a souřadnice ooooooo Lineární zobrazení oooooo Maticová reprezentace lineárních zobrazení ooooooo»ooo Příklad Jako příklad skládání lineárních transformací M2 —> M2 uveďme složení dvou rotací Jak jsme dříve ukázali, rotace o úhel ip v kladném smyslu je (ve standardní bázi) reprezentována maticí ícosíp — s\mp\ v \s\r\

M2 uveďme složení dvou rotací Jak jsme dříve ukázali, rotace o úhel ip v kladném smyslu je (ve standardní bázi) reprezentována maticí ícosíp — s\mp\ v \s\r\ (p cos (p J ' podobně pro matici rotace o úhel tp. Jejich složení (v libovolném pořadí) zřejmě odpovídá rotaci o úhel tp + tp, proto /cos(