Drsná matematika Martin Panák, Jan Slovák a „autorský kolektiv" i Projekt netradiční základní učebnice matematiky pro studenty přírodních věd, informatiky, ekonomie apod., přibližující podstatnou část matematiky v rozsahu čtyř semestrálních přednášek. Text by měl být dokončen a vydán v roce 2013. Práce na učebnici jsou podpořeny projektem Univerzitní výuka matematiky v měnícím se světě (CZ.1.07/2.2.00/15.0203) NVESTICE D O ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Obsah Kapitola 1. Rozcvička 1 1. Čísla a funkce 1 2. Kombinatorické veličiny 6 3. Diferenční rovnice 11 4. Pravděpodobnost 14 5. Geometrie v rovině 23 6. Relace a zobrazení 38 Kapitola 2. Elementární lineárni algebra 67 1. Vektory a matice 67 2. Determinanty 79 3. Vektorové prostory a lineárni zobrazení 89 4. Vlastnosti lineárních zobrazení 107 Kapitola 3. Linární modely a maticový počet 127 1. Lineárni procesy 127 2. Diferenční rovnice 129 3. Iterované lineárni procesy 136 4. Více maticového počtu 144 5. Rozklady matic a pseudoinverze 163 Kapitola 4. Analytická geometrie 187 1. Afmní a euklideovská geometrie 187 2. Geometrie kvadratických forem 205 3. Projektivní geometrie 211 Kapitola 5. Zřízení ZOO 219 1. Interpolace polynomy 219 2. Reálná čísla a limitní procesy 228 3. Derivace 247 4. Mocninné řady 258 Kapitola 6. Diferenciální a integrální počet 305 1. Derivování 305 2. Integrování 322 3. Nekonečné řady 341 Kapitola 7. Spojité modely 355 1. Aproximace pomocí Fourierových řad 355 2. Integrální operátory 361 iii KAPITOLA 1 Rozcvička „ hodnota, změna, poloha " — co to je a jak to uchopit? Cílem první kapitoly je uvést čtenáře do fascinujícího světa matematického myšlení. Vybíráme si k tomu co nej-konkrétnější příklady modelování reálných situací pomocí abstraktních objektů a souvislostí. Zároveň projdeme několik témat a postupů, ke kterým se postupně budeme vracet a v závěru kapitoly se budeme chvíli věnovat samotnému jazyku matematiky (se kterým budeme jinak zacházet spíše intuitivně). O co jednodušší jsou východiska a objekty, se kterými zde budeme pracovat, o to složitější je pochopit do důsledku jemnosti použitých nástrojů a postupů. Většinou je možné proniknout k podstatě věcí teprve v jejich souvislostech. Proto je také představujeme hned z několika pohledů zároveň. Přecházení od tématu k tématu se možná bude zdát jako zmatečné, ale to se jistě postupně spraví při našich návratech k jednotlivým úvahám a pojmům v pozdějších kapitolách. Název kapitoly lze chápat i jako nabádání k trpělivosti. I nejjednodušší úlohy a úvahy budou snadné jen pro ty, kteří už podobné řešili (a půjde pro ně jen o opakování znalosti ze střední školy). K postupnému poznání a ovládnutí matematického myšlení vede jen pozvolná a spletitá cesta. Začneme s tím nejjednodušším: obyčejnými čísly. 1. Čísla a funkce Lidé odjakživa chtějí mít jasno „kolik" něčeho je, případně „za kolik" to je, „jak dlouho" něco trvá apod. Výsledkem takových úvah je většinou nějaké „číslo". Za číslo přitom W/f1^ považujeme něco, co umíme sčítat a násobit a splňuje to obvyklé zákonitosti, ať už všechny nebo jen některé. Například výsledek sčítání nezávisí na pořadí, v jakém čísla sčítáme, máme k dispozici číslo nula, které přičtením výsledek nezmění, číslo jedna, kterým můžeme násobit, aniž bychom změnili výsledek, apod. Nejjednodušším příkladem jsou tzv. čísla přirozerJá^iůi. deme je značit N = {0, 1, 2, 3, ...}. Všimněme si, že jsme mezi přirozená čísla vzali i nulu, jak je obvyklé zvláště v informatice. Počítat „jedna, dvě, tři, ..." se učí děti už ve školce. O něco později se setkáváme s čísly celými Z = {..., —2, — 1, 0, 1, 2, ...} a nakonec si zvykneme na A. Čísla a funkce S přirozenými, celými, racionálními a reálnými čísly již počítat umíme. Zamyslíme se, proč racionální čísla nestačí (byť v počítači s jinými doopravdy počítat neumíme) a připomeneme si tzv. čísla komplexní (protože ani s reálnými čísly si při výpočtech nevystačíme). 1.1. Najděte nějaké reálné číslo, které není racionální. Řešení. Jedna z mnoha možných odpovědí je *Jl. Již staří Řekové věděli, že předepíšeme-li plochu čtverce a2 = 2, pak nelze najít racionální a, které by předpisu vyhovovalo. Proč? Víme, že každé přirozené číslo n lze jednoznačným způsobem vyjádřit jako součin n = p^1 ■ pr^ ... prkk, až na pořadí v součinu, kde p\, ..., Pk jsou po dvou různá prvočísla. Pokud by tedy platilo (p/q)2 = 2 pro přirozená čísla p a q, pak tedy p2 = 2q2. Na levé straně máme v rozkladu na prvočísla 2r se sudým r (případně r = 0), na pravé straně ale bude vždy mocnina dvojky lichá. To je spor s naším tvrzením a tedy předpoklad nemůže platit a žádné racionální číslo nemůže mít za svoji druhou mocninu dvojku. □ 1.2. Najděte řešení rovnice x2 = b pro libovolné reálné číslo b. Řešení. Víme, že tato rovnice má vždy řešení x v oboru reálných čísel, pokud je b nezáporné. Jestliže je b = —1, pak ale zjevně takové reálné x existovat nemůže. Musíme proto najít větší obor čísel, ve kterém už řešení existovat bude. 1 A. ČÍSLA A FUNKCE 1. ČÍSLA A FUNKCE pl. 3 K reálným číslům nejprve přidáme nové číslo i, tzv. imaginární jednotku a zkusíme dodefinovat sčítání a násobení tak, abychom |i na- dále zajistili obvyklé chování čísel, jak jsou shrnuty v odstavci 1. Jistě musíme umět nové číslo i násobit reálnými čísly a výsledky sčítat s jakýmikoliv reálnými čísly. Nutně proto musíme v novém číselném oboru komplexních čísel C pracovat s formálními výrazy z = a + i b. Aby byly splněny vlatnosti asociativity a distributivity, zavedeme sčítání tak, že se nezávisle sčítají reálné složky a imaginární složky. Stejně tak chceme násobení tak, jak by se násobily dvojčleny reálných čísel s jediným dodatečným pravidlem i2 = — 1, tj. (a + i b) + (c + i d) = {a + c) + i (b + d), (a + i b) ■ (c + i d) = (ac — bd) + i (bc + ad). □ Reálnému číslu a říkáme reálná složka komplexního čila z, reálnému číslu b pak imaginární složka, píšeme re(z) = a, im(z) = b. 1.3. Ověřte, že skutečně platí všechny vlastnosti (KG1-4), (01-4) a (P) skalárů z 1.1. Řešení. Nulou je číslo 0+/ 0, jedničkou číslo 1+i 0, které opět píšeme jako 0 a 1.Všechny vlastnosti se ověří přímočarým výpočtem. □ 1.4. Komplexní číslo je dáno dvojicí reálných čísel, jde tedy o bod v reálné rovině M2. Ukažte, že vzdálenost komplexního čísla z = a + ib od počátku je dána výrazem zž, kdež komplexně sdružené číslo a —i b. Řešení. Součin ,2 , r 2 zz (a2 + b2) + i (-ab + ba) ar + , je vždy reálné číslo a dává nám skutečně kvadrát vzdálenosti čísla z. od počátku 0. Platí tedy \z\2 = zz. □ 1.5. Interpretujte násobení imaginární jednotkou a vzetí komplexně sdruženého čísla jako geometrickou transformaci v rovině. Řešení. Imaginární jednotka i odpovídá bodu (0, 1) a všimněme si, že vynásobení jakéhokoliv čísla z = a + i b imaginární jednotkou dává výsledek i ■ (a + i b) = —b + i a což je v interpertaci v rovině otočení bodu z o pravý úhel v kladném smyslu, tj. proti směru hodinových ručiček. Přiřazení komplexně sdruženého čísla je symetrie podle osy reálných čísel: z = (a + i b) h-> (a — i b) = ž- □ desetinná čísla a víme, co znamená 1.19-násobek ceny díky 19% dani z přidané hodnoty. 1.1. Vlastnosti čísel. Abychom mohli s čísly pracovat opravdu, musíme se jejich definici a vlastnostem věnovat pořádněji. V matematice se těm základním tvrzením o vlastnostech objektů, jejichž platnost předpokládáme, aniž bychom se zabývali jejich dokazovaním, říká axiomy. Vhodná volba axiomů předurčuje jak dosah z nich vycházející teorie, tak její použitelnost v matematických modelech skutečnosti. | Vlastnosti skalárů | Vlastnosti sčítání: | (KG1) (a + b) + c = a + (b + c), pro všechna a, b, c (KG2) a + b = b + a, pro všechna a, b (KG3) existuje 0 taková, že pro všechna a platí a + 0 = a (KG4) pro všechna a existuje b takové, že a + b = 0 Vlastnostem (KG1) - (KG4) říkáme vlastnosti komutativní grupy. Jsou to po řadě asociativita, komutativita, existence neutrálního prvku (říkáme u sčítání také nulového prvku), existence inverzního prvku (říkáme u sčítání také opačného prvku k a a značíme ho —a). Vlastnosti násobení: (01) (a ■ b) ■ c = a ■ (b ■ c), pro všechny a, b, c (02) a ■ b = b ■ a, pro všechny a, b (03) existuje prvek 1 takový, že pro všechny a platí 1 • a = a (04) a ■ (b + c) = a ■ b + a ■ c, pro všechny a, b, c. Vlastnosti (01)-(04) se postupně nazývají asociativita, komutativita, existence jednotkového prvku a distributivita sčítání vůči násobení. Množiny s operacemi +, • a vlastnostmi (KG1)-(KG4), (01)-(04) se nazývají komutativní okruhy. Další vlastnosti násobení: (P) pro každé a ^ 0 existuje b takové, že a ■ b = 1. (01) je-li a ■ b = 0, potom buď a = 0 nebo b = 0. Vlastnost (P) se nazývá existence inverzního prvku vzhledem k násobení (tento prvek se pak značí a-1) a vlastnost (01) říká, že neexistují „dělitelé nuly". ^m^mmmmmmmmmmm Uvedli jsme si základní vlastnosti operací sčítání a násobení pro naše počty s čísly, která píšeme jako písmena a,b,c, .... Obě tyto operace fungují tak, že vezmeme dvě čísla a, b a aplikací sčí-tání nebo násobení dostaneme výsledné hodnoty a + b a a ■ b. Vlastnosti těchto operací budeme soustavně využívat, aniž bychom museli přesně vědět, s jakými objekty skutečně pracujeme. Tak se dostaneme k obecným matematickým nástrojům, je však vždy dobré mít představu o typických příkladech. 2 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA Celá čísla Z jsou dobrým příkladem komutativní grupy, přirozená čísla nikoliv, protože nesplňují (KG4) (a případně neobsahují neutrální prvek, pokud někdo nulu do N nezahrnuje). Když komutativní okruh navíc splňuje i vlastnost (P), hovoříme o poli (často také o komutativním tělese). Poslední uvedená vlastnost (Ol) je automaticky splněna, pokud platí (P). Opačně to ovšem neplatí a tak říkáme, že vlastnost (Ol) je slabší než (P). Např. okruh celých čísel Z nesplňuje (P), ale splňuje (Ol). Hovoříme v takovém případě o oboru integrity. Všimněme si, že množina všech nenulových prvků v poli společně s operací násobení splňuje (Ol), (02), (03), (P), a je proto také komutativní grupa. Jen se místo sčítání mluví o násobení. Jako příklad můžeme vzít všechna nenulová reálná čísla. Prvky nějaké množiny s operacemi + a • splňujícími (ne nutně všechny) výše uvedené vlastnosti (tj. komutativní okruh, obor integrity, pole) budeme nazývat skaláry. Budeme pro ně vesměs užívat malá latinská písmena ze začátku nebo konce abecedy. Všechny vlastnosti (KG1)-(KG4), (01)-(04), (P), (01) z našich úvah je třeba brát jako axiomatickou definici příslušných matematických pojmů. Pro naše potřeby bude stačit si průběžně uvědomovat, že při dalších diskusích budeme důsledně používat pouze tyto vlastnosti skalárů a že i naše výsledky proto budou platné pro všechny objekty s těmito vlastnostmi. V tomto je pravá síla matematických teorií - nejsou platné jen pro konkrétní řešený příklad. Naopak, při rozumné výstavbě mají vždy univerzální použití. Budeme se snažit tento aspekt zdůrazňovat, přestože naše ambice mohou být v rámci daného rozsahu učebnice jen velice skromné. 1.2. Existence skalárů. K tomu, aby ale skutečně bylo možné budovat matematickou teorii, je třeba ověřit, že takové objekty mohou existovat. Pro pořádek si proto budeme postupně ukazovat, jak je možné zkonstruovat základní číselné obory. Pro konstrukci přirozených čísel začneme s předpokladem, že víme, co jsou to množiny. Prázdnou množinu si označíme 0 a definujeme (1.1) O := 0, n + 1 := n U {n} , neboli O:=0, 1 }, 2 := {O, 1}, ...,n + 1 := {O, 1, ...,n] Tímto zápisem říkáme, že pokud už máme definovaná všechna čísla O, 1, 2, ... n, pak číslo n + 1 definujeme jako množinu všech předchozích čísel. Přirozená čísla takto ztotožňujeme s počty prvků konkrétních množin. Číslo n je množina, která má n prvků a dvě přirozená čísla a, b jsou stejná, právě když příslušné množiny mají stejně prvků. V teorii množin se místo slovního spojení „počet prvků množiny" používá pojem „mohutnost 1.6. Využijte k popisu komplexních čísel úhel průvodiče a vzdálenost od počátku (tzv. gonimetrický tvar). Řešení. Komplexní čísla tvaru z = coscp + i sin/l3- Z pravoúhlého trojúhelníka v obrázku pak snadno spočteme sin( n. 1.7. Tvrzení. Pro všechna přirozená čísla k a n platí přeuspořádání, výběrů a tak podobně. Ve velké většině takovýchto problémů lze vystačit se „selským rozumem". Stačí vhodně používat pravidel součtu a součinu, která si ukážeme na následujících příkladech: 1.18. Maminka chce Jeníkovi a Mařence rozdělit pět hrušek a šest jablek. Kolika způsoby to může udělat? (Hrušky mezi sebou považujeme za nerozlišitelné, stejně tak jablka. Připouštíme, že některé z dětí nic nedostane.) Řešení. Pět hrušek samostatně může maminka rozdělit šesti způsoby. (Rozdělení je určeno tím, kolik hrušek dá Jeníkovi, zbytek připadne Mařence.) Šest jablek pak nezávisle sedmi způsoby. Podle pravidla součinu pak obě ovoce současně může rozdělit 6 • 7 = 42 způsoby. □ 1.19. Určete počet čtyřciferných čísel, která začínají cifrou 1 a nekončí cifrou 2, nebo končí cifrou 2 a nezačínají cifrou 1. Řešení. Množina uvažovaných čísel je složená ze dvou disjunktních množin, totiž čísel, která začínají cifrou 1 a nekončí cifrou 2 (první množina) a čísel, která nezačínají cifrou 1 a končí cifrou 2. Celkový počet popsaných čísel dostaneme podle pravidla součtu tak, že sečteme počty čísel v těchto dvou množinách. V první z těchto množin máme čísla tvaru „1XXY", kde X je libovolná cifra a F je libovolná číslice mimo dvojky. Můžeme tedy provést deset voleb druhé cifry, nezávisle na tom můžeme provést deset voleb třetí cifry a opět nezávisle devět voleb poslední cifry. Tyto tři nezávislé volby jednoznačně určují dané číslo a podle pravidla součinu máme tedy 10 • 10-9 = 900 takových čísel. Obdobně ve druhé skupině máme 8 • 10 • 10 = 800 čísel (na první cifru máme pouze osm možností, neboť číslo nemůže začínat nulou a jedničku máme zakázánu). Celkem podle pravidla součtu je 900 + 800 = 1700 uvažovaných čísel. □ 1.20. Určete počet způsobů, jak lze na šachovnici (8x8 polí) postavit bílou a černou věž tak, aby se neohrožovaly (nebyly ve stejném řádku ani sloupci). Řešení. Nejprve umístíme např. bílou věž. Pro ni máme na výběr z 82 polí. Ve druhém kroku umístíme věž černou. Nyní máme „k dispozici" 72 polí. Podle pravidla součinu je výsledek 82 • 72 = 3 136. □ V následujících příkladech už budeme při řešení používat pojmů kombinace, permutace, variace (případně s opakováním), které jsme definovali. 1.21. Během schůze má vystoupit 8 řečníků. Stanovte počet všech pořadí, v nichž dva předem určení řečníci nevystupují ihned po sobě. 7 B. KOMBINATORIKA 2. KOMBINATORICKÉ VELIČINY Řešení. Označme si zmíněné dva řečníky jako osoby A a. B. Pokud hned po vystoupení osoby A následuje vystoupení osoby B, můžeme na to nahlížet jako na projev jediného řečníka. Počet všech pořadí, v nichž vystupuje B ihned po A, je tedy roven počtu všech permutací ze sedmi prvků. Stejný je pochopitelně také počet všech pořadí, v nichž vystupuje A ihned po B. Neboť počet všech možných pořadí 8 řečníků je 8!, číslo 81 — 2-7! udává hledaný počet pořadí. □ 1.22. Kolik existuje přesmyček slova PROBLÉM takových, že v nich a) písmena B a R stojí vedle sebe, b) písmena B a R nestojí vedle sebe. Řešení, a) Dvojici písmen B a R můžeme považovat za jedno nedělitelné dvojpísmeno. Celkem tedy máme k dispozici šest různých písmen a šestipísmených slov složených z různých písmen je 6!. V našem případě však tento počet musíme ještě vynásobit dvěma, neboť naše dvojpísmeno může bít jak BR tak RB. Celkem dostáváme 2-6! různých přesmyček. b) 7! — 2 • 6! (doplněk části a) do počtu všech sedmipísmenných slov složených z různých písmen. □ 1.23. Kolika způsoby může sportovec umístit 10 různých pohárů do 5 polic, jestliže se na každou polici vejde všech 10 pohárů? Řešení. K pohárům přidáme 4 navzájem nerozlišitelné předměty, kupř. tužky. Počet všech různých pořadí pohárů a tužek je zřejmě 14 !/4! (tužky jsou nerozlišitelné). Každé umístění pohárů do polic ovšem odpovídá právě jednomu seřazení pohárů a tužek. Stačí třeba říci, že poháry před první tužkou v pořadí dáme do první police (při zachování pořadí), poháry před druhou tužkou do druhé police atd. To znamená, že číslo 14!/4! je výsledkem. □ 1.24. Určete počet čtyřciferných čísel sestavených z právě dvou různých cifer. Řešení. Dvě různé cifry použité na zápis můžeme vybrat (j0) způsoby, ze dvou vybraných cifer můžeme sestavit 24 — 2 různých čtyřciferných čísel (dvojku odečítáme za dvě čísla složená pouze z jedné cifry). Celkem máme (j0) (24—2) = 630 čísel. Nyní jsme ale započítali i čísla začínající nulou. Těch je (j)(23 — 1) = 63. Celkově dostáváme 630 - 63 = 567 čísel. □ 1.25. Určete počet sudých čtyřciferných čísel sestavených z právě dvou různých cifer. Řešení. Obdobně jako v předchozím příkladu se nejprve nebudeme ohlížet na cifru nula. Dostaneme tak (j)(24 — 2) + 5 • 5(23 — 1) čísel (nejprve počítáme čísla pouze ze sudých cifer, druhý sčítanec udává (2) g:í) = ©+Gy (3) ELo 0 = 2" (4) EL,*®^2"-1- Důkaz. První tvrzení je zjevné přímo z formule (1.3). Jestliže vyčíslíme pravou stranu z tvrzení (2), dostáváme /n\ í n \ n\ n\ \ k j + n k + 1 + k\(n - k)\ ' (k + l)!(n (k + l)n\ + (n- k)n\ 1)! (k + l)!(n - k)\ _ (n + 1)! ~ (* + l)!(n -k)\ což je ale levá strana tohoto tvrzení. Tvrzení (3) dokážeme tzv. matematickou indukcí. Tento 0 typ důkazu je vhodný právě pro tvrzení, která říkají, že něco má platit pro všechna přiro-7OM zená čísla n. Matematická indukce se skládá ze dvou kroků. V prvním se tvrzení dokáže pro n = 0 (popřípadě n = 1 nebo další hodnoty n). V druhém, tzv. indukčním, kroku předpokládáme, že tvrzení platí pro nějaké n (a všechny předešlé hodnoty), a za pomoci tohoto předpokladu dokážeme, že tvrzení platí i pro n + 1. Dohromady z toho pak vyvodíme, že tvrzení platí pro všechna přirozená n. Tvrzení (3) zjevně platí pro n = 0, protože Q = 1 = 2°. (Stejně tak je přímo vidět i pro n = 1.) Předpokládejme, že platí pro nějaké n a spočtěme příslušnou sumu pro n + 1 s využitím tvrzení (2) i (3). Dostaneme n + 1 E *=0 n + 1 k n + 1 E jt=0 n E k=-\ n k - 1 + n + 1 + E k=0 2" +2" = 2' n + 1 Všimněme si, že vzorec (3) udává počet všech podmnožin rc-prvkové množiny, neboť je počet všech jejích ^-prvkových podmnožin. Všimněme si také, že tvrzení (3) plyne přímo z (1.5) volbou a = b = 1. Tvrzení (4) dokážeme opět matematickou indukcí, podobně jako (3). Zjevně platí pro n = 0, čímž je hotov první krok. Indukční předoklad říká, že (4) platí pro něj aké n. Spočtěme nyní příslušnou sumu pro n + 1 s využitím tvrzení (2) a indukčního předpokladu. Dostaneme n + 1 E* *=0 n + 1 n + 1 n \ In k-l) + \k E* n , x n+l , x Ě(;hĚ<:)+í>(;; 8 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA 2n i „„ o n — 1 . •\n—i (« + 1)2". 1.6 Tím je proveden indukční krok, a tvrzení je dokázáno pro všechna přirozená n. □ Druhá vlastnost z našeho tvrzení umožňuje sestavit všechna kombinační čísla do tzv. Pascalova trojúhelníku, kde každé číslo obdržíme jako součet dvou bezprostředně nad ním ležících sousedů: n = 0 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 1 1 10 10 1 Všimněme si, že v jednotlivých řádcích máme právě koeficienty u jednotlivých mocnin z výrazu (1.5), např. poslední uvedený řádek říká (a + by = a3 + 5a*b + 10a"bz + 10azb" + 5ať + b . 1.8. Výběr s opakováním. Pořadí n prvků, z nichž mezi některými nerozlišujeme, nazýváme permutace s opakovaním. Nechť je mezi n danými prvky p\ prvků prvního druhu, p2 prvků druhého druhu, ..., Pk prvků &-tého druhu, p\ + p2 + ■ ■ ■ + Pk = n, potom počet pořadí těchto prvků s opakováním budeme značit P(pi,...,pk). Podobně jako u permutací a kombinací bez opakování, pro výběr prvního z nich máme n možností, pro další n — 1 a tak dále, až po poslední, který zbude. Přitom ale za stejná považujeme pořadí nerozlišitelných objektů. Těch je pro každou skupinku o pt objektech právě pt!, takže zřejmě platí ' Permutace s opakováním P(pi Pk) P\\--- Pk]- Volný výběr k prvků z n možností, včetně pořadí, nazýváme variace k-tého stupně s opakováním, jejich počet budeme značit V(n,k). Volný výběr v tomto případě znamená, že předpokládáme, že stále máme pro výběr stejně možností, např. díky tomu, že vybrané prvky před dalším výběrem vracíme nebo třeba házíme pořád stejnou kostkou. Zřejmě platí | Variace s opakováním [ V(n,k) =nk Pokud nás výběr zajímá bez zohlednění pořadí, hovoříme o kombinacích s opakováním a pro jejich počet píšeme C(n, k). Zde se na první pohled nezdá tak jednoduché, jak výsledný počet zjistit. Důkaz následující věty je pro matematiku typický - podaří se nám nový problém převést na problém jiný, který jsme už dříve zvládli. V našem počet sudých čtyřciferných čísel složených ze sudé a liché cifry). Opět musíme odečíst čísla začínající nulou, těch je (23 — 1)4 + (22 — 1)5. Hledaný počet cifer tak je (24 - 2) + 5 • 5(23 - 1) - (23 - 1)4 - (22 - 1)5 = 272. □ 1.26. Na koncertě je 730 lidí. Mají někteří z nich stejné iniciály? (Neuvažujeme háčky ani čárky) Řešení. Písmen v abecedě (včetně CH) je 27. Počet všech možných iniciálu je tedy 272 = 729. Proto aspoň 2 lidé budou mít stejné iniciály. □ 1.27. Noví hráči se sejdou v jednom volejbalovém týmu (6 lidí). Kolikrát si při seznamování (každý s každým) podají ruce? Kolikrát si hráči podají ruce se soupeřem po odehrání zápasu? Řešení. Seznamuje se každá dvojice z šesti hráčů. Počet podání rukou je teda roven kombinaci C(2, 6) = (^) = 15. Po zápase si každý z šesti hráčů podá ruku šestkrát (s každým z šesti soupeřů). Počet je teda dohromady 62 = 36. □ 1.28. Jak se může rozesadit pět osob v pětimístném autě, když jen dva z nich mají řidičský průkaz? Jak se může rozesadit 20 cestujících a dva řidiči v 25-místném minibuse? Řešení. Na místě řidiče máme dvě možnosti a na zbylých místech už je pořadí libovolné, tzn. pro spolujezdce 4 možnosti, pro další místo 3, pak 2 a 1. Celkově 2.4! = 48 možností. Podobně v minibuse máme dvě možnosti na místě řidiče a druhý řidič plus cestující mohou na zbylých 24 místech sedět libovolně. Nejprve vybereme místa, která budou obsazená, tj. (^J) a na těchto místech může být 21! různých pořadí. Dohromady máme 2.(2 0 a n > 1 C(n,k) n+k-1 1 Důkaz. Důkaz je opřen o trik (jednoduchý, jakmile ho pochopíme). Uvedeme dva různé postupy. Představme si nejprve, že taháme postupně karty z balíku n různých karet a abychom mohli případně některou z nich vytáhnout vícekrát, přidáme si k balíku ještě k — 1 různých žolíků (alespoň jednou určitě chceme jednu z původních karet). Řekněme, že postupně vytáhneme r původních karet a s žolíků, tj. r + s = k. Zdá se, že bychom měli vymyslet postup, jak z těch s žolíků poznat, které karty nám zastupují. Ve skutečnosti nám ale stačí diskuse počtů možností takových voleb. K tomu můžeme použít matematickou indukci a předpokládat, že dokazovaná věta platí pro menší argumenty než jsou nuk. Skutečně, potřebujeme obsáhnout kombinace s-té třídy s opakováním z pouze r původních karet, což dává (r+k~r~1) = C71)' c°ž Je právě počet kombinací 5-tého stupně (bez opakování) ze všech žolíků. Tím je věta dokázána. Druhý přístup (bez matematické indukce): Na množině S = {ai, an}, ze které vybíráme kombinace, si zafixujeme uvedené pořadí prvků a pro naše volby prvků z 5 si připravíme n přihrádek, do kterých si již předem dáme v námi zvoleném pořadí po právě jednom prvku z S. Jednotlivé volby xt e S přidáváme do přihrádky, která již tento prvek obsahuje. Nyní si uvědomme, že pro rozpoznání původní kombinace nám stačí vědět, kolik je prvků v jednotlivých přihrádkách. Například, a I bbb I cc \ d ~ * | * * * | ** | *, vypovídá o volbě b, b, c z množiny S = {a, b, c, d}. V obecném případě výběru k prvků z n možných tedy máme řetězec n + k znaků a počet C(n, k) je roven počtu možných umístění přihrádek | mezi jednotlivé znaky. To odpovídá výběru n — 1 pozic z n + k — 1 možných. Protože je n + k k 1 n+k-1 n + k — 1 — k n+k-1 n - 1 je věta dokázána i podruhé. □ 10 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA 1. 7 el. 4 3. Diferenční rovnice V předchozích odstavcích jsme viděli vzorce, které zadávaly hodnotu skalární funkce definované na přirozených číslech (faktoriál) nebo dvojicích čísel (binomická čísla) pomocí předcházejících hodnot. Zatímco v odstavci 1.5 jsou kombinační čísla definována přímo spočítatelným výrazem, lze rozumět vztahům v 1.8 také tak, že místo hodnoty naší funkce zadáváme její změnu při odpovídající změně nezávislé proměnné. Takto se skutečně velice často postupuje při matematické formulaci modelů, které popisují reálné sys-l-^y//, témy v ekonomice, biologii apod. My si tu povšimneme jen několika jednoduchých případů a budeme se k této tématice postupně vracet. 1.9. Lineární diferenční rovnice prvního řádu. Obecnou diferenční rovnicí prvního řádu rozumíme výraz f(n + 1) = F(n, /(«)), kde F je známá skalární funkce závislá na dvojicích přirozených čísel. Známe-li „počáteční" hodnotu /(O), můžeme spočítat /(l) = F(0, /(O)), poté f (2) = F(l, /(l)) atd. Tímto postupným způsobem můžeme tedy nakonec spočítat hodnotu f (jí) pro libovolné n e N. Všimněme si, že tato úvaha je podobná konstrukci přirozených čísel z prázdné množiny nebo principu matematické indukce. Jako příklad může sloužit definiční formule pro faktoriál, tj- (n + 1)! = (n + 1) -n\ Vidíme, že skutečně vztah pro f(n + \) závisí na n i na hodnotě f(n). Dalším obzvlášť jednoduchým příkladem je f(n) = C pro nějaký pevný skalár C a všechna n a tzv. lineární diferenční rovnice (1.6) f(n + í) = a ■ f(n) + b, kde a ^ 0, a b jsou známé skaláry. Takovou diferenční rovnici umíme snadno řešit, je-li b = 0. Pak se totiž jedná o dobře známou rekurentní definici geometrické posloupnosti a platí /(l) = a/(0), f (2) = af(l) = a2f(0) atd. Máme tedy pro všechna n f (n) = ď f (Q). To je např. vztah pro tzv. Malthusiánský model populačního růstu, který vychází z představy, že za zvolený časový interval vzroste populace s konstantní úměrou a vůči předchozímu stavu. Dokážeme si obecný výsledek pro rovnice prvního řádu, které se podobají lineárním, ale připouští proměnné koeficienty a a b, množin pak má n! prvků (místa pro věže vybíráme postupně od prvního řádku - tam máme n možností, ve druhém pak již pouze n — 1 možností - jeden sloupec je již obsazen, ...). Podle principu inkluze a exkluze je počet hledaných rozestavení: 2n" - n\. □ 1.34. Kolika způsoby mohla skončit tabulka první fotbalové ligy, víme-li o ní, že žádné dva z trojice týmů Zbrojovka Brno, Baník Ostrava a Sigma Olomouc spolu v tabulce „nesousedí"?(Ligu hraje 16 mužstev.) Řešení. První způsob. Hledaný počet spočítáme podle principu inkluze a exkluze tak, že od počtu všech možných tabulek odečteme počet tabulek, ve kterých sousedí některá dvojice z uvedených tří týmů a přičteme počet těch tabulek, ve kterých sousedí všechny tři týmy. Hledaný počet tedy je '3N 16! 2! • 15! + 3! • 14! = 13599813427200. Jiné řešení. Zmíněné tři týmy budeme považovat za „oddělovače". Zbylých třináct týmů musíme rozdělit tak, aby mezi libovolnými dvěma oddělovači byl alespoň jeden tým. Navíc zbylé týmy můžeme mezi sebou nezávisle permutovat a rovněžtak oddělovače. Celkem tedy dostáváme '14^ • 13! • 3! = 13599813427200 možnosti. □ el. 5 (1.7) f(n + !)=«„• f(n) + bn. 1.35. Pro libovolné pevné n e N určete počet všech řešení rovnice x\ + x2 H-----h xk = n v množině a) nezáporných b) kladných celých čísel. Řešení, a) Každé řešení (ri, ..., rk), ri = n můžeme jednoznačně zašifrovat jako posloupnost jedniček a nul, ve které napíšeme nejprve r\ jedniček, pak nulu, pak r2 jedniček, nulu a tak dále. Posloupnost bude celkem obsahovat n jedniček a k — 1 nul. Každá taková posloupnost navíc zřejmě určuje nějaké řešení dané rovnice. Je tedy řešení tolik, kolik je posloupností, tedy b) Hledáme-li řešení v oboru kladných celých čísel, tak si všimněme, že přirozená čísla x\, .. .xk jsou řešením dané rovnice, právě 11 C. DIFERENČNÍ ROVNICE 3. DIFERENČNÍ ROVNICE když jsou celá nezáporná čísla y; = x; — 1, i = 1, ..., k, řešením rovnice vi + v2 H-----h yk = n - k. Těch je podle první části řešení ("kZ\)- ^ C. Diferenční rovnice Diferenční rovnice (jinak řečeno též rekurentní vztahy) jsou vztahy mezi členy nějaké posloupnosti, přičemž následující člen je dán pomocí členů předchozích. Vyřešit diferenční rovnici pak znamená najít explicitní vzorec pro n-tý (libovolný) člen dané posloupnosti. Rekurentní vztah nám totiž po zadání několika prvních členů posloupnosti zadává n-tý člen přímo pouze pomocí postupného vyčíslení všech předchozích členů. Pokud je následující člen posloupnosti určen pouze předchozím členem, hovoříme o diferenčních rovnicích prvního řádu. S nimi se můžeme v životě opravdu setkat, například, pokud si chceme zjistit dobu splácení nějaké půjčky při pevné měsíční splátce, nebo na- opak chceme zjistit výši měsíční splátky, zadáme-li si dobu, za ktpiiou3 chceme půjčku splatit. 1.36. Mirek si chce koupit nové auto. Auto stojí 300 000 Kč. Mirek 1. 6 by chtěl auto koupit na měsíční splátky. Prodávající společnost mu na bízí půjčku na koupi auta s ročním úrokem 6%. Mirek bych chtěl auto splatit za tři roky. Jak vysoká bude měsíční splátka? Řešení. Označme Mirkovu měsíční splátku S. Po prvním měsíci splatí Mirek S korun, z nichž část půjde na vlastní splátku, část na splacení úroku. Částku, kterou bude Mirek dlužit po uplynutí k měsíců označme dk. Po prvním měsíci bude Mirek dlužit di = 300000 Obecně po uplynutí &-tého měsíce (1.1) dk = 4_i 0, 06 S + -^r- ■ 300000. 12 0,06 Podle vztahu (1.9) je dk dáno následovně 1 + 0, 06 12 300000 1 + 0,06 12 1 125 0706 Splacení po třech letech se rovná podmínce d36 = 0, odkud dostáváme (1.2) 300000 0,06 12 1. 9 (l + ^f )"36 9127. Nejdříve se ale zamysleme, co mohou takové rovnice popisovat. Lineární diferenční rovnici (1.6) můžeme pěkně interpretovat jako matematický model pro spoření nebo splácení úvěru s pevnou úrokovou mírou a a pevnou splátkou b (tyto dva případy se liší pouze znaménkem u parametru b). S proměnnými parametry dostáváme obdobný model, J!^ ovšem s proměnlivými j ak úroky, tak splátkami. M, Můžeme si představit třeba n jako počet měsíců, an bude vyjadřovat úrokovou míru v měsíci n, bn příslušnou splátku v měsíci n. Neděste se zdánlivě složitého sčítání a násobení v následujícím výsledku. Jde o typický příklad technického matematického tvrzení, kdy těžké je „uhodnout", jak zní. Naopak důkaz je už pak jen docela snadné cvičení na základní vlastnosti skalárů a matematickou indukci. Skutečně zajímavé jsou teprve důsledky, viz 1.11 níže. Ve formulaci používáme vedle obvyklých znaků pro součet také obdobné znaky pro součin TJ. V dalším budeme vždy používat také konvenci, že pokud u součtu je množina uvedených indexů prázdná, pak je součet nula, zatímco u součinu je ve stejném případě výsledek jedna. 1.10. Tvrzení. Obecné řešení diferenční rovnice (1.7) prvního řádu s počáteční podmínkou f(0) = y q je dáno vztahem /n-l n-2 n-l (1.8) f(n) =[Y\ 1 k příliš rychlému a hlavně neomezenému růstu. primkydelirovinu Realističtější model bude mít takto úměrnou změnu po- pulace Ap(n) = p(n + 1) — p(n) jen při malých hodnotách p, tj. Ap/p ~ r > 0. Pokud tedy budeme chtít nechat růst populaci o 5% za období při malém p, budeme r volit 0, 05. Při určité limitní hodnotě p = K > 0 ale naopak už populace neroste a při ještě větších už klesá (třeba protože zdroje pro její obživu jsou omezené, jedinci ve veliké populaci si navzájem překáží apod.). Předpokládejme, že právě hodnoty yn = Ap(n)/p(n) se v závislosti na p(n) mění lineárně. Graficky si tedy tuto závislost můžeme představit jako přímku v rovině proměnných p a y, která prochází body [0, r] (tj. při p = 0 máme y = r) a [K, 0] (což dává druhou podmínku, že při p = K se populace nemění). Položíme proto Všimněme si, že rekurentní vztah (1.1) můžeme použít na náš příklad pouze tak dlouho, dokud budou všechna y(n) kladná, tj. dokud bude Mirek skutečně něco dlužit. 1.37. Uvažujme situaci z předchozího příkladu. Jak dlouho by Mirek auto splácel, kdyby chtěl měsíčně splácet 5000 Kč? Řešení. Při označení q = 1, 005, c = 300000 nám podmínka dk = 0 dává vztah 2005 y K p + r. 2005 - c jehož logaritmováním obdržíme , ln2005-ln(2005-c) k = -, ln q což pro 5 = 5000 dává přibližně k = 71, 5, tedy splácení půjčky by trvalo šest let (poslední splátka by nebyla plných 5 000 Kč). □ 1.38. Určete posloupnost {yn }™=1, která vyhovuje následujícímu rekurentnímu vztahu yn+i = — + 1, n > 1, yi = 1. Lineární rekurentní vtahy se mohou vyskytnout například v geometrických problémech: 1.39. Na kolik nejvýše oblastí může dělit rovinu n přímek? Řešení. Označme hledaný počet oblastí pn. Pokud v rovině nemáme dánu žádnou přímku, je celá rovina jedinou oblastí, je tedy p0 = 1. Pokud je v rovině dáno n přímek, tak přidáním n + 1 přibude nejvýše (n + 1) oblastí: oblastí přibude právě tolik, kolika (původními) oblastmi bude přímka procházet (každou takovou oblast rozdělí na dvě části, jedna oblast tedy přibude). Přidaná přímka může mít nejvýše n různých průsečíků s n přímkami, které už v rovnině byly. Část přímky mezi libovolnými dvěma sousedními průsečíky prochází právě jednou oblastí, celkem může přidaná přímka procházet nejvýše n+1 oblastmi, tedy může přibýt maximálně n + 1 oblastí, navíc v rovině bylo před přidáním (n + l)-ní přímky nejvýše pn oblastí (tak jsme číslo pn totiž definovali). 13 C. DIFERENČNÍ ROVNICE 4. PRAVDĚPODOBNOST Dosazením y„ za y a p(n) za p dostávame c+r-k' el. 7a p (n + 1) - p (n) p (n) --p(n) +r, tj. roznásobením dostáváme diferenční rovnici prvního řádu (kde hodnota p(n) vystupuje v první i v druhé mocnině) (1.10) p(n + l)=p(n)(\-^p(n)+r). Zkuste si promyslet nebo vyzkoušet chování tohoto modelu pro různé hodnoty r a K. Na obrázku je průběh hodnot pro parametry r = 0, 05 (tj. pětiprocentní nárůst v ideálním stavu), K = 100 (tj. zdroje limitují hodnotu na 100 jedinců) a p(0) jsou dva jedinci. 100: Celkem dostáváme rekurentní vztah pn+i = pn+(n + 1), ze kterého získáme explicitní formuli pro pn buď pomocí vzorce 1.10 nebo přímo: po + 1 i=\ Pn = Pn-1 + n = pn-2 + («-!)+« = = pn-3 + (n - 2) + (n - 1) + n = ■ ■ n (n + 1) n2 + n + 2 = 1 + —-- = - 2 2 □ Rekurentní vztahy mohou mít i složitější podobu než je rekurze prvního řádu. Uveďme si příklady kombinatorických úloh, při jejichž řešení se můžeme rekurze s výhodou využít. 1.40. Kolik existuje slov délky 12 složených pouze z písmen A a B, které neobsahují skupinu BBB7 Řešení. Nechť an značí počet slov délky n složených pouze z písmen A, B, neobsahujících skupinu BBB. Pak pro a„ (n > 3) platí rekurentní vztah dn — dn — \ -\- Cln—2 ~\~ dn—3> neboť slova délky n splňující danou podmínku musí končit buď na A, nebo na AB, nebo na ABB. Slov končících na A je právě an-\ (před posledním A může být libovolné slovo délky n — 1 splňující dlanqig podmínku. Obdobně pro zbylé dvě skupiny. Dále snadno vyčíslíme a\ = 2, a2 = 4, a3 = 7. Postupným dopočítáním a12 = 1705. -i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—r- 50 100 150 200 Všimněme si, že počáteční přibližně exponenciální růst se skutečně později zlomí a hodnota se postupně blíží kýženému limitu 100 jedinců. Pro p blízké jedné a K daleko větší než r bude pravá strana rovnice (1.10) přibližně p(n)(\ +r), tzn. chování je obdobné Malthusiánskému modelu. Naopak při p přibližně K bude pravá strana přibližně p(n). Pro větší počáteční hodnoty p než K budou hodnoty klesat, pro menší než K růst, takže systém bude zpravidla postupně oscilovat kolem hodnoty K. 4. Pravděpodobnost Teď se podíváme na jiný obvyklý případ skalárních pr> _ hodnot funkcí - sledované hodnoty často nejsou známy ani explicitně vzorcem, ani implicitně nějakým popisem. Jsou ■ií^ľ'l výsledkem nějaké nahodilosti a my se snažíme popsat s jakou pravděpodobností nastane ta či ona možnost. 1.13. Co je pravděpodobnost? Jako jednoduchý příklad může sloužit obvyklé házení kostkou se šesti stěnami s označeními 1, 2, 3, 4, 5, 6. 14 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA Pokud popisujeme matematický model takového házení „poctivou" kostkou, budeme očekávat a tudíž i předepisovat, že každá ze stran padá stejně často. Slovy to vyjadřujeme „každá předem vybraná stěna padne s pravděpodobností Pokud ale si třeba sami nožíkem vyrobíme takovou kostku z kusu dřeva, je jisté, že skutečné relativní četnosti výsledku nebudou stejné. Pak můžeme z velikého počtu pokusů usoudit na relativní četnosti jednotlivých výsledků hodů a tyto ustanovit jako pravděpodobnosti v našem matematickém popisu. Nicméně při sebevětším počtu pokusů nemůžeme vyloučit možnost, že se náhodou povedla velice nepravděpodobná kombinace výsledků a že jsme proto náš matematický model skutečnosti pro naši kostku nevybrali dobře. V dalším budeme pracovat s abstraktním matematickým popisem pravděpodobnosti v nejjednoduším přiblížení. To, do jaké míry je takový popis adekvátní pro konkrétní pokusy či jiný problém, je záležitostí mimo samotnou matematiku. To ale neznamená, že by se takovým přemýšlením neměli zabývat matematikové (nejspíše ve spolupráci s jinými experty). Později se vrátíme k pravděpodobnosti coby teorii popisující chování nahodilých procesů nebo i plně determinovaných dějů, kde ovšem neznáme přesně všechny určující parametry. Matematická statistika pak umožňuje posuzovat, do jaké míry lze očekávat, že vybraný model je ve shodě s realitou, resp. umožňuje určit parametry modelu tak, aby docházelo k co nejlepší shodě s pozorováním a zároveň umí odhadnout míru spolehlivosti zvoleného modelu. K matematické pravděpodobnosti i statistice ovšem budeme potřebovat dosti rozsáhlý matematický aparát, který budeme mezitím několik semestrů budovat. Na příkladu naší neumělé kostky si to můžeme představit tak, že v teorii pravděpodobnosti budeme pracovat s parametry pí pro pravděpodobnost jednotlivých hodnot stran a budeme požadovat pouze aby všechny tyto pravděpodobnosti byly nezáporné a jejich součet byl Pl + P2 + P3 + P4 + P5 + P6 = 1- Při volbě konkrétních hodnot p{ pro konkrétní kostku pak v matematické statistice budeme schopni odhadnout s jakou spolehlivostí tento model naší kostce odpovídá. Naším skromným cílem je teď pouze naznačit, jak abstraktně zachytit pravděpodobnostní úvahy ve formalizovaných matematických objektech. Následující odstavce tak budou ve své podstatě '^irf^^~ pouhými cvičeními v jednoduchých operacích nad množinami a jednoduché kombinatorice (tj. výpočtech počtu možností, jak mohou být splněny dané podmínky kladené na konečné množiny prvků). 1.14. Náhodné jevy. Budeme pracovat s neprázdnou pevně zvolenou množinou Q všech možných výsledků, kterou nazýváme základní prostor. Pro jednoduchost bude pro nás Q Též bychom mohli odvodit explicitní vzorec pro n-tý člen takto zadané posloupnosti, dle uvedené teorie. Charakteristický polynom dané rekurentní rovnice je x3 —x2 — x — 1 s jedním reálným a dalšími dvěma komplexními kořeny, které můžeme vyjádřit pomocí vztahů (1.15). □ 1.41. Skóre basketbalového utkání mezi týmy Česka a Ruska vyznělo po první čtvtině 12:9 pro ruský tým. Kolika způsoby se mohlo vyvíjet skóre? K výpočtu můžete použít výpočetní techniky. Řešení. Označíme-li P(k,i) počet způsobů, kterými se mohlo vyvíjet skóre basketbalového utkání, které skončilo k : l, tak pro k, l > 3 platí rekurentní vztah: P(k,l) = P(k-3,l) + P(k-2,l) + P(k-l,l) + P(k,l-l) + P(k,l-2) + P(k,l-3)- (Způsoby, kterými se mohlo vyvíjet utkání s výsledným skóre k : l rozdělíme na šest po dvou disjunktních podmnožin podle toho, které družstvo vstřelilo koš a za kolik bodů (1, 2, či 3).) Ze symetrie úlohy zřejmě platí P(k,i) = P(i,k)- Dále pro k > 3 platí: P(k,2) = P(k-?,,2) + P(k-2,2) + P(k-l,2) + P(k,l) + P(kfi), P(k,l) = P(k-3,1) + P(k-2,1) + P(k-l,l) + P(k,0), P(k,0) = P(k-3,0) + P(k-2,0) + P(k-1,0), což spolu s počátečními podmínkami P(o,o) = L P(i,o) = L P(2,o) = 2, ^(3,0) = 4, P(l,l) = 2, P(2,l) = P(l,l) + P(0,l) + ^(2,0) = 5, P(2,2) = ^(0,2) + ^(1,2) + P(2,i) + P(2,o) = 14, dává (12,9) 497178513. □ Poznámka. Vidíme, že rekurentní vztah v tomto příkladu má složitější formu, než kterou jsme se zabývali v teorii a tudíž neumíme vyčíslit libovolné číslo P(k,i) explicitně, nýbrž pouze postupným výpočtem od počátečních členů. Takové rovnice nazýváme parciální diferenční rovnice, protože členy posloupnosti jsou značeny dvěma nezávislými proměnnými (k, l). O lineárních rekurentních formulích (diferenčních rovnicích) vyšších řádů s konstantími koeficienty si povíme více v kapitole 3. D. Pravděpodobnost Klasická pravděpodobnost Uveďme si několik jednoduchých příkladů na klasickou pravděpodobnost, kdy zkoumáme nějaký pokus, který má konečně mnoho 15 D. PRAVDĚPODOBNOST 4. PRAVDĚPODOBNOST možných výsledků („všechny případy") a nás zajímá, kdy výsledek pokusu bude náležet nějaké podmnožině možných výsledků („příznivé případy"). Hledaná pravděpodobnost je pak rovna poměru počtu příznivých případů ku počtu všech případů. Klasickou pravděpodobnost můžeme použít tam, kde předpokládáme (víme), že každý z možných výsledků má stejnou pravděpodobnost toho, že nastane (například při hodech kostkou). 1.42. Jaká je pravděpodobnost, že při hodu šestibokou kostkou padne číslo větší než 4? Řešení. Všech možných výsledků je šest (tvoří množinu {1,2,3,4,5,6}), příznivé možnosti jsou dvě ({5,6}). Hledaná pravděpodobnost je tedy 2/6 = 1/3. □ 1.43. Ze skupiny osmi mužů a čtyř žen náhodně vybereme skupinu pěti lidí. Jaká je pravděpodobnost, že v ní budou alespoň tři ženy? Řešení. Pravděpodobnost spočítáme jako podíl počtu příznivých případů ku počtu všech případů. Příznivé případy rozdělíme podle toho, kolik je v náhodně vybrané skupině mužů: mohou v ní být buď dva, nebo jeden muž. Skupinek o pěti lidech s jedním mužem je osm (záleží pouze na výběru muže, ženy v ní musí být všechny), skupinek se dvěma muži je potom c(8, 2) • c(4, 3) = (!|) • (3) (vybereme dva muže z osmi a nezávisle na tom tři ženy ze čtyř, tyto dva výběry můžeme nezávisle kombinovat a podle pravidla součinu dostáváme uvedený počet skupin). Všech možných skupin o pěti lidech pak můžeme sestavit c (12, 5) = (12). Hledaná pravděpodobnost je tedy 8 + G)© (5) □ Uveďme si příklad, při jehož řešení není vhodné používat klasické pravděpodobnosti: 1.44. Jaká je pravděpodobnost toho, že čtenář této úlohy vyhraje příští týden alespoň milión dolarů v loterii? Řešení. Takováto formulace úlohy je neúplná, neposkytuje dostatek údajů. Předveďme „chybné" řešení Základní prostor všech možný jevů je dvouprvkový: buď vyhraje nebo nevyhraje. Příznivý jev je jeden (vyhraje), hledaná pravděpodobnost je tedy 1 /2 (a to je zjevně špatná odpověď). □ Poznámka. V předchozím příkladě je porušena základní podmínka použití klasické pravděpodobnosti, totiž to, že každý z elementárních jevů má stejnou pravděpodobnost toho, že nastane. konečná množina s prvky a>i, ... ,a>„, představujícími jednotlivé možné výsledky. Každá podmnožina Acíí představuje možný jev. Systém podmnožin A základního prostoru se nazývá jevové pole, jestliže • Q e A (tj. základní prostor, je jevem), • je-li A, B e A, pak A \ B e A (tj. pro každé dva jevy je jevem i jejich množinový rozdíl), • jsou-li A, B e A, pak AU B e A (tj. pro každé dva jevy je jevem i jejich sjednocení). Zjevně je i komplement Ac = Q\A jevu A jevem, který nazýváme opačný jev k jevu A. Průnik dvou jevů je opět jevem, protože pro každé dvě podmnožiny A,Bcí2 platí A\(£l\B) = ADB. Slovy se tak dá jevové pole charakterizovat jako systém podmnožin (konečného) základního prostoru uzavřený na průniky, sjednocení a rozdíly. Jednotlivé množiny A e A nazýváme náhodné jevy (vzhledem k .4). Pro naše házení kostkou je Q = {1,2, 3, 4, 5, 6} a jevové poleje tvořeno všemi podmnožinami množiny Q. Např. náhodný jev {1, 3, 5} pak interpretujeme jako „padne liché číslo". Něco málo terminologie, která by měla dále připomínat souvislosti s popisem skutečných modelů: • celý základní prostor Q se nazývá jistý jev, prázdná podmnožina 0 e A se nazývá nemožný jev, • jednoprvkové podmnožiny {&>} c ^ se nazývají elementární jevy, • společné nastoupení jevů AÍ7 i e /, odpovídá jevu Djg/Aj, nastoupení alespoň jednoho zjevů A;-, i e /, odpovídá jevu U;e/A;, • A, B e A jsou neslučitelné jevy, je-li A n B = 0, • jev A má za důsledek jev B, když A c B, 16 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA Přestavte si příklady všech uvedených pojmů pro jevový prostor popisující házení kostkou nebo obdobně pro házení mincí! 1.15. Definice. Pravděpodobnostní prostor je trojice (Q, A, P), kde A je jevové pole podmnožin (konečného) základního prostoru Q, na kterém je definována skalární funkce P : A -» M s následujícími vlastnostmi: • P je nezáporná, tj. P (A) > 0 pro všechny jevy A, • P je aditivní, tj. P (A U B) = P (A) + P (B), kdykoliv je A, B e AaAf) B = 0, • pravděpodobnost jistého jevu je 1, tj. P (Q) = 1. Funkci P nazýváme pravděpodobností na jevovém poli A. Zjevně je okamžitým důsledkem našich definic řada prostých ale užitečných tvrzení. Např. pro všechny jevy platí P(AC) = 1 - P(A). Dále můžeme matematickou indukcí snadno rozšířit aditiv-nost na jakýkoliv konečný počet vzájemně neslučitelných jevů Ai cfi,ie I, tj. P(Ui6/A/) = iel kdykoliv A;- n Aj = 0, pro všechna i ^ j, i, j e I. 1.16. Definice. Nechť Q je konečný základní prostor a ne- chť jevové pole A je právě systém všech podmnožin v £2. Klasická pravděpodobnost je pravděpodobnostní prostor (Q, A, P) s pravděpodobnostní funkcí P : A P (A) kde | A\ značí počet prvků množiny A e A. Zjevně takto zadaná funkce skutečně definuje pravděpodobnost, ověřte si samostatně všechny požadované axiomy. 1.17. Sčítání pravděpodobností. U neslučitelných jevů je J < „ sčítání pravděpodobností pro výskyt alespoň jednoho z nich přímo požadováno v základní definici pravdě-'$ podobnosti. Obecně je sčítání pravděpodobností pro ifí1 ' výskyty jevů složité. Problém totiž je, že pokud jsou jevy slučitelné, částečně máme v součtu pravděpodobností započteny příznivé výskyty vícekrát. Nejjednodušší je si nejprve představit situci se dvěma slučitelnými jevy A, B. Uvažme nejprve klasickou pravděpodobnost, kde jde vlastně o počítání prvků v podmnožinách. Pravděpodobnost výskytu alespoň jednoho z nich, tj. pravděpodobnost jejich sjednocení, je dána vztahem el,12a (1.11) P (A U B) = P(A) + P(B) - P(A n B) protože ty prvky, které patří do množiny A i B, jsme nejprve započetli dvakrát a tak je musíme jednou odečíst. 1.45. Do řady v kině o In místech je náhodně rozmístěno n mužů a n žen. Jaká je pravděpodobnost, že žádné dvě osoby stejného pohlaví nebudou sedět vedle sebe? Řešení. Všech možných rozmístění lidí v řadě je (2n)\, rozmístění splňujících podmínky je 2(n\)2: máme dvě možnosti výběru pozice mužů, tedy i žen - buď všichni muži budou sedět na lichých místech (a tedy ženy na sudých), nebo všchni muži na sudých (a tedy ženy na lichých místech); na nich jsou pak muži i ženy rozmístěny libovolně. Výsledná pravděpodobnost je tedy p(n) = -^7, p{2) = 0, 33, p(5) = 0, 0079, p(8) = 0, 00016. (2n)\ □ 1.46. Do výtahu osmipatrové budovy nastoupilo 5 osob. Každá z nich vystoupí se stejnou pravděpodobností v libovolném poschodí. Jaká je pravděpodobnost, že vystoupí i) všichni v šestém poschodí, ii) všichni ve stejném poschodí, iii) každý v jiném poschodí? Řešení. Základní prostor všech možných jevů je prostor všech možných způsobů vystoupení 5 osob z výtahu. Těch je 85. V prvním případě je jediná příznivá možnost vystoupení, hledaná pravděpodobnost je tedy ^, ve druhém případě máme osm možností, hledaná pravděpodobnost je tedy ^ a konečně ve třetím je počet příznivých případů dán pětiprvkovou variací z osmi prvků (z osmi pater vybíráme pět, ve kterých se vystoupí a dále kteří lidé vystoupí ve vybraných poschodích), celkem je hledaná pravděpodobnost ve třetím případě rovna (viz 1.6 a 1.8) u(5,8) 8-7--4 V(5,8) 85 0,2050781250. □ 1.47. Náhodně vybereme celé kladné číslo menší než 105. Jaká je pravděpodobnost, že bude složeno pouze z cifer 0,1,5a zároveň bude dělitelné číslem 5? Řešení. Čísel spňujích danou podmínku je 2 • 34 — 1 (kromě poslední cifry máme na každý řád na výběr ze tří cifer, případné číslice 0 na začátku slova nepíšeme. Všech celých kladných čísel menších než 105 je 105 — 1, podle klasické pravděpodobnosti dostáváme, že hledaná pravděpodobnost je 2-3*-1 10s —1 ' □ 17 D. PRAVDĚPODOBNOST 4. PRAVDĚPODOBNOST 1.48. Princip inkluze a exkluze. Sekretářka má rozeslat šest dopisů šesti různým lidem. Dopisy pro různé adresáty vkládá do obálek s adresami náhodně. Jaká je pravděpodobnost, že alespoň jeden člověk dostane dopis určený pro něj? Řešení. Spočítejme pravděpodobnost jevu opačného, tedy toho, že ani jeden člověk neobdrží správný dopis. Stavový prostor všech možných jevů odpovídá všem možným pořadím pěti prvků (obálek). Označíme-li jak obálky tak dopisy čísly od jedné do šesti, tak všechny příznivé jevy (tedy žádný dopis nepřijde do obálky se stejným číslem) odpovídají takovým pořadím šesti prvků, kdy i-tý prvek není na /-tém místě (/ = 1, ..., 6), tzv. pořadím bez pevného bodu. Jejich počet spočítáme pomocí principu inkluze a exkluze. Označíme-li Mt množinu permutací s pevným bodem / (permutace v Mt ale mohou mít i jiné pevné body), tak výsledný počet d permutací bez pevného bodu je roven d = 6! - |Mi U •• • UM6| Počet prvků průniku \Mix D- • -C\Mik\,k = 1, ..., 6, je (6—k)\ (pořadí prvků/i, ..., ik je pevně dáno, ostatních 6—k prvků řadíme libovolně). Podle principu inkluze a exkluze je |Mi U-..UM6| = Jj-l)k+lQj(6-k)\ a tedy pro hledaný počet d dostáváme vztah 6 d = 6!-£(-l)*+1(fW-*)! k\ k=0 x ' k=0 Pravděpodobnost toho, že žádný člověk neobdrží „svůj" dopis je tedy E k=0 (-1)* k\ a hledaná pravděpodobnost pak 6 ■-E k=0 (-1)* k\ 53 144' □ Poznámka. Všimněme si, že odpověď na stejnou otázku, se s rostoucím počtem dopisů příliš nemění. Pro n dopisů je pravděpodobnost, že sekretářka nedá žádný do správné obálky ■-E k=0 (-1)* k\ 1 1 - -, e jak totiž uvidíme později, uvedená suma konverguje (blíží se) k hodnotě 1/e. Tentýž výsledek dostaneme i pro obecnou pravděpodobnost P na nějakém jevovém poli. Protože A n B a A \ B jsou nezávislé jevy, P (A) = P(A \B) + P(A n B), podobně pro B, ale také máme P (A UB) = P(A \B) + P(B \A) + P(A n B). Dosazením za pravděpodobnosti množinových rozdílů dostáváme opět vztah (1.11). Následující věta je přímým promítnutím tzv. kombinatorického principu inkluze a exkluze do naší ko-nečné pravděpodobnosti a říká, jakým způsobem vícenásobné započítávání výsledků kompenzovat v obecném případě. Jde patrně o dobrý příklad matematického tvrzení, kde nejtěžší je najít dobrou formulaci a pak se dá říci, že (intuitivně) je tvrzení zřejmé. Na obrázku je situace znázorněna pro tři množiny A, B, C a pro klasickou pravděpodobnost. Jednoduše šrafované oblasti v prostém součtu máme dvakrát, dvojitě šrafované třikrát. Pak ty jednoduše šrafované jednou odečteme, přitom ty dvojitě šrafované opět třikrát odečteme, proto je tam nakonec ještě jednou započteme. Obecně, díky aditivní vlastnosti pravděpodobnosti, si můžeme představit, že každý jev rozložíme na elementární (tj. jednobodové) jevy, jakkoliv ve skutečnosti nemusí jednoprvkové podmnožiny do uvažovaného jevového pole patřit. Pak je pravděpodobnost každého jevu dána součtem pravděpodobností jednotlivých elementárních jevů do něj patřících a můžeme při vyjádření pravděpodobnosti nastoupení alespoň jednoho z jevů takto: sečteme všechny pravděpodobnosti výsledků pro všechna A; zvlášť, pak ovšem musíme odečíst ty, které tam jsou započteny dvakrát (tj. prvky v průnicích dvou). Teď si ovšem dovolujeme odečíst příliš mnoho tam, kde ve skutečnosti byly prvky třikrát, tj. korigujeme přičtením pravděpodobností ze třetího členu, atd. 18 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA 1. 17 1.16 Věta. Buďte A\, ..., Ak e A libovolné jevy na základním prostom Q. s jevovým polem A Pak platí k k-l k p(uř=1Ai) = P(A^ - E E P(Ai n Ai) i — l i — l j=i + l k-2 k-l k + E E E PiAtHAjnAt) í'=1 j=i + l t=j+\ + (-i)l-1P(A1nA2n-nAt). Důkaz. Aby se výše naznačený postup stal důkazem, je zapotřebí si ujasnit, že skutečně všechny korekce, tak jak jsou popsány, jsou skutečně s koeficienty jedna. Místo toho můžeme snáze dát dohromady formálnější důkaz matematickou indukcí přes počet k jevů, jejichž pravděpodobnosti sčítáme. Zkuste si průběžně porovnávat oba postupy, mělo by to vést k vyjasnění, co to znamená „dokázat" a co „porozumět". Pro k = 1 tvrzení zjevně platí, vztah pro k = 2 je totožný s rovností (1.11) a tu jsme pro obecné pravděpodobnostní funkce již dokázali také. Předpokládejme tedy, že věta platí pro všechny počty množin až do pevně zvoleného k > 1. Nyní můžeme pracovat v indukčním kroku se vztahem pro k + 1 jevů, když sjednocení prvních k jevů bereme jako A ve vzorci (1.11) výše, zatímco zbývající jev hraje roli B: P(U*±^4I0 = P((uL1Ai)UAJt+1) k . = E( E P(Ailn---nAi]) 7=1 ^ 1<í'i < — 0, potom P(A1 n A2) = P(A2)P(A1\A2) = P(Al)P(A2\Al). Všechna tato čísla vyjadřují pravděpodobnost toho, že nastanou oba jevy A\ i A2, jenom jinými způsoby. Například v posledním případě nejprve sledujeme, zda nastane první jev. Potom za předpokladu, že ten první nastal, sledujeme zda nastane i ten druhý. Podobně, pro tři jevy A\, A2, A3 splňující P(Ai n A2 n A3) > 0, dostaneme P(Al n A2 n A3) = P(Al)P(A2\Al)P(A^\Al n A2). přidělenu jednu stranu mince. Té straně, jejíž strana mince padne, náleží mandát, o který se právě losovalo. Jaká je pravděpodobnost, že každá ze stran získá 100 mandátů? (mince je „poctivá") Řešení. Všech možných výsledků losování (uvažovaných jako dvou-setčlenné posloupnosti rubů a líců) je 2200. Pokud každá strana získá právě sto mandátů, je ve vylosované posloupnosti právě sto líců a sto rubů. Takových posloupností je (^) (taková posloupnost je jednoznačně určená výběrem sto členů z dvou set možných, na kterých budou např. líce). Celkem je hledaná pravděpodobnost am\ 200! v 100/ 2200 1001-100! 2200 0, 056. □ Následující příklad je jednoduchým modelem, který odhaduje pravděpodobnost úmrtí osoby při dopravní nehodě. 1.54. Ročně zahyne na silnicích v ČR přibližně 1200 českých občanů. Určete pravděpodobnost, že někdo z vybrané skupiny pěti set Čechů zemře v následujících deseti letech při dopravní nehodě. Předpokládejte pro zjednodušení, že každý občan má v jednom roce stejnou „šanci" zemřít při dopravní nehodě a to 1200/107. Řešení. Spočítejme nejprve pravděpodobnost, že jeden vybraný člověk v následujících deseti letech nezahyne při dopravní nehodě. Pravděpodobnost, že nezahyne v jednom roce, je (1 — j^). Pravděpodobnost, že nezahyne v následujících deseti letech, je pak (1 — yr|-)10- Pravděpodobnost, že v následujících deseti letech nezahyne nikdo z daných pěti set lidí, je opět podle pravidla součinu (jedná se o nezávislé jevy) (1 — y^-)5000. Pravděpodobnost jevu opačného, tedy toho, že někdo z vybraných pěti set lidí zahyne, je tedy 5000 0,4512. □ Poznámka. Model, který jsme použili v předchozím příkladu k popisu zadané situace, je pouze přibližný. Problém spočívá v podmínce, že každý občan z vyšetřovaného vzorku má stejnou pravděpodobnost toho, že v průběhu roku zahyne, kterou jsme odhadli z počtu usmrcených osob za rok. Počet tragických nehod se totiž rok od roku mění a i kdyby se neměnil, tak se mění populace. Ukažme si jednu s nepřesností příkladu na jiném způsobu řešení: zahyne-li 1200 osob za rok, tak za deset let zahyne 12000. Pravděpodobnost toho, že konkrétní člověk zahyne v průběhu deseti let tedy můžeme odhadnout i zlomkem 12000/107. Pravděpodobnost, že konkrétní osoba nezahyne v průběhu 10 let je tedy (1 — j^) (to jsou první dva členy binomického rozvoje 21 D. PRAVDĚPODOBNOST 4. PRAVDĚPODOBNOST (1 — y^)10)- Celkem dostáváme anolagicky jako v předchozím řešení odhad pravděpodobnosti 1 500 0,4514. Vidíme, že oba odhady jsou velmi blízké. Snaha použít matematických znalostí k výhře v nejrůznějších hazardních hrách je velmi stará. Podívejme se na jednoduchý příklad. 1.55. Alešovi zbylo 2500 Kč z pořádání tábora. Aleš není žádný ňou-ma: 50 Kč přidal z kasičky a rozhodl se jít hrát ruletu na automaty. Aleš sází pouze na barvu. Pravděpodobnost výhry při sázce na barvu je 18/37. Začíná sázet na 10 Kč a pokud prohraje, v další sázce vsadí dvojnásobek toho, co v předchozí (pokud na to ještě má, pokud ne, tak končí s hrou - byť by měl ještě peníze na nějakou menší sázku). Pokud nějakou sázku vyhraje, v následující sázce hraje opět o 10 Kč. Jaká je pravděpodobnost, že při tomto postupu vyhraje dalších 2550 Kč? (jakmile bude 2550 Kč v plusu, tak končí) Řešení. Nejprve spočítejme, kolikrát po sobě může Aleš prohrát. Za-číná-li s 10 Kč, tak na n vsazení potřebuje /n-l 10+20+- • -+10-2' n-l 10- £ 2' 10- w=0 2" - 1 2 - 1 10-(2"-l). Jak snadno nahlédneme, číslo 2550 je tvaru 10(2" — 1) a to pro n = 8. Aleš tedy může sázet osmkrát po sobě bez ohledu na výsledek sázky, na devět sázek by potřeboval již 10(29 — 1) = 5110 Kč a to v průběhu hry nikdy mít nebude (jakmile bude mít 5100 Kč, tak končí). Aby tedy jeho hra skončila neúspěchem, musel by prohrát osmkrát v řadě. Pravděpodobnost prohry při jedné sázce je 19/37, pravděpodbnost prohry v osmi po sobě následujících (nezávislých) sázkách je tedy (19/37)8. Pravděpodobnost, že v těchto osmi hrách vyhraje 10 Kč (při daném postupu) je tedy 1 — (19/37)8. Na to, aby vyhrál 2500 Kč, potřebuje 255 krát vyhrát po desetikoruně. Tedy opět podle pravidla součinu je pravděpodobnost výhry 1 0,29. Tedy pravděpodobnost výhry je nižší, než kdyby vsadil rovnou vše na jednu barvu. □ 1.56. Samostatně si můžete vyzkoušet spočítat předchozí příklad za předpokladu, že Aleš sází stejnou metodou jako v předchozím příkladě, končí však až v okamžiku, kdy nemá žádné peníze (pokud nemá na vsazení dvojnásobku částky prohrané v předchozí sázce, ale má ještě nějaké peníze, začíná sázet znovu od 10 Kč). Slovy to lze opět popsat tak, že pravděpodobnost výskytu všech tří jevů zároveň můžeme spočítat tak, že se nejprve zabýváme výskytem pouze prvního z nich, potom druhého za předpokladu, že první už nastal a naposledy třetího za předpokladu, že oba předešlé jevy již nastaly. Máme-li obecný počet k jevů A\, ..., Ak splňujících P(Ai n • • • n Ak) > 0, pak věta říká následující: P(Ain- • -nAjt) = P(Al)P(A2\Al)-■ .p(Ajt|Ain. • -nAjt-i). Skutečně, dle předpokladu jsou i pravděpodobnosti všech průniků, které jsou brány ve výrazu za hypotézy, nenulové. Pokrácením čitatelů a jmenovatelů získáme i napravo právě pravděpodobnost jevu odpovídajícího průniku všech uvažovaných jevů. 1.21. Geometrická pravděpodobnost. V praktických problémech se často setkáváme s daleko složitějšími modely, kde základní prostor není konečnou množinou. Nemáme momentálně k dispozici ani základní nástroje pro dostatečné zobecnění pojmu pravděpodobnosti, nicméně můžeme uvést alespoň jednoduchou ilustraci. Uvažme rovinu M2 dvojic reálných čísel a v ní podmnožinu Q se známým obsahem vol Q (symbol „vol" je od anglického „volume", tj. obsah/objem). Příkladem může sloužit třeba jednotkový čtverec. Náhodné jevy budou reprezentovány podmnožinami A c £2 a za jevové pole A bereme nějaký vhodný systém podmnožin, u kterých umíme určit jejich obsah. Nastoupení nebo nenastoupení jevu je dáno výběrem bodu v Q, kterým se trefíme nebo netrefíme do množiny reprezentující jev A. Uvažme jako příklad problém, kdy náhodně vybereme dvě hodnoty a < b v intervalu [0, 1] C M. Všechny hodnoty a i b jsou stejně pravděpodobné a otázka zní „jaká je pravděpodobnost, že interval (a, b) bude mít velikost alespoň jedna polovina?". Volba čísel a, b je volbou libovolného bodu [a, b] ve vnitřku trojúhelníku Q s hraničními vrcholy [0, 0], [0, 1], [1, 1] (viz obrázek). 22 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA 1.20a Úlohu si můžeme představit jako popis problému, kdy se hodně unavený účastník večírku nad ránem pokouší dvěma řezy rozdělit párek na tři díly pro sebe a své dva kamarády. Jaká je pravděpodobnost, že se na někoho dostane aspoň půlka? Odpověď je docela jednoduchá: Podobně jako u klasické pravděpodobnosti definujeme pravděpodobnostní funkci p : a -» M vztahem vol A p (a) =-, vol £2 kde A jsou podmnožiny v rovině, které odpovídají námi vybraným jevům. Potřebujeme tedy znát plochu podmnožiny, která odpovídá bodům s b > a + ^, tj. vnitřku trojúhelníku A ohraničeného vrcholy [0, ^], [0, 1], [j, 1]. Evidentně dostáváme p(A) = \. Zkuste si samostatně odpovědět na otázku „pro jakou požadovanou minimální délku intervalu (a, b) dostaneme pravděpodobnost jedna polovina?". Metody Monte Carlo. Jednou z účinných výpočetních metod přibližných hodnot je naopak simulace známé takovéto pravděpodobnosti pomocí relativní četnosti nastoupení vhodně zvoleného jevu. Např. známá formule pro obsah kruhu o daném poloměru říká, že obsah jednotkového kruhu je roven právě konstantě 7T = 3, 1415..., která vyjadřuje poměr obsahu kruhu a druhé mocniny jeho poloměru. (Tady si také povšimněme východiska, které jsme nedokázali - proč by měl být obsah kruhu roven konstantnímu násobku druhé mocniny poloměru? Matematicky to budeme umět ukázat, až zvládneme tzv. integrování. Experimentálně si to ale můžeme ověřit níže uvedeným postupem s různými velikostmi strany čtverce.) Pokud zvolíme za Q jednotkový čtverec a za A průnik Q a jednotkového kruhu se středem v počátku, pak vol A = \n. Máme-li tedy spolehlivý generátor náhodných čísel mezi nulou a jedničkou a počítáme relativní četnosti, jak často bude vzdálenost bodu [a, b] (určeného vygenerovanou dvojicí a, b) od počátku menší než jedna, tj. a2 + b2 < 1, pak výsledek bude při velkém počtu pokusů s velikou jistotou dobře aproximovat číslo ^n. Numerickým postupům založeným na tomto principu se říká metody Monte Carlo. 5. Geometrie v rovině V posledních odstavcích jsme intuitivně používali elementární pojmy z geometrie reálné roviny. Teď tf\J, budeme podrobněji zkoumat, jak se vypořádá-' vat s potřebou popisovat „polohu v rovině", resp. dávat do souvislostí polohy různých bodů roviny. 1.57. Podmíněná pravděpodobnost. Nyní si procvičme tzv. „podmíněnou" pravděpodobnost (viz (??)). 1.58. Jaká je pravděpodobnost toho, že při hodu dvěma kostkami padne součet 7, víme-li, že ani na jedné z kostek nepadlo číslo 2? Řešení. Označme jako b jev, že ani na jedné kostce nepadne dvojka, jev „padne součet 7" označme jako A. Množinu všech možných výsledků budeme značit opět jako Q. Pak \ac\b\ p(A\b) p(A n b) p (b) \b\ mi |A n b\ \b\ Číslo 7 může padnout čtyřmi různými způsoby, pokud nepadne dvojka, tedy |A n b\ = 4, \b\ = 5 ■ 5 = 25, tedy p(A\b) = —. V 1 ' 25 Všimněme si, že p(A) = ^, tedy jevy A a S jsou závislé. □ 1.59. Michal má dvě poštovní schránky, jednu na gmail.com a jednu na seznam.cz. Uživatelské jméno má stejné na obou serverech, hesla různá (ale nepamatuje si, které heslo má na kterém serveru). Při zadávání hesla při přístupu do schránky se splete s pravděpodobností 5% (tj. jestliže chce napsat zadat jemu známé slovo jako heslo, tak jej s pravděpodobností 95% skutečně správně na klávesnici zadá). Michal zadal na serveru seznam.cz jméno a heslo a server mu oznámil, že něco není vpořádku. Jaká je pravděpodobnost, že chtěl zadat správné heslo, ale pouze se „překlepnul" při zadávání? (Předpokládáme, že uživatelské jméno zadá vždy bez chyby.) Řešení. Označme A jev, že Michal fyzicky zadal na serveru seznam.cz špatné heslo. Tento jev je sjednocením dvou disjunktních jevů: A i : chtěl zadat správné heslo a přepsal se, A2 : chtěl zadat špatné heslo (to z gmail.com) a buď se přepsal nebo ne. Hledáme tedy podmíněnou pravděpodobnost p(Ai\A), ta je podle vztahu pro podmíněnou pravděpodobnost rovna: P(AiHA) PÍAO PfAO P(Ai|A) = ——-- =-—— =-—-, p(A) p(AXVJA2) p(Al) + p(A2y potřebujeme tedy určit pravděpodobnosti p(A\) a p(A2). Jev A\ je konjunkcí (průnikem) dvou nezávislých jevů: Michal chtěl zadat správné heslo a Michal se při zadávání přepsal. Dle zadání je pravděpodobnost prvního z nich 1/2, druhého 1/20, celkem p{A\) = \ ■ = ^ (pravděpodobnosti násobíme, protože se jedná o nezávislé jevy). Dále je ze zadání p(A2) = \. Celkem p (A) = P(Ai) + p(A2) = 23 D. PRAVDĚPODOBNOST 5. GEOMETRIE V ROVINE _L _i_ I — 21 40 2 ~ 40 , a můžeme vyčíslit: P(Ai\A) P(Ai) P (A) -L i 40 _ 1 21 ~ 21' 40 □ Nástrojem k tomu budou opět zobrazení, tentokrát to ale budou velice speciální pravidla přiřazující dvojicím hodnot (x, y) dvojice (w, z) = F(x, y). Zároveň půjde o předzvěst úvah z oblasti matematiky, které se říká lineární algebra a kterou se budeme podrobně zabývat v dalších třech kapitolách. Geometrická pravděpodobnost. Metodu geometrické pravděpodobnosti můžeme použít v případě, že daný základní prostor sestává z nekonečně mnoha elementárních jevů, které dohromady vyplňují nějakou oblast na přímce, rovnine, pro- 1-23. Vektorový prostor R2. Podívejme se na „rovinu" ja- storu (u které umíme určit její délku, obsah, objem, ...). Předpoklá- kožto na množinu dvojic reálných čísel (x, y) e M2. Bu- dáme, že pravděpodobnost toho, že nastane elementární jev z určité deme Jim říkat vektory v r2- Pro takové vektory umíme de" , , , „ , ,, N , fmovat sčítání „po složkách", ti. pro vektory u = (x, y) a podoblasti je rovna pomeru její velikosti (délce, obsahu, ...) k velí- ^ _ ^ Jaderne kosti celého základního prostoru. 1.60. Z Těšína vyjíždí vlaky co půl hodinu (směrem na Bohumín) a z tohoto směru přijíždějí také každé půl hodiny. Předpokládejme, že vlaky se mezi těmito dvěma stanicemi pohybují rovnoměrnou rychostí 72 km/h a jsou dlouhé 100 metrů, cesta trvá 30 minut, vlaky se míjejí někde na trase. Nevyspalý hazardér Jarek si vybere jeden z těchto vlaků a během cesty z Těšína do Bohumína náhodně vystrčí hlavu z okna na pět vteřin nad kolejiště pro protější směr. Jaká je pravděpodobnost, že mu bude uražena? (Předpokládáme, že jiné než zmíněné vlaky na trati nejezdí.) Řešení. Vzájemná rychlost protijedoucích vlaků je 40 m/s, protijedoucí vlak mine Jardovo okno za dvě a půl sekundy. Prostor všech možností je tedy interval (0, 1800 s), prostor „příznivých" možností je potom interval délky 7, 5 s ležící někde uvnitř předchozí úsečky. Pravděpodobnost uražení hlavy je tedy 7, 5/1800 = 0, 004. □ 1.61. Jednou denně někdy mezi osmou hodinou ranní a osmou hodin-nou večerní vyjíždí náhodně autobus z Koločavy do Užhorodu. Jednou denně ve stejném časovém rozmezí jezdí jiný autobus náhodně opačným směrem. Cesta tam trvá pět hodin, zpět též pět hodin. Jaká je pravděpodobnost, že se autobusy potkají, jezdí-li po stejné trase? Řešení. Prostor všech možných jevů je čtverec 12 x 12, Označíme-li doby odjezdu obou autobusů x, resp. y, pak se tyto na trase potkají právě když \x — y\ < 5. Tato nerovnost vymezuje v daném čtverci oblast „příznivých jevů". Obsah zbylé části spočítáme přímo jednodušeji, neboť je sjednocením dvou pravoúhlých rovnoramenných trojúhelníků o odvěsnách délky 7, tedy je roven 49, obsah části odpovídající „příznivým jevům" je tedy 144 — 49 = 95, celkem je hledaná pravděpodobnost p = = 0, 66. u + v = (x + x',y + y'). Protože pro jednotlivé složky platí všechny vlastnosti komutativní grupy, evidentně budou tyto vlastnosti platit i pro naše nové sčítání vektorů. Zejména tedy máme tzv. nulový vektor 0 = (0, 0), jehož přičtením k jakémukoliv vektoru v dostaneme opět vektor v. Záměrně teď používáme tentýž symbol 0 pro vektor i jeho skalární složky — z kontextu je vždy jasné, jakou „nulu" máme kdy na mysli. Dále definujeme násobení vektorů a skalárů tak, že pro a e M a v = (x, y) e M2 klademe a ■ v = (ax, ay). Zpravidla budeme znak • vynechávat a pouhé zřetězení znaků a v bude označovat skalární násobek vektoru. Přímo se ověří další vlastnosti pro násobení skaláry a, b a sčítání vektorů u, v, např. a (u + v) = a u+a v, (a+b)u = a u+bu, a(b u) = (ab)u, kde opět používáme stejný znak plus pro sčítání vektorů i skalárů. Tyto operace si můžeme dobře představit, jestliže uvažujeme vektory v jako šipky začínající v počátku 0 = [0, 0] a končící v bodě [x, y] v rovině. Takové šipky pak můžeme přikládat jednu - za druhou a to přesně odpovídá sčítání vektorů. Násobení skalárem a pak odpovídá natažení dané šipky na a-násobek. 24 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA I f "-v >-^> C-g— Nyní můžeme udělat podstatný krok: jestliže si zapama-í' ,. tujeme dva významné vektory e\ = (1, 0) a e2 = (0, 1), pak každý jiný vektor dostaneme jako (x, y) =xel+ye2. Výrazu napravo říkáme lineární kombinace vektoru e\ a e2. Dvojici vektorů e = (e\, e2) říkáme báze vektorového prostoru R2. Jestliže si ale vybereme jiné dva vektory u, v, které nejsou jeden násobek druhého, tj. jinou bázi v R2, budeme moci udělat totéž. Lineární kombinace w = x u + y v nám pro všechny různé dvojice (x, y) dá právě všechny vektory w v rovině. Nakonec můžeme nahlížet vektory jako naše šipky v abstraktní poloze, tj. zapomeneme na ztotožnění bodů v rovině s dvojicemi čísel. Jenom budou naše šipky všechny „upoutány" v bodě 0, který je zároveň nulovým vektorem. Zůstanou nám operace sčítání a násobení skaláry a teprve volbou báze e\, e2 ztotožníme naši rovinu šipek s R2. 1.24. Afinní rovina. Když si pevně vyvolíme nějaký vektor u s M2, můžeme jej přičítat (tj. coby šipku přikládat) k libovolnému bodu p = [x, ý]. Máme tak tedy s pevným vektorem definované posunutí, které každý bod roviny p zobrazí na p + u. □ 1.62. Dvoumetrová tyč je náhodně rozdělena na tři díly. Určete pravděpodobnost, že alespoň jeden díl bude nejvýše 20 cm dlouhý. Řešení. Náhodné rozdělení tyče na tři díly je dáno dvěma body řezu, čísly x a y (nejprve tyč rozřízneme ve vzdálenosti x od počátku, nehýbeme s ní a dále ji rozřízneme ve vzdálenosti y od počátku). Pravděpodobnostní prostor je tedy čtverec C o straně 2 m. Umístíme-li čtverec C tak, aby dvě jeho strany ležely na kartézských osách v rovině, tak podmínka, že alespoň jeden díl má být nejvýše 20 cm dlouhý, nám vymezuje ve čtverci následující oblast O: O = {(x, y) e C| (x < 20) v (x > 180) v (y < 20) v (y > 180) v (I* - y|) < 20}. Jak snadno nahlédneme, zaujímá takto vymezená oblast ^ obsahu čtverce. □ 25 E. GEOMETRIE V ROVINE 5. GEOMETRIE V ROVINE E. Geometrie v rovině 1.63. Napište obecnou rovnici přímky p : x = 2 — t, y = 1 + 3t, t e R. Řešení. Vektor (—1, 3) je směrovým vektorem přímky p. Proto vektor (3, 1) je jejím normálovým vektorem a obecná rovnice přímky p má tvar 3x + y + c = 0 pro jisté c e M. Tuto konstantu c určíme dosazením x = 2, y = 1 (přímka p prochází bodem [2, 1] daným volbou t = 0). Získáváme tak c = — 7 a následně výsledek 3x + y — 7 = 0. □ 1.64. Je dána přímka p : [2,0] + f (3, 2), t € R. Určete její obecnou rovnici a nalezněte průnik s přímkou q : [-1,2] + 5(1,3), s e R. Řešení. Souřadnice bodů na přímce jsou dány dle daného parametrického zadání jako x = 2 + 3t a y = 0 + 2t. Vyloučením parametru t ze soustavy těchto dvou rovnic dostáváme obecnou rovnici přímky p: 2x - 3y - 4 = 0. Průnik s přímkou q získáme dosazením parametrického vyjádření bodů přímky q, tedy x = —1+sa.y = 2 + 3s, do obecné rovnice přímky p: 2(-l + s) -3(2 + 3^) -4 = 0, odkud s = —12/7 a dosazením do parametrického vyjádření přímky q dostáváme souřadnice průsečíku P: 19 22 P = [--,--]. 7 7 □ 1.65. Stanovte průsečík přímek p : x + y - 4 = 0, q : x = -1 + 2t, y = 2 + t, íei Řešení. Nejdříve poznamenejme, že směrovým vektorem přímky p je u p = (1,-1) (libovolný nenulový vektor kolmý k vektoru (1,1) z obecné rovnice přímky) a směrovým vektorem přímky q je uq = (2, 1). To, že vektor up není násobkem vektoru uq, pak zaručuje, že se přímky protínají (přímky nejsou rovnoběžné). Bod [x, y] je hledaným průsečíkem, právě když jeho souřadnice vyhovují rovnici přímky p a současně existuje reálné číslo ř, pro které x = -1 + 2ř, y = 2 + t. Dosadíme-li odsud do obecné rovnice p, obdržíme Zkusme teď úplně zapomenout na souřadnice a vnímat celou rovinu jako množinu, na které fungují naše posunutí. Takovou množinu A = R2 si můžeme představit z pohledu pozorovatele, který sedí v některém pevně zvoleném místě (můžeme mu říkat třeba bod O fco, yo] -). Předpokládejme, že ji vnímá jako nekonečnou desku bez jakýchkoliv zvolených měřítek a popisů a jenom ví, co to znamená posunout se o libovolný násobek nějakého vektoru u e R2. Takové rovině budeme říkat „afinní rovina". Aby mohl vidět kolem sebe „dvojice reálných čísel", musí si vybrat nějaký bod E\, kterému řekne „bod [1, 0]" a jiný bod Ej_, kterému začne říkat „bod [0, 1]". Jinými slovy, zvolí si bázi e\ = (1, 0), ej_ = (0, 1) mezi vektory posunutí. Do všech ostatních se pak dostane tak, že poskočí „a-krát ve směru e\" a pak ,,^-krát ve směru e2 " a takovému bodu bude říkat „bod [a, b]". Pokud to bude dělat obvyklým způsobem, nebude výsledek záviset na pořadí, tzn. může také napřed jít b-kiát ve směru e2 a pak teprve ve směru e\. To, co jsme popsali, se nazývá volba {afinního) souřadného systému v rovině, bod O je jeho počátkem, a obecně každý bod P roviny je ztotožněn s dvojicí čísel [a,b], kterou také budeme psát jako posunutí P — O. Budeme dále pracovat v pevně zvolených souřadnicích, tj. s dvojicemi reálných čísel, ale pro lepší orientaci budeme vektory zapisovat s kulatými závorkami místo hranatých u souřadnic bodů v afinní rovině. 26 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA 1.24 1.25. Přímky v rovině. Když se náš pozorovatel umí posou-' „ vat o libovolný násobek pevného vektoru, pak také ví, "y>JB> co je to přímka. ,\!íf^$' Je to podmnožina p c A v rovině taková, že exis-i?S tují bod O a nenulový vektor v takové, že p = {P € A; P — O = t ■ v, t € Popišme si P = P (t) e p ve zvolených souřadnicích s volbou v = (a, P): x(t) = x0 + a ■ t, y(t) = y0+ p - t. Protože vektor v = (a, P) je nenulový, musí být aspoň jedno z čísel a, p různé od nuly. Když pro určitost předpokládáme, že třeba a / O, pak vyloučíme t z parametrického vyjádření pro x a y a jednoduchým výpočtem dostaneme -fix + ay = -fíx0 + ay0. To je obecná rovnice přímky el.12 (1.13) ax + by = c, se známým vztahem dvojice čísel (a, b) = (—fi, a) a směrového vektoru přímky v = (a, P) (-l+2ř)+ (2 + ř)-4 = 0. Této rovnici vyhovuje právě t = 1, což dává průsečík se souřadnicemi x = 1, y = 3. □ 1.66. Najděte obecnou rovnici přímky p, jež prochází bodem [2, 3] a je rovnoběžná s přímkou x — 3y + 2 = 0, a parametrickou rovnici přímky q procházející body [1, 3] a [—2, 1]. Řešení. Každá přímka rovnoběžná s přímkou x— 3 y +2 = Oje zadána rovnicí x - 3y + c = 0 pro nějaké ceM. Přímka p prochází bodem [2, 3]. Musí tedy platit 2-3-3 + c = 0, tj. c = 7. Pro přímku q lze ihned uvést její parametrické vyjádření q : [1, 3] + t (1 - (-2), 3 - 1) = [1, 3] + t (3, 2), t e R. □ 1.67. Zjistěte, zda některé z přímek pi : 2x + 3y — 4 = 0, /?2 : x — y + 3 = 0, pj, : —2x + 2y = —6, p4 : -x - | y + 2 = 0, p5 : x = 2 + í, y = -2 - í, t e M (ne)jsou totožné. Řešení. Je vidět, že -2 • {-x - l y + 2) = 2x + 3y - 4. Obecné rovnice p\ a p4 tudíž zadávají stejnou přímku. Normálový vektor přímky p\ je (2, 3), pro přímku p2 je (1, —1), pro p3 je (—2, 2) a pro p5 je (1, 1) (kolmý vektor k vektoru (1, —1)). Přímky p2 a p3 jsou rovnoběžné (normálový vektor jedné je násobkem normálového vektoru druhé). Další dvojice rovnoběžných přímek neexistují. Neboť soustava x - y + 3 = 0, -2x + 2y + 6 = 0 zjevně nemá řešení, přímky p\ a p$ tvoří jedinou dvojici totožných přímek. □ 1.68. Určete přímku p,která je kolmá k přímce q : 6x— 7y+13 = 0 a která prochází bodem [—6,7]. Řešení. Protože normálový vektor přímky q je směrový vektor přímky p, můžeme bezprostředně napsat výsledek p : x = -6 + 6ř, y = 7 - 7ř, t e R. el. 13 (1.14) aa +, □ 27 E. GEOMETRIE V ROVINE 5. GEOMETRIE V ROVINE 1.69. Udejte příklad čísel a, b e M, pro něž je vektor u normálovým vektorem přímky AS, je-li A = [1, 2], B = [2b, b], u = (a — b, 3). Řešení. Směrovým vektorem přímky AS je (2b — \,b — 2) (tento vektor je vždy nenulový), a proto jejím normálovým vektorem je (2 — b, 2b — 1). Položíme-li 2-b = a-b, 2b-1=3, dostáváme a = b = 2. □ 1.70. Určete vzájemnou polohu přímek p, q v rovině, jestliže je p : 2x — y — 5 = 0, q : x + 2y — 5 = 0. Pokud se jedná o různoběžky, nalezněte souřadnice jejich průsečíku. Řešení. Z obecných rovnic přímek p, q známe jejich normálové vektory (2, — 1), (1, 2). Přímky jsou rovnoběžné právě tehdy, je-li normálový vektor jedné násobkem normálového vektoru druhé, což zřejmě pro přímky p, q splněno není. Jde tedy o různoběžky. Průsečík nalezneme vyřešením soustavy 2x - y - 5 = 0, x + 2y - 5 = 0. Když z první rovnice vyjádříme y = 2x — 5 a dosadíme za y do druhé, získáme x + 2(2x - 5) - 5 = 0, tj. x = 3. Poté snadno určíme y = 2 ■ 3 — 5 = 1. Přímky se tak protínají v bodě [3, 1]. □ 2 se standardní soustavou souřadnic.' "Z4 1.71. Uvažujme rovinu počátku [0, 0] je vyslán laserový paprsek ve směru (3, 1). Dopadne na zrcadlovou přímku p danou parametricky jako p: [4,3]+ř(-2, 1) a poté se odrazí (úhel dopadu je shodný s úhlem odrazu). V jakém bodě dopadne odražený paprsek na přímku q, danou parametricky jako q : [7,-10] +f (-1,6)? 1.25 Řešení. Směr paprsku svírá s přímkou p úhel 45°, odražený paprsek tedy bude kolmý na dopadající, jeho směrový vektor bude (1, —3) (Pozor na orientaci! Daný směrový vektor můžeme též získat například zrcadlením (osovou symetrií) podle kolmého vektoru k přímce p.) Paprsek dopadne v bodě [6,2], odražený paprsek tedy bude mít rovnici [6,2] + ř(l, -3), t > 0. Průnik přímky dané odraženým paprskem s přímkou q je bod [4, 8], což je mimo polopřímku, která je daná odraženým paprskem (t = —2). Odražený paprsek tedy přímku q neprotne. □ Výraz nalevo v rovnici přímky (1.13) můžeme vidět jako skalární funkci F závislou na bodech v rovině a s hodnotami v M, samu rovnici pak jako požadavek na její hodnotu. Časem uvidíme, že vektor (a, b) je v tomto případě právě směrem, ve kterém F nejrychleji roste. Proto bude směr kolmý na (a, b) právě tím směrem, ve kterém zůstává naše funkce F konstantní. Konstanta c pak určuje, kterou ze všech rovnoběžných přímek rovnice určuje. Mějme nyní dvě přímky p a q a ptejme se po jejich průniku pC\q. Ten bude popsán jako bod, splňující obě rovnice přímek současně. Pišme je takto ax + by = r cx + dy = s. Opět můžeme levou stranu vnímat jako přiřazení, které každé dvojici souřadnic [x, y] bodů P v rovině přiřadí vektor hodnot dvou skalárních funkcí F\ a F2 daných levými stranami jednotlivých rovnic (1.15). Můžeme tedy naše rovnice napsat jako jediný vztah F (v) = w, kde F je přiřazení, které vektor v popisující polohu obecného bodu v rovině (v našich souřadnicích) zobrazí na vektor zadaný levou stranou rovnic, a požadujeme, aby se toto zobrazení strefilo do předem zadané hodnoty w = (r, s). 1.26. Lineární zobrazení a matice. Přiřazení F, se kterými jsme pracovali při popisu průniku přímek, mají jednu velice podstatnou společnou vlastnost: respektují operace sčítání a násobení s vektory a skaláry, tj. respektují lineární kombinace: F (a ■ v + b ■ w) = a ■ F (v) + b ■ F(w) pro všechny a, b e M, v, w e M2. Říkáme, že F je lineárni zobrazení z M2 do M2, a píšeme F : M2 -> M2. Slovy lze podmínku také vyjádřit tak, že lineární kombinace vektorů se zobrazuje na tutéž lineární kombinaci jejich obrazů, tj. lineární zobrazení jsou ta zobrazení, která zachovávají lineární kombinace. 28 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA Se stejným chovaním jsme se setkali i v rovnici (1.13) pro přímku, kde šlo o lineární zobrazení F : ť -> R a jeho předepsanou hodnotu c. To je také důvodem, proč jsou hodnoty zobrazení z = F(x, y) na obrázku vyobrazeny jako rovina v M3. Stručně budeme zapisovat taková zobrazení pomocí tzv. matic a jejich násobení. Maticí rozumíme obdélníkové schéma skalárů, např. a b c d nebo v hovoříme o (čtvercové) matici A a (sloupcovém) vektoru v. Jejich násobení definujeme takto: 'a b\ íx\ íax + by^ ,c d) Vyj ~ \cx +dy A ■ v Podobně, můžeme místo vektoru v zprava násobit jinou maticí B stejného rozměru jako je A. Prostě aplikujeme předchozí formule po jednotlivých sloupcích matice B a obr-držíme jako výsledek opět čtvercovou matici. Neumíme násobit vektor v zprava maticí A protože nám nevychází počty skalárů na řádcích v s počty skalárů ve sloupcích A. Umíme však napsat vektor y s w do řádku skalárů (tzv. transponovaný vektor) w T = (a b) a ten zprava našimi maticemi A nebo vektory v již násobit umíme. Snadno ověříme tzv. asociativitu násobení (propočítejte pro obecné matice A, B a. vektor v detailně): (A ■ B) ■ v = A ■ (B ■ v). Místo vektoru v můžeme samozřejmě psát i libovolnou matici C správného rozměru. Stejně snadno je vidět i distributi-vita A-(B + C) = A-B + A-C, neplatí však komutativita a existují „dělitelé nuly". Např. 0 o)'[p l)~\0 OJ' \0 l)'[p o)~\0 Oj Zejména vidíme, že násobení vektorů pevnou maticí zadává linerání zobrazení, a naopak, pomocí hodnot lineárního zobrazení F na dvou pevných vektorech báze už dostaneme celé příslušné zobrazení. Body v rovině jsou tedy obecně vzory hodnot lineárních zobrazení F roviny do roviny, přímky jsou obecně vzory hodnot lineárních zobrazení z roviny do reálné přímky M. S maticemi a vektory umíme rovnice pro přímky a body psát w (a b) Samozřejmě, ve zvláštních situacích tomu tak být nemusí. Tak třeba průnikem dvou stejných přímek je opět sama přímka (a vzorem vhodné hodnoty pro takové lineární zobrazení bude celá přímka), nulové zobrazení má za vzor nuly Poznámka.Odraz paprsku v třírozměrném prostoru je studován v příkladu 3.47. 1.72. Z bodu [—2, 0] vyrazila v pravé poledne konstantní rychlostí 1 ms"1 ve směru (3, 2) úsečka délky 1. Rovněž v poledne vyrazila z bodu [5, —2] druhá úsečka délky 1 ve směru (—1, 1), ovšem dvojnásobnou rychlostí. Srazí se? Řešení. Přímky, po kterých se pohybují dané úsečky, můžeme popsat parametrickým vyjádřením: p : [-2,0] + r(3,2), q : [5,-2]+5(-l, 1). Obecná rovnice přímky p je 2x - 3y + 4 = 0. Dosazením parametrického vyjádření přímky q získáme průsečík P = [1,2]. Nyní se snažme zvolit jediný parametr t pro obě úsečky tak, aby nám odpovídající bod na přímkách p, resp. q, popisoval polohu počátku první, resp. druhé, úsečky v čase t. V čase 0 je první úsečka v bodě [—2, 0], druhá v bodě [5, —2]. Za čas t sekund urazí první úsečka t jednotek délky ve směru (3, 2) druhá pak 2t jednotek délky ve směru (—1, 1). Odpovídající parametrizace jsou tedy p : [-2,0] + -J=(3,2), V13 q : [5,-2]+ řV2(-l, 1). Počátek první úsečky dorazí do bodu [1, 2] v čase t\ = V13 s, počátek druhé úsečky v čase ř = 2a/2 s, tedy více než o půl vteřiny dříve. Tedy v době, kdy dorazí do průsečíku P počátek první úsečky, bude již konec druhé úsečky pryč a úsečky se tak nesrazí. □ 1.73. Rovinný fotbalista vystřelí míč z bodu F = [1, 0] ve směru (3, 4) na bránu (úsečku) ohraničenou body A = [23, 36] a B = [26, 30]. Směřuje míč do brány? Řešení. Vzhledem k tomu, že se situace odehrává v prvním kvadrantu, stačí uvažovat směrnice vektorů FA, (3,4), FB. Tvoří-li (v tomto pořadí) buďrostoucí nebo klesající posloupnost, míč směřuje na bránu. Tato posloupnost je 36/22, 4/3, 30/25, což je klesající posloupnost, míč tedy směřuje do brány. □ 1.74. Upravte (A - B)T ■ 2C ■ u, přičemž -°2 í)- » = (-2i ?)• c-(l 1 Řešení. Dosazením 29 E. GEOMETRIE V ROVINE 5. GEOMETRIE V ROVINE A-B (A-B)1 -2 5N a násobením matic dostáváme (A - B)T ■ 2C ■ u -2 -1 5 1 4 -4 8 10 2C 4 -4 8 10 -52 64 □ el. 15 1.25a 1.75. Uvedte příklad matic A a B, pro něž (a) (A + B) ■ (A - B) ^ A ■ A - B ■ B; (b) (A + B) ■ (A + B) ^ A ■ A + 2A ■ B + B ■ B. Řešení. Připomeňme, že uvažujeme dvojrozměrné (čtvercové) matice A a S. Pro libovolné matice A a. B ovšem platí (A + B) ■ (A - B) = A ■ A - A ■ B + B ■ A - B ■ B. Identitu (A + B) ■ (A - B) = A ■ A - B ■ B tak dostaneme, právě když je —A ■ B + B ■ A nulovou maticí, tj. právě když matice A a. B komutují. Příkladem hledaných matic jsou tedy právě ty dvojice matic, které nekomutují (matice součinu se při záměně pořadí násobených matic změní). Můžeme např. zvolit 1 2 3 4 B 2 1 neboť při této volbě je A - B - 1.25b 5\ . _ /13 20N v20 13J' V5 * Analogicky pro každou dvojici matic A, B platí (A + 5) • (A + 5) = A- A + A-B + B- A + B-B. To znamená, že (A + B) ■ (A + B) = A- A + A- B + A- B + B ■ B je splněno tehdy a jenom tehdy, když AB = B-A. Ve druhém případě jsou tak hledané dvojice matic A, B zcela totožné s případem prvním. 1.76. Rozhodněte, zda jsou zobrazení F, G : zeními x\ i Ix —3y □ l2 zadaná prirá- ta G : 2x + 5y 2x + 2y - 4 ^ 1 4x - 9y + 3 x,y € lineární. Řešení. Pro libovolný vektor (x, y)T F 7 -2 2 2 4 -9 e M můžeme vyjádřit (*\ ^ ( í y J \\y; X ' + celou rovinu. V prvém případě to poznáme tak, že jsou nalevo v rovnicích (1.15) stejné výrazy až na skalární násobek (nebo jinak řečeno, řádky matice A jsou stejné až na skalární násobek). V takovém případě buď nebude v průniku příslušných přímek žádný bod (rovnoběžné různé přímky) nebo tam budou všechny body přímky (stejné přímky). Tuto podmínku může vyjádřit tak, že poměry a/c ab/d musí být stejné, neboli (1.16) ad — bc 0. Všimněme si, že toto vyjádření už zahrnuje i případy, kdy c nebo d je nulové. 1.27. Determinant matice. Výrazu nalevo v (1.16) říkáme determinant matice A a píšeme pro něj det A ad — bc. Naši diskusi teď můžeme vyjádřit takto: Tvrzení. Determinant je skalární funkce det A definovaná na všech maticích A a rovnice A-v = u je jednoznačně řešitelná, právě když je det A / O. Zkuste promyslet, že pro tuto úvahu bylo podstatné, že pracujeme s polem skalárů. Například nad celými čísly obecně neplatí. Když prostě spočteme řešení rovnic s celočíselnými koeficienty (tj. matice A má pouze celočíselné vstupy), tak toto řešení celočíselné být nemusí. 1.28. Afinní zobrazení. Podíváme se, jak maticová symbolika umožňuje pracovat s jednoduchými zobrazeními v afinní rovině. Viděli jsme, že násobe-ľi. ním maticí je dáno linerání zobrazení. Posunutí v afinní rovině M2 o pevný vektor t maticové formě také snadno zapsat: (r, s) e M umíme v Jestliže k výsledku lineárního zobrazení ještě dovolíme přičíst pevný vektor t = (r, s), pak naše zobrazení bude mít tvar 'x\ (ax + by + rN vy) \cx +dy + sy Takto jsou popsána právě všechna tzv. afinní zobrazení roviny do sebe. Taková zobrazení nám umožní přepočítávání souřadnic vzniklých různými volbami počátků a bází \>, směrů pro posunutí. Co se stane, když náš pozorovatel z odstavce 1.23 bude tutéž rovinu shlížet z jiného bodu nebo si aspoň vybere jiné 2?2? Zkuste si promyslet, že na úrovni souřadnic to skutečně bude právě změna realizovaná pomocí afinního zobrazení. Časem budeme vidět obecné důvody, proč tomu tak je ve všech dimenzích. body E\ 30 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA 1.29. Euklidovská rovina. Přidejme nyní schopnost našeho pozorovatele vidět vzdálenosti. Např. může věřit obvyklému vzorci pro velikost vektoru v = (a, b) \v\\ = V'a2 + b2 v jím zvolených afinních souřadnicích. Okamžitě pak můžeme definovat pojmy jako jsou úhel a otočení v rovině. Jednoduše si to můžeme představit takto: náš člověk se Y rozhodne o nějakých bodech E\ a E2, že jsou l-^-W/, od něj ve vzdálenosti jedna, a zároveň si řekne, že jsou na sebe kolmé. Vzdálenosti ve směrech souřadných os pak jsou dány příslušným poměrem, obecně používá Euklidovu (nebo Pythagorovu) větu. Odtud vyjde právě výše uvedený vzorec. 0 1 Náš pozorovatel roviny může samozřejmě postupovat i jinak. Může použít nějaký standard pro skutečné měření vzdálenosti bodů p a q v rovině a říci, že to je právě velikost vektoru q — p, který potřebujeme na posunutí z p do q. Pak si vybere nějaký z vektorů, které skutečně mají velikost 1 a třeba pomocí trojúhelníku o stranách s velikostmi 3, 4 a 5 zkonstruuje kolmý vektor o velikosti jedna a dále pokračuje jako výše. Odtud vyplývá, že obě zobrazení jsou afinní. Připomeňme, že afinní zobrazení je lineární, právě když se nulový vektor zobrazí sám na sebe. Neboť 3))-©- «(©)-(? zobrazení F je lineární, zobrazení G nikoli. □ 1.77. Buď dán pravidelný šestiúhelník ABCDEF (vrcholy jsou označeny poradě v kladném smyslu) se středem v bodě S = [1,0] a vrcholem A = [0, 2]. Určete souřadnice vrcholu C. Řešení. Souřadnice vrcholu C získáme otočením bodu A okolo středu S šestiúhelníka o 120° v kladném smyslu: 'cos(120o) - sin(120°)N sin(120°) cos(120°) C (A — S) + S + [1,0] = [--VŠ,-1 2 □ 1.78. Buďdán rovnostranný trojúhelník s vrcholy [1, 0] a [0, 1] ležící celý v prvním kvadrantu. Určete souřadnice jeho třetího vrcholu. Řešení. Třetí souřadnice je [5 + ^, \ + ^] (otáčíme bod [1, 0] o 60° kolem bodu [0, 1] v kladném smyslu). □ 1.79. Určete souřadnice vrcholů trojúhelníka, který vznikne otočením rovnostranného trojúhelníka, jehož dva vrcholy jsou A = [1,1] a S = [2, 3] (třetí pak v polorovině dané přímkou AS a bodem S = [0, 0]) o 60° v kladném smyslu kolem bodu S. Řešení. Třetí vrchol trojúhelníka dostaneme např. otočením o 60° jednoho z vrcholů kolem druhého (ve správném smyslu). Hledané body mají pak souřadnice [— ^V3, V3 — \], [\ — ^V3, 4V3 + \], [1 - |V3, V3 + |]. □ 1.80. Určete úhel, který svírají vektory (a) u = (-3, -2), v = (-2,3); (b) u = (2, 6), v = (-3, -9). Řešení. Hledaný úhel

M2 lze vcelku snadno uhádnout: Je-li totiž výsledkem matice se sloupci (a, c) a (b, d), pak první sloupec dostaneme násobením této matice s prvním vektorem báze (1,0) a druhý je vyčíslením na druhém vektoru báze (0, 1). 32 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA Z obrázku je proto vidět, že pro rotaci o úhel \jj proti směru hodinových ruček jsou v matici sloupce 'a b\ /l\ /cos i/A (a b\ Í0\ í— sini/^ , c d)[o) = \sin ý) \c d) \1) = \ cos f Směr proti směru hodinových ruček označujeme jako kladný směr rotace, opačný je pak záporný. Proto dostáváme tvrzení: «__| Matice rotace | Rotace o předem daný úhel ý v kladném směru kolem počátku souřadnic je dána maticí R^,: cos ý — sini/A (x i-> Rý - v — . Nyní, když už víme, jak vypadá matice otočení v rovině, můžeme ověřit, že otočení zachovává vzdálenosti a úhly (definované předešlým vzorcem). Označíme-li obraz vek- toru v jako R,i vx cos ý — vy sm vx sin ý + vy cos ý) ' a podobně w' = R f ■ w, pak lze snadno přepočítat, že opravdu platí llw'11 = II ^ II V'XW'X + V'yw'y = VXWX + VyWy. Předchozí výraz lze pomocí vektorů a matic napsat následovně (Rý ■ w)T(Rf ■ v) = wTv. Transponovaný vektor (R^, ■ w)T je roven wT ■ R^, kde je tzv. transponovaná matice k matici R^,. To je matice, jejíž řádky tvoří sloupce původní matice a sloupce naopak tvoří x \ / cos

!+ + u2 — 2u\V\ -\- v\ -\- u\ — 2u2v2 + = («i + t>i)2 + (M2 + V2)2 + («i - Ui)2 + (W2 - ť2)2 = \\u+v\\2 + \\u-v\\2. □ 1.88. Ukažte, že složením lichého počtu středových souměrností v rovině dostaneme opět středovou symetrii. Řešení. Středovou souměrnost v rovině se středem 5 reprezentujme předpisem X S — (X — S), neboli X h-» 25 — X. (Obraz bodu X ve středové symetrii podle středu 5 dostaneme tak, že k souřadnicím bodu 5 přičteme souřadnice vektoru opačného k vektoru X — 5.) Postupnou aplikací tří středových souměrností se středy 5, T a U tak dostáváme X h» 25 - X h» 2T - (25 - X) h» 2U - (2T - (25 - X)) = 2(U -T + 5) - X, celkem X h» 2(U - T + 5) - X, což je středová souměrnost se středem 5 — T + U. Složení libovolného lichého počtu středových souměrností tak postupně redukujeme až na složení tří středových souměrností, jde tedy o středovou symetrii (v principu se jedná o důkaz matematickou indukcí, zkuste si jej sami zformulovat). □ 1.89. Sestrojte (2n + l)-úhelník, jsou-li dány všechny středy jeho stran. 1.26c Řešení. K řešení využijeme toho, že složením lichého počtu středových souměrností je opět středová souměrnost (viz předchozí příklad). Označme vrcholy hledaného (2n + 1)-úhelníka po řadě A\, A2, ..., A2n+i a středy stran (počínaje středem strany A\A2) postupně S\, S2, ... S2n+\. Provedeme-li středové souměrnosti po řadě podle těchto středů, tak bod A\ je zjevně pevným bodem výsledné středové souměrnost, tedy jejím středem. K jeho nalezení tedy stačí provést uvedenou středovou souměrnost s libovolným bodem X roviny. Bod A i leží pak ve středu úsečky XX', kde X' je obrazem bodu X ve zmíněné řádky původní matice. Vidíme tedy, že matice otočení splňují vztah ■ Rý = I, matice I (někdy píšeme prostě 1 a máme tím na mysli jednotku v okruhu matic), je tzv. jednotková matice 'l 0^ Tím jsme odvodili pozoruhodné tvrzení — matice F s vlastností, že F ■ Rý = I (budeme takové říkat inverzní matice k matici rotace R^) je maticí transponovanou k původní. To je logické, neboť inverzní zobrazení k rotaci o úhel ý je opět rotace, ale o úhel — ý, tj. inverzní matice je rovna matici R. cos(-ý) — sin(-ý) sin(-ý) cos(-ý) cos ý sin ý - sin ý cos ý Pokud bychom chtěli zapsat rotaci kolem jiného bodu P = O + w, P = [wx, wy], opět pomocí matice, snadno napíšeme potřebný vzorec pomocí posunutí: Stačí si k tomu uvědomit, že můžeme místo rotace kolem daného bodu P napřed posunout P do našeho počátku, pak provést rotaci a pak udělat opačné posunutí, kterým celou rovinu vrátíme tam, kde měla celou dobu být, viz obrázek. Počítejme tedy \-> v — w \-> • (v — w) \-> Rf ■ (v — w) + w cos ý(x — wx) — sin \js(y sin ý(x — wx) + cos \js(y - - Wy) + WX Wy)) + Wy 1.32. Zrcadlení. Dalším dobře známým příkladem zobra-zení, která zachovávají velikosti, je tzv. zrca-^-ií";-?*''' dlení vzhledem k přímce. Opět nám bude stačit WV r popsat zrcadlení vzhledem k přímkám prochá-zejícím počátkem O a ostatní se z nich odvodí pomocí posunutí, resp. rotací. Hledejme tedy matici zrcadlení vzhledem k přímce s jednotkovým směrovým vektorem v svírajícím úhel ý s vektorem (1,0). Nejprve si uvědomme, že 7 - í1 ° z°-lo -1 34 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA l /VO D ? U /1 o -by f ö_n Obecně můžeme každou přímku otočit do směru vektoru (1,0) a tedy zapsat obecnou matici zrcadlení jako = ■ Zq ■ R-,/,, kdy nejprve otočíme maticí přímku do „nulové" polohy, odzrcadlíme maticí Z0 a vrátíme zpět otočením R^,. Můžeme proto (díky asociativitě násobení matic) spočíst: 'cos ý —sinÝ ^ 'sin i/r cos Videos ý sin ý sin ý —cos ý 'cos2 ý — sin2 ý 2 sin ý cos ý 'coslifr sin2i/f sin 2^ — cos 2^ 1 0 \ / cos ý sin ý 0 — ly sin i/r cos ý cos ý sin ý - sin i/f cos ý 2 sin i/f cos ý (cos2 i/f — sin2 ý) Použili jsme přitom obvyklé součtové vzorce pro goniometrické funkce. Povšimněme si také, že • Z0 je dáno: cos2i/f sin2i/f sin2i/f — cos2i/f 1 0 0 -1 cos2i/f — sin2i/f sin2i/f cos2i/f Toto pozorování lze zakreslit a zformulovat následovně * A' i!. 2 ■ středové symetrii. Další vrcholy A2, ..., A2n+i získáme zobrazováním bodu A\ ve středových souměrnostech podle S\, . . . , S2n+\. □ 1.90. Určete obsah trojúhelníku ABC, je-li A = [-8, 1], B = [-2,0], C = [5,9]. Řešení. Víme, že obsah je roven polovině determinantu matice, jejíž první sloupec je dán vektorem B—Au druhý sloupec vektorem C —A, tj. determinantu matice -2-(-8) 5-(-8)N 0-1 9-1 Jednoduchý výpočet tak dává výsledek I ((_2 - (-8)) . (9 - 1) - (5 - (-8)) • (0 - 1)) Dodejme, že při záměně pořadí vektorů by hodnota determinantu měla opačné znaménko (její absolutní hodnota by tedy zůstala stejná) a že by se vůbec nezměnila, kdybychom vektory (při zachování pořadí) napsali do řádků. □ 1.91. Spočtěte obsah S čtyřúhelníku vymezeného jeho vrcholy [1, 1], [6, 1], [11, 4], [2,4]. Řešení. Nejprve si označme vrcholy (proti směru pohybu hodinových ručiček) A = [1,1], S = [6,1], C = [11, 4], D = [2, 4]. Pokud rozdělíme čtyřúhelník ABC D na trojúhelníky ABC a ACD, můžeme získat jeho obsah jako součet obsahů těchto trojúhelníků, a to vyčíslením determinantů 6-1 11-1 dl ~ i _ i 4_i 11 4 - - 1 1 5 10 0 3 10 1 3 3 kde ve sloupcích jsou postupně vektory B —A, C —A (pro d\) a C — A, D — A (pro d2). Potom 21. c _ _l i , w) takto definovaného trojúhelníku A(i>, w), kde si pro určitost za P volíme počátek a posunutím se obsah stejně nemění. Ze zadání je vidět, že hledaná hodnota je polovinou plochy rovnoběžníku nataženého na vektory v a w a snadno se spočte (pomocí známého vzorečku: základna krát příslušná výška) nebo prostě vidí z obrázku, že nutně platí vol A(i> + v', w) = vol A(i>, w) + vol A(i/, w) vol A(av, w) = a vol A(v, w). -1 0 3 — Tt 5 — Tt 1 \ o Nakonec ještě přidáme k našemu zadání požadavek vol A(v, w) = — vol A(w, v), který odpovídá představě, že opatříme plochu znaménkem podle toho, v jakém pořadí bereme vektory (tj. jestli se na ni díváme shora nebo zespodu). Pokud vektory v a w napíšeme do sloupců matice A, pak A = (v, w) i—> det A splňuje všechny tři naše požadavky. Kolik takových zobrazení ale může být? Každý vektor umíme vyjádřit pomocí dvou bázových vektorů e\ = (1,0) a e2 = (0,1) a díky linearitě je tedy každá možnost pro vol A jednoznačně určena už vyčíslením na těchto vektorech. Protože ale pro obsah, stejně jako pro determinant, je zjevně vol A(ei, e\) = vol A(e2, e2) = 0 (kvůli požadované antisymetrii), je nutně každá taková skalární funkce jednoznačně zadána hodnotou na jediné dvojici argumentů (e\, e2). Jsou si tedy všechny možnosti rovny až na skalární násobek. Ten umíme určit požadavkem 1 vol A(e\, e2) = -, 0 -2 5 — Tt 6 — Tt -2 -5 - Tt —Tt 2- 3 3-3 1 - (n - 2) 3 - (n - 2) -1-(5-tt)-0<0. Tato strana je tudíž vidět. Zbývají strany CD a D A. Pro ně dostáváme po řadě 3- 3 1-3 3 - (Tt - 2) 4 - (n - 2) 0 - (-2) • (5 - Tt) > 0, 1-3 -2-3 4 - (Tt - 2) -2 - (Tt - 2) -2 ■ (-Tt) - (-5) ■ (6 - Tt) >0. Z bodu X jsou tedy vidět právě strany určené dvojicemi vrcholů [-2,-2], [2, 1] a [2, 1], [3, 3]. □ 1.95. Uvedte strany pětiúhelníku s vrcholy v bodech [—2, —2], [-2,2], [1,4], [3,1] a [2,-11/6], které je možné vidět z bodu [300, 1]. Řešení. Pro zjednodušení zápisů „tradičně" položme A = [—2, —2], B = [2, —11/6], C = [3,1], D = [1,4], £" = [-2,2]. Strany BC a CD jsou zjevně z pozice bodu [300, 1] viditelné; naopak strany DE a E A být vidět nemohou. Pro stranu AB raději určeme -2-300 2^300 =_302.(_¥)_(_298).(_3)<0. Z 1 6 1 Odsud plyne, že tato strana je z bodu [300, 1] vidět. □ 1.96. Viditelnost stran trojúhelníka. Je dán trojúhelník s vrcholy A = [5, 6], B = [7, 8], C = [5, 8]. Určete, které jeho strany je vidět z bodu P = [0, 1]. Řešení. Uspořádáme vrcholy v kladném smyslu, tedy proti směru hodinových ručiček: [5, 6], [7, 8], [5, 8]. Pomocí příslušných determinantů určíme, je-li bod [0, 1] „nalevo" či „napravo" od jednotlivých stran trojúhelníka uvažovaných jako orientované úsečky, > 0, B - P 1 7 C - P 5 7 A - P 5 5 B - P 7 7 C - P 5 7 A - P — 5 5 < 0. Z nulovosti posledního determinantu vidíme, že body [0, 1], [5, 6] a [7, 8] leží na přímce, stranu A B tedy nevidíme. Stranu BC rovněž tak nevidíme, na rozdíl od strany A C, pro kterou je příslušný determinant záporný. □ 1.97. Určete, které strany čtyřúhelníka s vrcholy A = [95, 99], B = [130, 106], C = [40, 60], D = [130, 120]. jsou viditelné z bodu [2, 0]. 37 F. ZOBRAZENÍ A RELACE 6. RELACE A ZOBRAZENÍ Řešení. Nejprve je třeba určit strany čtyřúhelnfka („správné" pořadí vrcholů): ACBD. Po spočítání příslušných determinantů jako v předchozích příkladech zjistíme, že je vidět pouze strana CB. □ F. Zobrazení a relace 1.29 1.98. Rozhodněte, zda následující relace na množině M jsou relace ekvivalence: i) M = {f : R -> R}, kde (/ ~ g), pokud /(O) = g(0). ii) M = {f : R -> R}, kde (/ ~ g), pokud /(O) = g(l). iii) M je množina přímek v rovině, přičemž dvě přímky jsou v relaci, jestliže se neprotínají. iv) M je množina přímek v rovině, přičemž dvě přímky jsou v relaci, jestliže jsou rovnoběžné. v) M = N, kde (m ~ n), pokud S(m) + S(n) = 20, přičemž S(n) značí ciferný součet čísla n. vi) M = N, kde (m ~ n), pokud C(m) = C(n), kde C(n) = S(n), pokud je ciferný součet S(n) menší než 10, jinak definujeme C(n) = C(S(n)) (je tedy vždy C(n) < 10). Řešení. i) Ano. Ověříme tři vlastnosti ekvivalence: i) Reflexivita: pro libovolnou reálnou funkci / je /(O) = /(O). ii) Symetrie: jestliže platí /(O) = g(0), pak i g(0) = f(0). iii) Tranzitivita: jestliže platí /(O) = g(0) a g(0) = h(0), pak platí i /(O) = A(0). ii) Ne. Definovaná relace není reflexivní, např pro funkci sin máme sin 0 ^ sin 1 a není ani tranzitivní. iii) Ne. Relace opět není reflexivní (každá přímka protíná sama sebe) ani tranzitivní. iv) Ano. Třídy ekvivalence pak tvoří množinu neorientovaných směrů v rovině. v) Ne. Relace není reflexivní. 5(1) + 5(1) = 2. vi) Ano. tj. volíme orientaci a měřítko pomocí volby bázových vektorů a chceme aby jednotkový čvtverec měl plochu jedna. Vidíme tedy, že determinant zadává plochu rovnoběžníku určeného sloupci matice A a plocha trojúhelníku je tedy poloviční. 1.35. Viditelnost v rovině. Předchozí popis hodnot pro orientovaný obsah nám dává do rukou elegantní nástroj pro určování pozice bodu vůči orientovaným úsečkám. Orientovanou úsečkou rozumíme dva body v rovině R2 s určeným pořadím. Můžeme si ji představit jako šipku od prvého k druhému bodu. Taková orientovaná úsečka nám rozděluje rovinu na dvě poloroviny, říkejme jim „levou" a „pravou". Pro daný bod chceme poznat, jestli je v té levé nebo pravé. Takové úlohy často potkáváme v počítačové grafice při řešení viditelnosti objektů. Pro zjednodušení si zde jen představme, že úsečku „je vidět" z bodů napravo a není vidět z těch nalevo (což odpovídá představě, že objekt ohraničený orientovanými hranami proti směru hodinových ručiček má nalevo od nich svůj vnitřek, přes který tedy není hranu vidět), obraázekje naopak! Máme-li dán nějaký bod C, spočtěme orientovanou plochu příslušného trojúhelníku zadaného vektory A — C a B — C. Pokud jsme s bodem C nalevo od úsečky, pak při obvyklé kladné orientaci proti směru hodinových ruček bude vektor A — C dříve než ten druhý a proto výsledná plocha (tj. hodnota determinantu matice jejímiž sloupci jsou tyto dva vektory) bude kladná. Naopak, při opačné poloze bude výsledkem záporná hodnota determinantu a podle záporné hodnoty determinantu zjistíme, že je náš bod od úsečky napravo. Uvedený jednoduchý postup je skutečně často využíván pro testování polohy při standardních úlohách v 2D grafice. □ 1.99. Máme množinu {3, 4, 5, 6, 7}. Napište explicitně relaci i) a dělí b ii) a dělí b nebo b dělí a iii) a a b jsou soudělná 1.100. Nechť je na R2 definována relace R tak, že ((a, b), (c, d)) e R pro libovolná a, b, c, d e R, právě když b = d. Zjistěte, z|da.s333 6. Relace a zobrazení V této závěrečné části úvodní motivační kapitoly se vrátíme k formálnímu popisu matematických struktur, budeme se je ale průběžně snažit ilustrovat na již známých příkladech. Zároveň můžeme tuto část brát jako cvičení ve formálním přístupu k objektům a konceptům matematiky. 38 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA 1.36. Relace mezi množinami. Nejprve potřebujeme definovat kartézský součin A x B dvou množin A a B. Je to množina všech uspořádaných dvojic (a, b) takových, že a e A a b e B. Binární relací mezi množinami Aafi pak rozumíme libovolnou podmnožinu R kartézského součinu A x 5. Často píšeme a ~R b pro vyjádření skutečnosti, že (a, b) e R, tj. že body a e A a & e 5 jsou v relaci i?. Definičním oborem relace je podmnožina Z) c A, D = {a € A;3b € B,(a,b) € R}. Slovy vyjádřené, je to množina prvků a z množiny A takových, že existuje prvek b z množiny S tak, že (a, b) patří do relace R. Stručněji, jsou to takové prvky z A, které mají obraz v B. Podobně oborem hodnot relace je podmnožina I c 5, 7 = {ŕ e S; Ba e A, (a, ŕ) e i?}, to znamená takové prvky v S, které mají vzor v A. Speciálním případem relace mezi množinami je zobrazení z množiny A do množiny B. Je to případ, kdy pro každý prvek definičního oboru re-i^r^^ä lace existuje právě jeden prvek z oboru hodnot, který je s ním v relaci. Nám známým případem zobrazení jsou všechny skalární funkce, kde oborem hodnot zobrazení je množina skalárů, třeba celých nebo reálných čísel. Pro zobrazení zpravidla používáme značení, které jsme také u skalárních f uncí zavedli. Píšeme /:DCA^/CS, f (a) = b pro vyjádření skutečnosti, že (a, b) patří do relace, a říkáme, že b je hodnotou zobrazení / v bodě a. Dále říkáme, že / je • zobrazení množiny A do množiny B, jestliže je D = A, • zobrazení množiny A na množinu B, jestliže je D = A a I = B, často také surjektivní zobrazení • prosté (často také injektivní zobrazení), jestliže je D = A a pro každé bel existuje právě jeden vzor a e A, f (a) = b. Vyjádření zobrazení / : A -» B jakožto relace /cAxS, f = {(a, f (a)); a e A} známe také pod názvem graf zobrazení f. jedná o relaci ekvivalence. Pokud jde o relaci ekvivalence, popište geometricky rozklad, který určuje. Řešení. Z ((a, b), (a, b)) e R pro všechna a, b e M plyne, že relace je reflexivní. Stejně snadno vidíme, že relace je symetrická, neboť v rovnosti (druhých složek) můžeme zaměnit levou a pravou stranu. Je-li ((a, b), (c, d)) e R a ((c, d), {e, f)) e R, tj. platí-li b = d ad = f, lehce dostáváme splnění tranzitivní podmínky ((a, b), (e, f)) e R, tj. b = f. Relace R je relací ekvivalence, kdy body roviny jsou spolu v relaci, právě když mají stejnou druhou souřadnici (přímka jimi zadaná je kolmá na osu y). Příslušný rozklad proto rozdělí rovinu na přímky rovnoběžné s osou x. □ 1.101. Určete, kolik různých binárních relací lze zavést mezi množinou X a množinou všech jejích podmnožin, má-li množina X právě 3 prvky. Řešení. Nejprve si uvědomme, že množina všech podmnožin X má 23 = 8 prvků, a tudíž její kartézský součin s množinou X má 8 • 3 = 24 prvků. Uvažovanými binárními relacemi jsou právě podmnožiny tohoto kartézského součinu, kterých je celkem 224. □ 1.102. Uvedlte definiční obor D a obor hodnot I relace R = {(a, v), (b, x), (c, x), (c, u), (d, v), (/, y)} mezi množinami A = {a, b, c, d, e, f} a B = {x, y, u, v, w}. Je relace R zobrazení? Řešení. Přímo z definice definičního oboru a oboru hodnot relace dostáváme D = {a, b, c, d, f} C A, I = {x, y, u, v} C B. Nejedná se o zobrazení, protože (c, x), (c, u) e R, t), c e D má dva obrazy. □ 1.103. O každé z následujících relací na množině {a, b, c, d} rozhodněte, zda se jedná o relaci uspořádání (příp. zda se jedná o úplné uspořádání): Ra = { (a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (b, a), (b, c), (b, d)}, Rh = { (a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (d, a), (a, d)}, Rc = { (a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, b), (b, c), (b, d)}, Rd = { (a, a), (b,b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d), (b, c), (b, d), (c, d)}, Re = { (a ,a), (b,b), (c , c), (d, d), (a, b), (a, c), (a, d), (b, c), (b, d), (c,d)}. Řešení. Ra je uspořádání, které není úplné (např. (a, c) <£ Ra ani (c, a) £ Ra). Relace Rh není antisymetrická (je totiž (a, d) e Rh i 39 F. ZOBRAZENÍ A RELACE 6. RELACE A ZOBRAZENÍ (d, a) € R],), a tudíž se nejedná o uspořádání (jde o ekvivalenci). Relace Rc a Rd rovněž nejsou uspořádáními, protože nejsou tranzitivní (např. (a,b),(b,c) e Rc, Rd, (a, c) £ Rc, Rd) a dokonce ani reflexivní {{d, d) <£ Rc, (d, d) £ Rd). Relace Re je úplné uspořádání (pokud budeme (a, b) e R interpretovat jako a < b, pak a < b < c < d). □ 1.104. Rozhodněte, zda je zobrazení / injektivní, resp. surjektivní, jestliže (a) / : Z x Z -» Z, f((x, y)) = x + y - 10x2; (b) / : N -» N x N, f (x) = (2x, x2 + 10) . Řešení. Ve variantě (a) je uvedeno surjektivní zobrazení (postačuje položit x = 0), které není injektivní (stačí zvolit (x, y) = (0, —9) a (x, y) = (1, 0)). Ve variantě (b) se naopak jedná o injektivní zobrazení (obě jeho složky, tj. funkce y = 2x a y = x2 + 10, jsou evidentně rostoucí na N), které není surjektivní (např. dvojice (1, 1) nemá vzor). 1.105. Stanovte počet zobrazení množiny {1, 2} do množiny {a, b, c}. Kolik z nich je surjektivních a kolik injektivních? Řešení. Prvku 1 můžeme v rámci zobrazení přiřadit libovolně jeden ze tří prvků a, b, c. Podobně také pro prvek 2 máme tři možnosti. Podle (kombinatorického) pravidla součinu tak existuje celkem 32 zobrazení množiny {1,2} do množiny {a, b, c}. Surjektivní žádné z nich být nemůže, neboť konečná množina {a, b, c} má více prvků než množina {1, 2}. Při libovolném zobrazení prvku 1 (tři možnosti) obdržíme injektivní zobrazení, právě když prvek 2 zobrazíme na jiný prvek (dvě možnosti). Vidíme tedy, že injektivních zobrazení množiny {1,2} do množiny {a, b, c} je 6. □ 1.106. Určete počet injektivních zobrazení množiny {1,2,3} do množiny {1, 2, 3, 4}. Řešení. Libovolné injektivní zobrazení mezi uvažovanými množinami je dáno výběrem (uspořádané) trojice z množiny {1,2,3,4} (prvky ve vybrané trojici budou po řadě obrazy čísel 1, 2, 3) a obráceně každé injektivní zobrazení nám zadává takovou trojici. Je tedy hledaných injektivních zobrazení stejně jako možností výběru uspořádaných trojic ze čtyř prvků, tedy v(3, 4) = 4 • 3 • 2 = 24. □ 1.107. Určete počet surjektivních zobrazení množiny {1, 2, 3, 4} na množinu {1, 2, 3}. Řešení. Hledaný počet určíme tak, že od počtu všech zobrazení odečteme ta, která nejsou surjektivní, to jest ta, jejichž obor hodnot je buď jednoprvkovou nebo dvouprvkovou množinou. Všech zobrazení 1.37. Skládání relací a funkcí. U zobrazení je jasná koncepce, jak se skládají. Máme-li dvě zobrazení / :A^-8a g : B -> C, pak jejich složení g o f : A -> C je definováno (g o f)(a) = g(f(a)). Ve značení používaném pro relace totéž můžeme zapsat jako /cAxS, f = {(a, f (a)); a e A} g^BxC, g = {(b, g(b))\ b e B} gof^AxC, gof = {(a,g(f(a)))-aeA}. Zcela obdobně definujeme skládání relací, v předchozích vztazích jen doplníme existenční kvantifikátory, tj. musíme uvažovat všechny „vzory" a "jh\k všechny „obrazy". Uvažme relace R c A x B, ^3%^- 5 c S x C. Potom S o Ä c A x C, S o R = {(a, c); 3b e B, (a, b) e R, (b, c) e 5}. Zvláštním případem relace je identické zobrazení iáA = {(a, a) e A x A; a e A] na množině A. Je neutrální vzhledem ke skládání s každou relací s definičním oborem nebo oborem hodnot A. 40 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA Pro každou relaci i? c A x S definujeme inverzní relaci R-1 = {(b, a); (a, b) e R] c B x A. Pozor, u zobrazení, je stejný pojem užíván ve specifičtější situaci. Samozřejmě, že existuje pro každé zobrazení jeho in-vezní relace, ta však nemusí být zobrazením. Zcela logicky proto hovoříme o existenci inverzního zobrazení, pokud každý prvek b e B je obrazem pro právě jeden vzor v A. V takovém případě je samozřejmě inverzní zobrazení právě inverzní relací. Všimněme si, že složením zobrazení a jeho inverzního zobrazení (pokud obě existují) vždy vznikne identické obražení, u obecných relací tomu tak být nemusí. 1.38. Relace na množině. V případě A = B hovoříme o relaci na množině A. Říkáme, že relace R je: • reflexivní, pokud idA c R, tj. (a, a) e R pro všechny a e A, • symetrická, pokud R~ľ = R, tj. pokud (a, b) e R, pak i (b, a) e R, • antisymetrická, pokud R~ľr\R c idA, tj. pokud (a, b) e R a zároveň (b, a) e R, pak a = b, • tranzitivní, pokud R o R c i?, tj. pokud z (a,b) e i? a (&, c) eií vyplývá i (a, c) e i?. Relace se nazývá ekvivalence, pokud je současně reflexivní, symetrická i tranzitivní. Relace se nazývá uspořádání jestliže je reflexivní, tranzitivní a antisymetrická. Relaci uspořádání obvykle značíme symbolem <, tj. skutečnost, že prvek a je v relaci s prvkem b, značíme a < b. je V (3, 4) = 34, zobrazení, jejichž oborem hodnot je jednoprvková množina, jsou tři. Počet zobrazení, jejichž oborem hodnot je dvouprvková množina, je (3) (24 — 2) ((3) způsoby můžeme vybrat obor hodnot a máme-li již dva prvky fixovány, máme 24 — 2 možností, jak na ně zobrazit čtyři prvky). Celkem je tedy počet hledaných surjektivních zobrazení (1.3) 34- í^)(24 - 2)- 3 = 36. □ 1.108. Určete počet surjektivních zobrazení / množiny {1,2,3,4,5} na množinu {1,2,3} takových, že /(l) = f (2). Řešení. Každé takové zobrazení je jednoznačně dáno obrazem prvků {1, 3, 4, 5}, těchto zobrazení je tedy přesně tolik, kolik je zobrazení surjektivních zobrazení množiny {1, 3, 4, 5} na množinu {1, 2, 3}, tedy 36, jak víme z předchozího příkladu. □ 1.109. Hasseův diagram uspořádání. Hasseův diagram daného uspořádání < na n -prvkové množině M je diagram s n vrcholy (každý vrchol odpovídá právě jednomu prvku množiny), přičemž dva vrcholy (prvky) a, b jsou spojeny (víceméně svislou) čarou (tak, že a je „dole" a b „nahoře"), právě když b pokrývá a, tj. a < ba. neexistuje c e M tak, že a < c ac p Iq = p'/q' ^=> p ■ q' = p' ■ q. Opět neumíme očekávané chování v prostřední rovnosti v množině Z formulovat, nicméně rovnost na pravé straně ano. Zjevně jde o dobře definovanou relaci ekvivalence (ověřte podrobnosti!) a racionální čísla jsou pak její třídy ekvivalence. Když budeme formálně psát p/q místo dvojic (p, q), budeme definovat operace násobení a sčítání právě pomocí formulí, které nám jsou jistě dobře známy. celá daná dvouprvková množina, nebo je tento průnik prázdný. Dvouprvkových podmnožin množiny M je (^) a pokud kromě průniků s těmito množinami ještě určíme průnik dané relace s diagonální relací AM = {(a, a), kde a e M}, je tímto daná relace jednoznačně určena. Celkem můžeme provést ("2) + n nezávislých voleb mezi dvěma alternativami: každá množina typu {(a, b), (b, a)\kde a, b e M, a ^ b} je buď podmnožinou dané relace, nebo ani jeden z jejich prvků v dané relaci neleží a každá dvojice (a, a), a e M, potom také buď v relaci leží nebo ne. Celkem tedy máme 2®+" symetrických relací na n -prvkové množině. □ 1.117. Kolik existuje antisymetrických relací na rc-prvkové množině? Řešení. Relace na množině M je antisymetrická, právě když její průnik s každou množinou {(a, b), (b, a)} a ^ b, a, b e M není dvoj-prvkový (jsou tedy tři možnosti jak průnik vypadá, buďje to množina {(a,b)}, nebo {(b,a)}, nebo je průnik prázdný). Průnik s diagonální relací pak může být libovolný. Určením těchto všech průniků je relace jednoznačně určena. Celkem máme 3(2)2" antisymetrických relací na n -prvkové množině. □ 1.118. Určete počet relací na množině {1,2,3,4}, které jsou současně symetrické i tranzitivní. 1.119. Určete počet relací uspořádání na tříprvkové množině. 1.120. Určete počet relací uspořádání na množině {1, 2, 3, 4} takových, že prvky 1 a 2 jsou nesrovnatelné (tedy neplatí 1 -< 2 ani 2 < 1, kde < je označení uvažované relace uspořádání). 1.121. Nechť pro libovolná celá čísla k, l platí (k,l) e R právě tehdy, když je číslo 4k — 41 celočíselným násobkem 7. Je takto zavedená relace R ekvivalence, uspořádání? Řešení. Uvědomme si, že dvě celá čísla jsou spolu v relaci R, právě když dávají stejný zbytek po dělení 7. Jde tedy o příklad tzv. zbytkové třídy celých čísel. Proto víme, že relace R je relací ekvivalence. Její symetrie (např. (3, 10), (10, 3) e Ä, 3 / 10) pak implikuje, že se nejedná o uspořádání. □ 1.122. Nechť je na množině N = {3, 4, 5, ... ,n,n + 1, ...} definována relace R tak, že dvě čísla jsou v relaci, právě když jsou nesoudělná (tedy neobsahuje-li prvočíselný rozklad uvažovaných dvou čísel ani jedno stejné prvočíslo). Zjistěte, zdaje tato relace reflexivní, symetrická, antisymetrická, tranzitivní. Řešení. Pro dvojici stejných čísel platí, že(n,n) £ R. Nejedná se tedy o reflexivní relaci. Být „soudělný" nebo „nesoudělný" pro dvojici čísel 43 F. ZOBRAZENÍ A RELACE 6. RELACE A ZOBRAZENÍ z N je zřejmě vlastnost neuspořádané dvojice - nezávisí na uvedeHéftB pořadí uvažovaných čísel, a proto je relace R symetrická. Ze symetrie relace R plyne, že není antisymetrická (např. (3,5) e R, 3 ^ 5). Neboť je i? symetrická a (n, n) £ R pro libovolné číslo n e N, volba dvou různých čísel, která jsou spolu v této relaci, dává, že R není tranzitivní. lem k je stejný. Výslednou množinu tříd ekvivalence označujeme Zjfc. Nejjednodušší je tato procedura pro k = 2. To dostáváme Z2 = {0, 1}, kde nula reprezentuje sudá čísla, zatímco jednička čísla lichá. Opět lze snadno zjistit, že pomocí reprezentantů můžeme koerektně definovat násobení a sčítání na každém Z^. Věta. Zbytkové třídy Z^ jsou komutativním tělesem skalárů (tj. splňují i vlastnost (P) z odstavce 1.3), právě když je k prvočíslo. Pokud k prvočíslem není, obsahuje Z vždy dělitele nuly, není proto ani obor integrity. Důkaz. Okamžitě je vidět druhé tvrzení — jestliže x ■ y = k pro přirozená čísla x, y, pak samozřejmě je výsledek násobení příslušných tříd [x] ■ [v] nulový. Naopak, jsou-li x a k nesoudělná, existují podle tzv. Bez-outovy rovnosti, kterou dovodíme později (viz ??) přirozená čísla a a b splňující a x + b k = 1, což pro odpovídající třídy ekvivalence dává [a] ■ [x] + [0] = [a] ■ [x] = [1] a proto je [a] inverzním prvkem k [jc]. □ 44 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA G. Doplňující příklady k celé kapitole Vidíme tedy, že již hledání odmocnin nás nutí k rozšíření racionálních čísel na reálná. Jako cvičení si dokažte 1.123. Nechť t a m jsou kladná celá čísla. Ukažte, že číslo ^ft je buďpřirozené, nebo není racionální. 1.124. Setkání se zúčastnilo šest mužů. Pokud si všichni navzájem potřásli rukama, vyčíslete počet potřesení. Řešení. Počet potřesení rukou zřejmě odpovídá počtu způsobů, jak lze vybrat neuspořádanou dvojici ze 6 prvků, tj. výsledek je c (6, 2) = (^) = 15. □ 1.125. Určete, kolika způsoby lze z 15 poslanců vybrat čtyřčlennou komisi, není-li možné, aby jistí 2 poslanci pracovali spolu. Řešení. Výsledek je = 1287. Obdržíme ho tak, že nejprve určíme počet všech možných výběrů čtyřčlenné komise, potom od něj odečteme počet těch výběrů, kdy oba zmínění poslanci budou vybráni (v takovém případě vybíráme pouze 2 další členy komise ze 13 poslanců). □ 1.126. Kolika způsoby můžeme rozdělit 8 žen a 4 muže do 2 šestičlenných skupin (v nichž nerozlišujeme pořadí - jsou neuspořádané) tak, aby v obou skupinách byl alespoň 1 muž? Řešení. Rozdělení 12 osob do 2 šestičlenných skupin bez jakýchkoli podmínek je dáno libovolným 6 j způsoby. Skupiny ale nejsou rozlišitelné (nevíme, která z nich je první), a proto je počet všech možných rozdělení ^ • (g2). V (^j případech pak budou všichni muži v jedné skupině (volíme 2 ženy z 8, které skupinu doplní). Správná odpověď j e tudíž \ ■ O - 0 = 434- □ 1.127. Jaký je počet čtyřciferných čísel složených z číslic 1, 3, 5, 6, 7 a 9, ve kterých se žádná z cifer neopakuje? Řešení. K dispozici máme šest různých číslic. Ptáme se: Kolik různých uspořádaných čtveřic z nich můžeme vybrat? Výsledek je proto v (6, 4) = 6 • 5 • 4 • 3 = 360. □ 1.128. Řecká abeceda se skládá z 24 písmen. Kolik různých slov majících právě pět písmen z ní lze utvořit? (Bez ohledu na to, zda tato slova mají nějaký jazykový význam.) Řešení. Pro každou z pěti pozic ve slově máme 24 možností, neboť písmena se mohou opakovat. Výsledek je tedy V (24, 5) = 245. □ 45 G. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 6. RELACE A ZOBRAZENÍ 1.129. K vytrvalostnímu závodu, v němž běžci vybíhají jeden po druhém s danými časovými odstupy, se přihlásilo k závodníků, mezi nimi také tři kamarádi. Stanovte počet startovních listin, v rámci kterých žádní dva z trojice kamarádů nestartují těsně po sobě. Pro jednoduchost uvažujte k > 5. Řešení. Ostatních k — 3 závodníků můžeme seřadit (k — 3)! způsoby. Pro uvažované tři kamarády pak máme k — 2 míst (začátek, konec a k — 4 mezer), na které je můžeme rozmístit v (k — 2, 3) způsoby. Podle (kombinatorického) pravidla součinu je tak výsledek (k - 3)! • (k - 2) ■ (k - 3) • (k - 4) = (k - 2)! ■ (k - 3) ■ (k - 4). □ 1.130. Turnaje se zúčastní 32 lidí. Podle požadavků organizátorů se musí libovolným způsobem rozdělit do čtyř skupin tak, aby první skupina měla 10 účastníků, druhá 8, třetí také 8 a poslední čtvrtá potom 6. Kolika způsoby se mohou takto rozdělit? Řešení. Můžeme si představit, že z 32 účastníků vytvoříme řadu, kdy prvních 10 utvoří první skupinu, dalších 8 druhou atd. Celkem můžeme účastníky seřadit 32! způsoby. Uvědomme si ovšem, že na rozdělení do skupin nemá vliv, když zaměníme pořadí osob, které patří do stejné skupiny. Proto je počet navzájem různých rozdělení roven P(10,8,8,6) = Mf^. □ 1.131. Je potřeba ubytovat 9 osob v jednom čtyřlůžkovém, jednom třílůžkovém a jednom dvoulůžkovém pokoji. Zjistěte, kolika způsoby to lze provést. Řešení. Jestliže např. hostům ve čtyřlůžkovém pokoji, přiřadíme číslici 1, v třílůžkovém pokoji číslici 2 a v dvoulůžkovém číslici 3, pak vytváříme permutace s opakováním ze tří prvků 1, 2, 3, v nichž jednička se vyskytuje čtyřikrát, dvojka třikrát a trojka dvakrát. Příslušný počet permutací je P(4,3,2) = ^ = 1260. □ 1.132. Určete počet způsobů, jak lze rozdělit mezi tři osoby A, S a C 33 různých mincí tak, aby osoby A a S měly dohromady právě dvakrát více mincí, než má osoba C. Řešení. Ze zadání vyplývá, že osoba C má obdržet 11 mincí. To lze provést 3) způsoby. Každou ze zbývajících 22 mincí může získat osoba A nebo B, což dává 222 možností. Z (kombinatorického) pravidla součinu plyne výsledek (") • 222. □ 1.133. Kolika způsoby můžete mezi 4 chlapce rozdělit 40 stejných kuliček? Řešení. Přidejme ke 40 kuličkám troje zápalky. Poskládáme-li kuličky a zápalky do řady, rozdělí zápalky kuličky na 4 úseky. Náhodně seřaďme chlapce. Dáme-li prvnímu chlapci všechny kuličky z prvního úseku, druhému chlapci všechny kuličky z druhého úseku atd., je již vidět, že všech rozdělení je právě (433) = 12 341. □ 46 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA 1.134. Podle kvality dělíme výrobky do skupin I, II, III, IV. Zjistěte počet všech možných rozdělení 9 výrobku do těchto skupin, která se liší počtem výrobků v jednotlivých skupinách. Řešení. Zapisujeme-li přímo uvažované devítičlenné skupiny z prvků I, II, III, IV, vytváříme kombinace s opakováním deváté třídy ze čtyř prvků. Počet takových kombinací je (12) = 220. □ 1.135. Kolika způsoby mohla skončit tabulka první fotbalové ligy, víme-li o ní pouze, že alespoň jeden z týmů z dvojice Ostrava, Olomouc je v tabulce za týmem Brna (ligu hraje 16 mužstev). Řešení. Nejprve určíme tři místa, na kterých se umístily celky Brna, Olomouce a Ostravy. Ty lze vybrat c(3, 16) = (g6) způsoby. Z šesti možných pořadí zmíněných tří týmů na vybraných třech místech vyhovují podmínce ze zadání čtyři. Pro libovolné pořadí těchto týmů na libovolně vybraných třech místech pak můžeme nezávisle volit pořadí zbylých 13 týmů na ostatních místech tabulky. Podle pravidla součinu je tedy hledaný počet tabulek roven ,\ 1 - 4- 13! = 13948526592000. □ 1.136. Kolik je možných uspořádání (v řadě) na fotce volejbalového týmu (6 hráčů), když i) Gouald a Bamba chtějí stát vedle sebe ii) Gouald a Bamba chtějí stát vedle sebe a uprostřed iii) Gouald a Kamil nechtějí stát vedle sebe Řešení. i) Goualda a Bambu můžeme v tomto případě počítat za jednoho, rozlišíme jen jak stojí vzájemně. Máme 2.5! = 240 pořadí. ii) Tady je to podobnéjen pozice Goualda a Bamby je pevně daná. Dostáváme 2.4! = 48 možností. iii) Nejjednodušší je asi odečíst případy, kdy stojí vedle sebe (viz (i)) od všech pořadí. Dostaneme 6! - 2.5! = 720 - 240 = 480. □ 1.137. Házení mincí. Šestkrát hodíme mincí. i) Kolik je všech různých posloupností panna, orel ii) Kolik je takových, že padnou právě čtyři panny. iii) Kolik je takových, že padnou aspoň dvě panny. 1.138. Kolik existuje přesmyček slova BAZILIKA takových, že se v nich střídají souhlásky a samohlásky? Řešení. Protože souhlásky i samohlásky jsou v daném slově čtyři, tak se v každé takové pře-smyčce střídají pravidelně souhlásky a samohlásky. Slovo tedy může být typu BABABABA nebo ABABABAB. Na daných čtyřech místech můžeme pak samohlásky permutovat mezi sebou (P0(2, 2) = způsoby) a nezávisle na tom i souhlásky (4! způsoby). Hledaný počet je pak dle pravidla součinu 2 • 4! • ^rr = 288. □ 47 G. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 6. RELACE A ZOBRAZENÍ 1.139. Kolika způsoby lze rozdělit 9 děvčat a 6 chlapců do dvou skupin tak, aby každá skupina obsahovala alespoň dva chlapce? Řešení. Rozdělíme zvlášť děvčata a chlapce: 29(25 — 7) = 12800. □ 1.140. Materiál je tvořen pěti vrstvami, každá z nich má vlákna v jednom z daných šesti směrů. Kolik takových materiálů existuje? Kolik je jich takových, že dvě sousední vrstvy nemají vlákna ve stejném směru? Řešení. 65 a 6 -55. □ 1.141. Na kružnici stojí n pevností (n > 3), očíslovaných po řadě čísly 1,..., n. V jeden okamžik f., každá vystřelí na jednu ze dvou sousedních (pevnost 1 sousedí s pevností n). Označme P(n) počet možných výsledků střelby (za výsledek střelby považujeme množinu čísel právě těch x pevností, které byly při střelbě zasaženy, nerozlišujeme přitom mezi jedním a dvěma zásahy). Dokažte, že P(n) & P(n + 1) jsou nesoudělná. Řešení. Označíme-li zasažené pevnosti černým kolečkem a nezasažené bílým, úloha je ekvivalentní úloze určit počet všech možných obarvení n koleček, umístěných na kružnici, černou a bílou barvou tak, aby nebyla žádná dvě bílá kolečka „objedno". Pro lichá n je tento počet roven počtu K(n) obarvení černou a bílou barvou tak, aby žádná dvě bílá kolečka nestála vedle sebe (přečíslujeme pevnosti tak, že začneme u kolečka 1 a číslujeme popořadě vzestupně po lichých číslech a poté vzestupně po sudých). V případě sudého n je tento počet roven K(n/2)2, kvadrátu počtu obarvení n/2 koleček na obvodu kruhu tak, aby žádná dvě bílá nestála vedle sebe (barvíme nezávisle kolečka na lichých a na sudých pozicích). Pro K(n) snadno odvodíme rekurentní formuli K(n) = K(n — 1) + K(n — 2). Navíc snadno spočteme, že K(2) = 3, K(3) = 4, K(4) = 7, tedy K(2) = F(4) - F(0), K(3) = F(5) - F(l), K(4) = F(6) — F(2) a indukcí snadno dokážeme K(n) = F(n +2) — F(n — 2), kde F(n) značí n-tý člen Fibonacciho posloupnosti (F(0) = 0, F(l) = F(2) = 1). Navíc protože (K(2), K(3)) = 1, máme pro n > 3 obdobně jako u Fibonacciho posloupnosti (K(n), K(n - 1)) = (K(n) - K(n - 1), K(n - 1)) = = (K(n-2), K(n-!)) = ■■■ = 1. Ukážeme nyní, že pro každé sudé n = 2a je P(n) = K(a)2 nesoudělné jak s P (n + 1) = K(2a + 1), tak s P(n — 1) = K(2a — 1). K tomu stačí následující: pro a > 2 je totiž (K(a), K(2a + 1)) = (K(a), F(2)K(2a) + F(l)K(2a - 1)) = = (K(a), F(3)K(2a - 1) + F(2)K(2a -2) = ... = (K(a), F(a + l)K(a + 1) + F(a)K(a)) = = (K(a), F(a + 1)) = (F(a + 2) - F(a - 2), F(a + 1)) = = (F(a +2) - F(a + 1) - F(a - 2), F(a + 1)) = = (F(a) - F(a -2), F(a + 1)) = = (F(a - 1), F(a + 1)) = (F(a - 1), F (a)) = 1 (K(a), K(2a - 1)) = (K(a), F(2)K(2a - 2) + F(l)K(2a - 3)) = = (K(a), F(3)K(2a - 3) + F(2)K(2a - 4)) = 48 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA = • • • = (K(a), F(a)K(a) + F (a - l)K(a - 1)) = = (K(a), F (a - 1)) = (F(a + 2) - F (a - 2), F (a - 1)) = = (F (a + 2) - F (a), F (a - 1)) = = (F (a + 2) - F (a + 1), F (a - 1)) = (F (a), F (a - 1)) = 1. Tím je tvrzení dokázáno. □ 1.142. Kolik peněz naspořím na stavebním spoření za pět let, vkládám-li 3000 Kč měsíčně (vždy k 1. v měsíci), vklad je úročen roční úrokovou mírou 3% (úročení probíhá jednou za rok) a od státu obdržím ročně příspěvek 1500 Kč (státní příspěvek se připisuje vždy až 1. května následujícího roku)? Řešení. Označme množství naspořených peněz po n-tém roce jako xn. Potom dostáváme (pro n > 2) následující rekurentní formuli (navíc předpokládáme, že každý měsíc je přesně dvanáctina roku) xn+i = 1, 03(x„) + 36000 + 1500+ 0, 03 • 3000 (\ + li + ... + Jľj + V 12 12/ •-v-' úroky z vkladů za aktuální rok + 0,03• 1 •1500 úrok ze státního příspěvku připsaného v aktuálním roce = l,03(x„) + 38115. Tedy n-2 x„ = 38115 J](l, 03)'' + (1, 03)"-1jci + 1500, i=0 přičemž xx = 36000 + 0, 03 • 3000 (l + n + • • • + n) = 36585, celkem /(1,03)4-1\ , x5 = 38115 í Q3-j +(1,03)4-36585 + 1500 = 202136. □ 1.143. Poznámka. Ve skutečnosti úročení probíhá podle počtu dní, které jsou peníze na účtu. Obstarejte si skutečný výpis ze stavebního spoření, zjistěte si jeho úročení a zkuste si spočítat připsané úroky za rok. Porovnejte je se skutečně připsanou sumou. Počítejte tak dlouho, dokud sumy nebudou souhlasit... 1.144. Na kolik maximálně částí dělí rovinu n kružnic? Řešení. Pro maximální počet pn oblastí, na které dělí rovinu kružnice odvodíme rekurentní vzorec pn+1 = pn + 2n. Všimněme si totiž, že (n + l)-ní kružnice protíná n předchozích maximálně v 2n průsečících (a tato situace skutečně může nastat). 49 G. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 6. RELACE A ZOBRAZENÍ Navíc zřejmě pi = 2. Pro počet pn tedy dostáváme p„ = pn-i + 2(n - 1) = p„-2 + 2(n - 2) + 2(n - 1) = ... n-l = pi + 2i = n2 — n + 2. □ 1.145. Na kolik nejvýše částí dělí třírozměrný prostor n rovin? Řešení. Označme hledaný počet r„. Vidíme, že r0 = 1. Podobně jako příkladu (1.39) uvažujme, že máme v prostoru n rovin, přidejme jednu další a ptejme se, kolik nejvýše částí prostoru přibude. Opět to bude přesně tolik, kolika původními částmi prostoru přidaná rovina prochází. Kolik to může být? Počet částí prostoru, kterými (n + l)-ní rovina prochází je roven počtu částí, na které je přidaná (n + l)-ní rovina rozdělena průsečnicemi s n rovinami, které v prostoru již byly rozmístěny. Těchto částí však může být podle předchozího příkladu nejvýše 1/2 • (n2 + n + 2), dostáváme tak rekurentní formuli n2 +n +2 fn + l = f n H--^-' Danou rovnici opět můžeme vyřešit přímo: (n - l)2 + (n - 1) + 2 n2 - n + 2 rn = r„_i H---- = r„_i H---- = (n - l)2 - (n - 1) + 2 n2 -n+2 = r„_2 +---+ ^- = n2 (n — l)2 n (n — 1) = r„_2 + — +---------- + 1 + 1 = 2 2 2 2 , n2 (n - l)2 (n - 3)2 n (n-l) (n - 2) " r""3 + 2+2 + 2 2 2 2 + + 1 + 1 + 1 = j h Y n n / — 1 i — l i — l n (n + l)(2n + 1) n (n + 1) = 1 H-----h n = 12 4 50 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA n3 + 6n + 5 6 ' kde jsme použili známého vztahu n (n + í)(2n + 1) ,-2 i = l který lze snadno dokázat matematickou indukcí. □ 1.146. Na kolik maximálně částí dělí trojrozměrný prostor n koulí? 1.147. Na kolik částí dělí prostor n navzájem různých rovin, které všechny prochází jedním daným bodem? Řešení. Pro hledaný počet xn odvodíme rekurentní formuli x„ = x„_! + 2(n - 1), dále x\ = 2, tedy x„ = n(n — 1) + 2. □ 1.148. Z balíčku 52 karet náhodně vybereme 16 karet. Vyjádřete pravděpodobnost, že vybereme právě 10 červených a 6 černých karet. Řešení. Nejdříve si uvědomme, že nemusíme zohledňovat pořadí výběru karet. (Ve výsledném zlomku bychom uspořádané výběry získali tak, že bychom číslem 16! vynásobili čitatele i jméno- 16j. Podobně je počet všech možných výběrů 10 karet z 26 roven (2^) a 6 karet z 26 pak (26). Neboť vybíráme nezávisle na sobě 10 karet z 26 červených a 6 karet z 26 černých, užití (kombinatorického) pravidla součinu dává výsledek =o, 118. □ 1.149. V urně je 7 bílých, 6 žlutých a 5 modrých koulí. Vylosujeme (bez vracení) 3 koule. Určete pravděpodobnost, že právě 2 jsou bílé. Řešení. Celkem máme (7+3+5) způsobů, jak lze vybrat 3 koule. Vylosovat právě 2 bílé umožňuje Q výběrů bílých a současně výběrů zbylé (třetí) koule. Podle pravidla součinu je tak počet způsobů, jak lze vylosovat právě 2 bílé, roven Q • Odsud již plyne výsledek ^ = 0, 283. □ 51 G. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 6. RELACE A ZOBRAZENÍ 1.150. Z karetní hry o 108 kartách (2 x 52 + 4 žolíci) bez vracení vybereme 4 karty. Jaká je pravděpodobnost, že aspoň jedna z nich je eso nebo žolík? Řešení. Lehce můžeme určit pravděpodobnost opačného (komplementárního) jevu znamenajícího, že ve vybrané čtveřici není žádná z 12 uvažovaných karet (8 es a 4 žolíků). Tato pravděpodobnost je dána poměrem počtu výběrů 4 karet z 96 a počtu výběrů 4 karet ze 108, tj. je rovna (^f)/^8)- Opačný jev má tudíž pravděpodobnost (96) 1-^= 0, 380. □ 1.151. Při házení kostkou padla jedenáctkrát po sobě čtyřka. Uvedte pravděpodobnost, že padne podvanácté. Řešení. Předchozí výsledky (podle našich předpokladů) nijak neovlivňují, co padne na kostce při dalších hodech. Proto je hledaná pravděpodobnost 1 /6. □ 1.152. Z balíčku 32 karet náhodně vypadne 6 karet. Jaká je pravděpodobnost, že jsou všechny téže barvy? Řešení. K tomu, abychom získali výsledek = 1,234- 10"4, stačí nejprve zvolit jednu ze 4 barev a uvědomit si, že existuje (8) způsobů, jak vybrat 6 karet z 8 této barvy. □ 1.153. Tři hráči dostanou po 10 kartách a 2 zbudou (z balíčku připraveného na mariáš nebo prší -32 karet, z toho 4 esa). Je pravděpodobnější, že někdo dostane listovou sedmu, osmu a devítku, nebo to, že zbyla dvě esa? Řešení. Protože pravděpodobnost, že nějaký z hráčů dostane uvedené tři karty, je rovna hodnotě zatímco pravděpodobnost, že zbudou dvě esa, je rovna číslu (?)' je pravděpodobnější, že nějaký z hráčů dostal zmíněné tři karty. Poznamenejme, že dokázat nerovnost Q (?) lze úpravou obou jejích stran, kdy opakovaným krácením (po vyjádření kombinačních čísel dle definice) lehce dostaneme 6 > 1. □ 1.154. Hodíme n kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že mezi čísly, která padnou, nebudou hodnoty 1, 3 a 6? Řešení. Úlohu můžeme přeformulovat tak, že n-krát po sobě hodíme 1 kostkou. Pravděpodobnost, že při prvním hodu nepadne 1, 3 nebo 6, je 1/2. Pravděpodobnost, že při prvním a druhém hodu nepadne 1, 3 ani 6, je zjevně 1 /4 (výsledek prvního hodu neovlivňuje výsledek druhého). Vzhledem k tomu, že jev určený výsledkem jistého hodu a jakýkoli jev určený výsledkem jiného hodu jsou vždy (stochasticky) nezávislé, hledaná pravděpodobnost je 1 /2". □ 52 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA 1.155. Dva přátelé střílejí nezávisle na sobě do jednoho terče, každý po jednom výstřelu. Pravděpodobnost zásahu terče pro prvního je 0, 4, pro druhého je 0, 3. Nalezněte pravděpodobnost P jevu, že po střelbě bude v terči právě jeden zásah. Řešení. Výsledek stanovíme tak, že sečteme pravděpodobnosti těchto dvou neslučitelných jevů: trefil se první střelec a druhý nikoli; první střelec minul, zatímco druhý terč zasáhl. Při nezávislosti jevů (která se zachovává také tehdy, když uvažujeme komplementy některých zjevů) je pravděpodobnost společného nastoupení dána součinem pravděpodobností jednotlivých jevů. Užitím toho dostáváme p = 0, 4 • (1 - 0, 3) + (1 - 0, 4) • 0, 3 = 0, 46. □ 1.156. Dvanáctkrát po sobě házíme třemi mincemi. Jaká je pravděpodobnost, že alespoň v jednom hodu padnou tři líce? Řešení. Uvážíme-li, že při opakovaní téhož pokusu jsou jednotlivé výsledky nezávislé, a označíme-li pro i e {1, ..., 12} jako A; jev „při /-tém hodu padly tři líce", určujeme P (Ů Ať) = 1 - (1 - P(A0) • (1 - P(A2)) ••• (1 - P(A12)). Pro každé / e {1, ..., 12} je však f(A;) = 1/8, neboť na každé ze tří mincí padne líc s pravděpodobností 1/2 nezávisle na tom, zda na ostatním mincích padl líc, příp. rub. Nyní již můžeme napsat výsledek □ 1.157. Z deseti karet, z nichž právě jedna je eso, namátkou vybereme kartu a vrátíme ji zpět. Kolikrát takový výběr musíme provést, aby pravděpodobnost, že aspoň jednou vybereme eso, byla větší než 0, 9? Řešení. Označme A; jev „při /-tém výběru bylo vytaženo eso". Neboť jednotlivé jevy A; jsou (stochasticky) nezávislé, víme, že P yU Aij = 1 - (1 - PiAO) ■ (1 - P(A2))... (1 - P(An)) pro každé n e N. Připomeňme, že hledáme n e N takové, aby platilo P (Ů Ať) = 1 - (1 - P(A0) • (1 - P(A2)) ••• (1 - P(An)) > 0, 9. Zřejmě je f(A;) = 1/10 pro libovolné / e N. Proto stačí vyřešit nerovnici !-(&)"> 0,9, ze které lze vyjádřit n > !oga n „, kde a > 1. loga 0,9 Vyčíslením potom zjistíme, že daný pokus musíme provést alespoň dvaadvacetkrát. □ 53 G. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 6. RELACE A ZOBRAZENÍ 1.158. Texas holďem. Nyní spočítejme několik jednoduchých úloh týkajících se populární karetní hry Texas hold' em, jejíž pravidla zde nebudeme uvádět (pokud je čtenář nezná, snadno je dohledá na internetu). Jaká je pravděpodobnost, že i) jako startovní kominaci dostanu dvojici stejných symbolů? ii) ve své startovní dvojici karet budu mít eso? iii) na konci budu mít jednu z šesti nejlepších kombinací karet? iv) vyhraji, pokud držím v ruce eso a trojku (libovolné barvy), na flopu je eso a dve dvojky a na turnu je třetí trojka a všechny tyto čtyři karty mají různou barvu? (poslední karta river ještě není otočena) Řešení. i) Počet různých symbolů je 13 a jsou vždy čtyři (pro každou barvu jeden). Proto je počet dvojic se stejnými symboly 13(2) = 78. Počet všech možných dvojic je (1324) = 1326. Pravděpodobnost stejných symbolů je tedy jj = 0, 06. ii) Jedna karta je eso, to jsou čtyři možnosti a druhá je libovolná, to je 51 možností. Dvojice s oběma esama, kterých je (2) = 6 jsme ale takto započítali dvakrát. Dostáváme tedy 4.51 — 6 = 198 dvojic a pravděpodobnost je = 0, 15. iii) Spočítáme pravděpodobnosti jednotlivých nejlepších kombinací: ROYAL FLUSH: Takové kobinace jsou zřejmě jen čtyři - pro každou barvu jedna. Všech kombinací pěti karet je (552) = 2598960. Pravděpodobnost je tak rovna asi 1, 5.10-6. Hodně malá :) STRAIGHT FLUSH: Postupka, která končí nej vyšší kartou v rozmezí 6 až K, tj. 8 možností pro každou barvu. Dostáváme 259382q60 = 1, 2.10-5. POKER: Čtyři stejné symboly -13 možností (pro každý symbol jedna). Pátá karta může být libovolná, to znamená 48 možností. Odtud: = 2, 4.10-4. FULL HOUSE: Tři stejné symboly 13(4) = 52 možností a k tomu dva stejné symboly je 12(4) = 72 možností. Pravděpodobnost je 253Q7849460 = 1, 4.10-3. FLUSH: Všech pět karet stejné barvy znamená 4(1J3) = 5148 možností a pravděpodobnost STRAIGHT: Nejvyšší katrta postupky je v rozmezí 6 až A, tj. 9 možností. Barva každé karty je pak libovolná, tj. dohromady 9.45 = 9216 možností. Zde jsme ale započítali jak straight flush, tak i royal flush. Ty je potřeba odečíst. Pro zjištění pravděpodobnosti nějaké z šesti nejlepších kombinací to ale ani nemusíme dělat, jen první dvě kombinace nezapočteme. Celkově tedy dostáváme pravděpodobnost zhruba 3, 5.10-3 + 2.10-3 + 1, 4.10-3 + 2, 4.10-4 = 7, 14.10"3. iv) Evidentně je situace hodně dobrá a proto bude lepší spočítat nepříznivé situace, tj. kdy bude mít soupeř lepší kombinaci. Já mám v tuto chvíli full house ze dvou es a tří dvojek. Jediná kombinace, která by mmě mohla porazit v tuto chvíli je buď full house ze tří es a dvou dvojek nebo dvojkový poker. To znamená, že soupeř by určitě musel držet eso nebo poslední dvojku. Pokud drží dvojku a libovolnou jinou kartu, pak určitě vyhraje bez ohledu na kartu na riveru. Kolik je možností pro tuto kartu ke dvojce? 3 + 4 + -- -+ 4 + 2 = 45 (jednu trojku a dvě esa už mít v ruce nemůže). Včech zbylých kombinací je (426) = 1035 a pravděpodobnost takové prohry je tak 0,043. Pokud drží v ruce eso, pak se může stát následující. Pokud drží 54 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA (zbylá) dvě esa, tak opět vyhraje, pokud na riveru nepřijde dvojka - pak by byl split poker. Pravděpodobnost (podmíněná) mé prohry je tedy -|f = 10~3. pokud drží soupeř v ruce eso a nějakou jinou kartu, než 2 a A, tak následuje remíza bez ohledu na river. Celková pravděpodobnost výhry je tak skoro 96 %. □ 1.159. Zjistěte pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami padla alespoň na jedné kostce čtyřka, jestliže padl součet 7. Řešení. Příklad řešíme pomocí klasické pravděpodobnosti, kdy podmínku interpretujeme jako zúžení pravděpodobnostního prostoru. Ten má vzhledem k podmínce tedy 6 prvků, z čehož právě 2 jsou příznivé vyšetřovanému jevu. Správná odpověďje 2/6 = 1/3. □ 1.160. Hodíme dvěma kostkami. Určete podmíněnou pravděpodobnost, že na první kostce padla pětka za podmínky, že padl součet 9. Na základě tohoto výsledku rozhodněte o nezávislosti jevů „na první kostce padla pětka" a „padl součet 9". Řešení. Označíme-li jev „na první kostce padla pětka" jako A a jev „padl součet 9" jako H, pak platí P(A\H) = ^ = f = I. Uvědomme si, že součet 9 můžeme získat tak, že na první kostce padne 3 a na druhé 6, na první 4 a na druhé 5, na první 5 a na druhé 4 nebo na první 6 a na druhé 3. Z těchto čtyř (stejně pravděpodobných) výsledků jevu A vyhovuje právě jeden. Protože pravděpodobnost jevu A je očividně 1/6 / 1/4, nejsou uvedené jevy nezávislé. □ 1.161. Mějme balíček 32 karet. Vytáhneme-li dvakrát po jedné kartě, nalezněte pravděpodobnost, že druhá tažená karta bude eso, když první kartu vrátíme, a také tehdy, když ji do balíčku nevrátíme (druhou kartu potom vybíráme z balíčku 31 karet). Řešení. Pokud kartu do balíčku vrátíme, zjevně opakujeme pokus, který má 32 možných (stejně pravděpodobných) výsledků, přičemž právě 4 z nich vyhovují námi uvažovanému jevu. Vidíme, že tomto případě je hledaná pravděpodobnost 1/8. Ve druhém případě, kdy první kartu do balíčku nevrátíme, je ovšem hledaná pravděpodobnost stejná. Postačuje např. uvážit, že při vytažení postupně všech karet je pravděpodobnost vytažení esa jako první karty totožná s pravděpodobností, že druhá vytažená karta bude eso. Pochopitelně bylo možné využít toho, že máme zavedenu podmíněnou pravděpodobnost. Tak bychom mohli obdržet _± Ä. _1_ 28 _4_ _ 1 32 ' 31 32 ' 31 ~~ 8- □ 1.162. Uvažujme rodiny se dvěma dětmi a pro jednoduchost předpokládejme, že všechny možnosti v množině Q = {kk, kh, hk, hh}, kde k značí „kluk" a h znamená „holka" při zohlednění stáří dětí, jsou stejně pravděpodobné. Zaveďme náhodné jevy H\ - rodina má kluka, A\ - rodina má 2 kluky. Vypočtěte P {Ai\Hx). Podobně uvažujme rodiny se třemi dětmi, kdy je 55 G. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 6. RELACE A ZOBRAZENÍ £2 = {kkk, kkh, khk, hkk, khh, hkh, hhk, hhh}. Jestliže H2 - rodina má kluka i holku, A2 - rodina má nejvýše jednu holku, rozhodněte o nezávislosti náhodných jevů A2 a H2. Řešení. Uvážením, které ze čtyř prvků množiny Q (ne)vyhovují jevu A\, resp. H\, lehce získáváme p (a \h \ — p(MnHi) _ p(M) _ i _ i r yAi\ni) — p(Hi) — p(Hi) — j — 3. Dále máme zjistit, zda platí P (A2 DH2) = P (A2) ■ P (H2). Opět si stačí pouze uvědomit, že jevu A2 vyhovují právě prvky kkk, kkh, khk, hkk množiny Q, jevu H2 prvky kkh, khk, hkk, khh, hkh, hhk a jevu A2 n H2 prvky kkh, khk, hkk. Odtud plyne P (A2 n H2) = f = I ■ I = P (A2) ■ P (H2), což znamená, že jevy A2 a H2 jsou nezávislé. □ 1.163. Pětkrát jsme hodili mincí. Pokud padl líc, dali jsme do klobouku bílou kuličku. Když padl rub, dali jsme do téhož klobouku kuličku černou. Vyjádřete pravděpodobnost, že v klobouku je více černých kuliček než bílých, je-li v klobouku alespoň jedna černá kulička. Řešení. Zaveďme jevy A - v klobouku je víc černých kuliček než bílých, H - v klobouku je aspoň jedna černá kulička. Chceme stanovit P(A\H). Uvědomme si, že pravděpodobnost P (ířc) opačného jevu k jevu //je 2~5 a že pravděpodobnost jevu A je stejná jako pravděpodobnost P (Ac) jevu opačného (v klobouku je víc bílých kuliček). Nutně tedy P(H) = 1 - 2"5, P (A) = 1/2. Dále je P (A n H) = P (A), neboť jev H obsahuje jev A (jev A má za důsledek jev H). Celkem jsme obdrželi P(A\ff\ - p(Anm _ \ _ 16 r\ft\ri) - p(H) _ 5_31. □ 1.164. V osudí je 9 červených a 7 bílých koulí. Postupně vytáhneme 3 koule (bez vracení). Určete pravděpodobnost, že první dvě budou červené a třetí bílá. Řešení. Příklad budeme řešit pomocí věty o násobení pravděpodobností. Nejprve požadujeme vytažení červené koule, což se podaří s pravděpodobností 9/16. Pokud byla poprvé vytažena červená koule, při druhém tahu vytáhneme znovu červenou kouli s pravděpodobností 8/15 (v osudí je 15 koulí, z toho 8 červených). Konečně, pokud byla dvakrát vytažena červená koule, pravděpodobnost, že potom bude vytažena bílá, je 7/14 (v osudí je 7 bílých koulí a 7 červených koulí). Celkem dostáváme 16 15 14 u' J- □ 56 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA 1.165. V osudí je 10 koulí, a to 5 černých a 5 bílých. Postupně budeme losovat po jedné kouli, přičemž vytaženou kouli nevrátíme zpět. Stanovte pravděpodobnost, že nejprve vytáhneme bílou, poté černou, pak bílou a v posledním čtvrtém tahu opět bílou kouli. Řešení. Použijeme větu o násobení pravděpodobností. V prvním tahu vytáhneme bílou kouli s pravděpodobností 5/10, poté černou s pravděpodobností 5/9, následně bílou s pravděpodobností 4/8 a na závěr bílou s pravděpodobností 3/7. Dohromady to dává _5_ 5 4 3 _ _5_ 10 ' 9 ' 8 ' 7 ~~ 84- □ 1.166. Z balíčku 32 karet náhodně vybereme šestkrát po sobě po jedné kartě, a to bez vracení. Spočtěte pravděpodobnost, že první král bude vybrán až při šestém výběru. Řešení. Podle věty o násobení pravděpodobností je výsledek 28 27 26 25 24 J_ ^_ r> 0790 32 ' 31 ' 30 ' 29 ' 28 ' 27 ~~ U' u/z->- □ 1.167. Jaká je pravděpodobnost, že součet dvou náhodně zvolených kladných čísel menších než 1 bude menší než 3/7? Řešení. Je vidět, že jde o jednoduchý příklad na geometrickou pravděpodobnost, kdy jako základní prostor Q se nabízí čtverec s vrcholy [0, 0], [1, 0], [1, 1], [0, 1] (volíme dvě čísla mezi 0 a 1). Zajímá nás pravděpodobnost jevu udávajícího, že pro náhodně zvolený bod [x, y] v tomto čtverci bude platit x + y < 3/7; tj. pravděpodobnost toho, že zvolený bod se bude nacházet uvnitř trojúhelníku A s vrcholy [0, 0], [3/7, 0], [0, 3/7]. Nyní již snadno vyčíslíme PíA\ — ^2lá — /2 — JL ^ ' vol Q 1 98 • □ 1.168. Nechť je náhodně rozlomena tyč na tři části. Stanovte pravděpodobnost, že délka druhé (prostřední) části bude větší než dvě třetiny délky tyče před jejím rozlomením. Řešení. Nejprve si označme délku uvažované tyče jako d. Rozlomení tyče ve dvou místech je dáno volbou bodů, kde ji zlomíme. Označme jako x bod, ve kterém je první (např. blíže nějakému předmětu) zlom, a jako x + y bod, ve kterém je druhý zlom. To nám říká, že za základní prostor lze považovat množinu {[jc, y]; x e (0, d), y e (0, d — x)}, tj. trojúhelník s vrcholy v bodech [0, 0], [d, 0], [0, d]. Délka prostřední části je dána hodnotou y. Požadavek ze zadaní lze nyní zapsat v jednoduchém tvaru y > 2d/3, což odpovídá trojúhelníku s vrcholy [0, 2d/3], [d/3, 2d/3], [0, d]. Obsahy uvažovaných pravoúhlých rovnoramenných trojúhelníků jsou d2/2 a (d/3)2/2, a proto je hledaná pravděpodobnost 3^-2 _ 1 ffl ~ 9' 2 □ 57 G. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 6. RELACE A ZOBRAZENÍ 1.169. Tyč o délce 2 m je náhodně rozřezána na tři části. Nalezněte pravděpodobnost jevu, že třetí část měří méně než 1, 5 m. Řešení. Tento příklad je na užití geometrické pravděpodobnosti, kdy hledáme pravděpodobnost toho, že součet délek prvních dvou částí je větší než čtvrtina délky tyče. Určeme pravděpodobnost opačného jevu, tj. pravděpodobnost, když budou náhodně (a nezávisle na sobě) zvolena dvě místa, ve kterých bude tyč rozřezána, že budou obě v první čtvrtině tyče. Pravděpodobnost tohoto jevu je 1/42, neboť pravděpodobnost výběru místa v první čtvrtině tyče je zřejmě 1/4 a tento výběr se (nezávisle) jednou opakuje. Pravděpodobnost hledaného (opačného) jevu je tak 15/16. □ 1.170. Mirek a Marek chodí na obědy do univerzitní menzy. Menza má otevřeno od llh do 14h. Každý z nich stráví na obědě půl hodiny a dobu příchodu (mezi llh a 14h) si vybírá náhodně. Jaká je pravděpodobnost, že se na obědě v daný den potkají, sedávají-li oba u stejného stolu? Řešení. Prostor všech možných jevů je čtverec 3x3. Označíme-li x dobu příchodu Mirka a y dobu příchodu Marka, tak tito se potkají, právě když \x — y\ < 1/2. Tato nerovnost vymezuje ve čtverci možných událostí oblast, jejíž obsah je roven 11 /36 obsahu čtverce. Tomuto zlomku je tedy rovna i hledaná pravděpodobnost. □ 1.171. Z Brna vyrazí náhodně někdy mezi polednem a čtvrtou hodinou odpolední Honza autem do Prahy a opačným směrem někdy ve stejném intervalu autem Martin. Oba si dávají půl hodiny pauzu v motorestu v polovině cesty (přístupném pro oba směry). Jaká je pravděpodobnost, že se tam potkají, jezdí-li Honza rychlostí 150 km/h a Martin 100 km/h? (Vzdálenost Brno-Praha je 200 km) Řešení. Označíme-li dobu odjezdu Martina x a dobu odjezdu Honzy y a pro menší výskyt zlomků v následujících výpočtech zvolíme za jednotku deset minut, tak stavovým prostorem bude čtverec 24 x 24. Doba příjezdu Martina do motorestu je x + 6, do příjezdu Honzy x + 4. Stejně jako v předchozím příkladu to, že se v motorestu potkají, je ekvivalentní tomu, že doby jejich příjezdu se neliší o více než o půl hodiny, tedy \(x + 6) — (y + 4)| < 3. Tato podmínka nám pak ve stavovém čtverci vymezuje oblast o obsahu 242 — j(232 + 192) (viz obr.) a hledaná pravděpodobnost je 4 i ! Z y ml ;< 1 ■: > % x r* y *fS 242 - i 232 + 192) 131 --- =-= 0,227. 242 576 □ 1.172. Mirek vyjede náhodně mezi desátou hodinou dopolední a osmou hodinou večerní z Brna do Prahy. Marek vyjede náhodně ve stejném intervalu z Prahy do Brna. Oběma trvá cesta 2 hodiny. Jaká je pravděpodobnost, že se po cestě potkají (jezdí po stejné trase)? 58 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA Řešení. Řešíme naprosto analogicky jako v předchozím příkladě. Prostor všech možných jevů je čtverec lOx 10, Mirek, vyjíždějící v čase x, potká Marka, vyjíždějícího v čase y právě když \x—y\ < 2. Hledaná pravděpodobnost je p = = ^ = 0,36. 1.173. Dvoumetrová tyč je náhodně rozdělena na tři díly. Určete pravděpodobnost, že ze vzniklých dílů půjde sestavit trojúhelník. Řešení. Rozdělení tyče je dáno stejně jako v předchozím příkladě body řezu x a y a jevovým prostorem je opět čtverec 2x2. Aby z částí bylo možno sestavit trojúhelník, musejí jejich délky splňovat tzv. trojúhelníkové nerovnosti, tedy součet délek libovolných dvou částí musí být větší než délka třetí části. Vzhledem k tomu, že součet délek je roven 2 m, je tato podmínka ekvivalentní podmínce, že každá s částí musí být menší než 1 m. To pomocí řezů x a y vyjádříme tak, že nesmí platit současně x < lay < 1 nebo současně x > lay > 1 (odpovídá podmínkám, že krajní díly tyče jsou menší než 1), navíc |x — y| < 1 (prostřední díl musí být menší nezjedná). Tyto podmínky splňuje vyšrafovaná oblast na obrázku a jak snadno nahlédneme, její obsah je 1 /4. □ □ 1.174. Je rovnice (b) 3, -2; 16, -7; (c) Ax\ + 2x2 = —2.X i — X2 = 7, -3 59 G. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 6. RELACE A ZOBRAZENÍ jednoznačně řešitelná (má právě 1 řešení)? Řešení. Soustava lineárních rovnic je jednoznačně řešitelná právě tehdy, když je nenulový determinant matice určené koeficienty na levé straně soustavy. Zvláště řečeno, absolutní členy (čísla na pravé straně) neovlivňují jednoznačnost řešení soustavy. Musíme tedy ve variantách (a) a (b) dostat stejnou odpověď. Protože 4 -73 1 -277 4- (-2V7) - (-73-l) ^0, = 4-(-l)-(2.(-2))=0, -2 -1 mají soustavy ve variantách (a) a (b) právě 1 řešení a poslední soustava nikoliv. Vynásobíme-li druhou rovnici v (c) číslem —2, vidíme, že tato soustava nemá řešení. □ 1.175. Vypočítejte obsah S čtyřúhelníku zadaného vrcholy [0,-2], [-1,1], [1,5], [1,-1]. Řešení. Při obvyklém označení vrcholů A = [0,-2], S = [1,-1], C = [1,5], D = [-1,1] a neméně obvyklém rozdělení čtyřúhelníku na trojúhelníky ABC nACD s obsahy S\ a S2> dostáváme S = St + S2 1-0 1-0 -1+2 5 + 2 + 1-0 5 + 2 -1-0 1+2 (7 - 1) + i (3 + 7) 1 1 5 1 1 5 2 10 13 + 2 -3 -5 □ 1.176. Určete obsah čtyřúhelníka ABCD s vrcholy A = [1, 0], B = [11, 13], C = [2, 5] a D = [-2, -5]. Řešení. Čtyřúhelník rozdělíme na dva trojúhelníky ABC a ACD. Jejich obsahy pak spočítáme pomocí patřičných determinantů, viz 1.34, 47 T" □ 1.177. Spočítejte obsah rovnoběžníku s vrcholy v bodech [5, 5], [6, 8] a [6, 9]. Řešení. Přestože takový rovnoběžník není zadán jednoznačně (není uveden čtvrtý vrchol), trojúhelník s vrcholy [5, 5], [6, 8] a [6, 9] musí být nutně polovinou každého rovnoběžníku s těmito třemi vrcholy (jedna ze stran trojúhelníku se stane úhlopříčkou rovnoběžníku). Proto je hledaný obsah vždy roven determinantu ň _ _ 1 1 1.4-1-3 = 1. 6-5 6-5 1 1 8-5 9-5 3 4 □ 60 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA 1.178. Výčtem prvků zadejte S o i?, je-li R = {(2, 4), (4, 4), (4, 5)} C N x N, S = {(3, 1), (3, 2), (3, 5), (4, 1), (4, 4)} c N x N. Řešení. Uvážením všech výběrů dvou uspořádaných dvojic (2, 4), (4,1); (2, 4), (4, 4); (4, 4), (4,1); (4, 4), (4, 4) splňujících, že druhá složka první uspořádané dvojice, která je prvkem i?, je rovna první složce druhé uspořádané dvojice, která je prvkem 5, dostáváme SoR = {(2, 1), (2,4), (4, 1), (4,4)}. □ 1.179. Nechť je dána binární relace R = {(0,4), (-3,0), (5,tt), (5, 2), (0,2)} mezi množinami A = Z a B = M.. Vyjádřete i?-1 a R o R~x. Řešení. Ihned vidíme, že R-1 = {(4, 0), (0, -3), (tt, 5), (2, 5), (2, 0)}. Odtud pak dále RoR-1 = {(4, 4), (0, 0), (tt, 7T), (2, 2), (4, 2), (tt, 2), (2, tt), (2, 4)}. □ 1.180. Rozhodněte, zdaje relace R určená podmínkou (a) (a,b) e i? \a\ < |i|; (b) (a,i) e i? M = |2i| na množině celých čísel Z tranzitivní. Řešení. V prvním případě relace R tranzitivní je, protože platí \a\< \b\, \b\< \c\ => \a\ < Ve druhém případě relace R tranzitivní není. Stačí např. uvážit, že (4,2), (2, 1) e/?, (4, 1) g/?. □ 1.181. Najděte všechny relace na M = {1, 2}, které nejsou antisymetrické. Které z nich jsou tranzitivní? Řešení. Hledané relace, jež nejsou antisymetrické, jsou čtyři. Jsou to právě ty podmnožiny {1,2} x {1, 2}, které obsahují prvky (1, 2), (2, 1) (jinak nemůže být podmínka antisymetrie porušena). Z těchto čtyř je tranzitivní pouze jediná relace {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)} = M x M, protože nezahrnutí dvojic (1, 1) a (2, 2) do tranzitivní relace by znamenalo, že nemůže obsahovat zároveň (1, 2) a (2, 1). □ 61 G. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 6. RELACE A ZOBRAZENÍ 1.182. Existuje relace ekvivalence, která je současně relací uspořádání, na množině všech přímek v rovině? Řešení. Relace ekvivalence (příp. relace uspořádání) musí být reflexivní, a proto každá přímka musí být v relaci sama se sebou. Dále požadujeme, aby hledaná relace byla symetrická (ekvivalence) a zároveň antisymetrická (uspořádání). To dává, že přímka může být v relaci pouze sama se sebou. Zavedeme-li ovšem relaci tak, že dvě přímky jsou v relaci právě tehdy, když jsou totožné, dostaneme „velmi přirozenou" relaci ekvivalence i relaci uspořádání. Stačí si uvědomit, že je triviálně tranzitivní. Hledanou relací je právě identické zobrazení množiny všech přímek v rovině. □ 1.183. Určete, zda je relace R = {(k,l) e Z x Z; \ k\ > \ l\] na množině Z ekvivalence, uspořádání. Řešení. Relace R není ekvivalencí: není symetrická (kupř. (6, 2) e R, (2, 6) <£ i?); není uspořádáním: není antisymetrická (mj. (2, —2) e R, (—2, 2) e R). □ 1.184. Ukažte, že průnik libovolných relací ekvivalence na libovolně dané množině X je rovněž relace ekvivalence a že sjednocení dvou relací uspořádání na X nemusí být relace uspořádání. Řešení. Postupně uvidíme, že průnik relací ekvivalence je reflexivní, symetrický a tranzitivní. Všechny relace ekvivalence na X musí obsahovat dvojici (x, x) pro každé x e X, a proto ji musí obsahovat také daný průnik. Pokud v průniku ekvivalencí je prvek (x, y), musí v něm být rovněž prvek (y, x) (stačí využít toho, že každá ekvivalence je symetrická). To, že do průniku ekvivalencí náleží prvky (x, y) a (y, z), znamená, že se jedná o prvky každé z ekvivalencí. Z tranzitivnosti všech jednotlivých ekvivalencí již vyplývá, že do průniku náleží také prvek (x, z)-Zvolíme-li X = {1, 2} a relace uspořádání /?i = {(1, 1), (2, 2), (1, 2)}, R2 = {(1, 1), (2, 2), (2, 1)} na X, dostáváme relaci /ř1U/ř2 = {(l,l),(2,2),(l,2),(2, 1)}, která zřejmě není antisymetrická, a tedy ani uspořádáním. □ 1.185. Na množině M = {1, 2, ..., 19, 20} je zavedena relace ekvivalence ~ tak, že a ~ b pro libovolná a, b e M právě tehdy, když první cifry čísel a, b jsou stejné. Sestrojte rozklad daný touto ekvivalencí. Řešení. Dvě čísla z množiny M jsou ve stejné třídě ekvivalence, právě když jsou spolu v relaci (první cifra je stejná). Rozklad jí určený se tedy skládá z množin {1, 10, 11,..., 18, 19}, {2, 20}, {3}, {4}, {5}, {6}, {7}, {8}, {9}. □ 1.186. Je dán rozklad se dvěma třídami {b, c}, {a, d, e} množiny X = {a, b, c, d, e}. Napište relaci ekvivalence R na množině X příslušnou tomuto rozkladu. Řešení. Ekvivalence R je určena tím, že v relaci jsou spolu ty prvky, které jsou ve stejné třídě rozkladu, a to v obou pořadích (R musí být symetrická) a každý sám se sebou (R musí být reflexivní). Proto R obsahuje právě 62 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA (a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e), (b, c), (c, b), (a, d), (a, e), (d, a), (d, e), (e, a), (e, d). □ 1.187. Na následujících třech obrázkách jsou ikony spojeny čarami tak, jak by je možná přiřadili lidé v různých částech světa. Určete, zda jde o zobrazení, zdaje injektivní, surjektivní nebo bijektivní. Řešení. V prvním případě jde o zobrazení, které je surjektivní, ale není injektivní, protože had i pavouk jsou označeni jako jedovatí. Druhý případ není zobrazení ale jen relace, protože pes je určen jako domácí zvíře i na jídlo. V třetím případě máme opět zobrazení. Tentokrát není ani injektivní, ani surjektivní. □ 1.188. Mějme množinu {a,b, c,d} a na ní relaci {(a, a), (b,b), (a,b), (b,c), (c,b)}. Jaké členy je potřeba minimálně doplnit do této relace, aby to byla ekvivalence? Řešení. Postupně projdeme všechny tři vlastnosti, které definují ekvivalenci. Za prvé je to reflexivita. Musíme tedy doplnit dvojice {(c, c), (d,d)}. Za druhé symetrie -musíme doplnit (b,á) a za třetí musíme udělat tzv. tranzitivní obal. Protože je a v relaci s b a b v relaci s c, musí být i a v relaci s c. Nakonec tedy potřebujeme přidat (a, c) a (c, a). □ 1.189. Uvažme množinu čísel, které mají pět cifer ve dvojkovém zápisu a relaci takovou, že dvě čísla jsou v relaci, právě když jejich ciferný součet má stejnou paritu. Napište příslušné třídy ekvivalence. Řešení. Dostáváme dvě třídy ekvivalence (o osmi členech): [10000] = {10000, 10011, 10101, 10110, 11001, 11010, 11100, 11111} 63 G. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 6. RELACE A ZOBRAZENÍ odpovídá množině {16, 19, 21, 22, 25, 26, 28, 31} a [10001] = {10001, 10010, 10100, 11000, 10111, 11011, 11101, 11110} odpovídá množině {17, 18, 20, 24, 23, 27, 29, 30}. □ 1.190. Uvažme množinu čísel, které mají tři cifry ve trojkové soustavě a relaci takovou, že dvě čísla jsou v relaci, právě když v této soustavě i) začínají stejným dvojčíslím. ii) končí stejným dvojčíslím. Napište příslušné třídy ekvivalence. Řešení. i) Dostáváme šest ťříprvkových tříd [100] = {100, 101, 102} odpovídá {9, 10, 11} [110] = {110, 111, 112} odpovídá {12, 13, 14} [120] = {120, 121, 122} odpovídá {15, 16, 17} [200] = {200, 201, 202} odpovídá {18, 19, 20} [210] = {210, 211, 212} odpovídá {21, 22, 23} [220] = {220, 221, 222} odpovídá {24, 25, 26} ii) V tomto případě máme devět dvouprvkových tříd [100] = {100, 200} odpovídá {9, 18} [101] = {101, 201} odpovídá {10, 19} [102] = {102, 202} odpovídá {11, 20} [110] = {110, 210} odpovídá {12, 21} [111] = {111, 211} odpovídá {13, 22} [112] = {112, 212} odpovídá {14, 23} [120] = {120, 220} odpovídá {15, 24} [121] = {121, 221} odpovídá {16, 25} 64 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA [122] = {122, 222} odpovídá {17, 26} □ 1.191. Pro jaký maximální definiční obor D a obor hodnot H je zobrazení bijektivní a jaká je v tom případě inverzní funkce? i) i ^ i4 ii) X H» x3 iii) x H» —r-r Řešení. i) D = [0, oo) a H = [0, oo) nebo také D = (—oo, 0] a 7/ = [0, oo). Inverzní funkce je ii) D = H = M a inverze je x ^/x. iii) D = M \ {-1} a Íř = M \ {0}. Inverzní funkce je □ 1.192. Uvažme relaci na M x M. Bod je v relaci, pokud pro něj platí (x - I)2 + (y + l)2 = 1 Můžeme body popsat pomocí funkce y = f (x)? Nakreslete obrázek bodů v relaci. Řešení. Nemůžeme, protože např. y = — 1 má dva vzory: x = 0 a x = 2. Body leží na kružnici se středem v bodě (1, —1) s poloměrem 1. □ 65 G. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 6. RELACE A ZOBRAZENÍ Řešení cvičení 7.74. i) 1 - 3 - 2i + Ai = -2 + 2i, 1 • (-3) - 8;2 + 6i + Ai = 5 + 10«, 1 + 2i, JA2 + (-3)2 = 5, = fi% = 1 . (-3) + 8i2 + 6i - 4/25 = -ii + Ä/. z2 z2i 25 25 ii) 2 + /, 2; 2, 1, ? = -2/. 7.38. y„ = 2(|)" - 2. 7.49. Jedná se o známý problém permutací s pevnými body. i) Pokud šest lidí dostne ten svůj, tak zákonitě i ten šestý, pravděpodobnost je tedy nulová. ii) Nechť M je množina všech uspořádání a jev A/ je uspořádání, kdy i-tý hráč dostane svůj krígl. Chceme spočítat \M — U/A/|. Dostáváme 7! J2Í=o TT = 1854. A pravděpodobnost je = 103 = Q 37 280 iii) Vybereme, kteří tři dostanou ten svůj - Q) = 35 možností. Zbylí čtyři musí dostat jiné než svoje. To je opět vzorec z minulého bodu, konkrétně jde o 4! 2ľyt=o k\ ~ ^ možností. Máme tedy dohromady 9 • 35 — 315 možností a pravděpodobnost je — j^. 1.99. i) (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (7, 7), (3, 6) ověřte, že jde o relaci uspořádání ii) opět (i, i) pro i — 1, ..., 7 a k tomu (3, 6), (6, 3) ověřte, že jde o relaci ekvivalence iii) (i, i) pro i — 1, ..., 7 a k tomu (3, 6), (6, 3), (4, 6), (6, 4) ověřte, že nejde o relaci ekvivalence, protože není splněna tranzitivita. 7.777. Tři různé Hasseovy diagramy vyhovujících uspořádání. Celkem 5! + 5! + 5!/4 — 270. 1.118. Relace uvedených vlastností je relací ekvivalence na nějaké podmnožině množiny {1, 2, 3, 4}. Celkem 1+4-1+ (:))-2+-5 +15 = 52. 7.779. 19. 7.720. 87. 1.123. Ukažte, že pokud uvažovaná odmocnina není přirozená, pak není ani racionální. Pokud ^fi není přirozená, tak existuje prvočíslo r a přirozené s taková, že ŕ dělí t, r+1 nedělí tam nedělí s (zápis ordr t — s) Předpokládejte, že ^/F = ^, p, q e Z, neboli t ■ pm = qm. Uvažte ordr L a ordr R a jejich dělitelnost číslem m. (L značí levou stranu rovnice, ...) 7.737. i) 26 = 64 ii) (j) = 15 iii) Žádná panna je jedna možnost (q) = 1, jedna panna (j) = 6 možností. Posloupností s nejvýše jednou pannou je teda jen 7 a proto posloupností, kdejsou aspoň dvě panny je 64 — 7 = 57. 1.146. Maximální počet yn částí, na které rozdělí n kružnic rovinu, je yn = y«-i + 2(n — 1), yi = 2, tedy yn = n2 - n + 2. Pro maximální počet pn částí, na které potom rozdělí n koulí prostor, pak dostáváme rekurentní vztah pn+i = p„+ y„, pi = 2, tedy celkem pn = |(n2 - 3n + 8). 66 KAPITOLA 2 Elementární lineární algebra neumíte ještě počítat se skaláry? — zkusme to rovnou s maticemi... Ha V minulé kapitole jsme se snad rozehřáli s relativně jednoduchými úlohami, k jejichž řešení nebylo potřeba složitých nástrojů. Vystačili jsme si přitom se sčítáním a násobením skalárů. V této a dalších kapitolách se postupně budeme věnovat jednotlivým tématům souvisleji. Hned tři kapitoly budou věnovány nástrojům pro práci s daty, kdy operace spočívají v obzvlášť jednoduchých úkonech se skaláry, jen je těch skalárů povíce naráz. Hovoříme o „lineárních objektech" a „lineární algebře". Jakkoliv to teď může vypadat jako hodně speciální nástroj, uvidíme později, že složitější objekty a závislosti stejně studujeme hlavně pomocí jejich „lineárních přiblížení". V této kapitole budeme pracovat přímo s konečnými po-j?^ sloupnostmi skalárů. Takové se objevují v praktických úlohách všude, kde máme objekty popisovány pomocí několika parametrů. Nedělejme si přitom problémy s představou, jak vypadá prostor s více než třemi „souřadnicemi". Smiřme se se skutečností, že malovat si budeme umět jednu, dvě nebo tři dimenze, ale představovat ty obrázky mohou jakýkoliv jiný počet. A když budeme sledovat jakýkoliv parametr u třeba 500 studentů (např. jejich studijní výsledky), budou naše data mít hned zrovna několikrát 500 položek a budeme s nimi chtít pracovat. Naším cílem bude vytvořit nástroje, které budou dobře fungovat nezávisle na skutečném počtu těchto položek. Také se neděsme slovních spojení jako pole či okruh skalárů K. Prostě si můžeme představit jakýkoliv konkrétní číselný obor. Okruhy skalárů pak za-hrnují i celá čísla Z a všechny zbytkové třídy, zatímco mezi poli jsou pouze I, Q, C a zbytkové třídy Z«-s prvočíselným k. Zvláštní je mezi nimi Z2, kde ze vztahu x = —x nemůžeme usoudit, že x = 0, zatímco u všech ostatních číselných oborů tomu tak je. 1. Vektory a matice Většinou se o vektorech hovoří pouze ve spojení s poli skalárů, protože obecná teorie je při existenci neivertibilních nenulových skalárů nesrovnatelně složitější. Jen v prvních dvou částech této kapitoly budeme pracovat s vektory a maticemi v kontextu konečných posloupností skalárů a tam bude A. Soustavy lineárních rovnic Na vektorové prostory půjdeme od lesa. Začneme s něčím známým, totiž soustavami lineárních rovnic. I za nimi jsou totiž skryty vektorové prostory. 2.1. A teď vám to pěkně natřeme. Firma zabývající se velkoplošnými nátěry si objednala 810 litrů barvy, která má obsahovat stejné množství červené, zelené a modré barvy (tj. 810 litrů černé barvy). Obchod může splnit tuto zakázku smícháním běžně prodávaných barev (má skladem jejich dostatečné zásoby), a to • načervenalé barvy - obsahuje 50 % červené, 25 % zelené a 25 % modré barvy; • nazelenalé barvy - obsahuje 12,5 % červené, 75 % zelené a 12,5 % modré barvy; • namodralé barvy - obsahuje 20 % červené, 20 % zelené a 60 % modré barvy. Kolik litrů od každé z uskladněných barev se musí smíchat, aby byly splněny požadavky zákazníka? Řešení. Označme jako • x - množství (v litrech) načervenalé barvy, které se použije; • y - množství (v litrech) nazelenalé barvy, které se použije; • z, - množství (v litrech) namodralé barvy, které se použije. 67 A. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC 1. VEKTORY A MATICE Smícháním barev chceme získat barvu, která bude obsahovat 270 litrů červené barvy. Uvědomme si, že načervenalá barva obsahuje 50 % červené, nazelenalá obsahuje 12,5 % červené a namodralá 20 % červené barvy. Musí tudíž platit ,—— 0,5x + 0, 125y + 0,2z = 270. Analogicky požadujeme (pro zelenou a modrou barvu) 0, 25x + 0,75y + 0,2z = 270, 0,25x + 0, 125y + 0,6z = 270. Nyní můžeme postupovat dvěma způsoby. Buď budeme postupně vyjadřovat proměnné pomocí ostatních (z první rovnice je x = 540 — 0, 25y — 0, 4z, dosadíme za x do druhé a třetí rovnice a dostaneme dvě lineární rovnice o dvou neznámých 2, 75y + 0, 4z, = 540 a 0, 25y + 2z, = 540. Ze druhé rovnice vyjádříme z = 270 — 0, 125y a dosazením do první dostáváme 2, 7y = 432, neboli y = 160, odkud z = 270-0, 125-160 = 250 a x = 540-0, 25-160+0, 4-250 = 400. Druhým způsobem je zapsat si soustavu do matice, jejíž první řádek bude tvořen koeficienty u neznámých v první rovnici, druhý koeficienty ve druhé rovnici a třetí ve třetí. Je tedy matice soustavy 0,5 0,125 0,2 0, 25 0, 75 0, 2 0,25 0,125 0,6 rozšířenou matici soustavy potom získáme z matice soustavy připsá ním sloupce pravých stran jednotlivých rovnic v systému: 0, 5 0, 125 0, 2 0, 25 0, 75 0, 2 0,25 0, 125 0, 6 Jejím postupným upravováním pomocí tzv. elementárních řádkových úprav (odpovídají ekvivalentním úpravám rovnic, více viz 2.7) pak dostáváme: 0,5 0,125 0,2 0,25 0,75 0,2 0, 25 0, 125 0, 6 1 0,25 0,4 0 2,75 0,4 0 0,25 2 1 0,25 0,4 0 1 8 0 11 1,6 A opět zpětně vypočítáme -21600 y = 2 160 - 8 • 250 = 160, x = 540 - 0, 4 • 250 - 0, 25 • 160 = 400. Je tedy potřeba smísit po řadě 400 1, 160 1, 250 1 uvedených barev. □ zajímavé si i třeba případu celých čísel povšimnout. Bude přitom snad pěkně vidět, jak silné výsledky lze důsledným formálním uvažováním odvodit. 2.1. Vektory nad skaláry. Prozatím budeme vektorem rozumět uspořádanou n-tici skalárů z K, kde pevně zvolené n e N budeme nazývat dimenzí. Skaláry umíme sčítat a násobit. Vektory budeme také sčítat, násobit však vektor budeme umět jen skalárem. To odpovídá představě, kterou jsme již viděli v rovině M2, kde sčítání odpovídalo skládání vektorů coby šipek vycházejících z počátku a násobení skalárem pak jejich patřičnému natahování. Násobení vektoru u = («!,...,«„) skalárem c tedy definujeme tak, že každý prvek rc-tice u vynásobíme stejným skalárem c a také sčítání vektorů definujeme po složkách. To znamená | základní operace s vektory |_ u + v = (ai, ..., a„) + (bi, ..., b„) = (ai + bu ..., a„ + b„) c ■ u = c • (a\, ..., a„) = (c ■ d\, ... ,c ■ a„). Pro sčítání vektorů a násobení vektorů skaláry budeme používat stále stejné symboly jako u skalárů samotných, tj. symboly plus a buď tečku nebo prosté zřetězení znaků. Konvence zápisu vektorů. Nebudeme, na rozdíl od mnoha jiných učebnic, v textu používat pro vektory žádné speciální značení a ponecháváme na čtenáři, aby udržoval svoji pozornost přemýšlením o kontextu. Pro skaláry ale spíše budeme používat písmena ze začátku abecedy a pro vektory od konce (prostředek nám zůstane na indexy proměných či komponent a také pro sčítací indexy v součtech). Často budeme požadovat, aby skaláry byly z nějakého pole, viz 1.1, ale v této kapitole budeme vesměs pracovat s operacemi, které tento přepoklad nepotřebují. V literatuře se pak většinou místo o vektorových prostorech hovoří o modulech nad okruhy. U obecné teorie se ale v příští kapitole již zcela omezíme na pole skalárů. Pro sčítání vektorů v W zjevně platí (KG1)-(KG4) s nulovým prvkem 0=(0.....0)eK". Schválně zde používáme i pro nulový prvek stejný symbol jako pro nulový prvek skalárů. 68 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA Vlastnosti vektorů Pro všechny vektory v, w e K" a skaláry a, b e K platí (VI) (V2) (V3) (V4) a ■ (v + w) = a ■ v + a ■ w (a + b) ■ v = a ■ v + b ■ v a ■ (b ■ v) = (a ■ b) ■ v 1 • v = v Vlastnosti (V1)-(V4) našich vektorů, coby n-tic skalárů v K", se snadno ověří pro kterýkoliv okruh skalárů K, protože při ověřování vždy používáme pro jednotlivé souřadnice vektorů pouze vlastnosti skalárů uvedené v 1.1 a 1.3. Budeme takto pracovat např. sl",Q",C", ale také Z", (Zk)",n = 1,2, 3, .... 2.2. Matice nad skaláry. O něco složitějším objektem, který budeme při práci s vektory používat, jsou matice. _—^_Matice typu m/ti [ Maticí typu m /n nad skaláry schéma Asm řádky a n sloupci / all a12 &2\ ^22 rozumíme obdélníkové ^2« \Clm\ am2 nn J kde a,i pro všechny 1 < i < m, 1 < j < n. Pro matici A s prvky útý používáme také zápis A = (flý). Vektory (au, au, ..., ain) e W nazýváme (/-té) řádky matice A, i = 1, ..., m, vektory (a\j, a-ij, ■ ■ ■, amj) e W" nazýváme (7—té) sloupce matice A, j = Matici můžeme také chápat jako zobrazení A : {1, ...,m] x {1, ...,«} K, kde A(i, j) = ciij. Matice typu 1/n nebo n/1 jsou vlastně právě vektory v K". I obecné matice lze chápat jako vektory v Km'n, prostě zapomeneme na řádkování. Zejména tedy je definováno sčítání matic a násobení matic skaláry: A + B = (a i j + bij), a ■ A = (a ■ a^) kde A = {q.ij), B = (bij), aéI. Matice — A = (—^7) se nazývá matice opačná k matici A a matice /O ... 0^ 0 = : v0 ... Oj se nazývá nulová matice. Zapomenutím řádkování tak získáme následující tvrzení, že matice jsou jen specificky zapsané vektory: Poznámka. Druhý způsob je vhodný pro teoretické úvahy (například o počtu řešení daného systému) a také je vhodnější pro počítačové zpracování problému. V následujícím dvou kapitolách se naučíme „přemýšlet v maticích" a uvidíme, že nám to pomůže při řešení celé řady úloh. 2.2. Vypočtěte Xi 1x\ -3*1 + 2x2 + 3x3 = 2, — 3x2 — x3 = —3, + x2 + 2x3 = —3. Řešení. Zadanou soustavu lineárních rovnic zapíšeme ve tvaru rozšířené matice 1 2 ■1 -3 1 2 kterou pomocí elementárních řádkových transformací postupně převedeme na schodovitý tvar 1 2 ■1 1 -7 7 3 -7 11 -7 2 \ / 1 2 3 2 1 -011 1 -4 / \ 0 0 1 -1 Nejdříve jsme přitom dvojnásobek prvního řádku odečetli od druhého a jeho trojnásobek přičetli ke třetímu. Poté jsme sečetli druhý a třetí řádek (součet napsali do třetího řádku) a druhý řádek vynásobili číslem —1/7. Přejdeme nyní zpět k soustavě rovnic x\ + 2x2 + 3x3 = 2, x2 + x3 = 1, x3 = — 1. Ihned vidíme, že x3 = — 1. Dosadíme-li x3 = — 1 do rovnice x2 +x3 = 1, dostaneme x2 = 2. Podobně dosazení získaných hodnot x3 = — 1, x2 = 2 do první rovnice dává x\ = 1. □ Systémy lineárních rovnic tedy lze zapisovat v maticovém tvaru. Ale je to nějaká výhoda, když je stejně umíme řešit, aniž bychom hovořili o maticích? Ano je, o řešení můžeme hovořit koncepčněji a jazyk matic pak daleko lépe navádí k počítačovému zpracování problému. Zkusme si tedy osvojit lépe různé operace, které můžeme s maticemi provádět. Jak jsme viděli v předchozích příkladech, tak ekvivalentní úpravy lineárních rovnic odpovídají v řeči matic elementárním řádkovým (sloupcovým) úpravám. Dále jsme viděli, že převedeme-li těmito úpravami matici soustavy do schodovitého tvaru (tomuto procesu říkáme Gaussova eliminace, viz 2.7), tak je již vyřešení soustavy velmi jednoduché. Ukažme si to ještě na dalších příkladech, na kterých 69 A. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC 1. VEKTORY A MATICE uvidíme, že soustava lineárních rovnic může mít nekonečně mnoho řešení. 2.3. Vyřešte soustavu lineárních rovnic 2 . 3 2x\ 3*i 3xi -7xi + + *2 16x2 5x2 7x2 + 3x3 + 7x3 + 4x3 + -10X3 o, 0, 0, 0. Řešení. Vzhledem k nulovosti pravých stran všech rovnic (jedná se tedy o homogenní systém) budeme upravovat pouze matici systému. Řešení nalezneme převodem na schodovitý tvar pomocí elementárních řádkových transformací, které odpovídají záměně pořadí rovnic, vynásobení rovnice nenulovým číslem a přičítání násobků rovnic. Navíc můžeme kdykoli od maticového zápisu přejít zpět k zápisu rovnic s neznámými x;. Nejprve docílíme toho, aby se proměnná x\ vyskytovala pouze v první rovnici. Zřejmě postačuje (—3/2)násobek prvního řádku přičíst ke druhému a ke třetímu řádku a jeho (7/2)násobek k poslednímu řádku, což v maticovém zápisu dává / 2 -1 3 \ / 2 -1 0 35/2 V -7 16 -5 7 7 4 -10/ 0 -7/2 7/2 3 5/2 -1/2 1/2 ) Odtud je vidět, že druhá, třetí a čtvrtá rovnice jsou násobky rovnice 7x2 + x3 = 0. Při maticovém zápisu můžeme např. (l/5)násobek druhého řádku přičíst ke třetímu a jeho (—1 /5)násobek k poslednímu řádku, čímž obdržíme schodovitý tvar / 2 -1 3 \ / 2 -1 3\ 0 35/2 0 -7/2 V 0 7/2 5/2 -1/2 1/2 / / 2 0 0 V 0 ■ 1 7 0 o 3 \ 1 0 o/ 0 35/2 5/2 0 0 0 V o o o / který jsme v posledním kroku zjednodušili tak, že jsme druhý řádek (druhou rovnici) vynásobili číslem 2/5. Přestože byly zadány čtyři rovnice pro tři neznámé, má celá soustava nekonečně mnoho řešení, neboť pro libovolné x3 e M mají zbylé rovnice 2xi *2 7x2 + + 3x3 x3 0, 0 řešení. Nahradíme tak proměnnou X3 parametrem ř e 1 2 . 4 *2 -- X3 7 1 -- ř 7 a x\ 1 2 V 3x3) a vyjádříme 11 --1. 1 Pokud ještě nahradíme t tvaru -Is, obdržíme výsledek v jednoduchém (xi, x2, x3) = (lis, s, —ls) , s e Tvrzení. Předpisy pro A + B, a ■ A, —A, 0 zadávají na množině všech matic typu m/n operace sčítání a násobení skaláry splňující axiomy (VI )—(V4). 2.3. Matice a rovnice. Velmi častý nástroj pro popis nějakých matematických modelů jsou systémy lineárních rovnic. Právě matice lze vhodně využít pro jejich zápis. Zavedeme si k tomu účelu pojem skalární součin dvou vektorů, který vektorům (a\, ..., an) a (xi, ..., x„) přiřadí jejich součin (ai a„) ■ (xi, ■^n) — a\X\ -(-••• -\- anxn tj. postupně násobíme po dvou souřadnice vektorů a výsledky sčítáme. Každý systém m lineárních rovnic v n proměnných Cl\\X\ + a\2X2 + «21*1 + <222X2 + -|- a\nxn "i- ^m2-^2 "i- ' ' ' "i- ^mn-^n — bm lze tedy vidět jako požadavek na hodnoty m skalárních součinů neznámého vektoru (xi, ..., x„) s vektory souřadnic (an, ..., ain). Vektor proměnných můžeme také vidět jako sloupec v matici typu n /1, a podobně hodnoty b\, ... ,bn můžeme vnímat jako vektor m a to opět jako jediný sloupec v matici typu n/1. Náš systém rovnic lze pak formálně psát ve tvaru A ■ x = u takto: din ( *\ \bn □ kde levou stranu interpretujeme jako m skalárních součinů jednotlivých řádků matice vytvářejících sloupcový vektor, jehož hodnotu rovnice určují. To znamená, že skutečně rovnost /-tých souřadnic zadává podmínku původní rovnice ^'1*1 + • • • + Ginxn = b i a zápis A-x = u tak dává skutečně původní systém lineárních rovnic. 2.4. Součin matic. V rovině, tj. pro vektory dimenze 2, _^7*j jsme už zavedli počet s maticemi a viděli jsme, %'---'■} že s ním lze pracovat velice efektivně (viz 1.26). /Kh^fy' Nyní budeme postupovat obecněji a zavedeme í^jr^ť^-J— všechny nástroje již známé z roviny pro všechny dimenze n. Násobení matic je možné definovat pouze, když to rozměry sloupců a řádků v maticích dovolí, tj. když je pro ně definován skalární součin jako výše: 70 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA Součin matic Pro libovolnou matici A = (útý) typu m/n a libovolnou matici B = (bjk) typu n/q nad okruhem skalárů K definujeme jejich součin C = A ■ B = (cik) jako matici typu m/q s prvky 2.4. Nalezněte všechna řešení soustavy lineárních rovnic 3xi xx —2x\ 2x\ + 3x3 — X2 + x3 — X2 + 4x3 + x2 — x3 5x4 X4 2x4 X4 -2, 0, -3. y flý^yj-, pro libovolné l < i < m,l < k < q Řešení. Soustavě rovnic odpovídá rozšířená matice 7=1 Je tedy prvek C[ik] součinu právě skalárním součinem z-tého řádku matice nalevo a /c-tého sloupce matice napravo. Například máme 2 1 1 -1 0 1 3 2 3 3 1 0 2.5. Čtvercové matice. Je-li v matici stejný počet řádků a sloupců, hovoříme o čtvercové matici. Počet řádků a sloupců pak nazýváme také dimenzí matice. Matici (\ ... 0^ E = (Su) = 1, se vkk jednotková matice. Takto definovaným číslům <5;J se říkává Kroneckerovo delta. Na množině čtvercových matic nad K dimenze n je součin matic definován pro každé dvě matice, je tam tedy definována operace násobení, jejíž vlastnosti jsou velice podobné jako u skalárů: Tvrzení. Na množině všech čtvercových matic dimenze n nad libovolným okruhem skalárů K je definována operace násobení s následujícími vlast-feéi^ nosti okruhů (viz 1-3): (1) Platí asociativita násobení (Ol). (2) Jednotková matice E = (Si j) je jednotkovým prvkem pro násobení dle (03). (3) Platí distributivita sčítání a násobení (04). Obecně však neplatí axiomy (02) ani (Ol). Čtvercové matice pro n > 1 proto netvoří obor integrity, zejména tedy nejsou ani (nekomutativním) tělesem. Důkaz. Asociativita násobení - (Ol): Protože skaláry jsou asociativní, distributivní i komutativní, můžeme pro tři matice A = (aij) typu m/n, B = (bjk) typu n/p a C = (cu) typu p Iq spočíst A ■ B = (X>/./>Ä). B ■ C = (J>*.c„), (A ■ B) ■ C = ( J2( aiihik)Xkl ) = ( J2 aiihik -Ckl )' A-(B-C) = ľž2aij.(J2bjk-Cki)j = (J2aiihik -Ckl j■ j k S ^j,k S V 1 3 1 4 -1 "3 / Záměnou pořadí řádků (rovnic) potom obdržíme matici / 1 1 V -2 \ -3 0 1 2 1 -1 -2 -1 4 3 0 3 kterou převedeme na schodovitý tvar. Nejprve přičteme (—2)násobek, 2násobek a (—3)násobek prvního řádku po řadě ke druhému, třetímu a čtvrtému řádku, čímž získáme 0 pod prvním nenulovým číslem v prvním řádku. Analogicky poté získáme 0 pod prvním nenulovým číslem ve druhém řádku tak, že tento řádek a jeho (—l)násobek přičteme po řadě ke třetímu a čtvrtému řádku. Takto dostaneme / 1 -1 1 -1 -2 ^ / 1 -1 1 -1 -2 \ 2 1 -1 -1 -3 0 3 -3 1 1 -2 -1 4 -2 0 0 -3 6 -4 -4 v 3 0 3 -5 -8 ) \o 3 0 -2 "2 / / 1 -1 1 -1 -2 \ (1 -1 1 -1 -2 \ 0 3 -3 1 1 0 3 -3 1 1 0 0 3 -3 -3 0 0 3 -3 -3 \0 0 3 -3 "3 y/ \° 0 0 0 0 / Odtud vyplývá (čtvrtý řádek je pouhou kopií třetího - lze jej tedy „vynulovat"), že soustava bude mít nekonečně mnoho řešení, neboť dostáváme tři rovnice pro čtyři neznámé, které očividně budou mít právě jedno řešení pro každou volbu proměnné x4 e M. Neznámou x4 proto nahradíme parametrem t e M a od maticového zápisu přejdeme zpět k rovnicím X\ — x2 ~\~ x3 — t = —2, 3x2 — 3x3 + t = 1, 3x3 - 3ř = -3. Z poslední rovnice máme x3 = t — 1. Dosazení za x3 do druhé rovnice potom dává 1 3x2 - 3ř + 3 + t = 1, tj. x2 (2t - 2) Konečně podle první rovnice je 1 (2t - 2) + t - 1 - t = -2, tj. 1 (2t - 5). 71 A. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC 1. VEKTORY A MATICE (xi, x2, x3, x4) Množinu řešení můžeme tudíž zapsat (pro t = 3s) ve tvaru 5 2 \ 2s--, 2s--, 3s — 1, 3s ) , se. 3 3 ) Nyní se vraťme k rozšířené matici naší soustavy a upravujme ji dále užitím řádkových transformací tak, aby (při schodovitém tvaru) první nenulové číslo každého řádku (tzv. pivot) bylo právě číslo 1 a aby všechna ostatní čísla v jeho sloupci byla 0. Platí /1 -1 1 -1 -2 \ ( 1 -1 1 -1 -2 \ 0 3 -3 1 1 0 1 -1 1/3 1/3 0 0 3 -3 -3 0 0 1 -1 -1 \o 0 0 0 o ) V 0 0 0 0 o ) /1 -1 0 0 -1 /1 0 0 -2/3 -5/3 \ 0 1 0 - -2/3 -2/3 0 1 0 -2/3 -2/3 0 0 1 -1 -1 0 0 1 -1 -1 \0 0 0 0 0 ) \0 0 0 0 0 přičemž nejdříve jsme vynásobili druhý a třetí řádek číslem 1/3, pak přičetli třetí řádek ke druhému a jeho (—1)násobek k prvnímu a na závěr přičetli druhý řádek k prvnímu. Z poslední matice snadno dostáváme výsledek /2/3\ + t X3 \X4J /-5/3\ 2/3 -1 0 V o / 2/3 1 V 1 / t e Volné proměnné jsou totiž ty, jejichž sloupce neobsahují žádného pi-vota (v našem případě neobsahuje pivota čtvrtý sloupec, je tedy volná čtvrtá proměnná, tj. používáme ji jako parametr). □ 2.5. Určete řešení systému rovnic 3x\ + 3x3 X\ — x2 -\- x3 —2x\ — x2 + 4x3 2x\ -\- x2 — x3 Řešení. Uvědomme si, že soustava rovnic v tomto příkladu se od soustavy z předešlého příkladu liší pouze v hodnotě 8 (místo — 8) na pravé straně první rovnice. Provedeme-li totožné řádkové úpravy jako v minulém příkladu, obdržíme 5^4 = 8, X4 = -2, 2^4 = 0, X4 = -3. / 3 0 3 -5 8 \ / 1 -1 1 -1 -2 \ 1 -1 1 -1 -2 2 1 -1 -1 -3 — 2 -1 4 -2 0 -2 -1 4 -2 0 V 2 1 -1 -1 "3 ) V 3 0 3 -5 8 / ( 1 _1 1 1 "2 \ / 1 -1 1 -1 -2 \ 0 3 -3 1 1 0 3 -3 1 1 0 0 3 3 -3 0 0 3 -3 -3 ^ 0 0 3 3 13 / \0 0 0 0 16; kde poslední úpravou bylo odečtení třetího řádku od čtvrtého. Ze čtvrté rovnice 0=16 vyplývá, že soustava nemá řešení. Vyzdvihněme, že Všimněme si, že jsme při výpočtu vycházeli z toho, že je jedno v jakém pořadí uvedené součty a součiny provádíme, tj. využívali jsme podstatně našich vlastností skalárů. Velmi snadno vidíme, že násobení jednotkovou maticí má skutečně vlastnost jednotkového prvku: /l 0 ••• 0\ 0 1 ••• 0 (c A ■ E \o o V a stejně pro násobení E zleva. Zbývá ukázat distributivitu násobení a sčítání. Opět díky distributivitě skalárů snadno spočteme pro matice A = (a^-) typu m/n, B = (bjk) typu n/p, C = (cjk) typu n/p, D = (dkl) typu p/q A-(B + C) + cjk) [J2aij(bj (Y,a>ib*) + (E W) I = A ■ B + A ■ C v j j (B + C)D = \ Y^(bjk +cjk)dk ^ k (J^bjkdu) + (J2cJkdu) I = B ■ D + C ■ D. Jak jsme již viděli v 1.26, dvě matice dimenze 2 nemusí komutovat: 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 Tím jsme získali zároveň protipříklad na platnost (02) i (Ol). Pro matice typu 1/1 ovšem oba axiomy samozřejmě platí, protože je mají samy skaláry. Pro větší matice získáme protipříklady snadno tak, že právě uvedené matice umístíme do levého horního rohu příslušných čtvercových schémat a doplníme nulami. (Ověřte si sami!) □ V důkazu jsme vlastně pracovali s maticemi obecnějšího typu, dokázali jsme tedy příslušné vlastnosti obecněji: ^ Asociativita a distributivita násobení matic Důsledek. Násobení matic je asociativní a distributivní, tj. A ■ (B ■ C) = (A ■ B) ■ C A ■ (B + C) = A ■ B + A ■ C, kdykoliv jsou všechny uvedené operace definovány. Jednotková matice je neutrálním prvkem pro násobení zleva i zprava. 12 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA 2.6 e2 . 0 2.7 2.6. Inverzní matice. Se skaláry umíme počítat tak, že z rovnosti a-x = b umíme vyjádřit x = a~l - b, kdykoliv inverze k a existuje. Podobně bychom to chtěli umět i s maticemi, máme ale problém, jak poznat, zda taková existuje, a jak ji spočítat. Říkáme, že B je matice inverzní k matici A, když A ■ B = B ■ A = E. Píšeme pak B = A~l a z definice je samozřejmé, že obě matice musí mít být čtvercové se stejnou dimenzi n. Matici, k níž existuje matice inverzní, říkáme invertibilní matice nebo také regulární čtvercová matice. V následujících odstavcích mimo jiné odvodíme, že B je inverzní k A, jakmile platí jedna z požadovaných identit (tj. druhá je pak důsledkem). Pokud A-1 aB"1 existují, pak existuje i inverze k součinu A • B (2.1) (A • B)- B~ Je totiž, díky právě dokázané asociativitě násobení, (B~l ■ A"1) • (A • B) = B~l ■ (A-1 ■ A) ■ B = E (A • B) ■ (B~l ■ A"1) = A ■ (B ■ B~l) ■ A"1 = E. Protože s maticemi umíme počítat podobně jako se ska-láry, jen mají složitější chování, může nám existence inverzní matice skutečně hodně pomoci s řešením systémů lineárních rovnic: Jestliže vyjádříme soustavu n rovnic pro n neznámých součinem matic A • x an \Clfn\ íb, \bn a jestliže existuje matice inverzní k matici A, pak lze násobit zleva A-1 a dostaneme A-1 • u = A-1 ■ A ■ x = E ■ x = x, tj. A-1 • u je hledané řešení. Naopak rozepsáním podmínky A • A ~1 = E pro neznámé skaláry v hledané matici A-1 dostaneme n systémů lineárních rovnic se stejnou maticí na levé straně a různými vektory napravo. 2.7. Ekvivalentní úpravy matic. Zkusme se praktičtěji zorientovat v předchozí úvaze o systémech rovnic a jejich maticích. Samozřejmě nás nalezení inverzní matice stojí jisté úsilí - větší než přímé vyřešení rovnice. Podstatné však je, že pokud máme mnohokrát za sebou řešit systémy se stejnou maticí A ale různými pravými stranami u, pak se nám nalezení A-1 opravdu hodně vyplatí. při úpravě na schodovitý tvar obdržíme rovnici 0 = a pro nějaké a ^ 0 (tj. nulový řádek na levé straně a nenulové číslo za svislou čarou) právě tehdy, když soustava nemá řešení. □ B. Manipulace s maticemi V této podkapitole budeme pracovat pouze s maticemi, abychom si osvojili jejich vlastnosti. 2.6. Násobení matic. Provedlte násobení matic a zkontrolujte si výsledek. Všimněte si, že proto, abychom mohli dvě matice násobit je nutná a postačující podmínka, aby měla první matice stejně sloupců, jako druhá řádků. Počet řádků výsledné matice je pak dán počtem řádků první matice, počet sloupců je roven počtu sloupců druhé matice. 12 7 12), Poznámka.Body i) a ii) v předchozím příkladu ukazují, že násobení čtvercových matic není komutativní, v bodě iii) vidíme, že pokud můžeme násobit obdélníkové matice, tak pouze v jednom ze dvou možných pořadí. V bodech iv) a v) si pak všimněme, že (A-B)T = AT BT. 2.7. Nechť j e ľ 0 -5\ / 2 7 15 , B=\ U 7 13/ \ Lze matici A převést na matici B pomocí elementárních řádkových transformací (pak říkáme, že jsou řádkově ekvivalentní)? Řešení. Obě matice jsou zřejmě řádkově ekvivalentní s trojrozměrnou jednotkovou maticí. Snadno se vidí, že řádková ekvivalence na množině všech matic daných rozměrů je relací ekvivalence. Matice A a B jsou tudíž řádkově ekvivalentní. □ 73 B. MANIPULACE S MATICEMI 1. VEKTORY A MATICE 2.8. Řešte maticovou rovnici ŕ2 5 1 3 X ■ 1 2.9. Nalezněte libovolnou matici B, pro kterou je matice C = B ■ A ve schodovitém tvaru, jestliže -1 -3 -3 -5 /3 5 1 V7 2\ 3 0 1 Řešení. Budeme-li matici A postupně násobit zleva elementárními maticemi (uvažte, jakým řádkovým úpravám toto násobení matic odpovídá) /O 0 1 0\ / ' 1 0 0 0\ Ei = 0 1 1 0 0 0 0 0 , E2 = -5 0 1 0 0 1 0 0 V> 0 0 v \ v 0 0 0 v (i 0 0 /1 0 0 0\ E3 = 0 -3 1 0 0 1 0 0 , E4 = 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 !/ V-7 0 0 v <\ 0 0 0N (l 0 0 0\ E5 = 0 0 1/3 0 0 1 0 0 , E6 = 0 0 1 -2 0 1 0 0 vo 0 0 \ 0 0 v <\ 0 0 0\ /l 0 0 0\ E1 = 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1/4 0 0 1 0 0 vo -4 0 v 0 0 v obdržíme S = E%E-iE(>EsE4Ej,E2Ei /O 0 0 1/12 1 0\ 1 -2/3 -4/3 -5/12 0 1/3 0 -1/3 V c /i o o 1 o o -5 0 \ 9/4 1/4 0 0 0 0 / □ Z hlediska řešení systémů rovnic A ■ x = m je jistě přirozené považovat za ekvivalentní matice A a vektory u, které zadávají systémy rovnic se stejným řešením. Zkusme se teď zamyslet nad možnostmi, jak zjednodušovat matici A tak, abychom se k řešení blížili. Začneme jednoduchými manipulacemi s řádky rovnic, které řešení ovlivňovat nebudou, a stejným způsobem pak můžeme upravovat i vektor napravo. Když se nám u čtvercové matice podaří vlevo dostat systém s jednotkovou maticí, bude napravo řešení původního systému. Pokud při našem postupu nějaké řádky úplně vypadnou (při úpravách se vynulují), bude to také dávat další přímé informace o řešení. Naše jednoduché úpravy jsou: j Elementární řádkové transformace j, • záměna dvou řádků, • vynásobení vybraného řádku nenulovým skalárem, • přičtení řádku k jinému řádku. Těmto operacím říkáme elementární řádkové transformace. Je zjevné, že odpovídající operace na úrovni rovnic v systému skutečně nemohou změnit množinu všech jeho řešení, pokud je náš okruh oborem integrity. Analogicky, elementární sloupcové transformace matic jsou • záměna dvou sloupců, • vynásobení vybraného sloupce nenulovým skalárem, • přičtení sloupce k jinému sloupci, ty však nezachovávají řešení příslušných rovnic, protože mezi sebou míchají samotné proměnné. Systematicky můžeme použít elementární řádkové úpravy k postupné eliminaci proměnných. Postup je algoritmický a většinou se mu říká Gaussova eliminace proměnných. Gaussova eliminace proměnných |m Tvrzení. Nenulovou matici nad libovolným okruhem skalárů K lze konečně mnoha elementárními řádkovými transformacemi převést na tzv. (řádkově) schodovitý tvar: • Je-li aik = 0 pro všechna k = 1, ..., j, potom akj = 0 pro všechna k > /, • je-li ci(i-\)j první nenulový prvek na (i — \)-ním řádku, pak cii j = 0. důkaz. takto ŕ 0 0 o o aij 0 &2k aim\ ^2m 0 aip 1 Matice v řádkově schodovitém tvaru vypadá 74 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA a matice může, ale nemusí, končit několika nulovými řádky. K převodu libovolné matice můžeme použít jednoduchý algoritmus, kterým se postupně, řádek za řádkem, blížíme k výslednému schodovitému tvaru: Algoritmus Gaussovy eliminace (1) Případnou záměnou řádků docílíme, že v prvním řádku bude v prvním nenulovém sloupci nenulový prvek, nechť je to 7-tý sloupec. (2) Pro / = 2, ..., vynásobením prvního řádku prvkem atj, /-tého řádku prvkem a\} a odečtením vynulujeme prvek ciij na /-tém řádku. (3) Opakovanou aplikací bodů (1) a (2), vždy pro dosud neupravený zbytek řádků a sloupců v získané matici dospějeme po konečném počtu kroků k požadovanému tvaru. Tím je tvrzení dokázáno Uvedený postup je skutečně právě obvyklá eliminace proměnných v systémech lineárních rovnic. Zcela analogickým postupem definujeme sloupcově schodovitý tvar matic a záměnou řádkových na sloupcové transformace obdržíme algoritmus převádějící matici na takový tvar. Poznámka. Gaussovu eliminaci jsme zformulovali pro J' ,. obecné skaláry z nějakého okruhu. Zdá se být přirozené, že ve schodovitém tvaru ještě vynáso - 1 bením vhodnými skaláry dosáhneme jednotkových 5 koeficientů na výsledné nenulové „diagonále" nad nulami v matici a dopočítáme řešení. To ale pro obecné skaláry nepůjde, představte si třeba celá čísla Z. Pro řešení systémů rovnic nemá ale vůbec uvedený postup rozumný smysl, když jsou mezi skaláry dělitelé nuly. Promyslete si pečlivě rozdíl mezi K = Z, K = M a případně Z2 nebo Z4. 2.8. Matice elementárních transformací. V dalším budeme už pracovat jen s polem skalárů K, každý nenulový skalár tedy má inverzní prvek. Všimněme si, že elementární řádkové (resp. sloupcové) transformace odpovídají vynásobením zleva (resp. zprava) následujícími maticemi: (1) Přehození /-tého a 7-tého řádku (resp. sloupce) /l 0 o '•. \ 1/ 2.10. Komplexní čísla jako matice. Uvažme množinu matic a, b e M}. Všimněte si, že C je uzavřená na C h^a + bi splňuje f (M + N) f(M) + f(N) i iM™ a násobení matic a dále ukažte, že přiřazení / \-b aý f(M ■ N) = f(M) ■ f(N) (na levých stranác rovností se jedná o sčítání a násobení matic, na pravých o sčítání a násobení komplexních čísel). Na množinu C spolu s násobením a sčítáním matic lze tedy nahlížet jako na těleso C komplexních čísel. Zobrazení / se pak nazývá izomorfismem (těles). Je tedy například 3 5\ /8 -9\ _ / 69 13' -5 3J ' \9 8 ) ~ V-13 69y což odpovídá tomu, že (3 + 5/) • (8 — 9/) = 69 — 13/. □ 2.11. Vyřešte maticové rovnice 1 3 3 8 ■X, 1 2 3 4 X 2 • 1 3 3 8 Řešení. Zjevně neznámé Xi a X2 musejí být matice 2x2 (aby uvažované součiny matic existovaly a výsledkem byla matice 2x2). Položme X, X, ,c\ dij ' \c2 d2/ a roznásobme matice v první zadané rovnici. Má platit ci\ + 3c 1 3ai + 8ci bi + 3di 3bi + Mi 1 2 3 4 tj. má být Cli 3ai + + 3ci ici 3b i + 3di + Sdi 1, 2, 3, 4, Xi Sečtením (—3)násobku první rovnice se třetí dostáváme ci = 0 a následně ai = l. Podobně sečtením (—3)násobku druhé rovnice se čtvrtou dostáváme d\ = 2 a poté b\ = —4. Je tedy '\ v0 2 Hodnoty a2,b2, c2, d2 najdeme odlišným způsobem. Např. použitím vzorce 'a b\~ľ 1 (d -b Kc d J ad - bc \-c a který platí pro libovolná čísla a, b, c, d e M (přičemž inverzní matice existuje právě tehdy, když ad — bc 7^ 0), spočtěme 1 SV"' /-3 8/ V 3 -1. Vynásobení zadané rovnice touto maticí zprava dává '\ 2\ {-% 3 X, 3 4 ■1 75 B. MANIPULACE S MATICEMI 1. VEKTORY A MATICE a tudíž -2 1 ■12 5 □ 2.12. Které z matic 1/2 0 1/3N 0 1 1/2 1/2 0 1/6> /1/3 1/2 0 0 \ 1/2 1/3 0 0 0 1/6 1/6 1/3 \l/6 0 5/6 2/3/ jsou regulární? / 0 1 0 C = 1/4 0 1/2 \3/4 0 1/2 /o 1 0 0\ 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 v Řešení. Neboť 1/7 6/49 \ 6/7 43/49/ '3/8 C" 1/4 3/8 ,3/8 3/8 1/4 l/4> 1/4 1/2, matice A a C jsou regulární; a neboť '1/2 0 1/3 0 1 1/2 vl/2 0 1/6 bude prostřední sloupec matice B" vždy (pro n e rem (0, 1, 0)T, tj. matice B nemůže být regulární. Součin N) vekto- /1/3 1/2 0 0 \ 1/2 1/3 0 0 0 1/6 1/6 1/3 \l/6 0 5/6 2/3/ 0 0 a/6 + b/3 \5a/6 + 2b/3/ a, b e M o a \bj implikuje, že matice D2 bude mít v pravém horním rohu nulovou dvourozměrnou (čtvercovou) submatici. Opakováním této implikace dostáváme, že stejnou vlastnost mají matice D3 = D ■ D2, D4 = D ■ D3, D" = D ■ Dn~\ tudíž matice D není regulární. Matice E je permutační (v každém řádku a sloupci má právě jeden nenulový prvek, a to 1). Není obtížné si uvědomit, že mocniny permutační matice jsou opět permutační matice. Matice E proto ífkej není regulární. To lze rovněž ověřit výpočtem mocnin E2, É3, E4. Matice E4 je totiž jednotková. □ 2.13. Výpočet inverzní matice. Spočtěte inverzní matice k maticím B Poté určete matici (Ar • B) (2) Vynásobení z-tého řádku (resp. sloupce) skalárem a: 1 1 V i/ (3) Sečtení /-tého řádku (resp. sloupce) s 7-tým /l 0 \ o '•. 1/ Toto prostinké pozorování je ve skutečnosti velice pod-\^ statné, protože součin invertibilních matic je in-vertibilní (viz rovnost (2.1)) a všechny elementární transformace jsou nad polem skalárů in-vertibilní (sama definice elementárních transformací zajišťuje, že inverzní transformace je stejného typu a je také snadné určit její matici). Pro libovolnou matici A tedy dostaneme násobením vhodnou invertibilní maticí P = Pk ■ ■ ■ P\ zleva (postupné násobení k maticemi zleva) její ekvivalentní řádkový schodovitý tvar A' = P ■ A. Jestliže obecně aplikujeme tentýž eliminační postup na sloupce, dostaneme z každé matice B její sloucový schodovitý tvar B! vynásobením zprava vhodnou invertibilní maticí Q = ô 1 • • • Qi- Pokud ale začneme s maticí B = A' v řádkově schodovitém tvaru, eliminuje takový postup pouze všechny dosud nenulové prvky mimo diagonálu matice a závěrem lze ještě i tyto elementárními operacemi změnit na jedničky. Celkem jsme tedy ověřili důležitý výsledek, ke kterému se budeme mnohokrát vracet: 2.9. Věta. Pro každou matici A typu m/n nad polem skalárů K existují čtvercové invertibilní matice P dimenze m a Q dimenze n takové, že matice P -Ajev řádkově schodovitém tvaru a PA-Q r ■ . 0 .. 0\ 0. . 1 0 ... . .. 0 0. . 0 1 0 . .. 0 0. . 0 0 0 . .. 0 v / 76 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA 2.10 2 .10a 2.10. Algoritmus pro výpočet inverzní matice. V předchozích úvahách jsme se dostali prakticky k úplnému algoritmu pro výpočet inverzní matice. Během jednoduchého níže uvedeného postupu buďzjistíme, že inverze neexistuje, nebo bude inverze spočtena. I nadále pracujeme nad polem skalárů. Ekvivalentní řádkové transformace se čtvercovou maticí A dimenze n vedou k matici P' takové, že matice P'-A bude v řádkově schodovitém tvaru. Přitom může (ale nemusí) být jeden nebo více posledních řádků nulových. Jestliže má existovat inverzní matice k A, pak existuje i inverzní matice k P'-A. Jestliže však je poslední řádek v P' ■ A nulový, bude nulový i poslední řádek v P' ■ A ■ B pro jakoukoliv matici B dimenze n. Existence takového nulového řádku ve výsledku (řádkové) Gaussovy eliminace tedy vylučuje existenci A-1. Předpokládejme nyní, že A-1 existuje. Podle předchozího, nalezneme řádkově schodovitý tvar bez nulového řádku, tzn. že všechny diagonální prvky v P' ■ A jsou nenulové. Pak ovšem pokračováním eliminace pomocí řádkových elementárních transformací od pravého dolního rohu zpět a vynor-mováním diagonálních prvků na jedničky získáme jednotkovou matici E. Jinými slovy, najdeme další invertibilní matici P" takovou, že pro P = P" ■ P' platí P • A = E. Výměnou řádkových a sloupcových transformací lze za předpokladu existence A-1 stejným postupem najít Q takovou, že A ■ Q = E. Odtud P = p . E = P ■ (A • Q) = (P ■ A) • Q = Q. To ale znamená, že jsme nalezli hledanou inverzní matici A~l = P = Q k matici A. Zejména se tedy v okamžiku nalezení matice P s vlastností P ■ A = E už nemusíme s žádnými dalšími výpočty namáhat, protože víme, že již jistě jde o inverzní matici. Prakticky tedy můžeme postupovat takto: ' výpočet inverzní matice Vedle sebe napíšeme původní matici A a jednotkovou matici E, matici A upravujeme řádkovými elementárními úpravami nejprve na schodovitý tvar, potom tzv. zpětnou eliminací na diagonální matici a v té násobíme řádky inverzními prvky z K. Tytéž úpravy postupně prováděné s E vedou právě k hledané matici A-1. Pokud tento algoritmus narazí na vynulování celého řádku v původní matici, znamená to, že matice inverzní neexistuje. 2.11. Lineární závislost a hodnost. V předchozích úvahách a počtech s maticemi jsme stále pracovali / se sčítáním řádků nebo sloupců coby vektorů, spolu s jejich násobením skaláry. Takové operaci říkáme lineární kombinace. V abstraktním pojetí se k Řešení. Inverzní matici nalezneme tak, že vedle sebe napíšeme matici A a matici jednotkovou. Pomocí řádkových transformací pak převedeme matici A na jednotkovou. Tímto matice jednotková přejde na matici A-1. Postupnými úpravami dostáváme -1 0 1 0 -1 1 1 0 4 -4 11 --2 přičemž v prvním kroku jsme odečetli od prvního řádku třetí, ve druhém jsme (—5)násobek prvního přičetli ke druhému a současně jeho (—3)násobek ke třetímu, ve třetím kroku jsme odečetli od druhého řádku třetí, ve čtvrtém jsme (—2)násobek druhého přičetli ke třetímu, v pátém kroku jsme (—5)násobek třetího řádku přičetli ke druhému a jeho 2násobek k prvnímu, v posledním kroku jsme pak zaměnili druhý a třetí řádek. Zdůrazněme výsledek / 3 -4 3 A"1 = 1 -2 2 \-7 11 -9y Upozorněme, že při určování matice A-1 jsme díky vhodným řádkovým úpravám nemuseli počítat se zlomky. Přestože bychom si mohli obdobně počínat při určování matice B~l, budeme raději provádět více názorné (nabízející se) řádkové úpravy. Platí 0 0 1 0 1 \ 3 0 0 1 1 0 0 1 2 -3 \ / 1 0 0 1 2 -3 0 1 0 -1 1 -1 l A o 1 0 -1 1 -1 0 0 1 3 o -f i / 0 1 0 -2 3 tj- B~ Využitím identity (ť.B)- B-1 ■ (AT)~l = B-1 ■ (A"1)2 77 C. DETERMINANTY 1. VEKTORY A MATICE a znalosti výše vypočítaných inverzních matic lze obdržet 1 2 -1 1 -14 -9 42 -10 -5 27 17 10 -491 1 2.14. Vypočítejte inverzní matici k matici 2.15. Nalezněte inverzní matici k matici /8 3 5 2 0 0 0 o \o o o o 0\ 0 0 0 -10 0 0 1 2 0 3 5/ 2.16. Zjistěte, zda existuje inverzní matice k matici /ll 1 1 \ 1 1 -1 1 1-1 1 -1 v -1 -1 lJ Pokud ano, určete tuto matici C-1. , přičemž i je imaginární jednotka; 2.Í& Napište inverzní matici k n x n matici (n > 1) /2-n 1 ••• 1 1 \ 1 2-n 1 V 1 1 2-n 1 1 2-n) □ 2 .10b C. Determinanty Ověřte si nejprve na následujícím příkladu, že umíte počítat determinanty matic 2 x 2 a 3 x 3 (pomoci Saarusova pravidla): operacím s vektory vrátime za chvíli v 2.24, bude ale užitečné pochopit podstatu už nyní. Lineární kombinací řádků (nebo sloupců) matice A = (a^-) typu m/n rozumíme výraz c\uh H-----h ckui kde c i jsou skaláry, u j = (a n- a m) jsou řádky (nebo (a amj) jsou sloupce) matice A. Jestliže existuje lineární kombinace daných řádků s alespoň jedním nenulovým skalárním koeficientem, jejímž výsledkem je nulový řádek, říkáme, že jsou tyto řádky lineárně závislé. V opačném případě, tj. když jedinou možností jak získat nulový řádek je vynásobení výhradně nulovými skaláry, jsou tyto řádky lineárně nezávislé. Obdobně definujeme lineárně závislé a nezávislé sloupce matice. Předchozí výsledky o Gausově eliminaci můžeme teď J' „ intepretovat tak, že počet výsledných nenulových „schodů" v řádkově nebo sloupcově schodovitém tvaru je vždy roven počtu lineárně nezávislých řádků matice, resp. počtu lineárně nezávislých sloupců matice. Označme Eh matici z věty 2.9 s h jedničkami na diagonále a předpokládejme, že dvěma různými postupy dostaneme různá h' < h. Pak ovšem podle našeho postupu budou existovat také invertibilní matice P a. Q takové, že P-Eh,-Q = Eh. V součinu Ehi ■ Q bude více nulových řádků ve spodní části matice, než kolik má být jedniček v Eh a přitom se k nim máme dostat už jen řádkovými transformacemi. Zvýšit počet lineárně nezávislých řádků ale pomocí elementárních řdáko-vých transformací nelze. Proto je počet jedniček v matici P ■ A ■ Q ve větě 2.9 nezávislý na volbě našeho postupu eliminace a je roven jak počtu lineárně nezávislých řádků v A, tak počtu lineárně nezávislých sloupců v A. Tomuto číslu říkáme hodnost matice a značíme je h (A). Zapamatujme si výsledné tvrzení: Věta. Nechť A je matice typum/n nadpolem skalárů K. Matice A má stejný počet h( A) Unárně nezávislých řádků a lineárně nezávislých sloupců. Zejména je hodnost vždy nejvýše rovna menšímu z rozměrů matice A. Algoristmus pro výpočet inverzních matic také říká, že čtvercová matice A dimenze m má inverzi, právě když je její hodnost rovna počtu řádků m. 2.12. Matice jako zobrazení. Zcela stejně, jak jsme s maticemi pracovali v geometrii roviny, viz 1.29, můžeme každou čtvercovou matici A interpretovat jako zobrazení A : x A ■ x. Díky distributivitě násobení matic je zřejmé, jak jsou zobrazovány lineární kombinace vektorů takovými zobrazeními: A • (a x + b y) = a (A • x) + b (A • y). 78 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA 2 .10c tady byla ještě ukázka matic rotací - patrně budou v příkladech, tak jsou tady vyprocentované Přímo z definice je také vidět (díky asociativitě násobení matic), že skládání zobrazení odpovídá násobení matic v daném pořadí. Invertibilní matice tedy odpovídají bijektivním zobrazením. Z tohoto pohledu je velice zajímavá věta 2.9. Můžeme ji číst tak, že hodnost matice určuje, jak velký je obraz celého W v tomto zobrazení. Skutečně, je-li A = p ■ Ek ■ Q s maticí Ek s k jedničkami jako v 2.9, pak invertibilní Q napřed jen bijektivně „zamíchá" n-rozměrné vektory v W, matice Ek pak „zkopíruje" prvních k souřadnic a vynuluje n — k zbývajících. Tento „^-rozměrný" obraz už pak následně násobení invertibilní p nemůže zvětšit. 2.13. Řešení systémů lineárních rovnic. K pojmům dimenze, lineární nezávislost apod. se vrátíme ve třetí části této kapitoly. Již teď si ale můžeme povšimnout, co právě dovozené výsledky říkají o řešení systému lineárních rovnic. Jestliže budeme uvažovat matici systému rovnic a přidáme k ní ještě sloupec požadovaných hodnot, hovoříme o rozšířené matici systému. Postup, který jsme předvedli odpovídá postupné eliminaci proměnných v rovnicích a vyškrtání lineárně závislých rovnic (ty jsou prostě důsledkem ostatních). Dovodili jsme tedy kompletní informaci o velikosti množiny řešení systému lineárních rovnic v závislosti na hodnosti matice systému. Pokud nám při přechodu na řádkově schodovitý tvar zůstane v rozšířené matici více nenulových řádků než v matici systému, pak žádné řešení nemůže existovat (prostě se daným lineárním zobrazením do požadované hodnoty vůbec netrefíme). Pokud je hodnost obou matic stejná, pak nám při zpětném dopočtu řešení zůstane právě tolik volných parametrů, kolik je rozdíl mezi počtem proměnných n a hodností h (A). 2. Determinanty V páté části první kapitoly jsme viděli (viz 1.27), že pro čtvercové matice dimenze 2 nad reálnými čísly existuje skalární funkce det, která matici přiřadí nenulové číslo, právě když existuje její inverze. Neříkali jsme to sice stejnými slovy, ale snadno si to ověříte (viz odstavce počínaje 1.26 a vzorec (1.16)). Determinant byl užitečný i jinak, viz odstavce 1.33 a 1.34, kde jsme si volnou úvahou odvodili, že obsah rovnoběžníka by měl být lineárně závislý na každém ze dvou vektorů definujících rovnoběžník a že je užitečné zároveň požadovat změnu znaménka při změně pořadí těchto vektorů. Protože tyto vlastnosti měl, až na pevný skalární násobek, jedině determinant, odvodili jsme, že je obsah dán právě takto. Nyní uvidíme, že podobně lze postupovat v každé konečné dimenzi. V této části budeme pracovat s libovolnými skaláry K a maticemi nad těmito skaláry. Naše výsledky o determinantech tedy budou vesměs platit pro všechny komutativní okruhy, zejména tedy třeba pro celočíslené matice. 2.19. Určete determinanty matic: 1 2 2 1 2.20. Spočítejte determinant matice (\ 3 5 6\ 12 2 2 1112 \0 1 2 1/ Řešení. Začneme rozvíjet podle prvního sloupce, kde máme nejvíce (jednu) nul. Postupně dostáváme 13 5 6 12 2 2 1112 0 12 1 Podle Saarusova pravidla □ 2.21. Nalezněte všechny hodnoty argumentu a takové, že 2 2 2 3 5 6 3 5 6 1 • 1 1 2 - 1 • 1 1 2 + 1 • 2 2 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 -2 _ 2 + 6 = 2. a 1 0 a 0 1 0 0 1 1 a 0 1. Pro komplexní a uvedte buď jeho algebraický nebo goniometrický tvar. Řešení. Spočítáme determinant rozvinutím podle prvního sloupce ma- tice: D a 1 0 a 0 1 0 0 1 1 a 0 a 1 1 a ■ 1 a 1 0 0 —a dále rozvíjíme podle posledního řádku: D = a ■ (—a) a 1 1 a 2/ 2 -a (a 1)- a- + 1 = 0. 2 Celkem dostáváme následující podmínku pro a: a4 — ~2 Substitucí t = a2, pak máme t2 — t + 1 s kořeny t\ cos(7r/3) + i sin(7r/3), t\ = l~2^ = cos(jt/3) — i sin(7r/3) = cos(—jt/3) + i sin(—Jt/3), odkud snadno určíme čtyři možné hodnoty parametru a: a\ = cos(7r/6) + iún(jt/6) = V3/2 + i/2, a2 = cos(77r/6) + i sin(77r/6) = — V3/2 — i/2, a3 = cos(—it/6) + i sin(—jt/6) = V3/2 — i/2, a4 = cos(57r/6) + i sin(57r/6) = -V3/2 + //2. □ 79 C. DETERMINANTY 2. DETERMINANTY /andermond 2 .10c 2.22. Vandermonduv determinant. Dokažte vzorec pro tzv. Vander-mondův determinant, tj. determinant Vandermondovy matice: 1 1 . 1 «1 «2 . V n = a\ a2 . a2 "n = n (aJ ~ l i. Řešení. Ukážeme opravdu nádherný důkaz indukcí, nad nímž srdce mate- §., matika zaplesá. Pro n = 2 vztah triviálně platí. Nechť tedy platí pro determinant matice určené čísly «i, ..., ak a dokážeme, v že platí i pro výpočet determinantu Vandermondovy matice určenou čísly «i, ..., ak+i. Uvažme determinant Vk+i jako polynom P v proměnné ak+i. Z definice determinantu vyplývá, že tento polynom bude stupně k v této proměnné a navíc čísla a\,...,ak budou jeho kořeny: nahradíme-li totiž ve Vandermondově matici Vk+i poslední sloupec tvořený mocninami čísla ak+i libovolným z předchozích sloupců tvořeným mocninami čísla «;-, tak hodnota tohoto pozměněného determinantu je vlastně hodnotou Vandermondova determinantu (jakožto polynomu v proměnné ak+\) v bodě «,. Tato je ovšem nulová, neboť determinant z matice se dvěma shodnými, tedy lineárně závislými, sloupci je nulový. To znamená, že «;- je kořenem P. Nalezli jsme tedy k kořenů polynomu stupně k, tudíž všechny jeho kořeny a P musí být tvaru P = C(ak+\ — a\)(ak+\ — a2) ■ ■ ■ (ak+i — ak), kde C je nějaká konstanta, resp. vedoucí koeficient polynomu P. Uvážíme-li však výpočet determinantu Vk+\ pomocí rozvoje podle posledního sloupce, tak vidíme, že C = Vk, což už dokazuje vzorec pro Vk+\. □ Jiné řešení, (viz Návody a řešení cvičení) 2.23. Nenulovost determinantu čtvercové matice charakterizuje všechny invertibilní čtvercové matice: zjistěte, zdaje matice / 3 2-1 4 1 2 -2 2 4 V 2 3-4 2 \ -4 1 8/ 2.14. Definice determinantu. Připomeňme, že bijektivní zobrazení množiny X na sebe se nazývá permutace množiny X, viz 1.7. Je-li X = {1, 2, ...,«}, lze permutace zapsat pomocí výsledného pořadí ve formě tabulky: 1 2 ... n vct(1) o (2) ... a (ji), Prvek x e X se nazývá samodružným bodem permutace a, je-li a(x) = x. Permutace a taková, že existují právě dva různé prvky x,y e X s a(x) = y, zatímco všechna ostatní z e X jsou samodružná, se nazývá transpozice, značíme ji (x, y). Samozřejmě pro takovou transpozici platí také a (y) = x, odtud název. V dimenzi 2 byl vzorec pro determinant jednoduchý -vezmeme všechny možné součiny dvou prvků, po jednom z každého sloupce a řádku matice, opatříme je znaménkem tak, aby při přehození dvou sloupců došlo ke změně celkového znaménka, a výrazy všechny (tj. oba) sečteme: det A = ad — bc 'a \c d j Obecně, uvažujme čtvercové matice A = (a^-) dimenze n nad K. Vzorec pro determinant matice A bude také poskládaný ze všech možných součinů prvků z jednotlivých řádků a sloupců: _ j Definice determinantu |_ Determinant matice A je skalár det A vztahem \A\ definovaný sgn(er)útiCT(i) • a2a(2) ■ ■ ■ ana(n) kde £„ je množina všech možných permutací na {1, ...,«} a znaménko sgn pro každou permutaci a ještě musíme popsat. Každý z výrazů sgn(°r)fll a (b). Permutace er se nazývá i— sudá (resp. lichá), obsahuje-li sudý (resp. lichý) počet inverzí. Parita permutace a je (_i)P°cetinverzi a značíme ji sgn(er). Tolik tedy definice znamének našich členů determintu. Chceme ale vědět, jak s paritou počítat. Z následujícího tvrzení o permutacích už je jasně vidět, že Saarusovo pravidlo skutečně počítá determinant v dimenzi 3. Věta. Na množině X = {1,2, ... ,n} je právě n\ různých permutací. Tyto lze seřadit do posloupnosti tak, že každé dvě po sobě jdoucí se liší právě jednou transpozicí. Lze při tom začít libovolnou permutací. Každá transpozice mění paritu. Důkaz. Pro jednoprvkové a dvouprvkové X tvrzení samozřejmě platí. Budeme postupovat indukcí přes dimenzi. Předpokládejme, že tvrzení platí pro všechny množiny s n — 1 prvky a uvažme permutaci er(l) = a\, ..., a(n) = an. Podle indukčního předpokladu všechny permutace, které mají na posledním místě an, dostaneme z tohoto pořadí postupným prováděním transpozic. Přitom jich bude (n — 1)!. V posledním z nich prohodíme a (n) — &n zä některý z prvků, který dosud nebyl na posledním místě, a znovu uspořádáme všechny permutace s tímto vybraným prvkem na posledním místě do posloupnosti s požadovanými vlastnostmi. Po n-násobné aplikaci tohoto postupu získáme n(n — 1) =«! zaručeně různých permutací, tzn. všechny, právě předepsaným způsobem. Všimněme si, že poslední věta dokazovaného tvrzení se nezdá příliš důležitá pro jeho využití. Je však velice důležitou částí postupu v našem důkazu indukcí přes počet prvků v X. Zbývá tvrzení věty o paritách. Uvažme pořadí («1, ... ,at, ai+\, ..., a„), ve kterém je r inverzí. Pak zjevně je v pořadí («1, ..., ai+\, at, ..., a„) buď r — 1 nebo r + 1 inverzí. Každou transpozici (a;, o,-) lze přitom získat postupným provedením (j — i) + (j — i — l) = 20 — 0 — 1 transpozic sousedních prvků. Proto se provedením libovolné transpozice parita permutace změní. Navíc již víme, že všechny permutace lze získat prováděním transpozic. □ Zjistili jsme, že provedení libovolné transpozice změní paritu permutace a že každé pořadí čísel {1,2, ...,«} lze získat postupnými transpozicemi sousedních prvků. Dokázali jsme proto: Důsledek. Na každé konečné množině X = {1, ...,«} s « prvky, n > 1, je právě jn \ sudých a ^n \ lichých permutací. Řešení. Matice je invertibilní (existuje k ní inverzní matice) právě tehdy, když ji lze pomocí řádkových transformací převést na jednotkovou matici. To je ekvivalentní např. s tím, že má nenulový determinant. Ten spočítáme pomocí Laplaceovy věty (2.32) například rozvojem podle prvního řádku: 1 2 4 1 2 -4 4 2 -4 4 1 -4 4 1 3 • 2 4 1 -2- -2 4 1 + (-!)• -2 2 1 -2- -2 2 3 -4 8 2 -4 8 2 3 8 2 3 = 3 • 90 - 2 • 180 + (-1) • 110 - 2 • (-100) = 0, tedy daná matice není invertibilní. □ 2.24. Nalezněte matici algebraicky adjungovanou a matici inverzní k matici /l 0 2 0\ 0 3 0 4 5 0 6 0 7 0 V Řešení. Adjungovaná matice je /A, A* = Al3 A23 A33 A43 A24 A34 A44 Lil A u A21 A22 A31 A32 \A41 A42 kde A{j je algebraický doplněk prvku atj matice A, tedy součin čísla (—l)í+J a determinantu trojrozměrné matice vzniklé z A vynecháním z-tého řádku a 7-tého sloupce. Platí 3 0 4 0 0 4 Au = 0 6 0 = -24, An = - 5 6 0 = 0, .. 7 0 8 0 0 8 1 0 0 1 0 2 A43 = 0 3 4 = 0, Au = 0 3 0 = -12 5 0 0 5 0 6 Dosazením získáme /-24 0 20 0 \ T (-24 0 8 0 \ A* = 0 -32 0 28 0 -32 0 16 8 0 -4 0 20 0 -4 0 ^ 0 16 0 -12) 28 0 -12) Inverzní matici A 1 určíme ze vztahu A 1 = \A\- 1 • A*. Determi- nant matice A je (rozvojem podle prvního řádku) roven 10 2 0 0 3 0 4 5 0 6 0 0 7 0 8 3 0 4 0 3 4 0 6 0 + 2 5 0 0 7 0 8 0 7 8 16. 81 D. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC PODRUHÉ 2. DETERMINANTY Dostáváme tedy / -3/2 0 1/2 0 \ 0 -2 0 1 5/4 0 -1/4 0 v 0 7/4 0 -3/4/ □ 2.25. Najděte algebraicky adjungovanou matici F*, je-li 'a p 0\ y S 0 , a,p, y, S e M. ,0 o i; 2.26. Vypočítejte algebraicky adjungované matice k maticím /3 -2 0 -l\ 2 .13b (a) (b) 1 + i 2/ 3-2/ 6 0 2 2 1 1 -2 -3 -2 \0 1 2 1 / přičemž / označuje imaginární jednotku. D. Soustavy lineárních rovnic podruhé Se soustavami lineárních rovnic jsme se již setkali na začátku kapitoly. Nyní se budeme věnovat této problematice podrobněji. Zkusme nejprve využít výpočtu inverzní matice k řešení systému lineárních soustav rovnic. 2.27. Účastníci zájezdu. Dvoudenního autobusového zájezdu se zúčastnilo 45 osob. První den se platilo vstupné na rozhlednu 30 Kč za dospělého, 16 Kč za dítě a 24 Kč za seniora, celkem 1116 Kč. Druhý den se platilo vstupné do botanické zahrady 40 Kč za dospělého, 24 Kč za dítě a 34 Kč za seniora, celkem 1 542 Kč. Kolik bylo mezi výletníky dospělých, dětí a seniorů? Řešení. Zaveďme proměnné x udávající „počet dospělých"; y udávající „počet dětí"; z udávající „počet seniorů". Zájezdu se zúčastnilo 45 osob, a proto x + v + z 2 .12 45. Celkové vstupné na rozhlednu a do botanické zahrady při zavedení našich proměnných a při zachování pořadí činí 30x+16y+24z, a 40x+ 24v + 34z. My je ovšem známe (1 116 Kč a 1 542 Kč). Máme tak 30x + 16y + 24z = 1 116, 40x + 24y + 34z = 1542. Soustavu tří lineárních rovnic zapíšeme maticově jako 1 1 l\ M / 45 30 16 24 y = 1 116 ,40 24 34/ \z \1542; Jestliže složíme dvě permutace za sebou, znamená to provést napřed všechny transpozice tvořící první a pak druhou. Proto pro libovolné permutace a, r] : X -» X platí a proto také sgn(er o rj) = sgn(er) • sgn(/j) sgn(or ) = sgn(o-). 2.16. Rozklad permutace na cykly. Dobrým nástrojem pro praktickou práci s permutacemi je jejich rozklad na tzv. cykly. __j Cykly | 1 Permutace a na množině X = {\, ...,«} se nazývá cyklus délky k, jestliže je možné najít prvky ai, ..., ak e X, 2 < k < n, takové, že er(a;) = ai+\, i = 1, — 1, za- tímco a (ak) = a\ a ostatní prvky v X jsou pro a samodružné. Cykly délky dva jsou právě transpozice. Každá permutace je složením cyklů. Cykly sudé délky mají paritu — 1, cykly liché délky mají j^^^^^^^^^J Poslední tvrzení musíme ještě dokázat. Jestliže definujeme pro danou permutaci a relaci R tak, že dva prvky x, y e X jsou v relaci právě když or(x) = y pro nějakou iteraci permutace a, pak zjevně jde o relaci ekvivalence (ověřte si podrobně!). Protože je X konečná množina, musí pro nějaké i být al(x) = x. Jestliže zvolíme jednu třídu ekvivalence {x, a(x), ..., al~1(x)} c X a ostatní prvky definujeme jako samodružné, dostáváme cyklus. Evidentně je pak celá původní permutace X složením všech těchto cyklů pro jednotlivé třídy naší ekvivalence a je jedno v jakém pořadí cykly skládáme. Pro určení parity si nyní stačí povšimnout, že cykly sudé délky lze napsat jako lichý počet transpozic, proto mají paritu — 1. Obdobně cyklus liché délky dostaneme ze sudého počtu transpozic a proto mají paritu 1. 2.17. Jednoduché vlastnosti determinantu. Poznání vlast- ností permutací a jejich parit z předchozích odstavců nám teď umožní rychle odvodit základní vlastnosti determinantů. Pro každou matici A = (a^-) typu m/n nad definujeme matici transponovanou k A. Jde o = (a -■) s prvky a -. = a^ , která je typu n/m. Čtvercová matice A s vlastností A = AT se nazývá symetrická. Jestliže platí A = —AT, pak se A nazývá antisy-metrická. Jednoduché vlastnosti determinantů skaláry z I matici AT Věta. Pro každou čtvercovou matici A = (a^) platí následu-jícíc tvrzení: (1) \AT\ = \A\ (2) Je-li jeden řádek v A tvořen nulovými prvky z K, pak \A\=0. 82 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA (3) Jestliže matice B vznikla z A výměnou dvou řádků, pak \A\ = -\B\. (4) Jestliže matice B vznikla z A vynásobením řádku skalárem íieK, pak \B\ = a \A\. (5) Jsou-li prvky k-tého řádku v A tvaru akj = ckj + by a všechny ostatní řádky v maticích A, B = (bij), C = (c i j) jsou stejné, pak \A\ = \B\ + \C\. (6) Determinant \A\ se nezmění, přičteme-li k libovolnému řádku A lineární kombinaci ostatních řádků. Řešením je Důkaz. (1) Členy determinantů \A\ a \A | jsou v bijektivní korespondenci. Členu sgn(or)útMi) • a2a(2) ■ ■ ■ ana(n) přitom v AT odpovídá člen (na pořadí skalárů v součinu totiž nezáleží) sgn((?)aa(i)i ■ aa(2)2 • • • aa{n)n — = Sgn(\í—» - determinantech formulované s využitím řádků příslušné matice, pak analogické tvrzení platí i pro sloupce. Např. tedy můžeme okamžitě všechna tvrzení (2)-(6) této věty přeformulovat i pro přičítání lineárních kombinací ostatních sloupců k vybranému. To můžeme hned použít pro odvození následujícího vzorce pro přímý výpočet řešení systémů lineárních rovnic: J Crammerovo pravidlo I Uvažme systém n linárních rovnic pro n proměnných s maticí sytému A = (a;i) a sloupcem hodnot b = (b\, ..., b„), tj. v maticovém zápisu řešíme rovnici A ■ x = b. Jestliže existuje inverze A komponenty jediného řešení x = (xi, 1, pak jsou jednotlivé ..., x„) dány vztahem |A/||A|- kde matice A;- vznikne z matice systému A výměnou /-tého sloupce za sloupec hodnot b. mm^mmmmmmJi Skutečně, jak jsme viděli, inverze k matici systému existuje právě tehdy, když má systém jediné řešení. Jestliže tedy takové řešení x máme, můžeme za sloupec b dosadit do matice Ai příslušnou kombinaci sloupců matice A, tj. hodnoty bi = a.i\X\+- ■ ■+ainxn. Pak ale odečtenímx,<--násobků všech ostatních sloupců zůstane v /-tém sloupci pouze x;-násobek původního sloupce z A. Číslo x; tedy můžeme vytknout před determinant a získáme rovnost | A, \ \ A \ ~1 = x, \ A \ \ A \ ~1 = x,■, což je požadované tvrzení. Dále si všimněme, že vlastnosti (3)-(5) z předchozí věty říkají, že determinant jakožto zobrazení, které n vektorům dimenze n (řádkům nebo sloupcům matice) přiřadí skalár, je antisymetrické zobrazení lineární v každém svém argumentu, přesně jako jsme podle analogie z dimenze 2 požadovali. 84 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA 2.19. Další vlastnosti determinantu. Časem uvidíme, že skutečně stejně jako v dimenzi dva je determinant matice roven orientovanému objemu rovnoběžnostěnu určeného jejími sloupci. Uvidíme také, že když uvážíme zobrazení x h-» A ■ x zadané čtvercovou maticí A na 1", pak můžeme determinant této matice vidět jako vyjádření poměru mezi objemem rovnoběžnostěnů daných vektory x\, ... xn a jejich obrazy A ■ x\, ..., A ■ xn. Protože skládání zobrazení x A • x h-» B ■ (A- x) odpovídá násobení matic, je snad docela pochopitelná tzv. Cauchyova věta: _J Cauchyova věta | Věta. Nechť A = (a^), B = (bij) jsou čtvercové matice dimenze n nad okruhem skalárů K. Pak \A ■ B\ = \A\ ■ \B\. 1. 14a Všimněme si, že z Cauchyovy věty a z reprezentace elementárních rakových transformací pomocí násobení vhodnými maticemi (viz 2.8), okamžitě vyplývají tvrzení (2), (3) a (6) z Věty 2.17. My teď tuto větu odvodíme ryze algebraicky už proto, že \A předchozí odvolávka na geometrický argument těžko může fungovat pro libovolné skaláry. Základním nástrojem je tzv. rozvoj determinantu podle jednoho nebo více řádků či sloupců. Budeme proto potřebovat něco málo technické přípravy. Čtenář, který by snad tolik abstrakce nestrávil může tyto pasáže přeskočit a vstřebat pouze znění Laplaceovy věty a jejich důsledků. 2.20. Minory matice. Při úvahách o maticích a jejich vlastnostech budeme často pracovat jen s jejich WL JLY/ částmi. Budeme si proto muset zavést několik pojmů. J submatice a minory | Nechť A = (aij) je matice typu m/n a 1 < i\ < ... < h < rn, 1 < ji < ... < ji < n jsou pevně zvolená přirozená čísla. Pak matici / «/, M = at "■liji \aik.h ahh ■ ■ ■ aikji / typu k/l nazýváme submaticí matice A určenou řádky í'i, ..., /t a sloupci ji, ..., ji. Zbývajícími (m — k) řádky a (n — l) sloupci je určena matice M* typu (m — k)/(n — i), která se nazývá doplňková submatice k M v A. Při k = l je definován \M\, který nazýváme subdeterminant nebo minor řádu k matice A. Je-li m = n, pak při k = i je i M* čtvercová a \M*\ se nazývá doplněk minoru \M\, nebo doplňkový minor k submatici M v matici A. Skalár -----Nt+jH-----. |^*| se nazývá algebraický doplněk k minoru \M\. 2.31. Najděte (libovolný) lineární systém, jehož množina řešení je právě {(ř + 1, 2t, 3t, 4ř); t € R}. Řešení. Takovým systémem je např. 2x\ — x2 = 2, 2x2 — -^4 = 0, 4xq — 3x4 0. Těmto rovnicím totiž uvedené řešení vyhovuje pro každé t e M a vektory (2,-1,0,0), (0,2,0,-1), (0,0,4,-3) zadávající levé strany rovnic jsou zřejmě lineárně nezávislé (množina řešení obsahuje jeden parametr). □ 2.32. Stanovte hodnost matice /1 -3 0 1 \ 1 -2 2 -4 1 -1 0 1 \-2 -1 1 -v Poté stanovte počet řešení systému lineárních rovnic = xl + x2 + x3 ~ —3x\ — — x?, — + 2x2 + Xi — 4X2 + X3 — a také všechna řešení systému xl + x2 + x3 — —3xi — 2x2 — x3 — + 2x2 + X\ — 4X2 + x3 — X<\ X4 2,x^ 2,x^ X4 X4 2,x^ o, o, o, o a systému Xl Xl Xl -2xi 3x2 2X2 + 2x3 X2 X2 + X3 1, -4, 1, -2. Řešení. Protože je det A = —10, tedy nenulový, jsou sloupce matice A lineárně nezávislé, a tudíž se její hodnost rovná jejímu rozměru. První z uvedených třech systémů je zadán rozšířenou maticí / 1 1 1 -2 4 \ -3 -2 -1 -1 5 0 2 0 1 1 v 1 -4 1 -2 3 ) Ovšem levá strana je právě AT s determinantem \AT\ = \A\ 7^ 0. Existuje tedy matice (AT) 1 a soustava má právě 1 řešení (xi, x2, x3, x4)T = (AT)~l ■ (4, 5, 1, 3)T . Druhý ze systémů má totožnou levou stranu (určenou maticí AT) s prvním. Protože absolutní členy na pravé straně lineárních systémů 85 D. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC PODRUHÉ 2. DETERMINANTY neovlivňují počet řešení a protože každý homogenní systém má nulové řešení, dostáváme jako jediné řešení druhého systému uspořádanou čtveřici (jci, x2, x3, x4) = (0,0, 0, 0). Třetí systém má rozšířenou matici / 1 1 1 V "2 -3 0 -2 2 -1 0 -1 1 1 \ -4 1 "2/ 2 . 14b což je matice A (pouze poslední sloupec je uveden za svislou čarou). Pokud budeme tuto matici upravovat na schodovitý tvar, musíme obdržet řádek ( 0 0 0 | a ) , kde a ^ 0. Víme totiž, že sloupec na pravé straně není lineární kombinací sloupců na levé straně (hodnost matice je 4). Tento systém nemá řešení. □ 2.33. Vyřešte systém homogenních lineárních rovnic zadaný maticí /0 V2 V3 V6 0 \ 2 2 V3 -2 -75 0 2 VŠ 273 -73 \3 3 V3 -3 0 / 2.34. Určete všechna řešení systému 3xi xx xx + X2 2x2 x2 + x4 3x3 + 4x4 x3 -\- x4 x3 1, -2, 2, 1. 2.35. Vyřešte 3x - 5y + 2u + 4z = 2, 5x + 7y - Au - 6z = 3, Ix - 4y + u + 3z. = 5. 2.36. Rozhodněte o řešitelnosti soustavy lineárních rovnic 3xi + 3x2 + x3 = 1, 2x\ -\- 3x2 — x3 = 8, 2x\ — 3x2 + xj, = 4, 3x\ — 2x2 + xj, = 6 Submatice tvořené prvními k řádky a sloupci se nazývají vedoucí hlavní submatice, jejich determinanty vedoucí hlavní minory matice A. Zvolíme-li k po sobě jdoucích řádků a sloupců, počínaje /-tým řádkem, hovoříme o hlavních sub-maticích, resp. hlavních minorech. Při speciální volbě k = i = \, m=n říkáme příslušnému doplňkovému minoru algebraický doplněk Aij prvku aij matice A. 2.21. Laplaceův rozvoj determinantu. Pokud je \M\ \^ hlavní minor matice A řádu k, pak přímo z % definice determinantu je vidět, že každý z jednotlivých k\(n — k)\ sčítanců v součinu \M\ s jeho algebraickým doplňkem je členem determinantu \A\. Obecně, uvažme submatici M, tj. čtvercovou matici, určenou řádky i\ < i2 < ■ ■ ■ < ik a sloupci ji < • • • < jk-Pak pomocí (z'i — 1) + • • • + (i* — k) výměn sousedních řádků a (71 — 1) + • • • + (jk — k) výměn sousedních sloupců v A převedeme tuto submatici M na hlavní submatici a doplňková matice přitom přejde právě na doplňkovou matici. Celá matice A přejde přitom v matici B, pro kterou platí podle 2.17 a definice determinantu \B\ = (—1)"|A|, kde a = YÍ=1(ih ~ jh) — 2(1 H-----h k). Tím jsme ověřili: Tvrzení. Jestliže je A je čtvercová matice dimenze n a \M\ je její minor řádu k < n, pak součin libovolného členu \M\ s libovolným členem jeho algebraického doplňku je členem \A\. Toto tvrzení už podbízí představu, že by se pomocí takových součinů menších determinantů skutečně mohl determinant matic vyjadřovat. Víme, že \A\ obsahuje právě n\ různých členů, právě jeden pro každou permutaci. Tyto členy jsou navzájem různé jakožto polynomy v prvcích (neznámé obecné) matice A. Jestliže tedy ukážeme, že navzájem různých výrazů z předchozího tvrzení je právě tolik, jako je tomu u determinantu \A\, pak dostaneme jejich součtem právě determinant \A\. Zbývá proto ukázat, že uvažované součiny \M\ ■ \M*\ obsahují právě n! různých členů z | A\. Ze zvolených k řádků lze vybrat (^) minorů M a podle předchozího lematu je každý z k! (n — k)! členů v součinech \M\ s jejich algebraickými doplňky členem \A\. Přitom pro různé výběry M nemůžeme nikdy obdržet stejné členy a jednotlivé členy v (-\)^+-+ik+h+-+ii . \m\ ■ \m*\ jsou také po dvou různé. Celkem tedy máme právě požadovaný počet k\(n-k)\(l) =n\členů. Tím jsme bezezbytku dokázali: j Laplaceova věta j Věta. Nechť A = (a^) je čtvercová matice dimenze n nad libovolným okruhem skalárů a nechť je pevně zvoleno k jejích řádků. Pak \A\ je součet všech (^) součinů (_\ý\+--+ik+h+-+ji . \M\ ■ \M*\ minorů řádu k vybraných ze zvolených řádků, s jejich algebraickými doplňky. 86 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA Laplaceova věta převádí výpočet | A | na výpočet determinantů nižšího stupně. Této metodě výpočtu se říká Laplaceův rozvoj podle zvolených řádků či sloupců. Např. rozvoj podle z-tého řádku nebo podle 7-tého sloupce: n \A\ = J2aUAU 7=1 kde Aij označuje algebraický doplněk k prvku útý (tj. k mi-noru stupně 1). Při praktickém počítání determinantů bývá výhodné kombinovat Laplaceův rozvoj s přímou metodou přičítání lineárních kombinací řádků či sloupců. 2.22. Důkaz Cauchyovy věty. Důkaz se opírá o trikovou ale elementární aplikaci Laplaceovy věty. Použijeme prostě dvakrát Laplaceův rozvoj na jS'V"" vhodné matice. ^> Uvažme nejprve následující matici H di- menze 2n (používáme tzv. blokovou symboliku, tj. píšeme matici jakoby složenou ze (sub)matic A, B atd.) H A 0 -E B Mi an\ -1 \0 o b 0 \ -1 o n 'In Jnn/ Laplaceovým rozvojem podle prvních n řádků obdržíme právě \H\ = \A\ ■ \B\. Nyní budeme k posledním n sloupcům postupně přičítat lineární kombinace prvních n sloupců tak, abychom obdrželi matici s nulami v pravém dolním rohu. Dostaneme K Mi an\ -1 a\n C\\ 0 o Cln\ 0 V o -1 o ... o / Prvky submatice nahoře vpravo přitom musí splňovat anb]_j +ai2b2j H-----Y aini neboli jde právě o prvky součinu A • B a \K\ = \H\. Přitom rozvojem podle posledních n sloupců dostáváme \K\ = (-1)"+1+-+2"|A-£| = (-l)2n(n+1)-|A-S| = \A-B\. Tím je Cauchyova věta bezezbytku dokázána. třech proměnných x\, x2, x3. 2.37. Stanovte počet řešení 2 soustav 5 lineárních rovnic AT -x = (l,2,3,4,5)r, AT -x = (1, 1, 1, 1, 1)T, kde /3 1 7 5 x = (xux2,x3)T a A = 0 0 0 0 1 \2 1 4 3 0; 2.38. Nechť je dáno Najděte taková reálná čísla b\, b2, b3, aby systém lineárních rovnic A x = b měl: (a) nekonečně mnoho řešení; (b) právě jedno řešení; (c) žádné řešení; (d) právě 4 řešení. 2.39. Určete řešení soustavy lineárních rovnic ax\ + 4x2 +2x3 = 0, 2xi + 3x2 v závislosti na parametru a e M. x3 0, 2.40. V závislosti na hodnotě parametru a e M rozhodněte o počtu řešení soustavy /4 1 \ 2 3 6 8 3 2 5 4 \^6 -1 2 -8/ x2 x3 w /2\ 5 3 \-v 2.41. Rozhodněte, zda existuje homogenní soustava lineárních rovnic tří proměnných, jejíž množinou řešení je (a) {(0, 0, 0)}; (b) {(0,1,0), (0,0,0), (1,1,0)}; (c) {(x, 1,0); x e M}; (d) {(x, y, 2y); x, y e R}. 87 E. VEKTOROVÉ PROSTORY 2. DETERMINANTY 2.42. Řešte soustavu lineárních rovnic v závislosti na reálných|~gar]a6 metrech a, b. x +2y + bz x - y + 2z 3x — y a 1 1. E. Vektorové prostory Vlastnosti vektorového prostoru, kterých jsme si všimli u roviny či třírozměrného prostoru, ve kterém žijeme, má celá řada jiných množin. Ukažme si to na příkladech. 2.43. Vektorový prostor ano či ne? Rozhodněte o následujících množinách, jestli jsou vektorovými prostory nad tělesem reáhjýcji^cJĚ" sel: i) Množina řešení soustavy x\ + x2 + ' ' ' + x9s + x99 + ^100 = 100*11 *i+x2H-----\-x9S+x99 = 99*i, xi + x2 H-----h*98 = 98*i, *1 -\- *2 = 2*1. ii) Množina řešení rovnice x\ + x2 + ' ' ' + *100 = 0 iii) Množina řešení rovnice xi + 2x2 + 3*3 + • • • + lOOxioo = 1- iv) Množina všech reálných, resp. komplexních, posloupností. (Reálnou, resp. komplexní posloupností rozumíme zobrazení / : N -» R, resp. / : N -» C. O obrazu čísla n pak hovoříme jako o n-tém členu posloupnosti, většinou jej označujeme dolním indexem, např. an.) v) Množina řešení homogenní diferenční rovnice. vi) Množina řešení nehomogenní diferenční rovnice. vii) {/ : R -> R\f(\) = f (2) = c, c e R} Řešení. i) Ano. Jsou to všechny reálné násobky vektoru (1,1,1...,1), 1-,-' 100 jedniček tedy vektorový prostor dimenze 1 (viz dále (2.29)). 2.23. Determinant a inverzní matice. Předpokládejme nejprve, že existuje matice inverzní k matici A, tj. A ■ A~l = E. Protože pro jednotkovou matici platí vždy \E\ = 1, je pro každou invertibilní matici vždy \A\ invertibilní skalár a díky Cauchyově větě platí |A_11 = |A|_1. My však nyní kombinací Laplaceovy věty a Cauchyho věty umíme říci víc. | Vzorec pro inverzní matici |_ (ciij) dimenze A u jsou alge- Pro libovolnou čtvercovou matici A n definujeme matici A* = («*), kde a*-braické doplňky k prvkům a jí v A. Matici A* nazýváme algebraicky adjungovaná matice k matici A. Věta. Pro každou čtvercovou matici A nad okruhem skalárů K platí (2.2) Zejména tedy AA* = A*A = \A\ ■ E. (1) A-1 existuje jako matice nad okruhem skalárů K, právě když |A|_1 existuje v K. (2) Pokud existuje A-1, pak platí A-1 A*. i Důkaz. Jak jsme již zmínili, Cauchyova věta ukazuje, že z existence A-1 vyplývá invertibilita |A| e K. Pro libovolnou čtvercovou matici A spočteme přímým výpočtem A • A* = (o,), kde Pokud i = j je to právě Laplaceův rozvoj |A| podle /-tého řádku. Pokud i ^ j jde o rozvoj determinantu matice v níž je z-tý a y-tý řádek stejný a proto je q7 = 0. Odtud plyne A • A* = |A| • E a dokázali jsme rovnost (2.2). Předpokládejme navíc, že |A| je invertibilní skalár. Jestliže zopakujeme předešlý výpočet pro A* • A, obdržíme \A\~lA* ■ A = E. Proto náš výpočet skutečně dává inverzní matici A, jak je tvrzeno ve větě. □ Jako přímý důsledek této věty můžeme znovu ověřit Cra-mmerovo pravidlo pro řešení systémů lineárních rovnic, viz 2.18. Skutečně, pro řešení systému A ■ x = b stačí důsledně přečíst v rovnosti x = A-1 • b = \A\~lA* -b poslední výraz jako Laplaceův rozvoj determinantu matice Ai vzniklé výměnou /-tého sloupce v A za sloupec hodnot 88 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA 3. Vektorové prostory a lineární zobrazení 2.24. Abstraktní vektorové prostory. Vraťme se teď na chvilku k systémům m lineárních rovnic pro n proměnných z 2.3 a předpokládejme navíc, že jde o homogenní systém rovnic A ■ x = 0, tj. an din Xi /0> \Clm\ . . . dynnJ \xn J \®/ Díky vlastnosti distributivity pro násobení matic je zřejmé, že součet dvou řešení x = (x\, ..., x„) a y = (yi, ..., y„) splňuje A-(x+y) = A- x+ A- y = 0 a je tedy také řešením. Stejně tak zůstává řešením i skalární násobek a-x. Množina všech řešení pevně zvoleného systému rovnic je proto uzavřená na sčítání vektorů a násobení vektorů skaláry. To byly základní vlastnosti vektorů dimenze n v W, viz 2.1. Teď ale máme vektory v prostoru řešení s n souřadnicemi a ,rozměr" tohoto prostoru je dán rozdílem počtu proměnných a hodností matice A. Můžeme tedy snadno mít při řešení 1000 souřadnic a jen jeden nebo dva volné parametry. Celý prostor řešení se pak bude chovat jako rovina nebo přímka, jak jsme je poznali již v 1.25 na straně 27. Už v odstavci 1.9 jsme ale potkali ještě zajímavější příklad prostoru všech řešení homogenní lineární diferenční rovnice (prvního řádu). Všechna řešení jsme dostali z jednoho pomocí násobení skaláry a jsou tedy také uzavřená na součty a skalární násobky. Tyto „vektory" řešení ovšem jsou nekonečné posloupnosti čísel, přestože intuitivně očekáváme, že „rozměr" celého prostoru řešení by měl být jedna. Potřebujeme proto obecnější definici vektorového prostoru a jeho dimenze: «„„■—■..J Definice vektorového prostoru | Vektorovým prostorem V nad polem skalárů K rozumíme množinu, na které jsou definovány • operace sčítání splňující axiomy (KG1)-(KG4) z odstavce 1.1 na straně 2, • násobení skaláry, pro které platí axiomy (V1)-(V4) z odstavce 2.1 na straně 68. Připomeňme také naši jednoduchou konvenci ohledně značení: skaláry budou zpravidla označovány znaky z počátku abecedy, tj. a, b, c, ..., zatímco pro vektory budeme užívat znaky z konce, u, v, w, x, y, z. Přitom ještě navíc většinou x, y, z budou opravdu n-tice skalárů. Pro úplnost výčtu, písmena z prostředka, např. i, j, k, i budou nejčastěji označovat indexy výrazů. Abychom se trochu pocvičili ve formálním postupu, ověříme jednoduché vlastnosti vektorů, které pro rc-tice skalárů byly samozřejmé, nicméně teďje musíme odvodit z axiomů. ii) Ano. Jedná se o prostor dimenze 99 (odpovídá počtu volných parametrů řešení). Obecně je tvoří množina řešení libovolné homogenní soustavy lineárních rovnic vektorový prostor. iii) Ne. Např. dvojnásobek řešení x\ = 1, x; = 0, z = 2, ... 100 není řešením dané rovnice. Množina řešení však tvoří tzv. afinní prostor (viz (??)). iv) Ano. Množina všech reálných, resp. komplexních, posloupností tvoří zřejmě reálný, resp. komplexní, vektorový prostor. Sčítání posloupností a násobení posloupnosti skalárem je totiž definováno člen po členu, kde se jedná o vektorový prostor reálných, resp. komplexních, čísel. v) Ano. Abychom ukázali, že množina posloupností vyhovujících dané diferenční homogenní rovnici tvoří vektorový prostor, stačí ukázat, že je uzavřená vzhledem ke sčítání i násobení reálným číslem (neboť se jedná o podmnožinu vektorového prostoru) mějme posloupnosti (x/)°^0 a (y/)^0 vyhovující stejné homogenní diferenční rovnici, tedy <^nxn+k + ^n-lxn+k-l + • • • + <^0xk = 0 anyn+k + an-iyn+k-i + ■ ■ ■ + aoyk = 0. Sečtením těchto rovnic dostaneme a„(xn+k + yn+k) + an-i(xn+k-i + y„+k-\) H-----h a0(xk + yk) = 0, tedy i posloupnost (xj + y/)^0' vyhovuje stejné diferenční rovnici. Rovněž tak pokud posloupnost (xj)^0 vyhovuje dané rovnici, tak i posloupnost (iíij)"0, kde ueK. vi) Ne. Součet dvou řešení nehomogenní rovnice anxn+k + an-\xn+k-\ + ' ' ' + a0xk = c a„y„+k + a„_iy„+i_i H-----h a0yk = c, c e R - {0} vyhovuje rovnici an(xn+k + yn+k) + an-l(xn+k-l + yn+k-l) + • • • + do(xk + y k) = 2<ľ, zejména pak nevyhovuje původní nehomogenní rovnici. Množina řešení však tvoří afinní prostor, viz 4.1. vii) Je to vektorový prostor právě, když c = 0. Vezme-li dvě funkce / ag zdané množiny, pak (f+g)(l) = (f+g)(2) = f (1) + g(l) = 2c. Má-li funkce f + g být prvkem dané množiny, musí být (/ + g)(l) = c, tedy 2c = c, tedy c = 0. □ 89 F. LINEÁRNI ZÁVISLOST A NEZÁVISLOST, BAZE 3. VEKTOROVÉ PROSTORY A LINEÁRNI ZOBRAZENI 2.44. Zjistěte, zda je množina | 2 .17a U1 = {(x1,x2,x3) sR3; | jci | = \x2\ = \x3\] podprostorem vektorového prostoru R3 a množina U2 = {ax2 + c; a, c e R} podprostorem prostoru polynomů stupně nejvýše 2. Řešení. Množina U\ není vektorovým (pod)prostorem. Vidíme např., že je (1,1,1) + (-1,1,1) = (0,2,2) £ ř/i. Množina U2 ovšem podprostor tvoří (nabízí se přirozené ztotožnění s R2), protože {a\x2 + ci) + (a2x2 + c2) = (ax + a2) x2 + (ci + c2), k ■ (ax2 + c) = (ka) x2 + kc pro všechna čísla a\,c\, a2, c2, a, c, k e R. □ 2.45. Je množina ľ = {(l,i);iel)s operacemi © : V x V -» V, (1, y) © (1, z) = (1, z + y) pravšechna O : R x V -» V, z O (1, v) = (1, y ■ z) pro všechna vektorovým prostorem? F. Lineární závislost a nezávislost, báze 2.46. Výpočtem determinantu vhodné matice rozhodněte o lineární nezávislosti vektorů (1,2,3,1), (1,0,-1,1), (2,1,-1,3) a (0, 0, 3, 2). Řešení. Protože 2 . 17a 12 3 1 10-11 2 1-13 0 0 3 2 uvedené vektory jsou lineárně nezávislé 10 ^0, □ 2.47. Nechťjsou dány libovolné lineárně nezávislé vektory u, v, w, z ve vektorovém prostoru V. Rozhodněte, zda jsou ve V lineárně závislé, či nezávislé, vektory u — Iv, 3u + w — z, u — 4v + w + 2z, 4v + Sw + 4z. Řešení. Uvažované vektory jsou lineárně nezávislé právě tehdy, když jsou lineárně nezávislé vektory (1,-2,0,0), (3,0,1,-1), (1, -4, 1, 2), (0, 4, 8, 4) v R4. Je však 1-200 3 0 1-1 1-412 0 4 8 4 2.25. Tvrzení. Nechť V je vektorový prostor nad polem skalárů K, dále uvažme a, b, at e K, vektory u, v, u j e V. Potom (1) a ■ u = 0, právě když a = 0 nebo u = 0, (2) (— 1) - u = —u, (3) a ■ (u — v) = a ■ u — a ■ v, (4) (a — b) ■ u = a ■ u — b ■ u, (5) (YXi a,-) • (E7=i ui) = Eľ=i £7=iai' u>- Důkaz. Můžeme rozepsat (a + 0) • u a ■ u + 0 • u = a ■ u což podle axiomu (KG4) zaručuje 0 • u = 0. Nyní u + (-1) • u (V= (1 + (-1)) • u = 0 • u = 0 a odtud —u = (—1) • u. Dále (V2, V3) a ■ (u + (— 1) • v) = a ■ u + (—a) ■ v = a ■ u — a ■ v, což dokazuje (3). Platí (V2.V3) (a — b) ■ u = a ■ u + (—b) ■ u = a ■ u — b ■ u a tím je ověřeno (4). Vztah (5) plyne indukcí z (V2) a (VI). Zbývá(1): a-0 = a-(u—u) = a -u—a -u = 0, což spolu s prvním tvrzením tohoto důkazu ukazuje jednu implikaci. K opačné implikaci poprvé potřebujeme axiom pole pro skaláry a axiom (V4) pro vektorové prostory: je-li p-u=0a.p^0, pak u = 1 • u = (p~l ■ p) ■ u = p~l -0 = 0. □ 2.26. Lineární (ne)závislost. V odstavci 2.11 jsme pracovali s tzv. lineárními kombinacemi řádků matice. S obecnými vektory budeme zacházet zcela analogicky: j Lineární kombinace a nezávislost j» Výrazy tvaru a\ ■ v\ + ■ ■ ■ + ak ■ vk nazýváme lineární kombinace vektorů v\, ..., vk e V. Konečnou posloupnost vektorů v\, ..., vk nazveme lineárně nezávislou, jestliže jediná jejich nulová lineární kombinace je ta s nulovými koeficienty, tj. jestliže pro skaláry a\, ... ,ak e K platí a\-v\-\-----h ak ■ vk = 0 a2 ak = 0. -36 ^0, Je zjevné, že v nezávislé posloupnosti vektorů jsou všechny po dvou různé a nenulové. Množina vektorů M c V ve vektorovém prostoru V nad K se nazývá lineárně nezávislá, jestliže každá konečná &-tice vektorů v\, ..., vk e M je lineárně nezávislá. Množina M vektorů je lineárně závislá, jestliže není lineárně nezávislá. 90 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA Přímo z definice vyplývá, že neprázdná podmnožina M vektorů ve vektorovém prostoru nad polem skalárů K je závislá právě, když je jeden z jejích vektorů vyjádřitelný jako konečná lineární kombinace pomocí ostatních vektorů v M. Skutečně, alespoň jeden koeficient v příslušné nulové lineární kombinaci musí být nenulový a protože jsme nad polem skalárů, můžeme jím podělit a vyjádřit tak u něj stojící vektor pomocí ostatních. Každá podmnožina lineárně nezávislé množiny M je samozřejmě také lineárně nezávislá (požadujeme stejné podmínky na méně vektorů). Stejně snadno vidíme, že M c V je lineárně nezávislá právě tehdy, když každá konečná podmnožina v M je lineárně nezávislá. 2.27. Generátory a podprostory. Podmnožina M c V se nazývá vektorovým podprostorem jestliže spolu se zúženými operacemi sčítání a náso-__i§ bení skaláry je sama vektorovým prostorem. Tzn. požadujeme Vút, b € K, Vi;, w € M, a ■ v + b ■ w € M. Rozeberme si hned několik příkladů: Prostor m-tic skalárů W" se sčítáním a násobením po složkách je vektorový prostor nad M, ale také vektorový prostor nad Q. Např. pro m = 2, jsou vektory (1, 0), (0, 1) e M2 lineárně nezávislé, protože z a ■ (1,0) + b ■ (0, 1) = (0,0) plyne a = b = 0. Dále, vektory (1,0), (72, 0) e R2 jsou lineárně závislé nad M, protože 72 ■ (1,0) = (72, 0), ovšem nad Q jsou lineárně nezávislé! Nad M tedy tyto dva vektory „generují" jednorozměrný podprostor, zatímco nad Q je „větší". Polynomy stupně nejvýše m tvoří vektorový prostor Mm[x]. Polynomy můžeme chápat jako zobrazení / : M -» M a sčítání a násobení skaláry definujeme takto: (/ + g)(x) = f(x) + g(x), (a ■ f)(x) = a ■ f(x). Polynomy všech stupňů také tvoří vektorový prostor Mqo [x] a Mm[x] c M„[x] je vektorový podprostor pro všechna m < n < oo. Podprostory jsou také např. všechny sudé polynomy nebo liché polynomy, tj. polynomy splňující f(-x) = ±f(x). Úplně analogicky jako u polynomů můžeme definovat strukturu vektorového prostoru na množině všech zobrazení M -» M nebo všech zobrazení M -» V libovolné pevně zvolené množiny M do vektorového prostoru V. Protože podmínka v definici podprostoru obsahuje jjři pouze univerzální kvantifikátory, je jistě průnik podprostoru opět podprostor. Snadno to ověříme i přímo: Nechť W{, i e /, jsou vektorové podprostory ve V, Í'J 1 a, b e K, u, v e níe/W;-. Pak pro všechny i e /, a ■ u + b ■ v e W,■, to ale znamená, že a ■ u + b ■ v e níe/ W,■. tudíž jsou uvažované vektory lineárně nezávislé. □ 2.48. Určete všechny konstanty a e M takové, aby polynomy ax2 + x +2, —2x2 + ax + 3 a x2 + 2x + a byly lineárně závislé (ve vektorovém prostoru P3IXI, polynomů jedné proměnné stupně nejvýše 3 nad reálnými čísly). Řešení. V bázi 1, x, x2 jsou souřadnice zadaných vektorů (polynomů) následující: (a, 1, 2), (—2, a, 3), (1, 2, a). Polynomy budou lineárně závislé, právě když bude mít matice, jejíž řádky jsou tvořeny souřadnicemi zadaných vektorů menší hodnost, než je počet vektorů, v tomto případě tedy hodnost dvě a menší. V případě čtvercové matice nižší hodnost než je počet řádkuje ekvivalentní nulovosti determinantu dané matice. Podmíka na a tedy zní a 1 2 —2 a 3 1 2 a 0, tj. a bude kořenem polynomu a3 — 6a — 5 = (a + l)(a2 — a — 5), tj. úloha má tři řešení a\ = — 1, a2 3 = 1J7^". □ 2.49. Vektory (1,2,1), (-1,1,0), (0,1,1) jsou lineárně nezávislé, a proto z nich lze sestavit bázi M3. Každý trojrozměrný vektor je tak nějakou jejich lineární kombinací. Jakou jejich lineární kombinací je vektor (1, 1, 1)? 2.50. Vyjádřete vektor (5, 1, 11) jako lineární kombinaci vektorů (3, 2, 2), (2, 3, 1), (1,1, 3), tj. nalezněte čísla p, q,r e M, pro která je (5, 1, 11) = p (3, 2, 2) + q (2, 3, 1) + r (1, 1, 3). 2.51. Pro jaké hodnoty parametrů a, b, c e M jsou vektory (1, 1, a, 1), (1, b, 1, 1), (c, 1,1,1) lineárně závislé? 2.52. Nechť je dán vektorový prostor V a nějaká jeho báze složená z vektorů u, v, w, z. Zjistěte, zda jsou vektory u — 3v + z, v — 5w — z, 3w — lz, u — w + z lineárně (ne)závislé. 2.53. Doplňte vektory 1 — x2 + x3, 1 + x2 + x3, 1 — x — x3 na bázi prostoru polynomů stupně nejvýše 3. 91 F. LINEÁRNI ZÁVISLOST A NEZÁVISLOST, BAZE 3. VEKTOROVÉ PROSTORY A LINEÁRNI ZOBRAZENI 2.54. Tvoří matice 'l 0 \ (1 4 \ (-5 0\ íl -2N 1 -21' \0 -1J' \ 3 OJ' {O 3 bázi vektorového prostoru čtvercových dvourozměrných matic? Řešení. Uvedené čtyři matice jsou jako vektory v prostoru 2x2 matic lineárně nezávislé. Vyplývá to z toho, že matice / 1 1 —5 1 \ 0 4 0 -2 10 3 0 \-2 -10 3 / je tzv. regulární, což je mimochodem ekvivalentní livovolnému z ná-sledujích tvrzení: její hodnost je rovna rozměru;ze z ní pomocí řádkových elementárních transformací obdržet jednotkovou matici; existuje k ní matice inverzní; má nenulový determinant, roven 116; jí zadaná homogenní soustava lineárních rovnic má pouze nulové řešení; každý nehomogenní lineární systém s levou stranou určenou touto maticí má právě jedno řešení; obor hodnot lineárního zobrazení, jež zadává, je vektorový prostor dimenze 4; toto zobrazení je injektivní). □ 2.55. Uvažme komplexní čísla C jako reálný vektorový prostor. Určete souřadnice čísla 2 + i v bázi dané kořeny polynomu x2+x + l. 2.56. Uvažme komplexní čísla C jako reálný vektorový prostor. Určete souřadnice čísla 2 + i v bázi dané kořeny polynomu x2 — x +1. 2.57. V M3 jsou dány podprostory U a V generované po řadě vektory (1, 1, -3), (1, 2, 2) a (1,1,-1), (1, 2, 1), (1, 3, 3) I2'19 Nalezněte průnik těchto podprostorů. Řešení. Podprostor V má dimenzi pouze 2 (nejedná se tedy o celý prostor M3), neboť 1 1 -1 1 1 1 1 2 1 = 1 2 3 1 3 3 -1 1 3 0 a neboť libovolná dvojice z uvažovaných třech vektorů je očividně lineárně nezávislá. Stejně snadno vidíme, že také podprostor U má dimenzi 2. Současně je 111 1 2 1=2^0, -3 2 -1 a proto vektor (1, 1, — 1) nemůže náležet do podprostorů U. Průnikem rovin procházejících počátkem (dvojrozměrných podprostorů) v trojrozměrném prostoru musí být alespoň přímka. V našem případu je jím právě přímka (podprostory nejsou totožné). Určili jsme dimenzi průniku - je jednodimenzionální. Všimneme-li si, že 1 •(!, 1, -3)+2- (1,2,2) = (3,5, 1) = 1 • (1, 1, -1) +2 • (1,2, 1), Zejména je tedy podprostorem průnik (M) všech podprostorů W C V, které obsahují předem danou množinu vektorů M c V. Říkáme, že množina M generuje podprostor (M), nebo že prvky M jsou generátory podprostorů (M). Zformulujme opět několik jednoduchých tvrzení o generování podprostorů: Tvrzení. Pro každou neprázdnou podmnožinu M C V platí (1) (M) = {«i •«!+••• + ak ■ uk; k e N, at e K, u j e M, j = 1,...,*}; (2) M = (M), právě když M je vektorový podprostor; (3) jestliže N C M, pak (N) C (M) je vektorový podprostor. Podprostor (0) generovaný prázdnou podmnožinou je triviálni podprostor {0} C V. Důkaz. (1) Množina všech lineárních kombinací ci\U\ + • • • + akuk na pravé straně (1) je jistě vektorový podprostor a samozřejmě obsahuje M. Naopak, každá z jednotlivých lineárních kombinací nutně musí být v (M) a první tvrzení je dokázáno. Tvrzení (2) vyplývá okamžitě z (1) a z definice vektorového podprostorů a obdobně je z prvního tvrzení zřejmé i tvrzení třetí. Konečně, nejmenší vektorový podprostor je {0}, protože prázdnou množinu obsahují všechny podprostory a každý z nich obsahuje vektor 0. □ 2.28. Součty podprostorů. Když už máme představu o generátorech a jimi vytvářených podprostorech, měli bychom rozumět i možnostem, jak několik podprostorů může vytvářet celý vektorový prostor V. j Součty podprostorů | Nechť Vi, i e I, jsou podprostory ve V. Pak podprostor generovaný jejich sjednocením, tj. (U;e/V,), nazýváme součtem podprostorů V,. Značíme ^i e/ V,. Zejména pro konečný počet podprostorů V\, ..., Vk C V píšeme Vi + --- + Vjt = (ViUV2U-UVt>. i Vidíme, že každý prvek v uvažovaném součtu podprostorů můžeme vyjádřitjako lineární kombinaci vektorů zpod-prostorů V i. Protože však je sčítání vektorů komutativní, lze k sobě poskládat členy patřící do stejného podprostorů a pro konečný součet k podprostorů tak dostáváme Vi + V2 + ■ ■ ■ + Vk = {vi + ■ ■ ■ + vk; ví € Ví, i = 1, Součet W = V\ + • • • + Vk C V se nazývá přímý součet podprostorů, jsou-li průniky všech dvojic triviální, tj. V, D Vj = {0} pro všechny i ^ j. Ukážeme, že v takovém případě 92 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA lze každý vektor w e W napsat právě jedním způsobem jako součet w = vi -\-----\-vk, kde V{ e V,. Skutečně, pokud by tento vektor šlo zároveň vyjádřit, jako w = v[ + ■ ■ ■ + v'k, potom 0 = w - w = (vi - v[) H-----\-(vk- v'k). Pokud bude vt — v[ první nenulový člen na pravé straně, pak tento vektor z Vt umíme vyjádřit pomocí vektorů z ostatních podprostorů. To je ale ve sporu s předpokladem, že Vt má se všemi ostatními nulový průnik. Jedinou možností tedy je, že všechny vektory na pravé straně jsou nulové a tedy je rozklad wjednoznačný. Pro přímé součty podprostorů píšeme w = v. Vt. 2 .19a 2.29. Báze. Nyní máme vše připravené pro pochopení minimálních množin generátorů tak, jak j sme se s nimi vypořádali v rovině M2. báze vektorových prostorů [ Podmnožina M c V se nazývá báze vektorového prostoru V, jestliže (M) = V a M je lineárně nezávislá. Vektorový prostor, který má konečnou bázi nazýváme konečněrozměrný, počet prvků báze nazýváme dimenzí V. Nemá-li V konečnou bázi, říkáme, že V je nekonečněroz-měrný. Píšeme dim V = k, k e N, případně k = oo. Abychom s takovou definicí dimenze mohli být spoko- jeni, potřebujeme \ěděi,mň^S^tházĚi^^m± storu budou mít vždy stejný počet prvků. 1b sku-tečně brzy dokážeme. Všimněme si hned, že triviální podprostor je generován prázdnou množinou, která je „prázdnou" bazí. Má tedy triviální podprostor dimenzi nulovou. Bázi &-rozměrného prostoru budeme obvykle zapisovat jako &-tici v_ = (vi ..., vk) bázových vektorů. Jde tu především o zavedení konvence: U konečněrozměrných podprostorů budeme totiž vždy uvažovat bázi včetně zadaného pořadí prvků i když jsme to takto, striktně vzato, nedefinovali. Zjevně, je-li (vi, ..., vn) bazí V, je celý prostor V přímým součtem jednorozměrných podprostorů V = (Vl) (vn). Okamžitým důsledkem výše odvozené jednoznačnosti rozkladu jakéhokoliv vektoru ve V do komponent v přímém součtu dává jednoznačné vyjádření w X\V\ + ■ ■ ■ + xnvn a dovoluje nám tedy po volbě báze opět vidět vektory jako n-tice skalárů. K tomuto pohledu se vrátíme v zápětí v odstavci 2.33, jak jen dokončíme diskusi existence bazí a součtů podprostorů v obecné poloze. dostáváme vyjádření hledaného průniku ve tvaru množiny všech skalárních násobků vektoru (3, 5, 1) (jedná se o přímku procházející počátkem s tímto směrovým vektorem). □ 2.58. Stanovte vektorový podprostor (prostoru M4) generovaný vektory m = (-1, 3, -2, 1), u2 = (2, -1,-1, 2), u3 = (-4, 7, -3, 0), u4 = (1, 5, —5, 4). vybráním nějaké maximální množiny lineárně nezávislých vektorů w; (tj. vybráním báze). Řešení. Sepíšeme vektory w; do sloupců matice a obdrženou matici upravíme pomocí řádkových elementárních transformací. Takto získáme (-1 2 -4 !\ 2 0 4\ n 2 0 3 -1 7 5 -1 2 -4 1 0 4 - 4 5 -2 -1 -3 - -5 3 -1 7 5 0 -7 7 -7 V i 2 0 4/ -1 -3 \o 3 - 3 /l 2 0 4\ 2 0 4 \ n 0 2 0 1 -1 5/4 0 1 -1 5/4 0 1 -1 0 0 1 -1 1 0 0 0 -1/4 0 0 0 1 \o 0 0 0 ) \o 0 0 0 ) \o 0 0 (V Odtud vyplývá, že lineárně nezávislejšou právě vektory tj. právě ty vektory odpovídající sloupcům, které obsahují první nenulové číslo nějakého řádku. Navíc odsud plyne (viz třetí sloupec) 2 • (-1, 3, -2, 1) - (2, -1,-1,2) = (-4, 7, -3, 0). □ G. Lineární zobrazení Jak popsat analyticky shodná zobrazení v rovině či prostoru jako je rotace, osová symetrie či zrcadlení, nebo projekci třírozměrného prostoru na dvojrozměrné plátno? Jak popsat zvětšení obrázku? Co mají společného? Jsou to všechno lineární zobrazení. Znamená to, že zachovávají jistou strukturu roviny či prostoru. Jakou strukturu? Strukturu vektorového prostoru. Každý bod v rovině je popsán dvěma v prostoru pak třema souřadnicemi. Pokud zvolíme počátek souřadnic, tak má smysl mluvit o tom, že nějaký bod je dvakrát dál od počátku stejným směrem než jiný bod. Také víme, kam se dostaneme, posuneme-li se o nějaký úsek v jistém směru a pak o jiný úsek v jiném směru. Tyto vlastnosti můžeme zformalizovat, hovoříme-li o vektorech v rovině, či prostoru a o jejich násobcích, či součtech. Lineární zobrazení má pak tu vlastnost, že obraz součtu vektorů je součet obrazů sčítaných vektorů a obraz násobku vektoru je ten stejný násobek obrazu násobeného vektoru. Tyto vlastnosti právě mají zobrazení zmíněná v úvodu tohoto odstavce. Takové zobrazení je pak jednoznačně určeno tím, jak se chová na vektrorech nějaké báze (to je v rovině obrazem dvou vektorů neležících na přímce, v prostoru obrazem tří vektorů neležích v rovině). 93 G. LINEÁRNÍ ZOBRAZENÍ 3. VEKTOROVÉ PROSTORY A LINEÁRNÍ ZOBRAZENÍ A jak tedy zapsat nějaké lineární zobrazení / na vektorovéi)i2pr2)9 storu V7? Začněme pro jednoduchost s rovinou M2: předpokládejme, že obraz bodu (vektoru) (1, 0) je (a, b) a obraz bodu (0, 1) je (c, d). Tím už je jednoznačně určený obraz libovolného bodu o souřadnicích (u, v): f((u, v)) = f(u(\, 0) + i,(0, 1)) = uf(\, 0) + u/(l, 0) = (ua, ub) + (vc, vd) = (au + cv, bu + dv), což můžeme výhodně zapsat následujícím způsobem: a c\ í u b d j [v au + cv bu + dv Lineární je tedy zobrazení jednoznačně dané maticí. Navíc pokud (e f\ máme další lineární zobrazení g, dané maticí . , tak snadno \8 hj spočítáme (čtenář si jistě ze zájmu sám ověří), že jejich složení g o f , fae + fc be + df i e dáno maticí . , , „ y ag + ch bg + dh To nás vede k tomu, abychom násobení matic definovali tímto způsobem, tedy aby aby aplikace zobrazení na vektor byla dána maticovým násobením matice zobrazení se zobrazovaným vektorem a aby složení zobrazení bylo dáno součinem matic jednotlivých zobrazení. Obdobně to funguje v prostorech vyšší dimenze. Zároveň tato úvaha znovu ukazuje to, co již bylo dokázáno v (2.5), totiž že násobení matic je asociativní, ale není komutativní, neboť tomu tak je u skládání zobrazení. To je tedy další z motivací, proč se zabývat vektorovými prostory a proč je s pojmem vektorového 2.59. Popišme si nejprve některá lineární zobrazení. Začneme několika příklady v prostorech malých dimenzí. Ve standardní bázi M2 uvažujme následující matice zobrazení / : M2 -» M2: 1 0 0 0 B 0 1 0 0 c a 0 0 b D 0 -1 1 0 Matice A zadává kolmou projekci podél podprostoru W C {(0,a); fl e Kj c l2 na podprostor V c {(a, 0); íiel)c M2. Evidentně pro toto zobrazení / : M2 -» M2 platí / o / = / a tedy /lim / je identické zobrazení. Jádrem / je právě podprostor W. Matice B má vlastnost B2 = 0, platí tedy totéž o příslušném zobrazení /. Můžeme si jej představit jako matici derivování polynomů Mi[jc] stupně nejvýše jedna v bázi (1, x). Matice C zadává zobrazení /, které první vektor báze zvětší a-krát, druhý Ŕ-krát. Tady se nám tedy celá rovina rozpadá na dva pod-prostory, které jsou zobrazením / zachovány a ve kterých jde o pouhou homotetii, tj. roztažení skalárním násobkem. Např. volba a = 1, 2.30. Věta. Z libovolné konečné množiny generátorů vektorového prostoru V lze vybrat bázi. Každá báze koenčněroz-měrného prostoru V má přitom stejný počet prvků. Důkaz. První tvrzení ukážeme snadno indukcí přes počet generátorů k. Jedině nulový podprostor nepotřebuje žádný generátor a tedy umíme vybrat prázdnou bázi. Naopak, ^ nulový vektor vybrat nesmíme (generátory by byly lineárně závislé) a nic jiného už v podprostoru není. Abychom měli indukční krok přirozenější, probereme ještě přímo případ k = 1. Máme V = ({v}) au 7^ 0, protože {v} je lineárně nezávislá množina vektorů. Pak je ovšem {v} zároveň báze vektorového prostoru V. Předpokládejme, že tvrzení platí pro k = n, a uvažme V = (i>i, ..., vn+i). Jsou-li v\, ..., vn+i lineárně nezávislé, pak tvoří bázi. V opačném případě existuje index i takový, že a\V\ + • • • + cii- + lvi + l H-----h an +if«+i- Pak ovšem V = (v\, ..., u;_i, vi+\, ..., vn+\) a již umíme vybrat bázi (podle indukčního předpokladu). Zbývá ověřit, že báze mají vždy stejný počet prvků. Uvažujme bázi (v\, ..., vn) prostoru V a libovolný nenulový vektor u = a\V\ + s at 7^ 0 pro jisté i. Pak + a„v„ e V 1 / — (u ai (a\V\ H-----\-cii-1Vi-1 +ai+ivi+i -\-----\-a„vn)) a proto také (u,v\, ..., vi+\, ..., v„) = V. Ověříme, že je to opět báze: Kdyby přidáním u k lineárně nezávislým vektorům v\, ..., t>;_i, vi+\, ..., v„ vznikly lineárně závislé vektory, pak by u bylo jejich lineární kombinací. To by znamenalo V = (vu ..., Ui-i, vi+1, ...,vn), což není možné. Takže jsme dokázali, že pro libovolný nenulový vektor u e V existuje i, 1 < i < n, takové, že (u, v\, ..., Vi-i, vi+\, ..., v„) je opět báze V. Dále budeme místo jednoho vektoru u uvažovat lineárně nezávislou množinu u\, ..., uk a budeme postupně přidávat u 1, u2, ..., vždy výměnou za vhodné vt podle předchozího postupu. Musíme přitom ověřit, že takové vt vždy bude existovat (tj. že se nebudou vektory u vyměňovat vzájemně). Předpokládejme tedy, že již máme umístěné u\, ...,U(_. Pak se ui+i jistě vyjádří jako lineární kombinace těchto vektorů a zbylých Vj. Pokud by pouze koeficienty u«i,...,«ť byly nenulové, znamenalo by to, že již samy vektory u 1, ..., uí+i byly lineárně závislé, což je ve sporu s našimi předpoklady. Pro každé k < n tak po k krocích získáme bázi ve které z původní báze došlo k výměně k vektorů za nové. Pokud by k > n, pak již v n-tém kroku obdržíme bázi vybranou z 94 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA 2.20a nových vektorů ut, což znamená, že tyto nemohou být lineárně nezávislé. Zejména tedy není možné, aby dvě báze měly různý počet prvků. □ Ve skutečnosti jsme dokázali silnější tvrzení, tzv. Steinit-zovu větu o výměně, která říká, že pro každou konečnou bázi v a každý systém lineárně nezávislých vektorů ve V umíme najít podmnožinu bázových vektorů t>;, po jejichž záměně za zadané nové vektory opět dostaneme bázi. 2.31. Důsledky Steinitzovy věty o výměně. Díky možnosti volně volit a vyměňovat bázové vektory můžeme okamžitě dovodit pěkné (a intuitivně snad také očekávané) vlastnosti bazí vektorových prostorů: Tvrzení. (1) Každé dvě báze konečněrozměrného vektorového prostoru mají stejný počet vektorů, tzn. že naše definice dimenze nezávisí na volbě báze. (2) Má-li V konečnou bázi, lze každou lineárně nezávislou množinu doplnit do báze. (3) Báze konečněrozměrných vektorových prostorů jsou právě maximální lineárně nezávislé množiny. (4) Báze prostoru s konečnou dimenzí jsou právě minimální množiny generátorů. Malinko složitější, ale nyní snadno zvládnutelná, je situace kolem dimenzí podprostorů a jejich součtů: Důsledek. Nechť W,Wi,W2 C V jsou podprostory v prostoru V konečné dimenze. Pak platí (1) dim W < dim V, (2) V = W, právě když dim V = dim W, (3) dim Wi + dim W2 = dim(Wi + W2) + dim(Wi n W2). Důkaz. Zbývá dokázat pouze poslední tvrzení. To je zřejmé, pokud je dimenze jednoho z prostorů nulová. Předpokládejme tedy dim W\ = r > 1, dim W2 = s > 1 a nechť (wi ..., wt) je báze Wi n W2 (nebo prázdná množina, pokud je průnik triviální). Podle Steinitzovy věty o výměně lze tuto bázi průniku doplnit na bázi (wi, ... ,wt, ut+i ..., ur) pro W\ a na bázi (wi ..., wt, vt+i, ..., vs) pro W2. Vektory W\, Wt, Ut+1 . ur, vt+\ ...,vs jistě generují W\ + W2. Ukážeme, že jsou přitom lineárně nezávislé. Nechť tedy a\Wi + Pak nutně + atwt + bt+iUt+i + ... ----\-brur +ct+ivt+i + + csvs (ct+i ■ vt+i H-----h cs ■ vs) = = at ■ wi H-----h at ■ wt + bt+i ■ ut+i + b = — 1 odpovídá komplexní konjugaci x + iy \-> x — iy na dvourozměrném reálném prostoru M2 ~ C v bázi (1,0- Toto je lineární zobrazení reálného vektorového prostoru, nikoliv však jednorozměrného komplexního prostoru C. V geometrii roviny jde o zrcadlení podle osy x. Matice D je maticí rotace o pravý úhel ve standardní bázi. Jako pro každé lineární zobrazení, které je bijekcí, umíme najít báze na definičním oboru a oboru hodnot, ve kterých bude jeho maticí jednotková matice E (prostě vezmeme jakoukoliv bázi na definičním oboru a její obraz na oboru hodnot). Neumíme ale v tomto případě totéž s jednou bází na začátku i konci. Zkusme však uvažovat matici C jako matici zobrazení g : C2 -> C2. Pak umíme najít vektory u = (i, 1), v = pro které bude platit s(M) = (í "o1)'(0=r'M' *(w) = (i "o1) ' 0) = ' To ale znamená, že v bázi (u, v) na C2 má g matici i 0 v0 -i a povšimněme si, že tato komplexní analogie k případu matice C má na diagonále prvky ±a, a = cos(^7r)+/ sin(j7r). Jinými slovy, argument v goniometrickém tvaru tohoto komplexního čísla udává úhel otočení. Navíc, můžeme si označit reálnou a imaginární část vektoru u takto K u = xu + iyu = Re u -\- i Im u + i + br ■ ur a zúžení komplexního zobrazení g na reálný vektorový podprostor generovaný vektory xu az'y„ (tj. násobení komplexní jednotkou z')jeprávě otočení o úhel ^n. Nyní zkusme přejít do lineárních zobrazení z M3 do M3. Jedním z nich je například rotace. 2.60. Nalezněte matici rotace v kladném smyslu o úhel jt/3 kolem přímky procházející počátkem s orientovaným směrovým vektorem (1, 1, 0) ve standardní bázi M3. Řešení. Uvedené otočení lze získat složením po řadě těchto tří zobrazení: • rotace o jt/4 v záporném smyslu podle osy z (osa rotace přejde na osu x); • rotace o jt/3 v kladném smyslu podle osy x; • rotace o jt/4 v kladném smyslu podle osy z (osa x přejde na osu rotace). Matice výsledné rotace bude součinem matic odpovídajících uvedeným třem zobrazením, přičemž pořadí matic je dáno pořadím provádění jednotlivých zobrazení - prvnímu zobrazení odpovídá v součinu 95 G. LINEÁRNÍ ZOBRAZENÍ 3. VEKTOROVÉ PROSTORY A LINEÁRNÍ ZOBRAZENÍ matice nejvíce napravo. Takto dostaneme hledanou matici /VI V V2 2 2 vJ vJ 2 2 0 o o V íi o o o \ V5 / vi v VJ q\ 2 2 U " VJ 2 0 VJ 2 o / 3 4 J_ 4 v- Vě 4 4 3 4 Vň 4 VŠ \ 4 _ Vě 4 Í / Uvědomme si, že výslednou rotaci bylo možné získat např také 2.21 složením následujících tří zobrazení: - • rotace o jt/4 v kladném smyslu podle osy z (osa rotace přejde na osu y); • rotace o jt/3 v kladném smyslu podle osy y; • rotace o jt/4 v záporném smyslu podle osy z (osa y přejde na osu rotace). Analogicky tak dostáváme /V2 _V2 2 V2 2 V2 2 2 \0 0 2.22 □ 2.61. Matice obecné rotace v M3. Ve vedlejším sloupci umí kolega v M3 popsat pouze matice rotace kolem souřadnicových os. V tomto sloupci umíme odvodit i matici obecné rotace v M3. Úvahu z předchozího příkladu totiž můžeme provést i s obecnými hodnotami. Uvažme libovolný jednotkový vektor (x, y, z). Rotace v kladném smyslu o úhel cp kolem tohoto vektoru pak můžeme zapsat jako složení následujících rotací, jejichž matice již známe: i) rotace 1Z\ v záporném smyslu kolem osy z o úhel s kosinem x/^Jx2 + y2 = je/Vl — z2, tedy sinem y/Vl — z2, ve které přejde přímka se směrovým vektorem (x, y, z) na přímku se směrovým vektorem (0, y, z). Matice této rotace je ii) rotace 7^2 v kladném smyslu podle osy y o úhel s kosinem Vl — z2, tedy sinem z, ve které přejde přímka se směrovým vektorem (0, y, z) na přímku se směrovým vektorem musí patřit do W2 n W\. To ale má za následek, že bt+1 = ■■■ = br = 0, protože tak jsem doplňovali naše báze. Pak ovšem i ai ■ wi H-----h at ■ wt + ct+í ■ vt+í H-----h cs ■ v 0 a, protože příslušné vektory tvoří bázi W2, jsou všechny koeficienty nulové. Tvrzení (3) nyní vyplývá z přímého přepočítání generátorů. □ 2.32. Příklady. (1) K" má (jako vektorový prostor nad K) dimenzi n. Bazí je např. «-tice vektorů ((1,0, ...,0), (0, 1, ...,0)...,(0, ...,0, 1)). Tuto bázi nazýváme standardní báze v W. Všimněme si, že případě konečného pole skalárů, např. Z^, má celý vektorový prostor W jen konečný počet k" prvků. (2) C jako vektorový prostor nad M má dimenzi 2, bázi tvoří např. čísla 1 a i. (3) Km[jc], tj. prostor polynomů stupně nejvýše m, má dimenzi m + 1, bazí je např. posloupnost 1, x, x2, ..., x™. Vektorový prostor všech polynomů K[x] má dimenzi 00, umíme však ještě stále najít bázi (i když s nekonečně mnoha prvky): 1, x, x2, .... (4) Vektorový prostor M nad Q má dimenzi 00 a nemá spočetnou bázi. (5) Vektorový prostor všech zobrazení / : M -> M má také dimenzi 00 a nemá spočetnou bázi. 2.33. Souřadnice vektorů. Jestliže pevně zvolíme bázi (vi, ..., vn) konečněrozměrného prostoru V, pak můžeme každý vektor w e V vyjádřit jako |KtO% lineární kombinaci v = a\V\ + ■ ■ ■ + anvn. 'ftir*~t~^~ Předpokládejme, že to uděláme dvěma způsoby: w = a\V\ + • • • + anvn = b\V\ + ■ ■ ■ + bnvn. Potom ale 0 = (ai - b]) ■ vi H-----\-(a„ - b„) ■ v„ a proto a{ = b{ pro všechna i = 1. Dospěli jsme proto k závěru: V konečněrozměrném vektorovém prostoru lze každý vektor zadat právě jediným způsobem jako lineární kombinaci bázových vektorů. Koeficienty této jediné lineární kombinace vyjadřující daný vektor w e V ve zvolené bázi v = (vi, ..., v„) se nazývají souřadnice vektoru w v této bázi. Kdykoliv budeme mluvit o souřadnicích (a\, ... ,an) vektoru w, které vyjadřujeme jako posloupnost, musíme mít pevně zvolenu i posloupnost bázových vektorů y_ = (v\, ..., vn). Jakkoliv jsme tedy báze zavedli jako minimální množiny generátorů, ve skutečnosti s nimi budeme pracovat 96 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA jako s posloupnostmi (tedy s uspořádanými množinami, kde je pevně zadáno pořadí bázových prvků). přiřazení souřadnic vektorům (1, 0, 0). Matice této rotace je Přiřazení, které vektoru u = a\Vi + ■ ■ ■ + a„v„ přiřadí jeho souřadnice v bázi y_, budeme značit stejným symbolem v : V -» K". Má tyto vlastnosti: (1) v(u + w) = v(u) + v(w); Vw, w e V, (2) v(a ■ u) = a ■ v(u); Va eK,V« e V. 2.23 M- Všimněme si, že operace na levých a pravých stranách těchto rovnic nejsou totožné, naopak, jde o operace na různých vektorových prostorech! Při této příležitosti se také můžeme zamyslet nad obecným případem báze M (možná nekonečněrozměrného) prostoru V. Báze pak nemusí být spočetná, pořád ale ještě můžeme definovat zobrazení M : V -vektoru jsou zobrazení z M do K). Uvedené vlastnosti přiřazení souřadnic jsme viděli už dříve u zobrazení, kterým jsme v geometrii roviny říkali lineární (zachovávaly naši lineární strukturu v rovině). Než se budeme věnovat podrobněji závislosti souřadnic na volbě báze, podíváme se obecněji na pojem linearity zobrazení. 2.34. Lineární zobrazení. Pro jakékoliv vektorové prostory (konečné i nekonečné dimenze), definujeme „linearitu" zobrazení mezi prostory z. obdobně, jako jsme to viděli již v rovině M2: Definice lineárních zobrazení Nechť V a W jsou vektorové prostory nad týmž polem skalárů K. Zahrazení f : V -» W se nazývá lineární zobrazení (homomorfismus) jestliže platí: (1) f(u + v) = f(u) + f(v), Vu,veV (2) f(a ■ u) = a ■ f(u), Va ěK,¥uě V. Samozřejmě, že jsme taková zobrazení již viděli ve formě násobení matic: s maticí typu m /n nad K. Obraz Im/ := f (V) C W je vždy vektorový podpro-stor, protože lineární kombinace obrazů /(«/) je obrazem lineární kombinace vektorů u{ se stejnými koeficienty. Stejně tak je vektorovým podprostorem množina všech vektorů Ker/ := /_1({0}) C V, protože lineární kombinace nulových obrazů bude vždy zase nulovým vektorem. Podprostor Ker / se nazývá jádro lineárního zobrazení f. Lineární zobrazení, které je bijekcí nazýváme izomorfis-mus. Podobně jako u abstraktní definice vektorových prostorů, opět je třeba ověřit zdánlivě samozřejmá tvrzení vyplývající z axiomů: Tvrzení. Nechť f : V —> W je lineární zobrazení mezi libovolnými vektorovými prostory nad týmž polem skalárů K. Pro iii) rotace 1Z3 v kladném smyslu kolem osy x o úhel

+ (1 — cos ^x2 (1 — cos (p)xy — z sin q> (1 — cos (p)xz + y sirup yx(l — cos cp) + z sincp cos cp + (1 — cos qýy2 (1 — cos cp)yz — x sincp zx(l — coscp) — y sincp (1 — cos cp)zy + x sincp cos cp + (1 — cos cp)z2 ve standardní bázi násle- 2.62. Je dáno lineární zobrazení M3 dujicí maticí: '\ -1 0> 0 1 1 v2 0 0> Napište matici tohoto zobrazení v bázi (/i,/2,/3) = ((1,1,0), (-1,1,1), (2,0, 1)). Řešení. Matice přechodu T od báze / = (/i, f2, f3) k standardní bázi, tj. bázi danou vektory (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), získáme podle Tvrzení 2.25 zapsáním souřadnic vektorů f\, f2, j3 ve standardní bázi do sloupců matice přechodu T. Máme tedy Matice přechodu od standardní báze k bázi / je potom Matice zobrazení v bázi / je potom T~lAT 2 0 □ 97 G. LINEÁRNÍ ZOBRAZENÍ 3. VEKTOROVÉ PROSTORY A LINEÁRNÍ ZOBRAZENÍ 2.63. Uvažme vektorový prostor mnohočlenů jedné neznámé stupně nejvýše 2 s reálnými koeficienty. V tomto prostoru uvažme bázi 1, x, x2. Napište matici zobrazení derivace v této bázi a také v bázi 1 + x2, x, x + x2. /O 1 0\ /O 1 1 Řešení. 0 0 2,2 1 3|. □ \0 0 0/ \0 -1 -1 2.64. Ve standardní bázi v M3 určete matici rotace o 90° v kladném smyslu kolem přímky (ŕ, t, t), t e M, orientované ve směru vektoru (1, 1, 1). Dále určete matici této rotace v bázi £=((1,1,0), (1,0,-1), (0,1,1)). Řešení. Snadno určíme matici uvažované rotace a to ve vhodné bázi, totiž v bázi dané směrovým vektorem přímky a dále dvěma navzájem kolmými vektory v rovině x + y + z = 0, tedy v rovině vektorů kolmých k vektoru (1, 1, 1). Uvědomme si, že matice rotace v kladném smyslu o 90° v nějaké ortonormální bázi v M2 je 0 -1 1 0 , v orto- gonální s velikostmi vekorů k, l potom 0 -k/l 2.24 . Zvolíme-li v Kl/k 0 rovině x + y + z = 0 kolmé vektory (1, — 1, 0) a (1, 1, —2) o velikostech V2 a y/6, tak v bázi / = ((1, 1, 1), (1, -1, 0), (1, 1, -2)) má /l 0 0 \ uvažovaná rotace matici I 0 0 — -v/3 I. Abychom získali ma- \0 1/V3 0 / tici uvažované rotace ve standardní bázi, stačí nám transformovat matici již známým způsobem. Matici přechodu t od báze / ke standardní dostaneme zapsáním souřadnic (ve standardní bázi) vektorů báze / do /i i i sloupců matice t: t = I 1 —1 1 \1 0 -2, matici R máme . Celkem tedy pro hledanou '1 0 (2.3) (2.4) R r-|o o -Vš\ t-1 vo 1/V3 o / 1/3 1/3 - V3/3 1/3 + V3/3\ 1/3 + V3/3 1/3 1/3 - V3/3 ,1/3-73/3 1/3 + V3/3 1/3 / Tento výsledek můžeme ověřit dosazením do matice obecné rotace (2.1), normováním vektoru (1, 1, 1) dostáváme vektor (x, y, z) = (1/V3, 1/V3, 1/V3), cos(cp) = 0, sm((p) = 1. □ 2.65. Matice obecné rotace podruhé. Zkusme odvodit matici (obecné) rotace (2.1) o úhel

Z dvou lineárních zobrazení / : V^Wag: W^Z)e opět lineární zobrazení. (2) Lineární zobrazení / : V -> W je izomorfismus, právě když Im / = W a Ker / = {0} C V. Inverzní zobrazení k izomorfismu je opět izomorfismus. (3) Pro libovolné podprostory V\, Vj C V a lineární zobrazení / : V -> W platí /(Vi + V2) = /(V0 + f(V2), /(Vi n v2) c f (vo n f(v2). (4) Zobrazení „přiřazení souřadnic" u : V -> K" dané libovolně zvolenou bází u = (u\, ..., un) vektorového prostom V je izomorfismus. (5) Dva konečněrozměrné vektorové prostory jsou izomorfní právě když mají stejnou dimenzi. (6) Složení dvou izomorfismu je izomorfismus. Důkaz. Ověření prvního tvrzení je velmi snadné cvičení. Pro důkaz druhého si uvědomme, že je-li / Y^- lineární bijekce, pak je vektor w vzorem line-rání kombinace au +bv, tj. w = f~1(au+bv), právě když f(w) =au+bv = f (a ■ f-\u) + b ■ f~\v)). Je tedy také w = af~l(u) + bf~l(v) a tedy je inverze k lineární bijekci opět lineární zobrazení. Dále, / je surjektivní, právě když Im / = W a pokud Ker / = {0}, pak f(u) = f (v) zaručuje f(u — v) = 0, tj. u = v. Je tedy v tom případě / injektivní. 98 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA Další tvrzení se dokáže snadno přímo z definic. Najděte si protipříklad, že v dokazované inkluzi opravdu nemusí nastat rovnost! Zbý vaj ící body j sou j iž zřej mé. □ 2.36. Opět souřadnice. Uvažujme libovolné vektorové prostory V a W nad K s dim V = n, dim W = m a mějme lineární zobrazení / : V -» W. Pro každou u„) na V, v = (vi, v„) volbu bází u = (u\ V1 na W, máme k dispozici příslušná přiřazení souřad nic a celou situaci několika právě zmíněných zobrazení za chycuje následující diagram: Spodní šipka /„je definována zbylými třemi, tj. jako zobrazení jde o složení fu,v =vo f o u~l. Matice lineárního zobrazení Každé lineární zobrazení je jednoznačně určeno svými hodnotami na libovolné množině generátorů, zejména tedy na vektorech báze u. Označme f(ux) = a\\ ■ v\ + «21 • V2 H-----h amivm f(u2) = a12-v1+a22-v2-\-----h am2vm f(u„) — ai„ ■ vi + a2n ■ v2 + ■ ■ ■ + amnvm tj. skaláry tvoří matici A, kde sloupce jsou souřadnice hodnot f(uj) zobrazení / na bázových vektorech vyjádření v bázi v na cílovém prostoru W. Matici A = (ciij) nazýváme maticí zobrazení f v bázích u, v. Pro obecný vektor u = x\u\ + • • • + xnun e V spočteme (vzpomeňme, že sčítání vektorů je komutativní a distributivní vůči násobení skaláry) f(u) = xxfiux) H-----\-xnf(un) = x\{a\\V\-\- • ■+amivm) + ■ ■ ■ + x„(ai„vi+- ■ ■+amnvm) = (xiútn+- • ■+x„ai„)vi + ■ ■ ■ + (x\ami+- ■ ■+xnamn)vm. Pomocí násobení matic lze nyní velice snadno a přehledně zapsat hodnoty zobrazení /„„(w) definovaného jednoznačně předchozím diagramem. Připomeňme si, že vektory v Kr chápeme jako sloupce, tj. matice typu r/1 fu,v(u(w)) = v(f(w)) = A ■ u(w). Naopak, máme-li pevně zvoleny báze na V i W, pak každá volba matice A typu m/n zadává jednoznačně lineární zobrazení K" -> Km a tedy i zobrazení / : V -> W. Máme-li tedy zvoleny báze prostorů V a.W, odpovídá každé volbě matice typu m/n právě jedno lineární zobrazení V -> W a / = ((x, y, z), (-y, x, 0), (zx, zy, z2 - 1)), tedy v ortogonální bázi tvořené směrovým vektorem osy rotace a dvěma navzájem kolmými vektory o shodných velikostech Vl — z2 ležícími v rovině kolmé na osu, má uvažovaná rotace matici / 1 0 0 \ A = I 0 cos( 1 — 2nn 1 i i r o i o -2 - i i i .001/ 3 li i i, □ Nyní jeden známý, ale velmi pěkný příklad. 2.67. Určete součet úhlů, které v rovině M2 svírají s osou x postupně vektory (1, 1), (2, 1) a (3, 1) (obrázek). Řešení. Uvážíme-li rovinu M2 jakožto Gaussovu rovinu komplexních čísel, tak uvedené vektory odpovídají komplexním číslům 1 + i, 2 + i a 3 + i a máme najít součet jejich argumentů, tedy podle Moivrovy věty argument jejich součinu. Jejich součin je (1 + i) (2 + i) (3 + i) = (1 + 3/)(3 + 0 = 10i, tedy ryze imaginární číslo s argumentem jt/2 a tedy hledaný součet je roven právě jt/2. □ 99 G. LINEÁRNÍ ZOBRAZENÍ 3. VEKTOROVÉ PROSTORY A LINEÁRNÍ ZOBRAZENÍ 2.68. Uvažme komplexní čísla jako reálny vektorový prostor a za jj^p ' jeho bázi zvolme 1 a i. V této bázi určete matici náiilgdují^ cích lineárních zobrazení: a) konjugace, b) násobení číslem (2 + i). Určete matici těchto zobrazení v bázi (1 — z), (1 + i). Řešení. a) 0 1 b) V obou bazích je matice stejná a to Zamyslete se, proč tomu tak je. 1 □ 2.69. Určete matici A, která ve standardní bázi prostoru M3 zadává kolmou projekci do vektorového podprostoru generovaného vektory ux = (-1, 1,0) au2 = (-1,0, 1). Řešení. Nejprve poznamenejme, že uvedený podprostor je rovinou procházející počátkem s normálovým vektorem w3 = (1,1,1). Uspořádaná trojice (1, 1, 1) je totiž očividným řešením soustavy — x\ + X2 ~x\ + x3 tj. vektor w3 je kolmý na vektory u\, u2. Podotkněme rovněž, že jsme tento příklad již vyřešili (matici A známe z dřívějšího příkladu). Při dané projekci se vektory ui a. u2 musejí zobrazit na sebe a vektor w3 potom na nulový vektor. V bázi složené po řadě z vektorů u\, u2, w3 je proto matice této projekce 0, 0, 0 0 0 1 0 0 0 0 Pomocí matic přechodu 1 -1 0 1 od báze (u\, u2, w3) ke standardní bázi a od standardní báze («i, u2, w3) získáme 2.26 bázi 1 -1 l 0 ) 1 ukázali jsme bijekci mezi maticemi příslušného rozměru a lineárními zobrazeními V -» W. 2.37. Matice přechodu mezi souřadnicemi. Jestliže za V i W zvolíme tentýž prostor, ale s různými bázemi, a za / identické zobrazení, vyjadřuje postup z předchozího odstavce vektory báze u v souřadnicích vzhledem k v. Označme výslednou matici T. Když pak zadáme vektor u U = x\U\ -\-' ' ' -\- xnlln v souřadnicích vzhledem ku a dosadíme za u{ jejich vyjádření pomocí vektorů z y_, obdržíme souřadné vyjádření x = (iči, ... ,xn) téhož vektoru v bázi v. Stačí k tomu přesklá-dat pořadí sčítanců a vyjádřit skaláry u jednotlivých vektorů báze. Ve skutečnosti teď děláme totéž, co v předchozím odstavci pro speciální případ identického zobrazení idy na vektorovém prostoru V. Matice tohoto identického zobrazení je T a tedy nutně musí naznačený přímý výpočet dát x = T ■ x. Situace se zobrazena na diagramu: Výslednou matici T nazýváme matice přechodu od báze u vektorového prostoru V k bázi v téhož prostoru. Přímo z definice vyplývá: | výpočet matice přechodu |_ Tvrzení. Matici T přechodu od báze u k bázi v získáme tak, ze souřadnice vektorů báze u v bázi v napíšeme do sloupců matice T. 1 Funkce matice přechodu je taková, že známe-li souřadnice x vektoru v bázi u, pak jeho souřadnice v bázi v se obdrží vynásobením sloupce x maticí přechodu (zleva). Protože inverzní zobrazení k identickému je opět totéž identické zobrazení, je matice přechodu vždy invertibilní a její inverze je právě matice přechodu opačným směrem, tj. od báze v k bázi u. 2.38. Více souřadnic. Nyní si ukážeme, jak se skládají souřadná vyjádření lineárních zobrazení. Uvažme ještě další vektorový prostor Z nad K dimenze k s bází w, lineární zobrazení g : W -> Z a označme příslušnou matici g^^. V W □ fu,v 8v_,w 100 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA Složení go f na horním řádku odpovídá matici zobrazení W -» Kk dole a přímo spočteme (píšeme A pro matici / a B pro matici g ve zvolených bazích): 8v,w o fu,Áx) = w o g o v'1 o v o f o u~l = B ■ (A ■ x) = (B ■ A) ■ x = (g o /)„,„,(*) pro všechny x e W. Skládání obražení tedy odpovídá násobení příslušných matic. Všimněte si také, že isomorfismy odpovídají právě invertibilním maticím. Stejný postup nám dává odpověďna otázku, jak se změní matice zobrazení, změníme-li báze na definičním oboru i oboru hodnot: V V f W fu,v W kde T je matice přechodu od w' k u a S je matice přechodu od 1/ k v. Je-li tedy A původní matice zobrazení, bude nová dána jako A' = S^AT. Ve speciálním případě lineárního zobrazení / : V -» V, tj. zobrazení má stejný prostor V jako definiční obor i obor hodnot, vyjadřujeme zpravidla / pomocí jediné báze u prostoru V. Pak tedy přechod k nové bázi w' s maticí před-chodu T od u/ k u bude znamenat změnu matice zobrazení na A' = T~1AT. 2.39. Lineární formy. Obzvlášť jednoduchým a zárevej^ důležitým případem lineárních zobrazeni jsou tzv. lineární formy. Jde o lineární zobrazení z vektorového prostoru V nad polem skalárů K 'jLjf=— do skalárů K. Jsou-li dány souřadnice na V, je přiřazení jednotlivé /-té souřadnice vektorům právě takovou lineární formou. Přesněji řečeno, pro každou volbu báze v = (i>i, ..., vn) máme k dispozici lineární formy v* : V -» K takové, že v*{vj) = tj. nula pro různé indexy i a. j a. jednička pro stejné. Vektorový prostor všech lineárních forem na V značíme V* a říkáme mu duální prostor vektorovému prostoru V. Předpokládejme nyní, že prostor V má konečnou dimenzi n. Bázi V* sestavenou z přiřazování jednotlivých souřadnic jako výše nazýváme duální báze. Skutečně se jedná o bázi prostoru V*, protože jsou tyto formy zjevně lineárně nezávislé (prověřte si!) a je-li a libovolná forma, pak platí pro každý vektor u = x\V\ + ■ ■ ■ + x„v„ a(u) = x\a(v\) + • • • + x„a(v„) = íx(i;i)i;*(h) H-----h a(vn)v*(u) a je tedy a lineární kombinací forem v*. Při pevně zvolené bázi {1} na jednorozměrném prostoru skalárů K jsou s každou volbou báze v na V lineární formy a ztotožněny s maticemi typu l/n, tj. s řádky y. Právě komponenty těchto řádků jsou souřadnicemi obecných lineárních forem v duální bázi v*. Vyčíslení takové formy na vektoru je 2.70. Napište matici zobrazení kolmé projekce do roviny procházející počátkem a kolmé na vektor (1, 1, 1). Řešení. Obraz libovolného bodu (vektoru) x = (xi,x2,x3) e M3 v uvažovaném zobrazení získáme tak, že od daného bodu odečteme jeho kolmou projekci do normálového směru dané roviny, tedy do směru (1, 1, 1). Tato projekce p je dána (viz přednáška) jako (x, (1, 1, 1)) _ X\ +X2 + X3 Xi+X2+X3 Xi+X2+X3 1(1, 1, 1)|2 ~ 3 ' 3 ' 3 Výsledné zobrazení je tedy 1.X\ x2 -\- x3 1x2 X\ -\- x3 1x3 X\ -\- x2 x — p = (---,---,---) = ť 3 3 3 3 3 3 2 _ J_ _ 1 3 3 3 I 2 _ 1 "33 3 1 1 2 □ 2.71. Ve vektorovém prostoru M3 určete matici kolmé projekce na rovinu x + y — 2z, = 0. 2.72. Ve vektorovém prostoru M3 určete matici kolmé projekce na rovinu 2x — y + 2z, = 0. H. Vlastní čísla a vlastní vektory 2 a M3. (1) Uvažme zobrazení 2.73. Vlastní čísla a vlastní vektory mohou sloužit k názornému popisu lineárních zobrazení, zejména v s maticí ve standardní bázi Pak dostáváme —k 0 1 \A-XE\ = 0 1 — X 0 = -ŕ + x2 + x - i, 1 0 —X s kořeny k\t2 se spočtou: 1, k3 = — 1. Vlastní vektory s vlastní hodnotou k = 1 1N -10 1 \ (10 0 0 0 - 0 0 o 10-1/ \o o o s bází prostoru řešení, tj. všech vlastních vektorů s touto vlastní hod notou «i = (0,1,0), iť2 = (1,0,1). Podobně pro k = — 1 dostáváme třetí nezávislý vlastní vektor '1 0 1\ (10 1 0 2 0 - 0 2 0 10 1/ \0 0 0 u3 = (-1,0, 1). 101 H. VLASTNI CISLA A VLASTNI VEKTORY 3. VEKTOROVÉ PROSTORY A LINEÁRNI ZOBRAZENI V bázi u\,u2, «3 (všimněte si, že w3 musí být lineárně nezávislý na zbylých dvou díky předchozí větě a u i, u2 vyšly jako dvě nezávislá řešení) má / diagonální matici Celý prostor R3 je přímým součtem vlastních podprostorů, R3 = V\ © V2, dim V\ = 2, dim V2 = 1. Tento rozklad je dán jednoznačně a vypovídá mnoho o geometrických vlastnostech zobrazení /. Vlastní podprostor V\ je navíc přímým součtem jednorozměrných vlastních podprostorů, které lze však zvolit mnoha různými způsoby (takový další rozklad nemá tedy již žádný geometrický význam). (2) Uvažme lineární zobrazení / : R2\x\ -» R2[x] definované derivováním polynomů, tj. /(I) = 0, f(x) = 1, f(x2) = 2x. Zobrazení / má tedy v obvyklé bázi (1, x, x2) matici Charakteristický polynom je \A — k ■ E\ = —A3, existuje tedy pouze jediná vlastní hodnota, k = 0. Spočtěme vlastní vektory: 2.28 Prostor vlastních vektorů je tedy jednorozměrný, generovaný konstantním polynomem 1. 2.74. Příklad i se změnou báze. Určete vlastní čísla a vlastní vektory matice /l 1 A = 1 2 1 V 2 h Popište toto zobrazení a napište jeho matici v bázi: ei = [1,-1,1] e2 = [1,2,0] £3 = [0, 1, 1] Řešení. Charakteristický polynom dané matice je 1 - k 1 0 1 2 — k 1 1 2 1 - k -k3 + Ak2 -2k = -k(k2 -4k + 2). Kořeny tohoto polynomu, vlastní čísla, udávají, kdy nebude mít matice pak dáno vynásobením příslušného řádkového vektoru y se sloupcem souřadnic x vektoru w e V v bázi u: ot(u) = y - x = yxxx -\-----h ynxn. Zejména tedy vidíme, že pro každý konečněrozměrný prostor V je V* izomorfní prostoru V. Realizace takového izo-morfismu je dána např. naší volbou duální báze ke zvolené bázi na prostoru V. V tomto kontextu tedy znovu potkáváme skalární součin řádku n skalárů se sloupcem n skalárů, j ak j sme s ním pracovali již v odstavci 2.3 na straně 70. U nekonečně rozměrného prostoru se věci mají jinak. A Např. už nejjednodušší příklad prostoru všech polynomů K[x] v jedné proměnné je vektorovým prostorem se spočetnou bazí s prvky vt = x1 a stejně jako výše můžeme definovat lineárně nezávislé formy v*. Jakýkoliv formální nekonečný součet YlľĹo ai vľ Je nyní dobře definovanou lineární formou na K[x], protože bude vyčíslován vždy pouze na konečné lineární kombinaci bázových polynomů x1, i = 0, 1, 2, .... Spočetná množina všech v* tedy není bazí. Ve skutečnosti lze ukázat, že tento duální prostor ani spočetnou bázi mít nemůže. 2.40. Velikost vektorů a skalární součin. V úvahách o geometrii roviny M2 jsme již v první kapitole v od-rf stavci 1.29 pracovali nejen s bázemi a lineár-sz. nimi zobrazeními, ale také s velikostí vektorů a jejich úhly. Pro zavedení těchto pojmů jsme také použili skalárního součinu dvou vektorů v = (x, y) a v' = (x', ý) ve tvaru u ■ v = xx' + yyf. Skutečně, souřadné vyjádření pro velikost v = (x, y) je dáno IMI = V x2 + y2 = V11 • v, zatímco (orientovaný) úhel

0 a ||u||2 = (v, v) = 0 pouze při v = 0. Číslu ||u|| = s/(v, v) říkáme velikost vektoru v. Vektory v a w e V se nazývají ortogonální nebo kolmé, jestliže (v, w) = 0. Píšeme také v _L w. Vektor v se nazývá normovaný, jestliže ||t>|| = 1. Báze prostoru V složená z ortogonálních vektorů se nazývá ortogonální báze. Jsou-li bázové vektory navíc i normované, je to ortonormální báze. Skalární součin se také často zapisuje pomocí obvyklé tečky, tj. (u, v) = u ■ v. Z kontextu je pak třeba poznat, zda jde o součin dvou vektorů (tedy výsledkem je skalár) nebo něco jiného (stejně jsme značili součin matic a také někdy součin skalárů). Protože je skalární součin lineární v každém ze svých argumentů, bude jistě úplně určen již svými hodnotami na dvojicích bázových vektorů. Skutečně, zvolme si bázi u = (ui, ..., un) prostoru V a označme (Ui,Uj). s jí a Pak ze symetričnosti skalárního součinu plyne Síj z linearity součinu v každém z argumentů dostáváme: X].v/"./) = y, v,•. • 2 — a/2: Řešíme soustavu '(V2- 1) 1 0 \ /xA 1 V2 1 \\x2 \= 0. 1 2 (72 - l)J \x3J Řešením je prostor vlastních vektorů ((1, 1 — ~J2, 1 — a/2))- Daná matice má vlastní čísla 0,2+\/2 a 2—a/2, kterým přísluší po řadě jednorozměrné prostory vlastních vektorů ((1, —1, 1)), ((1, 1 + y/2, 1 + 72)) a ((1, 1 - y/2, 1 - y/2)). Zobrazení tedy můžeme interpretovat jako projekci podél vektoru (1, -1, 1) do roviny dané vektory (1, 1 + a/2, 1 + a/2) a (1, 1 -a/2, 1 — a/2) složenou s lineárním zobrazením daným „natažením" daným vlastními čísly ve směru uvedených vlastních vektorů. Nyní jej vyjádřeme v uvedené bázi. K tomu budeme potřebovat matici přechodu T od standardní báze k dané nové bázi. Tu získáme tak, že souřadnice vektorů staré báze v bázi nové napíšeme do sloupců matice T. My však snadněji zapíšeme matici přechodu od dané báze k bázi standardní, tedy matici T~l. Souřadnice vektorů nové báze pouze zapíšeme do sloupců: 1 1 0^ -1 2 1 , 1 0 L Potom 0 0 1 T = T~l 1 = | 1 0-1 -2 1 3 103 H. VLASTNI CISLA A VLASTNI VEKTORY 3. VEKTOROVÉ PROSTORY A LINEÁRNI ZOBRAZENI a pro matici B zobrazení v nové bázi pak máme (viz 2.38) /O 5 2 B = TAT'1 = ( 0 -2 -1 \0 14 l □ 2.75. Naleznete vlastní čísla a jim příslušné vektorové prostory vlastních vektorů matice: -1 0 0 5 5 " 6 3 2.76. Určete charakteristický polynom \A—kE\, vlastní čísla a vlastní vektory matice ŕA -1 6^ 2 1 6 v2 -1 2.77. Stanovte vlastní hodnoty matice /-13 5 4 2\ 0 -10 0 -30 12 9 5 \-12 6 4 1/ 2.78. Udejte příklad čtyřrozměrné matice s vlastními čísly i2 73: a k2 = 1 takové, aby násobnost k2 jako kořene charakteristického polynomu byla 3 a aby (a) dimenze podprostoru vlastních vektorů k2 byla 3; (b) dimenze podprostoru vlastních vektorů k2 byla 2; (c) dimenze podprostoru vlastních vektorů k2 byla 1. 2.79. Víte-li, že čísla 1,-1 jsou vlastní hodnoty matice /-ll 5 4 l\ -3010 -21 11 8 2 \-9 5 3 1/ uvedte v echna ře ení charakteristické rovnice | A — k E | =0. Nápověda: Označíme-li kořeny polynomu \ A — k E \ jako k\, k2, k3, k4, je | A | = ki ■ k2 ■ k3 ■ k4, tr A = ki + k2 + k3 + k4. 2.80. Pro libovolnou n x n matici A je její charakteristický polynom \ A — k E \ stupně n, je tedy tvaru | A - k E I = cn kn + c„_i k"-1 + ■ ■ ■ + a k + c0, cn^0, přičem platí cn = (-!)", c„_i = (-l)"-1trA, c0 = |A|. Jestliže je matice A trojrozměrná, obdržíme | A - k E I = -k3 + (tr A) k2 + ci k + I A |. znamená (u, u) = 0 a tedy i u = 0 podle definice skalárního součinu. Zřejmě je tedy vždy celý prostor V přímým součtem v = wew±. Lineární zobrazení / : V -> V na libovolném vektorovém prostoru se nazývá projekce, jestliže platí / o f = f. V takovém případě je pro každý vektor v e V v = f (v) + (v- f (v)) e Im(/) + Ker(/) = V a je-li v e Im(/) a f (v) = 0, pak je i v = 0. Je tedy předloží součet podprostoru přímý. Říkáme, že / je projekce na podprostor W = Im(/) podél podprostoru U = Ker(f). Slovy se dá projekce popsat přirozeně takto: rozložíme daný vektor na komponentu ve W a v U a tu druhou zapomeneme. Je-li na V navíc skalární součin, říkáme že jde o kolmou projekci, když je jádro kolmé na obraz. Každý podprostor W V tedy definuje kolmou projekci na W. Je to projekce na W podél W^, která je dána pomocí jednoznačného rozkladu každého vektoru u na komponenty uw e W a U e W-1, tj. lineární zobrazení, které uw +uw± zobrazí na uw- 2.42. Existence ortonormální báze. Povšimněme si, že na každém konečněrozměrném reálném vektorovém prostoru jistě existují skalární součiny. Prostě si stačí vybrat libovolnou bázi, prohlásit ji za ortonormální a hned jeden dobře definovaný skalární součin máme. V této bázi pak skalární součiny počítáme podle vzorce v Tvrzení 2.40. Umíme to ale i naopak. Máme-li zadán skalární součin na vektorovém prostoru V, můžeme vcelku jednoduše početně využít vhodných kolmých projekcí a jakoukoliv zvolenou bázi upravit na ortonormální. Jde o tzv. Grammův-Schmidtův ortogonalizační proces. Cílem této procedury bude z dané posloupnosti nenulových generátorů v\, ..., vk konečněrozměrného prostoru V vytvořit ortogonální množinu nenulových generátorů pro V. | Grammova-Schmidtova ortogonalizace Tvrzení. Nechť (ui, ..., uk) je lineárně nezávislá k-tice vektorů prostoru V se skalárním součinem. Pak existuje ortogonální systém vektorů (vi, ..., vk) takový, že f, e ..., Ui), i = 1, ..., k. Získáme je následující procedurou: • Nezávislost vektorů Ui zaručuje, že ui 7^ 0; zvolíme vi = Ui. • Máme-li již vektory vi, ..., vi potřebných vlastností, zvo-límevi+i = ui+i -\-a\V\ +• • • -\-a1V1, kde at = — ^j^r~. 104 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA Důkaz. Začneme prvním (nenulovým) vektorem vi a spočteme kolmou projekci v2 do {viŕ C {{vuv2}). Výsledek bude nenulový právě, když je v2 nezávislé na v\. Ve všech dalších krocích budeme postupovat obdobně. V £-tém kroku tedy chceme, aby pro ví+i = uí+i + a\V\ + ■ ■ ■ + ciivi platilo (vi+i, v i) = 0, pro všechny i = !,...,£. Odtud plyne 0 = (Ui+i + atvi H-----h ciivi, Vi) = (Ui+i, vt) + ^(i;,, vt) a je vidět, že vektory s požadovanými vlastnostmi jsou určeny jednoznačně až na násobek. □ Kdykoliv máme ortogonální bázi vektorového prostoru V, stačí vektory vynormovat a získáme bázi ortonormální. Dokázali jsme proto: Důsledek. Na každém konečněrozměrném reálném vektorovém prostoru se skalárním součinem existuje ortonormální báze. V ortonormální bázi se obzvlášť snadno spočtou souřadnice a kolmé projekce. Skutečně, mějme ortonormální bázi (e\, ..., en) prostoru V. Pak každý vektor v = x\e\ + • • • + xnen splňuje ( ( M3 zadaného přiřazením (jci, x2, x3) (jci + x3, x2, x\ + x3). 2.83. Pauliho matice. Ve fyzice se stav částice se spinem ^ popisuje Pauliho maticemi. Jsou to následující matice 2x2 nad komplexními čísly /O 1\ /O -i\ (\ 0 ai = {i o)>a2={i oJ'CT3 = lvo -1. Ukažte, že pro komutátor matic (značený hranatými závorkami) platí [cti, a2] := o\o2— 4 0 V 2.85. Lze vyjádřit matici B 5 6 6 5 105 I. BÁZE A SKALÁRNÍ SOUČINY 3. VEKTOROVÉ PROSTORY A LINEÁRNÍ ZOBRAZENÍ ve tvaru součinu B = P~l DP pro nějakou diagonální matici Q ažfi-a vertibilní matici P? Pokud je to mo ně, udejte příklad takové dvojice matic D, P a zjistěte, kolik takových dvojic existuje. 2.86. Určete, jaké lineární zobrazení ] zadává matice Řešení. Dvojnásobná vlastní hodnota -1, příslušné vlastní vektory (2,0, 1), (1, 1,0), jednonásobná vlastní hodnota 0, vlastní vektor (1,4, —3). Osová souměrnost podle přímky dané posledním vektorem složená s projekcí na rovinu kolmou k poslednímu vektoru, tedy danou obecnou rovnicí x + 4 y — 3 z = 0. □ I. Báze a skalární součiny 2.87. Pomocí Gramova-Schmidtova ortogonalizačního procégu. zífe kejte ortogonální bázi podprostoru U = {(Xi, X2, X3, X^)T € M4; X\ + X2 + X3 + X4 = O} prostoru M4. Řešení. Množina řešení uvedené homogenní lineární rovnice je zřejmě vektorovým prostorem s bází /-1\ /-1\ /-1\ 1 0 0 U\ = 0 U2 = 1 «3 = 0 \°) \°) v1/ Vektory ortogonální báze získané užitím Gramova-Schmidtova ortogonalizačního procesu budeme značit v\, v2, v3. Nejprve položme v\ = u\. Dále T «5 • ui i /ii i v2 = u2 u\ ■ V\ 1 -W vi=u2--vl \Vl\ 1 1 —, —, 1,0 2 2 resp. zvolme násobek v2 = (—1, —1, 2, 0)T. Následně je t>3 = «3 «3 • V\ MWlII 1 1 3' ~3' Máme tedy celkem 1 3' u\ ■ v2 1 1 v2 = u3 Vi v2 /-1\ /-1\ /-1\ 1 -1 -1 0 2 -1 \°) \°) \3/ 2.43. Úhel dvou vektorů. Jak jsme již zmínili, úhel dvou lineárně nezávislých vektorů musí být stejný, když je budeme uvažovat v dvourozměrném podprostoru, který generují, nebo v okolním prostoru větším. Ve své podstatě je proto pojem úhlu dvou vektorů nezávislý na dimenzi okolního prostoru a pokud si zvolíme ortonormální bázi, jejíž první dva vektory budou generovat tentýž podprostor jako dané vektory u a. v, můžeme doslova převzít definici z rovinné geometrie. I bez volby báze tedy musí platit: - j Úhel dvou vektorů |> Úhel

K, kde pro jakékoliv vektory u, v, w, z a skaláry a,b, c & d platí, stejně jako u skalárního součinu a(au + bv, cw + dz) = aca(u, w) + ada(u, z) + bc a(v, w) + bd a(v, z)- Pokud navíc platí a(u, w) = a(w, u), hovoříme o symetrické bilineární formě. Jestliže záměna argumentů vede k obrácení znaménka výsledku, hovoříme o antisymetrické bilineární formě. Již v rovinné geometrii jsme zavedli determinant jako bilineární antisymetrickou formu a, tj. a(u, w) = —a(w, u). Obecně víme z věty 2.17, že je determinant v dimenzi n možno nahlížet jako «-lineární antisymetrickou formu. Jako u lineárních zobrazení je zřejmé, že každá k-lineární forma je úplně určena svými hodnotami na všech /c-ticích bázových prvků v pevné bázi. V analogii k lineárním zobrazením tyto hodnoty můžeme vnímat jako /c-rozměrné analogie matic. Ukážeme si to v případě k = 2, kde půjde doopravdy o matice, jak jsme je zavedli. 106 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA Matice bilineární formy Jestliže zvolíme bázi u na ľ a definujeme pro danou bilineární formu a skaláry atj = Uj), pak zjevně dostaneme pro vektory v, w se souřadnicemi x a y (jakožto sloupce souřadnic) a (v, w) = ^2 atjXtyj = yT ■ A ■ x, ij=l (au). Přímo z definice matice bilinerání formy je vidět, že forma je symetrická nebo antisymetrická, právě když má tutéž vlastnost její matice. Každá bilineární forma a na vektorovém prostoru V definuje zobrazení V -» V*, v h-» a( , u), tj. dosazením pevného vektoru v za druhý argument dostáváme lineární formu, která je obrazem tohoto vektoru. Zvolíme-li pevně bázi na ko-nečněrozměrném prostoru V a duální bázi na V*, pak jde o zobrazení y h-» (x h-» yT ■ A ■ x). 4. Vlastnosti lineárních zobrazení Podrobnějším rozborem vlastností různých typů lineárních zobrazení se nyní dostaneme k lepšímu pochopení nástrojů, které nám vektorové prostory pro lineární modelování procesů a systémů nabízejí. 2.45. Začneme čtyřmi příklady v nejnižší zajímavé di-ins> _ menzi. Ve standardní bázi roviny R2 se standardním skalárním součinem uvažujme následující matice zobrazení / : R2 -» R2: 1 0 0 0 B 0 1 0 0 c a 0 0 b D 0 -1 1 0 Matice A zadává kolmou projekci podél podprostoru W c {(0,íi); a e R} c M2 na podprostor V C {(a, 0); a e R} C R2, tj. projekce na osu x podél osy y. Evidentně pro toto zobrazení / : R2 -» R2 platí / o / = / a tedy zúžení /1 v daného zobrazení na obor hodnot je identické zobrazení. Jádrem / je právě podprostor W. Matice B má vlastnost B2 = 0, platí tedy totéž o příslušném zobrazení /. Můžeme si jej představit jako matici derivování polynomů Ri[x] stupně nejvýše jedna v bázi (1, jc) (derivacemi se budeme podrobně zabývat v kapitole páté, viz ??). Matice C zadává zobrazení /, které první vektor báze zvětší út-krát, druhý b-kiát. Tady se nám tedy celá rovina Dodejme, že pro jednoduchost příkladu lze bezprostředně uvést ortogonální bázi z vektorů (1,-1,0, 0)T , (0,0, l,-l)r, (1, 1,-1,-l)r nebo (-1, 1, 1,-l)T , (1,-1, 1,-l)T , (-1,-1,1, l)7 □ 2.88. Ve vektorovém prostoru R4 jsou dány trojrozměrné podpro-story U = u2, u3), V = (vi, v2, v3), přičemž (\\ (\\ /1\ (1 ^ (1 \ 1 1 0 1 -1 1 , u2 = 0 1 -1 , v2 = 1 w v) v) V3 = (1, u n v. -1, —1, l)T. Určete dimenzi a libovolnou bázi podprostoru Řešení. Do podprostoru U n V náleží právě ty vektory, které je možné obdržet jako lineární kombinaci vektorů u{ a také jako lineární kombinaci vektorů t>;. Hledáme tedy čísla x\, x2, x3, yi, y2, y3 e M taková, aby platilo /1\ 1 1 w tj. hledáme řešení soustavy Xi + x2 (1\ (1\ ( 1 ^ ( 1 ^ ( 1 ^ 1 + x3 0 i + y2 -i -1 0 1 = yi -i i -1 v) v) K1) Xi xx xx + x2 + x3 + x,2 + *3 X2 + x3 yi yi -yi -yi + yi + - yi -+ yi - ys, ys, ys, yi + ys- Při maticovém zápisu této homogenní soustavy (a při zachování pořadí proměnných) je /l 1 1 -1 -1 -i\ /i 1 1 -1 -1 - -i\ 1 1 0 -1 1 1 0 0 -1 0 2 2 1 0 1 1 -1 1 0 -1 0 2 0 2 v> 1 1 1 1 -v 1 1 1 1 - -v /l 1 1 -1 -1 -\\ /i 1 1 -1 -1 - -1\ 0 1 1 1 1 -1 0 1 1 1 1 - -1 0 0 - -1 0 2 2 0 0 1 0 -2 - -2 0 1 3 1 !y ^0 0 0 1 1 1 / /i 1 1 0 0 0 \ /i 0 0 0 0 2 \ 0 1 1 0 0 - 2 0 1 0 0 2 0 0 0 1 0 - -2 - 2 0 0 1 0 -2 -2 [0 0 0 1 1 1/ [0 0 0 1 1 l) 107 I. BÁZE A SKALÁRNÍ SOUČINY 4. VLASTNOSTI LINEÁRNÍCH ZOBRAZENÍ Dostáváme tak řešení x\ = —2t, X2 = —2s, xj, = 2s + 2t, yi = — s — t, y2 = s, y3 t, s e M. Odtud dosazením získáváme obecný vektor průniku (x\ + x2 + x3\ X\ + x2 X\ + x3 \ X2 + X3 Vidíme, že / 0 \ -2t - 2s 2s v 2t ) dim U n V unv (0\ /0\ -1 -1 1 ' 0 W W □ 2.89. U vedle nějakou bázi podprostoru U vektorového prostoru reálných matic 3x2. Tuto bázi doplňte na bázi celého prostoru. Řešení. Připomeňme, že bázi podprostoru tvoří množina lineárně nezávislých vektorů, které generují uvažovaný podprostor. Protože celý podprostor U je generován pouze prvními dvěma maticemi. Ty jsou potom lineárně nezávislé (jedna není násobkem druhé), a tak zadávají bázi. Chceme-li ji doplnit na bázi celého prostoru reálných matic 3x2, musíme najít další čtyři matice (dimenze celého prostoru je zjevně 6) takové, aby výsledná šestice byla lineárně nezávislá. Můžeme využít toho, že známe např. standardní bázi prostoru reálných matic 3x2, který lze přímo ztotožnit s M6. Sepíšeme-li dva vektory báze U a vektory standardní báze celého prostoru v tomto pořadí, výběrem prvních 6 lineárně nezávislých rozpadá na dva podprostory, které jsou zobrazením / zachovány a ve kterých jde o pouhou homotetii, tj. roztažení skalárním násobkem (první příklad byl speciální případem s a = 1, b = 0). Např. volba a = 1, b = — 1 odpovídá osové symetrii (zrcadlení) podle osy x, což je totéž jako komplexní konjugace x + iy 1-» x — iy na dvourozměrném reálném prostoru E2~Cv bázi (1,0- Toto je lineární zobrazení dvourozměrného reálného vektorového prostoru C, nikoliv však jednorozměrného komplexního prostoru C. Matice D je maticí rotace o pravý úhel ve standardní bázi a na první pohled je vidět, že žádný jednorozměrný podprostor není zobrazením zachováván. Taková rotace je bijekcí roviny na sebe, proto jistě umíme najít (různé) báze na definičním oboru a oboru hodnot, ve kterých bude jeho maticí jednotková matice E (prostě vezmeme jakoukoliv bázi na definičním oboru a její obraz na oboru hodnot). Neumíme ale v tomto případě totéž s jednou bází na definičním oboru i oboru hodnot. Zkusme však uvažovat matici D jako matici zobrazení g : C2 -> C2 ve standardní bázi komplexního vektorového prostoru C2. Pak umíme najít vektory u = (i, 1), v = (—i, 1), pro které bude platit g(v) 0 -1 1 0 0 -1 1 o ■1 1 ■ u, -1 ■ v. To ale znamená, že v bázi (u, v) na C2 má zobrazení g matici K i 0 0 -i a povšimněme si, že tato komplexní analogie k případu matice C má na diagonále prvky a = cos(ijr) + / sin(jjt) a kmoplexně sdružené ä. Jinými slovy, argument v goniometrickém tvaru tohoto komplexního čísla udává úhel otočení. Tomu lze snadno porozumět, když si označíme reálnou a imaginární část vektoru u takto xu + iyu = Re u -\- i Im u + i Vektor v je komplexně sdružený k u. Zajímá nás zúžení zobrazení g na reálný vektorový podprostor V = M2 n (u, v) c C2. Evidentně je V = {u + ú, i(u - ú)) = {xu, -yu) celá reálná rovina M2. Zúžení zobrazení g na tuto rovinu je právě původní zobrazení dané maticí A a z definice násobení komplexní jednotkou jde o otočení o úhel ^jt v kladném smyslu ve vztahu ke zvolené bázi xu, —yu (ověřte si přímým výpočtem a uvědomte si také, proč případné prohození pořadí vektorů u a. v povede k témuž výsledku, byť v jiné reálné bázi!). 108 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA 2.30 2.46. Vlastní čísla a vlastní vektory zobrazení. Klíčem k popisu zobrazení v předchozích příkladech byly odpovědi na otázku „jaké jsou vektory "^tzz^ splňující rovnici f(u) = a-u pro nějaké vhodné skaláry a?". Zvolme tedy pevně lineární zobrazní / : V -» V na vektorovém prostoru dimenze n nad skaláry K. Jestliže si představíme takovou rovnost zapsanou v souřadnicích, tj. s využitím matice zobrazení A v nějakých bázích, jde o výraz A ■ x — a ■ x = (A — a ■ E) ■ x = 0. Z předchozího víme, že taková soustava rovnic má jediné řešení x = 0, pokud je matice A — a E invertibilní. My tedy chceme najít takové hodnoty aéI, pro které naopak A—a E invertibilní není, a nutnou a dostatečnou podmínkou je (viz Věta 2.23) e2.1 (2.4) det(A - a ■ E) = 0. Jestliže považujeme k = a za proměnnou v předchozí skalární rovnici, hledáme ve skutečnosti kořeny polynomu stupně n. Jak jsme viděli v případě matice D výše, kořeny mohou, ale nemusí existovat podle volby pole skalárů '. Vlastní čísla a vlastní vektory Skaláry k vyhovující rovnici f(u) = k ■ u pro nenulový vektor u e V nazýváme vlastní čísla zobrazení f, příslušné nenulové vektory u pak vlastní vektory zobrazení f. Jsou-li u, v vlastní vektory příslušné k témuž vlastnímu číslu k, pak i pro jejich jakoukoliv lineární kombinaci platí f (au + bv) = af(u) + bf(v) = k(au + bv). Proto tvoří vlastní vektory příslušné k vlastnímu číslu k, společně s nulovým vektorem, netriviální vektorový podprostor Vx, tzv. vlastní podprostor příslušný k. Např., je-li k = 0 vlastním číslem, je jádro Ker / vlastním podprostorem V0- Z definice vlastních čísel je zřejmé, že jejich výpočet nemůže záviset na volbě báze a tedy matice zobrazení /. Skutečně, jako přímý důsledek trasformačních vlastností z odstavce 2.38 a Cauchyovy věty 2.19 pro výpočet determinantu součinu dostáváme jinou volbou souřadnic matici A' = P~l A P s invertibilní maticí P a |P_1AP - kE\ = \P~lAP - P~lkEP\ = \P~1(A- kE)P\ = \p-1\\(A-kE\\P\ = |A - kE\, protože násobení skalárů je komutativní a = li5!-1. Z těchto důvodů používáme pro matice a zobrazení společnou terminologii: ir-j Charakteristický polynom matice a obražení _^ Pro matici A dimenze n nad K nazýváme polynom | A — kE\ e K„[A] charakteristický polynom matice A. 1 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 3 2 1 0 0 0 4 3 0 1 0 0 5 4 0 0 1 0 6 5 0 0 0 1 vektorů dostaneme hledanou bázi. Pokud však uvážíme, že kupř. 1, můžeme ihned bázového vektory 3 4 | , ,5 6) podprostoru U doplnit maticemi (vektory prostoru matic) ^0 0\ /O 0\ /O 0\ /O 0> 10, 0 1, 0 0, 0 0 vo o) \o o) \i o) \o 1, na bázi. Upozorněme, že výše uvedený determinant lze vyčíslit velmi snadno - je roven součinu prvků na diagonále, neboť matice je v dolním trojúhelníkovém tvaru (nad diagonálou jsou všechny prvky nulové). □ 2.90. Napište něj akou bázi reálného vektorového prostoru matic 3x3 nad M s nulovou stopou (součet prvků na diagonále) a napište souřadnice matice '12 0 0 2 0 1 -2 -3y v této bázi. 2.91. Zavedlte nějaký skalární součin na vektorovém prostoru matic z předchozího příkladu. Spočítejte normu matice z předchozího příkladu, která je indukovaná Vámi zavedeným součinem. 2.92. Určete nějakou bázi vektorového prostoru antisymetrických reálných čtvercových matic typu 4x4. Uvažte standardní skalární součin v této bázi a pomocí tohoto součinu vyjádřete velikost matice /0 3 1 0\ -3012 -1-1 0 2 \0 -2-2 0/ 2.93. Najděte ortogonální doplněk U1- podprostoru U = {(x\, x2, x3, x4); x\ = x3, X2 = x3 + 6x4} c M4. Řešení. Ortogonální doplněk U1- tvoří právě ty vektory, které jsou kolmé na každé řešení soustavy X\ — x3 X2 — x3 6x4 0, 0. 109 I. BÁZE A SKALÁRNÍ SOUČINY 4. VLASTNOSTI LINEÁRNÍCH ZOBRAZENÍ Vektor je ovšem řešením této soustavy tehdy a jenom tehdy, když je kolmý na oba vektory (1,0, —1,0), (0, 1, — 1, —6). Je tedy U1- = {a ■ (1, 0, -1, 0) + b ■ (0, 1, -1, -6); a, b e R}. □ 2.94. Určete, zda jsou podprostory U = ((2, 1, 2, 2)) a V = ((-1, 0, -1, 2), (-1, 0, 1, 0), (0, 0, 1, -1)) prostoru R4 na sebe kolmé. Pokud ano, je R4 = U © V, tj. je U1- = VI Řešení. Vektor, který zadává podprostor U, je kolmý na každý ze tří vektorů, které generují V. Podprostory jsou tak na sebe kolmé. Avšak není pravda, že R4 = U © V. Podprostor V je totiž pouze dvojdimenzionální, protože (-1, 0, -1,2) = (-1, 0, 1, 0) - 2 (0, 0, 1, -1). □ 2.95. V závislosti na parametru t e R stanovte dimenzi podprostoru U vektorového prostoru R3, je-li U generován vektory (a) ui = (1, 1, 1), u2 = (\,t,\), u3 = (2, 2, ř); (b) ui = (ŕ, ŕ, ŕ), u2 = (-4ř,-4ř, 4ř), u3 = (-2, -2, -2). Řešení. V prvním případu je dim U = 2 pro t e {1,2}, jinak je dim U = 3. Ve druhém případu je dim U = 2 pro t ^ 0 a dim U = 1 pro t = 0. □ 2.96. Sestrojte ortogonální bázi podprostoru I 2.30a ((1,1,1,1), (1,1,1,-1), (-1,1,1,1)) prostoru R4. Řešení. Gramovým-Schmidtovým ortogonalizačním procesem lze obdržet výsledek ((1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, -3), (-2, 1, 1,0)). □ 2.97. V prostoru R4 nalezněte nějakou ortogonální bázi podprostoru všech lineárních kombinací vektorů (1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, —7), (4, —2, 4, 14) a podprostoru generovaného vektory (1, 2, 2, —1), (1, 1, -5,3), (3,2, 8, -7). Řešení. Při zachování pořadí podprostoru ze zadání jsou ortogonálními bázemi např. ((1,0, 1,0), (0, 1,0, -7)) a ((1, 2, 2, -1), (2, 3, -3, 2), (2, -1, -1, -2)). Kořeny tohoto polynomu jsou vlastní čísla matice A. Jeli A matice zobrazení / : V -» V v jisté bázi, pak \A — XE\ nazýváme také charakteristický polynom zobrazení f. Protože je charakteristický polynom lineárního zobrazení / : V -» V nezávislý na volbě báze V, jsou i jeho koeficienty u jednotlivých mocnin proměnné k skaláry vyjadřující vlastnosti zobrazení /, tj. nemohou záviset na naší volbě báze. Zejména jako jednoduché cvičení na počítání determinantů vyjádříme koeficienty u nejvyšších a nejnižších mocnin (předpokládáme dim y = n a matici zobrazení A = (útý) v nějaké bázi): \A — X ■ E\ = (-1)"A" + (-íy-Vi + • • • + ann) ■ A""1 + --- + \A\-k°. Koeficient u nejvyšší mocniny říká jen, zda je dimenze prostoru V sudá nebo lichá. O determinantu matice zobrazení jsme už zmiňovali, že vyjadřuje, kolikrát dané lineární zobrazení zvětšuje objemy. Zajímavé je, že i součet diagonálních členů matice zobrazení nezávisí na volbě báze. Nazýváme jej stopa matice a značíme TrA. Stopa zobrazení je definována jako stopa jeho matice v libovolné bázi. Ve skutečnosti to natolik překvapivé není, protože v kapitole osmé si jako příklad na metody diferenciálního počtu ukážeme, že stopa je ve skutečnosti lineárním přiblížením determinantu v okolí jednotkové matice, viz ??. V dalším si uvedeme několik podstatných vlastností vlastních podprostoru. 2.47. Věta. Vlastní vektory lineárního zobrazení f : V —> V příslušné různým vlastním hodnotám jsou lineárně nezávislé. Důkaz. Nechť ai, ..., ak jsou různé vlastní hodnoty fzobrazení / a u\, ..., uk vlastní vektory s těmito vlastními hodnotami. Důkaz provedeme indukcí přes x počet lineárně nezávislých vektorů mezi zvolenými. Předpokládejme, že u\, ..., ui jsou lineárně nezávislé a ul+i = CíUí je jejich lineární kombinací. Alespoň i = 1 lze zvolit, protože vlastní vektory jsou nenulové. Pak ovšem f(ul+1) = al+1 ■ ul+1 = al+1 ■ q • ut, tj. 1 1 1 f(ul+1) = ^al+1 ■ Ct ■ ut = • /("/) = XIQ ' ai ' Ui' i — l i — l i — l Odečtením druhého a čtvrtého výrazu v rovnostech dostáváme 0 = $ľ/=i(ai+i ~ ai)' ci' ■ uiVšechny rozdíly vlastních hodnot jsou však nenulové a alespoň jeden koeficient q je nenulový. To je spor s předpokládanou nezávislostí U\, . . . , Ui, takže i vektor ul+i musí být lineárně nezávislý na předchozích. □ 2 . 30a 110 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA Na právě dokázané tvrzení se můžeme podívat jako na rozklad lineárního zobrazení / na součet jednoduchých zobrazení. Pro vesměs různé vlastní hodnoty kt charakteristického polynomu budeme dostávat jednorozměrné vlastní pod-postory Vii. Každý z nich pak zadává projekci na tento invariantní jednorozměrný podprostor, na němž je zobrazení dáno jako násobení vlastním číslem A;. Celý prostor V je tak rozložen na přímý součet jednotlivých vlastních podpro-storů. Navíc lze tento rozklad na vlastní podprostory snadno spočíst: ' báze z vlastních vektorů □ Důsledek. Jestliže existuje n navzájem různých kořenů charakteristického polynomu zobrazení f : V -» V, na n— rozměrném prostoru V, pak existuje rozklad V na přímý součet vlastních podprostorů dimenze 1. To znamená, že existuje báze V složená výhradně z vlastních vektorů a v této bázi má f diagonální matici. Tato báze je určená jednoznačně až na pořadí prvků. Příslušnou bázi (vyjádřenou v souřadnicích vzhledem k libovolně zvolené bázi V) obdržíme řešením n systémů homogenních lineárních rovnic o n neznámých s maticemi (A — Xi ■ E), kde A je matice f ve zvolené bázi. 2 . 44 2.48. Invariantní podprostory. Viděli jsme, že každý vlastní vektor v zobrazení / : V -» V generuje podprostor (v) C V, který je zobrazením / zachováván. Obecněji říkáme, že vektorový podprostor W C V je invariantní podprostor pro lineární zobrazení /, jestliže platí f(W) C W. Jestliže je V konečněrozměrný vektorový prostor a vybereme nějakou bázi (u\, ..., uk) podprostorů W, můžeme ji vždy doplnit na bázi (u\, ..., uk, uk+\, ■ ■ ■, un) celého V a v každé takové bázi má naše zobrazení matici A tvaru 3a (2.5) C D kde S je čtvercová matice dimenze k, D je čtvercová matice dimenze n — k a C je matice typu n/(n — k). Naopak, jestliže je v nějaké bázi (u\, ..., un) matice zobrazení / tvaru (2.5), je W = (ui, ..., uk) invariantní podprostor zobrazení /. Pochopitelně bude v naší matici zobrazení (2.5) sub-matice C nulová právě tehdy, když bude i podprostor (uk+i, ..., un) generovaný doplněnými vektory báze invariantní. Z tohoto pohledu jsou vlastní podprostory lineárního zobrazení extrémní případy invariantních podprostorů a zejména v případě existence n = dim V různých vlastních čísel zobrazení / dostáváme rozklad V na přímý součet n vlastních podprostorů. V příslušné bázi z vlastních vektorů má pak naše zobrazení diagonální tvar s vlastními čísly na diagonále. 2.98. Pro jaké hodnoty parametrů a, b e M jsou vektory (1,1,2,0,0), (1,-1,0,1, a), (1,0,2,3,-2) v prostoru M5 po dvou ortogonální? Řešení. Výsledek je a = 9/2, b = —5, neboť musí mj. platit 1+6 + 4 + 0 + 0 = 0, 1-6 + 0 + 3-2a =0. □ 2.99. V prostoru M5 uvažujte podprostor generovaný vektory (1,1,-1,-1,0), (1,-1,-1,0,-1), (1,1,0,1,1), (—1, 0, —1, 1, 1). Najděte nějakou bázi jeho ortogonálního doplňku. Řešení. Hledaná báze obsahuje jediný vektor. Jejím nějaký nenulový skalární násobek vektoru (3, -7, 1, -5,9). □ 2.100. Popište ortogonální doplněk podprostorů V prostoru M4, jeli V generován vektory (-1,2, 0, 1), (3, 1, -2, 4), (-4, 1, 2, -4), (2,3, -2,5). Řešení. Ortogonální doplněk (komplement) V1- je množina všech skalárních násobků vektoru (4, 2, 7, 0). □ 2.101. V prostoru M5 určete ortogonální doplněk W1- podprostorů W, jestliže (a) W = {(r + s + t, -r + t, r + s, -t, s + t); r, s, t e R}; (b) W je množina řešení soustavy rovnic x\ — x3 = 0, x\ — x2 + X3 — X4 + X5 = 0. Řešení. (a) W1- = ((1,0, -1, 1, 0), (1, 3, 2, 1, -3)); (b) W1- = ((1, 0, -1, 0, 0), (1, -1, 1, -1, 1)). □ 2.102. Nechť jsou v prostoru R4 dány vektory (1,-2,2,1), (1,3,2,1). Doplňte tyto dva vektory libovolným způsobem na ortogonální bázi celého R4. (Můžete k tomu využít Gramův-Schmidtův ortogonalizační proces.) Řešení. Hledaných doplnění je pochopitelně nekonečně mnoho. Jedním (skutečně jednoduchým) je např. (1,-2,2,1), (1,3,2,1), (1,0,0,-1), (1,0,-1,1). 111 I. BÁZE A SKALÁRNÍ SOUČINY 4. VLASTNOSTI LINEÁRNÍCH ZOBRAZENÍ 2.a 2.103. Nalezněte nějakou ortonormální bází podprostoru V C M, kde V = {(jci, x2, x3, x4) e M4 | jci + 2x2 + x3 = 0}. Řešení. Vidíme, že čtvrtá souřadnice se v omezení na podprostor nevyskytuje, bude tedy vhodné volit jeden z vektorů hledané ortonormální báze vektor (0, 0, 0, 1) a redukovat problém do prostoru M3. I dále se zkusíme vyhnout počítání: vidíme, že položíme-li druhou souřadnici rovnu nule, tak ve vyšetřovaném prostoru leží vektory s opačnou první a třetí souřadnicí, zejména jednotkový vektor (-^, 0, — 0). Na tento vektor je kolmý libovolný vektor, který má stejnou první a třetí souřadnici. Abychom se dostali do uvažovaného podprostoru, volíme druhou souřadnici rovnu záporné hodnotě součtu první a třetí souřadnice a normujeme, tedy volíme vektor (-^, — -^=, 0) a jsme hotovi. □ 2.104. Věta (2.50) nám dává do ruky nástroje, jak poznat matici rotace v M3: má tři různá vlastní čísla s absolutní hodnotou 1, jedno z nich je přímo číslo 1 (jemu příslušný vlastní vektor je osa rotace). Argument zbylých dvou, tedy nutně komplexně sdružených, vlastních čísel potom udává úhel rotace v kladném smyslu v rovině určené bazí ux + ui~, i[ux - 2.105. Určete, jaké lineární zobrazení zadává matice -1 3 -1^ 5 5 5 Řešení. Již známým postupem zjistíme, že matice má následující vlastní čísla a jim příslušné vlastní vektory: 1, (1,2,0); | + fz, 1, (1, 1 + i, -1 - Z); | - fi, (1, 1 - i, -1 + 0- Jde tedy o matici rotace (všechna vlastní čísla mají absolutní hodnotu 1 a jedna z vlastních hodnot je přímo 1), navíc víme, že se jedná o rotaci o arccos(|) = 0, 2957T, což je argument vlastního čísla | + ji. Zbývá určit smysl otáčení. Nejprve je dobré si připomenout, že smysl otáčení se mění s orientací osy (nemá tedy smyslu hovořit o smyslu otáčení, pokud nemáme orientovánu jeho osu. Dle úvah v důkazu věty 2.50, působí daná matice otáčením o arccos(|)) v kladném smyslu v rovině dané bazí ((0, 1, —1), (1, 1, —1)). První vektor báze je imaginární částí vlastního vektoru příslušného vlastní hodnotě | + ji, druhý pak je (společnou) reálnou částí vlastních vektorů příslušných komlexním vlastním hodnotám. Tady je důležité pořadí vektorů v bázi (prohozením vektorů se změní smysl otáčení). Osa otáčení je kolmá na uvažovanou rovinu. Pokud ji orientujeme podle pravidla pravé ruky (daný kolmý směr také dostaneme vektorovým součinem vektorů v bázi) tak bude smysl otáčení v prostoru souhlasit 2.49. Ortogonální zobrazení. Podívejme se teď na speciální případ zobrazení / : V -» W mezi prostory se skalárními součiny, která zachovávají velikosti pro všechny vektory u e V. Definice ortogonálních zobrazení j,. Lineární zobrazení / : V -» W mezi prostory se skalárním součinem se nazývá ortogonální zobrazení, jesltiže pro všechny u e V (f (u), f (u)) = (u, u). Z linearity / a ze symetrie skalárního součinu vyplývá pro všechny dvojice vektorů rovnost {f(u + v),f(u + v)) ■ {f(u),f(u)) + {f(v),f(v)) + 2(f(u),f(v)). Proto všechny ortogonální zobrazení splňují i zdánlivě silnější požadavek, aby platilo pro všechny vektory u, v e V (f(u),f(v)) = (u, v). V úvodní diskusi o geometrii v rovině jsme ve Větě 1.33 dokázali, že lineární zobrazení M2 -» M2 zachovává velikosti vektorů, právě když jeho matice ve standardní bázi (a taje ortonormální vzhledem ke standardnímu skalárnímu součinu) splňuje AT ■ A = E, tj. A-1 = AT. Obecně, ortogonální zobrazení / : V -» W musí být vždy injektivní, protože podmínka (f(u), f (u)) = 0 znamená i (u, u) = 0 a tedy u = 0. Je tedy vždy v takovém případě dimenze oboru hodnot alespoň taková, jako je dimenze definičního oboru /. Pak ovšem je dimenze obrazu rovna dimenzi oboru hodnot a víme, že / : V -» Im / je bijekce. Pokud Im/ W, doplníme ortonormální bázi na obrazu / na ortonormální bázi cílového prostoru a matice zobrazení bude obsahovat čtvercovou regulární matici A doplněnou nulovými řádky na potřebnou velikost. Bez újmy na obecnosti tedy předpokládejme W = V. Naše podmínka pro matici ortogonálního zobrazení v ortonormální bázi pak říká pro všechny vektory x a y v prostoru K" toto: (A • x)T ■ (A • y) = xT ■ (AT ■ A) • y = xT ■ y. Speciálními volbami vektorů standardní báze za x a y dostaneme přímo, že AT ■ A = E, tedy tentýž výsledek jako v dimenzi dvě. Dokázali jsme tak následující tvrzení: -| Matice ortogonálních zobrazení j. Věta. Nechť V je reálný vektorový prostor se skalárním součinem a f : V —> V je lineární zobrazení. Pak f je ortogonální, právě když v některé ortonormální bázi (a pak už ve všech) má matici A splňující AT = A-1. 112 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA 2 . 45 Důkaz. Skutečně, jestliže zachovává / velikosti, musí mít uvedenou vlastnost v každé ortonormální bázi. Naopak, předchozí výpočet ukazuje, že vlastnost matice v jedné bázi už zaručuje zachovávání velikostí. □ Čtvercovým maticím, které splňují rovnost AT = A~l říkáme ortogonální matice. Důsledkem předchozí věty je také popis všech matic přechodu S mezi ortonormálními bázemi. Každá totiž musí zadávat zobrazení W -» W zachovávající velikosti a splňují tady také právě podmínku 5_1 = ST. Při přechodu od jedné ortonormální báze ke druhé se tedy matice (libovolných) lineárních zobrazení mění podle vztahu A' = STAS. 2.50. Rozklad ortogonálního zobrazení. Podívejme se nyní podrobněji na vlastní vektory a vlastní čísla ortogonálních zobrazení na reálném vektorovém prostoru V se skalárním součinem. Uvažujme pevně zvolené ortogonální zobrazení V s maticí A v nějaké ortonormální bázi a zkusme postupovat obdobně jako s maticí rotace D v příkladu 2.59. Nejprve se ale podívejme obecně na invariantní podpro-story ortogonálních zobrazení a jejich ortogonální doplňky. Jestliže pro libovolný podprostor W C V a ortogonální zobrazení / : V -» V platí f(W) C W, pak také platí pro všechny v e W^, w e W (f(v), w) = (f(v), f o f~\w)) = (v, f~\w)) = 0 protože i f~l(w) e W. To ale znamená, že také f (W^) C W-1. Dokázali jsme tedy jednoduché, ale velice důležité tvrzení: Tvrzení. Ortogonální doplněk k invariantnímu podprostoru je také invariantní. Kdyby byla vlastní čísla ortogonálního zobrazení reálná, zaručovalo by už toto tvrzení, že bude vždy existovat báze V z vlastních vektorů. Skutečně, zúžení / na ortogonální doplněk invariantního podprostoru je opět ortogonální zobrazení, takže můžeme do báze přibírat jeden vlastní vektor za druhým, až dostaneme celý rozklad V. Nicméně většinou nejsou vlastní čísla ortogonálních zobrazení reálná. Musíme si proto pomoci opět výletem do komplexních vektorových prostorů. Zformulujeme rovnou výsledek: ' Rozklad ortogonálních zobrazení Věta. Nechť f : V —> V je ortogonální zobrazení na prostoru se skalárním součinem. Pak všechny kořeny charakteristického polynomu f mají velikost jedna a existuje rozklad V na jednorozměrné vlastní podprostory odpovídající vlastním číslům X = ± 1 a dvourozměrné podprostory P^l, na kterých působí f rotací o úhel rovný argumentu komplexního čísla X v kladném směru. Všechny tyto různé podprostory jsou po dvou ortogonální. se smyslem otáčení v rovině s uvedenou bazí. V našem případě dostaneme vektorovým součinem (0, 1, —1) x (1, 1, —1) = (0, —1, —1). Jedná se tedy o rotaci o arccos(|) v kladném smyslu kolem vektoru (0, —1, —1), neboli o rotaci o arccos(|) v záporném smyslu kolem vektoru (0, 1, 1). a to v kladném smyslu. □ 113 I. BÁZE A SKALÁRNÍ SOUČINY 4. VLASTNOSTI LINEÁRNÍCH ZOBRAZENÍ Důkaz. Bez újmy na obecnosti můžeme pracovat s pro-■Z'J'^EE^ storem ^ = ^™ se standardním skalárním sou-■jJ&'ľžW/ činem. Zobrazení tedy bude dáno ortogonální ^g^jPs matici A, kterou můžeme stejně považovat za matici lineárního zobrazení na komplexním prostoru Cm (která je jen shodou okolností reálná). Zaručeně bude existovat právě m (komplexních) kořenů charakteristického polynomu, včetně jejich algebraické násobnosti (viz tzv. základní věta algebry, ??). Navíc, protože charakteristický polynom zobrazení bude mít výhradně reálné koeficienty, budou tyto kořeny buď reálné, nebo půjde o dvojice komplexně sdružených kořenů k a k. Příslušné vlastní vektory v Cm k takové dvojici komplexně sdružených vlastních čísel budou řešením dvou komplexně sdružených systémů homogenních lineárních rovnic, neboť příslušné matice systémů rovnic jsou celé reálné, až na samotná dosazená vlastní čísla. Evidentně proto budou také řešení těchto systémů komplexně sdružené vektory. Nyní využijeme skutečnost, že ke každému invariantnímu podprostoru je i jeho ortogonální doplněk invariantní. Nejprve si najdeme všechny vlastní podprostory V±1 příslušné k reálným vlastním hodnotám a zúžíme naše zobrazení na ortogonální doplněk k jejich součtu. Bez újmy na obecnosti tedy můžeme předpokládat, že naše ortogonální zobrazení nemá žádná reálná vlastní čísla a že je dim V = 2n > 0. Zvolme nyní nějaké vlastní číslo k a označme ux vlastní vektor příslušný k vlastnímu číslu k = a + i/3, f3 ^ 0. Zcela stejně jako v případě rotace v rovině zadané v odstavci 2.59 maticí D nás zajímá reálná část součtu dvou jednorozměrných podprostoru (ux) ®{úx), kde úx je vlastní vektor příslušný k vlastnímu číslu k. Jde o průnik uvedeného součtu komplexních podprostoru s M2", který je generovaný vektory ux + úx a i(ux — úx), tj. reálný vektorový podprostor Px c M2" generovaný bazí danou reálnou a imaginární částí ux xx=ľeux, -yx = -imux. Protože A ■ (ux + úx) = kux +kúx a. podobně s druhým bázovým vektorem, jde zjevně o invariantní podprostor vůči násobení maticí A a dostáváme A ■ xx = otxx + fíyx, A-yx = -ayx + fixx. Protože naše zobrazení zachovává velikosti, musí být navíc velikost vlastní hodnoty k rovna jedné. To ale neznamená nic jiného, než že zúžení našeho zobrazení na Px je rotací o argument vlastní hodnoty k. Všimněme si, že volba vlastního čísla k místo k vede na stejný podprostor se stejnou rotací, pouze ji dostaneme vyjádřenou v bázi xx, yx, tj. musíme v souřadnicích rotovat o úhel s opačným znaménkem. Důkaz celé věty tím dokončen, protože zúžením našeho zobrazení na ortogonální doplněk a opakováním předchozí úvahy dostaneme celý rozklad po n krocích. □ 114 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNI LINEÁRNI ALGEBRA K myšlenkám tohoto důkazu se ještě vrátíme v kapitole třetí, když budeme studovat komplexní rozšíření euklidovských vektorových prostorů, viz 3.23. Poznámka. Specielně v dimenzi tři musí být alespoň jedno vlastní číslo ±1, protože je trojka liché číslo. '"^"T^"'*1 Pak ovšem příslušný vlastní podprostor je osou Ctr rotace trojrozměrného prostoru o úhel daný ar-v'/lrT- gumentem dalších vlastních čísel. Zkuste si rozmyslet, jak poznat, kterým směrem jde rotace a také, že vlastní číslo — 1 znamená ještě dodatečné zrcadlení podle roviny kolmé na osu rotace. K diskusi vlastností matic a lineárních zobrazení se budeme vracet. Před pokračováním obecné teorie si napřed ukážeme v následující kapitole několik aplikací, ještě ale uzavřeme naši diskusi obecnou definicí: * Spektrum lineárního zobrazení _ 32 2.51. Definice. Spektrum lineárního zobrazení f : V -» V (resp. matice) je posloupnost kořenů charakteristického polynomu zobrazení /, včetně násobností. Algebraickou násobností vlastní hodnoty rozumíme její násobnost jakožto kořenu charakteristického polynomu, geometrická násobnost vlastní hodnoty je dimenze příslušného podprostoru vlastních vektorů. Spektrálním poloměrem lineárního zobrazení (matice) je , největší z absolutní hodnot vlastních čísel. V této terminologii můžeme naše výsledky o ortogonálních zobrazeních zformulovat tak, že jejich spektra jsou vždy celá podmnožinou jednotkové kružnice v komplexní rovině. To znamená, že v reálné části spektra mohou být pouze hodnoty ±1, jejichž algebraické a geometrické násobnosti jsou stejné. Komplexní hodnoty spektra pak odpovídají rotacím ve vhodných dvourozměrných podprostorech, které jsou na sebe po dvou kolmé. I. BAZE A SKALÁRNÍ SOUČINY 4. VLASTNOSTI LINEÁRNÍCH ZOBRAZENI 116 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA 117 j. doplňující príklady k cele kapitole 4. vlastnosti lineárních zobrazeni ves0016 J. Doplňující příklady k celé kapitole 2.106. Řešte soustavu X\ -\- X2 ~\~ X3 -\- X4 — 2X5 2X2 + 2x3 + 2x4 — 4X5 — X\ — X2 — X3 -\- X4 -\- 2x5 —2xi + 3x2 + 3x3 — 6x5 Řešení. Rozšířená matice soustavy je 3, 5, 0, 2. / 1 1 1 1 -2 3 \ 0 2 2 2 -4 5 -1 -1 -1 1 2 0 V "2 3 3 0 -6 2/ Přičtením prvního řádku ke třetímu a jeho dvojnásobku ke čtvrtému a poté přičtením (—5/2)násobku druhého řádku ke čtvrtému obdržíme /1 1 1 1 -2 3 \ / 1 1 1 1 -2 3 \ 0 2 2 2 -4 5 0 2 2 2 -4 5 0 0 0 2 0 3 0 0 0 2 0 3 5 5 2 -10 8 / 0 0 -3 0 -9/2 / Poslední řádek je zřejmě násobkem předposledního, a tak jej můžeme vynechat. Pivoti se nacházejí v 1., 2. a 4. sloupci, proto jsou volné proměnné X3 a X5, které nahradíme reálnými parametry t, s. Uvažujeme tak soustavu Xi + x2 2x2 + + t 2t + + X<\ 2,x^ 2,x^ 2s 4s 3, 5, 3. Víme tedy, že x4 = 3/2. Druhá rovnice dává 2x2 + 2t + 3 - 4s = 5, tj. x2 = 1 - t + 2s. z první potom plyne xi + 1 - t + 2s + t + 3/2 - 2s = 3, tj. Xi = 1/2. Celkem máme (2.5) (Xi, X2, X3, X4, X5) (1/2, 1 -t + 2s, t, 3/2, s), t,s € Také v tomto příkladu znovu uvažujme rozšířenou matici a převeďme ji pomocí řádkových úprav do schodovitého tvaru, kde první nenulové číslo v každém řádku je 1 a kde ve sloupci, ve kterém tato 1 je, jsou ostatní čísla 0. Ještě připomeňme, že čtvrtou rovnici, jež je kombinací prvních třech rovnic, budeme vynechávat. Po řadě vynásobením druhého a třetího řádku číslem 1 /2, odečtením třetího řádku od druhého a od prvního a odečtením druhého řádku od prvního získáme 0 1 1 1 1 -2 3^ 0 2 2 2 -4 5 0 0 0 2 0 3^ 1 1 1 0 -2 3/2 0 1 1 0 -2 1 0 0 0 1 0 3/2 1 0 0 0 0 0 110-2 0 0 0 1 0 118 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA Pokud opět zvolíme s (t, s € M), dostaneme odsud obecné řešení (2.5) ve stejném tvaru, a to bezprostředně. Uvažte příslušné rovnice Xi x2 + 2s 1/2, 1, 3/2. □ 2.107. Najděte řešení soustavy lineárních rovnic zadané rozšířenou maticí / 3 3 2 1 3 \ 2 1 1 0 4 0 5 -4 3 1 \5 3 3 -3 5/ Řešení. Uvedenou rozšířenou matici upravíme na schodovitý tvar. Nejprve první a třetí řádek opíšeme a do druhého řádku napíšeme součet (—2)násobku prvního a 3násobku druhého řádku a do čtvrtého řádku součet 5násobku prvního a (—3)násobku posledního řádku. Takto získáme / 3 3 2 1 3 \ / 3 3 2 1 3 \ 2 1 1 0 4 0 -3 -1 -2 6 0 5 -4 3 1 0 5 -4 3 1 \5 3 3 -3 5 ) ^ 0 6 1 14 0/ Opsání prvních dvou řádků a přičtení 5násobku druhého řádku k 3násobku třetího a jeho 2násobku ke čtvrtému řádku dává 2 -1 -17 -1 / 3 0 0 -1 -4 1 1 -2 3 14 3 \ 1 0/ / 3 0 0 V 0 o o 1 -2 -1 10 3 \ 33 12/ Pokud první, druhý a čtvrtý řádek opíšeme a ke třetímu přičteme čtvrtý, dostaneme / 3 3 2 1 3 ( 3 3 2 1 3 \ 0 -3 -1 -2 6 0 -3 -1 -2 6 0 0 -17 -1 33 0 0 -18 9 45 0 -1 10 12 ) \0 0 -1 10 12 / Dále je (řádkové úpravy jsou již „obvyklé") / 3 3 2 1 3 \ / 3 3 2 1 3 \ 0 -3 -1 -2 6 0 -3 -1 -2 6 0 0 -18 9 45 0 0 2 -1 -5 \o 0 -1 10 12 J V 0 0 1 -10 -12 J / 3 3 2 1 3 / 3 3 2 1 3 \ 0 -3 -1 -2 6 0 -3 -1 -2 6 0 0 1 -10 -12 0 0 1 -10 -12 0 2 -1 -5 J \0 0 0 19 19 / Vidíme, že soustava má právě 1 řešení. Určeme ho zpětnou eliminací / 3 0 0 o o 1 o 1 -2 -10 3 \ -12 / 3 0 0 0 o 1 o o o 0 1 2 \ 8 -2 1 / 119 J. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 4. VLASTNOSTI LINEÁRNÍCH ZOBRAZENÍ / 3 3 0 0 6 \ /1 1 0 0 2 \ 0 -3 0 0 6 0 1 0 0 -2 0 0 1 0 -2 0 0 1 0 -2 0 0 1 1 ) v 0 0 0 1 1 / /1 0 0 0 4 \ 0 1 0 0 -2 0 0 1 0 -2 v 0 0 0 1 1 ) Výsledek je tak X\ = 4, x2 = —2, x3 = —2, XiX = 1. 2.108. Uvedlte všechna řešení homogenního systému x + y = 2z + v, z + 4w + v = 0, — 3« =0, z, = —v 4 lineárních rovnic 5 proměnných x, y, z, u, v. Řešení. Systém přepíšeme do matice tak, že v prvním sloupci budou koeficienty u x, ve druhém sloupci koeficienty u y, až v pátém sloupci koeficienty u v, přičemž všechny členy v každé rovnici převedeme na levou stranu. Tímto způsobem přísluší systému matice /l 1 -2 0 -l\ 0 0 14 1 0 0 0-30 \0 0 1 0 1 / Přičteme-li (4/3)násobek třetího řádku ke druhému a odečteme-li poté druhý řádek od čtvrtého, obdržíme /l 1 -2 0 -l\ /l 1 -2 0 -l\ 0 0 1 4 1 0 0 1 0 1 000 -3 0 ~000 -3 0 \0 0 1 0 1/ \0 00 0 OJ Dále vynásobíme třetí řádek číslem —1/3 a přičteme 2násobek druhého řádku k prvnímu, což dává /l 1 -2 0 -l\ /l 1 0 0 l\ 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 00 0 -3 0 ~00010 \0 0 0 0 OJ \0 0 0 0 0/ Z poslední matice můžeme přímo vypsat všechna řešení ř, s e neboť máme matici ve schodovitém tvaru, přičemž první nenulové číslo v každém řádku je 1 a ve sloupci, kde se taková 1 nachází, jsou na ostatních pozicích 0. Výše uvedené řešení ve tvaru lineární kombinace dvou vektorů je určeno právě sloupci bez prvního nenulového čísla nějakého řádku, tj. druhým a pátým sloupcem, kdy volíme 1 jako druhou složku pro druhý sloupec a jako pátou složku pro pátý sloupec a kdy čísla v příslušném sloupci bereme s opačným znaménkem a umisťujeme je na /x\ /-1\ /-1\ y 1 0 z = t 0 + s -1 u 0 0 \v) \°) V 1 / 120 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA pozici danou sloupcem, ve kterém je první 1 v jejich řádku. Dodejme, že výsledek je ihned možné přepsat do tvaru (x, y, z, u, v) = (—t — s, t, —s, 0, s) , t,s € M. □ 121 J. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 4. VLASTNOSTI LINEÁRNÍCH ZOBRAZENI Řešení cvičení 2.8. Taková matice X existuje právě jedna, a to 18 -32^ 5 - /l 10 -4\ 2.14. A-1 = 1 12 -5 V> 5 -v (2 -3 0 0 o\ -5 8 0 0 0 2.15. 0 0 -1 0 0 0 0 0 -5 2 \0 0 0 3 -v (0 1 1 o\ 2.16. C"1 = 1 2 0 1 1 -1 0 0 -i 0 V -1 -1 1 2.77. V prvním případě dostáváme ve druhém potom 1 2 \i 1 '14 8 5> 2 1 1 1 1 0) 2.18. Platí A~ = /o i 1 ... 1\ 1 0 1 ... 1 1 1 0 '•• 1 V 1 1 0/ n - 1 2.79. -3,17,-1 2.22. Odečtením prvního řádku od všech ostatních řádků a následným rozvojem podle prvního sloupce obdržíme V„(xi,x2, ...,*„) — xi 0 X2 — xi xj — Xj 0 xw xi x^ .x2 x^ 1 • Xn X\ X^ x^ Xj — Xj -1 „«-l xl „n-l _ „"-I vji —1 _ vn-l A. -"íl ~~ Vytkneme-li z ř-tého řádku x;+i — x\ pro / € {1, 2, ..., n — 1}, dostaneme V„(xi,x2, x„) i x2 + xi ... Y!}Zo*2~j~24 (X2 - xi) ■ ■ ■ (x„ - Xl) , . v-^«-2 « i xn -\- x\ ... 2^ y—o ■n-2 Ji-j-2 J Xy 122 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA Odečtením od každého sloupce (počínaje posledním a konče druhým) x\-násobku předcházejícího lze docílit úpravy ->n-2 n—j—2 i X2 + XI ... j2"=oA 3 A 1 X2 xl 1 x„ + XI ... YľjJ) xn 2 A 1 X" • • • 2 Proto V„(xi,x2, ..., x„) = (x2 -xi) • • • (x„ -xi) V„-i(x2, ... ,x„). Neboť je zřejmě V2{Xn — \, Xyí) — Xn Xft — l, platí (uvažme matematickou indukci) V„(xi, x2,..., x„) - Y\ (xj ~ xi)- \ 1, vyhovují danému vztahu. Vztah také splňuje jejich libovolná tzv. lineární kombinace, tedy posloupnost cn = san + tbn, s, t e M. Čísla s a t můžeme zvolit tak, aby výsledná kombinace splňovala dané počáteční podmínky, v našem případě c\ = \, C2 = 1. Pro jednoduchost je vhodné navíc ještě dodefinovat nultý člen posloupnosti jako c0 = 0 a spočítat s a t z rovnic pro c0 a c\. Zjistíme, že* = -7i'ř = 7iatedy r--1 (i + Všy - (i - Všy Bmet (3.2) pn = -—-. - 2"(V5) Takto zadaná posloupnost splňuje danou rekurentní formuli a navíc počáteční podmínky c0 = 0, c\ = 1, jedná se tedy o tu jedinou posloupnost, která je těmito požadavky zadána. Všimněte si, že hodnota vzorce (3.2) je celočíselná pro libolné přirozené n (zadává totiž celočíselnou Fibonacciho posloupnost), i když to tak na první pohled nevypadá. □ IniProdukt 3.2. Zjednodušený model chování hrubého národního produktu. Uvažujme diferenční rovnici (3.3) yk+2 - a(l + b)yk+1 + abyk = 1, kde yk je národní produkt v roce k. Konstanta a je takzvaný mezní sklon ke spotřebě, což je makroekonomický ukazatel, který udává jaký zlomek peněz, které mají obyvatelé k dispozici, utratí, a konstanta b popisuje, jak závisí míra investic soukromého sektoru na mezním sklonu ke spotřebě. Předpokládáme dále, že velikost národního produktu je normována tak, aby na pravé straně rovnice vyšlo číslo 1. Spočítejte konkrétní hodnoty pro a = |,& = |,yo = l,yi = l. Řešení. Nejprve budeme hledat řešení homogenní rovnice (pravá strana nulová) ve tvaru r*. Číslo r musí být řešením charakteristické V pevně zvolených souřadnicích pak máme matici A zobrazení

1), zatímco nedospělí jedinci vysílí a zničí část dospělé populace (tj. koeficient a může být i záporný). Navíc si je třeba někdo pěstuje a průběžně si ujídá konstantní počet c < 0. Speciálním takovým příkladem s c = 0 je např. Fibo-nacciho posloupnost čísel y0, y\, ..., kde yn+2 = y„+i + y„. Jestliže při řešení matematického problému nemáme žádný nový nápad, vždy můžeme zkusit, do jaké míry funguje známé řešení podobných úloh. Zkusme proto dosadit do rovnice (3.1) s koeficientem c = 0 podobné řešení jako u rovnic lineárních, tj. f (ji) = k" pro nějaké skalární k. Dosazením dostáváme k' n+2 ak n + l bk" =kn(k2 -ak-b) =0. Tento vztah bude platit buď pro k = 0 nebo při volbě hodnot kt = ^(a + ^/a2 + 4b), k2 = ^(a - ^/a2 + 4b). Zjistili jsme tedy, že skutečně opět taková řešení fungují, jen musíme vhodně zvolit skalár k. To nám ale nestačí, protože my chceme naj ít řešení pro j akékoliv počáteční hodnoty / (0) a f(l), a zatím jsme našli jen dvě konkrétní posloupnosti splňující danou rovnici (a nebo dokonce jen jednu, pokud je ^2 = ^l)- 130 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET el. 9 3.11a Jak jsem již dovodili i u zcela obecných lineárních reku-rencí, součet dvou řešení f\(n) a fi(n) naši rovnice f(n + 2) — a ■ f (n + \) — b ■ f (n) = 0 je zjevně opět řešením téže rovnice a totéž platí pro konstatní násobky řešení. Naše dvě konkrétní řešení proto poskytují daleko obecnější řešení f(n) = Ci*? + C2k"2 pro libovolné skaláry C\ a C2 a pro jednoznačné vyřešení konkrétní úlohy se zadanými počátečními hodnotami /(O) a /(l) nám zbývá jen najít příslušné konstanty C\ a C2. (A také si musíme ujasnit, zda to pro všechny počáteční hodnoty půjde). 3.8. Volba skalárů. Ukažme si, jak to může fungovat alespoň na jednom příkladě. Soustředíme se přitom na problém, že kořeny charakteristického polynomu nevychází obecně ve stejném oboru skalárů, jako jsou koeficienty v rovnici. 1 (3.2) -i + -2yn yn+2 = y„H y0 = 2,yi= 0. V našem případě je tedy Ai_2 = ^(1 ± a/3) a zjevně y0 = Ci + C2 = 2 73) yi ici(l + V3) + ic2(l je splněno pro právě jednu volbu těchto konstant. Přímým výpočtem C\ jediné řešení f(n) = (1 1 — i a/3, C2 = 1 + ^a/3 a naše úloha má ^a/3W1 + a/3)" + (1 + ^V3W1 - a/3)" t 9" 3 2" Všimněme si, že i když nalezená řešení pro rovnice s celočíselnými koeficienty vypadají složitě a jsou vyjádřena pomocí iracionálních (případně komplexních) čísel, o samotném řešení dopředu víme, že je celočíselné též. Bez tohoto „úkroku" do většího oboru skalárů bychom ovšem obecné řešení napsat neuměli. S podobnými jevy se budeme potkávat velice často. Obecné řešení nám také umožňuje bez přímého vyčíslování konstant diskutovat kvalitativní chování posloupnosti čísel /(«), tj. zda se budou s rostoucím n blížit k nějaké pevné hodnotě nebo budou oscilovat v nějakém rozsahu nebo utečou do neomezených kladných nebo záporných hodnot. 3.9. Obecný případ homogenních rekurencí s konstantními koeficienty. Zkusme nyní stejně jako v případě druhého řádu dosadit volbu xn = k" pro nějaký ( zatím neznámý) skalár k do obecné homogenní rovnice z definice 3.6. Dostáváme pro každé n podmínku k"-k(a0kk +aikk- • • • + fljt) = 0 což znamená, že buď k = 0 nebo je A kořenem tzv. charakteristického polynomu v závorce. Charakteristický polynom ale už není závislý na n. Řešení dané nehomogenní diferenční rovnice druhého řádu bez počátečních podmínek jsou tedy tvaru a (a/2)" + b (—a/2)" — n — 2, a, b e R. Nyní dosazením do počátečních podmínek určíme neznámé a, b e R. Pro početní jednoduchost použijeme malého triku: z počátečních podmínek a daného rekurentního vztahu vypočteme člen x0 : xo = \ (x2 — 0) = 1. Daný rekurentní vztah spolu s podmínkami x0 = 1 a. x\ = 1 pak zřejmě splňuje tatáž posloupnost, která splňuje původní počáteční podmínky. Máme tedy následující vztahy pro a, b: x0: a(V2f + b(-V2f - 2= 1, tedy a+ b = 3, x\ : \pla — a/26 = 5, jejichž řešením dostáváme a = 6+54"^, b = ^—|^. Řešením je po- sloupnost □ 3.4. Určete reálnou bázi prostoru řešení homogenní diferenční rovnice -"-«+4 = %n+3 "I- -"-« + 1 -*•«, Řešení. Charakteristický polynom dané rovnice je x4 — x3 — x + 1. Hledáme-li jeho kořeny, řešíme reciprokou rovnici x4 - x3 - x + 1 = 0 Standardním postupem nejprve vydělíme rovnici výrazem x2 a poté zavedeme substituci t = x + tedy t2 = x2 + + 2. Obdržíme rovnici t2 - t - 2 = 0, s kořeny t\ = — 1, ř2 = 2. Pro obě tyto hodnoty neznámé t pak řešíme zvlášť rovnici danou substitučním vztahem: 1 x + - = -1. X \ + = cos(2tt/3) + Ta má dva komplexní kořeny x\ = i sin(27r/3) a x2 = — \ — i^- = cos(27r/3) — i sin(27r/3). Pro druhou hodnotu neznámé t dostáváme rovnici x + - = 2 x s dvojnásobným kořenem 1. Celkem je tedy bazí hledaného vektorového prostoru posloupností, které jsou řešením dané diferenční rovnice, následující čtveřice posloupností: {—\ + iVŠ}^, {—\ — 131 A. REKURENTNÍ ROVNICE 2. DIFERENČNÍ ROVNICE ř'V3}^i>{l}^i (konstantní posloupnost) a {n}™=1. Hledáme-li však reálnou bázi, musíme nahradit dva generátory (posloupnosti) z této báze s komplexními hodnotami generátory reálnými. Protože tyto generátory jsou geometrické řady, jejichž libovolné členy jsou komplexně sdružená čísla, můžeme vzít jako vhodné generátory posloupnosti dané polovinou součtu, resp. polovinou /-násobku rozdílu, daných komplexních generátorů. Takto dostaneme následující reálnou bázi řešení: {1}^ (konstantní posloupnost), {n}^=v {cos(« • 2tt/3)}^=1, {&m(n-27c/3)}?=1. □ 3.5. Najděte posloupnost, která vyhovuje nehomogenní diferenční rovnici s počátečními podmínkami: Xn+2 = Xn + 1 + 2xn + 1, X\ = 2, X2 = 2. Řešení. Obecné řešení zhomogenizované rovnice je tvaru a(— 1)" + b2". Partikulárním řešením je konstanta —1/2. Obecné řešení dané nehomogenní rovnice bez počátečních podmínek je tedy a(-l)n+b2n Dosazením do počátečních podmínek zjistíme konstanty a = —5/6, b = 5/6. Dané rovnici s počátečními podmínkami tedy vyhovuje posloupnost 6 ' 3 2 □ 3.6. Určete posloupnost reálných čísel, která vyhovuje následující nehomogenní diferenční rovnici s počátečními podmínkami: 2xnjr2 = —x„_|_i + x„ + 2, x\ = 2, X2 = 3. Řešení. Obecné řešení zhomogenizované rovnice je tvaru a(— 1)" + b(1/2)". Partikulárním řešením je konstanta 1. Obecné řešení dané nehomogenní rovnice bez počátečních podmínek je tedy a(-\)"+b(^j +1. Dosazením do počátečních podmínek zjistíme konstanty a = l,b = 4. Dané rovnici s počátečními podmínkami tedy vyhovuje posloupnost (_iy+ 4 +1. □ Předpokládejme, že má charakteristický polynom k různých kořenů k\, ..., kk. Můžeme za tímto účelem i rozšířit uvažované pole skalárů, např. Q na M nebo M na C, protože výsledkem výpočtu pak stejně budou řešení, která opět zůstanou v původním poli díky samotné rovnici. Každý z kořenů nám dává jedno možné řešení Abychom byli uspokojeni, potřebujeme k lineárně nezávislých řešení. K tomu nám postačí ověřit nezávislost dosazením k hodnot pro n = 0, ..., k — 1 pro k možností k{. Dostaneme tzv. Vandermondovu matici a je pěkným (ale ne úplně snadným) cvičením spočíst, že pro všechna k a jakékoliv /c-tice různých ki je determinant takovéto matice nenulový, viz příklad 2.22 na straně 80. To ale znamená, že zvolená řešení jsou lineárně nezávislá. Nalezli jsme tedy fundamentální systém řešení homogenní diferenční rovnice v případě, že všechny kořeny jejího charakteristického polynomu jsou po dvou různé. Uvažme nyní násobný kořen k a dosaďme do definiční rovnice předpokládané řešení xn = nk". Dostáváme podmínku a0nkn H----+ak(n- k)kn~k = 0. Tuto podmínku je možné přepsat pomocí tzv. derivace polynomu, kterou značíme apostrofem: k(a0kn +■■■+ akk"-ky = 0 a hned na začátku kapitoly páté uvidíme, že kořen polynomu / je vícenásobný právě, když je kořenem i jeho derivace /'. Naše podmínka je tedy splněna. Při vyšší násobnosti i kořenu charakteristického polynomu můžeme postupovat obdobně a využijeme skutečnosti, že £-násobný kořen je kořenem všech derivací polynomu až do i — 1 včetně. Derivace přitom postupně vypadají takto: f(X)=a0kn + ---+akk"-k f'(k) = aonk"-1 + ■■■+ ak(n - k)kn-k~l f"(k) = a0n(n - l)kn~2 + ■■■+ ak(n - k)(n -k- \)kn~k f(l+1) =a0n...(n- í)kn~1-1 + ... + ak(n -k)...(n-k- £)A"-^_1 Podívejme se na případ trojnásobného kořenu k a hledejme řešení ve tvaru n2k". Dosazením do definiční podmínky dostaneme rovnost a0n2kn + ---+ak(n- k)2kn~k = 0. Zjevně je levá strana rovna výrazu k2 f"(k) + kf'(k) a protože je k kořenem obou derivací, je podmínka splněna. Indukcí snadno dokážeme, že i obecnou podmínku pro hledané řešení ve tvaru xn = nlkn, a{)nlkn + ...ak(n- kfkn~k = 0, 132 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET dostaneme jako vhodnou lineární kombinaci derivací charakteristického polynomu začínající Xl+l f{l+l) + ^Xl£(£ + l)fW + ... a dostali jsme se tedy blízko k úplnému důkazu následující: Věta. Každá homogenní lineární diferenční rovnice řádu k nad libovolným číselným oborem K obsaženým v komplexních číslech K má za množinu všech řešení k—rozměrný vektorový prostor generovaný posloupnostmi x„ = nlXn, kde X jsou (komplexní) kořeny charakteristického polynomu a mocniny £ probíhají všechna přirozená čísla od nuly až do násobnosti příslušného kořenu X. Důkaz. Výše použité vztahy násobnosti kořenů a derivací uvidíme později, a nebudeme tu dokazovat tvrzení, že každý komplexní polynom má právě tolik kořenů, včetně násobnosti, jaký má stupeň. Zbývá tedy ještě dokázat, že nalezená /c-tice řešení je lineárně nezávislá. I v tomto případě lze induktivně dokázat nenulovost příslušného determinantu, jako jsme zmiňovali u toho Vandermondova výše. □ 3.12 | 3.10. Reálné báze řešení reálných differenčních rovnic. Pro rovnice s reálnými koeficienty povedou reálné počáteční podmínky vždy na reálná řešení. Přesto ale budou příslušná fundamentální řešení z právě odvozené věty často existovat pouze v oboru komplexním. Zkusme proto najít jiné generátory, se kterými se nám bude pracovat lépe. Potože jsou koeficienty charakteristického polynomu reálné, každý jeho kořen bude buď také reálný nebo musí kořeny vystupovat po dvou komplexně združených. Jestliže si řešení popíšeme v goniometrickém tvaru jako X" = \X|" (cos n

i + b2 = 0 s resenim a\ = b\ = b2 = | a a2 posloupnost vyjádřit jako 1 -112. Celkem můžeme hledanou <2 -\m + i)n+ (\ + \i)d-i)n. Posloupnost můžeme však vyjádřit i pomocí reálné báze (komplexního) vektorového prostoru řešení, totiž posloupností un = \(y„ + zn) = (V2)"cos(f) a vn = \i(z„ - y„) = (72)" sin(f). Matice přechodu od komplexní báze k reálné je T :-- 2l 3 . 14 1 1 inverzní matice je T 1 = ~. ), pro vyjádření posloupnosti xn pomocí reálné báze, tj. souřadnice (c, d) posloupnosti xn v bázi {un, vn}, pak máme máme tedy alternativní vyjádření posloupnosti x„, ve kterém se nevyskytují komplexní čísla (ale zase jsou v něm odmocniny): JtB = (V2)-cos(^) + (V2)-sin(^), které jsme samozřejmě mohli získat též řešením dvou lineárních rovnic o dvou neznámých c, d, totiž 1 = xq = c ■ uq + d ■ vq = c a 2 = x\ = c • u\ + d • v\ = c + d. □ 3.9. Určete explicitní vyjádření posloupnosti vyhovující diferenční rovnici xn+2 = 3x„+i + 3x„ se členy x\ = 1 a x2 = 3. 3.10. Určete explicitní vzorec pro n-tý člen jediné posloupnosti {xn}^Li vyhovující následujícím podmínkám: Xn+2 — Xyi-^i Xn, , X\ — 1, X2 — 5. Postupujeme tak, že najdeme jedno řešení a přičteme celý vektorový prostor dimenze k řešení odpovídajících systémů homogenních. Skutečně takto dostáváme řešení a protože je rozdíl dvou řešení nehomogenní rovnice zjevně řešením homogenní, dostáváme takto řešení všechna. U systémů lineárních rovnic se mohlo stát, že nemusel vůbec mít řešení. To u našich diferenčních rovnic možné není. Zato ale bývá nesnadné nalézt to jedno potřebné partikulární řešení nehomogenního systému, pokud je chování skalárních koeficientů v rovnici složité. Omezíme se tu na jediný případ, kdy příslušný homogenní systém má koeficienty konstantní a b(n) je polynom stupně s. Řešení pak lze hledat ve tvaru polynomu x„ = ao + a\n + • • • + asns s neznámými koeficienty a,■, i = 1, ..., s. Dosazením do diferenční rovnice a porovnáním koeficientů u jednotlivých mocnin n dostaneme systém s + 1 rovnic pro s + 1 proměnných a i. Pokud má tento systém řešení, našli jsme řešení našeho původního problému. Pokud řešení nemá, může stačit zvětšit stupeň s hledaného polynomu. Např. rovnice xn — x„_2 = 2 nemůže mít konstantní řešení, ale dosazením xn = a0+ain dostáváme řešení a i = 1 (a koeficient a0 může být libovolný) a proto je obecné řešení naší rovnice x„ = d +C2(-1)" +n. Všimněme si, že skutečně matice příslušného systému rovnic pro polynom nižšího stupně nula ie nulová a rovnice 0-a0 = 2 doplnit pořádněji diskusi řešitelnosti nema resem. pomoci variace konstant... 3.12. Lineární filtry. Uvažujme nyní nekonečné posloupnosti . X-n + l, ■ ■ ■ , X-l, Xq, X\, . . . , Xn a budeme, podobně jako u systémů lineárních rovnic, pracovat s operací T, která zobrazí celou posloupnost x na posloupnost z = Tx se členy Zn ü{)Xn + a\xn-\ + ■ ■ ■ + akxn- S posloupnostmi x můžeme opět pracovat jako s vektory vzhledem ke sčítání i násobení skaláry po složkách. Pouze bude tento velký vektorový prostor nekonečněrozměrný. Naše zobrazení T je zjevně lineárním zobrazením na takovém vektorovém prostoru. Posloupnosti si představme jako diskrétní hodnoty nějakého signálu, odečítané zpravidla ve velmi krátkých časových jednotkách, operace T pak může být filtrem, který signál zpracovává. Bude nás zajímat, jak odhadnout vlastnosti, které takový „filtr" bude mít. Signály jsou velice často ze své podstaty dány součtem několika částí, které jsou samy o sobě víceméně periodické. Z naší definice je ale zřejmé, že periodické posloupnosti x„, tj. posloupnosti splňující pro nějaké pevné přirozené číslo p 134 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET 3.15 budou mít i periodické obrazy z = T x Zn+p = aOxn+p + a\xn-\+p + ' ' ' + akxn-k+p = ClQXn + a\X„-i + • • • + akXn_k = Zn se stejnou periodou p. Pro pevné zvolenou operaci T nás bude zajímat, které vstupní periodické posloupnosti zůstanou přibližně stejné (případně až na násobek) a které budou utlumeny na nulové hodnoty. V druhém případě tedy hledáme jádro našeho lineárního zobrazení T. To je ale dáno právě homogenní diferenční rovnicí aoxn + a\xn-\ + • • • + akxn-k kterou jsme se naučili řešit. 0, a0 0 ak ^ 0, 3.13. Špatný equalizer. Jako příklad uvažujme velmi jednoduchý lineární filtr zadaný rovnicí Zn (T x)n — Xn+2 + X„. Výsledky takového zpracování signálu jsou naznačeny na následujících čtyřech obrázcích pro postupně se zvyšující frekvenci periodického signálu xn = cos(cpn). Červený je původní signál, zelený je výsledek po zpracování filtrem. Nerovnoměrnosti křivek jsou důsledkem nepřesného kreslení, oba signály jsou samozřejmě rovnoměrnými sinusovkami. Všimněme si, že v oblastech, kde je výsledný signál přibližně stejně silný jako původní, dochází k dramatickému doplnit podrobný posuvu fáze signálu. Levné equalizery skutečně podobně výpočet pomocí špatně f ungují. uvedených nástrojů 3.11. Určete explicitní vzorec pro n-tý člen jediné posloupnosti {xn}^=l vyhovující následujícím podmínkám: — Xn+3 = 2x„+2 + 2Xn + l ~\-Xn, X\ = 1, X2 = 1, Xj, = 1. 3.12. Určete explicitní vzorec pro n-tý člen jediné posloupnosti {xn}^=l vyhovující následujícím podmínkám: — xn+3 = 3x„+2 + 3x„ + i + Xn, X\ = 1, X2 = 1, X3 = 1. B. Populační modely Populační modely, kterými se budeme zabývat, budou rekurentní vztahy ve vektorových prostorech. Neznámou veličinou tedy nebude posloupnost čísel nýbrž posloupnost vektorů. Roli koeficientů pak budou hrát matice. Začneme s jednoduchým (dvourozměrným) příkladem. 3.13. Spoření. S kamarádem spoříme na společnou dovolenou následujícím způsobem. Na začátku dám 10 EUR a on 20 EUR. Každý další měsíc pak dá každý z nás tolik, co minulý měsíc plus polovinu toho, co dal ten druhý z nás předchozí měsíc. Kolik budeme mít za rok dohromady naspořeno? Kolik peněz budu platit dvanáctý měsíc? Řešení. Obnos peněz, který budu platit n-tý měsíc já označím xn a to, co bude platit kamarád označím y„. První měsíc tedy dáme x\ = 10, yi = 20. Pro další platby můžeme psát rekurentní rovnice: xn+i yn+i Xn ~\~ 2 yn 2Xn Pokud označíme společný vklad zn = xn+yn, pak sečtením uvedených rovnic dostaneme vztah zn +i Zn ~\~ ^Zn \zn- To je geometrická řada a dostáváme tedy z„ = 3.(|)" 1. Za rok budeme mít celkem naspořeno z i +Z2+- ■ -+Zi2-Tento částečný součet umíme lehce spočítat 3(l + - + --- + (-)n) .(I)12 1 1 772, 5. Za rok tedy dohromady naspoříme přes 772 euro. Rekurentní soustavu rovnic popisující systém spoření můžeme napsat pomocí matice následovně xn + l \ _ I 2~\ I X" yyn+i) ~ Ví 1/ \yn/ Jde tedy opět o geometrickou řadu. Jejími prvky jsou teď ovšem vektory a kvocient není skalár, ale matice. Řešení lze nicméně najít obdobně 135 B. POPULAČNÍ MODELY 3. ITEROVANÉ LINEÁRNÍ PROCESY Mocninu matice působící na vektor (jci , yi) můžeme nalézt, když vyjá- 3.16 dříme tento vektor v bázi vlastních vektorů. Charakteristický polynuni 1 n„.,,„^x^,„;„™^.,, _3 1 ^.Přišlu- matice je (1 — X) — j — 0 a vlastní čísla jsou tedy Ai 2 šné vlastní vektory jsou po řadě (1, 1) a (1, —1). Pro počáteční vektor (xi, yi) = (1,2) spočítáme a proto 3 " 2 n-l 1 2 1 ' 2 n-l To znamená, že já zaplatím 12. měsíc Xl2 12 12 130 □ eur a můj kamarád v podstatě stejně. Poznámka. Předchozí příklad lze řešit i bez matice následujícím přepsáním rekuretní rovnice: xn = xn + iy„ = jXn + jZn- Předcházející příklad byl vlastně modelem růstu (v daném případě růstu množství naspořených peněz). Nyní přejděme k modelům růstu popisujícím primárně růst nějaké populace. Leslieho model růstu, který jsme detailně rozebrali v teorii, velmi dobře popisuje nejen populace ovcí (podle kterých byl sestaven), ale uplatňuje se například i při modelování následujích populací: 3.14. Zajíci podruhé. Ukažme si, jak můžeme Leslieho modelem popsat populaci zajíců na louce, kterou jsme se zaobírali v příkladu (3.1). Uvažujme, že zajíci umírají po dovršení devátého měsíce věku (v původním modelu byl věk zajíců neomezen). Označme počty zajíců (resp. zaječic) podle stáří v měsících v čase t (měsíců) jako x\(ŕ), x2(t),..., x9(t), tak počty zajíců v jednotlivých věkových skupinách budou po jednom měsíci x\(t + 1) = x2(ř) + x3(ř) + • • • + x9(t), Xi(t + 1) = Xi-\(t), pro i = 2,3, ..., 10, neboli /*l(í +1)\ ŕ 1 1 1 1 1 1 1 x2(ř+ 1) i 0 0 0 0 0 0 0 0 x2(ř) x3(ř+ 1) 0 1 0 0 0 0 0 0 0 x3(ř) x4(ř+ 1) 0 0 1 0 0 0 0 0 0 x4(ř) x5(ř+ 1) = 0 0 0 1 0 0 0 0 0 x5(ř) x6(ř+ 1) 0 0 0 0 1 0 0 0 0 x7(ř+ 1) 0 0 0 0 0 1 0 0 0 x7(ř) xx(t+ 1) 0 0 0 0 0 0 1 0 0 n(t) \x9(ř+ 1)/ Vo 0 0 0 0 0 0 1 0/ \x9(ř)/ Charakteristický polynom uvedené matice je X9 — X1 — X6 — X5 — X4 — X3 —X2 —X—1. Kořeny této rovnice nejsme schopni explicitně vyjádřit, jeden z nich však velmi dobře odhadnout, Xi = 1, 608 (proč muls menší než (>/5 + l)/2)?). Populace bude tedy podle tohoto modelu růst přibližně s geometrickou řadou 1, 608ř. 3. Iterované lineární procesy 3.14. Iterované procesy. V praktických modelech se často setkáváme se situací, kdy je vývoj systému v jednom časovém období dán lineárním procesem, zajímáme se ale o chování systému po mnoha iteracích. Často přitom samotný lineární proces zůstává pořád stejný, z pohledu našeho matematického modelu tedy nejde o nic jiného než opakované násobení stavového vektoru stále stejnou maticí. Zatímco pro řešení systémů lineárních rovnic jsme potřebovali jen minumum znalostí o vlastnostech lineárních zobrazení, k pochopení chování iterovaného systému budeme účelně používat znalosti vlastních čísel, vlastností vlastních vektorů a další strukturní výsledky. V jistém smyslu se pohybujeme v podobném prostředí jako u lineárních rekurencí a skutečně můžeme náš popis filtrů v minulých odstavcích takto také popsat. Představme si, že pracujeme se zvukem a uchováváme si stavový vektor -k+l) všech hodnot od aktuální až po poslední, kterou ještě v našem lineárních filtru zpracováváme. V jednom (ve vzorkovací frekveci audio signálu mimořádně krátkém) časovém intervalu pak přejdeme ke stavovému vektoru f «+i +1, -k+2), kde první hodnota xn+\ = a\xn + ■ ■ ■ + akxn-k+\ je spočtena jako u homogenních diferenčních rovnic, ostatní si jen posunujeme o jednu pozici a poslední zapomeneme. Příslušná čtvercová matice řádu k, splňující Yn+i = A ■ Yn, bude vypadat takto: a-2 . o-k-l a-k\ 1 0 . 0 0 0 1 ' 0 0 \o 0 . 1 0/ Pro takovou jednoduchou matici jsme si odvodili explicitní postup pro úplné řešení otázky, jak vypadá formule pro řešení. Obecně to tak snadno nepůjde ani pro velice podobné systémy. Jedním z typických případů je studium dynamiky populací v různých biologických systémech. Všimněme si také, že vcelku pochopitelně má matice A za charakteristický polynom právě p(X) = Xk — aiXk~l — ■ ■ ■ — ak (snadno dovodíme pomocí rozvoje podle posledního sloupce a rekurencí). To je snadno vysvětlitelné přímo, protože řešení xn = X", X ^ 0 vlastně nyní znamená, že matice A vynásobením převede vlastní vektor (Xk, ..., X)T na jeho A-násobek. Musí být tedy X vlastním číslem matice A. 3.15. Model růstu populací. Představme si, že zkoumáme nějaký systém jednotlivců (pěstovaná zvířata, hmyz, buněčné kultury apod.) rozdělený do m skupin (třeba podle stáří, fází 136 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET vývoje hmyzu apod.). Stav X„ je tedy dán vektorem X„ = (u\, ..., um)T závisejícím na okamžiku ŕ„, ve kterém systém pozorujeme. Lineárni model vývoje takového systému je dán maticí A dimenze n, která zadává změnu vektoru Xn na Xn+i = A ■ Xn při přírůstku času z tk na tk+i. Uvažujme jako příklad tzv. Leslieho model růstu, ve kterém vystupuje matice / fl h h ■ ■ ■ fm-l fm\ ti 0 0 ... o o 0 r2 0 ... 0 0 A = 0 0 r3 ' • • 0 0 ' \0 0 0 ... rm_! 0/ jejíž parametry jsou svázány s vývojem populace rozdělené do m věkových skupin tak, že ft označuje relativní plodnost příslušné věkové skupiny (ve sledovaném časovém skoku vznikne z N jedinců v /-té skupině ftN jedinců nových, tj. ve skupině první), zatímco r; je relativní úmrtnost /-té skupiny během jednoho období. Pochopitelně lze použít takový model s libovolným počtem věkových skupin. Všechny koeficienty jsou tedy nezáporná reálná čísla a čísla r jsou mezi nulou a jedničkou (a pokud jsou všechna rovna jedné, jde vlastně o lineární rekurenci s konstantními koeficienty). Než se pustíme do obecnější teorie, trochu si pohrajeme s tímto konkrétním modelem. Přímým výpočtem pomocí Laplaceova rozvoje podle posledního sloupce spočteme charakteristický polynom pm (k) matice A pro model s m skupinami: pm(k) = det(A-kE) = -Apm_1(A)+(-l)m_1/mTi ... rm_i. Vcelku snadno dovodíme indukcí, že tento charakteristický polynom má tvar PmW = (—l)m(km — ci\km 1 — ••• — am-\k — am) s vesměs nezápornými koeficienty a\, ..., am, pokud jsou všechny prametry r; a ft kladné. Např. je vždy am = f m t\ ■ ■ ■ tm — 1 - Zkusme kvalitativně odhadnout rozložení kořenů polynomu pm, detaily budeme umět přesně vysvětlit a ověřit až po absolvování příslušných partií tzv. matematické analýzy v kapitole páté a později. Vyjádříme si pm(k) = ±km(l-q(k)) kde q(k) = a\k~l + ■ ■ ■ + amk~m je ostře klesající a nezáporná funkce pro k > 0. Evidentně bude proto existovat právě jedno kladné k, pro které bude q(k) = 1 a tedy také pm (k) = 0. Jinými slovy, pro každou Leslieho matici existuje právě jedno kladné reálné vlastní číslo. Pro skutečné Leslieho modely populací bývají všechny koeficienty r; i /} mezi nulou a jedničkou a typicky nastává 3.15. Jezírko. Mějme jednoduchý model jezírka, ve kterém žije populace bílé ryby (plotice, ouklej, podoustev, ostroretka atd.). Předpokládáme, že druhého roku se dožije 20 % rybího plůdku a od tohoto stáří už jsou ryby schopny se reprodukovat. Z mladých ryb přežije z druhého do třetího roku přibližně 60 % a v dalších letech je už úmrtnost zanedbatelná. Dále předpokládáme, že roční přírůstek nových plůdků je třikrát větší než počet ryb (schopných reprodukce). Tato populace by evidentně jezírko brzy přeplnila. Rovnováhu chceme dosáhnout nasazením dravé ryby, např. štiky. Předpokládejme, že jedna štika sní ročně asi 500 dospělých bílých ryb. Kolik štik pak musíme do jezírka nasadit, aby populace stagnovala? Řešení. Pokud označíme p počet plůdku, m počet mladých ryb a r počet dospělých ryb, pak je stav populace v dalším roce popsán následovně: p\ / 3m + 3r \ m I I 0, 2p I , r J y0, 6m + rr J kde 1 — r je relativní úmrtnost dospělé ryby způsobená štikou. Příslušná matice popisující tento model je tedy 0 3 3\ 1,2 0 0 0 0,6 r j Pokud má populace stagnovat, pak musí mít tato matice vlastní hodnotu 1. Jinými slovy, jednička musí být kořenem charakteristického polynomu této matice. Ten je tvaru k2(r — k)+0, 36—0, 6.(r —k) = 0. To znamená, že r musí splňovat r - 1 +0, 36-0, 6(r - 1) = 0 0, 4r - 0, 04 = 0 Do dalšího roku tedy může přežít jen 10 % z dospělých ryb a zbytek by měla sníst štika. Označíme-li hledaný počet štik x, pak dohromady sní 500x ryb, což by mělo odpovídat podle předchozího výpočtu 0, 9r. Poměr počtu bílé ryby ku počtu štik by tedy měl být r- = ^j. To je přibližně jedna štika na 556 kusů bílé ryby. □ Obecněji můžeme zpracovat předcházející model takto: 3.16. Nechť je v populačním modelu dravec-kořist určen vztah mezi počtem dravců Dk a kořisti Kk v daném a následujícím měsíci (k e N U {0}) lineárním systémem (a) Djt+i = 0,6Djt + 0,5*:*, Kk+l = -0,l6Dk + 1,2 Kk; (b) Djt+i = 0,6Dk + 0,5Kk, Kk+l = -0,ll5Dk + 1,2Kk; 137 B. POPULAČNÍ MODELY 3. ITEROVANÉ LINEÁRNÍ PROCESY (c) Dk+i Kk+i 0,6Dk + 0,5**, -0, 135 D* + l,2Kk. Analyzujte chovaní tohoto modelu po velmi dlouhé době. Řešení. Všimněme si, že jednotlivé varianty se od sebe navzájem liší pouze v hodnotě koeficientu u Dk ve druhé rovnici. Můžeme proto všechny tři případy vyjádřit jako :s)-(aj »«"■ kde budeme postupně klást a = 0, 16, a = 0, 175, a = 0, 135. Hodnota koeficientu a zde reprezentuje průměrný počet kusů kořisti zahubených jedním (očividně „nenáročným") dravcem za měsíc. Při označení bezprostředně dostáváme Dk Kk 0,6 0,5 a 1,2 D0 K0 keN. Pomocí mocnin matice T tak můžeme určit vývoj populací dravce a kořisti po velmi dlouhé době. Snadno stanovíme vlastní čísla (a) Xi (b) Xi (c) ki 1, A2 = 0,8; 0, 95, k2 = 0, 85; 1,05, A2 = 0,75 matice T a jim (při zachování pořadí) příslušné vlastní vektory (a) (5,4)r, (5,2)r; (b) (10,7)r, (2, l)T; (c) (10,9)r , (10, 3)T. Pro ieff tudíž platí (a) 3. lř 5 5 4 2 1 0 0 0, 8 (b) (c) 10 2 7 1 10 10 9 3 0,95 0 1,05 0 0 0, 85 0 0,75 10 2 7 1 10 10 9 3 situace, kdy jediné reálné vlastní číslo ki je větší nebo rovno jedné, zatímco absolutní hodnoty ostatních vlastních čísel jsou ostře menší nezjedná. Jestliže začneme s libovolnýmn stavovým vektorem X, který bude dán jako součet vlastních vektorů X = X\ + • • • + Xm s vlastními hodnotami A;, pak při iteracích dostáváme Ak ■ X = k\X\ + ... kkmXm, takže za předpokladu, že \kt\ < 1 pro všechna / > 2, budou všechny komponenty ve vlastních podprostorech velmi rychle mizet, kromě kompomenty k\X*. Rozložení populace do věkových skupin se tak budou rychle blížit poměrům komponent vlastního vektoru k dominantnímu vlastnímu číslu k\. Například pro matici (uvědomme si význam jednotlivých koeficientů, jsou převzaty z modelu pro chov ovcí, tj. hodnoty r zahrnují jak přirozený úhyn tak případné aktivity chovatelů na jatkách) 0.2 0 0.8 0 0 / 0 0.95 0 0 0 V vyjdou vlastní hodnoty přibližně 0.8 0 0 0.7 0 0.6 0 0 0 0.6 0\ 0 0 0 0/ 1.03, 0, -0.5, -0,27 + 0.74/, -0.27 -0.74/ s velikostmi 1.03, 0, 0.5, 0.78, 0.78 a vlastní vektor příslušný dominantnímu vlastnímu číslu je přibližně x = (30 27 21 14 8). Zvolili jsme rovnou jediný vlastní vektor se součtem souřadnic rovným stu, zadává nám proto přímo výsledné procentní rozložení populace. Pokud bychom chtěli místo tříprocentního celkového růstu populace setrvalý stav a předsevzali si ujídat více ovce třeba z druhé věkové skupiny, řešili bychom úlohu, o kolik máme zmenšit r2, aby bylo dominantní vlastní číslo rovno jedné. 3.16. Matice s nezápornými prvky. Reálné matice, které nemají žádné záporné prvky mají velmi speciální vlastnosti. J ť ť J J ť tady by se hodilo Zároveň jsou skutečně časté v praktických modelech. Nazna- trochu historie, číme proto teď proto tzv. Perronovu-Frobeniovu teorii, která se právě takovým maticím věnuje. naznačíme cast výsledků Perrona, k Začneme definicí několika pojmů, abychom mohli naše obecneja situaci se úvahy vůbec formulovat. vůbec nedopracujeme. Kladné a primitivní matice Definice. Za kladnou matici budeme považovat takovou čtvercovou matici A, jejíž všechny prvky a^ jsou reálné a ostře kladné. Primitivní matice je pak taková čtvercová matice A, jejíž nějaká mocnina Ak je kladná. Odtud dále pro velká k plyne 138 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET Připomeňme, že spektrálním poloměrem matice a nazývame maximum absolutních hodnot všech jejích (komplexních) vlastních čísel. Spektrálním poloměrem lineárního zobrazení na (konečněrozměrném) vektorovém prostoru rozumíme spektrální poloměr jeho matice v některé bázi. Normou 2 matice Aeř nebo vektoru x e W rozumíme součet absolutních hodnot všech jejich prvků. U vektorů x píšeme pro jejich normu \x\. Následující výsledek je mimořádně užitečný a snad i dobře srozumitelný. Jeho důkaz se svou náročností dosti vymyká této učebnici, uvádíme ale alespoň jeho stručný nástin. Pokud by čtenář měl problém s plynulým čtení nástinu důkazu, doporučujeme jej přeskočit. Věta (Perronova). Jestliže je a primitivní matice se spektrálním poloměrem ÄeK, pak je X jednoduchým kořenem charakteristického polynomu matice a, který je ostře větší než absolutní hodnota kteréhokoliv jiného vlastního čísla matice a. K vlastnímu číslu k navíc existuje vlastní vektor x s výhradně kladnými prvky x;-. (a) Náznak důkazu. V důkazu se budeme opírat o intuici inspirováno materiálem na webu, viz http://www- users.math.umd.edu/ elementární geometrie. Částečně budeme použité koncepty ~mmb/475/spec.pdf fe upřesňovat už v analytické geometrii ve čtvrté kapitole, některé analytické aspekty budeme studovat podrobněji v kapitolách páté a později, přesné důkazy některých analytických kroků v této učebnici nepodáme vůbec. Snad budou následující úvahy nejen osvětlovat dokazovaný teorém, ale budou také samy o sobě motivací pro naše další studium geometrie i matematické analýzy. Začneme docela srozumitelně znějícím pomocným lemmatem: Lemma. Uvažme libovolný mnohostěn P obsahující počátek 0 e W1. Jestliže nějaká iterace lineárního zobrazení ý : M" -» W1 zobrazuje P do jeho vnitřku, pak je spektrální poloměr zobrazení ý ostře menší než jedna. Uvažme matici a zobrazení ý ve standardní bázi. Protože vlastní čísla ak jsou k-té mocniny vlastních čísel matice a, můžeme rovnou bez újmy na obecnosti předpokládat, že samotné zobrazení ý již zobrazuje P do vnitřku P. Zjevně tedy nemůže mít ý žádnout vlastní hodnotu s absolutní hodnotou větší než jedna. Důkaz dále povedeme sporem. Předpokládejme, že existuje vlastní hodnota k s |A| = 1. Máme tedy dvě možnosti. Buďje kk = 1 pro vhodné k nebo takové k neexistuje. Obrazem f je uzavřená množina (to znamená, že pokud se body v obrazu budou hromadit k nějakému bodu y v W, bude y opět v obrazu) a hranici P tento obraz vůbec nepro-tíná. Nemůže tedy mít ý pevný bod na hranici P ani nemůže existovat žádný bod na hranici, ke kterému by se mohly libovolně blížit body v obrazu. První argument vylučuje, že by nějaká mocnina k byla jedničkou, protože to by takový pevný bod na hranici P jistě existoval. Ve zbývajícím případě jistě existuje dvourozměrný podprostor w C M", na nějž se ý zužuje coby rotace o iracionální argument a jistě existuje bod 5 5\ (1 0\ (5 5 4 2) ' [O 0j'\4 2 j_ /-10 25\ 10 l -8 20/ ' (b) (c) 10 2\ (0 0 7 1) ' \0 0 0 0 0 0 10 10\ /1,05* 0 9 3) ' \ 0 0 1,05* /-30 100 27 90 10 2 7 1 10 10 9 3 60 neboť právě pro velká & e N můžeme položit (a) (b) (c) 1 0 0 0, 8 0,95 0 0 0,85 i oy o oř o o o o 1,05 0 V _ /1,05* o^ 0 0,15) ~ y 0 Oj Podotkněme, že ve variantě (b), tj. pro a = 0, 175, nebylo nutné vlastní vektory počítat. Obdrželi jsme tak (a) 'BA 1 /-10 25\ /zV .KkJ~ 10 y-8 20J'{k0/ = J_(5 (-2A, + 5K0f 10 \4 (-2D0 + 5K0), (b) 'DA _ (0 0\ (D0\ /0> ykk) ~ \0 OJ' \k0) \0) ' (c) 'Dk\ _ L05* /-30 100 .Kj™ 60 V -27 90 D0 K0 60 1,05* /10(-3A) + lOKo) 60 \9(-3D0 + lOKo) Tyto výsledky lze interpretovat následovně: (a) Pokud 2Dq < 5Kq, velikosti obou populací se ustálí na nenulových hodnotách (říkáme, že jsou stabilní); jestliže 2Z)0 > 5K0, obě populace vymřou. 139 B. POPULAČNÍ MODELY 3. ITEROVANÉ LINEÁRNÍ PROCESY (b) Obě populace vymřou. (c) Pro3D0 < 10 K0 nastáva populační exploze obou druhů; pro 3 A) > 10^o °bě populace vymřou. To, že extrémně malá změna velikosti a může vést ke zcela odlišnému výsledku, je zapříčiněno neměnností hodnoty a v závislosti na velikosti obou populací. Poznamenejme, že toto omezení, kdy a v našich modelech považujeme za konstantní, nemá oporu ve skutečnosti. Přesto získáváme odhad velikosti a pro stabilní populace. □ 3.17. Poznámka. Jiný model soužití populací dravce a kořisti poskytuje model pánů Lotky a Volterra, který popisuje vztah mezi populacemi soustavou dvou obyčejných diferenciálních rovnic. Podle tohoto modelu obě populace oscilují, což je i v souladu s pozorováními. Nyní uveďme poněkud obsáhlejší model. 3.18. Model šíření jednoletých bylin. Budeme uvažovat rostliny, které na začátku léta vykvetou, na jeho vrcholu vyprodukují semena a samy uhynou. Některá ze semen vyklíčí ještě na konci podzimu (ozimé rostliny), jiná přečkají zimu v zemi a vyklíčí na začátku jara (jarní rostliny). Ozimé rostlinky (sazenice), které přes zimu nezmrznou, jsou na jaře větší než jarní a většinou z nich vyrostou větší rostliny než z jarních sazenic. Větší rostlina vyprodukuje více semen. Pak se celý vegetační cyklus opakuje. Rok je tedy rozdělen na čtyři vegetační období a v každém z těchto období můžeme rozlišit několik „forem" rostliny: Období stadia rostliny začátek jara začátek léta vrcholné léto podzim malé a velké sazenice malé, střední a velké kvetoucí rostliny semena sazenice a přezimující semena Označme x\(t), resp. x2(t), počet malých, resp. velkých, sazenic na začátku jara roku ř a y\(t), resp. y2(t), resp. y3(t), počet malých, resp. středních, resp. velkých rostlin v létě téhož roku. Z malých sazenic mohou vyrůst malé nebo střední rostliny, z velkých sazenic mohou vyrůst střední nebo velké rostliny. Kterákoliv ze sazenic samozřejmě může uhynout (uschnout, být spasena krávou a podobně) a nevyroste z ní nic. Označme bij pravděpodobnost, že ze sazenice j-té velikosti, j = 1,2, vyroste rostlina i-té velikosti, / = 1,2,3. Pak je 0 < bn < 1, bn = 0, 0 < 0 < b hi < 1, 0 < b22 < 0, '32 < 1, bn + hi < 1, hi = 0, , h2 + h2 < 1 (promyslete si, co každá z těchto nerovností vyjadřuje). Pokud pravděpodobnost považujeme za klasickou, můžeme bn vypočítat jako podíl y v průniku W s hranicí P. Pak by ale byl bod y libovolně přesně přiblížen body z množiny \/r (y) při průchodu přes všechny iterace a tedy by musel sám být také v obrazu. Došli jsme tedy ke sporu a lemma je ověřeno. Nyní se dáme do důkazu Perronovy věty. Naším prvním krokem bude ověření existence vlastního vektoru, který má všechny prvky kladné. Uvažme za tím účelem tzv. standardní simplex {x = (xi l,Xi > 0, i = 1, Protože všechny prvky v matici A jsou nezáporné, obraz A ■ x bude mít samé nezáporné souřadnice stejně jako x a alespoň jedna z nich bude vždy nenulová. Zobrazení x h-» \A ■ x\~l(A ■ x) proto zobrazuje S do sebe, Toto zobrazení S ^ S splňuje všechny předpoklady tzv. Browerovy věty o pevném bodě a proto existuje vektor y e S takový, že je tímto zobrazením zobrazen sám na sebe. To ale znamená, že A ■ y = X y, X = \A ■ y\ a našli jsme vlastní vektor, který leží v S. Protože ale má nějaká mocnina Ak podle našeho předpokladu samé kladné prvky a samozřejmě je také Ak-y = Xky, všechny souřadnice vektoru y jsou ostře kladné (tj. leží ve vnitřku 5) a X > 0. Abychom dokázali zbytek věty, budeme uvažovat zobrazení zadané maticí A ve výhodnější bázi a navíc ho vynásobíme konstantou A-1: B = X~l(Y~l ■ A-Y), kde F je diagonální matice se souřadnicemi y i vektoru y na diagonále. Evidentně je B také primitivní matice a navíc je vektor z = (l,...,l)rjejím vlastním vektorem. Jestliže nyní dokážeme, že \i = 1 je jednoduchým kořenem charakteristického polynomu matice B a všechny ostatní kořeny mají absolutní hodnotu ostře menší než jedna, bude Perronova věta dokázána. K tomu se nám teď bude hodit dříve dokázané pomocné lemma. Uvažujme matici B jako matici lineárního zobrazení, které zobrazuje řádkové vektory («i u„) h-» u ■ B tj. pomocí násobení zprava. Díky tomu, že je z = (1, ..., 1)T vlastním vektorem matice B, je součet souřadnic řádkového vektoru v n n Uibi> = = !> i,j=l i = l kdykoliv je m e 5. Proto toto zobrazení zobrazuje simplex S na sebe a má také jistě v S vlastní (řádkový) vektor w s vlastní hodnotou jedna (pevný bod, opět dle Browerovy věty). Protože nějaká mocnina Bk obsahuje samé ostře pozitivní prvky, je nutně obraz simplexu S v k-té iteraci zobrazení daného B uvnitř S. To už jsme blízko použití našeho lematu, které jsme si pro důkaz připravili. Budeme i nadále pracovat s řádkovými vektory a označme si P posunutí simplexu S do počátku pomocí vlastního 140 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET vektoru w, který jsme právě našli, tj. P = —w + S. Evidentně je P mnohostěn obsahující počátek a vektorový pod-prostor V C W generovaný P je invariantní vůči násobení maticí B násobením řádkových vektorů zprava. Zúžení našeho zobrazení na P tedy splňuje předpoklady pomocného lemmatu a proto nutně musí být všechny jeho vlastní hodnoty v absolutní hodnotě menší než jedna. Ještě se musíme vypořádat se skutečností, že právě uvažované zobrazení je dáno násobením řádkových vektorů zprava maticí B (zatímco nás původně zajímalo chování zobrazení, daného B pomocí násobení sloupcových vektorů zleva). To je ale ekvivalentní násobení transponovaných sloupcových vektorů transponovanou maticí B obvyklým způsobem zleva. Dokázali jsem tedy vlastně potřebné tvrzení o vlastních číslech pro matici transponovanou k naší matici B. Transponování ale vlastní čísla nemění. Dimenze prostoru V je přitom n — 1, takže důkaz věty je ukončen. □ 3.17. Jednoduché důsledky. Následující velice užitečné tvrzení má při znalosti Perronovy věty až překvapivě jednoduchý důkaz a ukazuje, jak silná je vlastnost primitívnosti matice zobrazení. Důsledek. Jestliže A = (a^) je primitivní matice a x e W1 její vlastní vektor se samými nezápornými souřadnicemi a vlastní hodnotou k, pak k > Oje spektrální poloměr A. Navíc platí foj^Oij 0. Z Perronovy věty víme, že spektrální poloměr \i je vlastním číslem a zvolme takový vlastní vektor y k \i, že rozdíl x — y má samé kladné souřadnice. Potom nutně pro všechny mocniny n 0 < A" ■ (x - y) = k"x - \ry, ale zároveň platí k < \i. Odtud již vyplývá k = \i. Zbývá odhad spektrálního poloměru pomocí minima a maxima součtů jednotlivých sloupců matice. Označme je bmm a bmax, zvolme za x vektor se součtem souřadnic jedna a počítejme: aUxj — XI ~ ^ i,j=\ i=\ n / n \ n příznivých výsledků (z malé vyrostla malá rostlina) a všech možných výsledků (počet malých sazenic), tj. b\\ = y\(t)/x\(t). Odtud yi(r) = bnxi(t). Analogicky dostaneme rovnost y3(0 = b32x2(t). Označíme-li na chvíli y2,i(0, resp. y2,2Í0 počet středních rostlin vyrostlých z malých, resp. velkých sazenic, je y2(r) = y2,i(0 + ^2,2(0 a bii = y2,i(0M(0, ^22 = yi,2Ít)/x2{t) a tedy y2(t) = b2\xl(t) + b22x2(t). Označíme B=\b21 b22 I , x(t) = I ) , y(ŕ) = I y2(0 a předchozí rovnosti zapíšeme v maticovém tvaru y(r) = Bx(t). Označíme-li po řadě c\\, c\2 a c13 počty semen, které vyprodukuje jedna malá, střední a velká rostlina, a z (ŕ) celkový počet vyprodukovaných semen v létě roku t, platí z(t) = cnyi(0 +c12y2(t) +c13y3(ř), nebo v maticovém tvaru z(t) = Cy(t) při označení C = (en Ci2 C13) . Aby matice C popisovala modelovanou realitu, budeme předpokládat, že platí nerovnosti 0 < en < cl2 < c13. Označme nakonec w\(t) a w2(t) počet semen, které vyklíčí ještě na podzim a počet semen, která přezimují, v tomto pořadí, ad\\, resp. d2i pravděpodobnost, že semeno vyklíčí na podzim, resp. nevyklíči (prezimuje), a fn, resp. /22 pravděpodobnost, že ozimá sazenice, resp. že přezimující semeno během zimy nezmrzne. Pravděpodobnosti vyklíčení dn, d2i zřejmě musí splňovat nerovnosti 0 < dn, 0 < d2i, dn + d2i = 1, a poněvadž rostlinka snáze zmrzne, než semeno ukryté v zemi, budeme o pravděpodobnostech fi i, f22 přežití zimy předpokládat 0 < fn < /22 < 1- Při označení D dn d2i fn 0 0 f 22 W(t) «>i (0 «>2(0 141 B. POPULAČNÍ MODELY 3. ITEROVANÉ LINEÁRNÍ PROCESY RelPrirPop dostaneme podobnými úvahami jako výše rovnosti w(t) = Dz(t), x(t + 1) = Fw(t). Poněvadž násobení matic je asociativní, můžeme pro počty jednotlivých stadií rostlin v následujícím roce z předchozích rovností sestavit rekurentní formule: x(t + 1) =Fw(t) = F{Dz(t)) = (FD)z(t) = (FD){Cy(t)) = =(FDC)y(t) = (FDC)(Bx(t)) = (FDCB)x(t), □ Všimněme si, že např. všechny Leslieho matice z 3.15, kde jsou všechny uvažované koeficienty /} a tj ostře kladné, jsou primitivní a tedy na ně můžeme plně použít právě odvozené výsledky. Perronova-Frobeniova věta je zobecněním Perronovy věty na obecnější matice, které tu nebudeme uvádět. Další informace lze najít např. v 99 3.20 y(t + 1) =Bx(t + 1) = B{Fw(t)) = (BF)w(t) = (BF){Dz(i)) =(BFD)z(t) = (BFD)(Cy(t)) = (BFDC)y(t), z(t + 1) =Cy(t + 1) = C(Bx(t + 1)) = (CB)x(t + 1) = (CB){Fw(t)) =(CBF)w(t) = (CBF)(Dz(t)) = (CBFD)z(t), W(t + 1) =Dz(t + 1) = D(Cy(t + 1)) = (DC)y(t + 1) = =(DC)(Bx(t + 1)) = (DCB)x(t + 1) = (DCB)(Fw(t)) = ==(DCBF)w(t). Při označení 3.18. Markovovy řetězce. Velice častý a zajímavý případ lineárních procesů se samými nezápornými prvky v matici je matematický model systému, který se může nacházet v m různých stavech s různou pravděpodobností. V jistém okamžiku je systém ve stavu i s pravděpodobností x; a k přechodu z "možného stavu i do stavu j dojde s pravděpodobností ř;j. Můžeme tedy proces zapsat takto: V čase n je systém popsán pravděpodobnostním vektorem (ui(n), um(n)) Ax = FDCB, Ay = BFDC, je zjednodušíme na formule CBFD, Ah DCBF, To znamená, že všechny komponenty vektoru x jsou reálná nezáporná čísla a jejich součet je roven jedné. Komponenty udávají rozdělení pravděpodobnosti jednotlivých možností stavů systému. Rozdělení pravděpodobností pro čas n + 1 bude dáno vynásobením pravděpodobnostní maticí přechodu T = (Mj), tj. T *-« + ! Xfi. x(ř+l) = Axx(t), y(ř+l) = Ayy(t), z(ř+l) = Azz(t), w(ř+l) = Aw(ť) Z těchto formulí již můžeme vypočítat složení populace rostlin v libovolném období libovolného roku, pokud známe složení populace v nějakém období počátečního (nultého) roku. Nechť je například známo složení populace v létě, tj. počet z(0) vysetých semen. Pak složení populace na začátku jara ř-tého roku je Protože předpokládáme, že vektor x zachycuje všechny možné stavy a proto s celkovou pravděpodobností jedna přejde opět do některého z nich, budou všechny sloupce matice T tvořeny také pravděpodobnostními vektory. Takovému procesu říkáme (diskrétní) Markovův proces. Všimněme si, že každý pravděpodobnostní vektor x je skutečně Markovovým procesem zobrazen na vektor se součtem souřadnic jedna: x(t) = Axx(t - 1) A2xx(t 2) A'_1jc(1) = A'_1F«;(0) ř-l E- 1. --A'-1 FDz,(0). Povšimněme si, že matice Az = CBFD je typu lxl; není to tedy matice, ale skalár. Můžeme tedy označit k = Az, vypočítat (3.5) k = CBFD = (en cn c13) 62i = (cubn + cnb2i cnb22 + ci3b32) (y-^ŕfei) = = bncndnfn + b2XcX2dnj\x + b22cX2d2Xf22 + b32cX3d2Xf22 Nyní můžeme v plné síle použít Perronovu-Frobeniovu teorii. Protože je součet řádků matice T vždy roven vektoru (1, ..., 1), je zcela elementárně vidět, že matice T — E je singulární a jednička proto bude zaručeně vlastním číslem matice T. Pokud je navíc T primitivní matice (tj. např. když jsou všechny prvky nenulové), z Důsledku 3.17 víme, že je jednička jednoduchým kořenem charakteristického polynomu a všechny ostatní mají absolutní hodnotu ostře menší než jedna. Věta. Markovovy procesy s maticí, která nemá žádné nulové prvky nebo jejíž některá mocnina má tuto vlastnost, splňují: 142 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET 3.21 vymazat příslib, pokud to nenastane, a nahradit odkazem do literatury • existuje jediný vlastní vektor x c je pravděpodobnostní • iterace Tkx$ se blíží k vektoru xm pro jakýkoliv počáteční pravděpodobnostní vektor xq. Důkaz. První tvrzení vyplývá přímo z kladnosti souřadnic vlastního vektoru dovozené v Perronově větě. Pokud jsou algebraické a geometrické násobnosti vlastních čísel matice T stejné, pak druhé tvrzení okamžitě vyplývá z toho, že absolutní hodnoty všech ostatních vlastních čísel musí být ostře menší než jedna. Skutečně, za uvedeného předpoladu na vlastní čísla lze každý počáteční vektor x0 napsat jako součet vlastních vektorů matice T a při iterovaném působení matice T na počátečním vektoru x0 všechny komponenty rychle vymizí, kromě té jediné s vlastním číslem 1. Ve skutečnosti ale i při různé algebraické a geometrické násobnosti vlastních čísel dojdeme ke stejnému závěru pomocí podrobnějšího studia tzv. kořenových podprostorů pro maticí T, ke kterým se dostaneme v souvislosti s tzv. Jordánovým rozkladem ještě v této kapitole, viz poznámka ??. □ 3.19. Iterace stochastických matic. Matice Markovových procesů, tj. matice jejichž všechny sloupce mají součet svých komponent roven jedné se nazývají stochastické matice. Standardní úlohy spojené s Markovovými procesy zahrnují odpovědi na otázky po očekávané střední době přechodu mezi předem určenými stavy systému apod. Momentálně nejsme na řešení těchto úloh připraveni, vrátíme se ale k této tématice později. Přeformulujeme předchozí větu do jednoduchého, ale asi docela překvapivého důsledku. Konvergencí k limitní matici v následujcím tvrzení myslíme skutečnost, že když si předem určíme možnou chybu e > 0, tak najdeme hranici na počet iterací k po níž už všechny komponenty uvedené matice se od té limitní budou lišit o méně než e. Důsledek. Nechť T je primitivní stochastická matice z Mar-kovova procesu a xm je stochastický vlastní vektor k dominantnímu číslu 1 jako ve větě výše. Pak iterace Tk konvergují k limitní matici T^, jejíž všechny sloupce jsou rovny x^. Nyní se ještě na rozlučku s Markovovými procesy zamyslíme se nad problémem, zda existují pro daný systém stavy, do kterých se má systém tendenci dostat a setrvat v nich. O stavu systému řekneme, že je přechodový, jestliže v něm systém setrvává s pravděpodobností ostře menší než jedna. Za absorbční označíme stav, ve kterém systém setrvává s pravděpodobností 1, a do kterého se lze dostat s nenulovou pravděpodobností z kteréhokoliv z přechodových stavů. Konečně, Markovův řetězec Xn je absorpční, jestliže jsou jeho všechny jeho stavy buď absorpční nebo přechodové. Je-li v absorpčním Markovově řetězci prvních r stavů systému absorpčních, pro stochastickou matici T systému to znamené, že se rozpadá na „blokově" horní trojúhelníkový , pro vlastní číslo 1, který a předchozí výpočet uspořádat do výhodného tvaru x(t) (FDCB)'-1 FDz(O) FD(CBFD)'-lz(0) FD(CBFD)'-2 CBFDz(O) FDA'^ziO) = X'-'FDziO); t-i tímto způsobem zůstanou pouze dvě násobení matic. Uvedeme konkrétní hodnoty matic B,C, D, F; jedná se o parametry hypotetické rostliny, které ale byly inspirovanou skutečnou trávou Vulpia ciliata: B }ol Í6i),C = (1 10 100)' ° = (<$ 0,05 0 0 0,1 Nyní můžeme vypočítat jednotlivé matice, které zobrazují vektor popisující složení populace v nějakém vegetačním období na vektor složení populace v temže období následujícího roku: '0,0075 0,0750 0,7500\ íy - , 0,0325 0,3250 3,2500 , 0,0325 0,6500\ 0,0650 1,3000/ x v0,0100 0,1000 1,0000/ 1,3325, Ah '0,0325 1,3000\ v0,0325 l,3000j' Hodnota A = Az = 1,3325 vyjadřuje meziroční relativní přírůstek populace. Přesvědčete se, že každá z matic Ax, Ay, Aw má jedinou nenulovou vlastní hodnotu k = 1,3325; ostatní vlastní hodnoty jsou rovny 0. Ukážeme ještě jedno využití uvedeného modelu. Může nás zajímat, jak „pružně" reaguje meziroční relativní přírůstek k na na změnu jednotlivých „demografických parametrů", jak např. změna pravděpodobnosti přežití semene přes zimu ovlivní meziroční přírůstek. Tuto otázku poněkud upřesníme. Za pružnost reakce charakteristiky k na parametr s, označenou e (k, s) prohlásíme relativní změnu hodnoty k vztaženou k relativní změně parametru s. Ještě přesněji: označíme k (s) meziroční přírůstek závislý na parametru s. Potom A k (s) = k(s + As) — k(s) vyjadřuje absolutní změnu relativního přírůstku k při absolutní změně parametru s o As. Relativní změna k tedy je A k (s)/k (s). Relativní změna přírůstku parametru s je As/s. Hledaná pružnost je tedy podíl těchto relativních změn, tj. Ak(s)/k(s) s k(s + As) - k(s) e(k, s) =- =--. As/s k(s) As Konkrétně, meziroční relativní přírůstek populace závislý na přežití semen přes zimu je podle (3.5) M/22) = d2i(b22Ci2 + b32cn)f22 + dn(bncnfn +b2ic12fn) a pro konkrétní zvolené hodnoty ostatních parametrů M/22) = 13/22 + 0,0325. 143 B. POPULAČNÍ MODELY 4. VÍCE MATICOVÉHO POČTU Poněvadž f22 = 0,1, můžeme počítat A(0,1) = 1,3325, A(0,l+As) = l,3325+13As, AA(0,1) = 13As, takže 0,1 l3As e(K 0,1) = , — = 0,976. tvar 1,3325 As Analogicky můžeme spočítat pružnost reakce relativního přírůstku k populace na ostatních „demografických parametrech". Výsledky jsou shrnuty v tabulce parametr pružnost reakce parametr pružnost reakce bu 0,006 Cil 0,006 b2i 0,019 C12 0,244 b22 0,225 Cl3 0,751 b23 0,750 fn 0,024 dn 0,024 fn 0,976 d2i 0,976 Z ní můžeme vidět, že přírůstek X je nejvíce ovlivňován množstvím přezimujících semen (parametr d2i) a jejich přežíváním (parametr /22)-Toto zjištění není nijak překvapivé, zemědělcům je tento fakt dobře známý již od neolitu. Výsledek však ukazuje, že matematický model skutečně nějak adekvátně realitu popisuje. Další zajímavé a detailně popsané modely růstu nalezne čtenář v souboru příkladů za touto kapitolou. 3.30 3.19. Uvažujte následující Leslieho model: farmář chová ovce. Porodnost ovcí je dána pouze věkem a je průměrně 2 ovce na jednu ovci mezi jedním a dvěma lety věku, pět ovcí na ovci mezi dvěma a třemi lety věku a dvě ovce na ovci mezi třemi a čtyřmi roky věku. Ovce do jednoho roku nerodí. Z roku na rok umře vždy polovina ovcí a to rovnoměrně ve všech věkových skupinách. Po čtyřech letech posílá farmář ovce na jatka. Farmář by rád ještě prodával (živá) jehňátka do jednoho roku na kožešinu. Jakou část jehňátek může každý rok prodat, aby mu velikost stáda zůstávala z roku na rok stejná? V jakém poměru budou potom rozděleny počty ovcí v jednotlivých věkových skupinách? Řešení. Matice daného modelu (bez zásahu farmáře) je /0 2 5 2\ 0 0 0 0 \0 0 \ 0) Farmář může ovlivnit kolik ovcí do jednoho roku mu ve stádu zůstane do dalšího roku, může tedy ovlivnit prvek Z12 matice L. Zkoumáme tedy model /0 2 5 2\ a 0 0 0 0 2 o 0 o 1 2 kde E je jednotková matice, jejíž rozměr je dán počtem absorpčních stavů, zatímco R je kladná matice a Q nezáporná. V každém případě iteracemi této matice budeme pořád dostávat stejný blok nulových hodnot v levém dolním bloku a tedy zcela jistě nebude primitivní, např. R + R Q2 Q I o takových maticích lze získat hodně informací pomocí plné Perronovy-Frobeniovy teorie a se znalostí pravděpodobnosti a statistiky také odhadovat střední doby, po kterých se systém dostane do jedhodo z abosrpčních stavů apod. 4. Více maticového počtu Na vcelku praktických příkladech jsme viděli, že porozumění vnitřní struktuře matic a jejim vlastnostem je silným nástrojem pro konkrétní výpočty nebo analýzy. Ještě více to platí pro efektivitu numerického počítání s maticemi. Proto se budeme zase chvíli věnovat abstraktní teorii. Budeme přitom zkoumat další speciální typy lineárních zobrazení na vektorových prostorech ale také obecný případ, kdy je struktura zobrazení popsána tzv. Jordánovou větou. 3.20. Unitární prostory a zobrazení. Už jsme si zvykli, že je užitečné pracovat rovnou v číselném oboru komplexních čísel a to i v případě, kdy nás zajímají jen reálné objekty. Navíc v mnohých oblastech jsou komplexní vektorové prostory nutnou součástí úvah. Jasným příkladem je například tzv. kvantové počítání, které se stalo velmi akční oblastí teoretické informatiky, přestože kvantové počítače zatím zkonstruovány ve funkční podobě nebyly. Proto navážeme na ortogonální zobrazení a matice z konce druhé kapitoly následující definicí: I Unitární prostory | Definice. Unitární prostor je komplexní vektorový prostor V spolu se zobrazením V x V -» C, (u, v) 1-» u ■ v, které splňuje pro všechny vektory u, v, w e V a skaláry a e C (1) u ■ v = v ■ u (zde pruh značí komplexní konjugaci) (2) (au) ■ v = a(u ■ v) (3) (u + v) ■ w = u ■ w + v ■ w (4) je-li íí /0, pak u ■ u > 0 (zejména je výraz reálný). Toto zobrazení nazýváme skalární součin na V. Reálné číslo y/v ■ v nazýváme velikostí vektoru v a vektor je normovaný, jestliže má velikost jedna. Vektory u a. v nazýváme ortogonální, jestliže je jejich skalární součin nulový, bázi sestavenou z po dvou ortogonálních a normovaných vektorů nazýváme ortonormální báze V. 0/ 144 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET Na první pohled jde o rozšíření definice euklidovských vektorových prostorů do komplexního oboru. Nadále budeme také používat alternativní značení (u, v) pro sklaární součin vektorů u a. v. Zcela stejně jako v reálném oboru také okamžitě z definice vyplývají násludující jednoduché vlastnosti skalárního součinu pro všechny vektory ve V a skaláry vC: u ■ u e M u ■ u = 0 právě tehdy, když u = 0 u ■ (av) = ä(u ■ v) u ■ (v + w) = u ■ v + u ■ w u ■ 0 = 0 • u = 0 i j i J kde poslední rovnost platí pro všechny konečné lineární kombinace. Podrobné ověření je skutečně jednoduchým cvičením, např. první vztah plyne okamžitě z definiční vlastnosti (1)- Standardním příkladem skalárního součinu na komplexním prostoru C" je (xi, ..., xn)T ■ (yi, ..., xn)T = xiýi H-----\-xnýn. Díky konjugování souřadnic druhého argumentu toto zobrazení splňuje všechny požadované vlastnosti. Prostor C" s tímto skalárním součinem budeme nazývat standardní unitární prostor v dimenzi n. Maticově můžeme tento skalární součin psát jako x ■ y = ýT - x. Zcela obdobně jako u euklidovských prostorů a ortogonálních zobrazení budou důležitá lineárních zobrazení, která respektují skalární součiny. _| Unitární zobrazení | Lineární zobrazení

i, ..., v„) taková, že její vektory postupně generují stejné podpro-story jako vektory Uj, tzn. {v\, ..., Ví) = (u\ ..., ui), 1 < i < k. (4) Je-li («i, ..., un) ortonormální báze V, pak souřadnice každého vektoru u e V jsou vyjádřeny vztahem U = (U ■ U\)U\ +••• + («• u„)u„. (5) V libovolné ortonormální bázi má skalární součin souřadný tvar u ■ v = x ■ y = xxýx H-----V xnýn kde x a y jsou sloupce souřadnic vektorů u a v ve zvolené bázi. Zejména je tedy každý n—rozměrný prostor se skalárním součinem izomorfní standardnímu euklidovskému W nebo unitárnímu C". (6) Ortogonální součet unitárních podprostorů V\ +■ ■ ■ +Vk ve V je vždy přímý součet. (7) Je-li A C V libovolná podmnožina, pak A1- C V je vektorový (tedy i unitární) podprostor a (A-1)1- C V je právě podprostor generovaný A. Navíc platí V = (A) © A\ (8) V je ortogonálním součtem n jednorozměrných unitárních podprostorů. Důkaz. (1),(2),(3): Daný systém vektorů nejprve doplníme do libovolné báze (u\, ..., un) vektorového prostoru V a spustíme na ni Grammovu-Schmidtovu ortogonalizaci z 2.42. Tak získáme ortogonální bázi s vlastnostmi požadovanými v (3). Přitom ale z algoritmu Grammovy-Schmidtovy ortogonalizace vyplývá, že pokud již původních k vektorů tvořilo ortogonální systém vektorů, pak v průběhu ortogonalizace zůstanou nezměněny. Dokázali jsme tedy zároeveň i (2)a(l). (4): Je-li u = a\U\ + • • • + a„u„, pak u ■ Ui = ax(ui ■ ui) H-----\-a„(u„ ■ ut) = a^Ui ai (5): Podobně spočteme pro u yi«i H-----h ynun X\U\ ~h * * * ~h XnUn, V — u-v = (XiWiH-----hx„«„)-(yi«iH-----\-y„un) = xxý^-----Yxnýn. 146 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET (6) : Potřebujeme ukázat, že pro libovolnou dvojici Ví, V) ze zadaných podprostorů je jejich průnik triviální. Je-li však u e Ví a zároveň u e V), pak je m _L u, tj. u ■ u =0. To je ale možné pouze pro nulový vektor w e V. (7) : Nechť u,v e a"1. Pak (au + bv) ■ w = 0 pro všechny u> e a, a, ŕ e K (z distributivity skalárního součinu). Tím jsme ověřili, že A1- je unitární podprostor ve V. Nechť (vi, ..., fj-) je nějaká báze (a), vybraná z prvků a, («1,..., «i) ortonormální báze vzniklá z Grammovy-Schmidtovy ortogonalizace vektorů (vi, ..., vk). Doplňme ji na ortonormální bázi celého V (obojí existuje podle již dokázaných částí věty). Protože se jedná o ortogonální bázi, je nutně {uk+\, ..., un) = (u\, ..., uic)~L = A1- a a c (uk+i, ■ ■ ■, u,,)1- (jak plyne z vyjádření souřadnic v ortonormální bázi). Je-li m _L (uk+i, ■ un), pak u je nutně lineární kombinací vektorů u i, ..., uk, to je ale právě tehdy, když je lineární kombinací vektorů v\, ..., vk, což je ekvivalentní příslušnosti u do (a). (8) : Je pouze ekvivalentní formulací existence ortonormální báze. □ 3.22. Důležité vlastnosti velikosti. Nyní máme vše připraveno pro základní vlastnosti spojené s naší definicí velikostí vektorů. Hovoříme také o normě definované skalárním součinem. Všimněme si také, že všechna tvrzení se týkají vždy konečných množin vektorů a jejich platnost proto nezávisí na dimenzi prostoru V, ve kterém se vše odehrává. Věta. Pro libovolné vektory u, v v prostoru V se skalárním součinem platí (1) \\u+v\\ < || m ||+ || ľ || Přitom rovnost nastane právě, když jsou u a v lineárně závislé. (trojúhelníková nerovnost) (2) \u ■ v\ < ||m|| ||f || Přitom rovnost nastane právě, když jsou u a v lineárně závislé. (Cauchyova nerovnost) (3) pro každý ortonormální systém vektorů (e\, ..., ek) platí INI2 > \u -ex\2 + ••• + \u -ek\2 (Besselova nerovnost). (4) Pro ortonormální systém vektorů (e\, ..., ek)je vektor u v podprostorů e (e\, ... ,ek) právě když \\u\\2 = \u-ei\2 + --- + \u-ek\2. (Parsevalova rovnost) (5) Pro ortonormální systém vektorů (e\, ..., ek) a u e V je vektor w = (u ■ 00 blíží nule a proto se stav ustálí na a ^j' > tedy složce počátečního vektoru ve směru prvního vlastního vektoru. Koeficient a lze jednoduše vyjádřit pomocí počátečních počtů aut: a = ^±f^. □ 3.23. Sledovanost televizí. V jisté zemi vysílají jisté dvě televizní stanice. Z veřejného výzkumu vyplynulo, že po jednom roce přejde 1 /6 diváků první stanice ke druhé stanici, 1 /5 diváků druhé stanice přejde k první stanici. Popište časový vývoj počtu diváků sledujících dané stanice jako Markovův proces, napište jeho matici, nalezněte její vlastní čísla a vlastní vektory. 3.24. Studenti na přednášce. Studenty můžeme rozdělit řekněme do tří skupin - na ty, co jsou přítomni na přednášce a vnímají, na ty, co jsou rovněž přítomni, ale nevnímají a na ty, co sedí místo přednášky v hospodě. Nyní budeme hodinu po hodině sledovat, jak se mění počty studentů v těchto skupinách. Základem je vypozorovat, jaké jsou jednotlivé pravděpodobnosti změn stavu studenta. Dejme tomu, že by to mohlo být následovně: 147 C. MARKOVOVY PROCESY 4. VÍCE MATICOVÉHO POČTU Ruleta Student, který vnímá: s pravděpodobností 50% zůstane vnímat, 40% přestane vnímat a 10% odejde do hospody. Student, který je na přednášce a nevnímá: začne vnímat s pravděpodobností 10%, zůstane ve stejném stavu 50%, odejde do hospody 40%. Student, který sedí v hospodě má nulovou pravděpodobnost, že se vrátí na přednášku. Jak se bude tento model vyvíjet v čase? Jak se situace změní, pokud budeme předpokládat aspoň desetiprocentní pravděpodobnost toho, že se student vrátí z hospody na přednášku (tu ovšem samozřejmě nevnímá)? Řešení. Ze zadání se jedná o Markovovův proces s ma-/0,5 0,1 0\ ticí I 0,4 0,5 0 I. Její charakteristický polynom je \0, 1 0,4 1/ (0,5 - A)2(l - k) - 0, 4(1 — k) = 0. Evidentně je tedy 1 vlastní číslo této matice (další kořeny jsou pak 0,3 a 0,7). Postupem času se tedy studenti rozdělí do skupin tak, že stav bude popsán příslušným vlastním vektorem. Ten je řešením rovnice -0,5 0,1 0\ /x\ 0, 4 —0, 5 0 I j y I = 0, což jsou právě násobky vektoru 0, 1 0,4 0/ \z) (0.0.1). Jinými slovy, všichni studenti po čase skončí v hospodě. Tento výsledek je zřejmý i bez počítání - tím, že je nulová pravděpodopnost odchodu studenta do školy, se budou studenti postupně hromadit v hospodě. Přidáním desetiprocentní možnosti odchodu studenta do školy se toto změní. Příslušná matice bude '0, 5 0, 1 0 \ 0, 4 0, 5 0, 1 I. Opět platí, že se stav usáli na vlastním vektoru v0, 1 0,4 0,9/ příslušnému vlastnímu číslu 1. Ten je v tomto případě řešením rovnice -0,5 0, 1 0 0, 4 -0, 5 0, 1 0, 1 0,4 -0, 1 Řešením je například vektor (1, 5, 21). Poměrné rozložení studentů v 3.33 jednotlivých skupinách pak dá násobek tohoto vektoru, který ma sou čet složek roven 1, tj. vektor J=, |^). Opět tedy většina studentů ^27' 27' 27^ skončí v hospodě, někteří ale ve škole budou. □ 3.25. Ruleta. Hráč rulety má následující strategii: přišel hrát se 100 Kč. Vždy všechno, co aktuálně má. Sází vždy na černou (v ruletě je 37 čísel, z toho je 18 černých, 18 červených a nula). Hráč skončí, pokud nic nemá, nebo pokud získá 800 Uvažte tuto úlohu jako Markovův proces a napište jeho matici. Řešení. V průběhu a na konci hry může mít hráč pouze následující peněžní obnosy (v Kč): 0,100,200,400, 800. Budeme-li nadanou situaci nahlížet jako na Markovův proces, toto budou jeho stavy a snadno také (2): Definujme vektor w : 0< IM|2 = NI2 0< IMI2IM|2 = u-v v-v (u-v N ii-n 2 (« • V) v\\z v, tzn. w _L v a počítejme 2(u ■ v)(u ■ v) + (u ■ v)(u ■ v) l\\v\\2 > \u ■ v\2 a rovnost na- Odtud již přímo plyne, že |N|2|| stane právě tehdy, když w = 0, tj. když jsou u a. v lineárně závislé. (1): Opět stačí počítat ||w + i;||2 = ||«||2 + ||i;||2 + «-i; + i;-« = IN|2 + IM|2 + 2Re(M-i;) < ||M||2+||l;||2 + 2|M-l;| < |N|2 + N|2 + 2|NIN = (INI + IMI)2 Protože se přitom jedná o kladná reálná čísla, je opravdu || u + v || < || m || + || f ||. Navíc, při rovnosti musí nastat rovnost ve všech předchozích nerovnostech, to však je ekvivalentní podmínce, ze. u a v jsou lineárně závislé (podle předchozí části důkazu). (3), (4): Nechť (e\, ..., ek) je ortonormální systém vektorů. Doplníme jej do ortonormální báze (e\, ..., en) (to vždy jde podle předchozí věty). Pak, opět podle předchozí věty, je pro každý vektor u e V n n k INI2 = J](w -ediU—e-) = J^\u -ei\2 > -gil2 i — l i — l i — l To je ale právě dokazovaná Besselova nerovnost. Přitom rovnost může nastat právě tehdy, když u ■ e{ =0 pro všechny i > k, a to dokazuje Parsevalovu rovnost. (5): Zvolme libovolný v e (e\, ..., ek) a doplňme daný ortonormální systém na ortonormální bázi (ei, ..., en). Nechť («i, ..., un) a (x\, ..., xk, 0, ..., 0) jsou souřadnice u av v této bázi. Pak u-v -xx\2-\-----\-\uk -x,t|2+N+1|2H-----H«„|2 a tento výraz je zjevně minimalizován při volbě jednotlivých vektorů x\ = u\, ..., xk = uk. □ 3.23. Vlastnosti unitárních zobrazení. Vlastnosti ortogonálních zobrazení mají přímočarou obdobu v komplexním oboru. Můžeme je snadno zformulovat a dokázat společně: Tvrzení. Uvažme lineární zobrazení (endomorfismus) cp : V —> V na prostoru se skalárním součinem. Pak jsou následující podmínky ekvivalentní: (1) cp je unitární nebo ortogonální transformace (2) cp je lineární isomorfismus a pro každé u, v e V platí (p(u) ■ v = u ■ (p~l(v) (3) matice A zobrazení cp v libovolné ortonormální bázi splňuje A~l = AT (pro euklidovské prostory to znamená A~l = AT) (4) matice A zobrazení cp v některé ortonormální bázi splňuje A~l = AT 148 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET (5) řádky matice A zobrazení (p v ortonormální bázi tvoří ortonormální bázi prostoru W se standardním skalárním součinem (6) sloupce matice A zobrazení cp v ortonormální bázi tvoří ortonormální bázi prostoru W se standardním skalárním součinem Důkaz. (1) =>■ (2): Zobrazení

■ (3): Standardní skalární součin je v W vždy dán pro sloupce x, y skalárů výrazem x ■ y = xT Eý, kde E je jednotková matice. Vlastnost (2) tedy znamená, že matice A zobrazení

- (4): Je-li A1 = A~l v některé ortonormální bázi, pak to zaručuje platnost podmínky (2) (cp(u) ■ v = (Ax)TEý = x1EA~ly = u ■ cp~l(v)) a tedy i (3). (4) =>■ (5) Dokazované tvrzení je vyjádřeno prostřednictvím matice A zobrazení

■ (6): Protože pro determinant platí |ArA| = \E\ = |AAr| = |A||A| = 1, existuje inverzní matice A-1. Přitom je AATA = A, proto i ATA = E což vyjadřuje právě (6). (6) =>■ (1): Ve vybrané ortonormální bázi je sestavíme jeho matici: 3: a + ab + ab2 a + ab a 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A" /l 0 o o o\ o o o b 1/ a snadno zjistíme, že hra skončí s pravděpodobností a + ab + ab2 = 0, 885 prohrou a s pravděpodobností cca 0, 115 výhrou 800 Kč. (Maticí A°° vynásobíme počáteční vektor (0, 1, 0, 0, 0) a dostáváme vektor (a + ab + ab2, 0, 0, 0, b3).) □ 3.26. Uvažujme situaci z předchozího případu a předpokládejme, že pravděpodobnost výhry i prohry je 1/2. Označme matici procesu A. Bez použití výpočetního software určete A100. 3.27. Roztržitý profesor. Uvažujme následující situaci: Roztržitý profesor s sebou nosí deštník, ale s pravděpodobností 1 /2 jej zapomene tam, odkud odchází. Ráno odchází do práce. V práci chodí na oběd do restaurace a zpět. Po skončení práce odchází domů. Uvažujme pro jednoduchost, že nikam jinam po dostatečně dlouhou dobu profesor nechodí a že v restauraci zůstává deštník na profesorově oblíbeném místě, odkud si ho může následující den vzít (pokud nezapomene). Uvažte tuto situaci jako Markovův proces a napište jeho matici. Jaká je pravděpodobnost, že se po mnoha dnech po ránu deštník bude nalézat v restauraci? (Je vhodné za časovou jednotku vzít jeden den - od rána do rána.) Řešení. '11/16 3/8 l/4> 3/16 3/8 1/4 1/8 1/4 1/2, Spočítejme třeba prvek a\, tedy pravděpodobnost, že deštník začne den doma a skončí doma (bude tam i druhý den ráno): deštník může putovat třemi disjunktními cestami: D Profesor ho hned ráno zapomene doma: p\ = -. 149 C. MARKOVOVY PROCESY 4. VÍCE MATICOVÉHO POČTU DPD Profesor si ho vezme do práce, pak ho zapomene vzít na oběd a poté ho večer odnese domů: p2 = \ ■ \ ■ \ = |. DPRPD Profesor bere deštník všude a nikde ho nezapomene: p3 = 1 j_ i i 2 ' 2 ' 2 ' 2 J_ 16" 16" Celkem a\ = p\ + p2 + p3 Vlastní vektor této matice příslušný dominantní vlastní hodnotě 1 je (2, 1, 1), je tedy hledaná pravděpodobnost 1/(2 + 1 + 1) = 4. □ 3.28. Algoritmus na určování důležitosti stránek. Internetové vyhledávače umí na internetu vyhledat (skoro) všechny stránky obsahující dané slovo či frázi. Jak ale setřídit vyhledané stránky tak, aby uživatel dostal pokud možno seznam seřazený podle relevance daných stránek? Jednou z možností je následující algortitmus: soubor všech nalezených stránek považujme za systém a každou z nalezených stránek za jeden z jeho možných stavů. Popíšeme náhodné procházení těchto stránek jako Markovův proces. Pravděpodobnosti přechodu mezi jednotlivými stránkami jsou dány odkazy: každý odkaz, řekněme ze stránky A na stránku B určuje pravděpodobnost (l/(celkový počet odkazů ze stránky A)), se kterou se dostaneme ze stránky A na stránku B. Pokud z některé stránky nevedou žádné odkazy, tak ji uvažujeme jako stránku, ze které vedou odkazy na všechny ostatní. Tímto dostaneme pravděpodobnostní matici M (prvek m;i odpovídá pravděpodobnosti, se kterou se dostaneme z i-té stránky na j-tou). Bude-li tedy človeíLrjM. hodně klikat na odkazy v nalezených stránkách (pokud se dostane na stránku, ze které nevede odkaz, vybere si náhodně další), tak pravděpodobnost toho, že se v daný okamžik (dostatečně vzdálený od počátku klikání) bude nalézat na i-té stránce odpovídá i-té složce jednotkového vlastního vektoru matice M, odpovídajícího vlastnímu číslu 1. Podle velikosti těchto pravděpodobností pak určíme důležitost jednotlivých stránek. Tento algoritmus lze modifikovat tím, že budeme předpokládat, že uživatel po nějaké době přestane klikat z odkazu na odkaz a opět začne náhodně na nějaké nové stránce. Řekněme, že s pravděpodobností d vybere náhodně novou stránku a s pravděpodobností (1-d). V takovéto situaci je nyní pravděpodobnost přechodu mezi libovolnými dvěma stránkami 5; a S j nenulová, je to totiž d/n+(l-d)/(celkový počet odkazů ze stránky Si), pokud ze stránky 5; vede odkaz na Sj, pokud ne, tak je tato pravděpodobnost d/n (1/n, pokud z 5; nevedou žádné odkazy), podle Frobeniovy-Perronovy věty je vlastní hodnota 1 jednonásobná a dominantní, takže jí odpovídající vlastní vektor je jediný (pokud bychom volili pravděpodobnosti přechodu pouze způsobem z předchozího odstavce, tak by tomu tak nemuselo být). libovolné, pak (piv) -(p((p~l(u)) = v -(p~l(u). Protože je zúžení (p\V také unitární, musí to tedy být bijekce, zejména je (p~l(u) e U. Pak ovšem (p(v) ■ u = 0, protože v e U-1. To znamená, že i (p(v) e U^. Odtud ovšem v komplexním oboru okamžitě dotáváme užitečný Důsledek. Nechť (p : V -» V je unitární zobrazení komplexních vektorových prostorů. Pak je V ortogonálním součtem jednorozměrných vlastních podprostorů. Důkaz. Jistě existuje alespoň jeden vlastní vektor v e V. Pak je zúžení (p na invariantní podprostor (v)1- opět unitární a jistě má opět nějaký vlastní vektor. Po n takovýchto krocích obdržíme hledanou ortogonální bázi z vlastních vektorů. Po vynormování vektorů získáme ortonormální bázi. □ Nyní už je možné snadno pochopit detaily důkazu spektrálního rozkladu ortogonálního zobrazení z 2.50 na konci druhé kapitoly — reálnou matici ortogonálního zobrazení interpretujeme jako matici unitárního zobrazení na komplexním rozšíření euklidovského prostoru a pečlivě sledujeme důsledky struktury kořenů reálného charakteristického polynomu nad komplexním oborem. Automaticky přitom dostáváme invariantní dvourozměrné podprostory zadané dvojicemi komplexně sdružených vlastních čísel a tedy příslušné rotace pro zúžené původní reálné zobrazení. 3.24. Duální a adjungovaná zobrazení. Při diskusi vektorových prostorů a lineárních zobrazení jsme již ve druhé kapitole letmo zmínili duální vektorový prostor V* všech lineárních forem na vektorovém prosotru V, viz 2.39. Pro každé lineární zobrazení mezi vektorovými prostory ý '■ V -» W můžeme přirozeně definovat zobrazení : W* -» V* vztahem (v, ý*(a)) = (ý(v), a), kde ( , ) značí vyčíslení formy (druhý argument) na vektoru (první argument), v € V a. a € W* jsou libovolné. Zvolme si báze paľ.tcnaWa matici a pro zobrazení ý v těchto bazích. Pak snadno spočteme v duálních bazích matici zobrazení ý* v příslušných duálních bazí na duálních prostorech. Skutečně, definiční vztah říká, že pokud bychom reprezentovali vektory z W* v souřadnicích jako řádky skalárů, pak je zobrazení ý* je dáno toutéž maticí jako pokud jí násobíme řádkové vektory zprava: (ý(v), a) = (ai, ..., an) ■ A \v"/ {v, ý*(a)). To znamená, že maticí duálního zobrazení ý* je transponovaná matice AT, protože a ■ A = (AT ■ aT)T. 150 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET Předpokládejme nadále, že se pohybujeme ve vektorovém prostoru se skalárním součinem. Jestliže tedy zvolíme pevně jeden vektor v e V, dosazování vektorů za druhý argument ve skalárním součinu nám dává zobrazení V -» V* = Hom(V\ K) V b v i-» (w i-» (v, w) e K). Podmínka nedegenerovanosti skalárního součinu nám zaručuje, že toto zobrazení je bijekcí. Zároveň víme, že jde skutečně o lineární zobrazení nad komplexními nebo reálnými skaláry, protože jsme pevně zvolili druhý argument. Na první pohled je vidět, že vektory ortonormální báze jsou takto zobrazeny na formy tvořící bázi duální, a každý vektor můžeme prostřednictvím skalárního součinu chápat také jako lineární formu. V případě vektorových prostorů se skalárním součinem proto převádí naše ztotožnění vektorového prostoru se svým duálem také duální zobrazení ý* na zobrazení ý* '■ w -» V zadané formulí (ý(u), v) = {u, ý*(v)), kde stejným značením závorek nyní myslíme skalární součin. Tomuto zobrazení se říká adjungované zobrazení k \jr. Ekvivalentně lze brát poslední vztah za definici zobrazení ý*, např. dosazením všech dvojic vektorů ortonormální báze za vektory u a. v dostáváme přímo všechny hodnoty matice zobrazení ý*. Předchozí výpočet pro duální zobrazení v souřadnicích nyní můžeme zopakovat, pouze musíme mít na paměti, že v ortonormálních bazích na unitárních prostorech vystupují souřadnice druhého argumentu konjugované: (ý(v), w) = (wi,..., wn) ■ a ■ at ■ (v, ý*(w)) Vidíme proto, že je-li a matice zobrazení ý v ortonormální bázi, pak matice adjungovaného zobrazení ý* je matice transponovaná a konjugovaná, kterou značíme a* = ät. Zvláštním případem lineárních zobrazení jsou tedy ty, které jsou rovny svému adjungovanému zobrazení: ý* = ý. Takovým zobrazením říkáme samoadjungovaná. Ekvivalentně můžeme říci, že jsou to ta zobrazení, jejichž matice a v jedné a tedy ve všech ortonormálních bazích splňují a = a*. V případě euklidovských prostorů jsou samoadjungovaná zobrazení tedy ta, která mají v některé ortonormální bázi (a pak už všech) symetrickou matici. Často se jim proto říká symetrické matice a symetrická zobrazení. V komplexním oboru se maticím splňujícím a = a* říká hermiteovské matice. Všimněme si, že hermiteovské matice tvoří reálný M Pro názornost uvažme stránky A, B, C a D. Odkazy vedou z A na B a na C, z B na C a z C na A, z D pak nikam. Uvažujme, že pravděpodobnst toho, že uživatel náhodně zvolí novou stránku je 1/5. Potom by matice M vypadala následovně: /1/20 1/20 17/20 l/4\ 9/20 1/20 1/20 1/4 9/20 17/20 1/20 1/4 \l/20 1/20 1/20 1/4/ Vlastní vektor příslušný vlastní hodnotě 1 je (305/53, 175/53, 315/53, 1), důležitost stránek tedy bude stanovena v pořadí podle velikosti jeho odpovídajících složek, tedy c > a > b > d. 3.29. Na základě teploty ve 14.00 se rozdělují dny na teplé, průměrné a chladné. Dle celoročních statistik následuje po teplém dni teplý v polovině případů a průměrný ve 30 % případů, po průměrném dnu průměrný ve 40 % případů a chladný ve 30 % případů, po chladném dnu chladný v polovině případů a ve 30 % případů průměrný. Bez dalších informací zjistěte, kolik lze během roku očekávat teplých, průměrných a chladných dnů. Řešení. Pro každý den musí nastav právě jeden ze stavů „teplý den", „průměrný den", „chladný den". Pokud vektor xn má za složky pravděpodobnosti toho, že jistý (označený jako n-tý) den bude teplý, průměrný, chladný (při zachování pořadí), potom složky vektoru /0,5 0,3 0,2\ xn+l = 0, 3 0, 4 0, 3 • x„ \0,2 0,3 0,5/ udávají postupně pravděpodobnosti, že následující den bude teplý, průměrný, chladný. Pro ověření stačí dosadit /i\ M x„ = 0 , x„ = 1 , x„ = 0 W W vi. přičemž např. pro třetí volbu musíme dostat pravděpodobnosti, že po chladném dnu bude následovat teplý, průměrný, chladný (v tomto pořadí). Vidíme tak, že úloha je Markovovým řetězcem s pravděpodobnostní maticí přechodu ^0,5 0,3 0^ 0,3 0,4 0,3 v0,2 0,3 0,5, Neboť jsou všechny prvky této matice kladné, existuje pravděpodobnostní vektor k němuž se blíží vektor x„ pro zvětšující se n nezávisle na tom, jaký byl vektor xn pro mnohem menší n. Navíc podle důsledku Perronovy-Frobeniovy věty je x^ vlastním vektorem matice T pro vlastní číslo 1. 151 C. MARKOVOVY PROCESY 4. VÍCE MATICOVÉHO POČTU Má tedy platit = 0,5*^ + 0,3x^ + 0,2x1 4, = 0,3x^ + + 0,3x1 x3 = 0,2x1 + 0,3x1 + 0,5x1 1 = 4, + x2 + x3 kde poslední podmínka znamená, že vektor x^ je pravděpodobnostní. Snadno se vypočítá, že tato soustava má jediné řešení 1 _ 2 _ 3 _ 1 Lze tedy očekávat přibližně stejný počet teplých, průměrných a chladných dnů. Zdůrazněme, že součet všech čísel z libovolného sloupce matice T musel být roven 1 (jinak by se nejednalo o Markovův proces). Protože TT = T (matice je symetrická), je součet všech čísel z libovolného řádku matice také roven 1. O matici s nezápornými prvky a s vlastností, že součet čísel v každém řádku a rovněž součet čísel v každém sloupci je 1, mluvíme jako o dvojnásobně (dvojitě, dvojně) stochastické. Důležitou vlastností každé dvojnásobně stochastické regfl^řg^" matice (pro jakýkoli rozměr - počet stavů) je, že jí příslušný vektor Xoo má všechny složky stejné, tj. po dostatečně dlouhé době vyhodnocování se všechny stavy v odpovídajícím Markovově procesu jeví jako stejně časté. □ 3.30. Jirka má ve zvyku si každý večer zaběhat. Má tři trasy - krátkou, střední a dlouhou. Pokud si někdy zvolí krátkou trasu, následující den si to vyčítá a rozhodne se libovolně (tj. se stejnou pravděpodobností) pro dlouhou, nebo střední. Jestliže si v některý den zvolí dlouhou trasu, v následujícím dnu volí zcela libovolně jednu z tras. Pokud běžel středně dlouhou trasu, cítí se dobře a druhý den si se stejnou pravděpodobností vybere buď střední, nebo dlouhou. Předpokládejte, že takto běhá každý večer už velmi dlouhou dobu. Jak často volí krátkou a jak často dlouhou trasu? Jaká je pravděpodobnost, že si zvolí dlouhou trasu, když si ji zvolil přesně před týdnem? Řešení. Zřejmě se jedná o Markovův proces se třemi možnými stavy, a to volbami krátké, střední a dlouhé trasy. Toto pořadí stavů dává pravděpodobnostní matici přechodu 0 0 1/3N 1/2 1/2 1/3 ,1/2 1/2 1/3, Stačí si uvědomit, že např. druhý sloupec odpovídá volbě střední trasy v minulém dnu, která znamená, že s pravděpodobností 1 /2 bude opět vektorový podprostor v prostoru všech komplexních matic, není však podprostorem v komplexním oboru. Poznámka. Obzvlášť zajímavý je v této souvislosti následující postřeh. Jestliže hermiteovskou matici A vynásobíme imaginární jednotkou, dostáváme matici B = i A, která má vlastnost B* = i ÄT = —B. Takovým maticím říkáme anti-hermiteovské. Tak jako je tedy každá reálná matice součtem své symetrické a antisymetrické části 1 1 2-(A + A') + -(A je v koplexním oboru obdobně 1 1 2(A + A*) + -(A AT), A*), tj. můžeme vyjádřit každou komplexní matici právě jedním způsobem jako součet A = B + iC s hermiteovskými maticemi B a C. Jde o obdobu rozkladu komplexního čísla na reálnou a ryze imaginární komponentu. V řeši lineárních zobrazení to tedy znamená, že každý komplexní lineární automorfismus můžeme takto jednoznačně vyjádřit pomocí dvou samoadjungovaných zobrazení. 3.25. Spektrální rozklad samoadjungovaných zobrazení. Uvažujme samoadjungované zobrazení ý '■ v -» v s maticí A v nějaké ortonormální bázi a zkusme postupovat obdobně jako v 2.50. Opět se nejprve obecně podíváme na invariantní podprostory samoadjungovaných zobrazení a jejich ortogonální doplňky. Jestliže pro libovolný podprostor w C v a samoadjungované zobrazení ý '■ V ~* V platí ý(W) C W, pak také platí pro všechny v e W^, w e W (Ý(v), w) = (v> Ý(w)) = 0- To ale znamená, že také ^(W-1) C W^. Uvažme nyní matici A samoadjungovaného zobrazení v nějaké ortonormální bázi a A • x = kx pro nějaký vlastní vektor x e C". Dostáváme k {x, x) = {Ax, x) = {x, Ax) = k (x, x). Kladným reálným číslem (x, x) můžeme krátit a proto musí být Ä = k, tj. vlastní čísla jsou vždy reálná. Komplexních kořenů má charakteristický polynom det(A — k E) tolik, kolik je dimenze čtvercové matice A, a všechny jsou ve skutečnosti reálné. Dokázali jsme tak důležitý obecný výsledek: Tvrzení. Ortogonální doplněk k invariantnímu podprostoru pro samoadjungované zobrazení je také invariantní. Navíc jsou všechna vlastní čísla samoadjungované matice A vždy reálná. Ze samotné definice je zřejmé, že zúžení samoadjungovaného zobrazení na invariantní podprostor je opět samoadjungované. Předchozí tvrzení nám tedy zaručuje, že bude vždy existovat báze v z vlastních vektorů. Skutečně, zúžení 152 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET ý na ortogonální doplněk invariantního podprostoru je opět ortogonální zobrazení, takže můžeme do báze přibírat jeden vlastní vektor za druhým, až dostaneme celý rozklad V. Vlastní vektory příslušející různým vlastním číslům jsou navíc kolmé, protože z rovností ý(u) = ý(v) = M-1" vyplývá X{u, v) = (ý(u), v) = {u, ý(v)) = fi{u, v). Obvykle bývá náš výsledek formulován pomocí projekcí na vlastní podprostory. O projektoru P : V -» V říkáme, že je kolmý, je-li Im P _L Ker P. Dva kolmé projektory P, Q jsou vzájemně kolmé, je-li Im P J_ Im Q. Věta (O spektrálním rozkladu). Pro každé samoadjungo-vané zobrazení \js : V ^ V na vektorovém prostoru se skalárním součinem existuje ortonormální báze z vlastních vektorů. Jsou-li X\, ..., Xk všechna různá vlastní čísla f a P\, ..., Pt příslušné kolmé a navzájem kolmé projektory na vlastní podprostory, pak f = XlPl +... + xkPk. Dimenze obrazů těchto projektorů je přitom vždy rovna algebraické násobnosti vlastních čísel 3.26. Ortogonální diagonalizace. Zamysleme se, jak vypadají zobrazení, pro která lze najít ortonormální bázi jako v předchozí větě o spektrálním rozkladu se nazývají normální. Pro euklidovský případ je to snadné: diagonální matice jsou zejména symetrické, jedná se tedy právě o samoadjungovaná zobrazení. Jako důsledek získáváme tvrzení, že ortogonální zobrazení euklidovského prostoru do sebe je ortogonálně di-agonalizovatelné právě, když je zároveň samoadjungované (jsou to právě ta samoadjungovaná zobrazení s vlastními hodnotami ±1). U komplexních unitárních prostorů je situace složitější. Uvažme libovolné lineární zobrazení cp : V -» V unitárního prostoru a nechť cp = + iř? Je (jednoznačně daný) rozklad cp na hermiteovskou a antihermiteovskou část. Máli cp ve vhodné ortonormální bázi diagonální matici D, pak D = reD+nmD, kde reálná a imaginární část jsou právě matice ý a f] (plyne z jednoznačnosti rozkladu). Zejména tedy platí ý °f] = < zcpocp* = cp* ocp. Zobrazení cp : V -» V s poslední uvedenou vlastností se nazývají normální. Vzájemné souvislosti ukazuje následující věta (pokračujeme ve značení tohoto odstavce): Tvrzení. Následující podmínky jsou ekvivalentní: (1) cp je ortogonálně diagonalizovatelné (2) cp* o cp = cp o cp* (tj. cp je normální zobrazení) (3) ý 0 t] = i] 0 ý (4) Pro matici A = (a^) zobrazení cp v nějaké ortonormální bázi a jejích m = dimV vlastních čísel A; platí E,,Kl2 = ET=i l** l2- Stručný důkaz. Implikaci (1) =)- (2) jsme již diskuto- vali. zvolena střední trasa (druhý řádek) a s pravděpodobností 1 /2 bude zvolena dlouhá trasa (třetí řádek). Neboť je 1/6 1/6 1/9^ 5/12 5/12 4/9 v5/12 5/12 4/9y můžeme využít důsledků Perronovy-Frobeniovy věty pro Markovovy procesy. Není obtížné vypočítat, že vlastním vektorem, který přísluší vlastnímu číslu 1 a který je pravděpodobnostní, je právě 1 3 rT Hodnoty 1/7,3/7,3/7 pak udávají po řadě pravděpodobnosti, že v náhodně určeném dnu volí trasu krátkou, střední, dlouhou. Nechť si Jirka v jistý den (v čase n e N) vybere dlouhou trasu. Tomuto rozhodnutí odpovídá pravděpodobnostní vektor xn = (0, 0, 1)T . Pro následující den tedy platí /O 0 1/3S xn+l = 1/2 1/2 1/3 \l/2 1/2 1/3, až po sedmi dnech je xn+i = T1 ■ 0 = T6 ■ |y3 Vyčíslením dostáváme jako složky xn+1 hodnoty 0,142 861225...; 0,428 569 387...; 0,428 569 387... Tedy pravděpodobnost, že zvolí dlouhou trasu za podmínky, že si ji zvolil před sedmi dny, činí přibližně 0, 428 569 ~ 3/7 = 0, 428 571. □ 3.31. Výrobní linka nefunguje spolehlivě: jednotlivé výrobky se od sebe co do kvality nezanedbatelně liší. Navíc jistý pracovník ve snaze zvýšit kvalitu neustále zasahuje do výrobního procesu. Při rozdělení výrobků do tříd I, II, III podle kvality se zjistilo, že po výrobku třídy I následuje výrobek stejné kvality v 80 % případů a třídy II v 10 % případů, po výrobku třídy II se nezmění kvalita v 60 % případů a změní se na třídu I ve 20 % případů a že po výrobku třídy III následuje výrobek stejné kvality v polovině případů a se stejnou četností pak výrobky tříd I, II. Spočtěte pravděpodobnost, že 18. výrobek je třídy I, pokud 16. výrobek v pořadí náležel do třídy III. Řešení. Nejprve úlohu vyřešme bez uvážení Markovova řetězce. Sledovanému jevu vyhovují případy (16. výrobek je třídy III) • 17. výrobek byl zařazen do třídy I a 18. do třídy I; • 17. výrobek byl zařazen do třídy II a 18. do třídy I; 153 C. MARKOVOVY PROCESY 4. VÍCE MATICOVÉHO POČTU • 17. výrobek byl zařazen do třídy III a 18. do třídy I po řadě s pravděpodobnostmi • 0, 25 • 0, 8 = 0, 2; • 0, 25 • 0, 2 = 0, 05; • 0, 5 • 0, 25 = 0, 125. Lehce tak získáváme výsledek 0, 375 = 0, 2 + 0, 05 + 0, 125. Nyní na úlohu nahlížejme jako na Markovův proces. Ze zadání plyne, že pořadí možných stavů „výrobek je třídy I", „výrobek je třídy II", „výrobek je třídy III" odpovídá pravděpodobnostní matice přechodu 0,8 0,2 0,25\ 0, 1 0, 6 0, 25 I . 0, 1 0, 2 0, 5 / Situaci, kdy výrobek patří do třídy III, zadává pravděpodobnostní vektor (0, 0, 1)T. Pro následující výrobek dostáváme pravděpodobnostní vektor 0,25\ /0,8 0,2 0,25\ /0\ 0,25 = 0, 1 0,6 0,25 0 0, 5 / \0, 1 0,2 0,5 / \1/ a pro další výrobek v pořadí potom vektor 0,375\ /0, 8 0,2 0,25\ /0,25\ 0, 3 I = I 0, 1 0, 6 0, 25 0,25 , 0, 325/ \0, 1 0, 2 0, 5 / \ 0, 5 / jehož první složka je hledanou pravděpodobností. Doplňme, že první metoda řešení (bez zavedení Markovova procesu) vedla k výsledku zřejmě rychleji. Uvědomme si, jak výrazně by se však první metoda znepřehlednila, kdybychom např. místo 18. výrobku uvažovali 20., 22. nebo až 30. výrobek v pořadí. Ve druhé metodě se lze omezit na do jisté míry „bezmyšlenkovité" násobení (umocňování) matic. Při zavedení Markovova procesu jsme také současně vyšetřovali situace, kdy 18. výrobek náleží do tříd II a III. □ 3.32. Opakovaně házíme hrací kostkou. Napište pravděpodobnostní matici přechodu T pro Markovův řetězec „maximální počet ok dosažených do n-tého hodu včetně" pro pořadí stavů 1, ..., 6. Poté určete T" pro každé n e N. Řešení. Ihned můžeme uvést T = /l/6 0 0 0 0 0\ 1/6 2/6 0 0 0 0 1/6 1/6 3/6 0 0 0 1/6 1/6 1/6 4/6 0 0 1/6 1/6 1/6 1/6 5/6 0 \l/6 1/6 1/6 1/6 1/6 V (2) •<=>- (3): Stačí provést přímý výpočet qxp* = (ý + if])(ý ~ i*)) = ý2 + + KvÝ — ý1!) cp* cp = (ý — + i*)) = ý2 + + kýv — Odečtením dostaneme 2i(r)ý — Ýw)- (2) =>■ (1): Nechť m e y je vlastní vektor normálního zobrazení cp. Pak cp(u) ■ cp(u) = {cp*cp(u), u) = {cpcp*(u), u) = cp*(u) ■ cp*(u) zejména tedy \cp(u)\ = \cp*(u)\. Je-li

V, kterou dokážeme později v 3.32. Podle ní totiž existuje pro každé lineární zobrazení cp : V -> V ortonormální báze, ve které má cp horní trojúhelníkovou matici. Na její diagonále pak musí být právě všechny vlastní hodnoty cp. Jak jsme již ukázali, výraz ^i . |aí7|2 nezávisí na volbě ortonormální báze, proto z předpokládané rovnosti vyplývá, že všechny prvky mimo diagonálu musí být v této matici nulové. □ V termínech matic zobrazení dostáváme: zobrazení je normální právě, když jeho matice v některé ortonormální bázi (a ekvivalentně v každé) splňuje AA* = A*A. Takové matice nazýváme normální matice. Poznámka. Všimněme si, že pro počet s lineárními zobrazeními na komplexním unitárním prostoru lze poslední větu chápat také jako zobecnění běžných počtů s komplexními čísly v goniometrickém tvaru (roli reálných čísel zde hrají sa-moadjungovaná zobrazení). Roli komplexních jednotek pak hrají unitární zobrazení. Zejména si všimněme analogie k jejich tvaru cos t + i sin t s vlastností cos2 t + sin2 t = 1: Důsledek. Unitární zobrazení na unitárním prostoru V jsou právě ta normální zobrazení, pro která výše užívaný jednoznačný rozklad

0 pro všechny vektory x. Navíc zjevně B* = (A* • A)* = A* ■ A = B. Hermiteovských maticím B s takovou vlastností říkáme pozitivně semidefinitní a pokud nastane nulová hodnota pouze pro x = 0, pak jim říkáme pozitivně definitní. Obdobně hovoříme o pozitive definitních a a positivně semidefinitních zobrazeních ý '■ V ~* V- Pro každé pozitivně semidefinitní zobrazení ý '■ v ~* V umíme najít jeho odmocninu, tj. zobrazení r] takové, že r) o r) = ý. Nejjednodušeji to uvidíme v ortonormální bázi, ve které bude mít ý diagonální matici. Taková podle našich předchozích úvah vždy existuje a matice A zobrazení ^ v ní bude mít na diagonále nezáporná reálná vlastní čísla zobrazení ý. Kdyby totiž bylo některé z nich záporné, nebyla by splněna podmínka nezápornosti již pro některý z bázových vektorů. Pak ovšem stačí definovat zobrazení r] pomocí matice B s odmocninami příslušných vlastních čísel na diagonále. 3.28. Spektra a nilpotentní zobrazení. Na závěr této části se vrátíme k otázce, jak se mohou chovat lineární zobrazení v úplné obecnosti. Budeme i nadále pracovat s reálnými nebo komplexními vektorovými prostory. Připomeňme, že spektrum lineárního zobrazení f : V -» V je posloupnost kořenů charakteristického polynomu zobrazení /, včetně násobností. Algebraickou násobností vlastní hodnoty rozumíme její násobnost jako kořenu charakteristického polynomu, geometrická násobnost vlastní hodnoty je dimenze příslušného podprostoru vlastních vektorů. Lineární zobrazení / : V -» V se nazývá nilpotentní, jestliže existuje celé číslo k > 1 takové, že iterované zobrazení /* je identicky nulové. Nejmenší číslo k s touto vlastností se nazývá stupněm nilpotentnosti zobrazení /. Zobrazení / : V -» V se nazývá cyklické, jestliže existuje báze (u\, ..., u„) prostoru V taková, že f(u\) = 0 a /(«;) = Ui-i pro všechna i = 2, ..., n. Jinými slovy, matice / v této bázi je tvaru /O 1 0 . 0 0 1. kde první sloupec je určen stavem 1 a pravděpodobností 1/6 pro jeho zachování (v dalším hodu padne 1) a pravděpodobností 1/6 jeho přechodu do libovolného ze stavů 2, ... ,6 (po řadě padne 2, ... ,6), druhý sloupec je zadán stavem 2 a pravděpodobností 2/6 pro jeho zachování (v dalším hodu padne 1 nebo 2) a pravděpodobností 1 /6 pro přechod do jakéhokoli ze stavů 3, ..., 6 (padne 3, ..., 6), až poslední sloupce získáme ze skutečnosti, že stav 6 je trvalý (pokud již padla šestka, nemůže padnout vyšší počet ok). Rovněž pro n e N lze přímo určit ( ar (§)"-(*)" (§)" (í)"-®" 00"-(t)n (*)"-(*' «)"-(»" uí uí «)"-«: V '"(Š)" M*)" MŠ)" (i)" 0\ 0 o o o 1/ Hodnoty v prvním sloupci totiž odpovídají postupně pravděpodobnostem, že n-krát po sobě padne 1, n-krát po sobě padne 1 nebo 2 a alespoň jednou 2 (odečítáme proto pravděpodobnost uvedenou v prvním řádku), n-krát po sobě padne 1, 2 nebo 3 a alespoň jednou padne 3, až v posledním řádku je pravděpodobnost, že aspoň jednou během n hodů padne 6 (tu lze snadno určit z pravděpodobnosti opačného jevu). Podobně např. ve čtvrtém sloupci jsou postupně nenulové pravděpodobnosti jevů „ř2-krát po sobě padne 1, 2, 3 nebo 4", „rc-krát po sobě padne 1, 2, 3, 4 nebo 5 a alespoň jednou 5" a „alespoň jednou během n hodů padne 6". Interpretace matice T jako matice přechodu jistého Markovova procesu tak umožňuje rychlé vyjádření mocnin T", íieN. □ 3.33. Sledujte určitou vlastnost daného živočišného druhu, která je podmíněna nezávisle na pohlaví jistým genem - dvojicí alel. Každý jedinec získává po jedné alele od obou rodičů zcela náhodně a nezávisle na sobě. Existují formy genu dané různými alelami a, A. Ty určují tři možné stavy aa, a A = Aa, AA vyšetřované vlastnosti. (a) Předpokládejte, že každý jedinec jisté populace se bude rozmnožovat výhradně s jedincem jiné populace, ve které se vyskytuje pouze vlastnost podmíněná dvojicí a A. Právě jeden jejich (náhodně zvolený) potomek bude ponechán na stanovišti a také on se bude rozmnožovat výhradně s jedincem té jiné populace atd. Stanovte výskyt kombinací aa, aA, AA v uvažované populaci po dostatečně dlouhé době. (b) Řešte úlohu uvedenou ve variantě (a), pokud je jiná populace tvořena pouze jedinci s dvojicí alel A A. 155 C. MARKOVOVY PROCESY 4. VÍCE MATICOVÉHO POČTU (c) Náhodně zvolené dva jedince opačného pohlaví zkřížíte. Z jejich potomstva opět náhodně vyberete dva jedince opačného pohlaví, které zkřížíte. Pokud takto budete pokračovat velmi dlouho dobu, vypočtěte pravděpodobnost, že oba křížení jedinci budou mít dvojici alel AA, příp. aa (proces křížení skončí). (d) Řešte úlohu uvedenou ve variantě (c) bez kladení podmínky, že křížení jedinci mají stejné rodiče. Pouze tedy křížíte jedince jisté velké populace mezi sebou, potom křížíte potomky mezi sebou atd. Řešení. Případ (a). Jedná se o Markovův proces zadaný maticí '1/2 1/4 0 1/2 1/2 1/2 0 1/4 1/2, přičemž pořadí stavů odpovídá pořadí dvojic alel aa, a A, AA. Hodnoty v prvním sloupci plynou z toho, že potomek jedince s dvojicí alel aa a jedince s dvojicí alel a A má s pravděpodobností 1 /2 dvojici aa a s pravděpodobností 1 /2 dvojici a A. Analogicky postupujeme pro třetí sloupec. Hodnoty ve druhém sloupci potom vyplývají z toho, že každý ze čtyř případů dvojic alel aa, a A, Aa, AA je stejně pravděpodobný u jedince, jehož oba rodiče mají dvojici alel a A. Uvědomme si, že na rozdíl od počítání pravděpodobností, kdy musíme rozlišovat dvojici a A od Aa (která z alel pochází od kterého z rodičů), vlastnosti podmíněné dvojicemi a A a Aa jsou samozřejmě stejné. Pro určení výsledného stavu stačí nalézt pravděpodobnostní vektor, který přísluší vlastnímu číslu 1 matice T, protože matice '3/8 1/4 1/8N 1/2 1/2 1/2 ,1/8 1/4 3/8, splňuje podmínku Perronovy-Frobeniovy věty (všechny její prvky jsou kladné). Hledaný pravděpodobnostní vektor je 1 1 rr v4' 2' 4, což již dává pravděpodobnosti 1/4, 1/2, 1/4 výskytu po řadě kombinací aa, a A, AA po velmi dlouhé (teoreticky nekonečné) době. Případ (b). Pro pořadí dvojic alel A A, aA,aa nyní dostáváme pravděpodobnostní matici přechodu /l 1/2 7=0 1/2 1 \0 0 Oj Ihned vidíme všechna vlastní čísla 1, 1/2 a 0 (odečteme-li je od diagonály, hodnost obdržené matice nebude 3, tj. touto maticí zadaná homogenní soustava bude mít netriviální řešení). Těmto vlastním číslům Je-li f (v) = a ■ v, pak pro každé přirozené k je fk(v) = ak ■ v. Zejména tedy může spektrum nilpotentního zobrazení obsahovat pouze nulový skalár (a ten tam vždy je). Přímo z definice plyne, že každé cyklické zobrazení je nilpotentní, navíc je jeho stupeň nilpotentnosti roven dimenzi prostoru V. Operátor derivování na polynomech, D(ŕ) = kŕ~l, je příkladem cyklického zobrazení na Kn [x] pro libovolné n. Kupodivu to platí i naopak a každé nilpotentní zobrazení je přímým součtem cyklických. Důkaz tohoto tvrzení nám dá hodně práce, proto napřed zformulujeme další výsledky a pak se teprve dáme do technické práce. Ve výsledné větě o Jordánově rozkladu vvystupují vektorové (pod)prostory a lineární zobrazení na nich s jediným vlastním číslem k a maticí (k 1 0 ... 0\ Ok 1 ... 0 \0 0 0 ... kJ Takovýmto maticím (a odpovídajícím invariantním podpro-storům) se říká Jordánův blok. Věta (Jordánova věta o kanonickém tvaru). Nechť V je vektorový prostor dimenze n a f : V -» V je lineární zobrazení s n vlastními čísly včetně algebraických násobností. Pak existuje jednoznačný rozklad prostoru V na přímý součet pod-prostorů V = V i © • • • © Vk takových, že f (Ví) C Ví, zúžení f na každé Ví má jediné vlastní číslo kt a zúžení f — A, • id na Ví je buď cyklické nebo nulové zobrazení. Věta tedy říká, že ve vhodné bázi má každé lineární zobrazení blokově diagonální tvar s Jordánovými bloky podél diagonály. Celkový počet jedniček nad diagonálou v takovém tvaru je roven rozdílu mezi celkovou algebraickou a geometrickou násobností vlastních čísel. Všimněme si, že jsme tuto větu plně dokázali v případech, kdy jsou všechna vlastní čísla různá nebo když jsou geometrické a algebraické násobnosti vlastních čísel stejné. Také jsme ji plně dokázali pro unitární a samoadjungovaná zobrazení. Také si všimněme, že v situaci, kdy jsou vlastní hodnoty v absolutní hodnotě menší nezjedná, opakované působení lineárního zobrazení na jakémkoliv vektoru v z jednoho z pod-prostorů Ví ve větě vede k rychlému zmenšování všech jeho souřadnic nad všechny meze. Skutečně, předpokládejme pro jednoduchost, že na celém V; je naše zobrazení cyklické, příslušná vlastní hodnota je k a v\, ..., vi nechť je příslušná báze. Pak podmínka z věty říká, že f(v2) = kv2 + v\, f2(vj) = k2v2 + kvi + kvi, a podobně pro ostatní vt a vyšší mocniny. V každém případě při iterování dostáváme stále vyšší a vyšší mocniny k u všech nenulových komponent. 156 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET 3. 37 3.37a Zbytek této části je věnován důkazu Jordánovy věty a několika k tomu potřebným pojmům. Je výrazně obtížnější než dosavadní text a čtenář jej může případně přeskočit až do začátku 5. části této kapitoly. 3.29. Kořenové prostory. Na příkladech jsme viděli, že vlastní podprostory popisují dostatečně geometrické vlastnosti jen některých lineárních zobrazení. Zavedeme nyní jemnější nástroj, tzv. kořenové podprostory. Definice. Nenulový vektor u e V se nazývá kořenovým vektorem lineárního zobrazení cp : V -» V, jestliže existuje a e K a celé číslo & > 0 takové,že (cp — a-idv)k(u) = 0,t).k-tá iterace uvedeného zobrazení zobrazuje u na nulu. Množinu všech kořenových vektorů příslušných k pevnému skaláru k doplněnou o nulový vektor nazýváme kořenovým prostorem příslušným ke skaláru k e K, značíme TZx ■ Je-li u kořenový vektor a k z definice je vybráno nejme-nší možné, pak (cp — a ■ idy)*-1 (u) je vlastní vektor s vlastní hodnotou a. Je tedy TZx = {0} pro všechny skaláry k, které neleží ve spektru zobrazení cp. Tvrzení. Pro lineární zobrazení cp V -» V platí (1) Pro každé k e Kje IZi C V vektorový podprostor. (2) Pro každé k, fi e K je IZi invariantní vzhledem k lineárnímu zobrazení (cp — fi ■ idy), zejména tedy je IZi invariantní vzhledem k cp. (3) Je-li fi ^ k, pak (cp — fi ■ idy)|^ je invertibilní. (4) Zobrazení (cp — k ■ idy)|^ je nilpotentní. Důkaz. (1) Ověření vlastností vektorového podprostoru je jednoduché a ponecháváme jej čtenáři. (2) Předpokládejme, že (cp — k ■ idv)k(u) = 0 a uvažme v = (cp — fi ■ idv)(u). Pak (cp—k ■ idv)k(v) = = (Cp - k ■ Ídy)k((cp - k ■ idy) + (k — fl) ■ ÍdV)(u) = (cp — k ■ idy)*+1(«) + (k — fi) ■ (cp — k ■ idv)k(u) = o (3) Je-li u € Ker(cp — n ■ idy)|^, pak (cp — k-Ídy)(«) = (cp — fl-Ídy)(«) + (fl — k)-U = (fl — k) ■ U Odtud 0 = (cp — k ■ idy)*(M) = (fi — k)k -Maje tedy nutně u = 0 pro k 7^ fi. (4) Zvolme bázi e\,...,ep podprostoru TZx- Protože podle definice existují čísla k{ taková, že (cp — k- idv)ki (e{) = 0, je nutně celé zobrazení (cp — k ■ idy)|^ nilpotentní. □ 3.30. Faktorové prostory. Našim dalším cílem je ukázat, že dimenze kořenových prostorů je vždy rovna algebraické násobnosti příslušných vlastních čísel. Nejprve však zavedeme šikovné technické nástroje. Definice. Nechť U c V je vektorový podprostor. Na množině všech vektorů ve V definujeme ekvivalenci takto: vi ~ v2 právě tehdy, když vi — v2 e U. Axiomy ekvivalence přísluší po řadě vlastní vektory Proto je fl -1 1 \ fl 0 0\ fl -1 1 T=\0 1 -2 0 1/2 0 0 1 -2 \0 0 1 / \0 0 0/ \0 0 1 'i-i i \ fi o o\ fi i ŕ 0 1 -2 0 1/2 0 0 1 2 v0 0 1 / \0 0 0/ \0 0 l, Odsud pro libovolné n e N plyne fl -1 1 \ fl 0 0\" fl 1 V T" =10 1 -2 0 1/2 0 0 1 2 \0 0 1 / \0 0 0/ \0 0 l, '1-1 1 \ fl 0 0\ fl 1 v 0 1 -2 0 2"" 0 0 1 2 v0 0 1 / \0 0 0/ \0 0 1, Zřejmě pro velká neN můžeme nahradit 2~" za 0, což implikuje 'i i i\ /ii ŕ 0 1 2 = 0 0 0 v0 0 1/ \0 0 Oy Pokud tedy plodí potomky jedinci původní populace výhradně s členy populace, ve které se vyskytuje pouze dvojice alel AA, nutně po dostatečně velkém počtu křížení dojde k tomu, že dvojice aAnaa zcela vymizí (bez ohledu na jejich původní četnost). Případ (c). Tentokráte budeme mít 6 možných stavů (v tomto pořadí) AA, AA; aA,AA; aa,AA; aA,aA; aa,aA; aa,aa, přičemž tyto stavy jsou dány různými případy genotypů rodičů. Matice odpovídajícího Markovova řetězce je (l 1/4 0 1/16 -1 M 0 0 0 1 -2 0 0 0 0 o 1 / \o 0 0 o o o o 1/2 0 1/4 0 0 1/4 1/8 1/4 1/4 1/16 0 0 0 1/4 1/2 1/4 0\ 0 0 0 0 Pokud budeme např. uvažovat situaci (druhý sloupce), kdy jeden z rodičů má dvojici alel AA a druhý a A, pak zjevně může nastat každý ze čtyř případů (jde-li o dvojice alel jejich dvou náhodně zvolených potomků) AA, AA; AA,aA; aA, AA; aA,aA 157 C. MARKOVOVY PROCESY 4. VÍCE MATICOVÉHO POČTU se stejnou pravdepodobností. Pravděpodobnost setrvání ve druhém stavu je proto 1/2 a pravděpodobnost přechodu ze druhého stavu do prvního je 1/4 a do čtvrtého také 1 /4. Nyní bychom měli opět určit mocniny T" pro velká n e N. Uvážením podoby prvního a posledního sloupce ihned zjistíme, že 1 je vlastním číslem matice T. Velmi lehce lze najít vlastní vektory (l,0,0,0,0,0)r, (0,0,0,0,0, l)T příslušné vlastnímu číslu 1. Přechodem ke čtyřrozměrné podmatici matice T (vynecháním právě prvního a šestého řádku a sloupce) nalezneme poté zbylá vlastní čísla 1 1 l-y/5 l + VŠ 2' 4' 4 ' 4 ' Vzpomeneme-li si na řešení příkladu nazvaného Mlsný hazardér, nemusíme T" počítat. V tomto příkladu jsme dostali stejné vlastní vektory příslušné číslu 1 a ostatní vlastní čísla měla rovněž absolutní hodnotu ostře menší 1 (jejich přesné hodnoty jsme nevyužívali). Dostáváme tak totožný závěr, že proces se blíží k pravděpodobnostnímu vektoru (a, 0,0, 0,0, 1 -af , kde a e [0, 1] je dáno výchozím stavem. Protože pouze na první a šesté pozici výsledného vektoru mohou být nenulová čísla, stavy |3.37b aA,AA; aa, AA; aA,aA; aa,aA po mnohonásobném křížení vymizí. Uvědomme si dále (plyne z předešlého a z příkladu Mlsný hazardér), že pravděpodobnost toho, aby proces končil A A, A A, se rovná relativní četnosti výskytu A v počátečním stavu. Případ (d). Nechť hodnoty a, b, c e [0, 1] udávají (při zachování pořadí) relativní četnosti výskytu dvojic alel AA, a A, aa v dané populaci. Chceme získat vyjádření relativních četností dvojic AA, aA, aa v potomstvu populace. Probíhá-li výběr dvojic pro páření náhodně, lze při velkém počtu jedinců očekávat, že relativní četnost páření jedinců s dvojicemi alel AA (u obou) je a2, relativní četnost páření jedinců, z nichž jeden má dvojici alel A A a druhý a A, je 2a b, relativní četnost páření jedinců s dvojicemi alel a A (u obou) je b2 atd. Potomek rodičů s dvojicemi AA, AA musí dvojici alel AA zdědit. Pravděpodobnost, že potomek rodičů s dvojicemi AA, a A bude mít AA, je zřejmě 1/2 a pravděpodobnost, že potomek rodičů s dvojicemi a A, a A bude mít A A, je pak 1 /4. Jiné případy pro potomka s dvojicí alel A A uvažovat nemusíme (pokud má jeden rodič dvojici alel aa, potomek nemůže mít dvojici AA). Relativní četnost výskytu dvojice alel AA v potomstvu jdou ověřit snadno. Množina V/U tříd této ekvivalence, spolu s operacemi definovanými pomocí reprezentantů, tj. [v] + [w] = [v + w], a-[u] = [a-u], tvoří vektorový prostor, který nazýváme faktorový vektorový prostor prostoru V podle podprostoru U. Ověřte si korektnost definice operací a platnost všech axiomů vektorového prostoru! Třídy (vektory) ve faktorovém prostoru V/U budeme často označovat jako formální součet jednoho reprezentanta se všemi vektory podprostoru U, např. u+U e V/U, u e V. Nulový vektor ve V/U je právě třída 0 + U, tj. vektor u e V reprezentuje nulový vektor ve V/U právě, když je u e U. Jako jednoduché příklady si rozmyslete V/{0} = V, V/V = {0} a faktorový prostor roviny M2 podle libovolného jednorozměrného podprostoru, kde každý jednorozměrný podprostor U C M2 je přímka procházející počátkem, třídy ekvivalence jsou rovnoběžky s touto přímkou. Tvrzení. Nechť U C V je vektorový podprostor a u\, ..., u„ je taková báze V, ze u\, ..., uk je báze U. Pak dim V/U = n — k a uk+\ + U, ..., u„ + U je báze V/U. Důkaz. Protože V = (u\, ..., dotsun), je i V/U = {u\ + U, ... ,un + U). Přitom ale je prvních k generátorů nulových, takže je V/U = (uk+i + U, ... ,un + U). Předpokládejme, že ak+i ■ (uk+i + U) + ■ ■ ■ + an ■ (un + U) = (ak+i - uk+i + ■ ■ - + an - un) + f/ = 0e V/U. To je ale ekvivalentní příslušnosti lineární kombinace vektorů uk+i, ... ,un do podprostoru U. Protože U je generováno zbylými vektory, je nutně tato kombinace nulová, tj. všechny koeficienty a{ jsou nulové. □ 3.31. Indukovaná zobrazení na faktorových prostorech. Předpokládejme, že U C V je invariantní podprostor vzhledem k lineárnímu zobrazení

V a zvolme bázi «i,...,m„ prostoru V, že prvních k vektorů této báze je bazí U. V této bázi má cp polorozpadlou matici A = ^ ^j. Pak budeme umět dokázat následující tvrzení: Lemma. (1) Zobrazení cp indukuje lineární zobrazení cpv/u : V/U -+ V/U, cpv/u (v + U) = cp(v) + U s maticí D v indukované bázi uk+\ + U, ..., u„ + U na V/U. (2) Charakteristický polynom cpv/u dělí charakteristický polynom (u + Vk) e V/Vk. To znamená, že v každé třídě rozkladu V/Vk existuje právě jeden vektor z V^. Skutečně, tuto vlastnost má faktorový prostor podle libovolného podprostoru v unitárním prostoru - pokud u, v e jsou v jedné třídě, pak jejich rozdíl patří do Vk n V^, tedy jsou stejné. Můžeme tedy jako reprezentanta uk+i nalezené třídy, tedy vlastního vektoru zvolit právě vektor z V^. Touto modifikací dojdeme k ortogonální bázi s vlastnostmi požadovanými v tvrzení o triangulovatelnosti. Proto existuje i taková ortonormální báze: Důsledek (Schurova věta o ortogonální triangulovatelnosti). Nechť

V je libovolné lineární zobrazení (reálného nebo komplexního) unitárního prostoru s m = dim V vlastními hodnotami (včetně násobonosti). Pak existuje ortonormální báze prostoru V taková, že cp v ní má horní trojúhelníkovou matici s vlastními čísly X\, ... ,Xmna diagonále. 3.33. Věta. Nechť (p V kořenových prostorů V je lineární zobrazení. Součet příslušných různým vlastním hodnotám XV ... ,Xk je přímý. Navíc je pro každou vlastní hodnotu X dimenze podprostoru IZi rovna její algebraické násobnosti. Důkaz. Důkaz provedeme indukcí přes počet k kořenových prostorů. Předpokládejme, že tvrzení vždy platí pro méně než k prostorů a že pro vektory u\ e lZxx, ... ,uk e lZxk platí ui + ■ ■ ■ + uk =0. Pro vhodné j pak (cp — kk ■ iávy (uk) = 0 a zároveň jsou yt = (cp — kk ■ iávy (ui) nenulové vektory v lZxi ,i = 1, ..., k — l, pokud w; jsou nenulové, viz. předchozí věta. Přitom ale k yi H----+ y*-i = ^2(

V/IZx nechť je zobrazení indukované cp na faktorovém prostoru. Předpokládejme, že dimenze IZx je menší než násobnost kořenu k charakteristického polynomu. Podle věty ?? to znamená, že A je i vlastní hodnotou zobrazení ý. Nechť (v + IZx) e V/IZx je příslušný vlastní vektor, tj. ý(v+T^i) = ^(v+lZx) což podle definice značí v £ IZx a cp(v) = k-v + w pro vhodné w e IZx - Máme tedy w = (cp — k-idv)(v) a (cp —k-iávy (w) = Opro vhodné j. Celkem tedy (cp — k- idy)i+1 (v) = 0 což je ve sporu s volbou v £ IZx- Tím jsme dokázali, že dimenze IZx je rovna násobnosti kořene k charakteristického polynomu cp. □ 160 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET Důsledek. Pro každé lineární zobrazení cp : V -» V, jehož celé spektrum je v K, je V = lZXl © • • • © lZin přímým součtem kořenových podprostorů. Zvolíme-li vhodně báze těchto podprostorů, pak cp má v této bázi blokově diagonální tvar s horními trojúhelníkovými maticemi v blocích a vlastními hodnotami na diagonále. 3.34. Nilpotentní a cyklická zobrazení. Nyní již máme skoro vše připraveno pro diskusi kanonických tvarů matic. Zbývá jen vyjasnit vztah mezi cyklickými a nilpotentními zobrazeními a poskládat dohromady již připravené výsledky. Věta. Nechť cp V -» V je nilpotentní lineární zobrazení. Pak existuje rozklad V na přímý součet podprostorů V = V\ © • • • © Vk takových, že zúžení cp na kterýkoliv z nich je cyklické. Důkaz. Ověření je docela jednoduché a spočívá v konstrukci takové báze prostoru V, že akce zobrazení cp na bázových vektorech přímo ukazuje rozklad na cyklická zobrazení. Postup bude ale poněkud zdlouhavý. Nechť k je stupeň nilpotentnosti zobrazení cp a označme Pi = im(cpi), i = 0, ..., k, tzn. {0} = Pk C Pk-i C • • • C Pi C Po V. Vyberme libovolnou bázi e\~l, ..., ekp~^x prostoru Pk-\, kde pk_i > 0 je dimenze Pk-i - Z definice plyne, že Pk_\ c Keľcp, tj. vždy n. Odtud plyne, že pokud matice J zobrazení cp obsahuje dk(k) Jordánových bloků řádu k s vlastní hodnotou k, pak defekt matice (J — k ■ E)1 je di(k) + 2d2(k) + . ..ldt(k) + ídl+l(k) + ... 162 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET Odtud spočítáme n - n(X) = dx(k) + 2d2(X) H----+ Id^X) + ídw(k) + ... dk(X) = r*_i(A.) - 2rk(X) + rk+l(X) (kde poslední řádek vznikne kombinací předchozího pro hodnoty l = k - 1, k, k + 1). 3.36. Poznámka. Důkaz věty o existenci Jordánova kanonického tvaru byl sice konstruktivní, nedává nám ale dokonale efektivní algoritmický postup pro jejich hledání. Nyní shrneme již odvozený postup explicitního výpočtu báze, v níž má dané zobrazení cp V -» V matici v kanonickém Jordánově tvaru. (1) Najdeme kořeny charakteristického polynomu. (2) Jestliže jich je méně než n = dim V, včetně násobností, kanonický tvar neexistuje. (3) Je-li n lineárně nezávislých vlastních vektorů, získáme bázi V z vlastních vektorů a v ní má cp diagonální matici. (4) Nechť k je vlastní hodnota s geometrickou násobností menší než algebraickou a v\, ..., vk nechť jsou příslušné vlastní vektory. To by měly být vektory na horním okraji schématu z důkazu věty 3.34, je ovšem nutné najít vhodnou bázi aplikacemi iterací cp — k ■ idy. Zároveň přitom zjistíme ve kterém řádku se vektory nacházejí a najdeme lineárně nezávislá řešení u>; rovnic (cp — k id) (x) = v{ z řádků pod nimi. Postup opakujeme iterativně (tj. pro u>; atd.). Najdeme tak „řetízky" bázových vektorů zadávajících podprostory, kde cp — k id je cyklické. Postup je praktický pro matice, kde násobnosti vlastních hodnot jsou malé, nebo aspoň diskutované stupně nilpotentnosti jsou malé. Např. pro matici (2 0 1\ A = 0 2 1 \0 0 2/ dostaneme dvourozměrný podprostor vlastních vektorů ((1,0,0), (0,1,0)). Potřebujeme proto najít řešení rovnic (A—2E)x = (a, b, 0)T pro vhodné konstanty a, b. Tento systém je ovšem řešitelný pouze pro a = b a jedno z možných řešení je v = (0, 0, 1), a = b = 1. Celá hledaná báze pak je (1, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 0). Všimněme si, že jsme měli spoustu voleb a bazí s požadovanými vlastnostmi je tedy mnoho. 5. Rozklady matic a pseudoinverze V minulé části jsme s soustředili na geometrický popis struktury zobrazení. Teď naše výsledky přeložíme do jazyku tzv. rozkladů matic, což je obzvlášť důležité téma pro numerické postupy a maticový počet obecně. I při počítání s reálnými čísly užíváme pro zjednodušení rozklady na součiny. Nejjednodušším je vyjádření každého reálného čísla jednoznačně ve tvaru a = sgn(út) • \a\, 3.38. Uvažujme vektorový prostor V funkcí M -» C. Určete, zdaje zobrazení cp z unitárního prostoru V lineární. i) cp(u) = ku, kde A e C ii) cp(u) = u* iii) cp(u) = u2(= u.u) iv) m = f V je pro vhodné funkce unitární prostor nekonečné dimenze. Skalárním součin se definuje vztahem f.g = f™ f (x) g(x)dx. Řešení, je, není, není, je □ 3.39. Ukažte, že pokud je H hermiteovská matice, pak je U = exp(iH) = ^„^^(—^"^(iH)" unitární matice a spočtěte její determinant. Řešení. Z definice exp lze ukázat, že platí exp (A + B) = exp(A). exp(S) tak, jak jsme zvyklí u exponenciálního zobrazení v oboru čísel. Vzhledem k tomu, že obecně platí (u + v)* = u* + v* a (cv)* = čv*, tak dostáváme U* = (V(-l)" — (iHff = y^(-l)n — (-iH*)n «=0 «=0 a protože H* = H, tak U* = - yV-1)"-Á-iH)n = exp(-iH) «=o a proto U*U = exp(iH) exp(-iH) = exp(0) = 1 □ 3.40. Hermiteovské matice A, B, C splňují [A, C] = [B, C] = 0 a [A, B] 0, kde [, ] je komutátor matic definovaný vztahem [A, B] = AB — BA. Ukažte, že aspoň jeden podprostor matice C musí mít dim > 1. Řešení. Budeme dokazovat sporem. Předpokládáme tedy, že všechny vlastní podprostory operátoru C mají dim = 1. Pak můžeme pro libovolný vektor u psát u = ^ ckuk, kde uk jsou lineárně nezávislé vlastní vektory operátoru C vlastním číslem kk (ack = u.uk) Pro tyto vlastní vektory pak zjevně platí 0 = [A, C]uk = ACuk — CAuk = kkAuk — C(Auk) Odtud vidíme, že Auk je vlastním vektorem matice C s vlastní hodnotou kk. To ovšm znamená, že Auk = kkuk pro nějaké číslo kk. Stejně tak odvodíme Buk = kkuk pro nějaké číslo kk . Pro komutátor matic A a S pak dostáváme [A, B]uk = ABuk - BAuk = kkkkuk - kkkkuk = 0 163 D. UNITÁRNÍ PROSTORY 5. ROZKLADY MATIC A PSEUDOINVERZE To ovšem znamená [A, B]u = [A, B]J2ckUk ~ J2Ck[A> B]Uk = 0 a protože u bylo libovolné, znamená to, že [A, B] = 0, což je spor. □ 3.4 0 3.41. Použití v kvantové fyzice. V kvantové fyzice se fyzikální ve-ličině nepřiřazuje číselná hodnota, tak jak tomu je v klasické fyzice, nýbrž hermiteovský operátor. To není nic jiného, než hermiteovsé zobrazení, které ovšem může vést, a často taky vede, mezi unitárními prostory nekonečné dimenze (Můžeme si to představit třeba jako matici nekonečného rozměru). Vektory v tomto unitárním prostoru potom reprezentují stavy daného fyzikálního systému. Při měření dané fyzikální veličiny můžeme dostat jen hodnoty, které jsou vlastními hodnotami příslušného operátoru. Například místo souřadnice x máme operátor souřadnice x. Jeli stav systému popsán vektorem v, pak platí x (v) = xv, tzn. je to násobení vektoru reálným číslem x. Na první pohled je tento hermiteovský operátor jiný než naše příklady z konečné dimenze. Evidentně je totiž každé reálné číslo vlastním číslem (x má tzv. spojité spektrum). Podobně, místo rychlosti (přesněji hybnosti) máme operátor p = —i-^r-Vlastní vektory jsou řešení diferenciální rovnice —i^r = kv.lv tomto případě je spektrum spojité. To je vyjádřením faktu, že příslušná fyzikální veličina je spojitá (může nabývat libovolné reálné hodnoty). Naproti tomu máme fyzikální veličiny, např. energie, které mohou nabývat jen diskrétní hodnoty (energie je kvantována). Příslušné operátory jsou pak opracdu podobné hermiteovským maticím, jen majj nc^ konečný počet vlastních čísel. 3.42. Ukažte, že x a p jsou hermiteovské a že [x, p] = i Řešení. Pro libovolný vektor v platí „ „ „ „ dv d(xv) [x, p]v = xpv — pxv = x(—i—) + i- dx dx a odtud už přímo vyplývá naše tvrzení. iv □ 3.43. Ukažte [i — p, x + p] = 2i Řešení. Evidentně platí [i, i] — 0 a[p, p] = 0a zbytek vyplývá z linearity komutátoru a z minulého příkladu. □ tj. jako součin znaménka a abolutní hodnoty. V dalším textu si uvedeme stručně přehled několika takových rozkladů pro různé typy matic, které bývají nesmírně užitečné při numerických výpočtech s maticemi. Například jsme vhodný rozklad pro pozitivně semidefmitní symetrické matice využili v odstavci 3.27 pro konstrukci odmocniny z matice. 3.37. LU-rozklad. Začneme přeformulováním několika výsledků, které jsme už dávno odvodili. V odstavcích 2.7 a 2.8 jsme upravovali matice nad skaláry z libovolného pole na řádkový schodovitý tvar. K tomu jsme používali elementární úpravy, které spočívaly v postupném násobení naší matice invertibilními dolními trojúhelníkovými maticemi Ph které postihovaly přičítání násobků řádků pod právě zpravová-vaným. Předpokládejme pro jednoduchost, že naše matice A je čtvercová a že při Gausově eliminaci nejsme nuceni přehazovat řádky a proto všechny naše matice Pt mohou být dolní trojúhelníkové s jedničkami na diagonálách. Konečně, stačí si povšimnout, že inverzní matice k takovýmto Pt jsou opět dolní trojúhelníkové s jedničkami na diagonálách a dostáváme U = P ■ A = Pk ■ ■ ■ Pí ■ A kde U je horní trojúhelníková matice a tedy A = L ■ U kde L je dolní trojúhelníková matice s jedničkami na diagonále a U je horní trojúhelníková. Tomuto rozkladu se říká LU-rozklad matice A. V případě obecné matice můžeme při Gausově eliminaci na řádkově schodovitý tvar potřebovat navíc permutace řádků, někdy i sloupců matice. Pak dostáváme obecněji A = P ■ L U Q, kde P a. Q jsou nějaké permutační matice. 3.38. Poznámky. Přímým důsledkem Gausovy eliminace bylo také zjištění, že až na volbu vhodných bází na definičním oboru a oboru hodnot je každé zobrazení / : V -» W zadáno maticí v blokově diagonálním tvaru s jednotkovou matici, s rozměrem daným dimenzí obrazu /, a s nulovými bloky všude kolem. To lze přeformulovat takto: Každou matici A typu m /n nad polem skalárů K lze rozložit na součin E 0 0 0 Q, kde P a Q jsou vhodné invertibilní matice. Pro čtvercové matice jsme v 3.28 ukázali při diskusi vlastností lineárních zobrazení / : V -> V na komplexních vektorových prostorech, že každou čtvercovou matici A dimenze m umíme rozložit na součin A = P ■ B ■ P~l kde B je blokově diagonální s Jordánovými bloky příslušnými k vlastním číslům na diagonále. Skutečně jde o pouhé přepsání Jordánovy věty, protože násobení maticí P a její inverzí z opačných stran odpovídá v tomto přípaě právě změně 164 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET báze na vektorovém prostoru V a citovaná věta říká, že ve vhodné bázi má každé zobrazení Jordánův kanonický tvar. Obdodně jsme tedy při diskusi samoadjungovaných zobrazení dokázali, že pro reálné symetrické nebo komplexní Hermiteovské matice existuje vždy rozklad na součin A = P ■ B ■ P*, kde B je diagonální matice se všemi (vždy reálnými) vlastními čísly na diagonále, včetně násobností. Skutečně, jde opět o součin s maticemi vystihující změnu báze, nicméně připouštíme nyní pouze změny mezi mezi ortonormálními bázemi a proto i matice přechodu P musí být ortogonální. Odtud P'1 = P*. Pro reálná ortogonální zobrazení jsme odvodili obdobné vyjádření jako u symetrických, pouze naše B bude blokově diagonální s bloky rozměru dva nebo jedna vyjadřujícími buď rotaci nebo zrcadlení nebo identitu vzhledem k příslušným podprostorům. 3.39. Věta o singulárním rozkladu. Nyní se vrátíme k obecným lineárním zobrazením mezi (obecně různými) vektorovými prostory. Jestliže na nich je definován skalární součin a omezíme se přitom na ortonormální báze, musíme postupovat o hodně rafinovaněji, než v případě bazí libovolných Věta. Nechť A je libovolná matice typu m/n nad reálnými nebo komplexními skaláry. Pak existují čtvercové unitární matice U a V dimenzí m a n, a reálná diagonální matice s nezápornými prvky D dimenze r, r < mii.ftey^iíafeiirég Že D 0' 0 0 U SV* a r je hodnost matice A A*. Přitom je S určena jednoznačně až na pořadí prvků a prvky diagonální matice D jsou druhé odmocniny vlastních čísel di matice AA*. Pokud je A reálná matice, pak i matice U a V jsou ortogonální. Důkaz. Předpokládejme nejprve m < n a označme

n, můžeme aplikovat předchozí část důkazu na matici A*. Odtud pak přímo plyne požadované tvrzení. Pokud pracujeme nad reálnými skaláry, jsou všechny naše kroky v důkazu výše také realizovány v reálném oboru. □ Tento důkaz věty o singulárním rozkladu je konstruktivní a můžeme jej opravdu použít pro výpočet unitárních, resp. ortogonálních, matic U, V a diagonálních nenulových prvků matice S. 3.40. Geometrická interpretace singulárního rozkladu. Diagonálním hodnotám matice D z předchozí věty se říká singulární hodnoty matice A. Přeformulujme si tuto větu v reálném případě geometrietěji. Pro příslušné lineární zobrazení

W" mají singulární hodnoty skutečně jednoduchý geometrický význam: Nechť K c M" je jednotková sféra pro standardní skalární součin. Obrazem cp(K) pak vždy bude (případně degenerovaný) m-rozměrný elipsoid. Singulární čísla matice A jsou přitom velikosti hlavních poloos a věta navíc říká, že původní sféra vždy připouští ortogonální sdružené průměry, jejichž obrazem budou právě všechny poloosy tohoto elipsoidu. Pro čtvercové matice je vidět, že A je invertibilní právě, když všechna singulární čísla jsou nenulová. Poměr nej-většího a nejmenšího singulárního čísla je důležitým parametrem pro robustnost řady numerických výpočtů s maticemi, např. pro výpočet inverzní matice. Poznamejme také, že existují rychlé metody výpočtů, resp. odhadů, vlastních čísel, proto je se singulárním rozkladem velmi efektivně pracovat. 3.41. Věta o polárním rozkladu. Věta o singulárním rozkladu je východiskem pro mnoho mimořádně užitečných nástrojů. Uvažujme nyní nad několika přímými důsledky (které samy o sobě jsou dosti netriviální). Tvrzení věty říká pro libovolnou matici A, ať už reálnou nebo komplexní, A = USW* s diagonální S s nezápornými reálnými čísly na diagonále a unitárními U,W. Pak ovšem také A = USU*UW* a pojmenujme si matice P = USU*, V = UW*. První z nich, P je hermiteovská (v reálném případě symetrická) a pozitivně semidefmitní, protože jde jen o zápis zobrazení s reálnou diagonální maticí S v jiné ortonormální bázi, zatímco V je coby 166 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET součin dvou unitárních opět unitární (v reálném případě ortogonální). Navíc A* = WSU* a tedy AA* = USSU* = P2 a naše matice f je vlastně odmocninou ze snadno spočítatelné hermiteovské matice A A*. Předpokládejme, že A = PV = QU jsou dva takové rozklady matice A na součin positivně semidefmitní hermiteovské a unitární matice a předpokládejme, že A je invertibilní. Pak ovšem je AA* = PVV*P = P2 = QUU*Q = Q2 pozitivně defmitní a pro to jsou matice Q = P = VAÄ* jednoznačně určené a invertibilní. Pak ovšem také U = V = P~lA. Beze zbytku jsme tedy odvodili velice užitečnou analogii rozkladu reálného čísla na znaménko (ortogonální matice v případě dimenze jedna jsou právě ±1) a absolutní hodnotu (matice P, ke které umíme odmocninu). Věta (Věta o polárním rozkladu). Každou čtvercovou komplexní matici A dimenze n lze vždy vyjádřit ve tvaru A = P ■ V, kde P je hermiteovská a positivně definitní čtvercová matice téže dimenze a V je unitární. Přitom P = V AA*. Jeli A invertibilní, je rozklad jednoznačný a V = (V AA*)-1 A. Pokud pracujeme nad reálnými skaláry, je P symetrická a V ortogonální. Když budeme tutéž větu aplikovat na A* místo A, dostaneme tentýž výsledek, ovšem s obráceným pořadím hermite-ovských a unitárních matic. Matice v příslušných pravých a levých rozkladech budou samozřejmě obecně různé. V komplexním případě je analogie s rozkladem čísel ještě zábavnější — pozitivně semidefmitní P hraje opět roli absolutní hodnoty komplexního čísla, unitární matice V pak má jednoznačné vyjádření jako součet V = Vr + i V; s her-miteovkými Vr a V; s vlastností V2 + V2 = E, tj. dostáváme plnou analogii goniometrického tvaru komplexních čísel (viz závěrečná poznámka v 3.26). Všimněme si ale, že ve vícerozměrném případě je podstané, v jakém pořadí tento „goniometrický tvar" matice píšeme. Jde to oběma způsoby, výsledky jsou ale obecně různé. Pro řadu praktických aplikací bývá rychlejší použití tzv. QR rozkladu matic, který je obdobou Schurovy věty o ortogonální triangulaci: 3.42. Věta. Pro každou komplexní matici A typu m/n existuje unitární matice Q a horní trojúhelníková matice R takové, že A = QT R. Pokud pracujeme nad reálnými skaláry, jsou Q i R reálné. Důkaz. V geometrické formulaci potřebujeme dokázat, že pro každé zobrazení

0 0 0 ,0 o 2 " "/ \ " " " / \" " 4/ a dostáváme diagonální matici. Potřebujeme ale najít takovou ortonormální bázi, ve které je matice diagonální a nulový řádek je až poslední. Toho zjevně docílíme otočením o pravý úhel kolem osy x (souřadnice y přejde na z a z přejde na -y). Toto otočení je ortogonální transformace /l 0 0\ daná maticí V = I 0 0 II. Tím jsme bez počítání našli rozklad \0 -1 0) AT A = VBVT, kde B je diagonální s vlastními čísly (1, |, 0) na diagonále. Protože teď máme B = (AV)T (AV), tvoří sloupce matice 0 0 -A /l 0 0\ / 0 i 0> AV= I -1 0 0 0 0 1 I = I -1 0 0 0 0 0 / \0 -1 0/ I 0 0 0; 167 E. ROZKLADY MATIC 5. ROZKLADY MATIC A PSEUDOINVERZE ortogonální systém vektoru, který znormalizujeme a doplníme do báze. Tamá pak tvar (0, -1,0), (1,0,0), (0, 0, 1). Matice přechodu od této 0 1 0^ báze ke standardní je pak [7=1—1 0 01. Dohromady tak dostá- 0 0 1, váme rozklad A 0 uVbvt -1 0 0 0 0 0 1 -10 0 0 0 0 0 0 0-1 1 0 Geometricky lze rozklad zobrazení interpretovat tak, že nejprve se vše otočí o pravý úhel kolem osy x, pak následuje projekce do roviny xy taková, že jednotková koule se zobrazí do elipsy s hlavními poloosami 1 a j a výsledek se otočí o pravý úhel kolem osy z. Polárni rozklad A P := uVb~Ut a W : 0 P ■ W dostaneme ze singulárního jednoduše: »tj. -1 UVT a z toho plyne 0 (-D 3 . 47 VS'UT, kde S Pseudoinverzní matice je dána výrazem A 'l 0 0 0 2 0 |. Máme tedy k0 0 0 10 0 A(-l) = ( 0 0 1 i0 -1 o, x □ 3.51. QR rozklad. QR rozklad matice A se dobře hodí v případě, když je dán systém lineárních rovnic Ax = b, který sice nemá řešení, ale my potřebujeme najít jeho co nejlepší přiblížení. Chceme tedy minimalizovat II Ax — b\\. Podle Pythagorovy věty máme ||Ax — b\\2 = || Ax — b\\ ||2 + ||&_i_||2, kde b jsme rozložili na b\\, které patří do obrazu matice A a na ii, které je k tomuto obrazu kolmé. Projekci na obraz matice A můžeme psát ve tvaru QQT pro vhodnou ortogonální matici Q. Konkrétně tuto matici získáme Gram-Schmidtovou or-tonormalizací sloupců matice A. Potom máme b\\ = QQTb a proto Ax — b\\ = Q(QT Ax — QTb). Soustava v závorce už má řešení, pro které potom dostáváme ||Ax — b\\ = \\b±\\, což je minimální hodnota. Uvažme obrazy /_i, proto ve vyjádření (p(e{) v bázi u vystupují pouze vektory u\, Zobrazení cp má proto ve standardní bázi na W a ortonormální bázi u na Km horní trojúhelníkovou matici R. Přechod k bázi u na W" odpovídá násobení ortogonální maticí Q zleva, tj. R = Q A, ekvivalentně A = Q*R. □ Závěrem této části textu si všimněme mimořádně užitečné a důležité aplikace našich výsledků pro přibližné numerické výpočty. 3.43. Definice. Nechť A je reálná matice typu m/n a nechť 'D 0^ je její singulární rozklad (zejména D je invertibilní). Matici 'D-1 0^ 0 0, nazýváme pseudoinverzní matice k matici A. A = USV*, S i(-D ._ vsu*, s Jak ukazuje následující věta, je pseudoinverze důležité zobecnění pojmu inverzní matice. 3.44. Věta. Nechť A je reálná nebo komplexní matice typu m/n. Pak pro její pseudoinverzní matici platí: (1) Je-li A invertibilní (zejména tedy čtvercová), pak A(-1) = A"1. (2) pro pseudoinverzi A(_1) platí, ze A(_1)A i AA(_1) jsou hermiteovské (v reálném případě) symetrické a AA (-D A, t(-D AA (-D i(-D (3) Je-li A matice systému lineárních rovnic Ax = b, s pravou stranou b e W", pak vektor y = A(_1)Ŕ e K" minimalizuje velikost || Ax — b\\ pro všechny vektory x e K". Důkaz. (1): Je-li A invertibilní, pak je matice S = U*AV také invertibilní a přímo z definice je 5' = S-1. Odtud vyplývá A(_1)A = AA(_1) = E. (2): Přímým výpočtem dostáváme StfS = S a gSS = g, proto AA(_1)A = USV^g^USV* = USSSV* = USV* = A a analogicky pro druhou rovnost. Dále (AA(_1))* = (USŠU*)* = U(S')*S*U* = U(SS')*U* = USSU* = AA(_1) a podobně se ukáže (A(_1)A)* = A(_1)A. 168 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET (3): Uvažme zobrazení^ : K" -» Km,x h-» Ax, a přímé součty K" = (Ker cp)1- © Kercp, Km = Imcp © (líru?)-1. Zúžené zobrazení cp := ^(Ker^ : (Kercp)1- -» Imcp je lineárni isomorfismus. Zvolíme-li vhodně ortonormální báze na (Ker cp)1- almip a doplníme je na ortonormální báze na celých prostorech, bude mít cp matici S a čp matici D z věty o singulárním rozkladu. Pro dané b e W" je bod z e Imcp minimalizující vzdálenost \\b — z\\ (tj. realizující vzdálenost od podprostoru p(b, Imcp)) právě komponenta z = b\ rozkladu b = b\ +b2,bi e Imcp, b2 e (imcp)-1. Přitom ale ve zvolené bázi je zobrazení cp{~l\ původně zadané ve standardních bazích pseudoinverzí A(_1), dáno maticí S z věty o singulárním rozkladu, zejména je cp{~l) (\mcp) = (Kercp)1- a D~l matici zúžení (f^imq, a je nulové. Je tedy skutečně cpocp(-1\b) = cp(cp(-1\z))=z a důkaz je ukončen. □ Lze také ukázat, že matice A(_1) minimalizuje výraz ||AA(_1) - E\\2 tj. součet kvadrátů všech prvků uvedené matice. 3.45. Lineární regrese. Aproximační vlastnost (3) předchozí věty je velice užitečná v případech, kdy máme najít co nejlepší přiblížení (neexistujícího) řešení přeurčeného systému Ax = b, kde A je reálná matice typu m/n a m je větší než n. Např. máme experimentem dáno mnoho naměřených reálných hodnot b j a chceme najít lineární kombinaci několika funkcí f i, která bude co nejlépe aproximovat hodnoty b j. Skutečné hodnoty zvolených funkcí v bodech y j e M zadají matici clí j = fj(yi), jejíž sloupce jsou dány hodnotami jednotlivých funkcí f j v uvažovaných bodech, a naším úkolem je tedy určit koeficienty x j e M tak, aby součet kvadrátů odchylek od skutečných hodnot m n m n J> - (J>./}(y;)))2 = J> - (J>7*,))2 i=l j=l i=l j=l byla minimální. Jinými slovy, hledáme lineární kombinaci funkcí fi takovou, abychom „dobře" proložili zadané hodnoty bi. Díky předchozí větě jsou hledané optimální koeficienty A{~l)b. Abychom měli konkrétnější představu, uvažujme pouze dvě funkce f\(x) = x, f2(x) = x2 a předpokládejme, že „naměřené hodnoty" jejich neznámé kombinace g(x) = y\x + y2x2 v celočíselných hodnotách pro x mezi 1 a 10 jsou bT = (1.44 10.64 4.48 14.56 31.12 39.2054.88 71.28 85.92 104 Tento vektor vzniknul výpočtem hodnot x + x2 v daných bodech posunutých o náhodné hodnoty v rozmezí ±8. Matice A = (bij) je tedy v našem případě rovna '1 23456789 10 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 Navíc matice R := QT A je horní trojúhelníková a proto požadované přibližné řešení najdeme velmi lehce. Najděte přibližné řešení soustavy rovnic x + 2y = 1 2x + 4y = 4 Řešení. Máme tedy soustavu Ax = b s A = 4 I a ^ (která evidentně nemá řešení). Uděláme tedy ortonormalizaci sloupců matice A. Vezmeme první z nich a vydělíme ho jeho velikostí. Tím dostaneme první vektor ortonormální báze . Druhý dostaneme tak, že od druhého sloupce odečteme jeho komponentu ve směru už nalezeného prvního vektoru ortonormální báze. Druhý vektor je ovšem dvojnásobek prvního a proto v ortonormalizaci nulový. Máme proto Q = -1= ■ Projektor na obraz matice A je pak QQT = \ , dále spočítáme ö^7!(1 2>(i) = ^ a "-TS 2)0 2) = 7I<5 9) Přibližné řešení pak splňuje Rx = Q Tb a to v našem případě znamená 5x + 9y = 9 (přibližné řešení tedy není jednoznačné). QR rozklad matice A je 'l 2^ □ 3.52. Minimalizujte \\Ax — b\\ pro A '•\ 0 I a napište QR rozklad matice A. Řešení. Normalizovaný první sloupec matice A je 000 e\ = ( — 1 |. Z druhého sloupce odečteme jeho složku ve ■1, směru e\. Máme .16). a proto dostaneme l\ /-V 1 / 2 \ 1 / 2 \ 1 '0> 1, "J ' Vě V —1/ ^ 169 E. ROZKLADY MATIC 5. ROZKLADY MATIC A PSEUDOINVERZE Tím jsme vyrobili ortogonální vektor, který normujeme a dostaneme e2 = I 1 I. Třetí sloupec matice A je už lineárně závislý (můžeme ověřit spočítáním determinantu). Hledaná sloupcově-ortogonální matice je tedy Dále spočítáme « = ^=*(o ^ -,*)(:; t :2!) = _L(6 -3 -3 \ Vě \0 373 -3V3J Řešením rovnice i?x = QTb je x = y = z. Násobky vektoru (1, 1, 1) tedy minimalizuji \\Ax — b\\. Zahrazení určené maticí A je projekce na rovinu s normálovým vektorem (1, 1, 1). □ 3.53. Lineární regrese. Znalosti, které jsme se v této kapitole naučili lze s výhodou použít v praxi při řešení problémů pomocí lineární regrese. Jde o to nalézt nejlepší přiblížení nějaké funkční závislosti pomocí lineární funkce. Máme tedy zadánu funkční závislost v několika bodech (například zkoumáme hodnotu majetku lidí v závislosti na jejich inteligenci, na majetku rodičů, počtu společných známých s panem Kalouskem,...), tj. f(a\, ..., a*) = yi,..., f(a\, a\, ..., ak) = yk,k > n (mámetedy více rovnic než neznámých) a chceme tuto závislost „co nejlépe" odhadnout pomocí lineární funkce, tj. vyjádřit hodnotu majetku jakožto lineární funkci f(x\, ..., xn) = b\X\ + b2x2 + • • • + bnxn + c. Pokud navíc definujeme „co nejlépe" tím, že chceme minimalizovat k / « \ 2 EU E(/';v; 1 r)) v závislosti na reálných konstantách b\, ..., bn, c. Našim cílem je najít takovou lineární kombinanci sloupců matice A = (ap (s koeficienty b\, ...,&„), která bude mít co nejmenší vzdálenost od vektoru (yi, ..., yk) v M.k, tedy vlastně najít kolmou projekci vektoru a hledané koeficienty v kombinaci jsou Výsledné proložení je možné dobře vidět na obrázku, kde zeleně jsou proloženy zadané hodnoty b lomenou čarou, zatímco červený je graf příslušné kombinace g. Výpočty byly provedeny v systému Maple pomocí příkazu leastsqrs(B,b). Pokud jste s Maplem (nebo jiným podobným softwarem) spřáteleni, zkuste si zaexperimentovat s podobnými úlohami. X 170 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET (vi, ■ ■ ■, yó na podprostor generovaný sloupci matice A. Podle věty 3.44 je touto projekcí vektor (b\, ..., b„)T = A(~[)(yi, ■ ■ ■, b„). 3.54. Metodou nejmenších čverců řešte soustavu 2x + 3y + 4z = 1 x+y+z =2 3x + y + 2z = 0 2y -z = -1 Řešení. □ 171 E. ROZKLADY MATIC 5. ROZKLADY MATIC A PSEUDOINVERZE 172 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET F. Doplňující příklady k celé kapitole 3.55. Model vývoje populace velryb. Pro vývoj populace jsou podstatné samice a u nich není důležitý věk, ale plodnost. Z tohoto hlediska můžeme samice rozdělit na novorozené neboli juve-nilní, tj. dosud neplodné samice, mladé plodné samice, dospělé samice s nej větší plodností a samice postmenopauzní, které již plodné nejsou, ale mají velký význam při ochraně mláďat nebo vyhledávání zdrojů potravy. Budeme modelovat vývoj takové populace v čase. Za časovou jednotku zvolíme dobu dosažení dospělosti. Novorozená samice, která tuto dobu přežije, dospěje k plodnosti. Vývoj mladé samice do plné plodnosti a vývoj dospělé samice k menopauze závisí na podmínkách prostředí. Přechod do další plodnostní kategorie je tedy náhodný jev. Stejně je náhodným jevem i úmrtí samice. Mladá plodná samice má za jednotku času průměrně méně mláďat, než samice plodná. Tyto poznatky vyjádříme formalizovane. Označme xi(t), resp. x2(t), resp. x3(t), resp. x4(t), množství juvenilních, resp. mladých, resp. plně plodných, resp. postmenopauzních, samic v čase t. Množství může vyjadřovat počet jedinců, ale také počet jedinců vztažených na jednotkový areál (tzv. populační hustotu), případně také celkovou biomasu a podobně. Dále označme p\ pravděpodobnost, že juvenilní samice přežije jednotkový časový interval a tedy během něho dospěje, a p2, resp. p3, pravděpodobnost, že během jednotkové doby mladá, resp. plně plodná, samice, která neuhyne, dospěje do následující kategorie, tj. mladá do plné plodnosti a plně plodná k menopauze. Dalším náhodným jevem je umírání (pozitivně řečeno: přežívání) samic, které nedospějí do další kategorie; označme pravděpodobnosti přežití po řadě q2, q3 a q4 pro mladé, plně plodné a postmenopauzní samice. Každé z čísel p\, p2, p3, q2, q3, q4 jakožto pravděpodobnost je z intervalu [0, 1]. Mladá samice může přežít, dospět do plné plodnosti nebo uhynout; tyto jevy jsou neslučitelné, společně tvoří jev jistý a možnost úmrtí nelze vyloučit. Platí tedy P2 +12 < 1- Z podobných důvodů platí p3 + q3 < 1. Nakonec ještě označíme f2, resp. f3 průměrný počet dcer mladé, resp. plně plodné, samice. Tyto parametry splňují nerovnost 0 < f2 < f3. Očekávaný počet novorozených samic v následujícím časovém období je součtem dcer mladých a plně plodných samic, tj. xx(t + 1) = f2X2{t) + f3X3{t). Označme na okamžik x2,i(ř + 1) množství mladých samic v čase t + 1, které byly v předchozím období, tj. v čase t juvenilními, a x2_2(r + 1) množství mladých samic, které již v čase t byly plodné, jednotkový časový interval přežily, ale nedosáhly plné plodnosti. Pravděpodobnost p\, že juvenilní samice přežije jednotkový časový interval, můžeme vyjádřit jako klasickou, tj. jako poměr x2,i(ř + l)/xi(ř), a podobně můžeme vyjádřit pravděpodobnost q2 jako poměr x2]2(t + \)/x2(t). Poněvadž mladé samice v čase t + 1 jsou právě ty, které dospěly z juvenilnŕho stádia, a ty, které již plodné byly, přežily a nedospěly k plné plodnosti, platí x2(t + 1) = x2,i(ř + 1) +x2,2(ř + 1) = pixi(ť) +q2x2(t). Analogicky odvodíme očekávaný počet plně plodných samic jako x3(t + 1) = p2x2(t) + q3x3(t) a očekávaný počet postmenopauzních samic x4(t + 1) = p3x3(t) + q4x4(t). 173 F. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 5. ROZKLADY MATIC A PSEUDOINVERZE 10 20 30 40 Obrázek i. Vývoj populace kosatky dravé. Na vodorovné ose je čas v letech, na svislé velikost populace. Jednotlivé plochy zobrazují množství j u venil-ních, mladých, plně plodných a postmenopauzních samic v tomto pořadí zdola. Nyní můžeme označit /O f2 h A = x(t) Ai(o\ *2(0 x3(t) \x4(t) J a předchozí rekurentní formule přepsat v maticovém tvaru 0\ Pl /0\ ^0,0043\ 0,9775 0,9111 0 0 1 0,9111 0 0,0736 0,9534 0 0 0,0736 V 0 0 0,0452 0,9804y W ) / 0 0,0043 0,1132 0 \ //0,0043> /0,01224925\ 0,9775 0,9111 0 0 0,9111 0,83430646 0 0,0736 0,9534 0 0,0736 0,13722720 V 0 0 0,0452 0,9804/ v0,00332672y x(2) a tak můžeme pokračovat dále. Výsledky výpočtu můžeme také znázornit graficky; to je provedeno na obrázku 1. Vyzkoušejte si výpočet a grafické znázornění jeho výsledků i pro jiné počáteční složení 174 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET populace. Výsledkem by mělo být pozorovaní, že celková velikost populace roste jako exponenciální funkce, poměry velikostí jednotlivých plodnostních tříd se postupně ustálí na konstantních hodnotách. Matice A má vlastní hodnoty ki = 1,025441326, k2 = 0,980400000, k3 = 0,834222976, k4 = 0,004835698, vlastní vektor příslušný k největší vlastní hodnotě k\ je w = (0,03697187, 0,31607121, 0,32290968, 0,32404724); tento vektor je normován tak, aby součet jednotlivých složek byl roven 1. Porovnejte vývoj velikosti populace s exponenciální funkcí F(t) = k[x0, kde x0 je celková velikost počáteční populace. Vypočítejte také relativní zastoupení jednotlivých plodnostních kategorií v populaci po jisté době vývoje a porovnejte ho se složkami vlastního vektoru w. Shoda je způsobena pouze tím, že matice A má jednu vlastní hodnotu, která má absolutní hodnotu největší z absolutních hodnot všech vlastních hodnot matice A, a tím, že vektorový podprostor generovaný vlastními vektory příslušnými k vlastním hodnotám k2, k3, k4 má s nezáporným orthantem jednoprvkový průnik (pouze nulový vektor). Struktura matice A však sama nezaručuje takto jednoduše předvídatelný vývoj, je totiž tzv. reducibilní (viz ??). 3.56. Model růstu populace bodláků Dipsacus sylvestris. Tuto rostlinu můžeme vidět ve čtyřech podobách. Buď jako kvetoucí rostlinu nebo jako růžici listů, přičemž u růžic můžeme rozlišit trojí velikost - malé, střední a velké. Životní cyklus této jednodomé víceleté byliny můžeme popsat následovně. Kvetoucí rostlina vyprodukuje v pozdním létě větší množství semen a uhyne. Ze semen některá vyklíčí ještě v temže roce a vyroste z nich růžice listů, nejčastěji střední velikosti. Jiná semena zůstanou v zemi a přezimují. Některá z přezimujících semen na jaře vyklíčí a vyroste z nich růžice listů; poněvadž jsou ale prezimovaním oslabena, bude tato růžice s nejvyšší pravděpodobností malá. Většina z přezimujících semen zůstane v zemi, a ta z nich, která přežijí, na jaře vyklíčí a vyrostou z nich malé růžice. Po třech nebo více zimách „spící" (odborně řečeno dormantní) semena hynou, ztrácí schopnost vyklíčit. Podle podmínek prostředí, kde rostlina roste, může malá nebo střední růžice listů do dalšího roku vyrůst, kterákoliv z růžic může zůstat ve své velikostní kategorii nebo uhynout - uschnout, být sežrána nějakým hmyzem a podobně. Střední nebo velká růžice může v následujícím roce vykvést. Kvetoucí rostlina produkuje semena a celý cyklus se opakuje. Abychom mohli předpovídat, jak rychle se bude populace uvažovaných bodláků v krajině šířit, potřebujeme popsané procesy nějak kvantifikovat. Botanici zjistili, že kvetoucí rostlina vyprodukuje průměrně 431 semen. Pravděpodobnosti klíčení různých semen, růstu růžic listů a vykvetení jsou shrnuty v tabulce: 175 F. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 5. ROZKLADY MATIC A PSEUDOINVERZE jev pravděpodobnost semeno vyprodukované rostlinou uhyne ze semene vyroste malá růžice v temže roce ze semene vyroste střední růžice v temže roce ze semene vyroste velká růžice v temže roce ze semene přezimujícího rok vyroste malá růžice ze semene přezimujícího rok vyroste střední růžice ze semene přezimujícího rok vyroste velká růžice ze semene přezimujícího dva roky vyroste malá růžice semeno po prvním prezimovaní uhyne malá růžice přežije a nevyroste střední růžice přežije a nevyroste velká růžice přežije a nevyroste z malé růžice vyroste střední z malé růžice vyroste velká ze střední růžice vyroste velká střední růžice vykvete velká růžice vykvete 0,172 0,008 0,070 0,002 0,013 0,007 0,001 0,001 0,013 0,125 0,238 0,167 0,125 0,036 0,245 0,023 0,750 Povšimněme si, že všechny relevantní jevy v životním cyklu rostliny mají pravděpodobnost přiřazenu a že se jedná o jevy neslučitelné. Budeme si představovat, že populaci pozorujeme vždycky na začátku vegetačního roku, řekněme v březnu, a že ke všem uvažovaným jevům dochází ve zbytku času, dejme tomu od dubna do února. V populaci se vyskytují kvetoucí rostliny, růžice tří velikostí, vyprodukovaná semena a semena dor-mantní jeden nebo dva roky. Toto pozorování by mohlo svádět k tomu, že populaci rozdělíme do sedmi tříd - semena čerstvá, dormantní první rok a dormantní druhý rok, růžice malé střední a velké, kvetoucí rostliny. Avšak z vyprodukovaných semen se v temže roce vyvinou buď růžice nebo semena přezimují. Čerstvá semena tedy netvoří samostatnou třídu, jejíž velikost bychom na začátku roku mohli určit. Označme tedy: %\ (ŕ) — počet semen dormantních první rok na jaře roku ř *2(0 — počet semen dormantních druhý rok na jaře roku ř x3(t) — počet malých růžic na jaře roku t x4(t) — počet středních růžic na jaře roku t x5(t) — počet velkých růžic na jaře roku t x6(t) — počet kvetoucích rostlin na jaře roku t Počet vyprodukovaných semen v roce t je 431x6(ř). Pravděpodobnost, že semeno zůstane jako dormantní první rok, je rovna pravděpodobnosti, že ze semena nevyroste žádná růžice a že neuhyne, tedy 1 - (0,008 + 0,070 + 0,002 + 0,172) = 0,748. Očekávaný počet semen dormantních jednu zimu v následujícím roce tedy je Pravděpodobnost, že semeno, které již jeden rok bylo dormantní, zůstane dormantním i druhý rok je rovna pravděpodobnosti, že ze semena dormantnŕho jeden rok nevyroste žádná růžice a že neuhyne, tedy 1 — 0,013 — 0,007 — 0,001 — 0,013 = 0,966. Očekávaný počet semen dormantních dvě zimy v následujícím roce tedy bude Malá růžice může vyrůst ze semena bezprostředně, ze semena dormantního jeden rok nebo dormantního dva roky. Očekávaný počet malých růžic vyrostlých bezprostředně v roce t je roven xi(t + 1) = 0,748 • 431x6(ř) = 322,388x6(ř). x2(t + 1) = 0,966x!(ř). 176 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET 0,008 • 431*6(0 = 3,448*6(0- Očekávaný počet malých růžic vyrostlých ze semen dormantních jeden a dva roky je 0,013*i (0 a 0,010*2(0- S těmito nově vyrostlými malými růžicemi jsou v populaci rostlin také malé růžice starší, které nevyrostly; těch je 0,125*3(0- Celkový očekávaný počet malých růžic tedy je x3(t + 1) = 0,013*i(0 + 0,010*2(0 + 0,125*3(0 + 3,448*6(0-Analogicky určíme očekávaný počet středních a velkých růžic x4(t + 1) =0,007*!(ř) + 0,125*3(0 + 0,238*4(0 + 0,070 • 431*6(0 = =0,007*i (ř) + 0,125*3(0 +0,238*4(0 + 30,170*6, x5(t + 1) =0,245*4(0 +0,167*5(ř)+0,002 • 431*6(0 = =0,245*4(0 +0,167*5(ř)+0,862*6(0- Kvetoucí rostlina může vyrůst ze střední nebo velké růžice. Očekávaný počet kvetoucích rostlin tedy bude x6(t + 1) = 0,023*4(0 + 0,750*5(0-Dospěli jsme tedy k šesti rekurentním formulím pro jednotlivé složky populace studované rostliny. Označíme nyní / 0 0 0 0 0 322,388\ /*i(0\ 0,966 0 0 0 0 0 0,013 0,010 0,125 0 0 3,448 , x(t) = *3(0 0,007 0 0,125 0,238 0 30,170 *4(0 0,008 0 0,038 0,245 0,167 0,862 x5(t) V 0 0 0 0,023 0,750 o ) \*6(0 / a předchozí rovnosti zapíšeme v maticovém tvaru vhodném pro výpočet x(t + 1) = A*(0- Pokud známe počty jednotlivých složek populace v nějakém počátečním roce t = 0, můžeme vypočítat očekávané počty rostlin a semen v letech následujících. Můžeme také počítat celkový počet jedinců 6 n(t) v čase t, n(t) = ^ xi(t), relativní zastoupení jednotlivých složek Xi(t)/n(t), i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 i=\ a meziroční relativní změnu populace n(t + \)/n(t). Výsledky takového výpočtu pro patnáct let a případ, že na nějakou lokalitu jsme přesadili jednu kvetoucí rostlinu, jsou uvedeny v tabulce 1. Na rozdíl od populace velryb by nyní obrázek nebyl příliš přehledný, počty rostlin jsou oproti počtům semen zanedbatelné, v obrázku by splynuly. Matice A má vlastní hodnoty kx = 2,3339 k2 = -0,9569 + 1,4942i k3 = -0,9569 - 1,4942i Vlastní vektor příslušný k vlastní hodnotě k\ je A-4 A6 0,1187 + 0,1953i 0,1187 -0,1953i -0,1274 w (0,6377, 0,2640, 0,0122, 0,0693, 0,0122, 0,0046); tento vektor je normován tak, aby součet jeho složek byl roven jedné. Vidíme, že s rostoucím časem t se relativní změna velikosti populace přibližuje vlastní hodnotě k\, relativní zastoupení jednotlivých složek populace se přibližují složkám normovaného vlastního vektoru příslušného k vlastní hodnotě 177 F. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 5. ROZKLADY MATIC A PSEUDOINVERZE t XI x2 x3 X4 x5 Xg n{t) 1 0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 1,00 1 322,39 0,00 3,45 30,17 0,86 0,00 356,87 2 0,00 311,43 4,62 9,87 10,25 1,34 337,50 3 432,13 0,00 8,31 43,37 5,46 7,91 497,18 4 2550,50 417,44 33,93 253,07 22,13 5,09 3 282,16 5 1 641,69 2463,78 59,13 235,96 91,78 22,42 4514,76 6 7 227,10 1585,88 130,67 751,37 107,84 74,26 9 877,12 7 23 941,29 6981,37 382,20 2486,25 328,89 98,16 34 218,17 8 31646,56 23 127,29 767,29 3 768,67 954,73 303,85 60 568,39 9 97 958,56 30570,58 1 786,27 10381,63 1 627,01 802,72 143 126,78 10 258 788,42 94627,97 4570,24 27 597,99 4358,70 1 459,04 391 402,36 11 470376,19 249 989,61 9 912,57 52970,28 10991,08 3 903,78 798 143,52 12 1258 532,41 454383,40 23 314,10 134915,73 22317,98 9 461,62 1 902 925,24 13 3 050314,29 1215 742,31 56442,70 329 291,15 55 891,57 19 841,54 4727 523,56 14 6396675,73 2946603,60 127 280,49 705 398,22 133 660,97 49 492,37 10359 111,38 15 15 955 747,76 6179188,75 299182,59 1 721 756,52 293 816,44 116469,89 24566161,94 *2(0 x3(ř) x4(ř) *s(0 x6(t) n(t + 1) ř n(t) n(t) n(t) n(t) n(t) n(t) n(t) 0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000 356,868 1 0,903 0,000 0,010 0,085 0,002 0,000 0,946 2 0,000 0,923 0,014 0,029 0,030 0,004 1,473 3 0,869 0,000 0,017 0,087 0,011 0,016 6,602 4 0,777 0,127 0,010 0,077 0,007 0,002 1,376 5 0,364 0,546 0,013 0,052 0,020 0,005 2,188 6 0,732 0,161 0,013 0,076 0,011 0,008 3,464 7 0,700 0,204 0,011 0,073 0,010 0,003 1,770 8 0,522 0,382 0,013 0,062 0,016 0,005 2,363 9 0,684 0,214 0,012 0,073 0,011 0,006 2,735 10 0,661 0,242 0,012 0,071 0,011 0,004 2,039 11 0,589 0,313 0,012 0,066 0,014 0,005 2,384 12 0,661 0,239 0,012 0,071 0,012 0,005 2,484 13 0,645 0,257 0,012 0,070 0,012 0,004 2,191 14 0,617 0,284 0,012 0,068 0,013 0,005 2,371 15 0,650 0,252 0,012 0,070 0,012 0,005 Tabulka 1. Modelovaný vývoj populace bodláku Dipsacus sylvestris. Velikosti jednotlivých složek populace, celková velikost populace, relativní zastoupení jednotlivých složek a relativní přírůstky velikosti. X\. Každá nezáporná matice, která má nenulové prvky na stejných pozicích jako matice A je primitivní. Vývoj populace tedy zákonitě spěje ke stabilizované struktuře. 3.57. Nelineární model populace. Prozkoumejte podrobně vývoj populace pro nelineární model z učebnice (1.12) a hodnoty K = 1 a i) míru růstu r = 1 a počáteční stav p(l) = 0,2 Ü) míru růstu r = 1 a počáteční stav p(\) = 2 iii) míru růstu r = 1 a počáteční stav p(\) = 3 iv) míru růstu r = 2, 2 a počáteční stav p(\) = 0,2 v) míru růstu r = 3 a počáteční stav p(\) = 0,2 Spočítejte několik prvních členů a odhadněte, jak bude populace dále růst. Řešení. 178 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET i) Prvních deset členů posloupnosti p(n) je v následující tabulce. Odtud je vidět, že velikost populace konverguje k hodnotě 1. n P(n) 1 0,2 2 0,36 3 0,5904 4 0,83222784 5 0,971852502 6 0,999207718 7 0,999999372 Graf vývoje populace pro r = 1 a p(\) = 0, 2: ii) Pro počáteční hodnotu p(\) =2 dostaneme p(2) = 0 a dál už se populace měnit nebude. iii) Pro p(\) = 3 dostáváme n P(n) 1 3 2 -15 3 -255 4 -65535 a odtud je vidět, že populace bude klesat pode všechny meze. iv) Pro míru růstu r = 2, 2 a počáteční stav p(\) = 0, 2 dostáváme n P(n) 1 0,2 2 0,552 3 1,0960512 4 0,864441727 5 1,122242628 6 0,820433675 7 1,144542647 8 0,780585155 9 1,157383491 10 0,756646772 11 1,161738128 12 0,748363958 !3 1,162657716 14 0,74660417 Vidíme, že místo konvergence dostáváme v tomto případě oscilaci-po nějaké době bude populace přeskakovat mezi hodnotami 1,16 a 0,74. Graf vývoje populace pro r = 2, 2 a p(\) = 0, 2 pak vypadá následovně: v) Pro míru růstu r = 3 a počáteční stav p(\) = 0, 2 dostáváme 179 F. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 5. ROZKLADY MATIC A PSEUDOINVERZE n P(n) 1 0,2 2 0,68 3 1,3328 4 0,00213248 5 0,008516278 6 0,033847529 7 0,131953152 8 0,475577705 9 1,223788359 10 0,402179593 11 1,123473097 12 0,707316989 13 1,328375987 14 0,019755658 15 0,077851775 16 0,293224403 17 0,91495596 18 1,148390614 19 0,63715945 20 1,330721306 21 0,010427642 22 0,041384361 23 0,160399447 V tomto případě je už situace složitější-populace začne oscilovat mezi více hodnotami. Abychom lépe viděli mezi kterými, bylo by potřeba spočítat ještě víc členů. Pro členy z tabulky máme následující graf □ 3.58. V laboratoři je prováděn pokus se stejnou pravděpodobností úspěchu i neúspěchu. Pokud se pokus podaří, bude pravděpodobnost úspěchu druhého pokusu 0, 7. Jestliže skončí první pokus neúspěchem, bude pravděpodobnost úspěchu druhého pokusu pouze 0, 6. Dále se bude pokračovat v provádění pokusů, kdy úspěšnost předešlého znamená, že pravděpodobnost úspěchu následujícího bude 0, 7, a jeho neúspěšnost způsobí, že pravděpodobnost úspěchu následujícího bude 0, 6. Pro libovolné n e N stanovte pravděpodobnost, že n-tý pokus se podaří. Řešení. Zaveďme pravděpodobnostní vektor kde x\ je pravděpodobnost úspěchu n-tého pokusu a x2 = \ —x\ je pravděpodobnost jeho neúspěchu. Podle zadání je a zřejmě také _ /0, 7 0, 6\ /l/2\ _ /l3/20\ Xl ~ {O, 3 0, 4J ' \l/2) ~\ 7/20 ) ■ Při označení /7/10 3/5\ V3/10 2/5J 180 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET platí ves013666 (3.7) *-« + ! T-x„, n e N, ves013665 neboť pravděpodobnostní vektor xn+\ závisí pouze na xn a tato závislost je totožná jako pro x2 a.x\. Ze vztahu (3.7) bezprostředně plyne (3.8) T T x n-l Tn-xu n > 2, n e N. Proto vyjádříme T", n e N. Jedná se o Markovův proces, a tudíž je 1 vlastní číslo matice T. Druhé vlastní číslo 0, 1 vyplývá kupř. z toho, že stopa (součet prvků na diagonále) je rovna součtu všech vlastních čísel (každé vlastní číslo bereme tolikrát, jaká je jeho algebraická násobnost). Těmto vlastním číslům pak přísluší vlastní vektory Dostáváme tak T = tj. pro n e N je 1 1 o 0 1/10 1 o 0 1/10 1" o 0 10"" Dosazení a roznásobení dává 1 (2 +10-3 V1 " 10~ Odtud, z (3.7) a (3.8) plyne 1 3 U 2 - 2 • 10"" 1 + 2 • 10"" 1 1 3 + 6-10" n e N. n e N. 6-10" Zvláště vidíme, že pro velká n je pravděpodobnost úspěchu n-tého pokusu blízká 2/3. □ 3.59. Student na koleji je značně společensky unaven (v důsledku toho není schopen plně vnímat smyslové podněty a koordinovat své pohyby). V tomto stavu se přesto rozhodne, že na právě probíhající večírek pozve známou, která má pokoj na jednom konci chodby. Na opačném konci chodby však bydlí někdo, koho pozvat rozhodně nehodlá. Je ovšem natolik „unaven", že rozhodnutí udělat krok zvoleným směrem se mu podaří realizovat pouze v 53 ze 100 pokusů (ve zbylých 47 jde přesně na opačnou stranu). Za předpokladů, že vyjde v polovině chodby a že vzdálenost k oběma dveřím na koncích chodby odpovídá jeho 20 krokům, stanovte pravděpodobnost, že nejdříve dorazí ke správným dveřím. 181 F. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 5. ROZKLADY MATIC A PSEUDOINVERZE 3.60. Nechť n e N osob hraje tzv. tichou poštu. Pro jednoduchost předpokládejte, že první osoba zašeptá druhé právě jedno (libovolně zvolené) ze slov „ano", „ne". Druhá osoba pak potichu řekne třetí osobě to ze slov „ano", „ne", o kterém si myslí, že ho řekla první osoba. Takto to pokračuje až k n-té osobě. Jestliže pravděpodobnost toho, že při libovolném předání se zamění (nechtě, úmyslně) šířené slovo na to druhé, je p e (0, 1), stanovte pro velká n e N pravděpodobnost, že n-tá osoba určí správně slovo zvolené první osobou. Řešení. Na tuto úlohu lze nahlížet jako na Markovův řetězec se dvěma stavy nazvanými Ano a Ne, kdy řekneme, že proces je ve stavu Ano v čase m e N, pokud si m-tá osoba bude myslet, že předávané slovo je „ano". Pro pořadí stavů Ano, Neje pravděpodobnostní matice přechodu Součin matice Tm~ a pravděpodobnostního vektoru počáteční volby první osoby potom udává pravděpodobnosti toho, co si bude myslet m-tá osoba. Mocniny této matice ovšem počítat nemusíme, neboť všechny prvky matice T jsou kladná čísla. Navíc tato matice je dvojnásobně stochastická. Víme tudíž, že pro velká n e N bude pravděpodobnostní vektor blízký vektoru (1/2, 1 /2)T. Pravděpodobnost, že n-tá osoba řekne „ano", je proto přibližně stejná jako pravděpodobnost, že řekne „ne", a to nezávisle na tom, pro které slovo se rozhodla první osoba. Pro velký počet zúčastněných tak platí, že zhruba polovina z nich uslyší „ano" (zopakujme, že nezávisle na tom, které slovo bylo na začátku vybráno). Pro úplnost zjistěme, jak by úloha dopadla, kdybychom předpokládali, že pravděpodobnost záměny „ano" na „ne" je u libovolné osoby p e (0, 1) a pravděpodobnost záměny „ne" na „ano" je obecně odlišné q e (0, 1). V tomto případě pro stejné pořadí stavů dostáváme pravděpodobnostní matici přechodu Rovněž tentokrát při dostatečném počtu lidí nezáleželo na volbě slova, kterou učinila první osoba. Stručně řečeno, v tomto modelu platí, že nezáleží na původním rozhodnutí, protože o tom, jakou informaci si lidé předávají, rozhodují oni sami; přesněji řečeno, lidé sami rozhodují o četnosti výskytu „ano" a „ne", pokud je jich dostatečný počet (a chybí-li jakékoli ověřování). Doplňme ještě, že výše uvedený závěr byl experimentálně ověřen. V psychologických pokusech byl mj. jedinec opakovaně vystaven vjemu, který šlo vnímat dvěma různými způsoby, a to v časových intervalech zaručujících, aby si subjekt pamatoval předešlý vjem. Viz např. „T. Havránek a kol.: Matematika pro biologické a lékařské vědy, Praha, Academia 1981", kde je uveden experiment, v němž je zábleskem osvětlován v pevných časových odstupech nejednoznačný obraz (třeba náčrt krychle vnímatelný jako nadhled i podhled). Takový proces je totiž Markovovým řetězcem s maticí přechodu která vede (pro velká n e N) k pravděpodobnostnímu vektoru blízkému vektoru \p + q p + q což kupř. plyne z vyjádření matice kde p,q e (0, 1). □ 182 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET 3.61. V jisté hře si můžete vybrat jednoho ze dvou soupeřů. Pravděpodobnost, že porazíte lepšího, je 1/4, zatímco horšího ze soupeřů porazíte s pravděpodobností 1/2. Soupeři ale nejsou rozlišeni, a tak nevíte, který z nich je ten lepší. Čeká Vás velké množství her (pro každou můžete zvolit jiného soupeře) a samozřejmě chcete dosáhnout celkově co největšího podílu vítězných her. Uvažte tyto dvě strategie: 1. Pro první hru si vyberete soupeře náhodně. Pokud nějakou hru vyhrajete, pokračujete se stejným soupeřem; jestliže ji prohrajete, změníte pro další hru soupeře. 2. Pro první dvě hry si vyberete (jednoho) soupeře náhodně. Dále se řídíte výsledkem předchozích dvou her, kdy na další dvě hry změníte soupeře, právě když obě předchozí prohrajete. Kterou ze strategií (moudře) zvolíte? Řešení. Obě strategie jsou vlastně Markovovým řetězcem. Pro jednoduchost horšího ze soupeřů označujme jako osobu A a lepšího ze soupeřů jako osobu B. V prvním případě pro stavy „hra s osobou A", „hra s osobou 5" (a toto jejich pořadí) dostáváme pravděpodobnostní matici přechodu '1/2 3/4^ ,1/2 1/4, Tato matice má všechny prvky kladné, a proto stačí najít pravděpodobnostní vektor x^, který přísluší vlastnímu číslu 1. Platí 3 2X T .5 5, Jeho složky odpovídají pravděpodobnostem, že po dlouhé řadě her bude soupeřem osoba A, resp. B. Lze tedy očekávat, že 60 % her bude hráno proti horšímu ze soupeřů. Neboť 2 _ 3 1 2 1 5 = 5 ' 2 + 5 ' 4' vítězných her bude kolem 40 %. Pro druhou strategii zaveďme stavy „dvě hry po sobě s osobou A" a „dvě hry po sobě s osobou 5", které vedou na pravděpodobnostní matici přechodu '3/4 9/16N 1/4 1/16, Snadno určíme, že nyní je 9 4 13' 13, Proti horšímu ze soupeřů by se tak hrálo (9/4)krát častěji než proti lepšímu z nich. Připomeňme, že pro první strategii to bylo (3/2)krát častěji. Druhá strategie je proto výhodnější. Ještě poznamenejme, že při druhé strategii bude přibližně 42,3 % her vítězných. Stačí totiž vyčíslit 11 9 1 4 1 0, 423 = — =---+---. 26 13 2 13 4 □ 3.62. Petr se pravidelně setkává se svým kamarádem. Je ovšem „proslulý" svou nedochvilností. Snaží se ale změnit, a proto platí, že v polovině případů přijde včas a v jedné desetině případů dokonce ještě dříve, pokud na minulé setkání přišel pozdě. Jestliže minule přišel včas nebo dříve, než měl přijít, vrátí se ke své „bezstarostnosti" a s pravděpodobností 0,8 dorazí pozdě a pouze s pravděpodobností 0,2 včas. Jaké je pravděpodobnost, že na dvacáté setkání přijde pozdě, když na jedenácté přišel včas? 183 F. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 5. ROZKLADY MATIC A PSEUDOINVERZE Řešení. Zřejmě se jedná o Markovův proces se stavy „Petr přijde pozdě", „Petr přijde včas", „Petr přijde dříve" a s pravděpodobnostní maticí přechodu (pro uvedené pořadí stavů) /0,4 0,8 0, 8\ t = 0,5 0,2 0,2 . \0, 1 0 0/ Jedenácté setkání je určeno pravděpodobnostním vektorem (0, 1, 0)T (s jistotou víme, že Petr přišel včas). Dvacátému setkání pak odpovídá pravděpodobnostní vektor /0\ /0,571578 368\ t9 1 = 0,371316 224 . \0/ \0, 057 105 408/ Hledaná pravděpodobnost je tudíž 0, 571 578 368 (přesně). Dodejme, že je /0, 571 316224 0,571578 368 0,571578 368\ t9 = 0,371512832 0,371316224 0,371316224 . \0,057170944 0,057105 408 0,057105 408/ Odtud vidíme, jak málo záleží na tom, zda přišel na jedenácté setkáni pozdě (první sloupec), včas nebo dříve (druhý a současně třetí sloupec). □ 3.63. Dva studenti A a S tráví každé pondělní odpoledne hraním jisté počítačové hry o to, kdo z nich večer zaplatí společnou útratu v restauraci. Hra může rovněž skončit remízou, kdy večer oba platí právě polovinu útraty. Výsledek předešlé hry částečně ovlivňuje hru následující. Pokud tedy před týdnem vyhrál student A, potom s pravděpodobností 3/4 vyhraje opět a s pravděpodobností 1 /4 skončí hra remízou. Remíza se opakuje s pravděpodobností 2/3 a s pravděpodobností 1 /3 vyhraje ve hře následující po remíze student B. Pokud před týdnem vyhrál student B, pak s pravděpodobností 1 /2 své vítězství zopakuje a s pravděpodobností 1/4 vyhraje student A. Nalezněte pravděpodobnost, že dnes bude každý platit polovinu útraty, jestliže první hru před velmi dlouhou dobou vyhrál student A. Řešení. Vlastně je zadán Markovův proces se stavy „vyhraje student A", „hra skončí remízou", „vyhraje student 5" (v tomto pořadí) pravděpodobnostní maticí přechodu /3/4 0 l/4\ t = 1/4 2/3 1/4 . V 0 1/3 1/2/ Chceme najít pravděpodobnost přechodu z prvního stavu do druhého po velkém počtu n e N kroků (týdnů). Matice t je regulární, protože / 9/16 1/12 5/16 \ t2 = 17/48 19/36 17/48 . \ 1/12 7/18 1/3 / Stačí tak najít vlastní pravděpodobnostní vektor x^ matice t příslušný vlastnímu číslu 1. Snadno lze spočítat, že _ /2 3 2 x°° ~ Vř r 7 Víme, že vektor x^ se jen velmi málo liší od pravděpodobnostního vektoru pro velká n a téměř nezávisí na počátečním stavu, tj. pro velká n e N můžeme klást /2/7 2/7 2/7\ t" « 3/7 3/7 3/7 . \2/7 2/7 2/7/ 184 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET_ Hledaná pravděpodobnost je prvkem této matice na druhé pozici v prvním sloupci (je druhou složkou vektoru jc^). Poměrně rychle jsme nalezli výsledek 3/7. □ 185 f. doplňující príklady k cele kapitole 5. rozklady matic a pseudoinverze 3.9. 2\/3 sin(n • (tt/6)) — 4cos(n • (jr/6)). -3(-l)" - 2cos(« • (27t/3)) - 2v/3sin(« • ((2tt/3)). (-l)"(-2«2 + 8n -7). 2aA — 2a 3.70. x„ 3.77. x„ 3.12. x„ 3.20. Leslieho matice daného modeluje (úmrtnost v první skupině označíme a) '0 2 2\ a 0 0 ^0 1 0) Podmínka stagnace populace odpovídá tomu, že matice má vlastní hodnotu 1, neboli polynom X3 má mít kořen 1, t.j a — 1/4. 3.23. 1 5 4 5 Matice má dominantní vlastní hodnotu 1, příslušný vlastní vektor je (|, 1). Protože je vlastní hodnota dominantní, tak se poměr diváků se ustálí na poměru 6:5. 3.26. Stejně jako v (3.25) skončí hra po třech sázkách. Jsou tedy opět všechny mocniny A, počínaje A3 shodné. > 100 3.36. Můžeme využít výsledku úlohy označované jako Ruinovaní hráče. Pravděpodobnost, že zanikne to oddělení, které má nyní 40 zaměstnanců, je podle tohoto příkladu rovna 1 _ ( 0.46 f 1 (1-0,46,/ /l 7/8 3/4 1/2 o\ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 \o 1/8 1/4 1/2 1/ ,25 = 0, 56. 1 _ / 0.46 \ 1 (1-0,46,/ Stačilo dosadit p — 1 — 0, 54, y — 10/2 a x — 40/2 do (3.6). Prozíravější je tedy zvolit v tuto chvíli menší oddělení. 3.44. • Tvrzení je pravdivé. (B := A A, bij — (i-tý řádek A ) • (j-tý sloupec A)= bji — (j-tý řádek AT) ■ (i-tý sloupec A)=(j-tý sloupec A) ■ (i-tý řádek AT) Tvrzení zřejmě neplatí. Uvažte např. A n 1 .0 1 3.46. 1 / \0 0 0 3.59. Znovu se jedná o speciální případ Ruinovaní hráče. Stačí zadání vhodně přeformulovat. Pro p — 0, 47, y — 20 a x — 20 z (3.6) plyne výsledek .20 1 0,917 = - 1 V 1-0,47 J V 1-0,47 J 186 KAPITOLA 4 Analytická geometrie poloha, incidence, projekce ? — a zase skončíme u matic... Vrátíme se teď k úlohám elementární geometrie z podobného pohledu, jako když jsme zkoumali polohy bodů v rovině v 5. části první kapitoly, viz 1.23. Budeme se nejprve zajímat o vlastnosti objektů vymezených pomocí bodů, přímek, rovin apod. Podstatné přitom bude vyjasnění, které vlastnosti závisí či nezávisí na pojmu velikosti vektorů. V další části pak použijeme lineární algebru pro studium objektů, které už lineárně definované nejsou. Opět přitom budeme potřebovat trochu více maticového počtu. Výsledky budou naprosto zásadní později při diskusi technik pro optimalizace, tj. hledání extrémů funčkních hodnot. Projektivní rozšíření afinních prostorů nám v závěru kapitoly ukáže, jak lze překvapivě dosáhnout zjednodušení i stability algoritmických postupů typických pro práci s počítačovou grafikou. 1. Afinní a euklideovská geometrie Když jsme si ujasňovali dopady obecné teorie na systémy rovnic v první části předchozí kapitoly, zjistili jsme v ostavci 3.1, že všechna řešení nehomogenních systémů rovnic sice netvoří vektorové podprostory, vždy ale vznikají tak, že k jednomu jedinému řešení přičteme celý vektorový prostor řešení příslušné homogenní soustavy. Naopak, rozdíl dvou řešení nehomogenní soustavy je vždy řešením homogenní. Obdobně se chovají lineární difereční rovnice, jak jsme viděli již v odstavci 3.11. Návod na teoretické uchopení takové situace dává již diskuse geometrie roviny, viz odstavec 1.25 a dále. Tam jsme totiž popisovali přímky a body jako množiny řešení systémů lineárních rovnic. Přímka pro nás pak byla „jednorozměrným" prostorem, přestože její body byly popisovány dvěmi souřadnicemi. Parametricky jsme ji zadávali tak, že k jednomu bodu (tj. dvojici souřadnic) jsme přičítali násobky pevně zvoleného směrového vektoru. Stejně budeme postupovat i teď v libovolné dimenzi. ___^_j Standardní afinní prostor [ 4.1. Afinní prostory. Standarní afinní prostor A„ je množina všech bodů v W = A„ spolu s operací, kterou k bodu A = (a\,...,an) e A„ a vektoru v = (vi, ..., vn) e W = V přiřadíme bod A + v = (ai + vi, ..., a„ + v„) e R" = A„. A. Afinní geometrie 4.1. Napište parametrické vyjádření přímky určené rovnicemi x - 2y + z = 2, 2x + y - z = 5 vl3. Řešení. Zřejmě postačuje vyřešit uvedenou soustavu rovnic. Můžeme ale postupovat také odlišně. Potřebujeme totiž najít nenulový (směrový) vektor, který bude kolmý na (normálové) vektory (1, —2, 1), (2, 1, —1). Vektorový součin (1, -2, 1) x (2, 1, -1) = (1,3,5) ovšem takový vektor dává. Všimneme-li si, že např. uspořádaná trojice (x, y, z) = (2,-1,-2) vyhovuje dané soustavě, dostaneme výsledek [2,-1,-2]+ t (1,3, 5), íel. □ 4.2. Rovinu q : [0, 3, 2, 5] + t (1, 0, 1, 0) + s (2, -1, -2, 2), í,sel ve čtyřrozměrném eukleidovském prostoru zadejte implicitně. 187 A. AFINNÍ GEOMETRIE 1. AFINNÍ A EUKLIDEOVSKÁ GEOMETRIE 4.3. Parametricky vyjádřete průnik následujících rovin v M3: a : 2x + 3y — z + 1 = 0 a p : x — 2y + 5 = 0. Řešení. Úkolem je najít soustavu lineárních rovnic čtyř proměnných x, y, z, u (čtyři proměnné jsou dány dimenzí prostoru), jíž budou vyhovovat právě souřadnice bodů uvedené roviny. Poznamenejme, že hledaná soustava bude obsahovat 2 = 4—2 lineárně nezávislé rovnice. Příklad vyřešíme tzv. eliminací parametrů. Body [x, y, z, u] e q splňují x = t + 2s, y = 3 — s, z = 2 + t - 2s, u = 5 + 2s, přičemž í,s é1. Odtud můžeme ihned přejít k maticovému zápisu /1 2 -1 0 0 0 0 \ 0 -1 0 -1 0 0 3 1 -2 0 0 -1 0 2 2 0 0 0 -1 5/ kde první dva sloupce jsou směrové vektory roviny, za svislou čarou následuje záporně vzatá jednotková matice a za druhou svislou čarou jsou souřadnice bodu [0, 3, 2, 5]. Tento přepis vzniká tak, že na výše uvedenou soustavu rovnic nahlížíme jako na soustavu rovnic pro neznámé t, s, x, y, z, u a všechny členy přitom převádíme na jednu stranu rovnic. Získanou matici převedeme pomocí elementárních řádkových transformací do tvaru, kdy před první svislou čarou bude maximální možný počet nulových řádků. Přičtením (—1)násobku prvního a současně (—4)násobku druhého řádku ke třetímu řádku a dvojnásobku druhého ke čtvrtému řádku dostáváme /1 2 -1 0 0 0 0 \ 0 -1 0 -1 0 0 3 1 -2 0 0 -1 0 2 \0 2 0 0 0 -1 5 ) /1 2 -1 0 0 0 0 0 -1 0 -1 0 0 3 0 0 1 4 -1 0 -10 \0 0 0 -2 0 -1 11 ) Odkud plyne výsledek x + 4y - z - 10= 0, -2y - u + 11 = 0. Koeficienty za první svislou čarou v řádcích, které jsou před touto svislou čarou nulové, určují totiž koeficienty obecných rovnic roviny. Tyto operace splňují následující tři vlastnosti: (1) A + 0 = A pro všechny body A e A„ a nulový vektor 0 e y (2) A+(v+w) = (A+v)+w pro všechny vektory v, w e V, A e A„ (3) pro každé dva body A, B e A„ existuje právě jeden vektor v e V takový, že A + v = B. Značíme jej B — A, někdy také AB. Vektorový prostor M." nazýváme zaměření afinního prostoru Všimněme si několika formálních nebezpečí. Používáme stejný symbol „+" pro dvě různé operace: přičtení vektoru ze zaměření k bodu v afinním prostoru, ale také sčítání vektorů v zaměření V = W. Také nezavádíme zvláštní písmena pro samotnou množinu bodů afinního prostoru, tj. A„ pro nás představuje jak samotnou množinu bodů, tak i celou strukturu definující afinní prostor. Proč vlastně chceme rozlišovat množinu bodů prostoru A„ od jeho zaměření V, když se jedná jakoby o stejné W? Jde o velice podstatný formální krok k pochopení geometrie vř: Geometrické objekty jako přímky, body, roviny apod. nejsou totiž přímo závislé na vektorové struktuře na množině W a už vůbec ne na tom, že pracujeme s n-ticemi skalárů. Potřebujeme jen umět říci, co to znamená pohybovat se „rovně v daném směru". K tomu právě potřebujeme na jedné straně vnímat třeba rovinu jako neohraničenou desku bez zvolených souřadnic, ale s možností posunout se o zadaný vektor. Když přejdeme navíc k takovému abstraktnímu pohledu, budeme umět diskutovat „rovinnou geometrii" pro dvourozměrné podprostory, tj. roviny ve vícerozměrných prostorech, „prostorovou" pro třírozměrné atd., aniž bychom museli přímo manipulovat &-ticemi souřadnic. Tento pohled je zachycen v následující definici: Nadále nebudeme rozlišovat AaV v označení. Z axiomů okamžitě plyne pro libovolné body A, B, C v afinním prostoru A (4) A - A = 0 e V (5) B - A = -(A- B) (6) (C - B) + (B - A) = (C - A). 4.1a 4.2. Definice. Afinním prostorem A se zaměřením V rozumíme množinu bodů V, spolu se zobrazením V x V V, (A, v) A + v, splňujícím vlastnosti (l)-(3) výše. Pro libovolný pevně zvolený vektor v e V je tak definováno posunutí rv : A —> „4. jako zúžené zobrazení rv : V ~ V x {v} V, A ^ A + v. Dimenzí afinního prostoru A rozumíme dimenzi jeho zaměření. 188 KAPITOLA 4. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Skutečně, (4) vyplýva z toho, že A + 0 = 0 a takový vektor musí být jednoznačný (první a třetí definiční vlastnost). Postupným přičtením B — A a. A — B k A (v uvedeném pořadí), zjevně dostaneme podle druhé definiční vlastnosti opět A, tedy jsme přičetli nulový vektor a to dokazuje (5). Obdobně z platnosti (2) a jednoznačnosti vyplýva (6). Všimněme si, že volba jednoho pevného bodu A0 e A nám určuje bijekci mezi V a. A. Při volbě pevné báze u ve V tak dostáváme pro každý bod A e A jednoznačné vyjádření A = Aq + x\u\ + • • • + x„u„. Hovoříme o afinní soustavě souřadnic (Aq, u\, ..., u„) zadané počátkem afinní souřadné soustavy Aq a bazí zaměření u. Hovoříme také o afinním repéru (Aq, u). Slovy můžeme shrnout situaci takto: Afinní souřadnice bodu A v soustavě (Aq, u) jsou souřadnicemi vektoru A—Aq v bázi u zaměření V. Volba afinního souřadného systému ztotožňuje n-rozměrný afinní prostor A se standardním afinním prostorem A 4.3. Afinní podprostory. Jestliže si vybereme v A j en body, které budou mít některé předem vybrané souřadnice nulové (třeba poslední jednu). Dostaneme opět množinu, která se bude chovat jako afinní prostor. Takto budeme skutečně parametricky popisovat tzv. afinní podprostory ve smyslu následující definice. Definice. Neprázdná podmnožina Q C A afinního prostoru A se zaměřením V se nazývá afinní podprostor v A, je-li podmnožina W = {B — A; A, B e Q} c V vektorovým podprostorem a pro libovolné A e Q,u e f je A + u e Q. Je podstatné mít obě podmínky zahrnuty v definici, protože je snadné najít příklady podmnožin, které budou splňovat první, ale nikoliv druhou. Přemýšlejte např. o přímce v rovině s vyjmutým jedním bodem. Pro libovolnou množinu bodů M c A v afinním prostoru se zaměřením V definujeme vektorový podprostor Z(M) = {{B - A; B, A e M}) c V všech vektorů generovaných rozdíly bodů z M. Zejména je V = Z (A) a každý afinní podprostor Q C A splňuje sám axiomy afinního prostoru se zaměřením Z(Q). Přímo z definic je také zřejmé, že průnik libovolné množiny afinních podprostorů je buď opět afinní podprostor nebo prázdná množina. Afinní podprostor (M) v A generovaný neprázdnou podmnožinou M c A je průnikem všech afinních podprostorů, které obsahují všechny body podmnožiny M. Afinní podprostory si můžeme pěkně popsat pomocí jejich zaměření, jakmile si zvolíme jeden jejich bod Aq e M v generující množině bodů M. Skutečně, dostáváme (M) = {Aq + v; v e Z(M) c Z(A)}, tj. pro generování afinního podprostorů vezmeme vektorový podprostor Z(M) v Upozorněme, že kdybychom např. přepsali soustavu rovnic do matice / 1 0 0 0 0 10 0 0 0 10 V 0 0 0 1 která odpovídá situaci, kdy proměnné x, y, z, u zůstávají na levé straně rovnic, totožná úprava 1 2 0 \ 0 -1 3 1 -2 2 0 2 5/ j 1 0 0 0 1 2 0 \ / 1 0 0 0 1 2 0 \ 0 1 0 0 0 -1 3 0 1 0 0 0 -1 3 0 0 1 0 1 -2 2 -i -4 1 0 0 0 -10 0 0 1 0 2 5 ) V 0 2 0 1 0 0 11 / dává výsledek ve tvaru 4y 2y + + 10, 11. Jinak řečeno, při přepisování soustavy do matice je nutné zohledňovat, zda svislá čára odděluje levou stranu rovnic od pravé (či nikoliv). Nabízí se, že metoda eliminace parametrů může být zdlouhavá a že se při jejím použití lze snadno dopustit chyb(y). V tomto příkladu jsme přitom hledali pouze dva lineárně nezávislé normálové vektory, tj. vektory kolmé na vektory (1, 0, 1, 0), (2, —1, —2, 2). Pokud bychom si uvědomili, že takovými vektory jsou např. (0, 2, 0, 1), (—1, 0, 1, 2), dosazením x = 0, y = 3, z = 2, u = 5 do rovnic 2y + u = a, —x + z + 2u = b 12, následně hledané implicitní vyjá- bychom obdrželi a dření 11, b 2y + + + u 2u 11, 12. □ 4.4. Nalezněte parametrické vyjádření roviny procházející body A = [2, 1,1], S = [3,4,5], C = [4,-2,3]. Poté parametricky vyjádřete otevřenou polorovinu obsahující bod C a vymezenou přímkou zadanou body A, B. Řešení. K parametrickému vyjádření roviny potřebujeme jeden bod ležící v této rovině a dva směrové (lineárně nezávislé) vektory. Stačí zvolit bod A a vektory B - A = (1, 3, 4) a C - A = (2, -3, 2), které jsou očividně lineárně nezávislé. Bod [x, y, z] náleží do dané roviny právě tehdy, když existují čísla í, s ě r, pro která je x =2 + \-t +2-s, y = \ +3 ■ t - 3 ■ s, z = l + 4-r + 2-s; tj. hledané parametrické vyjádření roviny je [2, 1, 1] + t (1, 3, 4) + s (2, -3, 2), (,seK. 189 A. AFINNÍ GEOMETRIE 1. AFINNÍ A EUKLIDEOVSKÁ GEOMETRIE Volba s = 0 zjevně dává přímku, která prochází body A, b. Pro t = 0, s > 0 dostáváme polopřímku začínající v bodě A a procházející bodem C. Libovolně pevně zvolené t e M. a měnné s > 0 pak zadávají polopřímku s počátkem na hraniční přímce a s body v polorovině, ve které se nachází bod C. To znamená, že hledanou otevřenou polorovinu můžeme vyjádřit parametricky takto □ [2, 1, 1] + t (1, 3, 4) + s (2, -3, 2), í e 1, s > 0. 4.5. Určete vzájemnou polohu přímek p : [1,0, 3] + t (2,-1,-3), řeK, q : [1, 1, 3] +s (1,-1, -2), sel Řešení. Hledejme společné body zadaných přímek (průnik podpro-storů). Dostáváme soustavu 1 + 0 -3 - 2t t 3t 1 + 1 - 3 - s, s, 2s. Z prvních dvou rovnic vyplývá, že t = 1, s = 2. To ovšem nevyhovuje třetí rovnici. Soustava tak nemá řešení. Neboť směrový vektor (2, —1, —3) přímky p není násobkem směrového vektoru (1, —1, —2) Q- přímky q, přímky nejsou rovnoběžné. Jedná se proto o mimoběžk-y^- 61 4.6. Pro jaká čísla a e M jsou přímky p : [4, -4, 8] + ř(2, 1, -4). q : [a, 6, -5] + s (1, -3, 3) různoběžné? t e ] s e Řešení. Přímky jsou různoběžné tehdy a jenom tehdy, když má soustava 4 + 2ř = a + s, -4 + t = 6 - 3s, 8 - 4ř = -5 + 3s právě 1 řešení. V maticovém zápisu řešíme (první sloupec odpovídá proměnné t, druhý pak s) 2 1 -1 a - 4 \ / 1 2 -4 1 0 0 Vidíme, že soustava má právě 1 řešení tehdy a jenom tehdy, když je druhý řádek násobkem třetího. To je splněno pouze pro a = 3. Dodejme, že průsečíkem je v tomto případě bod [6, —3, 4]. □ zaměření generovaný všemi rozdíly bodů z M a ten pak přičteme k libovolnému z nich. Hovoříme také o afinním obalu množiny bodů M y A. Naopak, kdykoliv zvolíme podprostor U v zaměření Z (A) a jeden pevný bod A e A, pak podmnožina A + U vzniklá všemi možnými součty jediného bodu A se všemi vektory v U je afinní podprostor. Takový postup vede k pojmu parametrizace podprostorů: Nechť Q = A + z(Q) je afinní podprostor v A„ a (u\, ..., uk) je báze Z(Q) c M". Pak vyjádření podprostorů Q = {A + řii 0}, (4) obecněji k- rozměrné poloprostory a = {P + t\ ■ v\ + ■■■ + tk-vk; tu...,tkeR,tk> 0}, (5) ) úhly v dvojrozměrných podprostorech f3 = {P +1\ ■ v\ + h ■ V2\ h > 0, h > 0}, atd. Přímo z definice také plyne, že průnik libovolného systému konvexních množin je opět konvexní. Průnik všech konvexních množin obsahujících danou množinu M nazýváme konvexní obal K,(M) množiny M. Věta. Konvexní obal libovolné podmnožiny M C A je s K(M) = {Mi + • • • + tsAs; J^ti = L ř* > 0, Ať e M] i=\ Důkaz. Označme S množinu všech afinních kombinací na pravé straně dokazované rovnosti. Nejprve ověříme, že je S konvexní. Zvolme tedy dvě sady parametrů ř;-, i = 1, .., s\, tj, j = 1, ..., ^2 s požadovanými vlastnosti. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že si = s2 a že v obou kombinacích vystupují stejné body z M (jinak prostě přidáme sčítance s nulovými koeficienty). Uvažme libovolný bod úsečky zadané takto získanými body: e(tlAl + --- + tsAs) + (l-e)(ťlAl + --- + ťsAs), 0 < e < 1. Zřejmě jsou opět všechny v S. Zbývá ukázat, že konvexní obal bodů Ai,...,As nemůže být menší než S. Samotné body A; odpovídají volbě parametrů t j = 0 pro všechny j ^ i a ř;- = 1. Předpokládejme, že tvrzení platí pro všechny množiny s nejvýše s — 1 body. To znamená, že konvexní obal bodů A\, ..., As_i je (podle předpokladu) tvořen právě těmi kombinacemi z pravé strany dokazované rovnosti, kde ts = 0. Uvažme nyní libovolný bod A = řiAi + • • • + tsAs é 5, í, / 1, a afinní kombinace €(fiAi + --- + fs_iAs_i) + (l-€(l-fs))As, 0 < e < T4-. řádky jsou tvořeny souřadnicemi daných vektorů, hodnost nižší než tři; v tomto případě se tedy jedná o matici která má hodnost dva). Dané body tedy leží v rovině. □ 4.10. Na kolik částí mohou dělit prostor (M3) tři roviny? Pro každou možnost popište odpovídající případ. 4.11. Rozhodněte, zda leží bod [2, 1,0] uvnitř konvexního obalu bodů [0, 2, 1], [1, 0, 1], [3, -2, -1], [-1,0, 1]. Řešení. Sestavíme nehomogenní lineární soustavu, pro koeficienty t\, h, h, t4, afinní kombinace daných bodů, která dává první bod (jsou určeny jednozačně, pokud dané body neleží v rovině). /Ol 3 -l\ /řA Í2\ 2 0 -2 0 h _ 1 11-11 t3 ~ 0 \i i i i / w W Poslední rovnice udává, že jde o afinní kombinaci. Jejím řešením dostáváme (ři, t2, h, ř4) = (1,0, 1/2,-1 /2), nejedná se tedy o konvexní kombinaci, (nelze odvodit pomocí projekcí na jednotlivé osy). □ 4.12. Nalezněte předpis afinního zobrazení / daného ve standardní bázi v M2 jako /<*■*>=(o!)(::;)+(: v souřadné soustavě dané bází m = {(1, 1), (—1, 1)} a počátkem [2, 0]. Řešení. Matice přechodu od dané báze u ke standardní bázi k je 1 -1 1 1 Matici zobrazení v bázi ([2, 0], u) získáme tak, že nejprve transformujeme souřadnice v bázi ([2, 0], u) na souřadnice ve standardní bázi, tedy v bázi ([0, 0], (1, 0), (0, 1)), poté aplikujeme matici zobrazení / ve standardní bázi a na závěr výsledek transformujeme zpět do souřadnic v bázi ([2, 0], u). Transformační rovnice přechodu od suouřadnic yi, y2 v bázi ([2, 0], u) k souřadnicím x\, x2 v standardní bázi jsou Odtud máme, že 1 -1 1 1 1 -1 1 1 2 2 Mt 193 A. AFINNÍ GEOMETRIE 1. AFINNÍ A EUKLIDEOVSKÁ GEOMETRIE Pro předpis zobrazení pak dostáváme /(Ji, y2) 1 i ~\ \ 2 2 2 0 -1 1 2 1 0 1 + + + + □ 4 . 8 4.13. Mějme dánu standardní souřadnou soustavu v prostoru M3. Agent K sídlí v bodě S o souřadnicích [0,1,2] a ústředí mu přidělilo pro používání souřadnou soustavu s počátkem S a bází {(1, 1,0), (-1,0, 1), (0, 1,2)}. Agent Sokol bydlí domě D na kótě [1, 1, 1] a používá souřadnou soustavu s bází {(0, 0, 1), (-1,1, 2), (1, 0, 1)}. Agent K žádá Sokola o schůzku v cihelně, která leží podle jeho souřadné soustavy v bodě [1, 1, 0]. Kam má přijít Sokol (podle jeho souřadnic)? Řešení. Matice přechodu od báze agenta K k Sokolově bázi (při stejných počátcích) je /-4 2 -1 7=1 0 1 \2 -1 1 / Vektor (0, 1, 2) má tedy souřadnice T ■ (0,1, 2)T = (0, 2, 1)T, posunutím počátku (přičteme vektor (—1,0, 1)) dostáváme výsledek (-1,2,2). □ 4.14. Najděte příčku přímek (úsečku, jejíž jeden koncový bod leží na jedné z přímek, druhý pak na druhé z nich) p : [1,1,1]+ t(2, 1, 0), q : [2, 2, 0] + t(l, 1, 1), takovou, že přímka jí určená prochází bodem [1, 0, 0]. Řešení. Nalezneme průsečík hledané příčky s přímkou q (nazveme jej Q). Hledaná příčka obsahuje nějaký bod na přímce p a bod [1,0,0], nutně tedy leží v rovině p určené tímto bodem a přímkou p, tedy v rovině [1, 1, 1] + ř(2, 1,0) + s(0, 1, 1). Bod Q je pak průnikem této roviny s přímkou q. Ten nalezneme vyřešením soustavy 1 + 2t = 2 +u 1 + t + s = 2 +u 1 + s = u Levé strany rovnic reprezentují postupně všechny tři souřadnice libovolného bodu roviny p, pravé pak souřadnice libovolného bodu na q Jde o úsečku s krajními body určenými parametry e = 0 (bod A,) a e = 1/(1 — řs) (bod v konvexním obalu bodů A\, ..., As_i). Bod A je vnitřním bodem této úsečky s parametrem e = 1. □ Konvexní obaly konečných množin bodů se nazývají konvexní mnohostěny. Jsou-li definující body Aq, ..., Ak konvexního mnohostěnu v obecné poloze, dostáváme právě k-rozměrný simplex. V případě simplexu je vyjádření jeho bodů ve tvaru afinní kombinace definujících vrcholů jednoznačné. Zvláštním příkladem jsou konvexní mnohostěny generované jedním bodem a konečně mnoha vektory: Nechť u\, ..., uk, jsou libovolné vektory v zaměření W, A e A„ je libovolný bod. Rovnoběžnostěn Vk(A; u\, ..., uk) c A„ je množina Vk(A; u\, ..., uk) = {A + c\u\ -\-----h ckuk; 0 < c;- < 1}. Jsou-li vektory ui,...,uk nezávislé, hovoříme o k-rozměrném rovnoběžnostěnu Vk(A; u\, ..., uk) c A„. Z definice je zřejmé, že rovnoběžnostěny jsou konvexní. Ve skutečnosti jde o konvexní obaly jejich vrcholů. 4.10. Příklady standardních afinních úloh. (l)Kpodpro-storu zadanému implicitně nalézt parametrický popis a naopak: Nalezením partikulárního řešení nehomogenního systému a fundamentálního řešení zhomogenizovaného systému rovnic získáme (v souřadnicích, ve kterých byly rovnice zadány) právě hledaný parametrický popis. Naopak, zapíšeme-li parametrický popis v souřadnicích, můžeme volné parametry t\, ..., tk vyeliminovat a získáme právě rovnice zadávající daný podprostor implicitně. (2) Nalézt podprostor generovaný několika podprostory Qi, ■ ■ ■, Qs (obecně různých dimenzí, např. v R3 nalézt rovinu danou bodem a přímkou, třemi body apod.) a zadat jej implicitně či parametricky: Výsledný podprostor Q je vždy určen jedním pevně zvoleným bodem A; v každém z nich a součtem všech zaměření. Např. Q = Ai + (Z({Ai Ak}) + Z(Q1) + --- + Z(QS)). Pokud jsou podprostory zadány implicitně, je možné je nejdříve převést na parametrický tvar. V konkrétních situacích bývají funkční i jiné postupy. Všimněme si, že obecně je skutečně nutné využít jednoho bodu z každého podprostoru. Např. dvě paralelní přímky v rovině vygenerují celou rovinu, ale sdílí totéž jednorozměrné zaměření. (3) Nalézt průnik podprostoru Q\, ..., Qs: Pokud jsou zadány v implicitním tvaru, stačí sjednotit všechny rovnice do jednoho systému (a případně vynechat lineárně závislé). Pokud je vzniklý systém neřešitelný, je průnik prázdný. V opačném případě získáme implicitní popis afinního podprostoru, který je hledaným průnikem. 194 KAPITOLA 4. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Pokud máme dány parametrické tvary, můžeme také hledat přímo společné body jako řešení vhodných rovnic, podobně jako při hledání průniků vektorových podprostorů. Získáme tak přímo opět parametrický popis. Pokud je podprostorů více než dva, musíme průnik hledat postupně. Máme-li jeden prostor zadaný parametricky a ostatní implicitně, stačí dosadit parametrizované souřadnice a řešit výsledný systém rovnic. (4) Nalezení příčky mimoběžek p, qv Aj, procházející daným bodem nebo mající předem daný směr (tj. zaměření): Příčkou rozumíme přímku, která má neprázdný průnik s oběmi mimoběžkami. Výsledná příčka r tedy bude jednorozměrným afinním podprostorem. Pokud máme zadán jeho bod A e r, pak afinní podprostor generovaný p a A jebuďpřímka (A e p) nebo rovina (A ^ p). V prvém případě máme nekonečně mnoho řešení, jedno pro každý bod z q, v druhém stačí najít průnik B roviny (p U A) s q a r = ({A, B}). Pokud je průnik prázdný, úloha nemá řešení, v případě že q c (p D A), máme opět nekonečně mnoho řešení, a pokud je průnik jednoprvkový, dostáváme právě jedno řešení. Máme-li místo bodu dán směr u e M", tj. zaměření r, pak uvažujeme opět podprostor Q generovaný p a zaměřením Z(p) + (u) c M". Opět, pokud q c Q, máme nekonečně mnoho řešení, jinak uvážíme průnik Q s g a úlohu dokončíme stejně jako v předchozím případě. Řešení mnoha dalších standardních geometrických úloh spočívá v používání výše uvedených kroků. 4.11. Afinní zobrazení. Zobrazení / : A -» B mezi afinními prostory nazýváme afinní zobrazení, jestliže mezi jejich zaměřeními existuje lineání zobrazení cp : Z (A) -» Z(B) takové, že pro všechny A e A, v e Z (A) platí f(A + v) = f(A) + cp(v). Zobrazení / a cp jsou jednoznačně zadána touto vlastnostní a libovolně zvolenými obrazy (dim^l +1) bodů v obecné poloze. Pro libovolnou afinní kombinaci bodů řoAo + - • -+ts As e A pak dostaneme f(t0A0 + ■■■ + tsAs) = = f(A0 + tdAi - A0) + ■ ■ ■ + ts(As - A0)) = f(A0) + txcp{Ax - A0) + • • • + ts(p(As - A0) = t0f(A0) + tlf(Al) + --- + tsf(As). Naopak, pokud pro nějaké zobrazení platí, že zachovává afinní kombinace, můžeme použít speciální případ kombinace dvou vektorů s koeficienty ř0 = 0 a t\ = 1 pro definici zobrazení cp mezi zaměřeními. Pak lze číst předchozí výpočet v opačném pořadí a ověřit korektnost i linearitu cp a zjistíme, že se jedná o afinní zobrazení. Platí proto: Věta. Afinní zobrazení jsou právě ta zobrazení, která zachovávají afinní kombinace bodů. (volný parametr ve vyjádření přímky jsme nazvali u, abychom zamezili duplicitě proměnných). Vyřešením této soustavy získáme s = 2, t = 2, u = 3 a dosazením například u = 3 do rovnice přímky q dostaneme Q = [5,5,3] (stejný bod dostaneme i pokud dosadíme s = 2, t = 2, do parametrického vyjádření roviny p). Hledaná příčka je tedy dána bodem Q a bodem [1, 0, 0]. Snadno již dopočteme její průnik s přímkou p, bod P = [7/3, 5/3, 1]. □ 4.15. Určete osu mimoběžek p: [3,0,3] + (0, l,2)ř, íel q : [0,-1, -2] + (1,2, 3)* sel Řešení. Jde o problém najít příčku se směrem kolmým jak na směrový vektor přímky p, tak na směrový vektor přímky q. Tento směr můžeme najít například vektorovým součinem těchto dvou vektorů, je to směr (1, —2, 1). Nyní sestavíme soustavu lineárních rovnic reflektující požadavek, aby vektor určený nějakými dvěma body, jeden na přímce p, druhý na q, byl rovnoběžný se směrem (1, —2, 1). Symbolicky tedy dostáváme soustavu P — Q = k(l, — 2, 1), neboli [3, 0, 3] + (0, 1, 2)t - [0, -1, -2] + (1,2, 3)5 = k(l, -2, 1). Roze- 1-,-' 1-,-' p q psaním této rovnosti po souřadnicích, dostaneme 3-s 1 + t - 2s 5 + 2t - 3s -2k s řešeními t = 1, s = 2, k = 1. Dosazením t = 1 do parametrického vyjádření přímky p dostáváme jeden bod osy, bod [3, 1,5], dosazením parametru s = 2 do vyjádření přímky q pak bod [3, 1, 5]). Těmito dvěma body je určena hledaná osa. □ 4.16. Nalezněte osu mimoběžek p : [1, 1, 1] + ř(2, 1, 0), q : [2, 2, 0] + ř(l, 1, 1). B. Eukleidovská geometrie 4.17. Určete vzdálenost přímek v M3. p : [1,-1,0] +f (-1,2, 3), a q : [2, 5,-1] + ř(-l, -2, 1). Řešení. Vzdálenost je dána jako velikost kolmého průmětu libovolné příčky (spojnice) daných přímek do ortogonálního doplňku vektorového podprostorů generovaného jejich zaměřeními. Tento ortogonální doplněk zjistíme například pomocí vektorového součinu: ((-1, 2, 3), (-1, -2, l))x = ((-1, 2, 3) x (-1, -2, 1)) = ((8,-2, 4)) = ((4,-1,2)). 195 B. EUKLEIDOVSKÁ GEOMETRIE 1. AFINNÍ A EUKLIDEOVS KÁ GEOMETRIE Spojnicí daných přímek je například úsečka [1, —1, 0] [2, 5, —1], promítneme tedy vektor [1, —1, 0] — [2, 5, —1] = (—1, —6, 1). Pro vzdálenost přímek pak dostáváme: |(-1,-6,1). (4,-1,2)| 4 P(.P, v) na B dostáváme souřadné vyjádření afinního zobrazení / : A -» B. Přímo z definice je zřejmé, že stačí vyjádřit obraz f(A0) počátku souřadnic v A v souřadnicích na B, tj. vyjádřit vektor /(a0) — So v bázi v jako sloupec souřadnic y0 a vše ostatní je pak určeno násobením maticí zobrazení

p(A,C) (4) V každé kartézké souřadné soustavě (Aq, e) mají body A = A0 +axei -\-----\-anen, B=A0+biei~\-----Ybnen vzdálenost ^2~2"=l(ai — bi)2. (5) Je—li dán bod A a podprostor Q v £„, pak existuje bod P e Q minimalizující vzdálenosti bodů Q od A. Vzdálenost bodů A a P je rovna velikosti kolmého průmětu vektoru A — B do Z(Q)1- pro libovolný B e Q. (6) Obecněji, pro podprostory 1Z a Q v £„ existují bod P e Q a Q e 1Z minimalizující vzdálenosti bodů B e Q a A e 1Z. Vzdálenost bodů Q a P je rovna velikosti kolmého průmětu vektoru A — B do Z(Q)1- pro libovolné body B e QaAelZ. Důkaz. První tři vlastnosti vyplývají přímo z vlastností velikosti vektorů v prostorech se skalárním součinem, čtvrtá plyne přímo z vyjádření skalárního součinu v libovolné ortonormální bázi. Podívejme se na vztah pro minimalizaci vzdleností p( A, B) pro B e Q. Vektor A — B se jednoznačně rozkládá na A — B = u\ + u2, u\ e Z(Q), u2 e Z(Q)1■. Přitom u2 nezávisí na volbě B e Q, protože případná změna bodu B se projeví přičtením vektoru ze Z(Q). Nyní zvolme P = A+(—u2) = B+ui e Q. Dostáváme ll"il|2 + ll"2l|2> \u2\ Odtud již vyplývá, že nejmenší možné vzdálenosti je skutečně dosaženo, a to právě pro náš bod P. Vypočtená vzdálenost je skutečně ||«2ll- Obdobně ukážeme obecný výsledek. Pro volbu libovolných bodů AeKafieQje jejich rozdíl dán jako součet vektorů ux e Z{11) + Z(Q) a u2 e (Z(11) + Z(Q))±, přičemž komponenta u2 nezávisí na volbě bodů. Přičtením vhodných vektorů ze zaměření IZa. Q zjevně obdržíme body A' a B', jejichž vzdálenost je právě ||«2ll- D Rozšíříme nyní náš stručný přehled elementárních úloh v analytické geometrii. 4.14. Příklady standardních úloh. (1) Najděte vzdálenost bodu A e £„ odpodprostoru Q C £„: Postup při řešení je dán ve větě 4.13. (2) V £2 veďte bodem A přímku q svírající s danou přímkou p daný úhel: Připomeňme, že na úrovni rovinné geometrie jsme s odchylkami vektorů již pracovali (viz např. 2.43). Najdeme vektor u e M2 ležící v zaměření přímky q a zvolíme vektor v 4.19. V eukleidovském prostoru M4 stanovte vzdálenost bodu A = [2, —5, 1, 4] od podprostoru U : Ax\ — 2x2 — 3x3 — 2x4 + 12 = 0, 2x\ —x2 — 2x3 — 2x4 + 9 = 0. Řešení. Nejdříve nalezneme libovolný bod podprostoru U (řešení soustavy). Např. je B = [0, 3, 0, 3] e U. Víme, že vzdálenost A od U se rovná velikosti kolmého průmětu vektoru A — B do ortogonálního doplňku zaměření podprostoru U. Ortogonální doplněk zaměření U ovšem známe (zadává tento podprostor) -jako množinu (lineárních kombinací normálových vektorů) V := {t (4, -2, -3, -2) + s (2, -1, -2, -2); t, s e R}. Potřebujeme najít kolmý průmět Pa-b vektoru A — B do V, který náleží do V, a proto je PA-B = a (4, -2, -3, -2) + b (2, -1, -2, -2) pro jisté hodnoty a, b eR. Zjevně musí platit (A — B — Pa-b) -L V, tedy ((A -B)- PA_B) ± (4, -2, -3, -2), ((A — B) — Pa-b) +(2,-1,-2, Dosazením za A — B a Pa-b odsud vyplývá -2). ((2, -8, 1, 1) - a(4, -2, -3, -2) - b(2, -1, -2, -2)) •(4, -2,-3,-2) =0, ((2, -8, 1, 1) - a(4, -2, -3, -2) - b(2, -1, -2, -2)) •(2, -1, -2, -2)) = 0; tj- (2, -8, 1, l)-(4, -2, -3, -2) -a(4, -2, -3, -2)-(4, -2, -3, -2) -b(2, -1, -2, -2)-(4, -2, -3, -2) = 0, ((2, -8, 1, l)-(2, -1, -2, -2)) -a(4, -2, -3, -2)-(2, -1, -2, -2) -b(2, -1, -2, -2)-(2, -1, -2, -2 = 0. Vyčíslíme-li tyto skalární součiny, obdržíme soustavu 19 - 33a - 206 = 0, 20a 13b 0, 197 B. EUKLEIDOVSKÁ GEOMETRIE 1. AFINNÍ A EUKLIDEOVS KÁ GEOMETRIE která má jediné řešení a = 3, b = — 4. Je tudíž PA-b = 3 (4, -2, -3, -2) - 4 (2, -1, -2, -2) = (4, -2, -1,2), přičemž II /Vb II = V42 + (-2)2 + (-l)2 + 22 = 5. Připomeňme, že vzdálenost A od í/ je rovna 11 Pa-b 11=5. □ 4.20. Ve vektorovém prostoru M4 spočtěte vzdálenost v bodu [0, 0, 6, 0] od vektorového podprostoru U : [0, 0, 0, 0] + h (1, 0, 1, 1) + h (2, 1, 1, 0) + ŕ3 (1, -1, 2, 3), tut2, h e M Řešení. Úlohu budeme řešit postupem založeným na tzv. problému nejmenších čtverců. Vektory generující U napíšeme do sloupců matice /l 2 1 \ A = 4 . 15 0 1 -1 1 1 2 \1 0 3 J a bod [0,0,6,0] nahradíme jemu odpovídajícím vektorem b = (0, 0, 6, 0)T. Budeme řešit soustavu A ■ x = b, tj. soustavu lineárních rovnic x\ + 2x2 + x3 = 0, x2 — x3 = 0, x\ + x2 + 2x3 = 6, xi + 3x3 = 0, právě metodou nejmenších čtverců. (Upozorněme, že tato soustava nemá řešení-jinak by vzdálenost byla rovna 0.) Systém A-x = b vynásobíme zleva maticí AT. Rozšířená matice soustavy A7' • A-x = AT - b pak je 3 3 6 3 6 3 6 3 15 12 Pomocí elementárních řádkových transformací ji postupně převedeme na schodovitý tvar 3 3 6 3 6 3 6 3 15 Provedeme-li ještě zpětnou eliminaci ■1 0 0 0 můžeme ihned napsat řešení x = (2 - 3ř, t, t)T mající od u zadanou odchylku. Hledaná přímka je dána bodem A a zaměřením (v). Úloha má dvě nebo jedno řešení. (3) Spočtěte patu kolmice vedené bodem na danou přímku: Postup je uveden v důkazu předposledního bodu věty 4.13. (4) V £3 určete vzdálenost dvou přímek p, q: Zvolíme libovolně jeden bod z každé přímky, A e p, B e q. Komponenta vektoru A — B v ortogonálním doplňku (Z(p) + Z(q))1- má velikost rovnu vzdálenosti p a q. (5) V £3 najděte osu dvou mimobězek p a q: Osou zde rozumíme příčku, která realizuje nejmenší možnou vzdálenost daných mimobězek pomocí bodů průniku. Opět lze postup dovodit z důkazu věty 4.13 (poslední bod). Nechť r] je podprostor generovaný jedním bodem A e p a součtem Z(p) + (Z(p) + Z{q))L. Pokud nejsou přímky p a q rovnoběžné, půjde o rovinu. Pak průnik r] n q spolu se zaměřením (Z(p) + Z(q))1- dávají parametrický popis hledané osy. Pokud jsou přímky rovnoběžné, bude mít úloha nekonečně mnoho řešení. 4.15. Odchylky. Stejně jako vzdálenost, i řada dalších geometrických pojmů jako odchylky, orientace, objem apod. je v bodových prostorech £n zaváděna prostřednictvím vhodných pojmů ve vektorových euklidovských prostorech. Připomeňme, že odchylku dvou vektorů jsme definovali na konci třetí části druhé kapitoly, viz 2.43. Skutečně, z Cauchyovy nerovnosti plyne 0 MINI < 1, měla tedy smysl definice odchylky cp(u, v) vektorů u, v e V v reálném vektorovém prostoru se skalárním součinem vztahem cos (p(u, v) u ■ v u v 0 < cp(u, v) < lit. To je zcela v souladu s praxí v dvourozměrném euklidovském prostoru M2 a naší filozofií, že pojem týkající se dvou vektorů je ve své podstatě záležitostí dvourozměrné geometrie. Ve vícerozměrných prostorech je proto odchylka dvou vektorů vždy měřena v rovině, kterou tyto vektory generují (nebo je nula) a náš definiční vztah odpovídá zvyklostem ve všech dimenzích. V libovolném reálném vektorovém prostoru se skalárním součinem přímo z definic plyne u — v\ |M||2 + |M|2-2(M.i;) NI2 + INI2 2IIm II II u II cos cp(u, v). To je patrně dobře známá kosinová věta z rovinné geometrie. Dále platí pro každou ortonormální bázi e_ zaměření V a nenulový vektor u e V vztah ||«||2 = této rovnice číslem ||«||2 dostáváme 2~2t \u-et\ . Podělením 1 = ^(cos U2. Zobrazení ý '■ U2 -> U\ nechť vznikne podobně z kolmého průmětu na U\. Tato zobrazení mají v bazích (e\, matice ek) a (e\ , e\ ■ e ek ■ e (e\ B ßk ■ e \ U\ má tedy symetrickou pozitivně semidefmitní matici AT A a ý je zobrazení adjungované k cp. Viděli jsme, že každé takové zobrazení má pouze nezáporná reálná vlastní čísla a že má ve vhodné ortonormální bázi diagonální matici s těmito vlastními čísly na diagonále, viz 3.25 a 3.27. Nyní můžeme odvodit obecný postup pro výpočet odchylky a = cp(U\, U2). Věta. V předchozím označení nechť X je největší vlastní hodnota matice AT A. Pak cos2 a = X 200 KAPITOLA 4. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Důkaz. Nechť u e ř7i je vlastní vektor zobrazení \jr o cp příslušný největší vlastní hodnotě k. Uvažme všechna vlastní čísla k\, ..., kk (včetně násobnosti) a nechť u = (u\, ..., un) je příslušná ortonormální báze U\ z vlastních vektorů. Můžeme přímo předpokládat, že A = k\, u = u\. Potřebujeme ukázat, že odchylka libovolného v e U\ od ř/2 je nejméně tak velká jako odchylka u od ř/2- Tzn. že kosinus příslušného úhlu nesmí být větší. Podle předchozího lemmatu stačí diskutovat odchylku u a cp(u) e ř/2 a přitom víme, že ||w|| = 1. Zvolme tedy v e U\, v = a\U\ + • • • + akuk, ELi^2 = IIHI2 = 1-Pak \\(p(v)f = (p{v) ■ (p{v) = iý o cpiv)) ■ v < || V o (piv)|| ||v|| = \\Ýo(piv)\\. Předchozí lemma navíc dává i vzorec pro odchylku a vektoru v od podprostoru U2 Mv)\\ cos a Ml Mv)\l Protože jsme zvolili za k\ nej větší z vlastních hodnot a součet kvadrátů souřadnic af je jedna, dostáváme (cosa)2 = \\(piv)f < \\Ý o(piv)\\ J>^)2 k\ + J]a2(A2-A2) • • • > yßn) Dokazovanou nerovnost potom obdržíme umocněním (4.1). Dále víme, že Cauchyova nerovnost přejde v rovnost, právě když bude vektor u násobkem vektoru v, což již implikuje x\ = x2 = ■ ■ ■ = xn. □ 4.31. Jsou dány vektory u = (u\,u2, u3) av_= (v\, v2, v3). Doplňte je třetím jednotkovým vektorem tak, aby rovnoběžnostěn daný těmito třemi vektory měl co největší objem. Řešení. Označme hledaný jednotkový vektor jako £ = (t\,t2,t3). Podle Tvrzení ?? je objem rovnoběžnostěnu Vj,(Q; u, v_, t) dán jako abolutní hodnota determinantu ř • (u x v) < IIřII IIu x vII = || w x vII. U\ Vl h h h h u2 v2 h = U\ u2 U3 v3 h Vi v2 V3 Orientovaný (bodový) euklidovský prostor je euklidovský bodový prostor, jehož zaměření je orientované. V dalším budeme uvažovat standardní 8n spolu s orientací zadanou standardní bazí 1Z". Nechť ui,...,uk, jsou libovolné vektory v zaměření M", A e £n je libovolný bod. Rovnoběžnostěn Vk(A; «i, ..., uk) c £„ jsme definovali jako příklad konvexní množiny Vk(A; «!, ..., uk) = {A + H-----h ckuk; 0 < c; < 1}. Jsou-li vektory ui,...,uk nezávislé, hovoříme o k-rozměrném rovnoběžnostěnu Vk(A; u\ ..., Uk) C £n- Pro dané vektory u\, ..., Uk máme k dispozici také rovnoběžnostěny menších dimenzí Vl(A;ul),...,Vk(A;ul,...,Uk) v euklidovských podprostorech A + (u i),..., A + («1, • • •, uk). Jsou-li «i, ..., uk lineárně závislé definujeme objem Vol Pk = 0. Jinak uvažujeme jako při Grammově-Schmidtově ortogona-lizaci («1, . . . ,Uk) = (Ui, . . . , Uk-\)®{Ui, uk-i)LC\{ui, uk). V tomto rozkladu se uk jednoznačně vyjádří jako Uk = u'k + ek kde ek -L {u\, ..., uk-i). Absolutní hodnotu objemu rovnoběžnostěnu definujeme induktivně tak, abychom naplnili představu, že jde o součin objemu „základny" a „výšky": |Vol|Pi(A;Ml) = ||Ul|| | Vol\Vk(A- Ul,...,uk) = \\ek III Vol\Vk-i(A; uu..., uk-i). Je-li «!,...,«„ báze souhlasná s orientací V, definujeme (orientovaný) objem rovnoběžnostěnu VolVkĺA; uu ..., un) = | Vol\Vk(A; uu ..., un), v případě neosuhlasné báze klademe VolVkĺA; uu...,un) = -| Vol\Vk(A; uu...,un). Následující tvrzení objasňuje naše dřívější poznámky, že determinant je v jistém smyslu nástroj vyjadřující objem. První tvrzení totiž říká právě, že na ^-rozměrném prostoru dostaneme objem rovnoběžnostěnu nataženého na k vektorů tak, že jejich souřadnice (v ortonormální bázi) napíšeme do sloupců matice a spočteme determinant. Výrazu ve druhém tvrzení se říká Grammův determinant. Jeho výhoda je, že je zcela nezávislý na volbě báze a zejména se s ním proto lépe pracuje v případě k menšího než je dimenze celého prostoru. Věta. Nechť Q C £„ je euklidovský podprostor a nechť (e\, ..., e^ je jeho ortonormální báze. Pak pro libovolné vektory u\, ..., Uk e Z(Q) a A e Q platí 202 KAPITOLA 4. ANALYTICKÁ GEOMETRIE (1) Vol n (A; m (2) (Vol H (A; k i Důkaz. Matice uk) = det «1 • e\ \u\-ek .. (u\ ■ U\ , uk))2 \u\ ■ ek det \«i • uk uk ■ ei Uk ■ ek/ uk ■ U\ uk- uk uk ■ e\ uk-ekl má ve sloupcích souřadnice vektoru u \, ortonormální bázi. Platí uk ve zvolené |A|2 = \A\\A\ = \A'\\A\ = \A'A\ (U\ ■ U\ ... Uk ■ U\ = det : : \U\ • Uk . . . llk • Ukj Vidíme tedy, že pokud platí (1), platí i (2). Přímo z definice je neorientovaný objem roven součinu |Vol|7>jt(A;Mi "*)= I|1>1||||1>2||...||U*II, kde v\ u\, v2 u2 + afvi, Vk uk + a, vi H----+ ak-\Vk-i je výsledek Grammova-Schmidtova ortogonalizač-ního procesu. Je tedy (v\ ■ v\ 0 (Vol n (A; k i uk)Y det det 0 \vi ■ vk ••• Vk-Vk) Vk ■ Vl\ vk-vkJ Označme B matici jejíž sloupce jsou souřadnice vektorů v\, ..., vk v ortonormální bázi e. Protože v\, ..., vk vznikly z u i, ..., uk jako obrazy v lineární transformaci s horní trojúhelníkovou maticí C s jedničkami na diagonále, je B = CA a \B\ = \C\\A\ = |A|. Pak ovšem |A|2 = \B\2 = \A\\A\, proto Vol Vk (A; u\, ..., uk) = ±|A|. Přitom pokud j sou vektory u\, ..., uk závislé vyjde objem nulový, pokud jsou nezávislé, pak znaménko determinantu je kladné právě když je báze u\, ... ,uk kompatibilní s orientací danou bazí e. □ V geometrické formulaci dostáváme jako velice důžitý důsledek následující tvrzení: 4.20. Důsledek. Pro každé lineární zobrazení cp : V —> V euklidovského vektorového prostoru V je det cp roven (orientovanému) objemu obrazu rovnoběžnostěnu určeného vektory ortonormální báze. Obecněji, obraz rovnoběžnostěnu V určeného libovolnými dim V vektory má objem roven det cp-násobku původního objemu. Použité znaménko nerovnosti vyplývá z Cauchyovy nerovnosti, přičemž víme, že rovnost nastává právě pro ř = c(u x v), c e M. Velikost objemu hledaného rovnoběžnostěnu tedy může být maximálne rovna velikosti obsahu rovnoběžníka daného vektory u, v (tj. velikosti vektoru (u x v)). Rovnost nastane právě když (u x v) t = ±- \(u xv)\ □ 4.32. Určete patu kolmice spuštěné z bodu [0, 0, 7] na rovinu p : [0,5,3] + (l,2, l)ř + (-2, 1,1)5. 4.33. V eukleidovském prostoru M5 stanovte vzdálenost rovin Q! : [7, 2, 7, -1,1] + h (1, 0, -1, 0, 0) + sx (0, 1, 0, 0, -1), Q2 : [2, 4, 7, -4, 2] + t2 (1, 1, 1, 0, 1) + s2 (0, -2, 0, 0, 3), kde t\, s\, t2, s2 e M, a poté vzdálenost rovin o i : [0, 1, 2, 0, 0] + pi (2, 1, 0, 0, 1) + qx (-2, 0, 1, 1, 0), or2 : [3, -1, 7, 7, 3] + p2 (2, 2, 4, 0, 3) + q2 (2, 0, 0, -2, -1), kde /);. c/:. p2, q2 e R. Řešení. Případ Qi, q2. Nejprve určíme ortogonální doplněk součtu zaměření zadaných dvou rovin tak, že směrové vektory rovin napíšeme do řádků matice a tuto matici pomocí elementárních řádkových transformací převedeme na schodovitý tvar. Tím dostaneme / 1 0 -1 0 0 \ / 1 0 -1 0 0 \ 0 1 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 \ 0 0 0 1 0 0 0 0 ■1 1 1 / 0 1 1 1 \ 0 -2 0 0 3 / Hledaný ortogonální doplněk tak je ((0, 0, 0, 1, 0)). (Pochopitelně bylo očividné, že vektor (0,0,0, 1,0) náleží do uvažovaného ortogonálního doplňku. Úpravou na schodovitý tvar jsme v ak zjistili, že ortogonální doplněk je jednodimenzionální.) Vzdálenost rovin je rovna velikosti kolmého průmětu vektoru A\ — A2 do pod-prostoru ((0,0,0,1,0)) pro libovolné body A\ e q\, A2 e q2. Zvolme kupř. Ai = [7, 2, 7, -1, 1], A2 = [2, 4, 7, -4, 2]. Zřejmě je kolmý průmět Ax - A2 = (5, -2, 0, 3, -1) do ((0, 0, 0, 1, 0)) roven (0, 0, 0, 3, 0). Velikost vektoru (0, 0, 0, 3, 0) dává výslednou vzdálenost 3. Případ cti, ct2. Součet zaměření rovin o\, a2 je generován směrovými vektory. Označme je U\ V\ (2, 1,0, 0, 1), (2,2,4, 0, 3), u2 = (-2, 0, 1, 1,0), v2 = (2,0, 0,-2,-1). 203 B. EUKLEIDOVSKÁ GEOMETRIE 1. AFINNÍ A EUKLIDEOVS KÁ GEOMETRIE Nalezněme body X\ e o\, X2 e a2, ve kterých se vzdálenost roviinžiia a2 realizuje. Vime, že je X] — X2 [0, 1,2,0, 0] - [3, -1,7,7,3] + qxu2 - p2vx - q2v2 (-3, 2, -5, -7, -3) + piui + qiu2 - p2vt - q2v2 a že má platit X2,ui) =0, X2, ui ) = 0, :^i xx X2,u2) =0, X2,t>2) =0, tj- ((-3, 2, -5, -7, -3), Mi) + pi (ui,ui) + qi (u2,ux) - p2 (ví, ui) - q2 (v2, ui) = 0, ((-3, 2, -5, -7, -3), u2 ) + pi («i, u2 ) + qi {u2, u2 ) - p2 (vu u2) - q2 {v2, u2) = 0, ((-3, 2, -5, -7, -3), vi ) + pi (ui, vi ) +qi (u2, vi ) - P2 ( vu fi ) - q2 (v2, ui ) = 0, ((-3,2, -5, -7, —3), u2) +pi (uuv2) +qx (u2,v2) - P2 { vi, v2 ) - q2(v2,v2) =0. Vyčíslením těchto skalárních součinů získáváme soustavu lineárních rovnic 6pt - \qx - 9p2 - 3q2 = 7, -4pi + 6 \u\, ..., un] je antisymet-rické ři-lineární zobrazení. Tzn., že je lineární ve všech argumentech a výměna dvou argumentů se vždy projeví změnou znaménka výsledku. (2) Vnější součin je nulový právě, když jsou vektory «i,...,m„ lineárně závislé (3) Vektory u\, ..., un tvoří kladnou bázi právě, když je jejich vnější součin kladný. V technických aplikacích ve M3 se často používá velmi úzce související operace, tzv. vektorový součin, který dvojici vektorů přiřazuje vektor třetí. Uvažme obecný euklidovský vektorový prostor V dimenze n > 2 a vektory u\, ... ,un-\ e V. Dosadíme-li těchto n — 1 vektorů jako prvních n — 1 argumentů n-lineárnŕhho zobrazení definovaného pomocí determinantu při výpočtu objemu výše, pak nám zbude jeden volný argument, tj. lineární forma na V. Protože však máme k dispozici skalární součin, odpovídá každá lineární forma právě jednomu vektoru. Tento vektor v € V nazveme vektorový součin vektorů u\, ..., w„_i, tj. pro každý vektor w e V platí (v, «;) = [«!,..., m„_i, w]. Značíme v = u\ x ... x u„-\. Jsou-li v nějaké ortonormální bázi souřadnice našich vektorů v (vi w (Xi , xn) a u j (u U- l«7 ) , naše dennice má vyjádření yixi H-----h ynxn tni "l(n-l) x\ ln(n — l) Xn . Odtud je přímo vidět, že vektor v je zadán jednoznačně a jeho souřadnice spočteme formálním rozvojem tohoto determinantu podle posledního sloupce. Zároveň jsou přímo z definice očekávatelné následující vlastnosti vektorového součinu: Věta. Pro vektorový součin v = u\ x ... x w„_i platí (1) v e (mi, ..., i^-i)-1 204 KAPITOLA 4. ANALYTICKÁ GEOMETRIE (2) v je nenulový vektor právě, když jsou vektory u\, ..., m„_i lineárně nezávislé (3) velikost \\v\\ vektorového součinu je rovna absolutní hodnotě objemu rovnoběžníku V(0; u\, ..., w„_i) (4) (u\, ..., u„-i, v) je souhlasná báze orientovaného euklidovského prostom V. Důkaz. První tvrzení plyne přímo z definičního vztahu pro v, protože dosazením libovolného vektoru u j za w máme nalevo skalární součin v ■ u j a napravo determinant s dvěma shodnými sloupci. Hodnost matice s n — 1 sloupci u j je dána maximální velikostí nenulového minoru. Minory, které zadávají souřadnice vektorového součinu jsou stupně n—l a tím je dokázáno tvrzení (2). Jsou-li vektory u\,...,un-\ závislé, pak platí i (3). Nechť jsou tedy nezávislé, v je jejich vektorový součin a zvolme libovolnou ortonormální bázi (e\, ..., e„_i) prostoru (u\, ..., m„_i). Z již dokázaného vyplývá, že existuje nějaký násobek (\/a)v, 0 ^ a e M, takový, že (ei, ..., ek, (\/a)v) je ortonormální báze celého V. Souřadnice našich vektorů v této bázi jsou (u U- '(«-1)7 (0, 0, a)1 Proto je vnější součin \u\, vektorového součinu) ., m„_i, v] roven (viz. definice [UU m„_i, V] un "(«-1)1 0 Wl(n-l) U "(h-1)(h-1) o 0 a = {v, v) = a . Rozvojem determinantu podle posledního sloupce zároveň obdržíme a2 = a VolP(0; uu z'„_i). Odtud už vyplývají obě zbylá tvrzení věty. □ 2. Geometrie kvadratických forem V analytické geometrii roviny jsou po přímkách jako další nejjednodušší křivky na řadě tzv. kuželosečky. Jsou v kartézkých souřadnicích zadány kvadratickými rovnicemi a podle koeficientů poznáme, zda jde o kružnici, elipsu, parabolu nebo hyperbolu, případně ještě může jít o dvě přímky nebo bod (degenerované případy). Uvidíme, že naše nástroje umožní vcelku účinnou klasifikaci takovýchto objektů v libovolných konečných dimenzích i práci s nimi. 4.22. Kvadriky v £„. V analogii k rovnicím kuželoseček v rovině začneme poznámkami o objektech v euklidovských bodových prostorech, které jsou v dané ortnonormální bázi zadány kvadratickými rovnicemi, hovoříme o kvadrikách. Vzdálenost qi od q2 jsme určovali odlišným způsobem ne vzdálenost cti od ct2. Uvedené metody jsme samozřejmě mohli použít v obou případech. Zkusme znovu vypočítat vzdálenost rovin cti , ct2 postupem použitým k vyčíslení vzdálenosti rovin q\, q2. Hledejme tedy ortogonální doplněk vektorového podprostoru generovaného vektory (2,1,0,0,1), (-2,0,1,1,0), (2,2,4,0,3), (2,0,0,-2,-1) Snadno získáme / 2 1 0 0 1 \ -2011 0 2 2 4 0 3 \ 2 0 0 -2 -1 / / 1 0 0 0 3/2 \ 0 10 0-2 0 0 10 1 \ 0 0 0 1 2 / odkud dostáváme ortogonální doplněk ((—3/2, 2, —1, —2, 1)), příp. jej raději zapišme jako ((3, —4, 2, 4, —2)). Připomeňme, e vzdálenost cti vůči ct2 se rovná velikosti kolmého průmětu vektoru (rozdílu libovolného bodu cti a libovolného bodu ct2) u = (3, -2, 5, 7, 3) = [3, -1, 7, 7, 3] - [0, 1, 2, 0, 0] do tohoto ortogonálního doplňku. Označme zmíněný kolmý průmět u symbolem pu a polo me v = (3, —4, 2, 4, —2). Zřejmě je pu = a ■ v pro nějaké a e M a má platit (u — pu, v ) = 0, tj. (u, v) — a (v, v) = 0. Vyčíslení dává 49 — a ■ 49 = 0. Je tudí pu = 1 • v = v a vzdálenost rovin cti , ct2 je rovna \\Pu\\ = V32 + (-4)2 + 22 + 42 + (-2)2 = 7. Ukázalo se, že výpočet vzdálenosti pomocí ortogonálního doplňku součtu zaměření byl v předešlém příkladu „rýchlej ší cestou k výsledku". Pro roviny q\ a q2 tomu bude nepochybně stejně. Druhá metoda ovšem dává body, ve kterých se vzdálenost realizuje (body, kde si jsou roviny nejblíže). Nalezněme proto s její pomocí takové body v případě rovin q\, q2. Označme Ul = (1, 0, -1, 0, 0), u2 = (0, 1, 0, 0, -1), Vl = (1, 1, 1,0, 1), v2 = (0, -2, 0, 0, 3). Body X\ e Qi, X2 e q2, ve kterých se vzdálenost rovin realizuje, můžeme vyjádřit jako Xi = [7, 2, 7, -1,1] + ri«i + siu2, X2 = [2, 4, 7, -4, 2] + t2vi + s2v2, a tedy Xl-X2= [7, 2,7,-1, 1] - [2,4, 7,-4, 2] +hut + siu2 - t2vt - s2v2 = (5, —2, 0, 3, —1) + ri«i + s\u2 — t2v\ — s2v2. 205 B. EUKLEIDOVSKÁ GEOMETRIE 2. GEOMETRIE KVADRATICKÝCH FOREM Skalární součiny (X1-X2,u1)=0, (X1-X2,v1)=0, X2,u2) = 0, X2,v2) =0 pak vedou na soustavu lineárních rovnic 2ři = -5, 2s\ + 5s2 = 1, -4f2 - s2 = -2, -5si - t2 - \3s2 = -1 s jediným řešením t\ jsem tak 5 41 X1 = [1,2,1,-1, 1] - -«i + —«2 5/2, Sl = 41/2, t2 = 5/2, s2 9 45 19 2 2 -1, -8. Získali 39" X2 = [2,4,7, -4,2] + -v, Sv2 9 45 19 39 2' T' T' ~ ' ~T Nyní ji snadno ověříme, že vzdálenost bodů X\, X2 (a současně vzdálenost rovin ŕ?2) je II ^ -X2|| = || (0, 0, 0, 3, 0) || =3. □ 4.34. Najděte průnik kolmé roviny spuštěné z bodu A = [1,2,3,4] e R4 na rovinu q : [1, 0, 1, 0] + (1, 2, -1, -2)s + (1, 0, 0, l)ř, s.íel. Řešení. Nalezněme nejprve kolmou rovinu k q. Její zaměření bude kolmé na zaměření q, pro vektory (a, b, c, d) patřící do jejího zaměření dostáváme tedy soustavu rovnic (a,b, c,d) ■ (1,2,-1, -2) = 0 = a+2b-c-2d = 0 (a,b,c,d) ■ (1,0, 0, 1) =0 = a+d = 0. Jejím řešením je dvojdimenzionální vektorový prostor ((0, 1, 2, 0), (—1, 0, —3, 1)). Rovina r kolmá k rovině q procházející bodem A má tedy parametrické vyjádření r : [1, 2, 3, 4] + (0, 1, 2, 0)« + (-1,0, -3, l)v, u, v e R. Průnik rovin potom můžeme získat pomocí obou parametrických vyjádření. Pro parametry popisující průnik tedy dostáváme soustavu rovnic: l+s + t 2s 1 -s -2s + t 1 - v 2 + u 3 + 2u 4 + v, 3v která má jediné řešení (musí tomu tak být, protože sloupce matice soustavy jsou dány lineárně nezávislými vektory zaměření obou rovin) s = -8/19, t = 34/19, u = -54/19, v = -26/19. Dosazením hodnot parametrů s a t do parametrického vyjádření roviny q pak dostaneme souřadnice průniku [45/19, —16/19, 11/19, 18/19] (stejný Zvolme v £„ pevně kartézskou souřadnou soustavu (tj. bod a ortonormální bázi zaměření) a uvažme obecnou kvadratickou rovnici pro souřadnice (jci, ... ,xn)T bodů A e £„ ^ ' ciijXiXj + ^ ' 2ciiXi +1 0, kde bez újmy na obecnosti můžeme rovnou předpokládat symetrii ciij = a ji. Tuto rovnici můžeme zapsat jako f(u) + g(u) +a = 0 pro kvadratickou formu / (tj. zúžení symetrické bilineární formy F na dvojice stejných argumentů), lineární formu g a skalár a e M a předpokládáme že alespoň jeden z koeficientů atj je nenulový (jinak by se jednalo o lineární rovnici popisující euklidovský podprostor). Začněme s kvadratickou částí, tj. bilineární symetrickou formou / : R" x R" -> R. Stejně dobře můžeme přemýšlet o obecné symetrické bilineární formě na libovolném vektorovém prostoru. Pro libovolnou bázi na tomto vektorovém prostoru bude hodnota f(x) na vektoru x = x\e\ +• • • +xnen dána vztahem f(x) = F(x,x) = ^2xiXjF(ei,ej) xT - A kde A = (a,ij) je symetrická matice s prvky = F(ei, Cj). Takovýmto zobrazením / říkáme kvadratické formy a výše uvedený vzorec pro hodnotu formy s použitím zvolených souřadnic se nazývá analytický tvar formy. Jestliže změníme bázi 6i na jinou bázi e[, ..., e'n, dostaneme pro stejný vektor jiné souřadnice x = S ■ x' (zde S je příslušná matice přechodu) a tedy f(x) = (S-x'y ■A.(S-x') (x'Ý (ST • A • 5) • x'. Předpokládejme opět, že je na našem vektorovém prostoru zadán skalární součin. Předchozí výpočet pak můžeme shrnout slovy, že matice bilineární formy F a tedy i kvadratické formy / se transformuje při změně souřadnic způsobem, který pro ortogonální změny souřadnic splývá s transformací matic zobrazení (skutečně, pak je 5_1 = ST). Tento výsledek můžeme intepretovat také jako následující pozorování: Tvrzení. Nechť V je reálný vektorový prostor se skalárním součinem. Pak vztah (p \-> F, F(u, u) = {(p(u), u) zadává bijekci mezi symetrickými lineárními zobrazeními a kvadratickými formami na V. Důkaz. Skutečně, bilineární forma s pevně zadaným druhým argumentem je lineární formou au = F( , u) a v přítomnosti skalárního součinu je nutně dána vztahem a(u)(v) = v ■ w pro vhodný vektor w. Klademe cp(u) = w. Přímo ze vztahu v souřadnicích výše pak vyplývá, že

(1, 1, 1, 1, 1) +q (1, 1,0, 1, 1) + r (1, 1,0, 1,0), p,q,r € R. Řešení. Nejdříve připomeňme, že odchylka afinních podprostorů je definována jako odchylka jejich zaměření, a proto při počítání cp ne-zohledňujeme posunutí vyjádřená přičtením bodu (příp. pravé strany soustav rovnic). Varianta (a). Neboť oba podprostory U a V jsou jednodimenzionální, odchylka cp e [0, 7t/2] je dána vzorcem (1,0,2,-2,l)-(2,0,-2,1,-1) _ 5 coscp ao-vio (1,0,2,-2,1) 11-11 (2,0,-2,1,-1) || Je tedy cos

0 (přepočtěte!). Má tedy / v nových souřadnicích analytický tvar a^x[2 + h, kde h je kvadratická forma nezávislá na proměnné X\. Z technických důvodů bývá lepší zvolit v nové bázi v\ = u\, opět dostaneme výraz f = f\ + h, kde f\ závisí pouze na x[, zatímco v h se x[ nevyskytuje. Přitom pak g(v\,v\) = an. (2) Předpokládejme, že po provedení kroku (1) dostaneme pro h matici (řádu o jedničku menšího) s koeficientem u x'22 různým od nuly. Pak můžeme zopakovat přesně stejný postup a získáme vyjádření / = /i+/2+^,kde v h vystupují pouze proměnné s indexem větším než dvě. Tak můžeme postupovat tak dlouho, až buďprovedeme n—1 kroků a získáme diagonální tvar, nebo v řekněme /-tém kroku bude prvek au dosud získané matice nulový. (3) Nastane-li poslední možnost, ale přitom existuje jiný prvek ajj ^ 0 s j > i, pak stačí přehodit i-tý prvek báze s 7-tým a pokračovat podle předešlého postupu. (4) Předpokládejme, že jsme narazili na situaci a^ = 0 pro všechny j > /. Pokud přitom neexistuje ani žádný jiný prvek ajk ^ Os j > /, k > /, pak jsme již úplně hotovi neboť jsme již dosáhli diagonální matici. Předpokládejme, že ajk ^ 0. Použijeme pak transformaci v j = u j + uk, ostatní vektory báze ponecháme (tj. x'k = xk — Xj, ostatní zůstávají). Pak h(vj, Vj) = h(uj, Uj) +h(uk, uk) +2h(uk, uj) = 2ajk ^ 0 a můžeme pokračovat podle postupu v (1). □ pak totiž obdržíme cp e [0, n/2]. Víme, e pu = avi + bv2 + cv3 + dv4 pro jisté hodnoty a, b, c, d e M. a že má být ( Pu u, V\) = 0, (pu-u,v2)=0, neobsahující x\ (pu-u,v3)=0, (pu u, v4) = 0. Odtud (dosazením za pu) dostáváme systém lineárních rovnic la + 1b + 2c = 1, la + 146 + 2c + 6d = 2, 2a + 2b + 2c + d = 1, 6b + c + Ud = 0. Řešenímtétosoustavyje(a,6,c, d) = (-8/19, 7/19, 13/19, -5/19), a tak 5 19 1 _ V2 V5 = _ Pu coscp 8 7 13 —V] H--v2 H--v3 19 19 19 I (0,0,0,1,0) n -v4 = (0,0, 0, 1,0), .. (0,0,0, 1, -1) H J2 2 Je tedy cp = jt/4. Varianta (e). Stanovme průnik zaměření uvedených podprostoru. Vektor (xi, x2, x3, x4, X5) nale í do zaměření U, právě kdy je (Xi,X2, x3, x4, x5) = t (2,1, 3, 5, 3) + s (0, 3, 1, 4, -2) + r (1, 2, 4, 0, 3) pro jistá t, s, r e M, a současně (xi, x2, x3, x4, x5) e y (V je svým zaměřením) tehdy a jenom tehdy, kdy je (xl,x2,x3,x4,x5) = p (-1, 1, 1, -5,0) + q (1,5, 1, 13, -4) pro jistá p, q e M. Hledejme proto taková t, s, r, p, q e M, aby platilo í (2, 1, 3, 5, 3) + s (0, 3, 1, 4, -2) + r (1, 2, 4, 0, 3) = p (-1, 1, 1, -5, 0) + q (1, 5, 1, 13, -4). Jedná se o homogenní soustavu rovnic, kterou mů eme ře it v maticovém zápisu její levé strany (při pořadí proměnných t, s,r, p,q) í2 0 1 1 -1 / 1 3 2 -1 -5 \ 1 3 2 -1 -5 0 2 1 -1 -3 3 1 4 -1 -1 ~ ... ~ 0 0 1 -1 1 5 4 0 5 -13 0 0 0 0 0 \3 -2 3 0 4 ) \0 0 0 0 209 B. EUKLEIDOVSKÁ GEOMETRIE 2. GEOMETRIE KVADRATICKÝCH FOREM Ukázalo se, e vektory zadávající podprostor V jsou lineární kombinací vektoru ze zaměření podprostoru U. To ov em znamená, e V je podmno inou zaměření U, a tudíž je

'« = xn J1Z vede na požadovaný tvar. Formy 0 zatímco pro v e Q)&f(v) < 0. Nutně tedy platí P f) Q = {0} a proto dim P + dim Q < n. Odtud plyne p + (n — q) < n, tj. p < q. Opačnou volbou podprostoru však získáme i q < p. Je tedy p nezávislé na volbě polární báze. Pak ovšem pro dvě matice se stejnou hodností a stejným počtem kladných koeficientů v diagonálním tvaru příslušné kvadratické formy získáme stejný analytický tvar. □ Při diskusi symetrických zobrazení jsme hovořili o defi-nitních a semidefitních zobrazeních. Tatáž diskuse má jasný 210 KAPITOLA 4. ANALYTICKÁ GEOMETRIE smysl i pro symetrické bilineární formy a kvadratické formy. Kvadratickou formu / forma na reálném vektorovém prostoru V nazýváme (1) positivně definitní, je-li f(u) > 0 pro všechny íí / O (2) positivně semidefinitní, je-li f(u) > 0 pro všechny u e V (3) negativně definitní, je-li f(u) < 0 pro všechny « / O (4) negativně semidefinitní, je-li /(w) < 0 pro všechny m e (5) indefinitní, je-li /(i/) > Oa/(u) < 0 pro vhodné w, i; e y. Stejné názvy používáme i pro symetrické reálné matice, jsou-li maticemi patřičných kvadratických forem. Signaturou symetrické matice pak rozumíme signaturu přísluané kvadratické formy. 3. Projektivní geometrie V mnoha elementárních textech o analytické geometrii autoři končí afinními a euklidovskými objekty popsanými výše. Na mnoho praktických úloh euklidovská nebo afinní geometrie stačí, na jiné bohužel ale nikoliv. Tak třeba při zpracovávání obrazu z kamery nejsou zachovávány úhly a rovnoběžné přímky se mohou (ale nemusí) protínat. Dalším dobrým důvodem pro hledání širšího rámce geometrických úloh a úvah je požadovaná robustnost a jednoduchost numerických operací. Daleko jednodušší jsou totiž operace prováděné prostým násobením matic a velice těžko se totiž od sebe odlišují malinké úhly od nulových, proto je lepší mít nástroje, které takové odlišení nevyžadují. Základní ideou projektivní geometrie je rozšíření afinních prostorů o body v nekonečnu způsobem, který bude dobře umožňovat manipulace s lineárními objekty typu bodů, přímek, rovin, projekcí, apod. 4.26. Projektivní rozšíření afinní roviny. Začneme tím nejjednodušším zajímavým případem, geometrií v rovině. Jestliže si body roviny A2 představíme jako rovinu z = 1 v V?, pak každý bod P naší afinní roviny představuje vektor u = (x, y, 1) e M3 a tím i jednorozměrný podprostor (u) c M3. Naopak, skoro každý podprostor v M3 protíná naši rovinu v právě jednom bodě P a jednotlivé vektory takového podprostoru jsou dány souřadnicemi (x, y, z) jednoznačně, až na společný skalární násobek. Žádný průnik s naší rovinou nebudou mít pouze podprostory s body o souřadnicích (x, y, 0). Projektivní rovina V2 je množina všech jednorozměrných podprostorů v M3. Homogenní souřadnice bodu P = (x : y : z) v projektivní rovině jsou trojice reálných čísel určené až na společný skalární násobek a alespoň jedno z nich musí být nenulové. Přímka v projektivní rovině je definována jako množina jednorozměrných podprostorů (tj. bodů vV2) a z (4.2) již plyne (2/3,2/3,0,2/3,1) co&cp (1,0,0,1,1) JI 3 ' tj. cp = 0, 49 (^28°) □ C. Geometrie kvadratických forem 4.38. Určete polární bázi formy / : M3 -2x\X2 + x| + 4x2X3 + 6x|. Řešení. Její matice je , f(xu x2,x3) = 3x2 + Podle bodu (1) Lagrangeova algoritmu provedeme úpravy 1 , 2 f(Xi, x2, x3) -(3xí + x2)2 + -xf + 4x2x3 + 6x| 1,32 , = 33? + 2(3^2+ 2y3)2 1 3 ,2 1 ,2 = 3*1 + -2z2 a vidíme, že forma má hodnost 2 a matice přechodu do příslušné polární báze w se získá posbíráním provedených transformací: 2 2 Z3 = v3 = x3, Z2 = 3"y2 + 2y3 = -x2 + 2x3, z\ = yi = 3*i + x2 Pokud by ale např. f(xi, x2, x3) = 2xix3 + x|, tj. matice je pak hned v prvním kroku můžeme přehodit proměnné: yi = x2, y2 = x\, y3 = x3. Aplikace kroku (1) je pak triviální (nejsou tu žádné společné členy), pro další krok ale nastane situace z bodu (4). Zavedeme tedy transformaci z\ = yi, z2 = y2, Z3 = y3 — y2. Pak f(X]_,X2, x3) = z\ + 2z2(Z3 + Z2) = z\ + ^(2z2 + z3)2 - \^z\. Matici přechodu do příslušné polární báze opět dostaneme posbíráním jednotlivých transformací (tj. vynásobením jednotlivých dílčích matic přechodu). □ 4.39. Nalezněte polární bázi kvadratické formy / : je ve standardní bázi dána předpisem f{X\, X2, X3) = XiX2 + XiX3. I, která 211 C. GEOMETRIE KVADRATICKÝCH FOREM 3. PROJEKTIVNÍ GEOMETRIE Řešení. Aplikací uvedeného Lagrangeova algoritmu dostávame: f(X\, X2, X-}) = 2X\X2 + x2x3 provedeme substituci podle bodu (4) algoritmu y2 — x2 — xi, Vi — x\, y3 = 2xx{xx + y2) + (xi + y2)x3 = 2x\ + 2xxy2 + xxx3 + y2x3 = 1 1,1,1, = 2^2X1 +y2 + -jX3) - -y| - -X, + y2X3 = substituce yi = 2xi + y2 + j-X3 l^l^l^ 1 ^ 1 1 ^ ^ ^ = " 2^ " g-*3 + ^3 = 2^ " 2{2yi ~ 2X3) + Š"*3 = substituce y3 = Ay2 — íx3 Příklad. V afinním prostoru M2 uvažujme dvě přímky L\ : y — x — 1 = 0 a L2 : y — x + l=0. Jestliže budeme body přímek L\ a L2 chápat jako konečné X3 body v projektivním prostoru "P2, budou zjevně jejich homogenní souřadnice (x : y : z) splňovat rovnice 1 ^1 2)f +ň x3. V souřadnicích y1; y3, x3 má tedy daná kvadratická forma diagonální tvar, to znamená že báze příslušná těmto souřadnicím je polární bází dané kvadratické formy. Pokud ji máme vyjádřit musíme získat matici přechodu od této polární báze ke standardní bázi. Z definice matice přechodu jsou pak její sloupce bázovými vektory polární bázi. Matici přechodu získáme tak, že buď vyjádříme staré proměnné (x\, x2, x3) pomocí nových proměnných (yi, y3, x3), nebo ekvivalentně vyjádříme nové proměnné pomocí starých (což jde jednodušeji), pak ale musíme spočítat inverzní matici. Máme yi = 2x\ + y2 + 5x3 = 2x\ + (x2 - xi) + \x3 a y3 = iy2 — ^x3 = —\x\ + \x3 — jx3. Matice přechodu od standardní báze ke zvolené polární je tedy Pro inverzní matici pak máme , . 3 3 2 -1 I j_ 4 1 3 3 2 vo o 1 Jedna z polárních bazí dané kvadratické formy je tedy například báze {(1/3, 1/3, 0), (-2/3, 4/3, 0), (-1/2, 1/2, 1)}. □ 4.40. Určete typ kuželosečky dané rovnicí: 3x2 — 3xix2 + x2 — 1 = 0. Řešení. Pomocí algoritmu úpravy na čtverec postupně dostáváme: 3x2 - 3xíX2 + x2 - 1 = ^(3x1 - 2~x2)2 - ^-"2 +x2-l = 1 , 4 3 1 , 1 = -yf - -i-x2 - -) + - - 1 = yl 34 2' 3 1 , 4 , 2 = ^-^2-3- Podle seznamu kuželoseček ?? se tedy jedná o hyperbolu. □ Li : y 0, L2 : y - x + z = 0. Podívejme se, jak budou rovnice těchto přímek vypadat v souřadnicích v afinní rovině, která bude dána jako y = 1. Za tím účelem stačí dosadit y = 1 do předchozích rovnic: L[:l 0, L'2:l x +z = 0 Nyní jsou „nekonečné" body naší původní afinní roviny dány vztahem z = 0 a vidíme, že naše přímky L[ a L'2 se protínají v bodě (1, 1, 0). To odpovídá geometrické představě, že rovnoběžné přímky L\, L2 v afinní rovině se protínají v nekonečnu (a to v bodě (1:1: 0)). 4.27. Projektivní prostory a transformace. Postup z roviny se přirozeným způsobem zobecňuje na každou konečnou dimenzi. Volbou libovolné afinní nadroviny A„ ve vektorovém prostoru W+1, která neprochází počátkem, můžeme ztotožnit body P e A„ s jednorozměrnými podprostory, které tyto generují. Zbylé jednorozměrné podprostory vyplní rovinu rovnoběžnou s A„ a říkáme jim „nekonečné body" v projektivním rozšíření V„ afinní roviny A„. Zjevně je vždy množina nekonečných bodů v V„ projektivním prostorem dimenze o jedničku nižším. Abstraktněji hovoříme o projekti-vizaci vektorového prostoru: pro libovolný vektorový prostor V dimenze n + 1 definujeme V(V) = {P C V; P je jednorozměrný vektorový podprostor}. Volbou libovolné báze w ve V dostáváme tzv. homogenní souřadnice na V(V) tak, že pro P eV(V) použijeme jeho libovolný nenulový vektor m e V a souřadnice tohoto vektoru v bázi u. Afinní přímka má tedy ve svém projektivním rozšíření pouze jediný bod (oba konce se „potkají" v nekonečnu a projektivní přímka vypadá jako kružnice), projektivní rovina má projektivní přímku nekonečných bodů atd. Při zvolených homogenních souřadnicích je možné jednu z jejich hodnot zafixovat na jedničku (tj. vyloučíme všechny body projektivního prostoru s touto souřadnicí nulovou) a získáme tak vložení «-rozměrného afinního prostoru A„ C V(V). To je přesně konstrukce, kterou jsme použili v opačném směru v příkladu projektivní roviny. Každé prosté lineární zobrazení r : V\ -> V2 mezi vektorovými prostory samozřejmě zobrazuje jednorozměrné podprostory na jednorozměrné podprostory. Tím vzniká zobrazení na projektivizacích T : V(Vi) -> "P(V2). Takovým zobrazením říkáme projektivní zobrazení. Jinak řečeno, projektivní zobrazení je takové zobrazení mezi projektivními prostory, že v každé soustavě homogenních souřadnic na definičním oboru i obrazuje toto zobrazení zadáno násobením vhodnou maticí. Obecněji, pokud naše pomocné lineární zobrazení není prosté, definuje projektivní zobrazení pouze mimo 212 KAPITOLA 4. ANALYTICKÁ GEOMETRIE svoje jádro, tj. na bodech, jejichž homogenní souřadnice se nezobrazují na nulu. 4.28. Perspektivní projekce. Velmi dobře jsou výhody projektivní geometrie vidět na perspektivní projekci M3 -» M2. Bod (X, Y, Z) „reálného světa" se promítá na bod (x, y) na průmětně takto: X y Y 'r To je nejen nelineární formule, ale navíc při Z malém bude velice problematická přesnost výpočtů. Při rozšíření této transformace na zobrazení V3 -» V2 dostáváme zobrazení (X : Y : Z : W) h» (x : y : z) = (—fX : — fY : Z), tj. popsané prostou lineární formulí -/ 0 0 0^ 0-/00 0 0 10; (x\ Y Z \WJ Tento jednoduchý výraz zadává perspektivní projekci pro všechny konečné body vM3 C V3, které dosazujeme jako výrazy s W = 1. Navíc jsme odstranili problémy s body, jejichž obraz leží v nekonečnu. Skutečně, je-li Z-ová souřadnice skutečného bodu scény blízká nule, bude hodnota třetí homogenní souřadnice obrazu mít souřadnici blízkou nule, tj. bude představovat bod blízký nekonečnu. 4.29. Afinní a projektivní transformace. Invertibilní projektivní zobrazení projektivního prostoru V„ na sebe odpovídají v homogenních souřadnicích invertibilním maticím dimenze n + í. Dvě takové matice zadávají stejnou projektivní transformaci právě, když se liší o konstantní násobek. Jestliže si zvolíme první souřadnici jako tu, jejíž nulovost určuje nekonečné body, budou transformace, které zachovávají konečné body, dány maticemi, jejichž první řádek musí být až na první člen nulový. Jestliže budeme chtít přejít do afinních souřadnic konečných bodů, tj. zafixujeme si hodnotu první souřadnice na jedničku, musí být první prvek na prvním řádku být také rovný jedné. Matice projektivních transformací zachovávajících konečné body tedy mají tvar: /l 0 \bn anl o\ kde b = (bi, ..., bn)T e W a A = (a^) je invertibilní matice dimenze n. Působení takové matice na vektoru (1, x\, ..., xn) je právě obecná afinní transformace. 4.30. Projektivní klasifikace kvadrik. Závěrem ještě poznámka o složitějších objektech studovaných v afinní geometrii nejlépe prostřednictvím projektivních rozšíření. Jestliže popíšeme kvadriku v afinních souřadnicích pomocí obecné 4.41. Klasifikace kuželoseček. O typu kuželosečky můžeme rozhodnout i bez úpravy na některý z tvarů uvedený v seznamu ?? Jak již víme, každou kuželosečku můžeme napsat ve tvaru anx2 + 2a\2xy + + 2a + 2a23y + «33 = 0. Determinanty A = det A au a 12 ^12 a22 an ai2 an a 12 «22 a23 a 8 al3 a32 a33 jsou tzv. invariantami kuželosečky, což znamená, že se nemění při eukleidovské transformaci souřadnic (rotace a posunutí) navíc různé typy kuželoseček mají různá znaménka těchto determinantů. • A / 0 vlastní kuželosečky: elipsa pro 8 > 0, hyperbola pro 8 < 0 a parabola pro 8 = 0 Aby šlo o reálnou elipsu, nikoliv imaginární, musí být navíc (au + CL22) A < 0. • A = 0 nevlastní kuželosečky (degenerované), přímky Důkaz invariance vzhledem k transformaci souřadnic: Označme X = I y I a A je matice kvadratické formy. Pak příslušná kuželosečka má tvar XT AX = 0. Kuželosečku ve středovém základním tvaru dostaneme otočením a posunutím, tedy transformací do nových souřadnicx', /, pro které platí x = x' cos a — y siná + c\ y = x' siná + y' cos a + c2, tedy maticově pro nové souřadnice X' — sin a c\ cos a C2 MX'. (4.3) X 0 1 Dosazením vztahu X = MX' do rovnice kuželosečky, pak dostáváme rovnici kuželosečky v nových souřadnicích, tj. XTAX = 0 (MX')TA(MX') = 0 X'TMTAMX' 0. C2 Označme A' matici kvadratické formy kuželosečky v nových souřadni- (cosa —siná c^ sin a cos a 0 0 má jednotkový determinant, tedy det A' = det MT det A det M = det A = A. Nutně také deteminant A33, který je algebraickým doplňkem prvku ĹI33 je nezávislý na změně souřadnic, protože pro nulové posunutí 213 C. GEOMETRIE KVADRATICKÝCH FOREM 3. PROJEKTIVNÍ GEOMETRIE kvadratické rovnice, viz výše, jejím přepsáním v homogenních souřadnicích dostaneme vždy výlučně homogenní výraz, jehož všechny členy jsou druhého řádu. Důvod je ten, že pouze takové homogenní výrazy budou mít pro homogenní souřadnice smysl nezávisle na zvoleném konstantním násobku souřadnic (x0, x\, ..., xn). Hledáme tedy takový, jehož zúžením na afinní souřadnice, tj. dosazením x0 = 1, získáme původní výraz. To je ale mimořádně jednoduché, prostě dopíšeme dostatek x0 ke všem výrazům - žádny ke kvadratickým členům, jedno k lineárním a x2, ke konstantnímu členu. Získáme tak dobře definovanou kvadratickou formu na našem pomocném vektorovém prostoru W+1, ale jsme už vůči libovolné volbě báze klasifikovali. Zkuste si samostatně převést tuto klasifikaci do projektivní i afinní podoby. (Hezké a náročné cvičení na závěr semestru!) V maticovém zápisu provedeme úpravy /4 16 16 -2 -4 l\ 64 16 -64 8 -4 1 0 4 0 0 -2 1 0 36 0 0 -6 1 \36 4 -24 6 -2 V (4 16 16 -2 -4 1 \ 0 4 0 0 -2 1 0 0 64 -8 12 -9 0 0 0 24 -36 27 0 0 0 3 -v /48 0 0 0 0 1\ 0 12 0 0 0 1 0 0 64 0 0 0 0 0 0 24 0 3 \0 0 0 0 3 V 214 - tedy pouze otočení - je vztah det A' = det MT det A det M také ^cos a — sin a 0^ platný. V tom případě matice M sin a cos a 0 I a det Aó 33 0 0 1, /l 0 ci detA33 = 8. Pro samotné posunutí je matice M = I 0 1 c2 | a \0 0 1 tento subdeterminant neovlivňuje. 4.42. Určete typ kuželosečky 2x2 — 2xy + 3y2 — x + y — 1=0. 2 -1 -1 3 Řešení. Determinant " 2 2 Š 2 -1 5 > 0 jde tedy o elipsu, která je reálná, protože (au + a22) A = (2 + 3) • (—x) < 0. □ 4.43. Určete typ kuželosečky x2 — 4xy — 5y2 + 2x + 4y + 3 = 0. 1 -2 1 -2 -5 2 1 2 3 9 < 0, Řešení. Determinant A = 1 2 3 jde tedy o hyperbolu. □ 4.44. Určete rovnici kuželosečky (a poté její typ), která prochází body [-2, -4], [8, -4], [0, -2], [0, -6], [6, -2]. Řešení. Do obecné rovnice kuželosečky anx2 + a^y2 + 2a\2xy + a\x + a2y + a = 0 postupně dosadíme souřadnice zadaných bodů. Takto obdržíme sou- stavu 4an + 16fl22 + 16fli2 — 2a\ - 4a2 + a = o, 64fln + 16fl22 - 64fl12 + 8fli - 4a2 + a = o, 4a22 - 2a2 + a = o, 36a22 - 6a2 + a = o, 36fln + 4a22 - 24fl12 + 6fli - 2a2 + a = 0. KAPITOLA 4. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Hodnotu a můžeme zvolit. Zvolíme-li a = 48, dostaneme «11 = 1, «22 = 4, «12 = 0, «1 = —6, «2 = 32. Kuželosečka má tudíž rovnici x2 + 4y2 - 6x + 32y + 48 = 0. V této rovnici doplníme výrazy x2 — 6x, 4y2 + 32y na druhé mocniny dvojčlenů, což dává (x - 3)2 + 4(y + 4)2 - 25 = 0, resp. 52 (I)2 Vidíme, že se jedná o elipsu se středem v bodě [3, —4]. □ 4.45. Pomocí doplnění na čtverce vyjádřete kvadriku -x2 + 3y2 + z2 + 6xy - 4z, = 0 ve tvaru, ze kterého lze vyčíst její typ. Řešení. Všechny členy obsahující x připojíme k —x2 a provedeme doplnění na čtverec. Tím získáme -(x - 3y)2 + 9y2 + 3y2 + z2 - 4z = 0. Žádné „nežádoucí" členy obsahující y nemáme, a proto postup opakujeme pro proměnnou z, což dává -(x - 3y)2 + 12y2 + (z - 2)2 - 4 = 0. Odtud plyne, že existuje transformace proměnných, při které obdržíme (rovnici můžeme nejdříve vydělit 4) rovnici -x2 +f +~z2 -1=0. □ 215 C. GEOMETRIE KVADRATICKÝCH FOREM 3. PROJEKTIVNÍ GEOMETRIE 216 KAPITOLA 4. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Řešení cvičení 4.3. Přímka (2ŕ, t, It) + [-5, 0, -9]. 4.3. [3,2, l][8/3, 8/3,2/3]. 4.70. 2, 3, 4, 6, 7, 8. Polohy rovin, které realizují dané počty si rozmyslete samostatně. 4.27. Pro normálový vektor (a, b, c) hledaných rovin máme rovnice a + b = 0 (kolmost na p) a volbou a = —b = 1 (vektor (0, 0, 1) nevyhovuje podmínkám, takže vhodným pronásobením můžeme dosáhnout = j, celkem pak hledané rovnice přímek jsou x — y ± Vó —1=0. 4.32. (-1,3,2). podmínky a = —b = 1) pak dostáváme z podmínky pro odchylku V3v/2+e2 217 KAPITOLA 5 Zřízení ZOO jaké funkce potřebujeme pro naše modely? — pořádný zvěřinec... V této kapitole začneme budovat nástroje umožňujících modelování závislostí, které nejsou ani lineární ani diskrétní. S takovou potřebou se často setkáme, když popisujeme systém vyvíjející se v čase a to nejen v několika vybraných okamžicích, ale „souvisle", tj. pro všechny možné okamžiky. Někdy je to přímo záměr či potřeba (třeba ve fyzikálních modelech klasické mechaniky), jindy je to vhodné přiblížení diskrétního modelu (třeba u ekonomických, chemických nebo biologických modelů). Klíčovým pojmem budou stále funkce. Čím větší třídu funkcí připustíme, tím obtížnější bude vybudovat nástroje pro naši práci. Když ale bude různých typů funkcí málo, nebudeme patrně umět budovat dobré modely pro reálné situace vůbec. Cílem následujících dvou kapitol bude proto explicitně zavést několik typů elementárních funkcí, implicitně popsat daleko více funkcí a vybudovat standardní nástroje pro práci s nimi. Souhrnně se tomu říká diferenciální a integrální počet jedné proměnné. Zatímco dosud jsme se spíše pohybovali v oblasti matematiky nazývané algebra, nyní se pouštíme do tzv. matematické analýzy. 1. Interpolace polynomy V předchozích kapitolách jsme pracovali často s posloupnostmi hodnot reálných nebo komplexních čísel, tj. se skalárními funkcemi N -» K nebo Z -» K, kde K byl zvolený číselný obor. Případně jsme pracovali s posloupnostmi vektorů nad reálnými nebo komplexními čísly. Připomeňme si diskusi z odstavce 1.4, kde jsme přemýšleli nad způsoby, jak pracovat se skalárními funkcemi. Na této diskusi není třeba nic doplňovat a rádi bychom (pro začátek) uměli pracovat s funkcemi M -» M (reálné funkce reálné proměnné) nebo M -» C (komplexní funkce reálné proměnné), případně funkcemi Q -» Q (funkce jedné racionální proměnné s racionálními hodnotami) apod. Většinou půjdou naše závěry snadno rozšířit na případy s vektorovými hodnotami nad stejnými skaláry, ve výkladu se ale zpravidla omezíme jen na případ reálných a komplexních čísel. Začneme od nejednodušších funkcí, které umíme zadat explicitně pomocí konečně mnoha algebraických operací se skaláry. A. Interpolace polynomy Na úvod této kapitoly se budeme snažit odhadnout funkce pomocí polynomů. Předpokládejme, že o neznámé funkci máme pouze kusé informace, totiž její hodnoty v několika bodech, popřípadě i hodnoty její první či druhé derivace v těchto bodech. Budeme se snažit najít polynom (co nejmenšího stupně) splňující tyto závislosti. 5.1. Nalezněte polynom P splňující následující podmínky: P(2) = 1, P(3) = 0, P(4) = -1, P(5) Řešení. Řešíme buď přímo, t.j. sestavením soustavy čtyř lineárních rovnic o čtyřech neznámých. Předpokládáme polynom ve tvaru a3x3 + a2x2 + a\X\ + a0. Víme, že polynom stupně nejvýše tři splňující podmínky v zadání je dán jednoznačně. «0 + 2fli + 4a2 + 8^3 = 1 «0 + 3fli + 9a2 + 27út3 = 0 «0 + 4a i + I6a2 + 64út3 = —1 «0 + 5fli + 25a2 + 125^3 = 6. Každá rovnice vznikla z jedné z podmínek v zadání. 219 A. INTERPOLACE POLYNOMY 1. INTERPOLACE POLYNOMY Druhou možností je vytvořit hledaný polynom pomocí fundamentálních Lagrangeových polynomů: (jc-3)(jc-4)(jc-5) P(x) = 1-------- + 0 •(...) + (2-3)(2-4)(2-5) (x-2)(x-3)(x-5) (x-2)(x-3)(x-4) ' (4 - 2)(4 - 3)(4 - 5) ' (5 - 2)(5 - 3)(5 - 4) 4 , ,101 = -z3 - 12Z2 + — z - 29. Koeficienty tohoto polynomu jsou samozřejmě jediným řešením výše sestavené soustavy lineárních rovnic. □ 5.2. Nalezněte polynom P splňující následující podmínky: P(l + i) = i, P(2) = 1, P(3) = -i. 5.3. Nalezněte polynom P splňující následující podmínky: P(l) = 0, P'(l) = 1, P(2) = 3, P'(2) = 3. Řešení. Opět ukážeme dvě možnosti řešení. Dané podmínky určují čtyři lineární rovnice pro koeficienty hledaného polynomu. Budeme-li hledat polynom třetího stupně, dostáváme tedy přesně tolik rovnic, kolik je neznámých koeficientů polynomu (nechť např. P(x) = a3x3 + a2x2 + a\x + a0): 5. la P(l) = (fl3+fl2 + ^l+^0 =0, P'(\) = 3a3 + 2a2 + ai = 1, P(2) = Sa3 + 4a2 + 2a i + flo = 3, P'(2) = \2a3 + 4a2 + ax = 3. Vyřešením tohoto systému obdžíme polynom P(x) = —2x3 + 10x2 — 13x +5. Jiné řešení. Použijeme fundamentální Hermiteovy polynomy: 2 (x - 1) } (2-x)2 = (2x - l)(x -2)2, h\(x) = h\(x) = (5 h\{x) = (X h\{x) = (X Celkem 0 + (-l) (x -2)(x- \y P(x) = 0-h\(x)+3-h\(x)+\-h\(x)+3-hl(x) -2x3+10x2-13x+5. 5.1. Polynomy. Skaláry umíme sčítat a násobit a tyto ope-Mtés- race splňují řadu vlastností, které jsme vyjme-■^nh novali už v odstavcích 1.1 a 1.3. Když připustíme konečný počet těchto operací, přičemž jednu proměnnou ponecháme jako neznámou a další vstupující skaláry budou pevně zvolené, dostáváme tzv. polynomy: j Polynomy ^» Polynomem nad okruhem skalárů ] / : K -> K dané výrazem .«-i [ rozumíme zobrazení 1 f(x) = a„x" + a„-ix" + • • • + a\x + ao, kde cii, i = 0, ... ,n, jsou pevně zadané skaláry, násobení je znázorněno prostým zřetězením symbolů a „+" označuje sčítání. Pokud je a„ ^ 0, říkáme, že polynom / je stupně n. Stupeň nulového polynomu není definován. Skaláry a; označujeme jako koeficienty polynomu f. ^^^^^^^^^^^^ Polynomy stupně nula jsou právě konstantní nenulová zobrazení x \-> a0. V algebře jsou častěji polynomy definovány jako formální výrazy uvedeného tvaru f(x), tj. jako posloupnosti koeficientů ClQ , Cl i, . . . s konečně mnoha nenulovými prvky. V zápětí si ale ukážeme, že v analýze budou oba přístupy ekvivalentní. Je snadné ověřit, že polynomy nad okruhem skalárů tvoří opět okruh, kde násobení a sčítání je dáno operacemi v původním okruhu K pomocí hodnot polynomů, tzn. (f -g)(x) = f(x).g(x), (f +g)(x) = f(x)+g(x), kde nalevo a napravo musíme správně interpretovat příslušné operace v okruhu polynomů a v samotném okruhu skalárů. 5.2. Dělení polynomů se zbytkem. Jak jsme již zmínili, budeme v dalším pracovat výhradně s poli skalárů Q, M nebo C. Pro všechna pole skalárů však platí Tvrzení (O dělení polynomů se zbytkem). Pro libovolné polynomy f stupně n a g stupně m, existují jednoznačně určené polynomy q ar takové, že f = q ■ g + r a přitom je stupeň r menší než m neboje r = 0. Důkaz. Začněme jednoznačností. Předpokládejme, že IJ' „ máme dvě požadovaná vyjádření polynomu / s polynomy g,g', r a r1, tj. platí □ / = q■g+r=q ■g + r . Pak také odečtením dostaneme 0 = (q — q') ■ g + (r — r'). Jestliže q = q', pak také r = r1. Je-li q ^ q', pak člen s nej vyšším stupněm v (q —q')-g nemůže být vykompenzován r — r", což vede na spor. Dokázali jsme tedy jednoznačnost výsledku dělení, pokud existuje. Zbývá dokázat, že umíme polynom / vždy napsat požadovaným způsobem. Pokud by stupeň g byl větší než stupeň /, pak můžeme rovnou psát / = 0 • g + /. Předpokládejme proto n > m a dokažme tvrzení indukcí přes stupeň /. 220 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO Pokud je / polynom stupně nula, je tvrzení zřejmé. Přepokládejme tedy, že tvrzení platí pro stupně menší než n > 0 a uvažme výraz h(x) = f(x) — j-x"~m g(x). Buď je h(x) přímo nulový polynom a pak máme, co jsme hledali, nebo jde o polynom nižšího stupně a tedy jej již umíme napsat potřebným způsobem h(x) = q ■ g + r a tedy také f(x) =h(x) + -^x" a tvrzení je dokázáno. (q + —x" T)g(x)+r □ Je-li pro nějaký prvek b e K hodnota f (b) = 0, pak to znamená, že v podílu f (x) = q(x)(x —b)+r musí být r = 0. Jinak by totiž nebylo možné dosáhnout f (b) = q(b) ■ 0 + r, kde stupeň r je nulový. Říkáme, že b je kořen polynomu f. Stupeň q je pak právě n—l. Pokud má q opět kořen, můžeme pokračovat a po nejvýše n krocích dojdeme ke konstatnímu polynomu. Dokázali jsme tedy, že každý nenulový polynom nad polem K má nejvýše tolik kořenů, kolik je jeho stupeň. Odtud již snadno dovodíme i následující pozorování: Důsledek. Je-li K pole s nekonečně mnoha prvky, pak dva polynomy f a g jsou si rovny jako zobrazení, právě když mají shodné koeficienty. Důkaz. Předpokládejme / = g, tj. / — g = 0, jako zobrazení. Polynom (/ — g)(x) tedy má nekonečně mnoho kořenů, což je možné pouze tehdy, je-li nulovým polynomem. □ Uvědomme si, že u konečných polí samozřejmě takové tvrzení neplatí. Jednoduchým příkladem je např. polynom x2 + x nad Z2, který představuje nulové zobrazení. 5.3. Interpolační polynom. Častá praktická úloha vyža-duje stanovení počítatelné formule pro funkci, '■*?řr<**J pro kterou máme zadány hodnoty v předem da-.V"" ných bodech xq, ... ,xn. Pokud by šlo o nulové \s hodnoty, umíme přímo zadat polynom stupně n + 1 f (x) = (x - x0)(x - x]) ... (x - x„), který bude mít nulové hodnoty právě v těchto bodech a nikde jinde. To ale není jediná odpověď, protože požadovanou vlastnost má i nulový polynom. Ten je přitom jediný s touto vlastností ve vektorovém prostoru polynomů stupně nejvýše n. Obdobně to dopadne i v obecném případě: ' Interpolační polynomy Nechť K je nekonečné pole skalárů. Interpolační polynom f pro množinu po dvou různých bodů xq, ... ,x„ e K a předepsaných hodnot yo, ■ ■ ■ ,yn e K je polynom stupně nejvýše n nebo nulový polynom, který splňuje f (xC) = y t pro všechna i = 0, 1, ..., n. Věta. Pro každou množinu n + 1 po dvou různých bodů xq, ..., xn G IK a předepsaných hodnot yo, ..., yn e K existuje právě jeden interpolační polynom f. 5.4. Pomocí Lagrangovy interpolace spočítejte přibližnou hodnotu cos2 1. Použijte k tomu hodnoty funkce v bodech f, j a j. Řešení. Nejprve určíme funkční hodnoty v zadaných bodech: cos2(f) = 1/2, cos2(f) = 1/4, cos2(f) = 0. Dále určíme elementární Larangeovy polynomy, přitom můžeme spočítat hodnoty přímo v zadaném bodě: ,m d - m - r> 0fr-3)(;r-2) (4 -3X4-2) n j m _ d ~ 4-)d ~ i1) _ Ax-Wx-2) l = {l - - ^ = 2fr-4)fr-3) íf-f)ÍT-f) Celkem tedy 1 (77--3)(77--2) 1 (7r-4)(7r-2) P(l) = - • S---- - - ■ 9---- + 0 = 2 7T2 4 7T2 (5tt - 12) (it - 2) =--J-i-- = 0.288913. 47T 2 Vidíme, že při výpočtu třetí elementrání polynom nebyl potřeba. Skutečná hodnota je cos2 1 = 0.291927. □ 5.5. Franta potřebuje počítat hodnoty funkce sin, ale má k dispozici jen mobilní telefon s jednoduchou kalkulačkou, která umí základní operace. Protože si pamatuje hodnoty funkce sin v bodech 0, f, f f a j a ví, že přibližné hodnoty it, \Í2 a V3 jsou 3.1416, 1.4142 a 1.7321, rozhodl se, že použije k přibližnému výpočtu interpolaci. Pomozte mu sestrojit přibližný vztah s využitím všech hodnot. Řešení. Sestrojíme elementární Larangeovy polynomy: z = (x - f){x - f)(x - f)(x - f) = = 1.4783x4 - 5.8052x3 + 8.1057x2 - 4.7746x + 1 h(x) (x-0)(x-f)(x-f)(x-f) (I " 0)(£ - - f)(f - f) 13.3046x4 + 45.2808x3 - 49.2419x2 + 17.1887x (x-0)(x-f)(x-^)(x-f) 6 ^4 3 ^4 23.6526x4 - 74.3070x3 + 71.3298x2 - 20.3718x h(x) (x-0)(x-f)(x-f)(x-f) (r-0)(| 9 / 221 A. INTERPOLACE POLYNOMY 1. INTERPOLACE POLYNOMY -13.304ÓX4 + 38.3146x3 - 32.8279x2 + 8.5943x U(x) (x-0)(x-f)(x-f)(x-f) = 1.4783x4 - 3.4831x3 + 2.6343x2 - 0.6366x Hodnota interpolačního polynomou je pak 1 V2 V3 P(x) = 0 • h(x) + -h(x) + — l2(x) + — h(x) + U(x) = = 0.0288x4 - 0.2043x3 + 0.0214x2 + 0.9956x. □ Doplňující otázky: Může Franta tento přibližný výsledek použít i pro výpočet funkce sin na intervalu [ j, jt]? A pokud ne, jak by měl postupovat? Jak by vypadaly přibližné vztahy, pokud by Franta ne použil všechny uzly, ale pro každý bod jen tři uzly nejbližší? 5.6. Další den potřeboval Franta spočítat dvojkový logaritmus 25. (Ve skutečnosti potřeboval přirozený logaritmus, ale protože ví, že ln 2 je zhruba 0.6931, vystačí s i s dvojkovým.) Nejprve tedy vzal uzly 16 5.3 a 32 s funkčními hodnotami 4 a 5 a sestrojil interpolační polynom (přímku) P(x) = ± + 3, takže f (25) = yf = 4.5625. Kvůli zpřesnění výsledku přidal další uzel 8 s funkční hodnotou 3. V tomto případě vyšel interpolační polynom roven P(x) = — j^x2 + j^x + |, což dává P (25) = 4.7266. Franta chtěl výsledek ještě zpřesnit, přidal tedy rovnou dva uzly, a to 2 a 4 s funkčními hodnotami 1 a 2. Jaké však bylo jeho překvapení, když mu vyšla hodnota P (25) = 5.892, která je určitě nesprávná vzhledem k tomu, že logaritmus je rostoucí funkce. Dokážete vysvětlit, kde se vzala taková chyba? Řešení. Franta trochu pátral na internetu a zjistil, že chyba při interpolaci se dá vyjádřit ve tvaru f(x)-Pn(x) (x — Xq)(x — X\) ... (x (« + l)! kde bod § není znám, ale leží v intervalu daném nejmenším a největším uzlem. Člen v čitateli zlomku způsobuje, že přidávání dalších vzdálených uzlů přesnost spiše zhoršuje. □ Důkaz. Začněme jednodušší částí, tj. jednoznačností. Jsou-li / a g dva interpolační polynomy SKLJLY/ se stejnými definičními hodnotami, pak je jejich rozdíl polynomem stupně n, který má n + 1 kořenů, a proto je / — g = 0. Zbývá existence. Označme si prozatím neznámé koeficienty polynomu / stupně n f = a„x" + • • • + ci\x + flo- Dosazením požadovaných hodnot dostaneme systém n + 1 rovnic pro stejný počet neznámých koeficientů a{ a0 + x0fli H-----h (x0)"a„ = y0 a0 + xna\ + • • • + (xn)"an — yn. Existenci řešení tohoto systému rovnic můžeme snadno ukázat přímou konstrukcí patřičného polynomu pomocí tzv. Lagrangeových polynomů pro dané body x0, ..., xn, viz. další odstavec textu níže. Nyní ale důkaz dokončíme pomocí jednoduchých znalostí z lineární algebry. Tento systém lineárních rovnic má totiž právě jedno řešení pokud je determinant jeho matice in-vertibilní skalár, tj. pokud je nenulový (viz 3.1 a 2.23). Jde o tzv. Vandermondův determinant, který jsme již diskutovali v příkladu 2.22 na straně 80. Protože jsme ale už ověřili, že pro nulové pravé strany existuje řešení právě jedno, víme, že tento determinant nenulový být musí. Protože polynomy jsou jako zobrazení stejné, právě když mají stejné koeficienty, věta je dokázána. □ 5.4. Užití interpolací. Na první pohled se může zdát, že reálné nebo případně racionální polynomy, tj. polynomiálně zadané funkce M -> M nebo Q -> Q, tvoří hezkou velikou třídu funkcí jedné proměnné. Můžeme jimi proložit jakékoliv sady předem zadaných hodnot. Navíc se zdají být snadno vyjádřitelné, takže by s jejich pomocí mělo být dobře možné počítat i hodnoty těchto funkcí pro jakoukoliv hodnotu proměnné. Při pokusu o praktické využití v tomto směru ovšem narazíme hned na několik problémů. Prvním z nich je potřeba rychle vyjádřit polynom, kterým zadaná data proložíme. Pro řešení výše diskutovaného systému rovnic totiž budeme obecně potřebovat čas úměrný třetí mocnině počtu bodů, což při objemnějších datech je jistě těžko přijatelné. Podobným problémem je pomalé vyčíslení hodnoty polynomu vysokého stupně v zadaném bodě. Obojí lze částečně obejít tak, že zvolíme vhodné vyjádření intepo-lačního polynomu (tj. vybereme lepší bázi příslušného vektorového prostoru všech polynomů stupně nejvýše k, než je ta nejobvyklejší 1, x, x2, ..., x"). Ukážeme si pouze jediný příklad takového postupu: 222 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO Lagrangeovy interpolační polynomy Lagrangeův interpolační polynom snadno zapíšeme pomocí tzv. elemntárních Lagrangeových polynomů lt stupně n s vlastnostmi ti(Xj) Zřejmě musí být tyto polynomy až na konstantu rovny výrazům (x — xq) ... (x — Xí-i)(x — xi+\)... (x — x„) a proto Uj^i (X - Xj) Uj^i (xí -xj)' Hledaný Lagrangeův interpolační polynom je pak dán vztahem f(x) = y0t0(x) + yiti(x) -\-----h y„t„(x). Použití Lagrangeových polynomů je obzvlášť efektivní, když opakovaně prokládáme zadané hodnoty závislé proměnné y i pro stále stejné hodnoty nezávislé proměnné xt. Pak totiž máme elementární polynomy lt předem připraveny. Toto vyjádření má nevýhodu ve velké citlivosti na nepřesnosti výpočtu při malých rozdílech zadaných hodnot xt, protože se v něm těmito rozdíly dělí. Další nepříjemností je velice špatná stabilita hodnot reál-ných nebo racionálních polynomů přil žv-ěfs^řc^^^^fižrriTjiě" proměnné. Brzy budeme mít nástroje na přesný popis kvalitativního chování funkcí, nicméně i bez nich je zřejmé, že podle znaménka koeficientu u nejvyšší mocniny polynomu se hodnoty velice rychle při rostoucím x vydají buď do plus nebo mínus nekonečna. Ani toto znaménko koeficientu u nej-vyššrho stupně se ale u interpolačnŕho polynomu při malých změnách prokládaných hodnot nechová stabilně. Názorně to vidíme na dvou obrázcích, kde je proloženo jedenáct hodnot funkce sin(jc) s různými malými náhodnými změnami hodnot. Zelenou barvou je vynesena aproximovaná funkce, kolečka jsou malinko posunuté hodnoty a červeně je vynesen jednoznačně zadaný interpolační polynom. Zatímco uvnitř intervalu je aproximace vcelku dobrá, stabilita na okrajích je otřesná. 5.7. O týden později potřeboval Franta určit ~Jl. Napdlo ho problém otočit a použít tzv. inverzní interpolaci, tedy zaměnit roli uzlů a funkčních hodnot a určit přibližnou hodnotu vhodné funkce v nule. Jak postupoval? Řešení. VŤ" je nulový bod funkce x2 — 1. Franta vzal uzly x0 = 2, x\ = 2.5, x2 = 3, příslušné funkční hodnoty jsou -3, -0.75 a 2. Pak prohodil úlohu uzlů a funkčních hodnot a získal elementární Lagrangeovy polynomy k)(x) h(x) h(x) (x +0.75)(x - 2) 4 , 1 2 — -x--x (-3 + 0.75)(-3 - 2) 45 9 15 16 2 16 32 --x--x -\-- 99 99 33 —xL H--x H-- 55 11 55 Pro VŤ" tak dostal přibližnou hodnotu 2 • l0(0) + 2.5 ■ h (0) + 3 • l2(0) = 1 = 2-6485. Doplňující otázky: Frantovy se do výpočtu jednoho elementráního polynomu vloudila chyba, pokuste se ji vypátrat. Má tato chyba vliv na výslednou hodnotou? Jak bychom mohli využít také hodnotu derivace v bodě 2.5? □ 5.8. Nalezněte přirozený splajn 5, který splňuje podmínky 5(-l) = 0, 5(0) = 1, 5(1) = 0. Řešení. Hledaný přirozený splajn bude složen ze dvou kubických polynomů, jednoho, řekněme 5i, pro interval (—1,0), druhého, řekněme 52 pro interval (0, 1). Slůvko „přirozený" navíc určuje, že hodnoty druhých derivací polynomů 5i, resp. 52, budou nulové v bodě — 1, resp. 1. Díky předepsané společné hodnotě v bodě 0 víme že absolutní člen obou polynomů je 1, ze symetrie úlohy plyne, že společná hodnota první derivace v bodě 0 je nulová. Můžeme tedy psát 5i(x) = ax3 + bx2 + 1 a 52(x) = cx3 + dx2 + 1, pro neznámé reálné parametry a, b, c ad. Dosazením těchto tvarů do čtyř podmínek Si(-l) = 0, 5i"(-l) = 0, 52(1) = 0a 52"(1) = 0 dostáváme čtyři lineární rovnice pro tyto parametry: dát nějaké další odkazy Kolem interpolačních polynomů existuje bohatá teorie. -a+b + 1 —6a + 2b c + d + 1 6c + 2d 0, 0, 0, 0. 223 A. INTERPOLACE POLYNOMY 1. INTERPOLACE POLYNOMY Jejich vyřešením pak 5i (x) \x3 - \x2 + 1, 52(x) c5 .-4 a 3ny_splajn \x2 + 1. Celkem tedy 5(x) l-x3-lx2 + \ prox e (-1,0) prox e (0, 1) □ 5.9. Nalezněte splajn 5, který splňuje podmínky 5(-l) = 0, 5(0) = 1, 5(1) = 0, 5'(-l) = 1, 5/(l) = 1. Řešení. Hledaný splajn se od splajnu z předchozí úlohy liší pouze hodnotami derivací v bodech -1 a 1. Obdobně jako v předchozí úloze tak dostáváme části 5i a 52 splajnu ve tvaru 5i (x) = ax3 + bx2 + 1 a 52(x) = cx3 + dx2 + 1, pro neznámé reálné parametry a, b, c a d. Dosazením do podmínek 5i(-l) = 0, S[ (-1) = 1, 52(1) = 0a 5^(1) = 1 dostáváme nyní soustavu s resenim a funkce 1, b Six) —x 3x3 -a+b+1 = 3a — 2b = c+d+1 = 3c + 2d = -2, c = 3 a d -2x2 + l Ax2 + 1 0, 1, 0, 1 e5.1 -4, tedy hledaný splajn je prox e (—1,0) prox e (0, 1) □ 5.10. Přidání požadované hodnoty splajnu. Na tomto příkladu demonstrujeme, že je početně jednoduché (v porovnání s Lagrangeovou či Hermiteovou interpolací), doplnit požadavky na hledanou funkci (splajn) o funkční hodnotu v jednom novém bodě: nalezněte přirozený kubický splajn splňující 5(-l) = 0, 5(0) = 1, 5(1) = 0, 5(2) = 1. Řešení. Vůči příkladu je přidána pouze hodnota 5(2) = 1. Použijeme tedy výsledky ze zmíněného příkladu. Na polynomy 5i a 52 nážeme I 5 . 4 rovněž kubickým polynomem 53 a to tak, aby měl v bodě 1 shodnou hodnotu derivace s již vypočteným mnohočlenem 52 = \x3 — |x2 +1. Je tedy 5^(1) = — ^. Tuto hodnotu použijeme jako okrajovou podmínku pro polynom 53. Druhá okrajová podmínka j e dána tím, že požadujeme, aby výsledný splajn byl přirozený, tedy 5^' (2) = 0. Hledáme tedy kubický polynom 53(x) = ax3 + bx2 + cx + d, a, b, c, d e M 5.5. Poznámka. Numerická nestabilita způsobená případnou blízkostí (některých) z bodů x; je dobře viditelná i na systému rovnic z důkazu Věty 5.3. Při řešení systémů lineárních rovnic totiž nestabilita do značné míry souvisí s velikostí determinantu matice systému, tj. v našem případě Van-dermondova determinantu. Ten umíme vcelku snadno přímo spočíst: Lemma. Pro posloupnost po dvou různých skalárů xq, ..., x„ e K platí V(x0, ... ,x„) = y\ >k=0 xH-1 Důkaz. Vztah dokážeme indukcí přes počet bodů x;. Evidentně je správný pro n = 1 (a pro n = 0 je úloha nezajímavá). Předpokládejme, že výsledek je správný pro n — 1, tj- n-l V(x0, x„_0 = Y[ (xí - xk). i>k=0 Nyní považujme hodnoty x0, ..., x„_i za pevné a hodnotu x„ ponechme jako volnou proměnnou. Rozvojem determinantu podle posledního řádku (viz ??) obdržíme hledaný determinant jako polynom (5-1) V(Xq, ..., x„) = (x„) V(Xq, ..., x„_i) — (x„) Toto je polynom stupně n, protože víme, že jeho koeficient u (x„)" je nenulový dle indukčního předpokladu. Přitom bude zjevně nulový při dosazení kterékoliv hodnoty x„ = x; pro i < n, protože bude v takovém případě obsahovat původní determinant dva stejné řádky. Náš polynom tedy bude dělitelný výrazem {xn Xo)(xw X\) * * * {xn Xn—i), který má sám již stupeň n. Odtud vyplývá, že celý Vander-mondův determinant coby polynom v proměnné x„ musí být tomuto výrazu roven až na konstantní násobek, tj. V(x0, ..., x„) = c ■ (x„ - x0)(x„ - Xi) • • • (x„ - X„_i). Porovnáním koeficientů u nej vyšší mocniny v (5.1) a tomto výrazu dostáváme c = V(x0, ... ,x„_i) a tím je důkaz lemmatu ukončen. □ Opět tedy vidíme, že determinant bude velmi malý, pokud jsou malé vzdálenosti bodů x;. 5.6. Derivace polynomů. Zjistili jsme, že hodnoty polynomů s rostoucí proměnnou rychle míří k nekonečným hodnotám (viz také obrázky). Proto je zřejmé, že polynomy nemohou nikdy _ -— vhodně popisovat jakékoliv periodicky se opakující děje (jako jsou např. hodnoty goniometrických funkcí). Mohlo by se ale zdát, že podstatně lepší výsledky 224 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO budeme alespoň mezi body xt dosahovat, když si budeme kromě hodnot funkce hlídat, jak rychle naše funkce v daných bodech rostou. Za tímto účelem zavedeme (prozatím spíše intuitivně) pojem derivace pro polynomy. Můžeme přitom pracovat opět s reálnými, komplexními nebo racionálními polynomy. Rychlost růstu v bodě x e M pro reálný polynom fix) dobře vyjadřují podíly (5.2) fix + Ax) - fix) Ax splňující podmínky S3(l) = 0, 5^(1) = což dává soustavu: a + b + c + d 3a + 2b + c &a+4b + 2c + d 6a + 2b = 0 4 a d , S3(2) = 1 a S£'(2) = 0, 1, s resenim a tvaru a protože umíme spočíst (nad libovolným okruhem) (x+Ax)* = xk+kxk~1 Ax+- • ■+^)xl(Ax)k-'+- ■ -+(Ax)k, dostaneme pro polynom f(x) = anxn +■ ■ ■ +a0 výše vedený podíl ve tvaru Six) 2X W - h2 + i §x2 + l -1. Hledaný splajn je tedy prox e (-1, 0) prox e (0, 1) 2 2 |x3 - fx2 + 4x - 1 prox e (1, 2) □ f(x + Ax) - f(x) Ax nxn-íAx + --- + (Ax)* Ax H-----Mi + (n — l)a„_ix" H----+ cl\ + Ax(...) kde výraz v závorce je polynomiálně závislý na Ax. Evidentně pro hodnoty Ax velice blízké nule dostaneme hodnotu libovolně blízkou následujícícmu výrazu: Derivace polynomů [ Derivací polynomu fix) = anxn + ■ ■ ■ + a0 podle proměnné x rozumíme polynom fix) = nanx"~l + in — l)an-ix"~2 + ■ ■ ■ + ax. Více příkladů k interpolačním polynomům najdete na straně 282. Ax B. Topologie komplexních čísel a jejich podmnožin 5.11. Načrtněte následující podmnožiny v C i) {z eC||z- 1| = |z + l|} 1 < \z - i\ < 2} Re(z2) = 1} 2"} ii) {z e hi) {z e iv) {z e Re(J)< 11 Řešení. Z definice je jasné, že právě hodnota /'(x0) derivace polynomu nám dává dobré přiblížení jeho chování v okolí bodu x0. Přesněji řečeno, přímky • imaginární osa • mezikruží okolo i • hyperbola a2 — b2 = 1. • vnějšek jednotkového kruhu se středem v 1. y fjx0 + Ax) - fjx0) Ax (x - x0) + f(x0), tj. sečny grafu polynomu procházející body [xo, f(xo)] a [xo + Ax, fixQ + Ax)] se, se zmenšujícím se Ax, přibližují přímce y = f'(x0)ix - x0) + f(x0), což tedy musí být tečna grafu polynomu /. Hovoříme o lineárním přiblížení polynomu / jeho tečnou. Derivace polynomů je lineární zobrazení, které přiřazuje polynomům stupně nejvýše n polynomy stupně nejvýše n—1. Iterací této operace dostáváme druhé derivace /", třetí derivace /(3) a obecně po ^-násobném opakování polynom f(k) stupně n — k. Po n + 1 derivacích je výsledkem nulový polynom. Toto lineárním zobrazení je příkladem tzv. cyklického nilpotentního zobrazení, která jsou podrobněji rozebírána v odstavci 3.28 o nilpotentních zobrazeních. □ 5.12. Nalezněte hromadné, izolované, hraniční a vnitřní body množin N, , X = {x e M; 0 < x < 1} v R. Řešení. Množina N. Pro libovolné n e N očividně platí Oi in) n N = in - 1, n + 1) n N = {n}. 225 B. TOPOLOGIE KOMPLEXNÍCH ČÍSEL A JEJICH PODMNOŽIN 1. INTERPOLACE POLYNOMY Existuje tedy okolí bodu neNvI, které obsahuje pouze jeden p("fek5 množiny N (pochopitelně právě uvažované n), tj. každý bod n e N je izolovaný. Množina vnitřních bodů je proto vyvázaná (je-li bod izolovaný, nemůže být vnitřní). Bod a e M je pak hromadným bodem A právě tehdy, když každé jeho okolí obsahuje nekonečně mnoho bodů A. Ovšem množina Oi (a) n N = (a - 1, a + 1) n N, přičemž a sR, je konečná, z čehož plyne, že N hromadné body nemá. To, že tato množina je konečná, dále implikuje 8h := inf I b — n inf I b - n I > 0 pro ieK\N. neO\(b)rm Odsud máme Ogb (b) n N = 0, tj. žádné b e R \ N není hraničním bodem N. Současně víme, že každý bod dané množiny, který není vnitřním bodem, je nutně jejím hraničním bodem. Množina hraničních bodů tak obsahuje N. Shrneme-li to, množina hraničních bodů N je N. Množina Q. Racionální čísla tvoří tzv. hustou podmnožinu množiny všech reálných čísel. To znamená, že ke každému reálnému číslu konverguje posloupnost racionálních čísel (představme si např. nekonečný desetinný rozvoj reálného čísla a jemu odpovídající posloupnost, kdy v následujícím členu přidáváme další cifru rozvoje). O této posloupnosti lze navíc předpokládat, že všechny její členy jsou navzájem různé (na poslední pozici konečného desetinného rozvoje se můžeme záměrně dopouštět chyby nebo kupř. číslu 1 přiřadíme desetinný rozvoj 0, 999 ... apod.). Množina hromadných bodů Q v M je proto celé R a každý bod x e R \ Q je hraniční. Zvláště dostáváme, že libovolné á-okolí Os (- j = ( - -S, - +8 ) , kde p, q e Z, q ^ 0, \qj \q q J racionálního čísla p/q musí obsahovat nekonečně mnoho racionálních čísel, což dává neexistenci izolovaných bodů. Číslo -v/2/10" není racionální pro žádné n e N. Předpokladem opaku (opět p, q e Z, q ^ 0) 10" q q totiž okamžitě obdržíme spor - o číslu \pl víme, že není racionální. Libovolné okolí racionálního čísla p/q tak zároveň obsahuje nekonečně mnoho reálných čísel p/q + V2/10" (n e N), která nejsou racionální (množina Q jako těleso je uzavřená vzhledem k odečítání). Všechny body p/q e Q jsou tudíž rovněž hraniční a vnitřní body množina Q nemá. Množina X = [0, 1). Nechť a e [0, 1) je zvoleno libovolně. Posloupnosti se členy (pro dostatečně velká n e N) 1 a + -, 1 n 1 5.7. Hermiteův interpolační problém. Uvažme opět m+1 po dvou různých reálných hodnot x0, ..., xm, tj. xi Xj pro všechna i ^ j. Budeme chtít zase prokládat pomocí polynomů předem dané hodnoty, tentokrát ale budeme vedle hodnot předepisovat i první derivace. Tj. predpíšeme y; a )/ pro všechna i. Hledáme polynom /, který bude nabývat těchto předepsaných hodnot a derivací. Zcela analogicky jako u interpolace pouhých hodnot obdržíme pro neznámé koeficienty polynomu f(x) = anxn + ■ ■ ■ + a0 systém 2(m + l)rovnic a0+x0ai-\-----h (xo)"an = y0 ao + xma\ + • • • + (xm)"an — y„ a\ + 2xQfl2 + • • • + n(xo) n-l cl\ + 2xmút2 + • • • + n(xm) n-l y0 ym Opět bychom mohli ověřit, že při volbě n = 2m + 1 bude determinant tohoto systému rovnic nenulový a tudíž bude existovat právě jedno řešení. Nicméně, obdobně ke konstrukci Lagrangeova polynomu lze zkonstruovat takový polynom / přímo. Prostě si vytvoříme jednu sadu polynomů s hodnotami nula nebo jedna jak u derivací tak u hodnot, abychom jejich jednoduchou lineární kombinací uměli dosáhnout potřebné hodnoty. Ověření následující definice a tvrzení necháme na čtenáři: j Hermiteův interpolační polynom j_ Hermiteův interpolační polynom definujeme pomocí fundamentálních Hermitéových polynomů: h](x) h]{x) 1 l"(*i) l'(Xi) (X - Xi) (íi(x)Y (jc -jcť )(£,■(*))z, kde l(x) = nľ=i(x — x')- Tyto polynomy splňují: h](Xj) 1 pro i = j 0 pro i ŕ j h2(xj) 0 0 a proto je Hermiteův interpolační polynom dán výrazem k fix) = YJ{yih]{xi) + ih^xd) . i=\ C [0, 1) 226 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO 5. 5a 5.6 5.8. Příklady Hermiteových polynomů. Úplně nejjedno-dušší případ je zadání hodnoty a derivace v jediném bodě. Tím určíme beze zbytku polynom stupně jedna f(x) = f(x0) + f'(x0)(x - x0) tj. právě rovnici přímky zadané hodnotou a směrnicí v bodě x0. Když zadáme hodnotu a derivaci ve dvou bodech, tj. y0 = /(*o), y0 = f'(xo), yi = f(x\), ii = f'(x\) pro dva různé body Xi, dostaneme ještě pořád snadno počítatelný problém. Ukažme si jej ve zjednodušeném provedení, kdy x0 = 0, x\ = 1. Pak matice systému a její inverze budou /o 0 0 l\ 1111 0 0 10 \3 2 1 0/ / 2 -2 1 1 \ -3 3 -2 -1 0 0 10 y i o o o / zjevně konvergují po řadě k hodnotám a, 1. Snadno jsme tak ukázali, že množina hromadných bodů obsahuje interval [0, 1]. Jiné hromadné body neexistují: pro jakékoli b <£ [0, 1] existuje 8 > 0 takové, že Os (b) n [0, 1] = 0 (pro b < 0 postačuje položit 8 = —b a pro b > 1 potom 8 = b — 1). Protože každý bod intervalu [0, 1) je hromadným bodem, množina izolovaných bodů je prázdná. Pro a e (0, 1) označme menší z kladných čísel a, 1 — a jako 8a. Uvážíme-li Ok (a) = (a-8a, a+8a) c (0, 1), a e (0, 1), vidíme, že libovolný bod intervalu (0, 1) je vnitřním bodem intervalu [0, 1). Pro každé 8 e (0, 1) je Os (0) n [0, 1) Os (i) n [0, i) (-8, 8)f)[0, 1) = [0,8), (1-8, 1+8) n [0, 1) = (1 8,1), Přímým vynásobením A ■ (y0, yi, %, y[ )T pak vyjde vektor koeficientů (a3, a2, a\, a0)T polynomu /, tj. tj. každé á-okolí bodu 0 obsahuje jisté body intervalu [0, 1) a hodnoty z intervalu (—8,0) a každé á-okolí bodu 1 má neprázdný průnik f(x) = (2y0 - 2yi + y'{) + y[)x3 + (-3y0 + 3yi - 2y'{) — y[)x2s intervaly [0, 1), [1, 1 + 8). Body 0 a 1 jsou tedy hraničními body. + yí)X + y0. 5.9. Interpolace splajny. Obdobně můžeme předepisovat libovolný konečný počet derivací v jednotli-Žfo vých bodech a vhodnou volbou stupně polynomu obdržíme vždy jednoznačné interpolace. Nebudeme zde uvádět podrobnosti. Bohužel, u všech těchto interpolací pořád zůstávají problémy zmíněné už v případě jednoduchých interpolací hodnot - složitost výpočtů a nestabilita. Použití derivací však podbízí jednoduché vylepšení metodiky: Jak jsme viděli na obrázcích demonstrujících nestabilitu interpolace jedním polynomem dostatečně vysokého stupně, malé lokální změny hodnot zapříčiňovaly dramatické celkové změny chování výsledného polynomu. Nabízí se tedy využití malých polynomiálních kousků nízkých stupňů, které ale musíme umět rozumně navazovat. Nejjednodušší je propojení vždy dvou sousedních bodů lineárním polynomem. Tak se nejčastěji zobrazují data. Z pohledu derivací to znamená, že budou na jednotlivých úsecích konstantní a pak se skokem změní. O něco sofistikovanější možností je předepsat v každém bodě hodnotu a derivaci, tj. pro dva body budeme mít 4 hodnoty a jednoznačně tím určíme Hermiteův polynom 3. stupně, viz výše. Tento polynom pak můžeme použít pro všechny hodnoty nezávislé proměnné mezi krajními hodnotami xq < x\. Hovoříme o intervalu [xq,x\\. Takové polynomiální přiblížení po kouskách už bude mít tu vlastnost, že první derivace na sebe budou navazovat. V praxi ale není pouhé navazování první derivace dostatečné a navíc při naměřených datech nemíváme hodnoty derivací k dispozici. Přímo se proto vnucuje pokus využívat pouze zadané hodnoty ve dvou sousedních bodech, ale Celkem jsme zjistili, že množina všech vnitřních bodů odpovídá intervalu (0, 1) a množina hraničních bodů je {0, 1}. Stačí si uvědomit, že bod nemůže být současně vnitřní a hraniční a že hraniční bod musí být izolovaný, nebo hromadný. □ Více příkladů k danému tématu najdete na straně 282 C. Limity V následujících příkladech se budeme zabývat výpočtem limit posloupností, tedy tím, jak posloupnosti „vypadají v nekonečnu". Tj. pokud bychom chtěli předepsat n-tý člen posloupnosti pro hodně velké n, tak nám jej limita posloupnosti (pokud existuje) velmi dobře přiblíží. Limitám posloupností a posléze funkcí věnujeme v příkladovém sloupci hodně prostoru, proto s nimi začínáme dříve (a končíme později), než ve sloupci teorie. Začněme s limitami posloupností. Potřebné definice nalezne čtenář na straně 232. 5.13. Spočítejte následující limity posloupností: 2«2+3« + l n + l 2«2+3« + l i) lim ii) lim q 2_i_ _i_ i , iii) lim , 2ny}^ , ' „^oo 2«2+3« + l 2"-2" iv) lim„ v) lim -oo 2" +2-" ' v/4n2+n vi) lim \JAn1 + n — 2n. r7=>00 Řešení. 227 C. LIMITY 2. REÁLNÁ ČÍSLA A LIMITNÍ PROCESY i) lim 2«2+3« + l « + 1 lim 2« +3+1 1 ii) lim 2" +3"+1 : iii) lim , „^oo 2«2+3« + l n^-oc 1 + = lim ^ n^>co 3+ lim 1+i 2«+3+l OO. iv) lim 2" - 2~" 2" + 2_" lim IL _ i ■1 — +1 2-n i 1 v) Podle věty o třech limitách (5.20): Vn e N : < z+« /4«2+« + T hm *±i -. Dále pak lim 2. Tedy i lim ÍÄÍ? t >/4«2+« + 4- lim ^ = 2, lim *-^ V4^ Vi) lim \/4«2 + n — 2n lim Í7^*00 (V4«2 + n - 2n)(j4n2 +n + 2n) V4«2 + n + 2n n lim —r_ 1 lim - _ + 2 1 4 □ 5.14. Buď c e M+ (kladné reálné číslo). Ukážeme, že lim = 1. Í7^*00 Řešení. Uvažme nejprve c > 1. Vzhledem k tomu, že funkce ^ je vzhledem k n klesající a její hodnoty jsou stále větší než 1, tak musí mít posloupnost Zfc~ limitu a tou je infimum jejich členů. Předpokládejme, že by tato limita byla větší než 1, řekněme 1 + s, kde s > 0. Pak by podle definice limity byly všechny hodnoty dané posloupnosti od 2 2 jistého m menší než 1 + s + t.j. zejména %fc < 1 + s + Potom by však c < ,/l + e + 1 + 2<1 + £' což je spor s tím, že 1 + s je infimem dané posloupnosti. □ 5.15. Stanovte lim ýíi. Řešení. Zřejmě je > í, n e N. Můžeme tedy položit tfň = 1 + a„ pro jistá čísla a„ > 0, n e N. Užitím binomické věty získáváme n = (1 + an)n = 1 + Qo„ + Qfl2 + ••• + <, n > 2 (n e N). Odsud plyne odhad (všechna čísla an jsou nezáporná) /«\ t « (« — 1) t požadovat zároveň rovnost prvních i druhých derivací u sousedních kousků polynomů třetího stupně. To totiž bude znamenat stejné množství rovnic a neznámých a pravděpodobně tedy i obdobnou praktickou řešitelnost problému: | Kubické splajny j i Nechť x0 < x\ < • • • < xn jsou reálné hodnoty, ve kte- I rých jsou zadány požadované hodnoty yo, . . . , yn. Kubickým interpolačním splajnem pro toto zadání je funkce S : M -» M, která splňuje následující podmínky: • zúžení 5 na interval [x;_i, x;] je polynom 5; nejvýše třetího stupně, i = \, ... ,n • Si(xi-i) = y;_i a S;(x;) = y;- pro všechny i = 1, ...n, St (xí) = Si+l (xí) pro všechny i --S-' (xí) = S-'+l (xí) pro všechny i 1, ...,n -: 1, ...,n 1, 1. i Kubický splajn1 pro n + 1 bodů sestává z n kubických polynomů, tj. máme k dispozici 4n volných parametrů (první definiční podmínka). Další podmínky přitom zadávají 2n + (n — 1) + (n — 1) rovností, tj. dva parametry zůstávají volné. Při praktickém použití se dodávají předpisy pro derivace v krajních bodech, tzv. úplný splajn, nebojsou tyto zadány jako nula, tzv. přirozený splajn. Výpočet celého splajnu už není bohužel tak jednoduchý jako u nezávislých výpočtů Hermitéových polynomů třetího stupně, protože data se prolínají vždy mezi sousedními intervaly. Při vhodném uspořádání se však dosáhne matice systému, která má nenulové prvky prakticky jen ve třech diagonálách, a pro takové existují vhodné numerické postupy, které umožní splajn počítat také v čase úměrném počtu bodů. Pro srovnání se podívejme na interpolaci stejných dat jako v případě Lagrangeova polynomu, nyní pomocí splajnů: 2. Reálná čísla a limitní procesy Je důležité mít dostatečně velkou zásobu funkcí, se kterými bude možné možné vyjadřovat všechny běžné závislosti, zároveň ale musí být výběr šikovně omezen, abychom uměli vybudovat nějaké univerzální a hlavně účinné nástroje pro práci s nimi. Ve skutečnosti se budeme muset hned z Ošklivé české slovo „splajn" vzniklo fonetickým přepisem anglického ekvivalentu „spline", který znamenal tvárné pravítko užívané inženýry pro kreslení křivek. 228 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO kraje soustředit na to, jak vůbec hodnoty funkcí definovat, když pomocí konečně mnoha násobení a sčítání dostáváme jen polynomy a navíc skutečně počítat umíme jen s čísly racionálními. S těmi ale nevystačíme ani při počítání odmocnin, protože už -v/2 racionální číslo není. Prvním naším krokem tedy musí být pořádné zavedení tzv. limitních procesů, tj. dáme přesný obsah tvrzením, že se nějaké hodnoty blíží jejich hodnotě limitní. Všimněme si také, že výraznou vlastností polynomů je jejich „spojitá" závislost hodnot na nezávislé proměnné. Intuitivně řečeno, když dostatečně málo změníme x, určitě se nám moc nezmění ani hodnota f(x). Takové chování naopak nemáme u po částech konstantních funkcí / : M -» M v okolí „skoků". Např. u tzv. Heavisideovy funkce tj. po úpravě máme 0 2(n e N). 0 = lim 0 < lim an < lim 0. n^>co n^>co n^>co y fi — 1 Obdrželi jsme tak výsledek lim 7« = lim (1 + a„) = 1 + 0 = 1. Poznamenejme, že další užití Věty o třech limitách mj. dává 1 = lim 1 < lim 1. □ 0 pro všechny x < 0 1 /2 pro x = 0 1 pro všechny x > 0 taková „nespojitost" nastane pro x = 0. Začneme formalizací takovýchto intuitivních výroků. 5.16. Nyní přejděme k určování limit funkcí. Definice viz strana 238. Určete (a) (b) (c) (d) lim sin x; X^-JT/3 lim X + X 2 x2 - 3x + 2 lim arccos- X^+QO V, X + 1 5.10. Reálná čísla. Prozatím jsme docela dobře vystačili s i' ,. algebraickými vlastnostmi reálných čísel, které říkaly, že M je pole. Už jsme ale používali i relaci uspořádání reálných čísel, kterou značíme „<" (viz odsta-fí1 vec 1.38). Vlastnosti (axiomy) reálných čísel, včetně souvislostí uspořádání a ostatních relací, jsou srhnuty v následující tabulce. Dělící čáry naznačují, jak axiomy postupně zaručují, že jsou reálná čísla komutativní grupou vůči sčítání, že M \ {0} je komutativní grupa vůči násobení, M je pole, množina M spolu s operacemi +, • a s relací uspořádání je tzv. uspořádané pole a konečně poslednímu axiomu můžeme rozumět tak, že M je „dostatečně husté", tj. nechybí nám tam body, jako např. chybí V2 v číslech racionálních. ' Axiomy reálných čísel lim arctg —, lim arctg x , lim arctg (sin x) . Řešení. Případ (a). Připomeňme, že funkce je spojitá v jistém bodě, když je v tomto bodě její limita rovna funkční hodnotě. O funkci y = sinx však víme, že je spojitá na M. Dostáváme tak 7T V3 ~2~" Případ (b). Přímé dosazení x = 2 dává nulový čitatel i jmenovatel. Přesto je příklad velmi snadno řešitelný. Jednoduché krácení lim sin x = sin ■ X^7l/3 3 lim X + X (x-2)(x + 3) x + 3 2 + 3 c lim -;-— = lim-- = ~-- = 5 ►2 x2 - 3x + 2 x^2 (x - 2) (x - 1) x^2X -1 2-1 totiž vedlo ke správnému výsledku (díky spojitosti obdržené funkce v bodě x0 = 2). Uvědomme si zde, že limitu můžeme počítat pouze z funkčních hodnot v libovolně malém okolí daného bodu x0 a že přitom limita nezávisí na hodnotě přímo v tomto bodě. Při počítání limit tedy můžeme využívat krácení a rozšiřování výrazů, které nemění hodnoty uvažované funkce v libovolně zvoleném ryzím okolí bodu x0. 229 C. LIMITY 2. REÁLNÁ ČÍSLA A LIMITNÍ PROCESY Případ (c). Dvojnásobná záměna pořadí limity a vnější funkce převádí původní limitu na 1 arccos lim Lehce určíme, že lim y+oo x + 1 1 0. ►+oo X + 1 Neboť je funkce y = arccos x spojitá v bodě 0, ve kterém nabývá hodnoty jt/2, a funkce y = x3 je spojitá v bodě jt/2, platí 3 / / 1 \ \ 3 lim (arccos- | = (arccos ( lim - ) ) = (—\ x^+cx) V X + lJ V \x^+ocx + l)) \2) Případ (d). Funkce y = arctg x má vlastnosti „užitečné při počítání limit" - je spojitá a prostá (rostoucí) na celé reálné ose. Tyto vlastnosti vždy (bez dalších podmínek či omezení) umožňují vnořit vyšetřovanou limitu do argumentu takové reálné funkce. Proto uvažujme l arctg ( lim — j , arctg ( lim x arctg I lim sinx t+* — oo x 1 \X+*—OO I Zřejmě je 1 . lim — = 0, lim x = +oo x^> — ocx x^y—oo a limita lim^-oo sinx neexistuje, což již implikuje 4 1 4 7t lim arctg — = arctg 0 = 0, lim arctg x = lim arctg y = — —> —oo x x^y—oo ;y+*+oo 2 a neexistenci poslední limity. □ 5.17. Určete limitu nm (y/i.yi.yi... X/2). «+*oo \ / Řešení. Ke stanovení limity postačuje její členy vyjádřit ve tvaru 22 • 2? • 2s • • • 22* = 22+?+5+'"+2^. Dostáváme tak lim (V2 ■ 1/2.^/2 ■■■ X/2) = lim 2 1 + 1 + 1+... + _L 2+4 + 8+ +2" ,Amoo(j + ? + Š+-+*) E 2"=i Ze známého vzorce pro součet geometrické řady 00 /1 \ n 00 1 /i\0 EÍÍ) =2- ''■ EÍ = E^ -(^ =2-1 = 1. «=o x ' plyne výsledek 2" t—1 V 2 / V 2 « —1 «—0 lim (V2.^2.^2...272)=21=2. (Rl (R2 (R3 (R4 (R5 (R6 (R7 (R8 (R9 (RIO (Rll (R12 (R13 (a + b) + c = a + (b + c), pro všechny a,b,c e a + b = b + a, pro všechny a, b e M existuje prvek 0 e M takový, že pro všechny a e platí a + 0 = a pro všechny a e M existuje opačný prvek (—a) e takový, že platí a + (—a) = 0 a ■ b) ■ c = a ■ (b ■ c), pro všechny fl.ft.cel a ■ b = b ■ a pro všechny a, b e M existuje prvek 1 e M takový, že pro všechny a e M platí 1 • a = a pro každý a e M, a ^ 0 existuje inverzní prvek a-1 e M takový, že platí a • a~l = 1 a • (b + c) b + a ■ c, pro všechny a, b, c e relace < je úplné uspořádání, tj. reflexivní, antisy-metrická, tranzitivní a úplná relace na M pro všechny a,b, c e M platí, že z a < b vyplývá také a + c < b + c pro všechny a, b e M, a > 0, b > 0, platí také a • ŕ > 0 každá neprázdná ohraničená množina A c supremum. ma i Pojem supremum musíme ale také zavést pořádně. Má smysl pro každou uspořádanou množinu, tj. množinu s pevně zadanou relací uspořádání, a budeme se s ním takto i později setkávat ve více algebraických souvislostech. Připomeňme, že v obecné úrovni je uspořádáním jakákoliv binární relace na množině, která má vlastnosti reflexivity, antisymetrie a tranzitivity, viz odstavec 1.38. | Supremum a infimum [ Definice. Uvažme podmnožinu A c S v uspořádané množině B. Horní závorou množiny A je každý prvek b e B, pro který platí, ze b > a pro všechny a e A. Obdobně definujeme dolní závory množiny A jako prvky b e A takové, zeb < a pro všechny a e A. Nejmenší horní závora podmnožiny A, pokud existuje, se nazývá supremum této podmnožiny a značíme ji sup A. Obdobně, největší dolní závora, pokud existuje, se nazývá infimum, píšeme inf A. i □ Posledním axiomem v naší tabulce vlastností reálných čísel tedy předpokládáme, že pro každou množinu reálných čísel A platí, že pokud existuje nějaké číslo a větší nebo rovno než všechna x e A, pak existuje také nejmenší takové číslo a. Např. volbou A = {x e Q, x2 < 2} dosteneme jako supremum sup A právě a/2- Okamžitým důsledkem je také existence infim pro každou zdola ohraničenou množinu reálných čísel (stačí si všimnout, že obrácením znaménka všech čísel zaměníme suprema a infima). 230 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO Pro formální výstavbu další teorie ale potřebujeme vědět, zda námi požadované vlastnosti reálných čísel lze realizovat, tj. zda existuje taková množina R s operacemi a relací uspořádání, které všech třináct axiomů skutečně splňují. Zatím jsem zkonstruovali korektně jen čísla racionální, která tvoří uspořádané pole, tj. splňují axiomy (Rl) - (R12), což si čtenář jistě snadno ověří. Ve skutečnosti lze reálná čísla nejen zkonstruovat, ale také lze ukázat, že až na izomorfismus to jde jediným způsobem. Pro naši potřebu vystačíme s intuitivní představou reálné přímky. Jednoznačnost proto nebudeme diskutovat vůbec a existenci jen naznačíme v dalších odstavcích. 5.11. Komplexní rovina. Připomeňme, že komplexní čísla jsou dána jako dvojice reálných čísel, které jsme zvyklí zapisovat jako z = rez + i imz. Dobrou představou o komplexních číslech je proto rovina C = R2. Se sčítáním a násobením splňuje pole komplexních čísel axiomy (R1)-(R9), není na nich ale žádným rozumným způsobem definováno uspořádání, které by naplnilo axiomy (R10)-R(13). Nicméně s nimi budeme také pracovat a již dříve jsme viděli, že rozšíření skalárů na komplexní čísla je často pro výpočty mimořádně užitečné. Důležitou operací na komplexních čísel je tzv. konjugace. Je to zrcadlení podle přímky reálných čísel, tj. obrácení znaménka u imaginární složky. Značíme ji pruhem nad daným číslem z, e C, ž = rez - i inu. Protože je pro z = x + iy z- z = (x + iy)(x - iy) = x2 + y2, zadává nám tento výraz právě kvadrát vzdálenosti komplexního čísla od nuly. Odmocnině z tohoto reálného nezáporného čísla říkáme absolutní hodnota komplexního čísla z, píšeme (5.3) z -z Absolutní hodnotu máme definovánu také na každém uspořádaném poli skalárů, prostě definujeme absolutní hodnotu \a\ takto Ia je-li a > 0 —a je-li a < 0. Samozřejmě platí pro každá dvě čísla a, b e K (5.4) \a+b\ < \a\ + \b\. Této vlastnosti říkáme trojúhelníková nerovnost a splňuje ji také absolutní hodnota komplexních čísel definovaná výše. Zejména pro pole racionálních a reálných čísel, která jsou podmonožinami v komplexní rovině zjevně obě definice absolutní hodnoty splývají. 5.18. Určete limitu Řešení. 1 — COS x lim 1 — cos x lim ►o x2 sin(x2) lim •o x2 sin(x2) 2sin2(f) _ ►o x2 sin(x2) h sin2 (f) lim -2-—^- = (§) siníx2) l/ sin(f)\2 - lim —I • lim 2 \*->o 1 1 oo = oo. 2 j ~ >o sin2(x2) 2 Předchozí výpočet je nutné chápat „odzadu". Protože existují limity na pravé straně (ať už vlastní či nevlastní) a výraz | • oo má smysl (viz Poznámka za větou (5.21)), existuje i původní limita. Kdybychom původní limitu rozdělili na součin limit 1 lim (1 — cos x • lim x^o x^o x1 sin(x2) , jednalo by se o součin typu 0 • oo, tedy nedefinovaný výraz, ale tento fakt nevypovídá nic o exitenci původní limity. □ 5.19. Určete následující limity: i) lim x — 2 ii) iii) iv) Řešení. i) x — 2 lim , = lim 2 Vx2^' sin (sin x) lim x^o x lim sin (x) x^o x lim e~> x^o x — 2 Vx - 2 0 lim = - = 0. >2 ^/x2 _ 4 x^2 J{x - 2)(x +2) x^2 Vx + 2 4 ii) x-2 (5.26).. siny lim —. = lim- = 1, iii) >2 Vx2 - 4 y^o y kde isme využili toho, že lim sin x = 0. x^o sin (x) smx lim -= lim sin(x) • lim-=0-1=0, x^0 x x^0 x^0 x opět původní limita existuje, protože existují obě limity na pravé straně rovnosti a jejich součin je definován. 231 C. LIMITY 2. REÁLNÁ ČÍSLA A LIMITNÍ PROCESY iv) Při výpočtu této limity musíme být obezřetní, protože 6bě3 jednostranné limity v bodě nula existují, jejich hodnoty se však liší, zkoumaná limita tedy neexistuje: lim e* = e x^0+ lim. OO, lim ex = e lim. □ 5.20. Určete (a) (b) (c) (d) lim lim x +2 2 (x - 2)6' x +2 2 (x - 2)5' lim 2 + - x^+oo \ x lim x x^+oo Řešení. V tomto příkladu se budeme věnovat tzv. neurčitým výrazům. Přesněji řečeno, budeme se zabývat situacemi, kdy se o ně nejedná. Čtenáři doporučujeme, aby neurčité výrazy vnímal jako pojem pomocný, který mu má pouze usnadnit orientování se při prvním počítání limit, neboť obdržený neurčitý výraz pouze znamená, že jsme „nic nezjistili". Víme, že limita součtuje součet limit, limita součinu je součin limit a že limita podílu je podíl limit, pokud jednotlivé limity existují a nezískáme-li některý z výrazů oo — oo, 0 • oo, 0/0, oo/oo, o kterých právě hovoříme jako o neurčitých. Pro úplnost dodejme, že tato pravidla můžeme kombinovat (pro limity všech složek určené současně) a že za neurčitý výraz pak považujeme také ten, jenž obsahuje alespoň jeden neurčitý výraz. Např. tedy výrazy -oo oo 0 oo' 5.12. Konvergence posloupností. V dalších odstavcích budeme pracovat s některým z číslených oborů K M/ racionálních, reálných nebo komplexních čísel. V tomto kontextu je tedy třeba chápat absolutní hodnotu a skutečnost, že ve všech případech platí trojúhelníková nerovnost. j Cauchyovské posloupnosti [ Uvažme libovolnou posloupnost čísel a0, a\, ... v K takovou, že pro libolné pevně zvolené kladné číslo e > 0 platí pro všechny dvojice prvků at, a j posloupnosti, až na konečně mnoho výjimek (které závisí na volbě e), < e. Jinak řečeno, pro každé pevné e > 0 existuje index N takový, že předcházející nerovnost platí pro všechna i, j > N. Takové posloupnosti prvků se říká Cauchyovská posloupnost. 1 Intuitivně jistě cítíme, že buď jsou v takové posloupnosti všechny prvky stejné až na konečně mnoho z nich (pak bude od určitého indexu N počínaje vždy \at — a j 0) nebo se taková posloupnost „hromadí" k nějaké hodnotě. Dobře je to představitelné v komplexní rovině: ať vybereme jakkoliv malý kruh (o poloměru e), tak se nám jej u Cauchyovské posloupnosti vždy musí podařit položit do komplexní roviny tak, že zakryje všechny body nekonečné posloupnosti at, až na konečně mnoho z nich. Můžeme si pak představit, že postupným zmenšováním se kruh smrští až do jediné hodnoty a. Pokud by taková hodnota a e K pro Cauchyovskou posloupnost skutečně existovala, očekávali bychom od ní patrně následující vlastnost konvergence: | Konvergující posloupnost j. Jestliže pro posloupnost čísel a0, a\, • • • e K, pevně zvolené číslo a e K a pro libovolné kladné reálné číslo e platí pro všechny i, až na konečně mnoho výjimek (závisejících na volbě e), \cii — a\ < e, říkáme, že posloupnost a,■, i = 0,1,..., konverguje k hodnotě a. Číslu a také říkáme limita posloupnosti at, i 0, 1,.... -oo+oo = oo—oo, 3 + oo označujeme jako neurčité a o výrazech 0 (—oo)3 + oo 0-(oo — oo)~ i -oo — oo, 0 (-oo)3 oo 3 + oo můžeme říci, že jsou „určité" (pro ně jsme schopni ihned příslušnou limitu stanovit - výrazy odpovídají po řadě hodnotám —oo, 0, 0). V případě (a) podíl limit čitatele a jmenovatele dává výraz 4/0. Zápis, ve kterém dělíme nulou, je sám o sobě přinejmenším nežádoucí (později bychom se mu měli být schopni vyvarovat). Přesto nám Jestliže nějaká posloupnost a,■ N dostáváme \ai—aj\ = \a.i —aN +aN —aj\ < — aN\ + \aN — aj\ <2e. Dokázali jsme tedy: Lemma. Každá konvergující posloupnost čísel je Cauchyovská. 232 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO citace nějakého zdroje, případně alternativní možnosti zavedení reálných čísel V poli racionálních čísel se ovšem může snadno stát, že pro Cauchyovské posloupnosti příslušná hodnota a neexistuje. Např. číslo V2 můžeme libovolně přesně přiblížit racionálními čísly cit, dostaneme tedy konvergentní posloupnost s limitou V2, ale samotná limita již není racionální. Uspořádaná pole skalárů, ve kterém všechny Caychyov-ské posloupnosti konvergují, se nazývají úplná. Následující tvrzení říká, že axiom (R13) takové chování reálných čísel zaručuje: Věta. Každá Cauchyovská posloupnost reálných čísel at konverguje k reálné hodnotě ael. Důkaz. Každá Cauchyovská posloupnost je zjevně ohraničená množina, protože pro libovolnou volbu e ohraničíme všechny členy posloupnosti až na •\^ľ~* .: konečně mnoho z nich. Definujme si množinu B všech reálných čísel x, pro které platí x < aj pro všechny prvky a j posloupnosti, až na konečně mnoho z nich. Zřejmě má B horní závoru, tudíž podle axiomu (R13) má i supremum. Definujme a = sup B. Nyní pro nějaké pevně zvolené e > 0 zvolme N takové, aby \at — cij\ < e pro všechny i, j > N. Zejména tedy a j > aN — e a a j < aN + e pro všechny indexy j > N, takže aN — e patří do B, zatímco aN +e už nikoliv. Souhrnně z toho dostáváme, že \a — aN | < e, a proto také \a — aj\ < \a — aN \ + \aN — aj\ < 2e pro všechny j > N. To ale značí právě, že a je limitou uvažované posloupnosti. □ Důsledek. Každá Cauchyovská posloupnost komplexních čísel Zi konverguje k nějakému komplexnímu číslu z- Důkaz. Pišme zi = a{ + ibi. Protože je \at — aj\2 < \zí — Zj\2 a podobně i pro hodnoty bi, jsou obě posloupnosti reálných čísel at a b{ Cauchyovské. Existují tedy jejich limity a resp. b a snadno ověříme, že z = a + i b je limitou pro posloupnost z,i ■ □ 5.13. Poznámka. Předchozí diskuse nám dává návod na jeden z možných postupů, jak korektně vybudovat reálná čísla. Postupujeme podobně jako při zúplňování přirozených čísel na celá (abychom přidali opačné hodnoty) a celých na racionální (abychom přidali podíly nenulových čísel). Tentokrát k racionálním číslům „přidáme" limity všech Cauchyovských posloupností. Skutečně se podbízí zavést vhodně relaci ekvivalence na množině všech Cauchyovských posloupností racionálních čísel tak, že dvě Cauchyovské posloupnosti jsou ekvivalentní, když jejich sloučením do jediné posloupnosti (např. tak, že první posloupnost bude představovat liché, zatímco druhá sudé členy výsledné posloupnosti) obdržíme opět posloupnost Cauchyovskou. Nebudeme zde podrobně ověřovat, že jde o ekvivalenci, ani zavádět operace násobení a sčítání, ani dokazovat, že všechny požadované axiomy skutečně dojdou umožní stanovit výsledek: nejedná se o neurčitý výraz. Všimněme si, že jmenovatel se blíží k nule zprava (pro x 7^ 2 je (x — 2)6 > 0). To zapisujeme jako 4/ + 0. Čitatel a jmenovatel tak mají stejné znaménko v jistém ryzím okolí bodu xq = 2 a lze říci, že jmenovatel je v limitě „nekonečněkrát menší" než čitatel, tj. x + 2 lim +00, - >2 (x - 2)6 což odpovídá položení 4/ + 0 = +00 (podobně se klade 4/ — 0 = — 00). Při určování druhé limity lze postupovat analogicky. Protože čísla flEKaa5 mají stejná znaménka, dostáváme x + 2 x + 2 lim +00 7^ —00 lim - >T+ (x - 2)5 '"~->- "~ x^2_ (x _ 2)5' tj. oboustranná limita neexistuje. Tomu odpovídá zápis 4/ ± 0 (nebo obecnější a/ ±0, a 7^ 0, a e M*), který je „určitým výrazem". Při důsledném oddělování symbolů +0 a —0 od ±0 vždy a/±0 pro a 7^ 0 znamená, že limita neexistuje. Případy (c), (d). Je-li f(x) > 0 pro všechna uvažovaná x e M, platí f(x)g{x) = eHf(x)s(x)) = es(*Hn/M_ Využijeme-li toho, že exponenciální funkce je spojitá a prostá na reálné přímce, můžeme nahradit limitu za lim f{x) x—>xq lim (g(x)-hi f(x)) Připomeňme, že jedna z těchto limit existuje právě tehdy, když existuje druhá; a doplňme x—>xq x—>xq x—>xq Můžeme tudíž psát = a s R = lim fix)g(x) = ď, ) = +00 = lim fix)g{x) = +00 ) = —00 = lim fix)g{x) = 0. lim fix) x—>xq g(x) lim g(x)- lim ln f(x) X—^A'Q X—^A'Q jestliže obě limity vpravo existují a neobdržíme-li neurčitý výraz 0 • 00. Není obtížné si uvědomit, že tento neurčitý výraz lze získat pouze ve třech případech odpovídajících zbylým neurčitým výrazům 0°; oo°; I00, kdy postupně je lim fix) =0 a lim fix) = +00 a lim fix) = 1 a x^-xq lim gix) = 0; x^xq lim gix) = 0; x^xq lim g(x) = ±00. x^-xq 233 C. LIMITY 2. REÁLNÁ ČÍSLA A LIMITNÍ PROCESY V ostatních případech nám tedy znalost (a pochopitelně existence) limit lim f{x), x—>xq lim gix) x—>xq 5.9 umožňuje uvést výsledek (při dodefinování některých zápisů) lim fixy(x) = (lim /(jc)V~ x^xq \ x^xq i lim g(x) "0 Protože lim 2 + lim — x^+oo x lim x = +oo, x^>+oc je lim 2 + - x^+oo \ x 2° = 1; lim x x^>+oc lim x^+oo \ x nebo 0 lim x x = lim (xx) = 0. Poslední výsledek pak bychom mohli vyjádřit zápisem 0°° či oo°° = oo, oo-1 = 0 (zdůrazněme, že se nejedná o neurčité výrazy). Přestože jsme kladli důraz na to, aby čtenář raději upřednostňoval úvahy o limitním chování funkcí před škatulkováním výrazů na určité a neurčité (a tyto pojmy vnímal jen jako pomocné), je snad dobře patrný důvod, proč se budeme nadále zabývat především neurčitými výrazy. □ 5.21. Vypočítejte lim siní + Ttx +°o 2 cos x — 1 — x2 y+l +x5 _4x lim lim -+oo y + 2X + x2 ' 4X - 8x6 - 2X - 167 lim x^>+oc Ix — sin x + x arctgx Vl + 2x + x2 Řešení. Vydělíme-li v případě první z limit čitatele i jmenovatele polynomem x2, obdržíme sinx + jtxz lim x^+oo 2 cos x — 1 — X2 2 5!IL£ +7T lim Ohraničenost výrazů | sin x | < 1, | 2 cos x — 1 | < 3 pro x e naplnění. Není to ale složité počínání. Složitější ambicí je dokázat, že axiomy (R1)-(R13) definují reálné čísla v jistém smyslu jednoznačně. 5.14. Otevřené a uzavřené množiny. Pro další práci s reálnými nebo komplexními čísly budeme potřebovat podrobnější pochopení pojmů jako blízkost, omezenost, konvergence apod. j Hromadné body množiny j. Uvažme jakoukoliv množinu A bodů v K a předpokládejme, že posloupnost a0, a\, ... je vybraná z prvků A. Pokud konverguje k hodnotě a e K a navíc je nekonečně mnoho bodů út; e A různých od a, nazýváme a hromadný bod množiny A. Hromadné body podmnožiny A racionálních, reálných nebo komplexních čísel jsou tedy ta čísla, která jsou limitami posloupností čísel z A. Všimněme si, že hromadný bod množiny do ní nemusí patřit. j Uzavřené množiny j. f Uzavřená podmnožina v K je taková, která obsahuje i I všechny své hromadné body. Typickou uzavřenou množinou je tzv. uzavřený interval [a, b] = {x e R, a < x < b} reálných čísel. Zde a je reálné číslo nebo hraniční hodnota chybí a píšeme a = — oo (mínus nekonečno) a podobně b > a je reálné číslo nebo +oo. ^ji Uzavřené množiny jsou tedy ty, které v sobě mají i vše, k čemu umí „dokonvergovat". Uzavřenou množinu bude tvořit např. posloupnost reálných čísel bez hromadného bodu nebo posloupnost s konečným počtem hromadných bodů spolu s těmito body. Uzavřený je také např. jednotkový kruh v rovině komplexních čísel včetně hraniční kružnice. Snadno ověříme, že libovolný průnik a libovolné konečné sjednocení uzavřených množin opět uzavřená množina. Skutečně, pokud všechny body nějaké posloupnosti patří do průniku našeho systému množin, pak jistě patří do každé z nich a proto do každé z nich patří i všechny hromadné body. Pokud bychom ale chtěli totéž říci o obecném sjednocení systému množin A;, pak bychom neuspěli, protože např. jednobodové množiny jsou zjevně uzavřené, ale z nich utvořená posloupnost bodů už uzavřená nebývá. Pokud ale jde o konečné sjednocení množin a hromadný bod nějaké posloupnosti ležící v tomto sjednocení, pak takový hromadný bod musí být hromadným bodem i vybrané podposloupnosti, která ale už bude celá v jedné z našich množin. Každá je ale uzavřená, takže i hromadný bod do ní a tedy i celého sjednocení patří. -| Otevřené množiny a okolí bodů j_ J Otevřená množina v K je taková množina, jejíž doplněk je uzavřenou množinou. 234 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO Okolím bodu a e K nazývame libovolnou otevřenou množinu O, která a obsahuje. Je-li okolí definované jako Os(a) = {x e K, \x - a\ < 8} pro kladné číslo 8, hovoříme o 8-okolí bodu a. 5. 9a Všimněme si, že pro libovolnou množinu A je a e K hromadným bodem A, právě když v libovolném okolí a leží také alespoň jeden bod b e A, b ^ a. Lemma. Množina čísel A C K je otevřená, právě když každý její bod a e A do ní patří i s nějakým svým okolím. Důkaz. Nechť je A otevřená a a e A. Kdyby neexistovalo žádné okolí bodu a uvnitř A, musela by existovat posloupnost an £ A, \a — an\ < l/n. Pak je ovšem a e A hromadným bodem množiny K \ A, což není možné, protože doplněk A je uzavřený. Naopak předpokládejme, že každé a e A leží v A i s nějakým svým okolím. To přirozeně zabraňuje, aby nějaký hromadný bod b pro množinu K\ A ležel v A. Je proto K\ A uzavřená a tedy je A otevřená. □ Z právě dokázaného lemmatu okamžitě vyplývá, že je libovolné sjednocení otevřených množin opět otevřenou množinou a že každý konečný průnik otevřených množin je opět otevřená množina. Typickou otevřenou množinou reálných čísel je otevřený interval (a,b) = {x e M, a < x < b}, kde pro hraniční hodnoty máme stejné možnosti jako výše. Jde o ohraničenou množinu právě, když jsou obě meze intervalu konečná čísla. V případě reálných čísel jsou á-okolí právě otevřené intervaly o délce 28 s a uprostřed. V komplexní rovině je 8-okolí kruh o poloměru 8 se středem v a. 5.15. Ohraničené a kompaktní množiny čísel. Uzvřené a otevřené množiny představují základní pojmy tzv. topologie. Aniž bychom zacházeli do hlubších podrobností a souvislostí, seznámili jsme se právě s topologií reálné přímky a topologií komplexní roviny. Velice užitečné budou i následující pojmy: I Ohraničené a kompaktní množiny Množina A racionálních, reálných nebo komplexních čísel se nazývá ohraničená, jestliže exituje kladné reálné číslo r takové, že |z| < r pro všechny čísla z e A. V opačném případě je neohraničená. Ohraničená a uzavřená množina se nazývá kompaktní. Uzavřené konečné intervaly reálných čísel jsou typickým příkladem množin kompaktních. Přidejme ještě několik topologických pojmů, které nám umožní účinné vyjadřování: Vnitřním bodem množiny A reálných nebo komplexních čísel nazveme takový bod, který do A patří i s nějakým svým okolím. ax2 ^ +oo pro x -» +oo pak dávají výsledek lim sin x . _ „ —t + n 0 + ix 1 0-1 2 cos x — 1 r2 -JX. V předešlé úvaze jsme vlastně použili Větu o třech limitách a zápis c/oo = 0 platný pro c e M (nebo přímo ohr./oo = 0, kde „ohr." značí ohraničenou funkci). Tento postup lze zobecnit. Pro limitu tvaru /iW + fi(x) + ••• + /„ (x) lim pncemz >xo 8i(x) + giix) H----+ g„(x) fi(x) lim —— =0, i s {2, ..., m], x^xo fi (x) ,. giix) lim 0, ie{2.....n}, platí lim x^xo gi (x) /iW + fi(x) + ••• + /„ (x) lim fi(x) >*0 gi (X) +g2(x)-\----+ gn (X) x^*0 gi (X) pokud limita na pravé straně existuje. Je přitom výhodné si uvědomit (třetí z limit lze určit např. pomocí 1'Hospitalova pravidla, se kterým se seznámíme později), že c jc^ jc^ cv^ lim — = 0, lim — = 0, lim — = 0, lim — = 0 jc=>+oo xf x^+ao %P jc=>+oo qx x^+ao bx pro cěR, 0 < a < f3, 1 < a < Odtud ihned plyne 1X+1 lim + x5 -4x +QO 3X ~\-2X + X2 X^+OO 3 4X - 8x6 - 2X - 167 3 • 3X lim —— = 3; lim ► +oo y _ 45x _ Jxixx+n Uvědomíme-li si, že je lim 7T llTT12 -OO. 77" lim arctgx = — > 1, x^+oo 2 stejně snadno dostaneme Jx — sin3 x + x arctg x lim - —- *^+°° Vl + 2x + x2 x arctg x ix lim -—— = lim arctgx = — □ 5.22. Určete limity lim 1 1 1 1 n-oo \ iT2 + 2^3 + 3~4 + " ' + („_!).„ 1 1 1 lim + + • • • + . "^°°\Vř22 + l V«2+2 Vn2 + n 235 C. LIMITY 2. REÁLNÁ ČÍSLA A LIMITNÍ PROCESY Řešení. Neboť pro každé přirozené číslo k > 2 je (provádíme tzv. rozklad na parciálni zlomky - budeme jej probírat u integrování racionálních lomených funkcí) 1 1 1 platí (k-l)k k-1 k 1 ,1 1 1 lim--1---1---1-----h ■ «-►00 \ 1-2 2-3 3-4 {n-X)-n ,111111 1 1\ / 1 lim !--- + -- - + -- - + ••• +-- - - I = lim n^oo v 1 2 2 3 3 4 n — 1 n Poznamenejme, že stanovení této limity je důležité: určuje součet jedné z tzv. teleskopických řad (se kterou pracoval již Johann I. Bernoulli). Ke stanovení druhé limity využijeme Větu o třech limitách. Odhady 1 1 V«2 + 1 Vři2 + n \Jn2 +n 1 1 1 1 1 +••• + : + ••• + ■ V«2 + 1 V«2 + n V«2 + 1 pro neN dávají n í 1 + ••• + Vři2 + n \Jn2 + n 1 n V«2 + i V«2 + i lim < lim V«2 + n n^°° Wrc2 + 1 Protože 1 \ n yjn2 + nj n^°° Vra2 + 1 lim n n n n —^=^= = lim —-= = 1, lim —-== = lim —-= V«2 + n n^°° VřT2 n^°° Vři2 + 1 n^°° Vn2 je rovnez lim 1 1 + V«2 + 1 V«2 + 2 + ••• + 1 Vři2 + n □ 5.23. Spočtěte (a) (b) (c) lim x^o vm7- vr lim cos x — siní >jt/4 cos (2jc) lim (Vx4 (V*2 + 2x + 3 - Vx2 + 2x +2)) . Řešení. Všechny uvedené limity vypočítáme pomocí vhodného rozšíření zadaného výrazu. V případě první limity vynásobíme čitatele i jmenovatele výrazem Vl +x + Vl - x Hraniční bodem množiny A rozumíme takový bod, jehož každé okolí má neprázdný průnik jak s A tak s doplňkem M \ A. Hraniční bod tedy může, ale nemusí patřit do samotné množiny A. Otevřené pokrytí množiny A je takový systém otevřených množin ř/í; i e /, že jejich sjednocení obsahuje celé A. Izolovaným bodem množiny A rozumíme bod a e A, který má okolí, jehož průnik s A je právě jednobodová množina {a}. 1. 1 Oř / 5.16. Věta. Pro podmnožiny A reálných čísel platí: (1) neprázdná množina A je otevřená, právě když je sjednocením nejvýše spočetného systému otevřených intervalů, (2) každý bod a e A je buď vnitřní nebo hraniční, (3) každý hraniční bod množiny A je buď izolovaným nebo hromadným bodem A, (4) A je kompaktní, právě když každá v ní obsažená nekonečná posloupnost má podposloupnost konvergující k bodu v A, (5) A je kompaktní, právě když každé její otevřené pokrytí obsahuje konečné pokrytí. Důkaz. (1) Zjevně je každá otevřená množina sjednocením nějakých okolí svých bodů, tj. otevřených intervalů. Jde tedy pouze o to, jestli nám jich vždy stačí spočetně mnoho. Zkusme tedy najít z£~*^^*-~~±^_„co největší" intervaly. Řekneme, že body e A jsou v relaci, jestliže celý otevřený interval (min{út, b}, max{út, b}) je podmnožinou v A. To je zjevně relace ekvivalence (otevřený interval (a, a) je prázdná množina a ta je podmnožinou, symetrie relace i tranzitivita jsou zřejmé). Třídy této ekvivalence budou zjevně intervaly, které budou navíc po dvou disjunktní. Každý z těchto intervalů jistě musí obsahovat nějaké racionální číslo a tyto musí být různé. Všech racionálních čísel je ale spočetně mnoho, proto máme tvrzení dokázané. (2) Přímo z definic vyplývá, že bod nemůže být vnitřní a hraniční zároveň. Nechť tedy a e A není vnitřní. Pak ovšem existuje posloupnost bodů a{ £ A s hromadným bodem a. Zároveň a patří do každého svého okolí. Proto je a hraniční. (3) Předpokládejme, že a e A je hraniční a není izolovaný. Pak stejně jako v argumentaci předchozího odstavce existují body at, tentokrát uvnitř A, jejichž hromadným bodem je a. (4) Předpokládejme, že je A kompaktní, tj. uzavřená a ohraničená, a uvažme nějakou nekonečnou posloupnost bodů a{ e A. Tato podmnožina má jistě supremum b i infi-mum a (nebo můžeme zvolit libovolnou horní a dolní závoru množiny A). Rozdělme nyní interval [a, b] přesně na dvě poloviny [a, j(b — a)] a [j(b — a), b]. V alespoň jedné z nich musí být nekonečně mnoho prvků a{. Vyberme takovou polovinu, jeden z prvků v ní obsažených a následně tento interval 236 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO opět rozdělme uvažovaný interval na poloviny. Znovu vybereme tu polovinu, kde je nekonečně mnoho prvků posloupnosti a vybereme si jeden z nich. Tímto způsobem dostaneme posloupnost, která bude Cauchyovská (dokažte si detailně -vyžaduje si jen pozorné hraní s odhady, podobně jako výše). O Cauchyovských posloupnostech ovšem už víme, že mají vždy hromadné body nebo jsou konstantní až na konečně mnoho výjimek. Existuje tedy podposloupnost s námi hledanou limitou. Z uzavřenosti A zase vyplývá, že námi nalezený bod musí opět ležet v A. Opačně, jestliže každá v A obsažená nekonečná podmnožina má hromadný bod v A, znamená to, že všechny hromadné body jsou v A a tedy je A uzavřená. Pokud by nebyla množina A zároveň ohraničená, uměli bychom najít posloupnost stále rostoucí nebo klesající s rozdíly dvou po sobě jdoucích čísel třeba alespoň 1. Taková posloupnost bodů z A ale nemůže mít hromadný bod vůbec. (5) Nejprve se věnujme snadnější implikaci, tj. předpokládejme, že z každého otevřeného pokrytí lze vybrat konečné a dokazujme, že pak A je uzavřená i -( J' ohraničená. Jistě lze A pokrýt spočetným systémem 't intervalů /„ = (n — 2,n + 2),n e Z, a jakýkoliv výběr konečně mnoha z nich říká, že je množina A ohraničená. Předpokládejme nyní, že a e M \ A je hromadným bodem posloupnosti at e A a předpokládejme rovnou, že \a — an\ < i (jinak bychom mohli vybrat takovou podposloupnost). Množiny \[a 1 1 -,a + -] n n pro všechny n e N, n > 0, jsou sjednocení dvou otevřených intervalů a jistě také pokrývají naši množinu A. Protože je možné vybrat konečné pokrytí A, bod a je uvnitř doplňku M \ A včetně nějakého svého okolí a není tedy hromadným bodem. Proto musí být všechny hromadné body A opět v A a tato množina je i uzavřená. Opačný směr důkazu je založený na existenci a vlastnostech suprema. Předpokládejme, že je A kompaktní a že je dáno nějaké její otevřené pokrytí C. Z předchozího je zjevné, že v A existují největší a nejmenší prvek, které jsou zároveň rovny b = sup A a a = inf A. Označme si teď „nejzašší mez", pro kterou ještě půjde konečné pokrytí z C vybrat, tj. definujeme množinu B = {x e [a, b], existuje výběr konečného pokrytí [a, x] n A j Evidentně a e S, jde tedy o neprázdnou zhora ohraničenou množinu a existuje proto c = sup B. Jde nám o to dokázat, že ve skutečnosti musí být c = b. Argumentace je trochu nepřehledná, dokud si ji nena-črtneme na obrázku, podstata je ale snadná: Víme, že a < c < b, předpokládejme tedy chvíli, že c < b. Protože je M \ A otevřená, pro c £ A existuje okolí bodu c obsažené v [a, b] a zároveň disjunktní s A. To by ale vylučovalo možnost c = sup B. a využijeme známého vztahu (a — b) (a + b) = a2 držíme (1+jc)-(1-jc) b . Takto ob- a/1 + X — -v/1 — x lim-= lim _ _ *->o X x^O x (Vl+x + VT^x) 2 2 = lim Podobně vypočítáme cosx — sinx lim o vi +x + Vi -x vi + a/i (cos x + sin x) (cos x — sin x) 1. >JT/4 cos (2x) lim x^n/A (cosx + sinx) cos (2x) cos2 x — sin2 x jt/4 (cos x + sin x) cos (2x) 1 1 = lim x^-jt/ = lim . x^ji/4 cosx + smx V2 i V2 2 T 2 U provedeného krácení připomeňme identitu cos (2x) = cos2 x — sin2 x, x e M. Abychom mohli při určování poslední limity použít (a - b) (a2 +ab + b2) = a3 - b3, k rozšíření potřebujeme výraz V2 2 ' (x2 + 2x + 3)2+\ľx2 + 2x + 3-x/x2 + 2x + 2+^j (x2 + 2x + 2)2, který odpovídá a2 + ab + b2, resp. volíme a = v^x2 + 2x + 3, b = v^x2 + 2x +2. Tímto rozšířením převedeme limitu ze zadání na Vx1 ((x2 + 2x + 3) - (x2 + 2x + 2)) lim X^>+CO 3 tj- (x2 + 2x + 3)2 + Vx2 + 2x + 3 • Vx2 + 2x + 2 + J(x2 + 2x + 2) lim x^>+oc 3 !(x2 + 2x + 3) + Vx2 + 2x + 3 • Vx2 + 2x + 2 + ý (x2 + 2x + 2)' Poslední limitu umíme snadno vyčíslit. Víme totiž, že je určena pouze jedním členem v čitateli a jedním ve jmenovateli, a to axp pro největší p (v tomto případě je uvažovaný člen ve jmenovateli rozdělen na několik sčítanců). Platí tudíž lim x^>+oc 3 (x2 + 2x + 3)2 + Vx2 + 2x + 3 • Vx2 + 2x + 2 + J(x2 + 2x + 2) lim (x2) + Vx2 • Vx2 + J(x2) lim W 1 3//^2\2 x^+°° 3Vx4 3 Celkem tak je lim x^>+oc (Vx* (^/x2 + 2x + 3 - xľx2 + 2x + 2)) = -. □ 237 C. LIMITY 2. REÁLNÁ ČÍSLA A LIMITNÍ PROCESY (2nx)2 + P (x) x3, x € 5.11 5.24. Pro libovolné n e N určete limitu (1 +2nx)n - (l+nx)2n lim---. jc^O x1 Řešení. Podle binomické věty je (1 +2nx)n = 1 + (^j2nx + Q (1 + nx)2n = 1 + (^"^jnx + (^^j (nx)2 + Q W x3' x e M pro jisté polynomy P, <2- Raději vyzdvihněme, že předchozí vyjádření skutečně platí pro všechna n e N. Pro n = 1 si stačí uvědomit, že klademe (*) = 0 a že polynomy P, 2 mohou být identicky rovny nule. Dostáváme tedy (1 + 2nx)n = 1 + 2n2x + 2n3 (n-l)x2 + P (x) x3, x e R, (1 + «x)2" = 1 + 2n2x + n3 (2n - V)x2 + Q (x) x3, x e M. Pouhé dosazení a jednoduché úpravy již dávají (1 +2/ijc)" - (1 +«x)2" lim x^o (2n3 (n - 1) - «3 (2n - 1)) x2 + (P(x) - <2(x)) x3 lim--- x^o x1 lim (-«3 + (P(jc) - <2(x)) x) = -n3 + 0 = -«3. □ 5.25. Spočítejte lim (tgx)tg(2x) x^Jl/4 Řešení. Limity typu 1 (jako je v zadání) lze počítat podle vzorce lim f(x)g{x) = eMo x^-xq jestliže limita na pravé straně existuje a f(x) ^ 1 pro x z jistého ryzího okolí bodu x0 e M. Určeme proto / / sin x \ sin (2x) lim ((tgx - 1) tg (2x)) = lim--1 — x^ji/4 x^ji/4 yycosx / cos (2x) sin x —cos x 2 sin x cos x lim x^n/4 \ cosx coszx — sin^ X 2 sinx Zbývá tedy v takovém případě c e A a tedy je i nějaké okolí O bodu c v otevřeném pokrytí C. Zvolme si body p < c < q v O. Opět nyní bude existovat konečné pokrytí pro [a, q] D A. To ale značí, že q > c leží v S, což není možné. Původní volba c < b tedy vedla ke sporu, což dokazuje požadovanou rovnost b = c. Nyní ale s pomocí okolí b, které patří do C umíme najít konečné pokrytí v C pro celé A. □ 5.17. Limity funkcí a posloupností. Pro diskusi limit je vhodné rozšířit množinu reálných čísel M o dvě nekonečné hodnoty ±oo, tak jak jsme to už dělali při označování intervalů. Okolím nekonečna rozumíme interval (a, oo), resp. (—oo,a) je okolí —oo. Pojem hromadného bodu množin rozšiřujeme tak, že oo je hromadným bodem množiny A c M jestliže každé okolí oo s ní má neprázdný průnik, tj. jestliže je A zhora neohraničená. Obdobně pro — oo. Hovoříme o nevlastních hromadných bodech množiny A. J „počítání se nekonečny" |_ Zavádíme i pravidla pro počítání s formálně přidanými hodnotami ±oo a pro libovolná „konečná" čísla a el: a + oo = oo oo a ■ oo a ■ oo -oo oo, je-li a > 0 —oo, je-li a < 0 i Následující definice pokrývá mnoho případů limitních procesů a bude třeba ji zvládnout dokonale. Jednotlivými případy se budeme podrobně zabývat v zápětí. | Reálné a komplexní limity j_ Odtud máme lim - . — x^ji/4 cosx -f siní V2 i V2 2 T 2 1 ■1. Definice. Uvažme libovolnou podmnožinu A c M a reálnou funkci / : A -> M., případně komplexní funkci / : A -> C, definovanou na A. Uva-§12^8 žme dále hromadný bod x0 množiny A (tj. buď reálné číslo nebo případně ±oo). Říkáme, že / má v x0 limitu a e M (nebo a e C) a píšeme lim f(x) = a, jestliže pro každé okolí O (a) bodu a lze najít okolí O(x0) bodu x0 takové, že pro všechny x e A n (O(x0) \ {x0}) je f(x) e O(a). Limita reálné funkce se nazývá nevlastní, jestliže je a = ±oo, V opačném případě se nazává vlastní. lim (tgx)tg(2x) = -. x^n/4 e Doplňme, že použitý vzorec platí obecněji pro „typ icokoll"? tj. bez kladení jakýchkoli podmínek týkajících se limity \irax^xo g(x), která tak ani nemusí existovat. □ Je důležité si všimnout, že hodnota / v bodě x0 v definici nevystupuje a / v tomto hromadném bodě vůbec nemusí být definována (a v případě nevlastního hromadného bodu ani nemůže)! Také je zřejmé, že nevlastní limity komplexních funkcí nejsou definovány. 238 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO 5. 12 5. 12a 5.18. Nejčastější varianty definičních oborů. Naše definice limity pokrýva zdánlivě velice rozdílné koncepty: (1) Limity posloupností. Jestliže je A = N, tj. funkce / je definována pouze pro přirozená čísla, hovoříme o limitách posloupností reálných nebo komplexních čísel. Jediným hromadným bodem definičního oboru A je pak oo a zpravidla píšeme hodnoty poslounosti f (jí) = an a limitu ve tvaru lim a„ = a. Podle definice to pak znamená, že pro každé okolí O (a) limitní hodnoty a existuje index N e N takový, že an e O (a) pro všechny n > N. Ve skutečnosti jsme tedy v tomto speciálním případě přeformulovali definici konvergence posloupnosti (viz5.12). Přidalijsme pouze možnost nevlastních limit. Říkáme také, že posloupnost a„ konverguje k a. Přímo z naší definice pro komplexní hodnoty je opět vidět, že komplexní posloupnost má limitu a, právě když reálné části cit konvergují k re a a zároveň imaginární části konvergují k im a. (2) Limita funkce ve vnitřním bodě intervalu. Jestliže je / definována na intervalu A = (a, b) a x0 je vnitřním bodem intervalu, hovoříme o limitě funkce ve vnitřním bodě jejího definičního oboru. Podívejme se, proč je důležité v definici požadovat f(x) e O (a) pouze pro body x / jqív tomto případě. Vezměme jako příklad funkci / : M -» M f (x) I 0 je-li x ^ 0 1 je-li x = 0. Pak zjevně limita v nule je dobře definována a v souladu s naším očekáváním bude lim^o = 0, přestože /(O) = 1 do malých okolí limitní hodnoty 0 nepatří. (3) Limity zprava a zleva. Je-li A = [a, b] ohraničený interval a x0 = a nebo x0 = b, hovoříme o limitě zprava, resp. zleva, v hraničním bodě definičního oboru funkce /. Jestliže je ale bod x0 vnitřním bodem, můžeme pro účely výpočtu limity definiční obor zúžit na [x0, b] nebo [a, x0]. Výsledným limitám pak říkáme limita zprava, resp. limita zleva pro funkci / v bodě x0. Označujeme ji výrazem Mmx_>,x+ f (x), resp. limx^x- f (x). Jako příklad nám může sloužit limita zprava a zleva v x0 = 0 pro Heavisideovu funkci h z úvodu této části. Evidentně je lim h(x) 1, lim h(x) 0. Limita lim^^o f(x) přitom neexistuje. Přímo z našich definic je zjevné, že limita ve vnitřním bodu definičního oboru libovolné reálné funkce / existuje, právě když existují limity zprava i zleva a jsou si rovny. 5.19. Další příklady limit. (1) Limita komplexní funkce / : A -» C existuje tehdy a jen tehdy, jestliže existují limity její reálné a imaginární části. V takovém případě je pak lim f{x) x^xq lim (re fix)) + i lim (im fix)). x^-xq x^-xq 5.26. Ukažte, že je siní lim-= 1. x^o x Řešení. Uvažujme jednotkovou čtvrtkružnici v prvním kvadrantu a její bod [cosx, sinx], x e (0, Jt/2). Délka kruhového oblouku mezi body [cosx, sinx] a [1, 0] je rovna x. Zřejmě tedy je smx < x, x e Hodnotu tgx potom vyjadřuje délka úsečky s krajními body [1, sinx/cosx] a [1,0]. Vidíme, že je (příp. si nakreslete obrázek) x < tgx, x e Tato nerovnost rovněž vyplývá z toho, že trojúhelník s vrcholy [0, 0], [1, 0], [1, tg x] má očividně větší obsah než uvažovaná kruhová výseč. Dohromady jsme získali smx sinx < x < -, x e cos x V 2 - tj- X 1 1 <- <-, x e sin x cos x sim / 7T \ 1 > -> cosx, x e 0, — . x V 2/ Z Věty o třech limitách nyní plynou nerovnosti smx 1 = lim 1 > lim - > lim cos x = cos 0=1. x^0+ x^0+ x x^0+ Dokázali jsme tak, že smx lim - = 1. x^0+ x Funkce y = (sin x)/x definovaná pro x ^ Oje ovšem sudá, a tudíž je sinx sinx lim -= lim -= 1. x^0- x x^0+ x Protože obě jednostranné limity existují a jsou si rovny, existuje oboustranná limita a platí pro ni sin x sin x lim -= lim -= 1. x^0 x x^0± x Poznamenejme ještě, že uvedenou limitu šlo velmi snadno vyčíslit za pomoci 1'Hospitalova pravidla. □ 5.27. Stanovte limity n lim n^oo \ n + 1 i y lim ( 1 + — , lim 1 - - nL) n^oo \ n iy sin x lim-, x^0 x •,2 lim lim arcsm x x^o sin x x 3tg2x sin(3x) tg (3x) lim -—, lim -, lim >o 5x 2 ' >o sin (5x) >o sin (5x) 239 C. LIMITY 2. REÁLNÁ ČÍSLA A LIMITNÍ PROCESY lim _ lim Sx e — e x->o x x->o sin (2x) Řešení. Při určování těchto limit využijeme znalosti limit (a e M) K) Víme tedy, že je sin x &x — 1 lim(l + -) = efl; lim-= 1; lim-= 1. n^oo \ n / x^O X x^O X i / 1 \ / n — l\ 1 - lim 1 - - = lim Substituce m = n — 1 dává (n — 1\ (m -j = lim - n I rn^oo \m + 1 m + l m m lim - ) • lim m^oo \m + 1 / m^oo m + l Celkem máme -i lim m lim m m^oo \m + 1/ m^oo m + l Druhá z limit je zjevně rovna 1. Když změníme označení (nahradíme R za ni), můžeme napsat výsledek n -i lim n + 1 Dále platí lim 1 + i v lim 1 + lim 1 + lim 1 - - n^oo V n lim 1 - - n^oo V V n e° = l 0. 5. 12b Upozorněme, že první z předešlých vyčíslení vyplývá z limit „2 lim ( 1 + -V\ = lim f 1 + - m e, 1 lim - = 0 n^-oc fi a druhé potom z lim 1 - e , lim n = +oo, přičemž klademe e~°° = 0 (zápis označuje linu^-oo ex = 0 - jedná se o určitý výraz). Snadno lze získat sin2 x sin x lim-= lim sin x • lim-=0-1=0. Zřejmě je a limita x^O x x^O lim x^O x 1 = 1 x^o siní lim Důkaz je přímočarý a vychází přímo z definice vzdáleností a okolí bodů v komplexní rovině. Skutečně, příslušnost do á-okolí komplexní hodnoty z je zajištěna pomocí reálných (l/V2)<5-okolí reálné a imaginární složky z- Odtud již tvrzení bezprostředně vyplývá. (2) Nechť / je reálný nebo komplexní polynom. Pak pro každý bod x e M je lim f (x) = f(x0). X^XQ Skutečně, je-li f(x) = anx" + • • • + a0, pak roznásobením (x0 + 8)k = x^ + k8x^~l + • • • + 8k a dosazením pro k = 0, ..., n vidíme, že volbou dostatečně malého 8 se hodnotou libovolně blízko přiblížíme /(x0). (3) Uvažme nyní docela ošklivou funkci definovanou na celé reálné přímce | 1 je-li x e Q I 0 jestliže x ^ Přímo z deifnice je zjevné, že tato funkce nemá limitu v žádném bodě (dokonce ani zleva nebo zprava). (4) Následující funkce je ještě záludnější, než jsme viděli v předchozím případě. Funkce / : M -» M je definována takto: jestliže x = £ e Q, p a. q nesoudělná i Xq a platí g0 = fo = h0. Důkaz. Z definice limity, pro libovolné s > 0 existuje okolí O bodu x0, ve kterém jsou pro x ^ x0 hodnoty f{x), hix) € ig0 - s, g0 + s). Z podmínky fix) < gix) < hix) vyplývá, že i gix) e (g0 - s, g0 + s), tedy linu >x0 gix) = g0. x^o siní Drobnou modifikací předchozího postupu si čtenář doplní i argumentaci pro nevlastní hodnoty limit. □ Všimněme si, že věta dává možnost výpočtu limit pro všechny typy diskutované výše, tj. limity posloupností, limity funkcí ve vnitřních bodech, jednostranné limity atd. 240 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO 13 5.21. Věta. Nechť A C M. je definiční obor reálných nebo komplexních funkcí f a g, xq nechť je hromadný bod A a existují limity 5.13a lim f{x) a e lim gix) X^XQ Potom: (1) limita a je určena jednoznačně, (2) limita součtu f + g existuje a platí lim ifix)+gix)) = a + b, X^XQ (3) limita součinu f ■ g existuje a platí lim i fix) ■ gix)) = a-b, X^XQ (4) pokud navíc b ^ 0, pak limita podílu f/g existuje a platí fix) a lim X^-XQ Důkaz. (1) Předpokládejme, že a a a' jsou dvě hodnoty limity lirn^^ fix). Pokud je a ^ a', pak K^ift' existují disjunktní okolí O (á) a 0(ď). Pro do-^iSšsr statečně malá okolí x0 ale mají hodnoty / ležet v obou naráz, což je spor. Proto je a = a'. (2) Zvolme si nějaké okolí a + b, třeba 02€ia + b). Pro dostatečně malé okolí x0 a x 7^ x0 bude jak fix), tak gix) v e-okolích bodů a a b. Proto jejich součet bude v 2e-okolí kýžené hodnoty a + b. Tím je důkaz ukončen pro konečné limity, případ nevlastních limit je zcela obdobný. (3) Podobně postupujeme u součinu s 0€i(ab). Pro malá okolí xq se nám hodnoty / i g trefí do e-okolí hodnot a a b. Proto jejich součin bude v požadovaném e2-okolí. (4) Podobný postup ponechán jako cvičení. □ Poznámka. Podrobnějším sledováním důkazů jednotlivých bodů věty můžeme její tvrzení rozšířit i na některé nekonečné hodnoty limit: V prvém případě je zapotřebí, aby buď alespoň jedna z limit byla konečná nebo aby obě měly stejné znaménko. Pak opět platí že limita součtu je součet limit s konvencemi z 5.17. Případ „oo — oo" ale není zahrnut. V druhém případě může být jedna z limit nekonečná a druhá nenulová. Pak opět platí, že limita součinu je součin limit. Případ „0 • (±oo)" není ale zahrnut. V případě podílu může být a e M a b = ±oo, kdy výsledek limity bude nula, nebo a = ±oo a b e M, kde výsledek bude ±oo podle znamének čitatele a jmenovatele. Případ „—" není zahrnut. Zdůrazněme, že naše věta jako speciální případ pokrývá také odpovídající tvrzení o konvergenci posloupností i o limitách zprava a zleva funkcí definovaných na intervalu. Pro úvahy o limitách bývá technicky užitečný i následující jednoduchý důsledek definic, který uvádí do souvislosti limity posloupností a funkcí obecně. 5.22. Důsledek. Uvažme reálnou nebo komplexní funkci f definovanou na množině A C M a hromadný bod xq množiny neexistuje (zapisujeme 1/ ± 0). Kdybychom tedy k výpočtu limity lim sin x užili pravidla o limitě součinu, obdrželi bychom l-l/±0=l/±0. To znamená, že tato limita neexistuje (opět jde o určitý výraz). Ke stanovení arcsin x lim- x^o x použijeme identitu x = sin (arcsin x) platnou pro x e (—1, l),tj. v jistém okolí bodu 0. Pomocí substituce y = arcsin x dostáváme arcsm x arcsm x lim- = lim x^o x lim y >o sin (arcsinx) y^o siny 1. Poznamenejme, že y -» 0 plyne z dosazení x = 0 do y = arcsin x a ze spojitosti této funkce v počátku (to také zaručuje, že jsme tuto substituci mohli „bez obav" zavést). Ihned vidíme, že je 3 tg2 x / 3 sin x sin x 1 lim-— = lim - • >o 5x2 o \ 5 x x cos2 x 3 3 _____ —— = —1.11 = —. 5 *->o x x^o x jc^ocos2x 5 5 3 sinx sinx 1 lim -• lim-• lim Vhodné rozšíření a substituce dávají sin (3x) / sin (3x) 5x 3 lim-= lim o sin (5x) x^o \ 3x sin (5x) 5 sin (3x) 5x 3 = lim-• lim -• - x^o 3x x^o sin (5x) 5 ,. siny z 3 3 3 = lim-• lim-.- = 1.1.- = -. y^o y z^osinz 5 5 5 Pomocí předešlého výsledku pak lehce spočítáme 1 ,. tg (3x) /sin(3*) lim-= lim o sin (5x) ^^o ysin (5x) cos (3x) sin(3x) 1 lim-- lim - 3 1 - 3 b sin (5x) jt->b cos (3x) 5 5 Podobně můžeme stanovit _ lim x^0 x J5-2)x 1 (5-2) lim e2*- V (5 - 2)x e3x — 1 lim e2* • lim -• 3 x^0 x^0 3x e° • lim .3 = 1-1-3 = 3 y^0 y 241 C. LIMITY 2. REÁLNÁ ČÍSLA A LIMITNÍ PROCESY a rovnez lim e5x — e lim ->5x 1 e~x - 1 >o sin(2x) *->-o \sin (2x) sin(2x) lim *5x 1 2x 5 e x — 1 2x 1 o \ 5x sin (2jc) 2 —x sin (2x) \ 2 1 2x ■ lim e5* - 1 2x 5 e" lim -• lim-•--lim 1 >o 5x x->o sin (2x) 2 x^o —x x^o sin (2x) \ 2 ,. e"-l ,. z 5 ,. eu-l z / 1\ 5 1 hm -• hm-•--lim-• hm-• — ) = —|— u^o u z^osinz 2 v^o v z^osinz \ 2/ 2 2 □ 5.28. Bez použití Věty o třech limitách dokažte, že funkce R(x) \x, x e {i; n e N}; |0, x e M\ {1; n e N} je spojitá v bodě 0. Řešení. Funkce i? je spojitá v bodě 0, právě když je lim R(x) x^o R(0) = 0. 5 . 14 Z definice limity ukážeme, že tato limita se skutečně rovná 0. Při „obvyklém" značení je a = 0, x0 = 0. Nechť 8 > 0 je nadále libovolné. Pro jakékoli x e (—8, 8) je R (x) =0, nebo R (x) = x, a tudíž (v obou případech) dostáváme R(x) e (—á, á). Jinými slovy, vezmeme-li libovolné á-okolí (—8, 8) hodnoty a a přiřadíme-li mu (—8, 8) (jako okolí bodu jco), pak pro každé x e (—8, 8) (z uvažovaného okolí jco) platí, že R(x) e (—8, 8) (zde na interval (—8, 8) nahlížíme jako na okolí a). To odpovídá znění definice limity (nemuseli jsme ani požadovat, aby bylo x ^ xq). Uvažovaná funkce R se nazývá Riemannova funkce (proto označení R). V literatuře se ovšem uvádí v různých modifikacích. Např. o funkci /(*) 1, o, x € x = x i 1 pro nesoudělná p,q eZag > 1; se „často" hovoří jako o Riemannově. □ 5.29. Dodefinujte funkci f(x) = (x2-í) sin- 2x - 1 T' 5. 14a x/±l(iel) v bodech —1,1 tak, aby byla spojitá na M. Řešení. Daná funkce je spojitá ve všech bodech svého definičního oboru. V bodech —1,1 bude spojitá, právě když položíme A. Funkce f má v bodě xq limitu y právě, když pro každou posloupnost bodů x„ e A konvergující k xq a různých od xq má i posloupnost hodnot f(x„) limitu y. Důkaz. Předpokládejme nejprve, že limita / v bodě x0 je skutečně y. Pak pro libovolné okolí V bodu y musí existovat okolí V bodu xo takové, že pro všechny x e V n A, x xo, je f(x) e U. Pro každou posloupnost x„ -> xo bodů různých od xo ale budou pro všechna n větší než vhodné : M i všechny body x„ e V. Budou tedy posloupnosti hodnot f(xn) konvergovat k hodnotě y. Předpokládejme naopak, že funkce / nekonverguje k y při x -> xq. Pak pro nějaké okolí U hodnoty y existuje posloupnost bodů xm x0 v A, které jsou bližší k x0 než 1 /m a přitom hodnota f(xm) nepatří do U. Tím jsme zkonstruovali posloupnost bodů z A různých od x0, pro které hodnoty f(xn) nekonvergují kva důkaz je ukončen. □ Spojitost funkcí Definice. Nyní máme nachystány nástroje na korektní formulaci vlastnosti spojitosti, se kterou jsme dříve intuitivně nakládali u polynomů. Nechť / je reálná nebo komplexní funkce definovaná na intervalu Acl. Říkáme, že / je spojitá v bodě x0 e A, jestliže je lim f{x) = fix0). X^XQ Funkce / je spojitá na A, jestliže je spojitá ve ve všech bodech x0 e A. 1 fi-l) := lim ( (x2 - 1) sin- 2x - 1 1 fil) :=lim ((x2 - 1) sin- x^l 2x Všiměme si, že pro hraniční body intervalu A říká naše definice, že / v nich má hodnotu rovnou limitě zleva, resp. zprava. Říkáme, že je v takovém bodě spojitá zprava, resp. zleva. Již jsme také viděli, že každý polynom je spojitou funkcí na celém M, viz 5.19(2). Potkali jsme také funkci, která je spojitá v iracionálních reálných číslech a nemá žádné limity v číslech racionálních, viz 5.19(4). Z předchozí věty 5.21 o vlastnostech limit okamžitě vyplývá většina následujících tvrzení 5.23. Věta. Nechť f a g jsou spojité funkce na intervalu A. Pak (1) součet f + g je spojitá funkce (2) součin f ■ g je spojitá funkce (3) pokud navíc g (xq) 7^ 0, pak podíl f /g je dobře definován v nějakém okolí xq a je spojitý v xq. (4) pokud spojitá funkce h je definována na okolí hodnoty 1 Y(xo), Pak složená funkce h o f je definována na okolí 1 módu xq a je v bodě xq spojitá. 242 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO 5.16 Důkaz. Tvrzení (1) a (2) jsou zřejmá, doplnit důkaz K> . potřebujeme u tvrzení (3). Jestliže je g(x0) 0, pak také celé e-okolí čísla g(x0) neobsahuje nulu pro dostatečně t/^//' ■ malé e > 0. Ze spojitosti g pak vyplývá, že na dostatečně malém á-okolí bodu x0 bude g nenulové a podíl f/g tam bude tedy dobře definován. Pak bude ovšem i spojitý v x0 podle předchozí věty. (4) Zvolme nějaké okolí O hodnoty h(f(x0)). Ze spojitosti h k němu existuje okolí O' bodu /(x0), které je celé zobrazeno funkcí h do O. Do tohoto okolí O' spojité zobrazení / zobrazí dostatečně malé okolí bodu xq. To je ale právě definiční vlastnost spojitosti a důkaz je ukončen. □ Nyní si vcelku snadno můžeme odvodit zásadní souvislosti spojitých zobrazení a topologie reálných čísel: 5.15 | 5.24. Věta. Nechť f : R -» R je spojitá funkce. Pak (1) vzor f~l(U) každé otevřené množiny je otevřená množina, (2) vzor f~1(W) každé uzavřené množiny je uzavřená množina, (3) obraz f(K) každé kompaktní množiny je kompaktní množina, (4) na libovolné kompaktní množině K dosahuje spojité zobrazení maxima a minima. Důkaz. (1) Uvažme nějaký bod xo e f~l(U). Nějaké j < ,. okolí O hodnoty /(x0) je celé v U, protože je U otevřená. Pak ovšem existuje okolí O' bodu x0, které se celé zobrazí do O, patří tedy do vzoru. Každý bod \& ' vzoru je tedy vnitřní a tím je důkaz ukončený. (2) Uvažme nějaký hromadný bod x0 vzoru f~l(W) a nějakou posloupnost xt, f (xi) e W, která k němu konverguje. Ze spojitosti / nyní zjevně vyplývá, že /(x;) konverguje k f (x{f), a protože je W uzavřená, musí i /(x0) e W. Zřejmě jsou tedy všechny hromadné body vzoru W ve W také obsaženy. (3) Zvolme libovolné otevřené pokrytí f(K). Vzory jednotlivých intervalů budou sjednoceními otevřených intervalů a tedy také vytvoří pokrytí množiny K. Z něho lze vybrat konečné pokrytí a proto nám stačilo konečně mnoho odpovídajících obrazů k pokrytí původní množiny f(K). (4) Protože je obrazem kompaktní množiny opět kompaktní množina, musí být obraz ohraničený a zároveň musí obsahovat svoje supremum i infimum. Odtud ale vyplývá, že tyto musí být zároveň maximem a minimem hodnot. □ 5.25. Důsledek. Nechť f : R -» R je spojitá. Potom (1) obraz každého intervalu je opět interval (2) f na uzavřeném intervalu [a,b] nabývá všech hodnot mezi svou maximální a minimální hodnotou. Důkaz. (1) Uvažme nějaký interval A (a ponechme stranou, jestli je A uzavřený nebo otevřený, ať už zleva nebo zprava) a předpokládejme, že existuje bod y e R takový, Pokud by jedna z těchto limit neexistovala (příp. byla nevlastní), funkci by nešlo spojitě dodefinovat. Očividně je 2x - 1 sin c2- 1 < 1, í/í1(íěK), odkud plyne Protože 1 I < /(*) < \ x2 - 1 I , x ^ ±1 (x € R). lim \x2 - 1 I =0, Jt->±1 1 1 z Věty o třech limitách již dostáváme výsledek /(±1) := 0. D. Derivace □ Ukažme si nejprve, že derivace funkcí uvedené v tabulce v odstavci 5.30 jsou skutečně správně. Určíme je přímo z definice derivace. 5.30. Z definice (viz 5.30) určete hodnoty derivací funkcí x" (x je proměnná, n kladná celá konstanta), y/x, sinx. Řešení. Nejprve podotkněme, že označíme-li v definici derivace výraz x — x0 jako h, pak dostáváme lim f(x) - f(x0) lim h^0 f(x0 + h) - f(x0) x^x0 x — Xo h V následujících výpočtech budeme pracovat s druhým vyjádřením téže limity. (xnY = lim (x + h)n - x" h^0 h lim . . h^0 \ \2 lim h^0 Qx""1/! + g)x"-2/l2 + •••+/!" nx"-1 + lim ( ( " )x"-2h + ( " )x"-3h2 + ■■■ + h"'1 nx n-l , ,_. y/x + h - y/x (y/x + h - y/x)(y/x + h + y/x) (Jx) = lim -= lim-, - h^o h h^o h (y/x +h + y/x) h lim —_ h^o h(y/x + h + y/x) 1 lim/i -» 0 1 y/x + h + y/x 2yfx (sinx)' = lim = lim h^0 sin(x + h) — sinx h sin x cos h + cos x sin h — sin x h cosxsm/i sin(x)(cos(h) — 1) lim--h lim- h^0 h h^0 h sin/i 2(sin^)2 cos x • lim--lim--— h^0 h h^0 h sin (t) cosx • 1 + limsin(í)- t^o t cosx 243 D. DERIVACE 2. REÁLNÁ ČÍSLA A LIMITNÍ PROCESY □ derivace 5.31. Zderivujte a výsledek upravte: i) x sinx, jj\ sin x iii) ln(x + Vx2 — a2), a 7^ 0, |x| > |út| iv) arctan (|x| < 1, v) x*. Řešení, (i) Podle pravidla o derivování součinu funkcí, tedy Leibnit-zova pravidla, viz 5.32 dostáváme (x sin x)' = x' • sin x + x • (sin x)' = sin x + x cos x. (ii) Podle pravidla o derivování podílu funkcí (5.33) je sinx (sinx)' • x — sin(x) • x1 x cosx —sinx (iii) Použijeme pravidla pro derivování složené funkce | (5.32)a Označíme-li h(x) = ln(x), f(x) = x + -Jx2 — a2, máme ln(x + V*2 - a2)' = h(f(x))' = h(f(x)) ■ f'(x) (x + V*2 - a2y + Vx2 1 + x + Vx2 kde jsme pro derivování výrazu Vx2 — a2 použili opět pravidlo o derivování složené funkce, (iv) Opět derivujeme složenou funkci: arctan vT i VT^x2 + l\-xl 1 + 5 . 17 l-x2 Vl -x2 + 1 vT vT (v) Funkci je nejprve převedeme na funkci o konstatním základu (nejlépe o základu e), kterou už umíme derivovat. (x*)' = ((elnx)x)' = (exlnxY (x lnx)' • e x\xíx (1 +lnx) -xx □ Doporučujeme čtenáři si vymyslet funkce, které potom sám zde-rivuje. Výsledek si může ověřit v celé řadě matematických výpočetních programů. V následujícím příkladu si uvědomíme geometrický význam derivace bodě, totiž, že určuje směrnici tečny ke grafu v daném bodě (viz 5.31) že f (A) obsahuje body menší i větší než y, ale y £ f (A). Znamená to tedy, že pro otevřené množiny Bi = (—oo, y) a B2 = (y, oo) jejich vzory Ax = f~l{Bx) a A2 = f~l{B2) pokrývají A. Tyto množiny jsou přitom opět otevřené, jsou disjunktní a obě mají neprázdný průnik s A. Nutně tedy musí existovat bod x e A, který neleží v B\, je ale jejím hromadným bodem. Musí však ležet v B2 a to u disjunktních otevřených množin není možné. Dokázali jsme tedy, že pokud nějaký bod y nepatří do obrazu intervalu, musí být všechny hodnoty buď zároveň větší nebo zároveň menší. Odtud vyplývá, že obrazem bude opět interval. Všimněme si, že jeho krajní body mohou a nemusí do obrazu patřit. (2) Toto tvrzení je přímým důsledkem předchozího, protože obrazem uzavřeného intervalu musí být opět uzavřený interval. □ Na závěr naší úvodní diskuse spojitosti funkcí uvedeme ještě tvrzení, která jsou užitečným nástrojem při počítání limit. 5.26. Věta (O limitě složené funkce). Nechť f, g : R R jsou funkce, limx^a f(x) = b. (1) Pokud je g je spojitá v b, potom lim * (/(*)) = £ (lim/(x)) =g(b). (2) Jestliže existuje limita lirOy^ g(ý), potom lim g (f(x)) lim g{y). y^b Důkaz. Je podobný jako ve větě 5.23(4). Z existence limity g v bodě b vyplývá, že pro jakékoliv okolí V této limity umíme najít dostatečně malé okolí U bodu b, na kterém jsou už hodnoty g ve V. Pokud ale / má bod b jako limitu v bodě a, pak se do U trefíme všemi hodnotami / pro dostatečně malé okolí a, což ověřuje druhé tvrzení. První pak je přímým důsledkem druhého. □ 5.27. Kdo už je v ZOO. Začali jsme budovat náš zvířetník funkcí s polynomy a s funkcemi, které se z nich L_ dají vyrobit „po částech". Zároveň jsme dovodili spoustu vlastností pro patrně obrovskou třídu spojitých funkcí, nemáme ale zatím moc prakticky zvladatelných příkladů. Jako další si prohlédneme pořádněji podíly polynomů. Nechť / a g jsou dva polynomy, které mohou mít i komplexní hodnoty (tj. připouštíme výrazy a„x" +■ ■ ■ +ao s komplexními cit e C, ale dosazujeme jen reálné hodnoty za x). Funkce h:R\{x eR, g(x) = 0} C, /(*) h(x) je dobře definována ve všech reálných bodech kromě kořenů polynomu g. Takové funkce nazýváme racionální funkce. Z věty 5.23 vyplývá, že racionální funkce jsou spojité ve všech bodech svého definičního oboru. V bodech, kde definovány nejsou mohou mít 244 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO 5. 17a • konečnou limitu, když jde o společný kořen obou polynomů / a g (v tomto případě rozšířením jejich definice o limitní hodnotu v tomto bodě dostaneme funkci i v tomto bodě spojitou) • nekonečnou limitu, když limity zprava a zleva v tomto bodě jsou stejné • různé nekonečné limity zprava a zleva. Názorně je možné tuto situaci vidět na obrázku, který ukazuje hodnoty funkce (x - 0.05a) (x - 2 - 0.2a) (x - 5) h(x) =- x(x -2)(x -4) pro hodnoty a = 0 (obrázek vlevo tedy vlastně zobrazuje racionální funkci (x — 5)/(x — 4)) a pro a = 5/3. 5.28. Funkce mocninné a exponenciální. Polynomy jsou ,0. pomocí sčítání a násobení skaláry seskládány z u»>-s<** jednoduchých mocninných funkcí x \—> x" spři- "Wj^jř^-' rozených číslem n = 0, 1,2,.... Samozřejmý 3té£2í^ smysl má také funkce x h-» x~l pro všechny x 0. Tuto definici teď rozšíříme na obecnou mocninnou funkci xa s libovolným a e M. Budeme vycházet z vlastností mocnin a odmocnin, které patrně považujeme za samozřejmé. Pro záporné celé číslo —a proto definujeme x pro n e N vyplývalo x*. Je třeba ale ověřit, x-a = (xayi = (x Dále jistě chceme, aby ze vztahu b" = že b je n-tou odmocninou z x, tj. b = že taková b skutečně existují. Z bionomického rozkladu mocniny dvojčlenu je vidět, že funkce y h-» y" je pro y > 0 stále rostoucí. Předpokládejme x > 0 a uvažujme množinu B = {y e M, y > 0, y" < x}. To je zřejmě zhora ohraničená množina a zvolíme ŕ = sup B. O mocninné funkci s přirozeným n již víme, že je to funkce spojitá, snadno tedy ověříme, že skutečně platí b" = x. Skutečně, určitě je b" < x a kdyby platila ostrá nerovnost, našli bychom jistě i y s hodnotou b < y" < x, což nutně znamená i b < y a tedy jde o spor s defmicí suprema. Konečně, pro hodnoty a e 1 a i > 1, si povšimněme, že jde pro racionální a o striktně rostoucí výraz (pro větší a je vždy větší výsledek). Proto klademe xa = supíy, y e Q, y < a}. 5.32. Určete parametr cel tak, aby tečna ke grafu funkce fa^t) v bodě [1,0] procházela bodem [2, 2]. Řešení. Podle zadání má mít tečna směrnici 2 (|žf)- Směrnice je určena derivací funkce v daném bodě, dostáváme tedy podmínku 2 — ln(cx) -(1) =2, neboli 2 - ln(c) = 4, In(c-x) 2y/x tedy c = j^- Pro c = je však hodnota fce v bodě 1 rovna —2. Tedy žádné takové c neexistuje. □ E. ĽHospitalovo pravidlo 5.33. Ověřte, že je limita (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) sin (2x) — 2 sin x 0 lim--- typu -; x^o 2ex - x2 - 2x - 2 0 lnx oo lim - typu —; x=>0+COtgX oo ,• . x 1 lim---) typu oo — oo; i+ \ x — 1 lnx lim (ln (x — 1) • lnx) typu 0 • oo; x^\ + 1 Q lim (cotgx)'"* typu oo ; , sin x \ -i2 ^ lim - typu 1°°; i^0\ x ' (7TX \ ln x cos — ) typu 0° 2 / Poté ji spočtěte užitím 1'Hospitalova pravidla. Řešení. Bezprostředně můžeme potvrdit, že je (a) lim (sin (2x) — 2 sinx) = 0 — 0 = 0, x^0 ^x 2 (b) (c) (d) lim (2e* -x2-2x-2) = 2- 0- 0- 2 = 0; x^0 V ' lim lnx = —oo, lim cotgx = +oo; X 1 lim - = +oo, lim -= +oo; x^i+ x — 1 x^i+ lnx lim lnx = 0, lim ln(x — 1) = —oo; x^l+ x^l + 245 E. ĽHOSPITALOVO PRAVIDLO 2. REÁLNÁ ČÍSLA A LIMITNÍ PROCESY (e) (f) (g) lim cotg x = +00, x^0+ lim - x^o+ ln x 0; smx lim 7zx hm cos — 2 lim — x^O X + OO; 0, lim lnx =0. Případ (a). Aplikování 1'Hospitalova pravidla převádí limitu sin (2x) — 2 sin x lim na limitu lim x^O o 2e* - x2 - 2x - 2 2 cos(2x) — 2 cos x 2ex — 2x — 2 která je ovšem typu 0/0. Dalšími dvěma aplikacemi ľ Hospitalova pravidla dostáváme —4 sin (2x) + 2 sinx lim - x^o 2ex - 2 a (výše uvedená limita je opět typu 0/0) — 8 cos (2x) + 2 cos x lim -=- x^o 2ex 2 Celkem tak máme (vrátíme se k původní limitě) sin (2x) — 2 sin x + 2 e5. 3a lim >o 2e* 2x — 2 Dodejme, že opakované užití ľ Hospitalova pravidla v jednom příkladu je běžné. Nadále budeme klást, že se limity podílů derivací získané 1'Hospi-talovým pravidlem přímo rovnají původním limitám podílů. Takto si můžeme počínat, pokud obdržené limity na pravých stranách budou existovat, tj. o platnosti zápisů se vlastně budeme přesvědčovat dodatečně. 5. 17b Případ (b). Tentokráte derivování čitatele a jmenovatele dává lim lnx >o+ cotgx lim x^0+ lim x^0+ sin2 x Poslední limitu umíme snadno určit (dokonce ji známe). Z sinx lim x^0+ smx 0, lim x^o+ x 1 plyne výsledek 0 = 0-1. Také jsme mohli znovu použít 1'Hospitalovo pravidlo (nyní pro výraz 0/0) se ziskem -2 • sinx • cosx —2 -0-1 lim x^0+ sin2 x lim x^0+ X x^0+ 1 1 Případ (c). Pouze převodem na společného jmenovatele 0. lim x^l+ \ X 1 lnx lim x^l + x lnx — (x — 1) (x — 1) lnx Pro 0 < x < 1 buď definujeme analogicky (je třeba si jen pohrát s nerovnítky) nebo klademe přímo xf1 = {\)~a■ Pro x = 1 je pak \a = 1 pro libovolné a. Obecnou mocninnou funkci x 1-» xa máme tedy dobře definovanou pro všechny x e [0, 00) a a e M. Naši konstrukci ale můžeme také číst následujícím způsobem: Pro každé pevné reálné c > 0 existuje dobře definovaná funkce na celém M, y 1-» cy. Této funkci říkáme exponenciální funkce o základu c. Vlastnosti, které jsme použili při definici mocninné a exponenciální funkce f(y) = cy, tj. c = /(l), lze shrnout do jediné rovnosti pro libovolné reálné kladné x a y: fix + y) = f{x) ■ /(v) společně s požadavkem spojitosti. Skutečně, pro y = 0 dostáváme z této rovnosti / (0) = 1, odtud pakl = /(0) = f (x—x) = f (x)-(f (x))~l akonečně pro přirozené n je zjevně f (nx) = (f(x))n. Takto jsme již jednoznačně určili hodnoty x" pro všechny x>0aaeQa požadavkem spojitosti byla již funkce určena všude. Zejména tedy pro exponenciální funkci platí známé vztahy (5.5) a ■ aJ -,x+y (ax) x\y -ix-y Na obrázcích vidíme funkce x nxi'ai^ xb pro jednu konkrétní hodnotu a a - 2.5167 2.5167 a b 4.5833. b - 4.5833 0,5 1 1,5 2 2,5 3 5.29. Logaritmické funkce. Viděli j sme právě, že exponenciální funkce f(x) = ax je pro a > 1 stále rostoucí a pro 0 < a < 1 je stále klesající. V obou případech tedy existuje k f (x) funkce inverzní f~l(x) kterou nazýváme logaritmickou funkcí se základem a. Píšeme lnfl(x) a definiční vztah tedy je m(ax) = x. Rovnosti (5.5) jsou proto ekvivalentní vztahům lnfl (x -y) = lnfl (x) + lnfl (y), lnfl (xy) = y ■ lnfl (x). Logaritmické funkce jsou definovány jen pro kladné hodnoty argumentu a jsou pro základ a > 1 rostoucí, pro základ 0 < a < 1 klesající na celém definičním oboru. Pro každé a je lnfl(l) =0. Brzy uvidíme, že obzvlášť důležitou hodnotou pro a je tzv. Eulerovo číslo e, viz odstavec 5.41. Funkci lne(x) nazýváme přirozeným logaritmem a základ e v označení vynecháváme, tj. píšeme prostě ln(x). 246 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO 3. Derivace U polynomů jsme již v odstavci 5.6 diskutovali, jak popisovat jednoduše velikost růstu hodnot po-r~f-W/, lynomu kolem daného bodu jeho definičního oboru. Tehdy jsme pozorovali podíl (5.2), který vyjadřoval směrnici sečny mezi body [i, f (x)] e M2 a [x + Ai, f (x + Ai)] e M2 pro (malý) přírůstek Ax nezávisle proměnné. Tehdejší úvaha funguje zrovna stejně pro libovolnou reálnou nebo komplexní funkci /, jen musíme místo intuitivního „zmenšování" přírůstku Ax pracovat s pojmem limity. Uvádíme definici pro vlastní i nevlastní derivace, tj. připouštíme i nekonečné hodnoty. Všimněte si, že na rozdíl od limity funkce, u derivace v daném bodě xo je nutné, aby byla sama funkce v tomto bodě definovaná. Derivace funkce jedné reálné proměnné [ 5.30. Definice. Nechť / je reálná nebo komplexní funkce definovaná na intervalu A c Kaip e A. Jestliže existuje limita lim f(x) - f(x0) x0 jsme obdrželi typ 0/0. Je x ln x — (x — 1) lim---- = lim (x — 1) lnx lnx + 1 lim lnx •i+ i^-+lnx 1 - - + lnx' X X Máme podíl 0/0, pro který (opět dle 1'Hospitalova pravidla) platí lnx 7 1 1 lim lim *->!+1 --!-+lnjt ^1+4 + 1 1 + 1 2 X X1 X Návratem k původní limitě zapíšeme výsledek lim .' 2 \x — 1 lnx Případ (d). Uvedený výraz převedeme na typ oo/oo (přesněji řečeno, na typ —oo/oo) vytvořením zlomku ln (x - 1) lim (ln (x — 1) • lnx) = lim Podle 1'Hospitalova pravidla je ln (x - 1) lim x^\ + 1 ln x lim 1 x-l 1 i „2 , 1 ln x lim -x ln2 x + x 1 lnz x x Pro tento neurčitý výraz (typu 0/0) lze pokračovat 1'Hospitalovým pravidlem a stanovit —x ln x lim -= lim x^l+ x — 1 + -ln x — 2x lnx • 1 0 + 0 0. Případy (e), (f), (g). Protože lim (cotg x) i" * x^0+ pak řídáme, že / má v bodě x0 derivaci a. Hodnotu derivace zapisujeme jako f'(xo) nebo j^(xo), případně a = ^f(xo). Derivace reálné funkce je vlastní, resp. nevlastní, když je takovou příslušná limita. Jednostranné derivace (tj. derivaci zprava a zleva) definujeme zcela stejně pomocí limity zprava a zleva. S derivacemi se vcelku snadno počítá, dá nám ale dost práce korektně odvodit derivace i některých z funkcí, které už v našem zvěřinci máme. Proto s předstihem vsunujeme do textu souhrnnou tabulku, jak derivace pro několik z nich vychází. V posledním sloupci je odkaz na odstavec, kde se dá údaj skutečně i s úplným výkladem najít. Všimněme si také, že inverzní funkce k řadě z našich funkcí sice neumíme přímo vyjádřit elementárním způsobem, přesto ale budeme umět počítat jejich derivace, viz. 5.34 I některé derivace funkcí lim x^0 sin x\x ,.2 lim / 7tx\ln* (cos-j lim -é— lim (lnjt-ln(cos ^-)) V 2 postačuje vypočítat limity uvedené v argumentu exponenciální funkce. Pomocí 1'Hospitalova pravidla a jednoduchých úprav získáváme i -i lim ln (cotg x) >o+ lnx —x lim - *->-o-i- cosx • sinx typ typ +oo -oo lim cotg x sin2 x ■1 ■1 lim — — *^o+ cos2x — sin x 1—0 lim x^0 lni 0" typ Ô. 0" typ Ol lim x^0 x cos x—sin x r2 lim 2x cos x — x sin x = lim x^0 cosx x cosx siní 2x2 siní o 4x sin x + 2x2 cos x lim siní lim >o 4 sinx + 2i cosi — cosi 0 typ q -i >o 4 cos i + 2 cos i — 2i sin i 4 + 2 — 0 247 E. L'HOSPITALOVO PRAVIDLO 3. DERIVACE a tudíž lim (cotg x) 'n * lim smx e s 1 e' 1 Obdobně lze postupovat při určování poslední limity. Platí lim (mx • ln (cos lim x^l- ln (cos ?y) i ln x sin; lim Jt->1- — lim 2 *->i- typ ■)ř -oo -oo oo oo x sin i ln2 * ln2x cos 1y Neboť je tento výraz typu 0/0, mohli bychom pokračovat 1'Hospitalo-vým pravidlem; místo toho ale přejdeme od x sin ^ • ln2 x lim x^l- k součinu limit lim (x sin —^ • ■ i- V 2 / . lim cos Ij- ln2x 1 • lim ln2x >1- cos ; •1- cos : 2 2 Teprve nyní aplikujeme 1'Hospitalovo pravidlo pro lim ln2x •1- cos typ 0 lim 21nx • 0 Celkem máme tj- lim (lnx • ln (cos ^-Jj = ^.1-0 = 0, (cosT) = e° = l. lim x^l- □ 5.34. Určete lim cotgx x^O 1 Řešení. Uvědomíme-li si, že je lim cotgx = +00, x^0+ lim cotgx x^O- -oo, lim — x^o+ x 1 lim — x^0- x + 00, -oo, vidíme, že v případě obou jednostranných limit dostáváme typ oo—oo. Můžeme tedy uvažovat najednou oboustrannou limitu. Funkci kotan-gens zapíšeme jako podíl kosinu a sinu a zlomky převedeme na společného jmenovatele, tj. lim ( cotgx-- x^0 \ x lim x^0 x cosx — smx funkce definiční obor derivace polynomy f(x) celé R fix) je opět polynom 5.6 kubické splajny h(x) celé R h'(x) je opět splajn 5.9 racionální celé R kromě racionální 5.33 funkce f(x)/g(x) kořenů jmenovatele g funkce: f'(x)g(x)-f(x)g'(x) >tU)2 mocninné interval fix) = ax*-1 ?? funkce (0, oo) f(x)=xa exponenciála celé R fix) = ln(fl) • ?? f(x) = oř, ax a > 0, a ^ 1 logaritmus interval fix) ?? fix) = lnfl(x), (0, oo) (In(fl))"1 • \ a > 0, a ^ 1 x smx Z formulace definice lze očekávat, že /'(x0) bude umožňovat dobře aproximovat danou funkci pomocí přímky y = f(x0) + f\x0)(x - x0). Takto lze snad vnímat následující lemma, které říká, že nahrazením konstantního koeficientu /'(x0) ve vyjádření přímky spojitou funkcí dostaneme přímo hodnoty /. Odchylka hodnot ý(x) na okolí bodu x0 od hodnoty Ýixo) pak přímo říká, jak se liší směrnice sečen a tečny v bodě x0. Lemma. Reálná nebo komplexní funkce má v bodě xq vlastní derivaci, právě když existuje na nějakém okolí O (xq) funkce Ý spojitá v xq a taková, že pro všechny x e Oíxq) platí fix) = f(x0) + Ýix)ix - x0). Navíc pak vždy Ýixo) = fixo) a sama funkce f je v bodě xq spojitá. Důkaz. Nejprve předpokládejme, že /'(x0) je vlastní derivace. Pokud má ý existovat, má jistě pro všechny x e O \ {xq} tvar Ýix) = ifix) - f(x0))/(x - Xq). V bodě xq naopak definujme hodnotu derivací /'(x0). Pak jistě lim fix) = fixo) = fixo) X^XQ jak je požadováno. Naopak, jestliže taková funkce ý existuje, tentýž postup vypočte její limitu v x0. Proto existuje i /'(x0) a je Ýixo) rovna. Z vyjádření / pomocí spojitých funkcí je zřejmé, že je sama spojitá v bodě x0. □ 248 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO 5.18a 5.31. Geometrický význam derivace. Předchozí lemma lze názorně vysvětlit geometricky a tím popsat smysl derivace. Říká totiž, že na grafu funkce y = f (x), tj. na příslušné křivce v rovině se souřadnicemi x a y, poznáme, zda existuje derivace podle toho, jestli se spojitě mění hodnota směrnice sečny procházející body [x0, f(xo)] a [x, f(x)]. Pokud ano, pak limitní hodnota této směrnice je hodnotou derivace. ' Rostoucí a klesající funkce Obdrželi jsme výraz 0/0, pro který platí (podle 1'Hospitalova pravidla) Důsledek. Má-li reálná funkce f v bodě xq e M derivaci f'(xo) > 0, pak pro nějaké okolí O(xq) platí f(b) > f (a) pro všechny body a, b e O(xq), b > a. Je-li derivace /'(xq) < 0, pak naopak pro nějaké okolí O(xq) platí f(b) < f (a) pro všechny body a, b e O(xq), b > a. Důkaz. Uvažme prvý případ. Pak podle předchozího le-matu platí f(x) = f (x0) + ý(x) (x — x0) a ý(xo) > 0. Protože je ale ý v xo spojitá, musí existovat okolí 0(xo), na kterém bude ý(x) > 0. Pak ale s rostoucím x nutně poroste i hodnota f(x). Stejná argumentace ověří i tvrzení se zápornou derivací. □ Funkce, které mají vlastnost f(b) > f (a) kdykoliv b > a pro nějaké okolí bodu xq se nazývají rostoucí v bodě x0. Funkce rostoucí ve všech bodech nějakého intervalu se nazývá rostoucí na intervalu. Podobně je funkce klesající v bodu, resp. klesající na intervalu, jestliže f(b) < f (a) kdykoliv je a < b. Náš důsledek tedy říká, že funkce která má v bodě nenulovou konečnou derivaci je v tomto bodě buď rostoucí nebo klesající podle znaménka této derivace. Jako ilustraci jednoduchého použití vztahu derivace k růstu hodnot funkce se podívejme na existenci inverzí polynomů. Protože polynomy jen zřídka jsou výhradně rostoucí nebo klesající funkce, nemůžeme očekávat, že by k nim existovaly globálně definované inverzní funkce. Naopak ovšem inverzní funkce k polynomu / existují na každém intervalu mezi kořeny derivace /', tj. tam kde derivace polynomu je nenulová a nemění znaménko. Tyto inverzní funkce nebudou nikdy polynomy, až na případ polynomů stupně jedna, kdy z rovnice y = ax + b spočteme přímo 1 x = -(y - b). a U polynomu druhého řádu obdobně vede k formuli y = ax + bx + c -b ± j b2 - 4a(c - y) 2a x cos x - siní lim -:- = lim x^o xsinx x^o cos x -isini cosx -x sin x sinx + x cosx lim x^o sinx + x cosx Druhým použitím 1'Hospitalova pravidla pro typ 0/0 pak již dostaneme -xsinx — sinx—x cosx 0 — 0 lim lim x->o sinx + x cosx ^o cosx + cosx — x sinx 1 + 1 — 0 0. □ 5.35. Určete lnx lim -, x^+qo x lim x e x^0- lim x ln —, lim x e*; x^0+ x x^0+ e *z lim x^0 x 100 ' lim (ln x — x) ; lim -. x^+oo x + lnx • cosx lim *^+°° ^x +3 lim Vx2 + 1 ' Řešení. Snadno lze zjistit (např. n-násobným užitím 1'Hospitalova pravidla), že pro libovolné n e N je x" ex lim — =0, tj. lim — = +oo. jc^+oo Qx jc^+oo xn Z Věty o třech limitách potom pro reálná čísla a > 0 ihned plyne zobecnění x° ex lim — =0, tj. lim — = +oo. jc^+oo Qx jc^+oo xf1 Uvážíme-li, že grafy funkcí y = ď a y = lnx (inverzní funkce k y = ď) jsou symetrické vzhledem k přímce y = x, víme dále lnx x lim -= 0, tj. lim - = +oo. x^+oo x x^+oo lnx Získali jsme tak první výsledek. Ten přitom dává rovněž 1'Hospi-talovo pravidlo, podle kterého je lnx 7 1 lim -= lim — = lim — = 0. x^+qo x x^+qo 1 x^+qo x Upozorněme, že 1'Hospitalovo pravidlo lze použít k vyčíslení každé z dalších pěti uvedených limit. Je ovšem možné určit tyto limity jednoduššími způsoby. Např. substituce y = 1/x vede na 1 lny lim x ln — = lim -= 0; x^0+ x y^+oo y lim x e1 x^0+ lim — = +oo. y^+oo y Samozřejmě x -> 0+ dává y = 1/x -> +oo (píšeme 1/ + 0 = +oo). Pomocí substitucí u = —1/x, v = 1 /x2 po řadě dostáváme lim x e jc^O- _ J_ e *2 lim x^0 x 100 = lim--= V50 lim — = 0, -oo; 249 E. ĽHOSPITALOVO PRAVIDLO 3. DERIVACE přičemž x -» 0— odpovídá u = —l/x -» +00 (píšeme —1/ — 0 = +00) a x -» 0 potom 1; = 1 /x2 -» +00 (znovu 1/ + 0 = +00). Již dříve jsme také objasnili, že platí lim (lnx — x) = lim —x = —00. 5.19 Případné pochyby snad rozptýlí limita lnx — x / x -lim - = lim I 1-- x^+qo lnx x^+oo \ mx> -00, která dokazuje, že při zmenšení absolutní hodnoty uvažovaného výrazu (aniž by došlo ke změně znaménka) stále výraz v absolutní hodnotě roste nade všechny meze. Stejně snadno umíme určit lim - = 1: x^+00 x + lnx • cosx x^+00 x lim x^+oo lim lim X/x + 3 0 podíl 1 x 1 + ----- — ln x • sin x x + cos x — x ln x • sin x x který je složitější než původní. Dokonce pro x -» +00 limitu nemá. Není tedy splněn jeden z předpokladů 1'Hospitalova pravidla. Ve druhém případě pak (libovolný počet opakovaných) použití 1'Hospitalova pravidla vede na neurčité výrazy. Pro poslední limitu nás 1'Hospitalovo pravidlo vrátí do zadání: dává nejdříve zlomek 1 2x 2Jx2 + l a následně 2x 27*2 + 1 1 VxTTT Odsud můžeme odvodit, že limita je rovna 1 (hledáme nezápornou hodnotu a e M takovou, aby platilo a = a~l), pouze když dříve dokážeme, že vůbec existuje. □ Další příklady na výpočet limit užitím LHospitalova pravidla na-lezneet na straně 286. a inverze tedy existuje (a je dána touto formulí) jen pro x na intervalech (—00, — ^), (—5^, 00). Pro práci s inverzními funkcemi k polynomům nevystačíme s dosavadními funkcemi a dostáváme v našem zvířetníku nové přírůstky. 5.32. Pravidla pro počítání derivací. Uveďme si nyní několik základních tvrzení o výpočtech derivací. Říkají nám, jak dobře se snáší operace derivování s algebraickými operacemi sčítání a násobení na reálných nebo komplexních funkcích. Poslední z pravidel pak umožňuje efektivní výpočet derivace složených funkcí a říkává se mu „chain rule". Intuitivně jim můžeme všem velice snadno rozumět, když si derivaci funkce y = f (x) představíme jako podíl přírůstků závislé proměnné y a nezávislé proměnné x: Ay Ax' Samozřejmě pak při y = h(x) = f(x) + g(x) je přírůstek y dán součtem přírůstků fugu přírůstek závislé proměnné zůstává stejný. Je tedy derivace součtu součtem derivací. U součinu musíme být malinko pozornější. Pro y = f (x)g (x) je přírůstek Ay = f (x + Ax)g(x + Ax) - f (x)g (x) = f(x + Ax)(g(x + Ax) - g (x)) + (f (x + Ax) - f (x)) g (x) Nyní ale když budeme zmenšovat přírůstek Ax, jde vlastně o výpočet limity součtu součinů a o tom už víme, že jej lze počítat jako součet součinů limit. Proto z naší formulky lze očká vat pro derivaci součinu f g výraz f g' + f g, kterému se říká Leibnitzovo pravidlo. Ještě zajímavější je to pro derivaci složené funkce g = ho f, kde definiční obor funkce z = h(y) obsahuje obor hodnot funkce y = f (x). Opět vypsáním přírůstků dostáváme , _ Az _ Az Ay S Ax Ay Ax' Můžeme tedy očekávat, že pravidlo pro výpočet bude (h o f)'(x) = h'(f(x))f'(x). Podáme nyní korektní formulace a důkaz: J Pravidla pro derivování j I Věta. Nechť f a g jsou reálné nebo komplexní funkce definované na okolí bodu xq e M a mající v tomto bodě vlastní derivaci. Potom (1) pro každé reálné nebo komplexní číslo c má funkce x i-> c • f(x) derivaci v platí (cfY(x0) = c(f'(x0)), (2) funkce f + g má v xq derivaci a platí (f + 8)'(x0) = f'(x0)+g'(x0), (3) funkce f ■ g má v xq derivaci a platí (/ • S)'(*o) = /'(*o)s(*o) + /(*o)s'(*o)- 250 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO (4) Je-li dále h funkce definovaná na okolí obrazu y q = f(xo), která má derivaci v bodě yo, má také složená funkce h o f derivaci v bodě platí (h o f)'(x0) = h'(f(x0)) ■ f'(x0). Důkaz. (1) a (2) Přímé použití věty o součtech a součinech limit funkcí dává výsledek. (3) Přepíšeme vztah pro podíl přírůstků, který jsme zmínili před formulací věty, takto F. Extremální úlohy Jednoduché pozorování 5.31 o geometrickém významu derivace nám také říká, že extrémy diferencovatelné reálné funkce jedné reálné proměnné mohou nastat pouze v bodech, kde je derivace dané funkce nulová. Tohoto prostého faktu lze využít při řešení množství zajímavých praktických úloh. ifg)ix) " (/s)(*o) /(*) g(x) - g(x0) ^ f{x)- fjx0) 5.36. Určete x-ovou souřadnici xA bodu paraboly y nejblíže bodu A = [1, 2]. x2, který je x — Xq Limita tohoto výrazu pro x sledek, protože je funkce / spojitá v xq. (4) Podle lematu 5.30 existují funkce ý a 9 spojité v bodech xq a yo = fixo) takové, že hiy) = hiy0)+cpiy)iy-y0), fix) = fix0)+Ýix)ix-x0) na nějakých okolích xo a yo- Navíc pro ně platí Ýixo) = fixo) a (piyo) = h'iyo). Pak ovšem také platí hifix)) - hifix0)) = cpi fix)) i fix) - /(x0)) = (p(f (x))ý(x)(x ~ xq) pro x z okolí bodu x0. Součin cpifix))Ýix) je ovšem spojitá funkce v x0 a její hodnota v bodě x0 je právě požadovaná derivace složené funkce, opět podle lemmatu 5.30. □ x — xq x — xq ~ nesení. Není obtížné uvědomit si, že přiklad má právě jedno řešení xo dá právě požadovaný vý- a že úkolem je vlastně najít absolutní minimum funkce 76 fix) l)2 + (x2-2)2, x e Derivace podílu 5.19a 5.33. Důsledek. Nechť f a gjsou reálné funkce, která mají v bodě xq vlastní derivace a g(xo) ^ 0. Pak pro funkci hix) = fix)igix))~l platí h'ixo) = [Ĺ \ (xq) //(x0)g(x0) - /(x0)g/(x0) igixo))2 Důkaz. Dokážeme si nejprve speciální případ vzorce pro hix) = x" _1. Přímo z definice derivace dostáváme i i h'ix) lim Ajc^O x+Ax Ax -1 x — x — Ax lim--- Ax^o Ax(x2 + xAx) 1Ím "o Ax^o x1 + xAx a z pravidel pro počítání limit okamžitě plyne h'ix0) = —x~2. Nyní pravidlo pro derivaci složené funkce říká, že „-2 „/ i.8 a konečně pravidlo pro derivaci součinu nám dává právě -2 , f'g ~ ď if/8)' = (/ •. "V /'á fg-Zg' □ Funkce / má zjevně nejmenší hodnotu ve stejném bodě jako funkce g(x) = (x - l)2 + (x2 - 2)2, x e R. 6x — 2, x e Neboť g'ix) = 4x3 řešením rovnice 0 = 2x3 — 3x — 1 dostáváme nejprve stacionární bod x = — 1 a po vydělení polynomu 2x3 — 3x — 1 polynomem x + 1 také zbývající dva stacionární body a Protože funkce g je polynomem (má derivaci na celé reálné ose), z geometrického významu úlohy již získáváme xA 1-73 2 1+V3 2 • 1+V3 2 • □ 5.37. Do rovnoramenného trojúhelníku o základně z a výšce v (nad základnou) vepište obdélník (jedna jeho strana bude částí základny trojúhelníku) s největším obsahem. Stanovte obsah S tohoto obdélníku. Řešení. Pro vyřešení příkladu postačuje uvažovat úlohu, kdy se snažíme vepsat do pravoúhlého trojúhelníku s odvěsnami délek z/2 a v obdélník s maximálním možným obsahem, přičemž dvě jeho strany musí být částmi odvěsen tohoto trojúhelníku. Úlohu takto převedeme na otázku maximalizace funkce fix) =x(v na intervalu / = [0, z/2]. Neboť je 2vx z ) — pro všechna x e / a dále /(O) = / (f) = 0, fix) > 0, x e /, 251 F. EXTREMÁLNÍ ÚLOHY 3. DERIVACE v jediném svém stacionárním bodě x0 = z/4 nutně nabývá fun^Be 2fÔ maxima na /. Proto jsou strany hledaného obdélníku dlouhé z/2 (dvojnásobek x0: uvažujeme původní úlohu) a u/2 (to lze získat dosazením z/4 za x do výrazu v — 2vx/z). Odsud dostáváme, že S = vz/4. □ 5.38. Firma hledá obdélníkovou parcelu o rozměrech 5a x b se záměrem ji po obvodu celou oplotit a pak ještě ploty kolmými na první stranu rozdělit na 5 stejně velkých parcel o rozměrech a x b. Pro jaké hodnoty a, b bude rozloha parcely S = 5ab maximální, má-li být celková délka plotů 2 400 m? Řešení. Přeformulujme zadání: Chceme maximalizovat součin 5ab při splnění podmínky (5.1) 6b + 10a = 2 400, a,b>0. Lehce lze ukázat, že funkce a h-» 5a 2 400-10a definovaná pro a e [0, 240] nabývá maximální hodnoty v bodě a 120. Proto je výsledek a = 120 m, b = 200 m. Doplňme, že uvedená hodnota b bezprostředně plyne z (5.1). e5.5 □ 5.39. Mezi obdélníky, jejichž dva vrcholy leží na ose x a další dva s kladnými druhými souřadnicemi na parabole y = 8 — 2x2, najděte obdélník s maximálním obsahem. Řešení. Základna obdélníku s maximálním obsahem měří 4/V3,jeho výška pak 16/3. Tento výsledek lze obdržet nalezením absolutního maxima funkce S(x) = 2x (8 - 2x2) na intervalu / = [0, 2]. Neboť tato funkce je na / nezáporná, v krajních bodech / nulová a má derivaci na celém /, přičemž její derivace je nulová pouze v jednom bodě intervalu /, a to v bodě x = 2/V3, nabývá zde maximální hodnoty. □ 5.40. Do rovnostranného trojúhelníka o straně a je vepsán pravoúhel-ník (jedna jeho strana leží na straně trojúhelníka, zbylé dva vrcholy leží na zbylých stranách trojúhelníka). Jaký může mít maximálně obsah? Řešení. Vepsaný pravoúhelník má strany x, *j3/2(a — x), tedy obsah \/3/2(a — x)x. Maximum pro x = a/2, tedy maximální obsah je (V3/8)a2. □ 5.41. Ve čase t = 0 se začaly pohybovat tři body P, Q, R v rovině a to bod P z bodu [—2, 1] směrem (3, 1), rovnoměrnou rychlostí -v/lÔm/s, bod Q z bodu [0, 0] směrem (—1, 1) rovnoměrně zrychleným pohybem se zrychlením 2~J2 m/s2 a bod R z bodu [0,1] směrem 5.34. Derivace inverzních funkcí. V odstavci 1.36 jsme při obecné diskusi relací a zobrazení formulovali pojem inverzní funkce. Pokud k dané funkci / : M -» M inverzní funkce f~l existuje (neza-4^vr^^^~~ měňujme značení s funkcí x h-» (/(x))-1), pak je dána jednoznačně kterýmkoliv ze vztahů f~l o f = idM, f o f'1 = idM, a druhý již pak platí také. Pokud je / definováno na podmnožině A c M a f (A) = B, je existence f~l podmíněna stejnými vztahy s identickými zobrazeními iáA resp. idB na pravých stranách. Pokud bychom věděli, že pro diferencovatelnou funkci / je i f~l diferencovatelná, pravidlo pro derivaci složené funkce nám okamžitě říká 1 = (id)'(x) = (Z"1 o /)'(*) = (/_1)'(/W) • /'(*) a tedy pak přímo víme vzorec (zjevně f'(x) v takovém případě nemůže být nulové) -| Derivace inverzní funkce |_ (5.6) (/_1)'(/W) fix) J To dobře odpovídá intuitivní představě, že pro y = f(x) je přibližně /' = -ff zatímco pro x = f~l (y) je to přibližně . Takto skutečně můžeme derivace inverz- if~l)'iy) nich funkcí počítat: Ax Ay Věta. Je-li f diferencovatelná reálná funkce na okolí bodu xq a v tomto bodě f(xo) ^ 0, pak existuje na nějakém okolí bodu yo = f (xq) funkce f~l inverzní k f a platívztah (5.6). Důkaz. Nejprve si povšimněme, že nenulovost derivace znamená, že na nějakém okolí je naše funkce / buď ostře rostoucí nebo klesající, viz důsledek 5.31. Proto na nějakém okolí nutně existuje inverzní funkce. Protože je obrazem ohraničeného uzavřeného intervalu ve spojité funkci opět uzavřený interval, nutně je také pro každou otevřenou množinu U v definičním oboru / i obraz f(U) otevřený. Pak ale přímo z definice spojitosti pomocí okolí je pak tato inverzní funkce také spojitá. Pro odvození našeho tvrzení nyní postačí pozorně znovu pročíst důkaz čtvrtého tvrzení věty 5.32. Jen volíme / místo funkce Aa/"1 místo / a místo předpokladu existence derivací pro obě funkce víme, že funkce složená je diferencovatelná (a víme, že její derivace je identita): Skutečně, podle lematu 5.30 existuje funkce ý spojitá v bodě yo taková, že fiy) - fiyo) = lnx)' = axa~l. Podívejme se teď na exponenciály f(x) = ax. Pokud existuje derivace ax ve všech bodech x, bude jistě platit x+Kx _ A* _ l f'(x) = lim ■ ax lim ■ Ax Ajc^o Ax Naopak, pokud existuje derivace v nule, pak tento výpočet ověřuje existenci derivace v kterémkoliv bodě a dává její hodnotu. Zároveň jsme ověřili platnost téhož vztahu pro derivace zprava a zleva. Bude nám to ještě dlouho trvat, než ověříme (viz 5.42, 5.47 a 6.43), že derivace exponenciálních funkcí skutečně existují. Již teď si ale všimněme, že jsou to tedy zvláštní případy funkcí, jejichž derivace jsou úměrné hodnotám s konstantním koeficientem úměrnosti. Zároveň uvidíme, že existuje obzvlášť užitečný základ e, tzv. Eulerovo číslo, pro které bude derivace v nule rovna jedné. Zjevně pak (ax)' = (éD{a)xy = ln(a)(én(a)x) = ln(a) • ax. Z definičního vztahu pro přirozený logaritmus énx =x snadno spočteme podle pravidla pro derivaci složené funkce (užíváme již, že ď je rovno své derivaci, a také definiční vztah pro logaritmus): (5.8) (ln)'(y) = (ln)'(e*) 1 1 1 /'(OK (exy y 5.36. Věty o střední hodnotě. Než se pustíme do dalšího tématu na naší pouti za různorodými definicemi funkcí, odvodíme ještě několik jednodu-' chých výsledků o derivacích. Všechny jsou velice snadno intuitivně jasné z přiložených obrázků a důkazy vlastně jen rozepisují vizuální představu. (1, 0) rovnoměrnou rychlostí 2m/s. V jakém čase bude obsah trojúhelníku P Q R minimální? Řešení. Rovnice bodů P,Q,Rv čase jsou P : [-2, 1]+ (3, l)ř Q : [0,0]+ (-1, l)ř2 R : [0, 1] + (2, 0)ř Obsah trojúhelníka P QR\e určený např. polovinou absolutní hodnoty determinantu, jehož řádky jsou souřadnice vektorů P Q a. Q R (viz Matematika I). Minimalizujeme tedy determinant: -2 + t t2-2t t -1 +ř2 2ř - t +2. Derivace je 6t2 — 1, extrémy tedy nastávají pro ř = ±-^, vzhledem k tomu, že uvažujeme pouze nezáporný čas, vyšetřujeme pouze t = jde o minimum, navíc je hodnota determinantu v tomto bodě kladná a menší, než hodnota v bodě 0 (krajní bod intervalu, na kterém hledáme extrém), je tedy o globální minimum obsahu v čase. □ 5.42. V devět hodin ráno vylezl starý vlk z nory JV av rámci ranní rozcvičky začal běhat proti směru hodinových ručiček po kružnici o poloměru lkm, kolem svého oblíbeného pařezu f a to rovnoměrnou rychlostí 4 km/h. Ve stejnou dobu vyrazila Karkulka z domu D k babičce sídlící v chaloupce C rychlostí 4 km/h (po přímce). Kdy si budou nejblíž a jaká tato vzdálenost bude? Souřadnice (v kilometrech): /V = [2, 3], f = [3, 3], D = [0, 0], C = [5, 5]. Řešení. Vlk se pohybuje po jednotkové kružnici, jeho úhlová rychlost je tedy stejná jako jeho absolutní rychlost a jeho dráhu můžeme v závislosti na čase popsat následujícími parametrickými rovnicemi: x(ř) = 2 - cos(4ř), y(t) = 2- sin(4ř), Karkulka se pak pohybuje po dráze x(ř) = 2V2ř, y(ř) = 2V2ř. Nalezněme extrémy (čtverce) vzdálenosti p jejich drah v čase: p{f) = (2 - cos(4ř) - 2V2ř)2 + (2 - sin(4ř) - 2V2ř)2 p'it) = 16(cos(4ř) - sin(4ř))(V2ř - 1) + 32ř+ + 4V2(cos(4ř) + sin(4ř)) - I6V2 Řešit algebraicky rovnici p'it) = 0 se nám nepodaří (ani to nelze), zbývá pouze najít řešení numericky (pomocí výpočetního softwaru). Zjistíme, že lokální minima nastávají pro t = 0, 31 a poté pro t = 0, 97, kdy bude vzdálenost vlka a Karkulky asi 5 metrů. Je zřejmé, že půjde i o globální minimum. 253 F. EXTREMÁLNÍ ÚLOHY 3. DERIVACE Situace, kdy neumíme explicitně vyřešit daný problém je v jr&xiL velmi častá a použití numerických metod výpočtu má velký význam. □ 5.43. Pro jaká a e M je kubický polynom P vyhovující vztahům P(0) = 1, P'(0) = 1, P(l) = 2a + 2, P'(l) = 5a + 1, monotónní funkcí na celém M? Řešení. Z podmínek P(0) = 1 a P'(0) = 1 plyne, že P(x) = bx3 + cx2 + x + 1, kde b, c e M, zbylé dvě podmínky určují dvě rovnice pro neznámé b a. c: b + c + 2 = 2a + 2, 3b + 2c + 1 = 5a + 1 s jediným řešením b = c = a, polynom vyhovující zadaným podmínkám je tedy P (x) = ax3 + ax2 + x +1. Podmínka na to, aby byl monotónní funkcí na celém M, je ekvivalentní tomu, že polynom nemá lokální extrém. Extrémy mohou nastat v kritických bodech, tedy v nulových bodech derivace. Pokud tedy derivace nebude mít nulových bodů, fukce bude monotónní. Derivace je 3ax2 + 2ax + 1 P'(x) 6.2 a nebude mít nulových bodů, bude-li její diskriminant záporný. Navíc inflexní body P (x) odpovídají bodům, kde je nulová první i druhá derivace (a nenulová třetí, což je v případě kubického polynomu automatické), tedy násobným kořenům P'(x). P'(x) má násobné kořeny, právě když je její diskriminant nulový. Celkem je podmínka monotónnosti P(x) ekvivalentní nekladnosti diskriminantu P'(x), tedy ,2 AaL - 12a 4a(a - 3) 0 0, což odpovídá a e (0, 3). Pro a = 0 však P sice je monotónní funkcí, nikoliv však kubickým polynomem. Dané podmínky splňují právě a e (0,3). □ 5.44. Regiomontanův problém, 1471. V muzeu na stěně visí obraz. Jeho dolní okraj je a metrů nad zemí ^ a horní okraj pak b metrů nad zemí (tj. výška obrazu je - a). Na obraz se dívá turista, jehož oči jsou ve Ivýšqei h < a metrů nad zemí. (Důvodem nerovnosti h < a může např. být, že se tak dá umožnit výhled stejně vysokým návštěvníkům muzea stojícím v několika řadách.) Jak daleko od stěny má turista stát, aby maximalizoval velikost svého úhlu pohledu na obraz? Řešení. Jako x označme vzdálenost (v metrech) turisty od stěny a jako cp jeho úhel pohledu na obraz. Dále zaveďme (viz obrázek) úhly a, f3 e (0,77-/2) vztahy tg <* b-h tg č a—h Věta. Nechť funkce f : M -» M je spojitá na konečném uzavřeném intervalu [a,b] a diferencovatelná uvnitř tohoto intervalu. Jestliže platí f {a) = f(b), pak existuje c e (a, b) takové, že f'(c) = 0. Důkaz. Protože je funkce / spojitá na uzavřeném intervalu (tj. kompaktní množině), má na něm maximum a minimum. Pokud by maximum i minimum mělo stejnou hodnotu f (a) = f(b), pak by funkce / byla konstantní a tedy i její derivace by byla nulová ve všech bodech intervalu (a,b). Předpokládejme tedy, že buď maximum nebo mimimum je jiné a nechť nastává jedno z nich ve vnitřním bodě c. Pak ovšem není možné, aby v c bylo f'(c) ^ 0, protože to by v tomto bodě byla byla funkce / buď rostoucí nebo klesající (viz 5.31) a jistě by tedy v okolí bodu c nabývala větších i menších hodnot, než je f(c). □ Právě dokázanému tvrzení se říká Rolleova věta. Z ní snadno vyplývá následující důsledek, známý jako věta o střední hodnotě. 5.37. Věta. Nechť funkce f : M -» M. je spojitá na intervalu [a,b]a diferencovatelná uvnitř tohoto intervalu. Pak existuje c e (a, b) takové, že f(b) - f (a) b — a Důkaz. Důkaz je prostým zápisem geometrického významu tvrzení: k sečně mezi body [a, f (a)] a [b, f(b)] existuje tečna, která je s ní rovnoběžná (namalujte si obrázek). Rovnice naší sečny je y = g(x) = f (a) + -^-^-(x - a). b — a Rozdíl h(x) = f(x) — g(x) udává vzdálenost grafu od sečny (v hodnotách y). Jistě platí h (a) = h(b) a u'( ^ f( ^ f{b) ~ f{a) h(x) = f (x)----. b — a Podle předchozí věty existuje bod c, ve kterém je h'(c) = 0. □ Větu o střední hodnotě můžeme také přepsat ve tvaru: (5.9) f(b) = f (a) + f'(c)(b - a). V případě parametricky zadané křivky v rovině, tj. dvojice funkcí y = f(t),x = g(t), je stejný výsledek o existenci rovnoběžné tečny k sečně krajními body popsán takto: Důsledek. Nechť funkce y = f (t) a x = g (t) jsou spojité na intervalu [a, b] a diferencovatelné uvnitř tohoto intervalu a g'(t) ^ 0 pro všechny t € (a, b). Pak existuje bod c e (a, b) takový, že platí f (b) - f (a) _ f'(c) g (b) - g (a) g'(c)' 254 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO Důkaz. Opět spoléháme na použití Rolleovy věty. Položíme proto h(t) = (f(b) - fia))g(t) - (g(b) - gia))f(t). Nyní h(a) = fib)g(a) - f(a)g(b), h(b) = fib)g(a) -f(a)g(b), takže existuje c e (a, b) takový, že h'(c) = 0. Protože je g'(c) ^ 0, dostáváme právě požadovaný vztah. □ Podobná úvaha jako v posledním tvrzení vede k mimořádně užitečnému nástroji pro počítání limit podílu funkcí. Tvrzení je znám jako UHospitalovo pravidlo: 5.38. Věta. Předpokládejme, že f a g jsou funkce diferencovatelné v okolí bodu xo e M, ne však nutně v bodě x$ samotném, a nechť existují limity 0, lim g(x) = 0. X^-Xq lim f(x) Jestliže existuje limita pak existuje i limita a jsou si rovny. lim X^-XQ lim X^-XQ fix) g'ix) fjx) gix) Důkaz. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že v x0 mají funkce / a g nulovou hodnotu. Výsledek je opět jednoduše představitelný po-tžt^ mocí obrázku. Uvažujme body [g(x), f(x)] e i2 parametrizované proměnnou x. Podíl hodnot pak odpovídá směrnici sečny mezi body [0, 0] a [f(x), g(x)]. Zároveň víme, že podíl derivací odpovídá směrnici tečny v příslušném bodě. Z existence limity směrnic tečen tedy chceme dovodit existenci limity směrnic sečen. Technicky lze využít věty o střední hodnotě v parametrickém tvaru. Předně si uvědomme, že v tvrzení věty implicitně předpokládáme existenci výrazu f'(x)/g'(x) na nějakém okolí x0 (kromě bodu x0 samotného), zejména tedy pro dostatečně blízké body c k x0 bude g'(c) ^ O.2 Díky větě o střední hodnotě nyní lim /(*) lim f(x) - f(x0) _____ lim ►*o gix) x^x0 gix) - g(x0) *^*o g'(cx) kde cx je číslo mezi xo a x, závislé na x. Z existence limity fix) fiCx) lim X^-XQ >,'ix) vyplývá, že stejnou hodnotu bude mít i limita libovolné posloupnosti vzniklé dosazením hodnot x = xn jdoucích k x0 Pro samu existenci limity v obecném smyslu to vždy nutné není, nicméně pro tvrzení L'Hospitalovy věty je to potřebné. Podrobnou diskusi je možné najít (vygooglovat) v populárním článku 'R. P. Boas, Counterexamples to L'Hôpitaľs Rule, The American Mathematical Monthly, October 1986, Volume 93, Number 8, pp. 644-645.' Naším úkolem je maximalizovat cp = a — f3. Doplňme, že pro h > b lze postupovat analogicky a že pro h e [a, b] se zřejmě úhel

= *T~Z-HV X € [0' +00)- Z vyjádření . _ (b-a)[x2+(b-h)(a-h)]-2x2(b-a) _ (b-a)[(b-h)(a-h)-x2] [x2+(b-h)(a-h)f ~ [x2+(b-h)(a-h)f ' (0, +oo) vidíme, že fix) > 0 pro x e (o, y/(b - h)(a - hýj , fix) < 0 pro x e (^/ (b — h)(a — h), +oo^ . Funkce / má proto globální maximum v bodě x0 = ■s/ib — h)(a — h) (připomeňme nerovnosti h < a < b). Určit bod x0 lze samozřejmě i jinými způsoby. Můžeme např. místo hledání maxima kladné funkce / na intervalu (0, +oo) pomocí diferenciálního počtu hledat globální minimum funkce x e (0, +oo) ,(r\ 1 x2 + (b-h)(a-h) _x___, 'w f(x) x(b-a) b-a ^ x(b-a) ' využitím tzv. A-G nerovnosti (mezi aritmetickým a geometrickým průměrem) ^>y^ V!,y2>0, ve které rovnost nastává právě pro y\ = y2. Volba (b-h)(a-h) yiW = j^. yiix) x(b—a) totiž dává g{x) = yi(x) + y2(x) > 2 Vyi(x)y2(x) = ^ J(b - h) (a - h). Pokud tak existuje x > 0, pro které je yi(x) = y2ix), má funkce g v bodě x globální minimum. Rovnice yiW = y2(x), tj. b—a (b-h)(a-h) x{b—a) ' má jediné kladné řešení x0 = ~Jib — h)(a — h). Dvěma odlišnými způsoby jsem stanovili ideální vzdálenost turisty od stěny. Hodnotě x0 odpovídá X(j(b-a) _ b—a l Jh2+x2 v2 Jh\+(d-x)2 jednoduchou úpravou dostáváme Ji 2+*2 Jh2+(d-x)2 «2 ' Tento tvar je pro nás užitečný, neboť (viz obrázek) d—x sin^i srn x0 a proto bude existovat i limita lim f'(Cx) x^x0 g'(cx) a poslední dvě limity zjevně budou mít stejnou hodnotu. Dokázali jsme tedy, že naše hledaná limita existuje a má také stejnou hodnotu. □ Z důkazu věty je samozřejmé, že její tvrzení platí i pro jednostranné limity. 5.39. Důsledky. LHospitalovo pravidlo můžeme jednoduše rozšířit i pro limity v nevlastních bodech ±oo a pro případ nevlastních hodnot limit. Je-li, např. lim f(x) = 0, lim g(x) = 0, potom je limx^0+ /(V*) = 0 a limx^0+ g(l/x) = 0. Zároveň z existence limity podílu derivací v nekonečnu dostaneme lim *-o+ (g(l/x)Y lim /'(l/x)(-l/x2) >o+ g'(l/x)(-l/x2) lim >o+ g'(l/x) lim - x^qo g'(x) Použitím předchozí věty tedy dostáváme, že v tomto případě bude existovat i limita podílu fix) lim - x^oo g(x) x^0+ g(l/x) y m/x) f'(x) lim -= lim ť(x) Ještě jednodušší je postup při výpočtu limity v případě, kdy Stačí totiž psát lim f(x) = ±oo, lim g(x) = ±oo. X^-XQ X^-XQ lim fix) lim l/8ix) x^x0 g(x) x^x0 \/f(x) což je již případ pro použití LHospitalova pravidla z předchozí věty. Lze ale i dokázat, že LHospitalovo pravidlo platí ve stejné formě pro nevlastní limity: Věta. Nechť f a g jsou funkce diferencovatelné v okolí bodu xo e M, ne však nutně v bodě x$ samotném, a nechť existují limity \imx^Xo f(x) = ±oo a limx^Xo g(x) = ±oo. Jestliže existuje limita fix) lim x^x0 g'(x) pak existuje i limita a jsou si rovny. lim fix) x^x0 g(x) 256 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO Důkaz. Opět lze vyjít z věty o střední hodnotě. Základem je vyjádření podílu tak, abychom dostali do hry derivaci: /(*) _ /(*) /(*) - fiy) - g(y) g(x) f(x)-f(y) ' g(x)-g(y) ' g(x) kde y volíme nějaký pevný ze zvoleného okolí x0 a x necháme blížit k x0. Protože jsou limity / i g v x0 nekonečné, můžeme jistě předpokládat, že rozdíly hodnot v x a y jsou u obou funkcí při pevném y nenulové. Pomocí věty o střední hodnotě můžeme nyní nahradit prostřední zlomek podílem derivací ve vhodném bodě c mezi x a y a výraz ve zkoumané limitě dostává tvar 1 /(*) gix) g(y) 1 f(y) /(*) fic) 8'ic) ' 6. 4a kde c závisí na x i y. Při pevném y a x jdoucím k xo jde první zlomek zjevně k jedničce. Když zároveň budeme y přibližovat k x0, bude se nám druhý zlomek libovolně přesně blížit k limitní hodnotě podílu derivací. □ 5.40. Příklad použití. Vhodnými úpravami sledovaných výrazů lze využít LHospitalova pravidla také na výrazy typu oo — oo, 1°°, 0 • oo apod. Zpravidla jde o prosté ho^něvdmhé části přepsání výrazů nebo o využití nějaké hladké funkce, např. textu, včetně exponenciální. takových jako je ^ /v . . 1 .1^1 .1 zaprocentován Ukážeme si pro ilustraci takového postupu souvislost aritmetického a geometrického průměru z n nezáporných hodnot Xi. Aritmetický průměr 1 x y I * * * I 3Cfi Ml(xi,...,xn) =- n je speciálním případem tzv. mocninného průměru stupně r: Af (xi, ...,x„) Speciální hodnota M~l se nazývá harmonický průměr. Spočtěme si nyní limitní hodnotu Af pro r jdoucí k nule. Za tímto účelem spočteme limitu pomocí LHospitalova pravidla (jde o výraz 0/0 a derivujeme podle r, zatímco x; jsou při výpočtu konstantní parametry). Následující výpočet, ve kterém užíváme pravidla pro derivování složených funkcí a znalosti hodnot derivace mocninné funkce, musíme číst odzadu. Z existence poslední limity plyne existence předposlední a její hodnota atd. ln(i(x[+...+xrn)) lim ln(Af (Xi r->0 , x„)) i xrx ln x\H-----Yxrn ln xn lim r->0 lim lnxi + • • • + lnx„ Odtud tedy je přímo vidět, že ln^/xi xn. lim Mr(xu x„) = ýx[ . . . Xtj Uvědomme si, že při zvětšujícím se 0, existuje právě jeden stacionární bod x0. Z nerovností T'(x) < 0 pro x e [0, x0) a T'(x) > 0 pro x e (x0, d] již plyne, že ve stacionárním bodě x0 je globální minimum. Shrňme předchozí. Paprsek je zadán bodem lomu R (hodnotou x0) a bod R je potom určen identitou (5.2), která se ve fyzice označuje jako Snellův zákon. Podíl rychlostí v\ a v2 je pro uvedená homogenní prostředí konstantní a vyjadřuje důležitou veličinu, jež popisuje rozhraní optických prostředí. Nazývá se index lomu a značí se n. Obvykle se požaduje, aby první z prostředí bylo vakuum, tj. klade se v\ = c a v2 = v, se ziskem (absolutního) indexu lomu n = c/v. Pro vakuum je n = 1. Také pro vzduch se používá n = 1, neboť při standardních podmínkách (tj. při tlaku 101 325 Pa, teplotě 293 K a absolutní vlhkosti 0, 9 g • m"3) je pro vzduch n = 1, 000272. U ostatních prostředí se uvádí n > 1 (např. se klade n = 1,31 pro led, n = 1, 33 pro vodu, « = 1,5 pro běžné sklo). Index lomu ovšem rovněž závisí na vlnové délce uvažovaného elektromagnetického vlnění (kupř. pro vodu a světlo se jedná o rozsah od n = 1, 331 až po n = 1, 344), kdy index lomu zpravidla klesá s rostoucí vlnovou délkou. Rychlost světla v optickém prostředí s indexem lomu n > 1 totiž závisí na frekvenci světla. Hovoří se o tzv. disperzi světla. Právě disperze světla způsobuje, že se paprsky světla různých barev lámou pod různými úhly. (Nejvíce se láme paprsek fialového světla a nejméně paprsek světla červeného.) To je mj. příčina vzniku duhy. Můžeme dále vzpomenout slavný Newtonův pokus se skleněným jehlanem (optickým hranolem) z roku 1 666. Na závěr ještě doplňme, že naše úloha měla vždy řešení, protože jsme mohli volit bod R libovolně. Pokud by byl s rychlostmi v\ a v2 zadán také úhel 0. Pozici míče (během jeho letu) vyjádříme body [x(t), y(ř)] pro t e [0, řo], přičemž požadujeme, aby x(0) = 0, y(0) = 0, x(ř0) = l, y(řo) = h. Zřejmě je x'(ř) = vq cos cp, y (ř) = vq sincp — gt pro t e (0, řo), kde g je normální tíhové zrychlení (konstanta gravitačního zrychlení). Hodnoty x'(t) a /(ř) totiž po řadě udávají horizontální a vertikální rychlost míče. Integrováním těchto rovnic získáme x(t) = vqí cos cp + c\, y(t) = vqí sin cp 2 , pro ŕ e (0, řo) a ci, c2 el.Z počátečních podmínek = jc(0) = 0, lim y(ř) = y(0) = 0 plyne, že c\ = c2 = 0. Dosazení zbývajících podmínek 1 gt2 + c2 lim x(t) lim x(ť) l, x(t0) 'o- tak již dává l = VqÍq cos cp, Podle první rovnice je (5.3) ř0 a tudíž dostáváme jedinou rovnici (5.4) h = ltgcp- lim y(ř) y(ř0) = h h = v0t0sincp -\g% l Vq cos (p gfi lvi cos2 (p přičemž v0 e (0, +oo),

1 + nb, dostáváme proto pro dva po sobě jdoucí členy naší posloupnosti podíl + 1\h (n2 - l)nn (l + ^i)"-1 n2"(n-\) 1 > (1--) n n — 1 1 1. 1 Je tedy naše posloupnost skutečně rostoucí. Zároveň stejným výpočtem ověříme, že posloupnost čísel 1 1 + - n n + l n ) \ n je klesající a jistě je bn > an. Posloupnost an je tedy zhora ohraničená a rostoucí a proto je její limita dána jejím supre-mem. Zároveň vidíme, že je tato limita rovna také limitě klesající posloupnosti bn). Tato limita proto zadává jedno z nej důležitějších čísel v matematice (vedle nuly, jedničky a Ludolfova čísla jt), Eule-rovo číslo e. Je tedy lim 1 + 1 258 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO 5.24 e5. 11a e5.12 5.42. Mocninná řada pro e*. Exponenciální funkci jsme definovali jako jedinou spojitou funkci splňující /(l) =ea/(i|j) = f(x) ■ /(jfleai&aBJík <',/)' máme vyjádřen jako limitu posloupnosti čísel an, t nutně tedy je ex = lim (an)x. Počítejme nyní pro jednoduchost s kladným x. Jestliže v hodnotách an z minulého odstavce zaměníme n zun/x, opět do-statneme stejnou limitu a proto také lim n lim / X\n (1 + n) Označme si n-tý člen této posloupnosti un(x) x/n)n a vyjádřeme si jej pomocí bionomické věty: (5.10) x n(n — \)x2 (1 + u„(x) 1 + n- + n 2\n2 + ••• + «!;:řVeswwhnb4j n\n x1 ( 1 + 3! xn ( 1 + - 1--ni \ n vesddfttb2 + 1 Protože jsou všechny závorky v součinech menší než jedna, dostáváme také u„(x) < v„(x) n j=o J Podívejme se nyní na formální nekonečný součet (5.11) 1 7=0 7=0 tj. vn(x) je právě součet prvních n členů v tomto formálním nekonečném výrazu. Podíl dvou po sobě jdoucích členů v řadě je /cj = x/(n + 1). Pro každé pevné x tedy existuje N e N takové, že Cj+\/cj < 1/2 pro všechny j > N. Pro takto velké j je ovšem < jCj < 2~ 0. Také nyní nám substituce (tentokráte q = Uq) umožní přejít ke kvadratickému výrazu (na levé straně nerovnice) a následně získat (v2-g[h + V/^T/2])(v2-g[h- V/^TT2]) >o. Protože h < V/i2 + P, musí být ví > h + ^/h2 + P > h + V/i2 + 12 Nejmenší přípustné hodnotě (5.6) v0 = potom odpovídá (viz (5.5)) h + j h2 + P (5.7) tg

řo- *' 2 = V2 < • 2(7 tg ijp—n) cosz

2h l ■ l l Tím jsme ukázali, že při počáteční rychlosti uvedené v (5.6) může hráč koš dát. Při trestném hodu, kdy hráč odhazuje míč ve výšce 2 m, je /i = l,05m, Z = 4, 225 m, g = 9, 80665 m • s"2, a tudíž minimální počáteční rychlost míče činí 259 F. EXTREMÁLNÍ ÚLOHY 4. MOCNINNÉ ŘADY u0 = y9, 806 65 [l, 05 + 7(1, 05)2 + (4, 225)2 m • s" 7, 28 m-s"1. Této rychlosti odpovídá úhel

N pro nějaké pevné ./V (hodně velké) a zvolíme si k < N pevné (docela malé). Pak pro dostatečně velká umíme součet prvních k členů ve vyjádření uN v (5.10) aproximovat libovolně přesně výrazem vk. Protože je tato část součtu uN ostře menší než uN samotné, musí posloupnost un konvergovat k téže limitě jako poslounost v„. Dokázali jsme tedy: J Mocninná řada pro ex |_ Věta. Exponenciální funkce je pro každé x e jako limita částečných součtů ve výrazu 1 n 1 ex = 1 + x H--xl H-----1--xn + ■ 2! n\ vyjádřena ^ n\ «=o i 5.43. Číselné řady. Při dovození mimořádně důležitého tvrzení o funkci ex jsme mimoděk pracovali s několika užitečnými pojmy a nástroji. Sformulujeme si je nyní obecněji: —j číselné nekonečné řady Definice. Nekonečná řada čísel je výraz oo y^fl« = a0 + ai + a2 H-----h ak + ..., «=o kde a„ jsou reálná nebo komplexní čísla. Posloupnost částečných součtů je dána svými členy sk = Yln=o a" a říkáme, že řada konverguje a je rovna s, jestliže existuje konečná limita částečných součtů s = lim s„. Jestliže posloupnost částečných součtů řady má nevlastní limitu, říkáme že řada diverguje k oo nebo — oo. 1 K tomu, aby posloupnost částečných součtů s„ konvergovala, je nutné a stačí, aby byla Cauchyovská. Tzn. že musí být libovolně malé pro dostatečně velká m > n. Protože je \an+1\ H-----h \am\ > \an+1 -\-----h am\, vyplývá z konvergence řady Jľitlo i konvergence řady Eoo k=0 a»- \ Absolutně konvergentní řady |, Říkáme, že řada JZitlo a" konverguje absolutně, jestliže konverguje řada £~ 0 \a„\. 260 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO 5.25a Absolutní konvergenci jsme zavedli, protože se často daleko snadněji ověřuje, zároveň ale následující věta ukazuje, že se v případě aboslutně konver-a. gentních řad i jednoduché algebraické operace chovají všechny velice dobře: 5.44. Věta. Nechť S = >~2T=o an a T = Jľ«^o b" Jsou dvě absolutně konvergentní řady. Pak (1) jejich součet absolutně konverguje k součtu ~ ~ ~ vesdqwa23u S + T = 2_an + 2_^bn = 2_^(an 4bn),- ř7=0 n— 0 n—0 (2) jejich rozdíl absolutně konverguje k rozdílu oo OO OO ř7=0 «—0 «—0 (3) jejich součin absolutně konverguje k součinu oo in S ■ T J2a") ■ EM = E Efl"" Ví=0 \h=0 «=0 \k=0 Důkaz. První i druhé tvrzení jsou bezprostředním důsledkem obdobných vlastností limit. Třetí tvrzení vyžaduje větší pozornost. Označme si n ves2dkjwaz — ^ an- C„ — 7 Un-kUk. k=0 Z předpokladů a podle pravidel pro limitu součinu posloupností dostáváme \J2a") (EM\ J2a")■ (Em \h=0 \«=0 \h=0 \h=0 Máme tedy dokázat, že ° = 1™ ((Ea»)■ (Em-Ec* \h=0 Vi=0 «=0 Porovnejme si nyní výrazy Efl") ' (EM = E aibi' V«=0 / \n=0 / 0k 0k 0ř0_ x(t) = x(t0) = R, limř^ř0_ y(t) = y(t0) = —h poté R = v0t0 cos cp, —h = vqíq sin cp — ^ g/p2 . Z první rovnice plyne v vq cos a tak můžeme předchozí dvě rovnice vyjádřit jedinou rovnicí gR2 (5-8) -h = Rtgq[/í sin 2 0+ nebo cp -> 261 F. EXTREMÁLNÍ ÚLOHY 4. MOCNINNÉ ŘADY /esddwgtt2 it/2— hodnota R zmenšuje) a má derivaci v každém bodě tohoto intervalu, maxima musí nabývat tam, kde je derivace nulová. To znamená, že R(cp) může být maximální pouze tehdy, když je (5.10) R (cp) =htg2cp. Dosaďme proto (5.10) do (5.9). Získáváme h tg 2

q cos 2

cos 2tp ' Úp (1 + cos 2 = 9gh . Tím jsme však už jednoznačně určili bod (po = 5 arccos ve kterém je R nej větší. Protože sin 2cp0 = y/í — cos2 2cp0 = je funkční hodnota gh vZ+gh ' g h2 {vl+gh) vl+gh ' R (k 0 1. Při \q\ = 1 může řada konvergovat ale nemusí. (3) Jestliže existuje limita lim pak při q < 1 řada konverguje absolutně, zatímco při q > 1 diverguje. Je-li q = 1, může konvergovat i divergovat. Důkaz. (1) Jestliže lim^co an neexistuje nebo je nenu-JfáJ®r lová, exituje pro dostatečně malé číslo e > 0 nekonečně mnoho členů ak s \ak\ > e. Zároveň tedy musí mezi nimi existovat nekončené mnoho kladných nebo nekonečně mnoho záporných. Pak ovšem při přidání kteréhokoliv z nich do částečného součtu dostáváme rozdíl dvou po sobě jdoucích s„ a sn+i o velikosti alespoň e. Posloupnost částečných součtů proto nemůže být Cauchyovská a tedy ani konvergentní. (2) Protože chceme dokazovat absolutní konvergenci, můžeme rovnou předpokládat a; > 0. Důkaz jsme pro speciální hodnotu q = 1/2 provedli při dovožení hodnoty ex pomocí řady. Uvažme nyní q < r < 1 pro nějaké reálné r. Z existence limity podílů dovodíme pro všechna j větší než dostatečně veliké < r ■ a N shora ohraničeny součty n-N 1 Sn < 7=0 7=0 Protože 0 < r < 1, je množina všech částečných součtů J2ai + 7=0 1 - f shora ohraničená rostoucí posloupnost a proto je její limitou její supremum. 262 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO Při hodnotě q > r > 1 použijeme obdobný postup, ale z existence limity podílu q hned na začátku odvodíme lim ^ arccos gh > r ■, >/i~N+l)aN. To ale znamená, že částečné součty prvních s„ jsou zdola ohraničeny součty N n-N aj+aNJ2rj. j=0 7=0 Při r > 1 tento výraz poroste s rostoucím n nad všechny meze a proto ani naše řada nemůže konvergovat. (3) Důkaz je zde velmi podobný předchozímu případu. Z existence limity q < 1 vyplývá, že pro každé q < r < 1 existuje /V takové, že pro všechny n > N platí Zj\an | < r. Umocněním pak dostáváme \an\ < r", takže jsme opět v situaci, kdy srovnáváme s geometrickou řadou. Důkaz se proto dokončí stejně jako v případě podílového testu. □ V důkazu druhého i třetího tvrzení jsme využívali slabšího tvrzení, než je existecne limity. Potřebovali jsme pro studované posloupnosti nezáporných výrazů pouze tvrzení, že od určitého indexu už budou větší nebo menší než dané číslo. K takovému odhadu nám ale postačí pro danou posloupnost bn uvažovat s každým indexem n supremum hodnot členů s indexy vyššími. Tato suprema vždy existují a budou tvořit nerostoucí posloupnost. Její infimum pak označujeme jako limes superior dané posloupnosti a značíme lim sup bn. r7=>00 Výhodou je, že limes superior vždy existuje, můžeme proto předchozí výsledek (aniž bychom měnili důkaz) přeformulovat v silnější podobě: Důsledek. Nechť S = Z~2T=o a" Je nekonečná řada reálných nebo komplexních čísel. (1) Je-li an + l q = lim sup ř7=>00 pak řada S konverguje absolutně při q < 1 a nekonver-guje při q > 1. Při q = 1 může řada konvergovat ale nemusí. (2) Je-li q = lim sup ý\an\, ř7=>00 pak při q < 1 řada konverguje absolutně, zatímco při q > 1 diverguje. Je-li q = 1, může konvergovat i divergovat. 5.46. Mocninné řady. Jestliže máme místo posloupnosti čísel an k dispozici posloupnost funkcí f„(x) se stejným definičním oborem A, můžeme bod po bodu použít definici součtu číselné řady a dostáváme pojem sou v , . , , ves32ju5b ctu rady junkci I- f3> h^0+ * V0+Sh míček dopadne do největší vzdálenosti \ arccos 0 = f rad = 45' Uvědomme si, že pro h = 0 nelze náš výpočet použít ( 0, a proto jsme si mohli pomoci příslušnou jednostrannou limitou. □ 5.48. Proč má duha kruhový tvar? Řešení. V příkladu nazvaném Snellův zákon jsme si objasnili, co je příčinou vzniku duhy. (Duha vzniká rozkladem slunečního světla na vodních kapkách.) Nyní na tento příklad navážeme. Přesněji, detailně se podíváme, co se děje se světlem při jeho průchodu dešťovou kapkou. Viz obrázek. Paprsek dopadající na povrch kapky v bodě A se „rozdvojí". Část světla se odrazí (pod úhlem (pt od normály) a část se zlomí dovnitř kapky pod vyznačeným úhlem 0. Má tak smysl analyzovat funkci (viz (5.11) a (5.12)) ol(y) = 4 arcsin — 2 arcsin ^, y e [0, i?]. S(x) = £/„(*). «=o «| Konvergence mocninné řady Jm , 5.27a Volbou vhodné jednotky délky (pro kterou je i? = 1) přejdeme k funkci ol (x) =4 arcsin - — 2 arcsin x, Po výpočtu derivace a'(x) = njl n-x 2 ' x e [0, 1]. x e (0, 1) snadno určíme, že rovnice a'(x) = 0 má jediné řešení x0 = e (0, 1), pokud n2 e (1, 4). Položme n = 4/3 (což je přibližně index lomu pro vodu). Dále je a'(x) > 0, x e (0, x0), a'(x) < 0, x e (x0, 1). Zjistili jsme, že v bodě x0 -(»)' 0, 86 Mocninná řada je dána výrazem oo S(x) = anX" ■ «=0 Řekneme, že 5(x) má poloměr konvergence p > 0, jestliže 5(x) konverguje pro každé x splňující |x| < p a diverguje Při W > A | 5.47. Vlastnosti mocninných řad. Ačkoliv na podstatnou část důkazu následující věty si budeme muset počkat až na konec příští kapitoly, zformulujeme si základní vlastnosti mocninných řad hned: , Absolutní konvergence a diferencování člen po členu h-*, Věta. NechťS(x) = a„x" je mocninná řada a existuje limita P lim Pak je poloměr konvergece řady S roven r = p~l. Mocninná řada S(x) konverguje na na celém svém intervalu konvergence absolutně a je na něm spojitá (včetně krajních bodů, pokud v nich konverguje také) a existuje její derivace, ti &yt JC ..«-1 má funkce a globální maximum o-(xo) = 4 arcsin -4= - 2 arcsin MI = 0, 734 rad ^ 42 °. Přestože je zajímavé, že vrchol duhy nemůže být nad úrovní přibližně 42 ° vůči tomu, kdo ji pozoruje; mnohem důležitější jsou vyčíslení a(0, 74) = 39, 4°, a(0, 94) = 39, 2°, a(0, 8) = 41,2°, a(0,9) = 41,5°. Ta totiž implikují (funkce a roste na intervalu [0, x0] a klesá na intervalu [x0, 1]), že více než 20 % hodnot a leží v úzkém pásu zhruba od 39 ° do 42 ° a 10 % v pásu o šířce menší než 1 °. Pokud navíc uvážíme např. a(0, 84) =41,9°, a(0, 88) = 41, 9°, vidíme, že paprsky, pro které je a blízké hodnotě 42 °, mají nej větší intenzitu. Vyzdvihněme, že se jedná o případ tzv. principu minimální odchylky, kdy platí, že k nej větší koncentraci rozptýleného světla dochází n = \ i Důkaz. Pro ověření absolutní konvergence řady můžeme pro každou pevnou hodnotu x použít odmocninový test z věty 5.45(3). Počítáme přitom lim ^J\anxn\ = px a řada konverguje abosultně, resp. diverguje, jestliže je tato limita různá od 1. Odtud plyne, že skutečně konverguje pro |x| < r a diverguje pro |x| > r. Tvrzení o spojitosti a derivaci dokážeme později v obecnějším kontextu, viz 6.43-6.45. □ Všimněme si také, že můžeme při důkazu konvergence použít silnější variantu odmocninového testu a tedy lze poloměr konvergence r pro každou mocninnou řadu přímo zadat fomulí r-1 = lim sup ý\an\. 264 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO 5.48. Poznámky. Pokud koeficienty řady velmi rychle rostou, např. an = n", pak je r~l = oo, tj. poloměr konvergence je nula. Skutečně taková řada pak konverguje pouze v jediném bodě x = 0. Podíváme se na konvergenci mocninných řad 5(jc) = YV, T(x) = Y* -x" ^-^ '-^ n n—0 n—1 včetně krajních bodů příslušného intervalu. První příklad je geometrická řada, kterou jsme se zabývali již dříve, a její součet je pro všechny x s \x\ < 1 s(x) = —!—, 1 — x zatímco \x\ > 1 zaručuje divergenci. Pro x = 1 dostáváme také zjevně divergentní řadu 1 + 1 + 1 + ... s nekonečným součtem, při x = — 1 jde o řadu 1 —1+1 — ...Jejíž částečné součty nemají limitu vůbec. Věta 5.45(2) ukazuje, že poloměr konvergence druhého příkladu je také jedna, protože existuje lim 4t*"+1 n + l x lim n + 1 1 + 1 + 2 ^ 3 ^ Pro x = 1 tu dostaneme divergentní řadu 1 + protože umíme odhadnout částečné součty tak, že vždy postupně pro k = 1, 2, 3, ..., sečteme 2k~l po sobě jdoucích členů 1/2*-1, ..., 1/(2* — 1) a nahradíme všechny 2~k. Do spodního odhadu tedy každá taková část přispěje 1 /2 a odhad tedy roste nad všechny meze. Naopak, řada T(—l) ■1 + 5 + konverguje. Vyplývá to z obecnějšího platného tvrzení, které ukážeme až v příští kapitole. 5.49. Komplexní exponenciála a goniometrické funkce. S mocninnými řadami nám do našeho společenství funkcí přibyla spousta nových příkladů hladkých funkcí, tj. funkcí libovolněkrát diferencovatelných na celém svém definičním oboru. Podobně jako polpiómy mají všechny tyto přírůstky do zvěřince navíc vlastnost, že jsou ve skutečnosti zadány vztahem, který definuje funkci C -» C. Skutečně, naše úvahy o absolutní konvergenci jsou bezezbytku platné i pro komplexní číselné řady. Proto mocninné řady budou na celém kruhu v komplexní rovině se středem v počátku a poloměrem r představovat konvergentní číselné řady komplexních čísel. Pohřejme si chvíli s nej významnějším a prvním naším příkladem, exponenciálou 1 9 1 + x + -xl 2 + + Tato mocninnná řada má poloměr konvergence nekonečný a dobře proto definuje hladkou funkci pro všechna právě u paprsků s minimální odchylkou. Celková úhlová odchylka paprsku se totiž rovná úhlu 8 = jt — a. Kapky, ze kterých směřují paprsky k pozorovateli vidícímu duhu, tak leží na povrchu kuželu s centrálním úhlem 2a (xq). Nadzemní část tohoto kuželu se pak jeví pozorovateli právě jako kruhový oblouk duhy (viz obrázek). Při západu Slunce by tedy měla duha tvar půlkružnice. Uvažte také, že duha se realizuje vzhledem k pozorovateli - není nikde v prostoru. Na závěr poznamenejme, že onen kruhový tvar duhy podrobně zdokumentoval již René Descartes, který duhu vědecky zkoumal v letech 1635-1637. □ Další praktické úlohy na hledání extrémů funkcí jedné proměnné viz 287 G. Řady Řady se přirozeně vyskytují v celé řadě (problémů). 5.49. Sierpiňského koberec. Jednotkový čtverec se rozdělí na devět shodných čtverců a odstraní se prostřední čtverec. Každý ze zbývajících čtverců se znovu rozdělí na devět shodných čtverců a odstraní se prostřední čtverec. Určete obsah zbylého obrazce po prodloužení tohoto postupu do nekonečna. Řešení. V prvním kroku se odstraní 1 čtverec o obsahu 1/9. Ve druhém kroku se odstraní 8 čtverců o obsahu 9~2, tj. o celkovém obsahu 8 • 9~2. V každé další iteraci se odstraní osminásobek počtu čtverců z předešlého kroku, přičemž obsah každého z nich je devítinou obsahu 1 čtverce z předchozího kroku. Součet obsahů všech odstraněných čtverců je 9 t 92 t 93 t - 8" «=0 Obsah zbylého obrazce (tzv. Sierpiňského koberce) tak činí i-E «=0 8" 9«+i i-£E(§)" = i «=0 9' i-{ 0. □ 5.50. Kochova vločka, 1904. Vytvořte „sněhovou vločku" následujícím postupem. Na začátku uvažujte rovnostranný trojúhelník s jednotkovou délkou strany. Každou z jeho stran rozdělte na třetiny a nad prostředními třetinami sestrojte rovnostranné trojúhelníky, kdy základny (prostřední třetiny stran původního trojúhelníku) odstraníte. Takto z původního trojúhelníku dostanete šesticípou hvězdu. Celý postup opakujte tak, že každou úsečku obdrženou v předchozím kroku 265 G. ŘADY 4. MOCNINNÉ ŘADY rozdělíte na třetiny a prostřední třetinu nahradíte za rovnostranný trojúhelník bez základny. Sněhovou vločku pak získáte nekonečným opakováním tohoto postupu. Dokažte, že vzniklý útvar (vločka) má nekonečný obvod. Poté určete jeho obsah. Řešení. Obvod původního trojúhelníku je roven 3. V každém kroku konstrukce se prodlouží obvod útvaru o třetinu, neboť ze tří částí každé úsečky vzniknou čtyři stejné délky. Odsud vyplývá, že obvod vločky lze vyjádřit jako limitu lim 3 • (1 + i)" = +oo. Útvar se zřejmě během konstrukce zvětšuje. Ke stanovení jeho obsahu nám tudíž stačí zachytit, o kolik se jeho obsah zvětší v jednotlivých krocích. Počet jeho stran se v libovolném kroku stává čtyřnásobným (úsečky se rozdělí na třetiny, kdy místo prostřední třetiny máme dvě úsečky), přičemž délka nových stran je třetinová. V následujícím kroku se obsah útvaru zvětší právě o obsahy stejných rovnostranných trojúhelníků, jejichž počet je stejný jako počet úseček v předchozím kroku a jejichž strany mají délku třetin těchto úseček. Když takto přecházíme od rovnostranného trojúhelníku k šesticípé hvězdě při první realizaci uvedeného postupu, obsah se zvětší o 3 rovnostranné trojúhelníky (jejich počet odpovídá počtu stran původního útvaru) s délkou stran 1 /3 (taje třetinová). Označme obsah původního trojúhelníku jako So- Pokud si uvědomíme, že zmenšením strany rovnostranného trojúhelníku na třetinu se jeho obsah zmenší devětkrát, dostaneme obsah šesticípé hvězdy ve tvaru So + 3-f. Podobně v dalším kroku obdržíme obsah útvaru jako So + 3-f+4-3-|. Počet přidávaných trojúhelníků je čtyřnásobný a délky jejich stran třetinové. Nyní již není obtížné odvodit, že obsah vločky je roven limitě lim (So + 3 • f +4 • 3 • | + • • • +4" • 3 • ^r) = 5o^(1 + 3- + H + --- + Hi)") = So 1 + ^(1 + í + - + (»") So 1 + I lim E (I)" :k=0 So i + 3-Edľ k=0 So 3 1_4 So- Obsah vločky je tedy 8/5 obsahu původního trojúhelníka, tj. 8 o ? >->0 4 2 73 5 • Zopakujme, že tato vločka je příkladem toho, jak nekonečně dlouhá křivka může ohraničovat konečnou plochu. □ komplexní čísla x. Její hodnoty jsou limitami hodnot (komplexních) polynomů s reálnými koeficienty a každý polynom je zcela určený konečně mnoha svými hodnotami. Zejména tedy jsou hodnoty mocninných řad i v komplexním oboru zcela určeny jejich hodnotami na reálných argumentech x. Proto i pro komplexní exponenciálu musí platit i obvyklé vztahy, které jsme pro reálné hodnoty proměnné x již odvodili. Zejména tedy platí &x+y =ex .&y, viz vztah (5.5) a věta 5.44(3). Dosaďme si hodnoty x = i ■ t, kde i e C je imaginární jednotka, t e M libovolné. é' = \ + it - -t2 - i—t3 + —ŕ + i—t5 -... 2 3! 4! 5! a zjevně tedy je komplexně konjugované číslo k z = &" číslo ž = &~". Proto \z\2 = z-ž =ét-e-it 1 a všechny hodnoty z = &" leží na jednotkové kružnici v komplexní rovině. Reálné a imaginární složky bodů na jednotkové kružnici jsme popisovali pomocí goniometrických funkcí cos 6 a sin 6, kde 6 je patřičný úhel. Derivací parametrického popisu bodů kružnice, t h-» e" dostáváme vektory „rychlostí", které budou dány výrazem (pokud zatím nevěříme derivování mocninných řad člen po členu, lze také zderivovat zvlášť reálnou a imaginární složku) t h» (e")' = i ■ e" a jejich velikost proto také bude pořád jednotková. Odtud lze tušit, že celou kružnici oběhneme po dosažení hodnoty parametru rovného délce oblouku, tj. 2jt (i když k pořádné definici délky křivky budeme potřebovat integrální počet). Tímto postupem skutečně definujeme Ludolfovo číslo ix — je to délka poloviny jednotkové kružnice v euklidovském M2. Můžeme se ale nyní aspoň částečně ujistit pohledem na nejmenší kladné kořeny reálné části částečných součtů naší řady, tj. příslušných polynomů. Již při řádu deset nám vyjde číslo 7T přesně na 5 desetinných míst. Dostali jsem tedy přímou definici goniometrických funkcí pomocí mocninných řad: 1 cos ř = re e 1 1 9 1 A i - -t2 + —ŕ 2 4! + (-1)* 1 (2k) ■t2k + siní = im e + (-1)* 1 3 1 j —ť H--ť 3! 5! 1 7! t7+ -ŕk+1 + ... (2k + l)\~ Ilustraci konvergence řady pro funkci cos je vidět na obrázku. Jde o graf příslušného polynomu stupně 68. Při postupném vykreslení částečných součtuje vidět, že aproximace v okolí nuly je velice dobrá a prakticky beze změn. S rostoucím řádem se pak zlepšuje i dále od počátku. 266 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO e5.13 e5.14 Přímo z definice vyplýva známý vztah sin2 t + cos21 a také z derivace (e")' = i e" vidíme, že (sin t)' = cos ŕ, (cos t)' = 1 sin t. Tento výsledek lze samozřejmě ověřit přímo derivací našich řad člen po členu. Označme ř0 nejmenší kladné číslo, pro které je = — tj. první kladný nulový bod funkce cosi. Podle naší definice Ludolfova čísla je ř0 = \it. Pak kvadrát této hodnoty je eí2t° = e~í2í° = (e~"°)2 a jde tedy o nulový bod funkce sin t. Samozřejmě přitom platí pro libovolné t J(4kt0+t) itQ\4k it (e"°) 1 -e'- Jsou tedy obě goniometrické funkce sin a cos periodické s periodou 2n. Z našich definic je přitom vidět, že je to nejmenší jejich perioda. Nyní můžeme snadno odvodit všechny obvyklé vztahy mezi goniometrickými funkcemi. Uvedeme na ukázku několik z nich. Nejprve si všimněme, že definice vlastně říká (5.12) (5.13) cos t smí I(eií+e-ií) 2 -(eíř-2i ')■ Součin těchto funkcí jde tedy vyjádřit jako sin t cos t -(eíř 4i -(eí2ř ■ e~i2t) 1 sin 2t. 4iN '2 Dále můžeme využít naši znalost derivací: cos 2t = (- sin 2t)' = (sin t cos t)' = cos21 — sin21. Vlastnosti dalších goniometrických funkcí siní tg ŕ cos t cotgř = (tgř)" se snadno odvodí z jejich definice a pravidel pro derivování. Grafy funkcí sinus, cosinus, tangens a cotangens jsou na obrázcích (postupně červený a zelený vlevo, červený a zelený vpravo): 5.51. Sečtěte řadu OO , N. «=1 OO (b) e h «=0 OO (c) e (42/1-1 + 4>r); «=1 00 (d) e f; «=1 (e) e 7> 1 «=0 + l)(3«+4)- Řešení. Případ (a). Podle definice je součet řady OO , s e ~ t^ťtJ ~ «=1 ^((7Ť-7l) + (7!-7f) + --- + fe-Ä)) = Ä C1 + + 7l) + ••• + (-* + 7*) -vfe) = L Případ (b). Zjevně se jedná o pětinásobek konvergentní geometrické řady s kvocientem q = 1/3, a tudíž je °° 5 °° 1 n 1 15 e yr = 5 e (3) = 5 • YTT = T- «=0 «=0 3 Případ (c). Platí (při substituci m = n — 1) °° 3 2 3 °° 1 2 °° 1 e (42h-1 + 4>) = 4 e (4K-2) + 16 e (42^-2) = 1 ř7 —1 ř7 —1 OO OO íl 4. 1\ r 2- - M V (2_)m — 11 _L (4 16/ 2^ 42m — 16 2^ (16) — 16 ' 1-4 n = \ 14 15 • Řadu lineárních kombinací jsme zde vyjádřili jako lineární kombinaci řad (přesněji řečeno, jako součet řad s vytknutím konstant), což je platná úprava, pokud obdržené řady jsou absolutně konvergentní. Případ (d). Z částečného součtu I 1 2, 1 2. 1 3 1 32 1 33 1 bezprostředně získáváme Je tedy — ± j_ 2. 4_____|_ !LlL 4_ _íl_ « (= M 3 — 32 T 33 T T 3„ T 3„+i , « t «■ ■J/7 3 Protože lim 3«+l i + -i- + -i- + 3 T 32 T 33 T = 0, dostáváme + 3" 3«+l ' n en. £ f = Um f (S„ - f) «=1 lim E "^°°*=i E(iNffo-i) 3 2 ^ V3 i=l Případ (e). Stačí použít vyjádření (jde o tzv. rozklad na parciální zlomky) 1 (3« + l)(3«+4) J_ 1 3 ' 3« + l 1 3«+4 ' n e NU{0}, které dává 267 G. ŘADY 4. MOCNINNÉ ŘADY oo E 1 lim i (1 1 + 1 4 4 (3« + l)(3«+4) 1 i 1 - + 1 - 7 T 7 lim i (l - =4*) + ••• + 1 1 3« + l 3«+4J □ 5.52. Ověřte, že platí oo oo E ^2 < E y- Řešení. Ihned je vidět, že 1,1^1 i _ 1 1,1,1,1 1<1 --I-- < 2 • — - - - + - + - + -< 4 • — -± 1 - -1' 22 ^ 32 < Z 22 — 2' 42 ^ 52 ^ 62 ^ 72 < ^ 42 — 4' resp. obecný odhad 1 _i_ ... _i__1 _ (2«)2 T T (2»+l-l)2 ^ ^ (2«)2 2 < 2" • « 1 ér, neN. Odsud (porovnáním členů obou řad) dostáváme zadanou nerovnost, z níž mj. plyne absolutní konvergence řady E^Li 7)2 ■ Ještě upřesněme, že je E „2— 6 < 2 — E 2« • «=1 «=0 □ 5.53. Vyšetřete konvergenci řady 00 ^-^ n « = 1 Řešení. Pokusme se uvedenou řadu sečíst. Platí 00 Em^= lini (Inf + lnf+lnf + ---+ln=±i) n = \ , 9, — lim ln (n + 1) = +00. «=>oo 1 ^J " «=>oo lim m2W"+1> «=>oo 1 z J Rada tudíž diverguje k +00 5.54. Prokažte, že řady □ y- ^ «2+2«+3y^+4. 3" + l n—O n — \ nekonvergují. Řešení. Protože i- . «2+2«+3V"+4 >• . «2 jt lim arctg--r- = lim arctg — = £ «=>0O "T1 «=>0O " ^ a lim 3" + l lim — = +00, ř7=>0O fí3+w2 w ř7=>0O "3 není splněna nutná podmínka konvergence lim an = O řady E^L« a« ■ □ Cyklometrické funkce jsou inverzní ke goniometrickým. Protože jsou goniometrické funkce všechny periodické s periodou 2jt, jsou jejich inverze definované vždy jen v rámci jedné periody a to ještě jen na části, kdy je daná funkce buď rostoucí nebo klesající. Jsou to funkce arcsin = sin-1 s definičním oborem [—1, 1] a oborem hodnot [—jt/2, Jt/2]. Dále arccos = cos-1 s definičním oborem [—1, 1] a oborem hodnot [0, 7t], viz obrázek vlevo. Zbývají ještě funkce (zobrazené na obrázku vpravo) arctg = tg-1 s definičním oborem [—00,00] a oborem hodnot [—n/2, jt/2] a konečně arccotg = cotg-1 s definičním oborem [—00, 00] a oborem hodnot [0, 7t]. Velice často se také využívají tzv. hyperbolické funkce sinhx = -(ex — e~x), coshx = -(ex +e~x). 2 2 Název naznačuje, že by funkce mohly mít něco společného s hyperbolou. Přímý výpočet dává (druhé mocniny se v roznásobených dvojčlenech všechny odečtou a zůstanou smíšené členy) (coshx)2 - (sinhx)2 = 2^(ex e~x) = 1. Body [cosh t, sinh ř] e M2 tedy skutečně parametricky popisují hyperbolu v rovině. Pro hyperbolické funkce lze snadno 268 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO odvodit podobné identity jako pro funkce goniometrické. Mimo jiné je přímo z definice snadno vidět (dosazením do vztahů (5.12) a (5.13)) coshx = cos(z'x), i sinhx = sin(z'x). 5.50. Poznámky. (1) Jestliže mocninnou řadu S(x) vyjádříme s posunutou hodnotou proměnné x o konstantní posuv x0, dostaneme funkci T(x) = "fx S(x — x0). Jestliže je p poloměr konveregence i* 5, bude T dobře definovaná na intervalu (x0 — p, xq + p). Říkáme, že T je mocninná řada se středem v xq. Mocninné řady proto můžeme přímo definovat takto: oo S(x) = ^a„(x - x0)", «=0 kde x0 je libovolné pevně zvolené reálné číslo. Všechny naše předchozí úvahy jsou pořád platné, jen je třeba mít na paměti, že se vztahují k bodu x0. Zejména tedy taková řada konverguje na intervalu (x0 — p, x0 + p), kde p je její poloměr konvergence. Dále platí, že má-li mocninná řada y = T (x) hodnoty v intervalu, kde je dobře definována řada S(y), potom i hodnoty funkce S o T jsou vyjádřeny mocninnou řadou, kterou dostaneme formálním dosazením y = T (x) za y do S(y). (2) Jakmile máme k dispozici mocninné řady s obecným středem, lze docela přímočaře počítat koeficienty mocninných řad zadávajících inverzní funkce. Nebudeme zde uvádět seznam formulí, snadno se k nim dostaneme například v Ma-plu procedurou „series". Pro ilustraci se podívejme alespoň na dva příklady: Viděli jsme, že x 1 1 2 1 3 1 4 e = 1 + x H—x + -x H--x4 +____ 2 6 24 Protože je e° = 1, budeme hledat pro inverzní funkci ln x mocninnou řadu se středem v x = 1, tj. lnx = ao+ai(x— \)+a2(x— \)2+as(x— \)3 +a4(x—1)4+.... Využijeme tedy rovnosti x = énx a přeskupením koeficientů podle mocnin x dosazením dostaneme: x — a§ -\- a\ 1 2 1 3 1 4 x + -x1 + -x3 H--x4 + 2 6 24 1 + a2 ( x + -x2 + 1 - + a3 ( x + -x + + «0 + alx + | + a2]x +| 7al + a2 + a3 \x~ + 24 a\ + + a2 + + a4 )x + Porovnáním koeficientů u stejných mocnin nalevo a napravo 1 1 1 .- a3 = -, a4 = --,... ao = 0, «1 = 1, «2 5.55. Jaký je součet řady E n=2 ln n Řešení. Z nerovností (uvažte graf přirozeného logaritmu) 1 < lnn < n, b>3, /iéN plyne 7T < Tíň^ < 3, n e N. Podle Věty o třech limitách je lim \7mn = 1, lim 1. Řada tedy není konvergentní. Neboť má nezáporné členy, musí divergovat k +oo. □ 5.56. Zjistěte, zda řada i «=o (« + l)-3" (b) E n = l oo (c) E—í— v ' t—1 n—mn « = 1 konverguje. Řešení. Všechny tři uvedené řady mají nezáporné členy, a tak mohou v jednotlivých variantách nastat jen dvě možnosti - součet je konečný, součet je roven +oo. Platí (a) E T^W < E (I)" = TTT< + -oo; «=o «=o „2 (b) E^>E=r = Eí = +°°; n — 1 n — 1 n — 1 oo oo (c) E —í— > E 1 = +oo. v ' t—1 n—mn — t—i n n—\ n—\ Odtud plyne, že řada (a) konverguje; (b) diverguje k +oo; (c) diverguje k +oo. □ 5.57. Aplikací podílového (tzv. dAlembertova) kritéria (viz 5.45) určete, jestli nekonečná řada (a) E «=1 0» E ff ■ «=1 oo (c) E J^T «=1 konverguje. Řešení. Protože (an > 0 pro všechna ň) (a) Um 2^ = lim = lim f±fg „^oo an „^oo 3»+1-2»-(n + l)3 3(« + l)3 lim 2n3 3« 3 !l, řada (a) konverguje; (b) konverguje; (c) nekonverguje (diverguje lim k +00). □ 5.58. Aplikací odmocninového (tzv. Cauchyova) kritéria určete, jestli nekonečná řada 00 (a) E ln"(« + l) ; « = 1 (b) E «=1 00 (c) E arcsin" ^ «=1 konverguje. Řešení. Opět máme řady s nezápornými členy, přičemž je 1 -0<1; 1Ímo(1 + ^)" (a) lim ^fa~n = lim (b) lim ^ = Hm YfT ~ f lim fa) < 1; (c) lim = lim arcsin ^ = arcsin 0 = 0 < 1. To znamená, že všechny zadané řady konvergují. 5.59. Rozhodněte, zda řada 00 (a) E(-l)" ln(l + £); n = l 00 2 (b) E «=1 00 (C) v (~3)* z- (6+(-i)»)» «=1 konverguje. Řešení. Případ (a). Podle 1'Hospitalova pravidla je ln(l + ^) .. TÍ(1 + ^)' □ lim lim —— x^>+oc lim 1, (£) ^^+°° 1+2^ a proto platí 0 < ln (1 + < ^ pro všechna dostatečně velká n e N. Ovšem o řadě E^Li vmie' ^e je konvergentní. Musí tak být 00 £ln(l + £) < +00, «=1 tj. řada v zadání konverguje (absolutně). Případ (b). Podílové kritérium dává lim an+l lim 2<"+1> ■«! lim iT- = hm 2£ = +00. Řada tedy nekonverguje. Případ (c). Nyní použijeme obecnou verzi odmocninového kritéria což skutečně odpovídá platnému výrazu (ověříme později): 00 /_1 \n — 1 lnx = V-—--(x - 1)". t—1 n «=1 Podobně si můžeme pohrát s řadou 1 3 1 5 1 7 smí = ř--ť H--ť--ť + ... 3! 5! 7! a zatím neznámou řadou pro její inverzi (všimněme si, že počítáme opět se středem v nule, protože je sin 0 = 0) arcsin t = a0 + a\t + a2ř + a3t3 + a4t4 + .... Opět dosazením dostáváme t = a0 + fli (t - ^t3 + ^t5 + ... j + 1 3 1 j + cio + a\t + a2t + I--a\ + a3 )ř3+ 1 -a2 + a4 ú]--a-x + a* Ir5 + 120 6 a proto 1 3 3 5 arcsmř = t + -ť H--r +____ 6 40 (3) Všimněme si také, že kdybychom hned zpočátku uvěřili, že funkci ď můžeme napsat jako mocninnou řadu se středem v nule a že se mocninné řady derivují člen po členu, pak bychom snadno obrdrželi diferenční rovnici pro koeficienty an. Víme totiž (x"+1)' = (n + l)x" a proto z našeho požadavku, že exponenciála má mít v každém bodě derivaci rovnou své hodnotě, vyplývá an + l = ^\an, a0 = 1 a odtud už je jasné, že a„ = ^ 270 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO lim sup y\an | = lim sup 6+3_l)n = f < 1, z níž plyne (absolutní) konvergence řady. □ 5.60. Libovolným způsobem dojděte k rozhodnutí o konvergenci alternující řady (a) E(-l) n « +3«-l . (3n-2)2 n = \ y°> l> (5«3-2)4« « = 1 Řešení. Případ (a). Z toho, že je lim ihned vyplývá neexistence limity lim = lim = I ^ 0, , . „ (3«-2)2 „ . „ 9«2 9 ' Řada tudíž nekonverguje (není splněna nutná podmínka konvergence). Případ (b). Viděli jsme, že při použití podílového (nebo odmocni-nového) kritéria polynomy v čitateli ani jmenovateli členů řady neovlivňují hodnotu počítané limity. Uvažujme tedy řadu oo n = l pro kterou je lim To ovšem znamená, že rovněž původní řada je (absolutně) konvergentní. □ 5.61. Konverguje řada 00 £(-l)"+1arctg-) ! « = 1 00 (d) e £; «=1 00 (e) 5ľ (3« + l)(3«+4) ■ «=0 Řešení. Případ (a). Podle definice je součet řady OO , s ^((7r-7l) + (71-7!) + --- + fe-vfe)) = n1^(1 + (-7! + 7!) + --- + (-* + ^)-vfe) = 1-Případ (b). Zjevně se jedná o pětinásobek konvergentní geometrické řady s kvocientem q = 1/3, a tudíž je °° 5 °° 1 n 1 15 e 3» = 5 e (3) = 5 • — = —• «=0 «=0 3 Případ (c). Platí (při substituci m = n — 1) 0O3 ^ ^ oo ^ 2°°1 e (42ÍI-1 ~i~ 4>) 4 e (42*1-2) "i~ Tg e (42^-2) ř7 —1 ř7 —1 ř7 —1 OO OO ÍU 1^ r ± - 11 r (-L)m — -1 1 _ 14 (4 16/ 2^ 42m — 16 2^ (16) — 16 ' 1__L ~~ 15- m=0 m=0 16 272 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO Řadu lineárních kombinací jsme zde vyjádřili jako lineární kombinaci řad (přesněji řečeno, jako součet řad s vytknutím konstant), což je platná úprava, pokud obdržené řady jsou absolutně konvergentní. Případ (d). Z částečného součtu S« = \ + ^ + ^+--- + fn> "ěN bezprostředně získáváme i* — _L _i_ __ _i_____i_ nuL _i_ _íl_ w <= M Je tedy c — ixi 4.Í4....4. J___ÍL_ „cl " 3 — 3 32 33 3" 3"+1 ' " c 1,1 Protože lim = 0, dostáváme E f = Hm f (*„ - f) = f lim E F f E (i)'= 1(^-0 = i- Případ (e). Stačí použít vyjádření (jde o tzv. rozklad na parciální zlomky) ---= - ■ —--- ■ n e N U ÍOI (3« + l)(3«+4) 3 3« + l 3 3«+4' c ^ které dává ^ (3nH 1 s n + l)(3«+4) «=0 lim I(i_I_i_I_I_i_I_J__|_____1__I___L_) „"rv, 3 " 4 T 4 7 T 7 10 t t 3« + l 3«+4/ 3« +4/ Um i (1 - = i. □ 5.64. Ověřte, že platí 00 00 < E jň- n — l n—0 Řešení. Ihned je vidět, že 1 < 1 ± + ±+4 = Um arctg n- = f a t i"-1-1 1- 1" lim , y = lim = +00, není splněna nutná podmínka konvergence lim an = Ořady YlT=nn °-n' n—> oo 0 □ 5.67. Jaký je součet řady E 71n« n=2 Řešení. Z nerovností (uvažte graf přirozeného logaritmu) 1 < ln« < n, n > 3, n e N plyne VT < Víň^ < yTľ, « > 3, « e N. Podle Věty o třech limitách (5.20) je lim Vln« = 1, tj. lim -J= = 1. n^-oc n^oo v ln « Řada tedy není konvergentní. Neboť má nezáporné členy, musí divergovat k +oo. □ 5.68. Zjistěte, zda řada (*) E Tn i (n + l)-3" «=0 oo (b) E^t n2+l . n = l oo 1 (c) E —^- v 7 n — ln ŕ? « = 1 konverguje. Řešení. Všechny tři uvedené řady mají nezáporné členy, a tak mohou v jednotlivých variantách nastat jen dvě možnosti - součet je konečný, součet je roven +oo. Platí OO OO (a) E * E G)" = ITT < +oo; «=0 n=0 274 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO (b) E ^ > E b = E \ = +00; n — 1 « —1 « —1 00 00 (c) E —í— > E 1 = +°°- n—\ n—\ Odtud plyne, že řada (a) konverguje; (b) diverguje k +00; (c) diverguje k +00. □ 5.69. Aplikací podílového (tzv. d Alembertova) kritéria určete, jestli nekonečná řada (a) E n = \ 00 (b) E ff; «=1 00 (c) E J^T «=1 konverguje. Řešení. Protože (a„ > 0 pro všechna ň) (a) Um 2*1 = Um = Um |2±2g = lim ^ V ' «^00 3»+1-2»-(n + l)3 3(« + l)3 „^^ 3«3 1<1; (b) lim = lim (/^-r ■£)= Um 4r = 0 < 1; (c) lim 2s±l = hm f. ■ = lim 7T W „^oo an n^oo ^(„ + i)2.(„ + 1)! „» y „^00 (" + lim = lim 4 • lim (l + i)" = 1 • e > 1, «+►00 " «+»oo " «+»oo " řada (a) konverguje; (b) konverguje; (c) nekonverguje (diverguje k +00). □ 5.70. Aplikací odmocninového (tzv. Cauchyova) kritéria určete, jestli nekonečná řada 00 (a) E ln"(« + l) ; « = 1 00 (n±iy2 (b) E «=1 00 (c) E arcsin" «=1 konverguje. Řešení. Opět máme řady s nezápornými členy, přičemž je (a) lim yär\ = lim j—^ = 0 < 1; («±l)" lim (l + l)" (b) lim *fa = lim = 7°°V "(3 = f < 1; (c) lim ŕ/ä^ = lim arcsin ^ = arcsin 0 = 0 < 1. To znamená, že všechny zadané řady konvergují. □ 5.71. Rozhodněte, zda řada oo (a) E(-l)" ln(l + £); n = l oo 2 (b) E «=i 275 G. ŘADY 4. MOCNINNÉ ŘADY lim —^—- = lim ———-,-= lim —^ = 1, V") 2—, (6+(_!)«)» «=1 konverguje. Řešení. Případ (a). Podle 1'Hospitalova pravidla je a proto platí 0 < ln (1 + < £ pro všechna dostatečně velká n e N. Ovšem o řadě E^li 2^ vnrie, že je konvergentní. Musí tak být 00 £ln(l + ^) < +00, «=1 tj. řada v zadání konverguje (absolutně). Případ (b). Podílové kritérium dává lim lim ,,,. 2 = lim ttt = lim érr = +00. >oo (n + l)!-2» ~~ «^00 " + 1 ~~ «^00 " + 1 Řada tedy nekonverguje. Případ (c). Nyní použijeme obecnou verzi odmocninového kritéria lim sup y\a„ I = lim sup 6+(3_l)n = | < 1, z níž plyne (absolutní) konvergence řady. □ 5.72. Libovolným způsobem dojděte k rozhodnutí o konvergenci alternující řady (a) E(-l)" " +3""1" ±á_ (3«-2)2 « = 1 3n4-3n3+9n-l « = 1 W Z^t i; (5«3-2)-4« Řešení. Případ (a). Z toho, že je lim = lim £ = Í ^ 0, „^oo (3«-2)2 9«2 9 7-' ihned vyplývá neexistence limity Řada tudíž nekonverguje (není splněna nutná podmínka konvergence). Případ (b). Viděli jsme, že při použití podílového (nebo odmocninového) kritéria polynomy v čitateli ani jmenovateli členů řady neovlivňují hodnotu počítané limity. Uvažujme tedy řadu 00 n = l pro kterou je lim *-±L To ovšem znamená, že rovněž původní řada je (absolutně) konvergentní. □ 276 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO 5.73. Konverguje řada 00 £(-l)"+1arctg- n — 1 n — 1 n— 0 přičemž druhou nerovnost jsme dokázali dříve. Případ (b). Je vidět, že cos (jtn) = (—1)", n e N. Máme tedy alternující řadu, jejíž posloupnost členů v absolutní hodnotě je klesající. Proto z limity lim 4= = 0 již plyne, že řada konverguje. Zároveň však je oo oo oo „ti ^ „ti ^ " „ti" Řada tak konverguje neabsolutně. □ 5.75. Ukažte, že tzv. harmonická řada oo ^ i = l diverguje. 277 G. ŘADY 4. MOCNINNÉ ŘADY p5.26 Řešení. Pro libovolné přirozené k je součet prvních 2k členů řady větší než k/2: 1111111 1 + 2+3 + 4+5 + 6 + 7 + 8+---' í.i_i '4+4-2 I . 1 . 1 . 1_I ' 8 +8 +8 +8 — 2 součet členů od 2l + 1 do 2l+l je totiž vždy větší než 2'-krát (jejich počet) číslo 1 /2l (nejmenší z nich), což je dohromady 1 /2. □ 5.76. Rozhodněte o následujících řadách, jestli konvergují či divergují: oo i) £ - « = 1 oo íí) £ 4= iií) £ - 1 «=1 iv) £ 2100000 1 «=1 (1+0" Řešení. i) Budeme zkoumat konvergenci podílovým kritériem: 2(n + 1) 2n+\ lim an + \ = lim n + l n lim 2 > i, řada tedy diverguje. ii) Odhadneme řadu ze spodu: víme, že pro libovolné přirozené n platí i < . Pro posloupnost částečných součtů s„ zkoumané řady a posloupnost částečných součtů harmonické řady s'n tedy platí: n ^ H \ í=l Y í=l A protože harmonická řada diverguje (viz předchozí příklad), diverguje i její posloupnost částečných součtů {sfn }^LV tedy diverguje i posloupnost částečných součtů {s„}™=v tedy diverguje i zadaná posloupnost. iii) Diverguje, jedná se o násobek harmonické řady. iv) Jedná se o geometrickou řadu s koeficientem j^j, ta bude konvergovat, bude-li absolutní hodnota koeficientu menší než 1. Víme, že 1 1 - i 11 íl f 72 I-1 = I-1 = |---i\ =J- + - = '2 2 1 V 4 4 1+ i 2 2 2 V4 4 2 řada tedy konverguje a umíme ji dokonce sečíst: ~ 1 1 1 + i < 1, E «=i (l + 0" l 1 l+i 1 278 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO □ Další příklady k číselným řadám naleznete na straně 295 H. Mocninné řady V předchozí podkapitole jsme zkoumali, jestli lze přiřadit smysl součtu nekonečně mnoha čísel. Nyní se budeme zajímat o to, jaký může mít význam součet nekonečně mnoha funkcí. Pokud se omezíme 5.77. Určete poloměr konvergence následujících mocninných řad: oo i) £ 2-jč « = 1 íí) e 1 x" n = \ (1+0" Řešení. i) 1 an+l 1 2' lim sup viz úloha ??. Daná mocnina řada tedy konverguje pro reálná x € (—\, \), případně pro komplexní \x\ < ^. Všimněme si, že řada je divergentní pro x = j (jde o harmonickou řadu) a naopak konverguje pro x = — j (alternující harmonická řada). Rozhodnout o konvergenci pro libovoné x ležící v komplexní rovině na kružnici o poloměru | je těžší otázka a přesahuje rámec našeho kurzu, ii) Opět díky přechozímu příkladu víme, že 1 lim sup 1 (l + 0" lim sup 1 + i V2 2 ' je tedy poloměr konvergence dané mocninné řady r = *J2. □ 5.78. Určete poloměr konvergence r mocninné řady (a) E^«; «=i oo (b) E(-4«)"x"; n = l oo 2 (O E(i + í)" «=i (d) E « _ « n ^ • « = 1 Řešení. Platí (2+(-l)») 1 _ 1. 8 ' (a) lim y\a„ | = lim (b) lim VI an I = lim 4n = +oo; 279 H. MOCNINNÉ ŘADY 4. MOCNINNÉ ŘADY (c) lim TRTÍ = lim (1 + I) = e; (d) lim sup y\a„ \ = lim sup 2+^)„ = lim sup J({__\r = 1 • n^-oc n^-oc n^-oc Proto je poloměr konvergence (a) r = 8, (b) r = 0, (c) r = 1 /e, (d) r = 1. □ 5.79. Stanovte poloměr konvergence r mocninné řady ^«3+«-3* %?«4+2«3 + l-Jť! 00 3—-š- y>'" /"3+"-3" (jc-2)". 1l = \ Řešení. Poloměr konvergence libovolné mocninné řady se nezmění, pokud posuneme její střed nebo nahradíme koeficienty členů tak, že se nezmění jejich absolutní hodnota. Určeme tedy poloměr konvergence řady oo - y yV+n-3" xji n4~i V*«4+2«3 + l-Jr" Protože lim ýřr = (lim ýn) =1 pro a > 0, můžeme dále přejít k řadě oo «=1 se stejným poloměrem konvergence r = jt/3. □ 5.80. Nalezněte přibližnou hodnotu čísla sin 1° s chybou ostře menší než 10"10. Řešení. Víme, že je oo sinx = x- ±x3 + ±x5-±x7-\----= T tI^tttx2n+\ x eR. 3! 5! 7! t—i (2« + l)! «=0 Dosadíme-li x = 7r/180, pak částečné součty řady vpravo budou aproximacemi sinl°. Zbývá určit počet členů, které je třeba sečíst, aby chyba byla prokazatelně menší než 10~10. Číselná řada _e___1_ (_e_ý i J_ (JI_)5 _ _L (JI-)7 J- = V (-1)" ( jt \2n+l 180 3! v180/ 5! v180/ 7! v180/ — 2^ (2« + l)! v 180/ «=0 je alternující s vlastností, že posloupnost absolutních hodnot jejích členů je klesající. Pokud libovolnou takovou konvergentní řadu nahradíme jejím částečným součtem, chyba, jíž se tím dopustíme, bude menší než absolutní hodnota prvního členu uvažované řady nezahrnutého do částečného součtu. (Důkaz tohoto tvrzení uvádět nebudeme.) Chyba aproximace cin 1 ° ss JL___zl_ S1U 1 180 1803-3! je tak menší než 1805-5! 1U • □ 280 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO 5.81. Sečtěte: 2 12 12 2 + 1 H---1---1---1---1---h 2! 3! 4! 5! 6! Řešení. Porovnáme-li tvar součtu s rozvojem funkcí sinh a cosh do mocninných řad, dostáváme výsledek sinh(l) +2cosh(l). □ 281 I. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE_4. MOCNINNÉ RADY I. Doplňující příklady k celé kapitole Polynomy Topologie 5.82. Určete polynom P(x) co nejmenšího stupně splňující podmínky P(\) = 1. P(2) = 28, P(0) = 2, P'{0) = 1, P'(l) = 9. 5.83. Určete polynom P(x) co nejmenšího stupně splňující podmínky P(0) = 0, P(l) = 4, P(-í) = -2, P'(0) = 1, P'(l) = 1. 5.84. Určete polynom P(x) co nejmenšího stupně splňující podmínky P(0) = —1, P(l) = —1, P'(-\) = 10, P'(0) = -1, P'(l) = 6. 5.85. Určete suprema a infima množin A = (—3, 0]U(1,7r)U{6}; B = I ^—n € N1 ; C = (-9,9)nQ 5.86. Nalezněte sup A a inf A pro n e N C M, Limity 1 --; n € N J = (0,2]U[3,5]\{4), 5.S7. Je-li N= {1,2.....«,...}, .M = stanovte inf N, sup m, inf j a sup J" v M. 5.88. Napište příklad množiny M c M. která nemá v M infimum, ale má zde supremum; a udejte příklad množiny JVcK, která nemá v M supremum, ale má zde infimum. 5.89. Uvedte podmnožinu X množiny M, pro kterou je sup X < inf X. 5.90. Udejte příklad množin A, B, C c M takových, aby platilo AHS = 0, AHC = 0, SnC = 0, sup A = inf B = MC = sup C. 5.91. Vypočtěte limity lim 1 — cos (2x) x->o xsmx Řešení. Využijeme faktu, že lim .v —^ 0 1 — cos x smi lim x^O X Snadno získáváme 1 — cos (2x) lim x siní lim lim 1 — (cos2 x — sin2 x) x sin x (l — cos2 x) + sin2 x x sinx 2 sin2 x sin x lim-= lim 2- x^o x siní x 2; 282 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO resp. 1 — cos x (1 — cos x 1 + cos x \ 1 — cos2 x lim--- = lim---•- = lim x^O X2 x^O \ X2 1+COSX/ x^O X2 (1 + COSx) sin2 x / sinx\2 1 1 lim —-= lim - • lim >0 X2 (1 + COSx) \x^0 X ) -»^0 1+COSX 2 Dodejme, že jsme také mohli hned použít vyjádření 1 — cos (2x) = 2 sin2 x, x e M. 5.92. Z definice limity dokažte, že je lim (x3 - 2) = -2. x^O V ' 5.93. Z definice limity určete (l+x)2-3 lim -, 2 tj. mj. napište 8(s)-předpis jako v minulém příkladu. 5.94. Ukažte z definice limity, že ,. 3 (x - 2)4 lim -= +oo. x^—qo 2 5.95. Stanovte ,1 2 n — 2 n — 1 lim — + — + ••• + —— + 5.96. Vypočítejte □ V«3 — 11«2 + 2 + X/n1 — 2n5 — n3 — n + sin2 n lim -^ -. »^°° 2 - V5«4 + 2n3 + 5 5.97. Určete limitu n\ + (n -2)! - (n -4)! lim -—-. 5.98. Udejte příklad posloupností majících nevlastní limity se členy xn, yn,n e N, pro které je lim (x„ + y„) = 1, lim (x„ y2) = +oo. 5.99. Napište všechny hromadné body posloupnosti dané členy (-l)"2n a„ = , neN. V4«2 + 5« + 3 283 I. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE_4. MOCNINNÉ RADY 5.100. Spočtěte lim sup an a lim inf an, je-li n2 + An — 5 -, nn a« = —5—ň— sin" ~T> " Ě N-n2 + 9 A 5.101. Určete lim inf ( (-1)" ( 1 + - 1 +sin — 5.102. Určete obě jednostranné limity 1 1 lim arctg -, lim arctg —. x^0+ X x^O- X Na základě výsledku rozhodněte o existenci limity 1 lim arctg —. x^O X 5.103. Existuje některá z limit sinx 5x4 + 1 lim ——, lim-? x^O X3 -v->0 X 5.104. Vypočtěte limitu tg x — sinx lim -=-. sin x 5.105. Určete 2 sin3 x + 7 sin2 x + 2 sin x — 3 lim -r---. x^n/6 2 sin x + 3 sin x — 8 sinx + 3 5.106. Pro libovolné m, n e N určete x"1 - 1 lim • i x" - 1 5.107. Určete lim (V x2 + x — x) 5.108. Stanovte lim (x VI + x2 — x2 ) 5.109. Vypočítejte -v/2 — V1 + cos x lim-—-. sin" x 284 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO 5.110. Určete lim sin (4jc) >o V* + 1 - 1 5. i i i. Spočtěte lim VT + tgx - V1 - tg* siní 5. i i 2. Stanovte lim 2* + Vl +x2 -x9 - 7x5 + 44x2 3X + v'óx6 + x2 - 18x5 - 592X4 5.ÍÍ3. Nechť lim^ funkci g : R -» R? 5.114. V jakých bodech x e M je funkce /(x) = 0. Je pravda, že lim^-ooí/Xx) • g(x)) = 0 pro každou rostoucí y = cos I arctg I I 12x21 + 11 ^cos(x+2) — x A2 +sin (sin (sin (sinx))) /(*) X, 0, X, 0, X, 1 jt-3 ' ■11 -r s maximálním definičním oborem spojitá? 5.115. Rozhodněte, zda je funkce x < 0; 0 < x < 1; x = 1; 1 < x < 2; 2 < x < 3; x > 3 spojitá; spojitá zleva; spojitá zprava v bodech — ix, 0, 1, 2, 3, ix. 5.116. Dodefinujte funkci f(x) = arctg ^l + -1^ . Sin2 x\ x e M \ {0} pro x = 0 tak, aby byla v tomto bodě spojitá. 5.117. Uvedte pel, pro které je funkce sin (6x) fix) = —^-L, x e R \ {0}; /(0) = p 3x spojitá v počátku. 5.118. Zvolte reálnou hodnotu a tak, aby funkce x4 h(x) byla spojitá v I .4 j x - 1 x>l; h (x) = a, x < 1 5.119. Libovolným způsobem ověřte, že je ď - 1 lim- = 1. x^0 X 285 I. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 4. MOCNINNÉ ŘADY 5.120. Vypočtěte sin8 x lim —— x^0+ Xi 5.121. Určete limitu ) 2n-l 5.122. Spočítejte siní — x lim x^>0- 5.123. Nechť je pohyb tělesa (dráha hmotného bodu) popsán(a) funkcí v jednotkách m, s. Stanovte (a) počáteční (tj. v čase t = Os) rychlost tělesa; (b) čas a polohu, ve kterých má těleso nulovou rychlost; (c) rychlost a zrychlení tělesa v čase t = 4 s. Doplňme, že rychlost je derivace dráhy a zrychlení je derivace rychlosti. 5.124. Určete limitu s(t) (t - 3)2 + 16, t e [0, 7] 5.125. Stanovte 5.126. Pomocí 1'Hospitalova pravidla určete 5.127. Vypočtěte 5.128. Užitím 1'Hospitalova pravidla spočtěte limitu 5.129. Doplňte lim (1 — cosx) sin x 286 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO 5.130. Určete následující dvě limity lim lim x^> Extrémy ves7 8 63k přičemž a e M je libovolné. 5.131. V čase t = 0 vyjelo auto z bodu A = [5, 0] rychlostí 4 jednotky za sekundu směrem (—1, 0). Ve stejném čase vyjelo druhé auto z bodu B = [—2, —1] rychlostí 2 jednotky za sekundu směrem (0, 1). Kdy si budou auta nejblíže a jaká bude tato vzdálenost? Řešení, t = 1, 5s, vzdálenost -v/5 jednotek. □ 5.132. Vrtulník dálniční hlídky letí 3 km nad rovnou silnicí rychlostí 120 km/h. Pilot zaměří radarem auto jedoucí proti směru letu vrtulníku a naměří, že auto se při vzdušné vzdálenosti 5 km od vrtulníku k němu přibližuje rychlostí 160 km/h. Spočítejte rychlost auta (vůči předmětu pohozenému na vozovce). Řešení. Pro jednoduchost budeme v celém příkladu vynechávat fyzikální jednotky, a to kilometry pro dráhu a hodiny pro čas (rychlost tedy bude v km/h). Pozici vrtulníku v čase t vyjádřeme bodem [y(r), 3] a auta potom bodem [x(t), 0]; tj. 1 jednotka na osách odpovídá 1 km a současně osy volíme tak, aby „auto jelo po ose x". Jako s(t) označme vzdušnou vzdálenost vrtulníku od auta a jako ř0 ten časový okamžik, ze kterého jsou údaje v zadání. Spočtěme rychlost auta vzhledem k předmětu umístěnému do počátku soustavy souřadnic. Můžeme předpokládat, že x(t) > y(t) > 0. Za tohoto předpokladu je x'(t) < 0,/(O > 0 pro uvažovaná t. Auto se totiž blíží k bodu [0, 0] zprava - hodnota x(t) se zmenšuje pro zvětšující se t, a tudíž x'(t) < 0. Podobně dostáváme ý(t) > 0 a také s'(t) < 0. Ještě dodejme, že např. ý (t) udává, jak rychle se mění funkce y v čase t, tedy rychlost vrtulníku. Víme, že je s (t0) = 5, s' (to) = -160, / (to) = 120 a že platí (s(t) je přepona pravoúhlého trojúhelníku) (5.13) (x(t) Odtud plyne (x(t) > y(t) > 0) y(t)) 2 + Ý s2 (t). (x (to) - y (to))2 + 32 = 52, tj. x (tQ) - y (tQ) = 4. Derivováním identity (5.13) získáváme 2(x(t)-y(t)) (x'(t)-y(t)) =2s(t)s'(t) a následně pro t = t0 2-4(x'(ŕ0)- 120) = 2-5-(-160), tj. x'(ŕ0) = -80. Vypočítali jsme, že auto se blíží k předmětu na vozovce rychlostí 80 km/h. Stačí si uvědomit, s jakými jednotkami jsme pracovali. To, že jsme jako výsledek obdrželi zápornou hodnotu, je pak zapříčiněno naší volbou souřadnicového umístění. □ 5.133. Rozlehlý vojenský prostor (nadále zkráceno na VP) s půdorysem čtverce o rozloze 100 km2 je kolem dokola ohraničený úzkou cestou. Z výchozího místa v jednom rohu VP se lze dostat do cílového místa uvnitř VP tak, že se jde 5 km po cestě a poté 2 km kolmo k ní. Ovšem můžete jít libovolnou dobu po cestě rychlostí 5 km za hodinu a potom šikmo přes VP rychlostí 3 km za hodinu. Kolik (kilo)metrů musíte jít po cestě, abyste došli na místo určení co nejdříve? 287 I. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 4. MOCNINNÉ ŘADY Řešení. K tomu, abychom po cestě ušli x km, přičemž x e [0, 5], potřebujeme x/5 hodin. Naše cesta přes VP pak bude měřit V22 + (5 - x)2 = Vx2 - lOx + 29 kilometrů a ujdeme ji za ~Jx2 — lOx + 29 /3 hodin. Celkem bude naše cesta trvat f(x) = jx + ±Vx2 - lOx +29 hodin (připomeňme, že x e [0, 5]). Jediný nulový bod funkce w - 5 + 3 yx2_10jc+29 je x = 7/2. Protože derivace /' existuje v každém bodě intervalu [0, 5] a protože /G) = f| ~Jd2 + r2 , které prochází kladkou. Na tomto druhém laně je zavěšeno závaží. V jaké pozici se závaží ustálí (systém přejde do stacionární polohy)? Při řešení úlohy zanedbejte hmotnost i velikost lan a kladky. Viz obrázek. Řešení. Systém bude ve stacionární poloze, pokud bude minimalizována jeho potenciální energie, tj. vzdálenost závaží od stropu f(x) bude maximální. To však znamená, že pro r > d se kladka pouze přesune pod bod B. Nadále proto budeme předpokládat, že r < d. Podle Pythagorovy věty je vzdálenost kladky od stropu \Jr2 — x2 a vzdálenost kladky a závaží je l-y/(d- x)2 + r2-x2 , coz dává f(x) = Vr2 - x2 + l - y/(d - x)2 + r2-x2 . Poloha systému je zcela popsána hodnotou x e [0, r] (viz obrázek), a tudíž stačí najít globální maximum funkce / na intervalu [0, r]. Nejprve spočítáme derivaci Umocnění rovnice f'(x) = 0 pro x e (0, r) vede na v2 w2 r2—x2 (d—xÝ+r^—x2 Vynásobením obou stran výrazem (r2 — x2) {{d — x)2 + r2 — x2) pak (po úpravě) dostaneme 2dr - (2d2 + r2) x2 + d2r2 = 0, x e (0, r). Všimneme-li si, že jedním z kořenů polynomu na levé straně je zřejmě x = d, snadno převedeme poslední rovnici do tvaru (x - d) (2dx2 - ŕx - dr2) =0, x e (0, r), resp. (pro kvadratickou rovnici máme vzorec) 2d(x-d)(x - ȱI^£-) (x - ) = 0, x e (0,r). Odsud vidíme, že rovnice f (x) = 0 má v intervalu (0, r) nejvýše jedno řešení. (Neboť je r < d a -Jr2 + 8í/2 > r, dva kořeny uvažovaného polynomu v proměnné x určitě v intervalu (0, r) neleží.) Zbývá rozhodnout, zda e (0, r). r2+r^r2+Sd2 1 „ X0 - -4ď- - 4 r Když však uvážime, že r, d > 0 a. r < d, snadno získáme Ld+Álf + S 288 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO 0 < x0 < \ r r. Vzhledem ke spojistosti funkce /' na intervalu (0, r) může dojít ke změně jejího znaménka pouze v bodě x0. Z limit jc^0+ jď+r1 x^r- tak již vyplývá, že f'(x) > 0, x e (0, x0), /'(jc) < 0, x e (x0, r). Funkce / má proto globální maximum na intervalu [0, r] v bodě xq. □ 5.135. Nejmenovaná poštovní společnost má ve svých podmínkách uvedeno, že délka jí přepravo-■1^4'- vaného balíku nesmí být větší než 108 palců a že součet jeho délky a maximálního obvodu nesmí přesáhnout hodnotu 165 palců. Nalezněte balík největšího objemu, který podle svých podmínek společnost může doručit. Řešení. Nechť M označuje hodnotu 165 in (tj. palců) a x délku balíku (v palcích). Hledaný balík bude mít zřejmě takový tvar, že jeho průřez pro libovolné t e (0, x) bude mít stejný (ten maximální) obvod, který (rovněž vyjádřen v palcích) budeme značit jako o. Chceme, aby balík měl maximální objem, a tudíž aby průřez daného obvodu měl maximální obsah. Není obtížné si uvědomit, že rovinný útvar, který má při daném obvodu maximální obsah, je kruh. Tím jsme dospěli k závěru, že hledaný balík největšího objemu má tvar válce o výšce x a poloměru podstavy r = o/2jt. Jeho objem je V = itr2x = přičemž musí být o + x < M a také x < 108 in. Uvažujme proto balík, pro který je právě o + x = M. Ten má objem V(x) = = £Í=2Mj£±ádi kde x e (0, 108] Spočítáme-li derivaci 3(x- -M)(x-f) y,{x) = 3x -4MX+M = ~ - V" ^ x £ (0> 10g) snadno zjistíme, že funkce V roste na intervalu (0, 55] = (0, M/3] a klesá na intervalu [55, 108] = [M/3, min {108, M}]. Největší objem tak dostáváme pro x = M/3, přičemž v (f) = m =0,011789 M3 « 0, 867 8 m3. Pokud by společnost v přepravních podmínkách požadovala, aby měl balík tvar kvádru, příp. jistého hranolu, můžeme předchozí úvahy zopakovat pro daný průřez o obsahu 5, aniž bychom specifikovali, jak tento průřez vypadá. Stačí si uvědomit, že nutně S = ko2 pro jisté k > 0, které je právě určeno tvarem průřezu. (Když se pouze změní velikost mnohoúhelníku, jenž je průřezem, tak se změní ve stejném poměru také jeho obvod. Obsah se však např. zdevítinásobí při trojnásobné velikosti - trojnásobném obvodu.) Objem balíku je tedy funkcí V(x) = Sx = ko2x = k (M — x)2x, x e (0, 108]. Konstanta k neovlivňuje bod, kde je globální maximum funkce V, a proto toto maximum nastává opět pro x = M/3. Např. pro nejobjemnější kvádr s podstavou čtverce je o = M — x = 2M/3, tj. délka strany jeho podstavy je a = M/6 a objem potom V =a2x = = 0, 009259 M3 ~ 0, 681 6 m3. 289 I. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 4. MOCNINNÉ ŘADY Pro balík ve tvaru koule, kdy je x průměrem, podmínku o + x < M můžeme ihned přepsat do tvaru jtx + x < M, tj. x < M/(jt + 1) < 108 in. Pro x = M/(jt + 1) tak získáváme maximální objem V = \jt (f )3 = ----^3 = 0, 007 370M3 « 0, 542 6 m3. Podobně pro balík ve tvaru krychle, kdy x udává délku hrany, podmínka o + x < M znamená, že x < M/5 < 108 in. Takže pro x = M/5 dostáváme maximální objem V = x3 = (f)3 = 0, 008 M3 ^ 0,588 9m3. Ještě doplňme, že krychle, která má stejný objem jako nalezený válec, má délku hrany a = A= = 0, 227 595 M ~ 0, 953 849 m. Uvědomme si, že pro ni je součet její délky a obvodu roven 5a = 1, 138 M, tj. o bezmála 14 % překračuje hodnotu stanovenou společností. □ 5.136. Jste ve člunu na jezeře ve vzdálenosti d km od pobřeží. Chcete se dostat co nejrychleji do určeného místa na pobřeží ve vzdušné vzdálenosti \J d2 + P km od Vás (viz obrázek). Jak si budete počínat, pokud dokážete veslovat rychlostí v\ km/h a po břehu běžet rychlostí v2 km/h? Jak dlouho Vám bude cesta trvat? Řešení. Optimální strategie je zřejmědána tím, žedorazíte ke břehu vjistém bodě [0, x] prox e [0,1] a poté budete běžet podél břehu do cílového místa [0, l] (viz obrázek), kdy je tedy trajektorie složena ze dvou úseček (příp. z jedné pro x = ľ). Doplout ke břehu v bodě [0, x] Vám bude trvat ^±-i hodin — hodin. a běh po pobřeží pak Jde o to, aby celkový čas byl minimální, tj. je potřeba minimalizovat funkci ř(x) = VZ±£Í + __Í na intervalu [0, ľ]. Navíc lze předpokládat, že v\ < v2. (Pro v\ > v2 je nepochybně nejrychlejší veslovat přímo k cílovému místu, čemuž odpovídá x = l.) Nejprve vypočítáme první derivaci a poté druhou Dále vyřešíme rovnici Jejím umocněním obdržíme Jednoduchá úprava tak již dává ť'(x) = / ,, jce(0,Z). l(S+x2 ť(x) = 0, X2 fe)V+*2)- 2 W7 S ■ n i ■ - x2 d v "2/ _ -(5)- 'J' Uvědomme si, že uvažujeme pouze x e (0, Z). Zajímá nás proto, zdaje —a- < l. 290 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO Tuto nerovnici můžeme umocnit a upravovat podobně jako rovnici ť(x) = 0 se ziskem vesfrdq3 (5.14) l vesdl94gtv V2 y/P +cfi' Pokud je tato nerovnost splněna, je rovněž v\ < v2 a funkce ť mění znaménko pouze v bodě x0 € (O,/), a to ze záporného na kladné (uvažte limx^0+ ť(x) < 0 a ť'(x) > 0, x e (0, /)). To znamená, že v tomto případě je v bodě xq globální minimum funkce t na intervalu [0, /]. Jestliže nerovnost (5.14) splněna není, pak je ť(x) < 0 pro všechna x e (0, Z), odkud plyne, že globální minimum funkce t na [0, Z] je v pravém krajním bodě (funkce t je na svém definičním oboru klesající). Nejrychlejší cesta tedy bude trvat t (x0) Vl ' v2 IJl V "2 / "2 platí-li (5.14), a když (5.14) neplatí. ř(Z) «1^2 «1^2 + — hodin, hodin, □ 5.137. Aplikace Jensenovy nerovnosti. Dokažte, že mezi všemi (konvexními) n-úhelníky vepsanými do kružnice má největší obsah právě pravidelný n-úhelník (pro libovolné n > 3). Řešení. Připomeňme nejprve Jensenovu nerovnost: Pro ostře konvexní funkci / na intervalu / a pro libovolné body x\, ..., xn e / a reálná čísla c\, ... ,cn > 0 taková, že c\ + • • • + cn = 1, platí f(Ícix) přičemž pro hodnoty cpi e (0, 7t) musí zjevně být {-r2^ sirup,-. (5.15) (Pi H-----\-(p„ = ^2(fi =2tv. i=\ Funkce y = sin x je ostře konkávni na intervalu (0, 7t), což znamená, že funkce y = — sin x je na tomto intervalu ostře konvexní. Podle Jensenovy nerovnosti pro q = 1/n ai; = cpi je proto sin E ň 0), obvod se také zvětší a-krát a obsah a2-krát (jde o plošnou míru). Takže IP nezávisí na velikosti obrazce, nýbrž pouze na jeho tvaru. Uvažujme proto pravidelný n-úhelník vepsaný do jednotkové kružnice. Podle obrázku je h = cos cp = cos -, £ = sin cp = sin -, což dává vyjádření pro jeho obvod o„ = n ■ x = 2n sin — n y. i obsah Pro pravidelný n-úhelník tak je 5 = n ■ \hx = n cos - sin -. 4nr.cos * sin f = „ 4«2 sin2 ? " ° " 4«2 sin což můžeme ověřit kupř. pro čtverec (n = 4) s délkou strany a, kdy máme J p _ 4jTfl2 _ jt _ jt n_ 1 r — (4a)2 —4—4 CUL& 4 • Provedeme-li zlimitnění pro n -» 00 s použitím limity lim S££ = 1, x^O x dostaneme izoperimetrický podíl pro kružnici IP = lim ^ cotg £ = lim = 22*0 = 1. Pochopitelně jsme také mohli pro kružnici o poloměru r přímo vypočítat jp _ 4kS_ _ iTTJm2) _ o2 (2nr)2 Pro hranici kruhové výseče o poloměru r a středovém úhlu cp e (0, 2jt) je Potřebuje najít maximum funkce Výpočtem 2 r p _ 4kS_ _ 4jr ^ _ 2jny o2 (2r+np) 2 (2+(p)2 " však snadno získáváme, že /'(?)> 0, cpe (0,2), f'(cp)<0, cpe(2,2jt). 292 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO Funkce / tedy nabývá maximální hodnoty pro /€{1,...,„}, přičemž 5/ je obsah a oi obvod z-tého obrazce. Ještě budeme používat označení n A :=E V i=\ Připomeňme, že izoperimetrický podíl je dán pouze tvarem obrazce a nezávisí na jeho velikosti. Zvláště hodnota A je konstantní (je určena tvarem zadaných obrazců). Naším úkolem je minimalizovat součet Eľ=i S{ při dodržení podmínky Eľ=i 0; = l. Protože je však 2 S'=Ů~' i e {l,...,n}, jde nám o minimalizaci výrazu c •— _L V Sl " „2 -\ 1 Použijeme-li Jensenovu nerovnost pro ostře konvexní funkci y = x2 (na celé reálné ose), obdržíme (n \ 2 n Eci*«■) 0 s vlastností c\ + ■ ■ ■ + cn = 1. Dále víme, že v této nerovnosti nastane rovnost právě tehdy, když je x\ = ■ ■ ■ = xn. Volbou w - k - " a pak dostaneme Ci = %, «€{1, n \2 n / \ 2 i = l / i = l V 7 Jednoduchými úpravami přejdeme k nerovnici " „2 -\ 1 a poté (uvažte, že Eľ=i °' = 0 i "2 A — í—i Xi ' i = l 293 I. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 4. MOCNINNÉ ŘADY /esc36849k přičemž opět rovnost nastává právě pro (5.16) xi = ---=x„, tj. — = ... = —. Ai A„ Odsud vyplývá, že S je nejmenší, právě když platí (5.16). Tato nejmenší hodnota 5 je Z2/(4jt A). Zbývá stanovit délky nastříhaných částí o,. Pokud je (5.16) splněno, musí zjevně být o, = /ca, pro každé i e {1, ..., n} a jistou konstantu k > 0. Z l a současně Vo;=iy a, = kA E oí i = l ihned plyne, že k = l/A, tj. E °i = k E xi i = l i = l ±1 A ř' Oj = t- /, z e {1, ..., n}. Podívejme se na konkrétní situaci, kdy máme provázek o délce 1 m rozříznout na dva menší a z nich potom vytvořit čtverec a kruh tak, aby součet jejich obsahů byl co nejmenší. Pro čtverec a kruh je po řadě (viz příklad nazvaný Izoperimetrický podíl) k1 = 4~, A2 = l, tj. A=A!+A2 = i±-. Délky příslušných částí tak jsou Ol 4_ 7T 4+7T 1 m 4+jt m = 0, 56 m, o2 ■ 1 m 4+jt m = 0, 44 m. Obsah čtverce o obvodu 0, 56 m (s délkou strany a = 0, 14 m) je 0, 019 6 m2 a obsah kruhu s obvodem 0, 44 m (a poloměrem r = 0, 07 m) pak činí přibližně 0, 015 4 m2. Můžeme ověřit, že i 4jtA 4(4+jt) m 0, 035 m2 = 0, 019 6 m2 + 0, 015 4 m2 □ 5.140. O dům je opřený žebřík dlouhý 13 stop. Náhle základna žebříku podklouzne a žebřík začne sjíždět k zemi (stále zůstává opřený o dům). Když je základna žebříku 12 stop od domu, klouže od něj rychlostí 5 ft/s. Jak rychle v tomto okamžiku (a) klesá vršek žebříku po zdi; (b) se mění obsah trojúhelníku vymezeného žebříkem, domem a zemí; (c) se mění úhel, který svírá žebřík se zemí? 5.141. Předpokládejte, že vlastníte dostatek finančních prostředků bez možnosti investovat mimo svou továrnu s působností na cenově regulovaném trhu s takřka neomezenou poptávkou a omezeným přístupem k některým klíčovým surovinám, což Vám umožňuje produkovat nejvýše 10000 výrobků denně. Víte, že pro hrubé výnosy v a náklady n jako funkce proměnné x, udávající v tisících průměrný počet výrobků vyrobených za den, platí v(x)=9x, n(x) = x3 - 6x2 + \5x, x e [0, 10]. Při jakém objemu výroby budete mít z Vaší továrny největší zisky? 5.142. Zvolte rozměry otevřeného bazénu se čtvercovým dnem o objemu 32 m3 tak, aby na natření jeho stěn a dna bylo potřeba nejmenší množství barvy. 5.143. Číslo 28 rozložte na 2 nezáporné sčítance tak, aby součet druhé mocniny prvního sčítance a třetí mocniny druhého sčítance byl minimální. 5.144. Pomocí první derivace nalezněte reálné číslo a > 0, pro které je součet a + l/a minimální. Poté tuto úlohu řešte bez použití diferenciálního počtu. 294 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO 5.145. Vepište do půlkruhu o poloměru r obdélník s nej větším možným obvodem. Uvedlte jeho obvod. 5.146. Existuje-li mezi obdélníky o obvodu 4c obdélník s maximálním obsahem, stanovte délky jeho stran. 5.147. Zjistěte výšku v a poloměr podstavy r nej objemnějšího kužele, který se vejde do koule o poloměru R. 5.148. Ze všech trojúhelníků s konstantním obvodem o > 0 vyberte ten, jenž má největší obsah. 5.149. Na parabole 2x2 — 2y = 9 najděte body s minimální vzdáleností od počátku soustavy souřadnic. 5.150. Vaším úkolem je vyrobit jednolitrovou plechovou konzervu „obvyklého" tvaru rotačního válce tak, aby na její výrobu bylo potřeba co nejméně plechu. Určete správný poměr mezi její výškou v Racjy I a poloměrem podstavy r. 5.151. Do čtverce o délce strany a > 0 je vepsán čtverec, jehož strany jsou spojnicemi středů stran zadaného čtverce. Do vepsaného čtverce je stejným způsobem vepsán další čtverec atd. Stanovte součet obsahů a součet obvodů všech těchto (nekonečně mnoha) čtverců. 5.152. Nechť je dána posloupnost řádků půlkruhů, přičemž v n-tém řádku je 2" půlkruhů o poloměru 2~" pro každé /iěI Jaký bude obsah libovolného obrazce složeného ze všech těchto půlkruhů, když nebudou umístěny přes sebe? 5.153. Vyřešte rovnici 5.154. Určete 5.155. Sečtěte 1 - tgX + tg2X - tg3X + tg4X - tg5X + • • • = ^gpp oo E (y^t + y^i) «=1 E ^ + 272 + 1. « = 1 5.156. Dokažte konvergenci a nalezněte součet řady oo 3"+2" E 6« «=1 5.157. Stanovte součet řady oo (a) E n = \ oo (b) E ^- «=o 5.158. Sečtěte i,i,i — + — + — + ••• = F — 1-3 T 3-5 T 5-7 T (2« } 5.159. Pomocí rozkladu na parciální zlomky vyčíslete oo (a) E ^; . 1)(2« + 1)- n = \ n=2 (k) E „3+3„2_|_2„ • n = l 295 I. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 4. MOCNINNÉ ŘADY 5.160. Sečtěte konvergentní řadu 5.161. Určete součet řady 5.162. V závislosti na E 4«z-l ' «=0 T 1 n2+3n ' « = 1 A ■— „ — 1 2^3 4^5 6^7 8 ^ « = 1 vyjádřete součty řad (l + l-|) + (5 + 7-|) + --které z výše uvedené řady vznikly přerovnáním (tj. změnou pořadí členů). 5.163. Zjistěte, zda řada oo 2"+(-2)" «=0 konverguje. 5.164. Dokažte následující tvrzení: Jestliže řada E^oa« konverguje, pak je lim sin(3čz„+;r) = 0. « —oo 5.165. Pro j aké hodnoty ueM; p e Z; j/et\{0) řady Ee~"* . p"-nl . y^ _h_ « = 120 h =240 «=360 konvergují? 5.166. Rozhodněte, zda řada ^_j^« « —5« +2« «=21 2 konverguje absolutně, konverguje neabsolutně (relativně), nebo nekonverguje. 5.167. Zjistěte, jestli je limita lim (-r + 4 + • • • + -x) vlastní. Upozorněme, že k tomu nelze využít součtů oo ,00 E- = 4, E = +0O. t—i «- 6 ' ^ «2 «=1 «=2 5.i<58. Najděte všechna reálná čísla A > 0, pro která řada oo E(-l)"ln(l + A2n) «=i konverguje. 5.169. Zopakujme, že harmonická řada diverguje; tj. platí oo E 1 = +°°- t—i « « = 1 Rozhodněte, zda také řada 296 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO --1—1_..._|--1—I--1--U...-I—1—i—1—u... 91 T 99 T 111 T T 119 T 121 T diverguje. 5.170. Udejte příklad divergentních číselných řad e^li a«' e^li ^« s kladnými členy, pro které řada e^li — 2&„) absolutně konverguje. 5.171. Zjistěte, zda jednotlivé řady OO 2 oo ní Ei -\\n («!) . v-1 /_ i\« 2LjiíL_±ÍL v ^ (2«)!' 1) „8+2n6+„ n—\ n—\ konvergují absolutně, konvergují neabsolutně, či nekonvergují. 5.172. Konverguje řada El 1 \n + l ^ň+^ň+l o « = 1 5.173. Nalezněte hodnoty parametru pel, pro které řada OO £(-D" sin"f «=i konverguje. 5.174. Určete poloměr konvergence r mocninné řady OO 22"-«! « ^ (2«)! • «=0 5.175. Stanovte poloměr konvergence pro e^li x" ■ 5.176. Bez počítání uvedte poloměr konvergence mocninné řady e n = l 5 « — 1 n-3"-1 A 5.177. Nalezněte obor konvergence mocninné řady lň±_ 3V« T ^Xn. «=1 5.178. Určete, pro jaká iéM řada e , <-3); (x-2)" ^ v/«4+2«3 + lll V ' konverguje. 5.179. Je pro libovolnou posloupnost reálných čísel {fl«}^0 poloměr konvergence mocninných řad OO OO n—0 «—1 stejný? 5.180. Rozhodněte o platnosti implikací: (a) Pokud existuje vlastní limita lim Xfa2, pak mocninná řada ř7^*00 OO e an(x — xo)" « = 1 konverguje absolutně alespoň ve dvou různých bodech x. (b) Z neabsolutní konvergence řad e^Li a«' e^Li ^« plyne> ze rovněž řada e^Li(6fl« — 5&„) konverguje. (c) Jestliže pro číselnou řadu e^Lo a» Je lim a2 = 0, 297 I. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 4. MOCNINNÉ ŘADY pak tato řada konverguje, (d) Pokud řada YľŽĹi al konverguje, potom řada oo EOn n « = 1 konverguje absolutně. 5.181. Určete cos ^ s chybou menší než 10~5. 5.182. Pro konvergentní řadu oo «=0 odhadněte chybu aproximace jejího součtu částečným součtem s9 999. 5.183. Bez počítání derivací uvedte Taylorův polynom 4. stupně se středem v bodě x0 = 0 funkce f(x) = cos x — 2 sin x — ln (1 + x) , x e (—1, 1). Poté rozhodněte, zdaje graf funkce / v okolí bodu [0, 1] nad tečnou, pod tečnou. 5.184. Rozviňte funkci -v = x e (—ť I) v Taylorovu řadu se středem v počátku. 5.185. Funkci y = ex definovanou na celé reálné přímce vyjádřete jako nekonečný polynom se členy tvaru an(x — 1)" a funkci y = 2X definovanou na R vyjádřete jako nekonečný polynom se členy a„x". 5.186. Nalezněte funkci /, k níž pro x e M konverguje posloupnost funkcí Je tato konvergence stejnoměrná na Wl 5.187. Konverguje řada 00 T^-y, kde xeM, n = \ stejnoměrně na celé reálné ose? 5.188. Z Taylorova rozvoje se středem v počátku funkce y = sin x získejte pomocí derivace Taylorův rozvoj funkce y = cos x. 5.189. Odhadněte (a) kosinus deseti stupňů s přesností alespoň 10~5; (b) určitý integrál /Q1/2 pq-j- s přesností alespoň 10~3. 5.190. Určete mocninný rozvoj se středem v bodě x0 = 0 funkce X f(x) = Je*2 dt, x e R. o 5.191. Najděte analytickou funkci, jejíž Taylorova řada je JC ^ JC ~~\ ^ JC -j JC ~~\ přičemž x e [—1, 1]. 5.192. Ze znalosti součtu geometrické řady odvodíte Taylorovu řadu funkce y 5+2x 298 KAPITOLA 5. ZŘÍZENI ZOO se středem v počátku. Poté určete její poloměr konvergence. 5.193. Užitím integrálního kritéria nalezněte hodnoty a > 0, pro které řada oo y - «=i konverguje. 5.194. Pro jaká x e R řada konverguje? 5.195. Rozhodněte, zda řada oo konverguje absolutně, příp. relativně, nebo zda diverguje k +oo, resp. k — oo, či nic z toho (říkáme, že osciluje). Elnu n « = 1 ln(n!) 5.196. Stanovte součet číselné řady oo y J- « = 1 pomocí součtu vhodné mocninné řady. 5.197. Prox e (-1, 1) sečtěte x - 4x2 + 9x3 - 16x4 + 5.198. Je-li | x | < 1, určete součet řady (a) E 1 Jln-l. 2«-l « = 1 oo (b) E"2-*""1- n = l 5.199. Spočtěte pomocí součtu mocninné řady pro jisté x e (—1, 1). 5.200. Pro x e R sečtěte řadu E 2n-l (-2)"-1 n = \ E(-l)" (2« + l)x: «=0 2« E 2"-«' X «=0 1 Jin + \ 299 I. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 4. MOCNINNÉ ŘADY Řešení cvičení 5.2. P(x) = (-§ - f/)*2 + (2 + 3i)x - | - f i. 5.82. x4 + 2X3 - x2 + x - 2. 5.83. x4 + 2xi -2x2 + x + 2. 5.84. x4 + 3x3-3x2-x- 1. 5.85. sup A — 6, inf A — — 3; supB=i, inf B = —1; sup C = 9, infC = -9. 5.86. Lehce lze ukázat, že 3 sup A — -, inf A = 0. 5.87. Zřejmě je inf N =1, sup M = 0, inf J = 0, sup J" = 5. 5.55. Lze položit kupř. M:=Z\N: TV := N. 5.59. Uvažte jakoukoli jednoprvkovou množinu Xcl. 5.90. Množina C musí být jednoprvková. Nechť je tedy např. C — {0}. Nyní můžeme zvolit A — (—1,0), B = (0, 1). 5.92. Pro každé e > 0 stačí e-okolí bodu —2 přiřadit á-okolí bodu 0 předpisem přičemž bez újmy na obecnosti lze požadovat, aby e < 1. Pokud by totiž bylo e > 1, lze položit 5 = 1. 5.93. Existence limity a rovnost ,. (l+.v)2-3 3 lim -= — 2 2 např. opět plyne z volby S := e pro s e (0, 1). 5.94. Neboť — (x — 2)4 < x pro x < 0, dostáváme 3 (x — 2)4/2 > —x pro x < 0. 5.95. Platí /l 2 n-2 n-[\ /1+n-l n-l\ 1 lim — + — + ••• + —5- + —j- = hm-----T~ = V 5.96. Snadno lze ukázat, že V«3 - lln2 + 2 + ŽJn1 - 2«5 - n3 - n + sin2 n lim - -= —oo. 2 - V5n4 + 2«3 + 5 5.97. Limita je rovna 1. 5.95. Kupř. lze položit xn := n, yn :— —n +1, n e N. 5.99. Správná odpověďje ±1. 300 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO 5.700. Výsledek je lim sup an — 1, lim inf an — 0. 5.707. Platí i „i 1 \ " nit \ V2 lim inf ((-!)"(! + -) + sin — j = -e - -y. 5.102. Neboť 1 71 1 71 lim arctg — — —, lim arctg — —--. x^o+ x 2 jc^o- x 2 uvažovaná oboustranná limita neexistuje. 5.103. První z limit je rovna +oo, druhá neexistuje. 5.104. Limitu lze spočítat více způsoby. Nabízí se např. tg x — sin x / tg x — sin x cotg x lim---= lim x^o sin3x *->0 V sin3x cotgx 1 — COS x 1 — COS x = lim--— = lim x^o cos x • sin2 x cos x (l — cos2 x) 1 1 = lim >0 cosx (1 + cosx) 2 5.705. Platí 2 sin3 x + 7 sin2 x + 2 sin x — 3 sin x + 1 lim -^-r-= lim -= —3. 2 sin3 x + 3 sin2 x - 8 sin x + 3 *->jt/6 sin x - 1 5.706. Je xm — 1 m lim - = —. x" — 1 n 5.107. Po rozšíření výrazem Vx2 + x +. Vx2 + x +. lze lehce dostat 5.708. Platí 5.709. Je lim (V x2 + x — x) — —. X^+QO \ / 2 lim I x v 1 + x x^+oo (xy/l+X2 -X2^ — y V2 — Vl + cos x V2 lim ■*^0 sin x 5.110. Rozšířením zlomku ze zadání je možné obdržet sin (4x) lim >0 Vx + 1 - 1 5.777. Platí VI +tgx -VI -tgx lim -= 1. x^o- sinx 301 I. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 4. MOCNINNÉ ŘADY 5.112. Zřejmě je 2X + Vl + x2 - x9 - 7x5 + 44X2 7 lim -.. =- - —. x^-oo y + ^/6x6 + x2 _ lgx5 _ 592x4 18 5.773. Výrok není pravdivý. Uvažte kupř. /(x) := -, x e (-oo, 0); g(x) := x, x e R. 5.774. Uvedená funkce je spojitá na celém M. 5.775. V bodech — ?r, 0. n je spojitá; v bodě 2 je spojitá pouze zprava a v bodě 3 pouze zleva; v bodě 1 není spojitá ani z jedné strany. 5.776. Je nutné položit /(O) := 0. 5.117. Funkce je spojitá právě pro p — 2. 5.118. Správná odpověďje a = 4. 5.119. Limitu lze snadno určit např. pomocí 1'Hospitalova pravidla. 5.720. Je sin8 x sin8 x lim —^— = lim —^— = 0. 5.121. 2n-l lim | —- | = e"10 5.723. (a) v(0) = 6m/s; (b) r = 3 s, s(3) = 16m; (c) u(4) = -2m/s, a(4) = -2m/s2 5.723. Trojnásobné použití ľHospitalova pravidla dává sin x — x 1 lim ► o- x3 6 5.724. 2/tt. 5.725. 5.726. Ä((3'-2')')=lnÍ- 5.727. 1/2. 5.728. Platí / 2V2 -2 lim I cos — I — e . X^+OO Y x/ 5.129. Dvojnásobnou aplikací ľHospitalova pravidla lze obdržet lim (1 -cosx)sin* =e°= 1. *->0 5.130. V obou případech je výsledek ea. 5.140. (a) 12 ft/s; (b) -59. 5 ft2/s; (c) -1 rad/s. 5.747. Při produkci zhruba 3 414 výrobků denně. 5.742. 4mx4mx2m. 5.743. 28 = 24 + 4. 5.744. a = 1. 5.745. 2-v/Šr. 302 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO 5.146. Jedná se o čtverec (s délkou strany c). 5.147. v = ±R,r = ^R. 5.148. Nejvétší obsah V3o2/36 má rovnostranný trojúhelník. 5.149. [2, -1/2], [-2, -1/2]. 5.750. j; = 2r. 5.151.2a2; 4a (2 + V2J. 5.152. n 12. 5.153. x = f + kir, x = ^ + kit, k e Z. 5.154. 5. 5.155. +00. 5.156. 3/2. 5.757. (a) 3; (b) 9/4. 5.758. 1/2. 5.759. (a) 3/4; (b) 1/4. 5.760. -1/2. 5.767. 11/18. 5.162. s/2; 3s/2 (s = ln2). 5.163. Konverguje. 5.164. Postačuje uvážit nutnou podmínku konvergence lim^oo a„ = 0. 5.765. a > 0; p e {-2, -1, 0. 1. 2); y e (-00, -1) U (1, +00). 5.166. Konverguje absolutně. 5.167. Limita je rovna 1/2. 5.768. A e [0, 1). 5.169. Součet uvedené řady je konečný - řada konverguje. 5.770. Např. a„ = n/3, b„ = n/2, n e N. 5.171. První řada konverguje absolutně; druhá neabsolutně. 5.772. Ano. 5.773. p e R. 5.174. r = +00. 5.775. 1. 5.776. 3. 5.777. [-1, 1]. 5.778. x e [2- 5,2+5]. 5.779. Ano. 5.780. (a) Platí. (b) Neplatí. (c) Neplatí. (d) Platí. 5-181. 1 - + j^y. 5.782. Chyba náleží do intervalu (0, 1/200). 5.183. 1 — 3x + 23x4; nad tečnou. 5.184. ^ E«=o l"x" ■ 5-185. E~0^(x-l)";E~o^x-<. 5.186. f (x) = x, x e M; ano. 5.787. Nikoli. 303 I. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 4. MOCNINNÉ ŘADY 5 J88 V°° (~1)n r2" D.iaa. 2^„=o (2„)i x ■ 5.189. (a) 1 - ^ + ^ (b) I - ji,. 2« + l 5.190. Y.n=0 (2« + l)«! X 5.191. y — arctgx. 5.792. Právě pro x € ^— |, |^ je 5.193. a > 1. 5.794. x > 2. 5.195. Konverguje absolutně. 5.796. In (3/2). 5.797. .v—3 x(l—x) (l+x)3 5.198. (a) I In i^; Wtt^ 5.799. 2/9. 5.200. ieT. 5+2jc «=0 1 00 / t\" 304 KAPITOLA 6 Diferenciální a integrální počet zvěřinec teďmáme, ale co s ním? — naučíme se s ním zacházet... V minulé kapitole jsme si postupně hráli buď s mimořádně velikými třídami funkcí — všechny spojité, všechny diferencovatelné apod. — nebo jen s konkrétními funkcemi — např. exponenciální, goniometrické, polynomy atd. Měli jsme ale přitom jen minimum nástrojů a vše jsme počítali tak říkajíc na koleně. Z kvalitativního pohledu jsme jen naznačili, jak využívat znalost lineárního přiblížení funkce její derivací k diskusi lokálního chování takové funkce kolem daného bodu. Teď dáme dohromady několik výsledků, které umožní snáze pracovat s funkcemi při modelování reálných problémů. Pomocí derivování jsme se naučili zaznamenávat velkosti okamžitých změn. V této kapitole se vyrovnáme i s úlohou, jak sčítat nekonečně mnoho takových „nekonečně malých" změn, tj. jak „integrovat". Nejdříve si ale uděláme více jasno o derivacích. A. Derivace vyšších řádů Nejprve zaveďme konvenci, jak značit derivace vyšších řádů: druhou derivaci funkce / jedné proměnné budeme značit /" nebo f(2\ derivace od třetího řádu výše pak pouze f(3\ f(4\... f(n\ 1. Derivování 6.1. Derivace vyšších řádů. Říkáme, že reálná nebo kom-^ plexní funkce / má v bodě xo derivaci druhého řádu, jestliže derivace /' existuje na nějakém okolí bodu xo a existuje její derivace v bodě x0. Píšeme /"(*o) = (/')'(*o) nebo také /(2)(xo). Funkce / je dvakrát diferencovatelná na nějakém intervalu A, jestliže má druhou derivaci v každém jeho bodě. Derivace vyšších řádů definujeme induktivně: Hladké a funkce a /í-krát diferencovatelné funkce . Říkáme, že reálná nebo komplexní funkce / je (k + 1)-krát diferencovatelná pro nějaké přirozené číslo k v bodě x0, jestliže je /c-krát diferencovatelná na nějakém okolí bodu x0 a její k-tá derivace má v bodě x0 derivaci. Pro /c-tou derivaci funkce f(x) píšeme f(k\x). Jestliže existují derivace všech řádů na intervalu, říkáme, že je tam funkce / hladká. Většinou se také užívá konvence, že 0-krát diferencovatelná funkce znamená spojitá funkce. Pro funkce se spojitou /c-tou derivací používáme označení třída funkcí C*(A) na intervalu A, kde k může nabývat hodnot 0, 1, ..., oo. Často píšeme pouze Ck, je-li definiční obor znám z kontextu. 6.1. Určete následující derivace: i) (x2 ■ sin(x))", ii) (**)''» «0 (é)CT iv) (x")(n), v) (sinx)(n). Řešení, (a) (x2-sin(x))" = (2x sinx+x2 cosx)' = 2sinx+4x cosx-x2 sin x. (b) (x*)" VÍZ=(V) (Inx + l)x*)' = x*"1 + jc*(ln(jt) + l)2. «0 (ei) (3) 1 x2(ln x)2 x2(\n x)4 " (d) (x")(n) = [(x")'](" 1} = (nx"-1^"-^ = (e) (sinx)(n) = re(z" sinx) + im(z" cosx). nl. □ Taylorovy rozvoje. Derivace vyšších řádů nutně potřebujeme k tomu, abychom určili Taylorův rozvoj dané funkce. 6.2. Určete Taylorovy rozvoje Tk (/c-tého řádu v bodě x) z následujících funkcí: i) 703 z funkce sin x, ii) T? z funkce —. 305 A. DERIVACE VYŠŠÍCH ŘÁDŮ 1. DERIVOVÁNÍ Řešení. i) Spočítáme hodnoty první až třetí derivace funkce / = sin v bodě 0: /'(O) = cos(0) = 1, /(2)(0) = - sin(0) = 0, /(3)(0) = -cos(0) = -1, dále /(O) = 0 Taylorův rozvoj 3-trho řádu funkce sin(jc) v bodě Oje tedy rn3(sin(x)) = x--x3. ii) Opět /(l) = e, ex , , /'(D =---2-(1)=° x x^ f (2) e ze - , 2~ +-T 1 (3) ex e*2 6ex 6e■ , . Dostáváme tedy Taylorův rozvoj třetího řádu funkce y v bodě 1: T3(—) = e + -(x - l)2 - -(jc - l)3 = e(--+--2x + -). 1 x 2 3 3 2 6 □ 6.3. Určete Taylorův polynom funkce sin a pomocí věty (6.4) odhadněte chybu polynomu v bodě jt/4. Řešení. Podobně jako v předchozím příkladu určíme Tqf (sin(jc)) = x 1 x3 + 1 12ÔJ Dle věty 6.4 pak odhadneme velikost zbytku (chyby) R. Podle věty 5 22a existuje c e (0, f) takové, že 1—'-- R(jt/4) COS(c)7T7 7!47 < — = 0, 0002. 7! □ 6.4. Rozviňte funkci ln(l + x) do mocninné řady v bodech 0 a 1 a určete všechna x e M, pro která tyto řady konvergují. Řešení. Nejprve určeme rozvoj v bodě 0. Rozvinout funkci do mocninné řady v daném bodě je to stejné, jako určit její Taylorův rovoj v daném bodě. Snadno nahlédneme, že (n-l)\ ln(jc + 1) («) (-1) n + l (x + 1)" takže vyčíslením derivací v nule máme ln(x) = ln(0) + ^ an*n, kde n = l (_!)"+!(„_ i)! (_i) n + l nl Můžeme tedy psát Ilustrovat můžeme rychle pojem derivace vyššího řádu na polynomech. Protože výsledkem derivování polynomu je opět polynom, ale derivací se vždy o jedničku snižuje jeho stupeň, dostaneme po konečném počtu derivací nulový polynom. Přesněji řečeno, právě po k + 1 derivacích, kde k je stupeň polynomu, dostaneme nulu. Samozřejmě pak existují derivace všech řádů, tj. / e C°°(M). Při konstrukci splajnů, viz 5.9, jsme pohlídali, aby výsledné funkce byly třídy C2(M). Jejich třetí derivace budou po částech konstantní funkce. Proto nebudou splajny patřit do C3(M), přestože jejich všechny derivace vyšších řádů budou nulové ve všech vnitřních bodech jednotlivých intervalů v interpolaci. Promyslete si podrobně tento příklad! Následující tvrzení je jednoduchým kombinatorickým důsledkem Leibnitzova pravidla pro derivaci součinu funkcí: Lemma. Jsou-li f a g dvě funkce mající derivaci řádu k v bodě xq, pak má derivaci řádu k i jejich součin a platí: (f ■ g)(k)(xo) = (*V°(-*o)s(*-°(-*o) Důkaz. Pro k = 0 je tvrzení triviální, pro k = 1 je to Leibnitzovo pravidlo pro derivaci součinu. Jestliže pravidlo platí pro nějaké k, derivací pravé strany a použitím Leibnitzova pravidla dostaneme obdobný výraz (k-i+1) (*o) V této nové sumě je součet řádů derivací u součinů v jednotlivých sčítancích k + 1 a koeficienty u f^ (x0)g<*+1~-,-) (x0) jsou součty binomických koeficientů (j\) + (k}) = (H1). □ 6.2. Násobné kořeny a inverze polynomů. Derivace polynomů jsme spočítali již v odstavci 5.6 a je vidět, '__že jde o hladké funkce. Derivace je v tomto případě vlastně prosté algebraické zobrazení a podívejme se, jak se nám derivace bude hodit pro diskusi násobných kořenů polynomů. Nejprve zformulujme základní větu algebry, kterou však patrně dodám skoro . . ^11 . úplný důkaz o pár nebudeme nyní dokazovat: ^pi;ol pozdě/v algebře Věta. Každý nenulový komplexní polynom f : C —> C stupně alespoň jedna má kořen. Nutně tedy polynom stupně k > 0 má právě k komplexních kořenů včetně násobností a můžeme jej vždy psát jednoznačně ve tvaru /(*) = (x - ai)Cl ■ (x - aq)c« kde a\, ... ,aq jsou všechny kořeny polynomu / a 1 0 bude f(x) rostoucí, pro sudá n naopak bude nalevo klesající a napravo rostoucí, dosáhne tedy v bodě x0 své minimální hodnoty mezi body z (dostatečně malého) okolí bodu x0 = 0. Tentýž pohled můžeme aplikovat na funkci /'. Jestliže totiž je druhá derivace nenulová, určuje její znaménko chování derivace první. Proto v kritickém bodě x0 bude derivace f'(x) rostoucí při kladné druhé derivaci a klesající při záporné. Jestliže je ale rostoucí, znamenená to, že nutně bude záporná nalevo od kritického bodu a kladná napravo od něj. Funkce / v takovém případě je klesající nalevo od kritického bodu a rostoucí napravo od něj. To znamená, že má funkce / v bodě x0 minimum ze všech hodnot z nějakého malého okolí bodu x0. Naopak, je-li druhá derivace záporná v x0, je první derivace klesající, tedy záporná vlevo od x0 a kladná vpravo. Funkce / bude tedy mít v bodě x0 maximální hodnotu ze všech hodnot na nějakém okolí. Funkce diferencovatelná na (a,b) a spojitá na [a,b] má jistě na tomto intervalu absolutní maximum a minimum. Může ho dosáhnout pouze buď na hranici nebo v bodě s nulovou derivací, tj. v kritickém bodě. Pro diskusi extrémů nám tedy mohou stačit kritické body a druhé derivace pomůžou určit typy extrémů, pokud jsou nenulové. Pro přesnější diskusi ale potřebujeme lepší než lineární aproximace zkoumaných funkcí. Proto se nejprve budeme věnovat úvahám v tomto směru a teprve poté se vrátíme k diskusi průběhu funkcí. 1 9 1 3 1 A ln x = 1 + x--x + -x--x + • • • 2 3 4 ^ n «=i Pro poloměr konvergence potom použijeme limitu podílu následujících koeficientů členů mocninné řady 1 lim„_ "n+\ 1 n^oo i 1. lim. Řada tedy konverguje pro libovolné x e (—1, 1). Pro x = — 1 dostáváme harmonickou řadu (se znaménkem minus), pro x = 1 dostáváme aternující harmonickou řadu, která podle Leibnizova kriteria konverguje. Daná řada proto konverguje právě pro x e (—1, 1). Pro rozvoj v bodě 1 dostáváme podobně vyčíslením výše uvedených derivací z 6.4 ln(x + 1) ln(2) + l-(x - 1) - 1(* - l)2 + ln(2) + ^ \_ (x - 1)", 1 3 -23 (x - 1)J 1 4 -24 (x - l)4 + . «=i n ■ 2" pro poloměr konvergence této řady pak dostáváme lim„ lim„_ 2"+1Qi+l) •OO 1 2" n První řada konverguje pro —1 < x < 1, druhá pro — 1 < x < 3. □ 6.5. Rozviňte funkci (a)y=mI±f, x e (-1, 1); l-x (b) y = ex + x e 2a-2x x e do Taylorovy řady se středem v počátku. Řešení. Pokud lze funkci vyjádřit jako součet mocninné řady (s kladným poloměrem konvergence) na jejím oboru konvergence, pak je tato řada nutně Taylorovou řadou uvažované funkce (svého součtu). To nám umožní snadno najít příslušné Taylorovy řady. Případ (a). Víme, že je x e (-1, 1), ln(l+jc) = £^x" n = \ tj- 307 A. DERIVACE VYŠŠÍCH ŘÁDŮ 1. DERIVOVÁNÍ n—l n—1 Celkem máme lni±f =ln(l+jc)-ln(l-jc) = E 2 Jht-\ n = \ n = \ pro x e (—1, 1). Případ (b). Podobně ze známé identity plyne a e* = £ V> x e «=0 «=0 «=0 x2 e"2* = x2 £ ^ (-2x)" = £ x"+2, x e «=0 ' «=0 Platí tudíž e*2+x2e-2* = g ^+(-2)-^ xeR_ «=0 □ Další příklady na Taylorovy polynomy a řady naleznete na straně 356. 6.6. Určete Taylorovu řadu se středem v počátku funkce (a) y x e (-1, 1); (l+x)2 ' (b) y = arctgx, x e (—1, 1). Řešení. Případ (a). Využijeme vzorec TTI = £("-*)" = E(-l)"*". *e(-l,l) «=o «=o o součtu geometrické řady. Jeho derivováním dostáváme (oo \ ' oo £(-l)"x" = VJt-iyrcx"-1, xe(-l,l) «=0 / n=l přičemž (x°)' = 0, a tak je dolní index n = 1. Vidíme, že oo \n + l „ vn — \ (l+x)1 ^(_l)«+i„x«-i; jce(-l, 1). n = \ Případ (b). Derivaci funkce y = arctg t umíme vyjádřit jako oo oo (arctgř)' = T^ = EHT = E(-l)"ř2", ' e(-l,l). «=0 «=0 Protože pro x e (— 1, 1) je / (arctg t)' dt = arctgx — arctg 0 = arctgx x / oo f £ (-1) -ŕ2" A = E (- D" /12" dt) = E 2n+1 o \«=o / «=o V o / «=o máme již výsledek oo arctgx = E 2~Prx2"+1' *e(-l.l)- (-D" x2n+l «=0 6.4. Taylorův rozvoj. Jako překvapivě jednoduché využití Rolleovy věty teď odvodíme mimořádně důležitý vý-T|> sledek. Říkává se mu Taylorův rozvoj se zbytkem. In-$ tuitivně se k němu můžeme dostat obrácením našich íf^ úvah kolem mocninných řad. Máme-li totiž mocninnou řadu 5(x) = ^2an(x — a)n «=o a derivujeme-li ji opakovaně, dostáváme mocninné řady (víme, že je možné takový výraz derivovat člen po členu, i když jsme to ještě nedokázali) S«(x) = ^n(n - 1)... (n - k + l)an(x - a) n—k n—k V bodě x = a je tedy S{k){a) = k\a\. Můžeme tedy naopak číst poslední tvrzení jako rovnici pro a\ a původní řadu přepsat jako oo ^ 5(x) = J]—5w(a)(x - a)". n=0 Jestliže místo mocninné řady máme nějakou dostatečně hladkou funkci f(x), je tedy na místě se ptát, zda ji můžeme vyjádřit jako mocninnou řadu a jak rychle budou konvergovat částečné součty (tj. přiblížení funkce / polynomy). Naše úvaha právě naznačila, že můžeme očekávat v okolí bodu a dobrou aproximaxi polynomy, tzv. Taylorovými polynomy k— tého řádu: Pkf(x) = f (a) + f'(a)(x -a)+ l-f"(a)(x - a)2+ + \f{i)(a)(x -aý + -.. + ±-f(k)(a)(x - af. 6 k\ Přesná odpověď vypadá podobně j ako věta o střední hodnotě, jen pracujeme s vyššími stupni plynomů (tzv. Taylorův rozvoj se zbytkem): Věta. Nechť je f (x) funkce k—krát diferencovatelná na intervalu (a, b) a spojitá na [a, b]. Pak pro každé x e (a, b) existuje číslo c e (a, x) takové, že f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + 1 + 1 f(k-1)(a)(x - af'' + — fw(c)(x - af (k - 1)! J ' kV ' ' = Pk.1f(x) + ^f(k)(c)(x-af. Důkaz. Definujme zbytek R (tj. chybu při aproximaci pro pevně zvolené x) takto f(x) = Pk_lf(x) + R 308 KAPITOLA 6. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET tj. R = ^r(x — a)k pro vhodné číslo r (závislé na x). Nyní uvažujme funkci F(§) definovanou k-i □ 7=0 6.7. Najděte Taylorovu řadu se středem x0 = 0 funkce Její derivace (přičemž x je pro nás konstantní parametr) je F'(£) = /'(£)+ 1 f(x) = f ucosu2du, x e o Řešení. Z vyjádření (2«)! ' «=0 1 (*" 1) ■r(x - £) 7c-l 1 /w(§)(x-§) (/c-1)! 1 7c-l 1 (/c-1)! r(x - £) 7c-l (*_£)*"!(/(*)(£)_,.), (/c-1)! protože výrazy v sumě se postupně vzájemně ruší. Nyní si stačí všimnout, že F (a) = F(x) = f(x) (připomeňme, že x je libovolně zvolená ale pevná hodnota v intervalu (a, b)). Proto podle Rolleovy věty existuje číslo c, a < c < x, takové, že F'(c) = 0. To ale je právě požadovaný vztah. □ 6.5. Odhady pro rozvoje se zbytkem. Obzvlášť jednoduchý je Taylorův rozvoj libovolného polynomu f(x) = anxn + an-ixn~l + • • • + a\x + úq, an ^ 0. Protože je (n + l)-ní derivace / identicky nulová, má Taylorův polynom stupně n nulový zbytek a tedy je pro každé x0 e R f (x) = f(x0) + f'(x0)(x -*„) + ... + 1/(»>(*„)(* - x0)" n\ a všechny derivace snadno vyčíslíme (např. poslední výraz je vždy tvaru a„(x — xq)"). Tento výsledek je velmi speciálním odhadem chyby v Ta-ylorově rozvoju se zbytkem. Víme totiž předem, že zbytek je odhadnutelný pomocí velikosti derivace a ta je u polynomu od určitého řádu identicky nulová. I obecněji vede odhad velikost /c-té derivace na nějakém intervalu k odhadu chyby na temže intervalu. Speciálním případem je také věta o střední hodnotě coby aproximace Taylo-rovým rozvojem řádu nula, viz (5.9). Dobrým příkladem pro libovolný řád jsou třeba goniometrické funkce. Iterováním derivace funkce sin x dostaneme vždy buď sinus nebo cosinus s nějakým znaménkem, ale v absolutní hodnotě budou hodnoty vždy nejvýše jedna. Dostáváme tedy přímý odhad rychlosti konvergence mocninné řady \x\k+1 | sinx — (Pk sin)(x)| < (* + l)! Vidíme tedy, že pro x výrazně menší než k bude chyba malá, pro x srovnatelné s k nebo větší ale bude obrovská. plyne wcosw2 = u E T^jr ("2)Z" = E ue «=0 «=0 a následně (pro x e R) (-1)" „4« + l )! x x / oo f (x) = j u cos u2 du = j I E ^ŠrOľ u4n+1 ) du o 0 V«=o E ( ((2„)! / "4" + 1 du I — E (2n)\(4n+2) X n=0 \0 " 4«+2 «=0 □ 6.8. Na intervalu konvergence (—1, 1) stanovte součet řady E n (Ti + l)x". n = l Řešení. Platí oo oo / oo J2n(n + \)xn = J2n(xn+1)' = J2njc" n = \ oo Y^nxn~xx2 n = l oo -1 + £jc" «=o n = \ n + 1 oo x2 E (*")' n = \ 2 x2 ( E x" n = \ 1 2 1 L d-*)2 J □ provšechnax e (—1, 1). 6.9. Pro x e (—1, 1) sečtěte oo , , y- (-!)"+' „ + 1 ^ «(« + l) « = 1 Řešení. Nejprve upozorněme, že symbolem pro neurčitý integrál budeme označovat jednu konkrétní primitivní funkci (při zachování proměnné), kterou je vhodné chápat jako tzv. funkci horní meze, přičemž dolní mez je nula. Užitím věty o integraci mocninné řady pro x e (—1, 1) obdržíme oo (-!)"+' v„ + l _ v^oo / (zil y^oo (-1, £—n = \ «(« + !) /EB°°=i (i-iy+1 f x-'dx)dx 309 A. DERIVACE VYŠŠÍCH ŘÁDŮ 1. DERIVOVÁNÍ / (/ E^ií--^)""1 dx)dx = j (f 1 - x + x2 - x3 + ■ ■■ dx)dx pTT f(fikdx)dx / ln(l + jc) + Ci dx Jelikož f £ (y~^—x")dx=/in (i+x)+Ci dx' ze spojitosti uvažovaných funkcí víme, že J2^—x" =ln(l+jc) +Ci, jce(-l.l). «=i Volba x = 0 potom dává 0 = ln 1 + Cx, tj. Ci =0. Dále je / ln (1 + x) dx = | per partes | = u = ln (1 + x) «' = — v' = 1 i; = x ■ln(l+jc) - fj2- dx x ln (1 + x) - f 1 - dx = x ln (1 + x) - x + ln (1 + x) + C2 = (x + l)ln(jc + 1) - x + C2. Protože zadaná řada konverguje v bodě x = 0 se součtem 0, analogicky jako pro Ci z 0 = 1 • ln 1 - 0 + C2 vyplývá, že C2 = 0. Celkem tedy získáváme (x + 1) ln(x + 1) - x, x e (-1, 1). y- (-P"+1 T«+i £— «(« + !) « = 1 □ 6.10. Napište mocninnou řadu se středem v počátku, jejíž součet je na intervalu (—3,3) funkce x2-x-12 - Řešení. Neboť i í i i ____ I (___ x2-x-l2 (x-4)(x+3) 1 Vjt-4 x+3 _J_ —__á_ iiiil_i._i_if._i_ x-4 ~ l-£ ~~ 4 ľ T 4 Ť 42 ť t 4„ "t 1 _ 3 _ 1 / i x , x 1 " I + S + • • • + T + *+3 l-(-f) 3 \ 3 ^32 dostáváme ■ ■■). i x^___L V (~x)" z-_ 4« 21 ^ CX) / (-D" í:2_jc_12 28 ^ 4" 21 ^ 3" ^ V 21-3" 28-4' n— 0 «—0 «—0 □ 6.11. Rozviňte do mocninné řady funkci cos2(x) (tj. určete Taylorův rozvoj funkce) v bodě 0 a určete pro která reálná čísla tato řada konverguje. 6.6. Analytické a hladké funkce. Je-li / v bodě a hladká, pak můžeme napsat formálně mocninnou řadu CX) ^ S(x) = J]-/«(_;)(-* a)n. «=o Taylorova věta nám říká, že pokud tato mocninná řada má nenulový poloměr konvergence, pak je S(x) = f(x) na příslušném intervalu. Takovým funkcím říkáme analytické funkce v bodě a. Funkce je analytická na intervalu, je-li analytická v každém jeho bodě. Ne všechny hladké funkce jsou ale analytické. Ve skutečnosti lze dokázat, že pro každou posloupnost čísel an umíme najít hladkou funkci, jejiž derivace řádů k budou tato čísla ak.1 Abychom si alespoň představili podstatu problému, ukážeme si (jak se později uvidí velice _v, užitečnou) funkci, která má v nule všechny derivace nulové, je však všude kromě tohoto bodu nenulová. Uvažme funkci definovanou vztahem -l/x1 Evidentně jde o dobře definovanou hladkou funkcí ve všech bodech x ^ 0. V bodě x = 0 však existuje limita lini^o f(x) = 0. Můžeme proto dodefinovat /(0) = 0 a získáváme spojitou funkci. Přímým výpočtem s použitím ĽHospitalova pravidla vyjádříme derivaci e-iA2 _o x-i x /'(0) = lim -= lim-r = 2 lim-T = 0. x^o x x^o e1/* x^o e1/* Derivací / v obecném bodě dostaneme /'(jc) = e~1/x -2x~3 a libovolnou konečněkrát opakovanou derivací funkce /(x) dostaneme součet konečně mnoha členů tvaru C ■ f(x) ■ x~k, kde C je nějaké celé číslo a k je přirozené číslo. Každý výraz x~ke -l/x1 I el/x" je pro x 0 výrazem typu oo/oo, na který můžeme opakovaně použít ĽHospitalovo pravidlo. Zjevně po několika derivacích čitatele i jmenovatele bude ve jmenovateli stále stejný výraz, zatímco v čitateli již bude mocnina nezáporná. Celý výraz tedy nutně má v nule limitu nulovou, stejně jako jsme počítali v případě první derivace výše. Protože totéž bude platit pro konečný součet takových výrazů, bude mít nulovou hodnotu v limitě v nule i každá derivace f(k\x). Jestliže nyní dodefinujeme hodnoty všech derivací naší funkce v nule rovnicí /W(0) =0, a zkusíme derivovat funkci f(k) v nule, dostaneme opět konečný součet výrazů jako výše a proto ukazuje náš předchozí Jde o speciální případ tzv. Whitneyho věty, viz. doplnit citaci a 310 KAPITOLA 6. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET výpočet s pomoci ĽHospitalova pravidla, že skutečně derivace této funkce bude i v nule existovat a bude skutečně rovna opět nule. Získali jsme tedy hladkou funkci na celém M. Je vidět, že skutečně jde o nenulovou funkci všude mimo x = 0, všechny její derivace v tomto bodě jsou ale nulové. Samozřejmě to tedy není analytická funkce v bodě x0 = 0. 6.7. Další příklady neanalytických hladkých funkcí. Snadno můžeme naši funkci f(x) z předchozího odstavce modifikovat takto: g(x) 0 -1/x1 je-li x < 0 je-li x > 0 Opět jde o hladkou funkci na celém M. Další úpravou můžeme získat funkci nenulovou ve všech vnitřních bodech intervalu [—a, a], a > 0 a nulovou jinde: h(x) 0 je-li \x\ > a je-li \x\ < a. vesdwkxccl56 Tato funkce je opět hladká na celém M. Poslední dvě funkce jsou na obrázcích, vpravo je použit parametr a = 1. Nakonec ještě ukážeme, jak lze dostat hladké analogie Heavisideových funkcí. Pro dvě pevně zvolená reálná čísla a < b definujeme funkci f(x) s použitím výše definované funkce g takto: fix) g(x - a) g(x - a) + g(b - x) Zjevně je pro každé x e M jmenovatel zlomku kladný (pro každý z intervalů určených čísly a a b je totiž alespoň jeden ze sčítanců jmenovatele nenulový a tedy je celý jmenovatel kladný). Dostáváme z našeho definičního vztahu proto hladkou funkci f(x) na celém M. Při x < a je přitom jmenovatel zlomku přímo dle definice funkce g nulový, při x > b je čitatel i jmenovatel stejný. Na dalších dvou obrázcích jsou právě funkce f(x) a to s parametry a = \ — a,b = \+a, kde nalevo je a = 0.8 a napravo a = 0.4. 6.12. Rozviňte do mocninné řady funkci sin (x) v bodě 0 a určete pro která reálná čísla tato řada konverguje. 6.13. Rozviňte do mocninné řady funkci ln(x3 + 3x2 + 3x + 1) v bodě 0 a určete, pro která x e M. konverguje. Nyní několik „klasických" příkladů, ve kterých budeme vyšetřovat průběh různých funkcí. 6.14. Vyšetřete průběh funkce f(x) = VUP + 1. Řešení. Definičním oborem i oborem spojitosti je celá reálná osa (/ tedy nemá body nespojitosti). Postačuje např. uvážit, že funkce x je spojitá v každém bodě x e M (na rozdíl od odmocnin y = o sudém základě definovaných pouze na nezáporné poloose). Ihned je také vidět, že / (x) > 1 a/(-x) = /(x) pro všechna x e M, tj. funkce / je kladná a sudá. Bod [0, 1] jako jediný průsečík grafu / s osami proto dostaneme dosazením x = 0. Limitní chování funkce má smysl uvažovat pouze v ±oo (neexistují body nespojitosti), kde lehce určíme lim \f\x x^-íoc lim | x x^-íoc + 00. (6.1) lim 7|7p+T x^íoo Nyní přistoupíme ke zkoumání průběhu funkce pomocí jejích derivací. Pro x > 0 je f(x) = v^TT = (x3 +1)5, a tedy (6.2) /'(x) = ^ (x3 + lp 3x2 > 0, x > 0. Odtud vyplývá, že funkce / je rostoucí na intervalu (0, +oo). Vzhledem ke své spojitosti v počátku je však nutně / rostoucí na [0, +oo). Neboť se jedná o sudou funkci, víme dále, že na intervalu (—oo, 0] klesá. Má tak jediné lokální minimum v bodě x0 = 0, které je současně (ostrým) minimem globálním. Protože nekonstantní spojitá funkce zobrazuje interval na interval, je oborem hodnot / právě [1, +oo) (uvažte /(x0) = 1 a (6.1)). Všimněme si, že díky sudosti funkce jsme nemuseli počítat derivaci /' na záporné poloose, kterou lze však snadno určit náhradou | x |3 = (—x)3 = —x3 se ziskem /'(x) = i (-x3 + lp (-3x2) < 0, x < 0. Při výpočtu /'(0) můžeme vyjít přímo z definice nebo pomocí limit v2 „ v2 lim 0 1U1, ,--^ — lim ,- *^0+ j(x3 + lf ^0- j(-x3 + lf stanovit jednostranné derivace a následně /'(0) = 0. Ve skutečnosti jsme nemuseli počítat první derivaci ani na kladné poloose. K tomu, abychom obdrželi, že / roste na (0, +oo), si stačilo uvědomit, že 311 A. DERIVACE VYŠŠÍCH ŘÁDŮ 1. DERIVOVÁNÍ 3sqjygr691 funkce y = ^fx a y = x3 + 1 jsou rostoucí na R a že kompozice rostoucích funkcí je funkce rostoucí. Snadno pro x > 0 však z (6.2) vypočítáme druhou derivaci tj. po úpravě máme (6.3) f"(x) n/(*3+i)4 2x Podobně můžeme spočítat > 0, x > 0. 2x^(-x3 + l)2-lx2^(-x3 + l)-l(-3x2) 2x ^H3+i)4 0, x < 0 > a poté /"(O) = 0 zlimitněním lim 2* 0+^ 0 lim 2x (x3+iy j(-x3+iy Podle nerovnosti (6.3) je / ryze konvexní na intervalu (0, +oo). Také dostáváme ryzí konvexnost funkce / na (—oo, 0). K tomuto závěru ovšem opět nebylo potřeba druhou derivaci pro x < 0 počítat: stačilo využít sudosti zadané funkce. Celkem jsme pak obdrželi, že / je konvexní na celém svém definičním oboru (nemá inflexní body). K vykreslení grafu funkce ještě potřebujeme nalézt asymptoty (vyčíslení funkce v jistých bodech přenecháváme čtenáři). Neboť je funkce / spojitá na M, asymptoty bez směrnice mít nemůže. Přímky y = ax + b je pak asymptotou se směrnicí pro x tehdy, když existují (jako vlastní) obě limity lim = a, JC=>0O x Analogické tvrzení platí pro x -lim = lim JC=>0O x oo tehdy a jenom lim (/ (x) — ax) ■» —oo. Z limit Si = hm ^ - 1, lim h o tak již plyne, že přímka y = x je asymptotou v +oo. Když znovu uvážíme, že funkce / je sudá, bezprostředně obdržíme přímku y = —x jako asymptotu v — oo. □ 6.15. Vyšetřete průběh funkce /(*) cos 2x ' Řešení. Do definičního oboru náleží všechna x e M, pro která je cos 2x 7^ 0. Rovnice cos 2x = 0 je splněna právě pro 2x = f + kjt, k € Z, tj. - - 71 ' k7T alpha = .40000 /- Snadno nyní také vytvoříme hladkou obdobu charakteristické funkce intervalu [c,d]. Označme si jako f€(x) výše uvedenou funkci f(x) s parametry a = —e, b = +e. Nyní pro interval (c, d), s délkou d — c > 2e definujeme funkci h€(x) = f€(x —c)-f€(d—x). Tato funkce je identicky nulová na intervalech (—oo,c — e) a.(d + e, oo) a je identicky rovna jedné na intervalu (c+e, d —e), přičemž je všude hladká a lokálně je buď konstantní nebo monotóní. Čím menší je e > 0, tím rychleji naše funkce přeskočí z nuly na jedničku kolem začátku intervalu nebo zpět na konci intervalu. Vidíme tedy, že hladké funkce jsou velice „plastické" — z lokálního chování kolem jednoho bodu nemůžeme říci vůbec nic o globálním chování takové funkce. Naopak, analytické funkce jsou zcela určené dokonce jen derivacemi v jediném bodě. Zejména jsou tedy bezezbytku určené svým chováním na libovolně malém okolí jediného bodu ze svého definičního oboru. Jsou tedy v tomto smyslu velice „rigidní". 6.8. Lokální chování funkcí. Viděli jsme, že znaménko . první derivace určuje u každé diferencovatelné funkce, zda roste nebo klesá na £f nějakém okolí daného bodu. Pokud je ale ■((//' *' derivace nulová, sama o sobě mnoho o chování funcke neříká. Už jsme se ale setkali s významem druhé derivace při popisu kritických bodů. Teď zobecníme diskusi kritických bodů pro všechny řády. Začneme diskusí lokálních extrémů funkcí, tj. hodnot, které jsou ostře větší nebo ostře menší než všechny z nějakého okolí daného bodu. Budeme v dalším uvažovat funkce s dostatečným počtem spojitých derivací, aniž bychom tento předpoklad přímo uváděli. Řekneme, že bod a v definičním oboru funkce / je kritický bod řádu k, jestliže platí f'(a) f(k)(a) = 0, f«+í>(a)r0 (k+l). Předpokládejme, že f(k+l\a) > 0. Pak je tato spojitá derivace kladná i na jistém okolí O(a) bodu a. Taylorův rozvoj se zbytkem nám v takovém případě dává pro všechna x z O (a) 1 f(x) = f (a) + f(k+l)(c)(x-a) k+l (* + l)!- Je proto změna hodnot f(x) v okolí bodu a dána chováním funkce (x — a)k+l. Je-li přitom k + l sudé číslo, jsou 312 KAPITOLA 6. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET 6. 8b nutně hodnoty / (x) v takovém okolí větší než hodnota f (a) a zjevně je proto bod a bodem lokálního minima. Pokud je ale k sudé číslo, pak jsou hodnoty vlevo menší a vpravo větší než než f (a), extrém tedy ani lokálně nenastává. Zato si můžeme všimnout, že graf funkce f (x) protíná svoji tečnu y = f(a) bodem [a, f (a)]. Naopak, je-li f{k+l)(a) < 0, pak ze stejného důvodu jde o lokální maximum při lichém k a extrém opět nenastává pro k sudé. 6.9. Konvexní a konkávni funkce. Říkáme, že funkce / je v bodě a konkávni, jestliže se její graf nachází v jistém okolí celý pod tečnou v bodě [a, f (a)], tj- f(x) < f(a)+f(a)(x-a). Říkáme, že funkce / je konvexní v bodě a, jetliže naopak je její graf nad tečnou v bodě a, tj. f(x) > f (a) + f(a)(x - a). Funkce je konvexní nebo konkávni na intervalu, jestliže má tuto vlastnost v každém jeho bodě. Z Taylorova rozvoje druhého řádu se zbytkem dostáváme f(x) = f(a) + f(a)(x a) + \f"(c)(x a)2. Proto je zjevně funkce konvexní, kdykoliv je f'(a) > 0, a je konkávni, kdykoliv f "(a) < 0. Pokud je druhá derivace nulová, můžeme použít derivace vyšších řádů. Stejný závěr ovšem umíme učinit pouze, pokud první další nenulová derivace po první derivaci bude sudého řádu. Pokud bude naopak první nenulová řádu lichého, bude zjevně body grafu funkce na různých stranách nějakého malého okolí zkoumaného bodu na opačných stranách tečny v tomto bodě. 6.10. Inflexní body. Bod a nazýváme inflexní bod funkce /, jestliže graf funkce / přechází z jedné strany tečny na druhou. Napišme si Taylorův rozvoj třetího řádu se zbytkem: 1 1 f(x) = f(a)+f'(a)(x-a) + -f''(a)(x-a)2+-r'(c)(x-ay 2 o Je-li a nulový bod druhé derivace takový, že f "(a) ^ 0, pak je třetí derivace nenulová i na nějakém okolí a jde proto zjevně o inflexní bod. Znaménko třetí derivace nám v takovém případě určuje, zda graf funkce přechází tečnu zdola nahoru nebo naopak. Pokud je bod a navíc izolovaným nulovým bodem druhé derivace a zároveň inflexním bodem, pak zjevně je na nějakém malém okolí bodu a funkce na jedné straně konkávni a na druhé konvexní. Inflexní body tedy můžeme také vnímat jako body přechodu mezi konkávním a konvexním chováním grafu funkce. Jako definiční obor tak obdržíme množinu M\ {f + \; k e Z}. Zřejmě je f(-x) = SSSL^L = S£H_= f(x) J ' cos(—2x) cos 2x J • ' pro všechna x z definičního oboru, a tudíž je / s definičním oborem symetrickým kolem počátku sudou funkcí, což vyplynulo ze sudosti funkce y = cos x. Když dále uvážíme, že kosinus je periodický s periodou 2it (tj. y = cos2x má periodu jt), dostaneme, že postačuje uvažovat funkci / pro x e V := [0, it] \ {f + kf; k e Z} = [0, f) U (f, 3f) U (f, n], neboť průběh zadané funkce na celém jejím definičním oboru lze odvodit s použitím toho, že je sudá a periodická s periodou 2it. Zabývejme se proto pouze body nespojitosti x\ = it/4 a x2 = 3jv/4 a stanovme pro ně příslušné jednostranné limity lim cos 2x lim 3jr cos 2x + 00, = +oo, lim cos 2x lim o_ cos 2x -oo, -oo. Přihlédneme-li ke spojitosti / na intervalu (jt/4, 3jt/4), vidíme, že / na tomto intervalu nabývá všech reálných hodnot. Oborem hodnot / je tedy celé M. Rovněž jsme zjistili, že body nespojitosti jsou tzv. druhého druhu, kdy aspoň jedna jednostranná limita je nevlastní (příp. neexistuje). Tím jsme současně dokázali, že přímky x = jt/4 a x = 3n/4 jsou asymptotami bez směrnice. Kdybychom předchozí výsledky formulovali bez omezení se na interval [0, Jt], tak můžeme např. říci, že ve všech bodech *k = f + T> ksZ má / nespojitost druhého druhu a že každá přímka x = f + kf, keZ je asymptotou bez směrnice. Současně z periodičnosti funkce / vyplývá, že jiné asymptoty neexistují. Zvláště nemůže mít žádné asymptoty se směrnicí, ani nemohou existovat (jako nevlastní) limity lim^+oo f(x), lim^-oo f(x). Ještě určíme průsečíky s osami. Průsečík [0, 1] s osou y nalezneme vyčíslením /(0) = 1. Při hledání průsečíků s osou x uvažujeme rovnici cos x = 0, x e V s jediným řešením x = jt/2. Snadno dále získáme intervaly [0, Jt/4), (jt/2,3n/4), kde je funkce / kladná, a intervaly (jt/4,7t/2), (3n/4, jt], kde je záporná. Nyní přistoupíme k výpočtu derivace sin x cos 2x—2 cos x(— sin 2x) cos2 2x fix) = ■ ■ sin x(cos2 x— sin2 x)-\-2 cos x(2 sin x cos x) cos2 2x 313 A. DERIVACE VYŠŠÍCH ŘÁDŮ 1. DERIVOVÁNÍ sin3 Jc+3 cos2 x sin x (sin2 x+cos2 x-\-2 cos2 sin x (2 cos2 x+l) sin x cos2 2x cos2 2x cos2 2x Body, ve kterých je f'(x) = 0, jsou očividně řešením rovnice sin x = 0, x e V, tj. derivace je nulová v bodech x3 = 0, x4 = jt. Z nerovností 2cos2x + 1 > cos22x > 0, sinx > 0, x e P n (0, ir) plyne, že v každém vnitřním bodě množiny V funkce / roste, a tudíž / roste na každém podintervalu V. Sudost / potom implikuje, že klesá v každém bodě x e (—Jt, 0), x ^ —3it/4, x ^ —it/4. Funkce má proto ostré lokálni extrémy právě v bodech xk = lov, k e Z. Vzhledem k periodičnosti / tyto extrémy jednoznačně popíšeme pozorováním, že pro x3 = x0 = 0 dostáváme lokální minimum (zopakujme funkční hodnotu / (0) = 1) a pro x a = x\ = jt lokálni maximum s funkční hodnotou f (n) = —1. Spočítejme druhou derivaci f"(x) = [4 cos x(— sin x) sin x-\-{2 cos2 x + l) cos x] cos2 2x— 4 cos 2x(— sin 2x)(2 cos2 x + l) sin x cos4 2x [—4 cos x sin2 x +2 cos3 x+cos x] (cos2 x—sin2 x} — 4(—2 sin x cos x)(2 cos2 x + l) sin x cos3 2x n_ cos3 2x [10 sin2 x cos2 x-\-2 cos4 x+cos2 x+4 sin4 x-\-l sin2 x] cos x cos3 2x ' x e v. Poznamenejme, že jednoduchými úpravami lze také vyjádřit nebo Protože f "(x) f" (x) (3+4 cos2 x sin2 x+8 sin2 x) cos x cos3 2x ' (l 1 —4 cos4 x —4 cos2 x) cos x cos3 2x ' x eV x e V. 10 sin2 x cos2 x + 2 cos4 x + cos2 x + 4 sin4 x + 7 sin2 x > 0, x e M, resp. 3 + 4cos2x sin2x + 8sin2x = 11 -4cos4x-4cos2x > 3, x e M, je f "(x) = 0 pro jisté x e V tehdy a jen tehdy, když cos x = 0. Tomu ale vyhovuje pouze x5 = jt/2 e V. Je vidět, že v tomto bodě mění /" znaménko, tj. jedná se o inflexní bod. Jiný inflexní bod neexistuje (druhá derivace /" je spojitá na V). K dalším změnám znaménka /" dochází v nulových bodech jmenovatele, které jsme již dříve určili jako body nespojitosti x\ = jt/4 a x2 = 37T/4. Znaménko se tedy mění právě v bodech x\, x2, x5, a tak z nerovnosti f"(x) > 0 pro x 0+ vyplývá, že / je konvexní na intervalu [0, Jt/4), konkávni na (jt/4, Jt/2], konvexní na [jt/2,3n/4) a konkávni na (3n/4, jt]. 6.11. Asymptoty grafu funkce. Poslední dobrou pomůckou pro náčrtek grafu funkce je zjištění asymptot, tj. přímek, ke kterým se blíží hodnoty funkce /. Asymptotou v nevlastním bodě oo je proto taková přímka y = ax + b, pro kterou je lim (f(x) — ax — b) = 0. Pokud asymptota existuje, platí lim (f(x) — ax) = b a tedy existuje i limita /(*) lim a. Pokud ovšem existují poslední dvě limity, existuje i limita z definice asymptoty, jde proto i o podmínky dostatečné. Obdobně se definuje a počítá asymptota i v nevlastním bodě —oo. Tímto způsobem dohledáme všechny potenciální přímky splňující vlastnosti asymptot s konečnou reálnou směrnicí. Zbývají nám případné přímky kolmé na osu x: Asymptoty v bodech a e M jsou přímky x = a takové, že funkce / má v bodě a alespoň jednu nekonečnou jednostrannou limitu. Např. racionální funkce lomené mají v nulových bodech jmenovatele, které nejsou nulovými body čitatele, asymptotu. Spočtěme aspoň jeden jednoduchý příklad: Funkce f(x) = x + ^ má za asymptoty přímky y = x a x = 0. Skutečně, jednostranné limity zprava a zleva v nule jsou zjevně ±oo, zatímco limita f(x)/x = 1 + 1/x2 je samozřejmě v nevlastních bodech právě ±1, zatímco limita f(x) — x = l/x je v nevlastních bodech nulová. Derivací obdržíme f'(x) = 1 - x"2, f"(x) = 2x~ Funkce f'(x) má dva nulové body ±1. V bodě x = 1 má funkce lokální minimum, v bodě x = — 1 lokální maximum. Druhá derivace nemá nulové body v celém definičním oboru (—oo, 0) U (0, oo), / tedy nemá naše funkce žádný inflexní bod. 314 KAPITOLA 6. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET n—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—rô- -i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—n 2 4 6.12. Diferenciál funkce. Při praktickém používaní diferenciálního počtu často pracujeme se závislostmi mezi různými veličinami, řekněme y a x, a není dána pevně volba závislé a nezávislé proměnné. Explicitní vztah y = f (x) s nějakou funkcí / je tedy jen jednou z možností. Derivování pak vyjadřuje, že okamžitá změna y = f (x) je úměrná okamžité změně x a to s úměrou f'(x) dx Tento vztah se často píše jako df d f = —(x)dx, dx kde df(x) interpretujeme jako lineární zobrazení přírůstků dané df(x)(Ax) = f'(x) ■ Ax, zatímco 0) iii) Určíme inflexní body: ln(x) - 2 /(2)W 0 x ln (x) Tato rovnice má kořen e2, který musí být inflexním bodem (extrém to již být nemůže vzhledem k předchozímu bodu), iv) Asymptoty. Funkce má asymptotu přímku x = 1. Dále hledejme asymptoty s konečnou směrnicí k: 1 lim. ln(jc) lim x^oo ln(x) 0. Pokud asymptota existuje, má tedy směrnici 0. Pokračujme tedy ve výpočtu x lim x^°o ln(x) 0 • x = lim ln(x) = oo, a protože limita není konečná, asymptota s konečnou směrnicí neexistuje. Průběh funkce: 315 B. INTEGROVÁNÍ 1. DERIVOVÁNÍ 6.17. Metoda J ln x dx. Řešení. □ B. Integrování per partes, (viz 6.20) Vypočtěte J x cos x dx a / x cos x dx = X cosx smx x smx x sinx + cosx + C. / lnx dx lnx = 1 u v x lnx / funkce můžeme okamžitě výpočtem první derivace vidět vektor (1, f'(x)) e M2, který představuje okamžitou rychlost takového pohybu. Tečna bodem [x, f(x)] parametrizovaná pomocí tohoto směrového vektoru pak představuje lineární přiblížení křivky. Viděli jsme už také, že v případě, že f"(x) = 0, přechází graf naší funkce přes svoji tečnu, tzn. že tečna je i nejlepším přiblížením křivky v bodě x i do druhého řádu. To zpravidla popisujeme tvrzením, že má graf funkce / v bodě x nulovou křivost. Tak jak u první derivace nenulové hodnoty vyjadřovaly rychlost růstu (ať už s jakýmkoliv znaménkem), stejně asi intuitivně očekáváme, že druhá derivace bude popisovat míru zakřivení grafu. Zatím jsme jen viděli, že je graf funkce nad svojí tečnou pro kladnou hodnotu a pod tečnou v případě opačném. Tečnu grafu v pevném bodě P = [x, f (x)] jsme dostali pomocí limity sečen, tj. přímek procházejícími body P a Q = [x + Ax, f (x + Ax)]. Chceme-li přiblížit druhou derivaci, budeme body P a Q ^ P prokládat kružnicí C q, jejíž střed je na průsečíku kolmic na tečny, vztyčených v bodech P a. Q. Z obrázku je patrné, že jestliže tečna v pevném bodě P svírá s osou x úhel a a tečna v Q úhel a + Aa, pak i úhel zmíněných kolmic v jejich průsečíku bude Aa. Označíme-li poloměr naší kružnice p, pak délka oblouku kružnice mezi body P a Q bude pAa. Jestliže budeme limitně přibližovat bod Q k pevnému bodu P, bude se zároveň délka oblouku kružnice blížit délce s studované křivky, tj. grafu funkce f(x), a kružnice limitně přejde do kružnice CP. Dostáváme tedy pro limitní poloměr p kružnice CP základní vztah ds da P lim - Aa—o Aa 1 dx = x ln x 6.18. Metoda substituční, (viz 6.21) Určete integrály / dx sin (x) — cos2(x) / sinx dx = Křivost grafu funkce / v bodě P definujeme jako číslo 1/p. Nulová křivost tedy odpovídá nekonečnému poloměru p. Pro výpočet poloměru p potřebujeme umět vyjádřit délku oblouku s pomocí změny úhlu a a derivaci této funkce pak vyjádřit pomocí derivací funkce /. Všimněme si již teď, že při rostoucím úhlu 6 může délka oblouku buď také růst nebo klesat, podle toho, jestli má kru-x + C žnice C q střed nad nebo pod grafem funkce /. Znaménko p nám tedy odráží, zda je funkce konkávni nebo konvexní. □ Je třeba také pomyslet na zvláštní případ, kdy střed limitně „uteče" do nekonečna, tj. místo kružnice limitně dostaneme přímku a to opět tečnu. Evidentně nemáme přímý nástroj na vyčíslení derivace Víme však, že tg a = df/dx a derivováním této rovnosti podle x dostaneme (s využitím pravidla pro derivaci složených funkcí) 1 da f". V2x + 1 dx (cos a)2 dx Na levé straně můžeme dosadit l+(tga)2 = l + Řešení. (cos o1)2 {f')2 a proto platí také (viz pravidlo pro derivování inverzní 316 KAPITOLA 6. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET funkce) dx da i + (tga)z í + Cf) i\2 f" f" To už jsme ale skoro hotoví, protože přírůstek délky oblouku s v závislosti na proměnné x je dán vztahem ±- = (1 + (/')2)1/2 dx a tedy můžeme již snadno spočíst podle pravidla pro derivování složené funkce P ds da ds dx dx da d + (/02)3/2 Nyní již můžeme vyčíst vztah křivosti a druhé derivace: čitatel našeho zlomku je, nezávisle na hodnotě první derivace, vždy kladný. Je roven třetí mocnině velikosti tečného vektoru ke studované křivce. Znaménko křivosti tedy je dáno jen znaménkem druhé derivace, což jen znovu potvrzuje naši úvahu o konkávních a konvexních bodech funkcí. V případě, že je druhá derivace nulová, dostaneme i křivost nulovou. Kružnici, pomocí které jsme křivost definovali nazýváme oskulační kružnicí. Zkuste si spočíst křivost jednoduchých funkcí sami a využijte oskulační kružnice při náčrtech jejich grafů. Nejjed-nodušší je výpočet v kritických bodech funkce / — v těch dostáváme poloměr oskulační kružnice jako reciprokou hodnotu druhé derivace opatřenou znaménkem. 6.14. Vektorový diferenciální počet v rovině a v prostoru. Jak jsme zmínili hned v úvodu k páté kapitole, sN pro naše úvahy o derivování bylo vesměs pod-% statné, že jsme zkoumali funkce definované na reálných číslech a že jejich hodnoty lze mezi tat a lze je násobit reálnými čísly. Tj., potřebujeme, aby naše funkce / : M -» V měly hodnoty ve vektorovém prostoru V. Budeme jim pro odlišení říkat vektorové funkce. Nyní se budeme podrobněji věnovat zobrazením / : M -» M2 a / : M -» M3. Hovoříme o (parametrizovaných) křivkách v rovině a v prostoru. Obdobně bychom mohli pracovat s hodnotami v W pro jakoukoliv konečnou dimenzi n. Pro zjednodušení budeme pracovat v pevných standardních bazích et vl2al3, takže naše křivky budou dány dvojicemi, resp. trojicemi obyčejných reálných funkcí jedné reálné proměnné. Vektorová funkce r v rovině, resp. v prostoru, je tedy dána r(ř) = x{t)ex + y(t)e2, r(t) = x{t)ex + y(t)e2 + z(t)e3. Derivace takové vektorové funkce je opět vektor, který přibližuje zobrazení r pomocí lineránŕho zobrazení přímky do roviny či prostoru. V rovině je to tedy dr(t) dx dy dt dt dt / • V tomto přikladu zvolíme substituci t = tgx, kterou lze často s výhodou uplatnit. substituceř = tg x -V- dx = (1 + tg2(x)) dx = (1 + ř2) dx dx sin (x) — cos2(x) dt cos sin2(x) : cos2(x) ř2 tg2M _ _ i+tg2(x) i+t2 i _ i l+tg2(x) 1+t2 J fl-l 2] t-l 2) t + \ / x2V2x + 1 dx 1 /tg(x) - 1 , - In BV 1 + C 2 V tg+1 u = x u = 2x v' = V2x + 1 v = \(2x + l) 1 9 2 -x2(2x + 1)5 x + ldx - -(2x + 1)2, což můžeme chápat jako rovnici, kde neznámou je hledaný integrál. Převedením na jednu stranu pak J x2V2x + 1 dx = ^x2(2x + 1)2 - ^ J xV2x + 1 v' = V2x + 1 v = \*J2x + 1 1 9 3 2 / 1 ,- 1 ľ 3 \ -x2(2x + 1)2 - - I -xV2x + 1 - - / (2x + 1)2 dx J -x2(2x + 1)2--xV2x + 1 H--(2x + 1)2 = V 21 105 -x2(2x + 1)2 - — x(2x + 1)2 + — (2x + 1)2 1 ' 35 105 □ 6.19. Užitím základních vzorců vypočtěte (a) f dx, x 7^ 0; (b) / tg2x dx, x ^ f + kjt, k e Z; W/l^^-^-f +2kn,ke: (d) / 6 sin 5x + cos | + 2 e~ dx, x s'. Řešení. Případ (a). Ihned určíme fj=dx= fx~1/3 dx = 4+C x2 +C, přičemž zápisu, ve kterém přičítáme C e M, je třeba rozumět tak, že všechny antiderivace získáme právě pomocí konstantního posunutí libovolné antiderivace. To ovšem platí pouze na intervalu. Jinak řečeno, hodnota C je obecně různá pro x < 0 a pro x > 0. Měli bychom tedy uvažovat hodnoty C\ a C2- Pro jednoduchost budeme ale používat zápis bez indexů a uvádění příslušných intervalů. Navíc si budeme pomáhat položeními aC = C pro a e E\{0)aC + i = C pro ieR, která jsou založena na skutečnosti, že 317 B. INTEGROVÁNÍ 1. DERIVOVÁNÍ {C; C e R} = {aC; C e R} = {C + b; C e R} = R. Zcela korektní vyjádření bychom pak obdrželi např. substitucemi C = aC,C = C+b. Tato zjednodušení prokáží svou užitečnost při počítání náročnějších příkladů. Činí totiž postupy a úpravy přehlednějšími. Případ (b). Postupné úpravy integrované funkce vedou na ftg2xdx = f^dx = f ^SpL dx = D kde jsme si pomohli znalostí derivace (tg*)' = ^, x^f + kit,keZ. Případ (c). Stačí si uvědomit, že se jedná o speciální případ vzorce j Í^2dx = \n\f(x)\ + C, jenž můžeme přímo ověřit derivováním (ln I f(x) I + C)' = (ln [±f(x)])'+(C)' Platí tudíž 1 +sin x [±fW]' dx = ln (1 + sinx) + C. £00 f M ■ 6. 8g Případ (d). Protože integrál součtu je součtem integrálů (pokud mají jednotlivé integrály smysl) a nenulovou konstantu lze z integrálu vytknout kdykoli, je / 6 sin 5x + cos | + 2 e^" dx — 6 5 cos 5x + 2 sin § + 3 e~ + C. □ 6.20. Určete (a) f dx, x ± + kn, k e Z; v ' J cosz x ' 2 (b) Jlnx dx, x > 0; (c) / x2 e~3x dx, x e R; (d) / cos2 x dx, x e R. Řešení. Případ (a). Metodou per partes dostáváme ■ dx cos^ X ■ sin x F'(x) = 1 G(x) =tgx x tg x + ln I cos x I + C. x tg x — f tg x dx F(x) = G'(x) = xtgx + f ^±dx 0 j cos x Případ (b). Zdá se, že nemáme zadán integrál ze součinu dvou funkcí. Když ovšem položíme F(x) = lnx, G'(x) = 1 (tj. F'(x) = 1/x, G(x) = x), opět pomocí per partes snadno obdržíme / lnx dx = x lnx — f | dx = x lnx — x + C. Případ (c). Tentokráte očividně integrujeme součin dvou funkcí. Aplikováním metody per partes integrál převádíme na jiný integrál tak, že jednu funkci derivujeme a druhou integrujeme. Integrovat umíme obě (derivovat umíme všechny elementární funkce). Musíme se proto rozhodnout, kterou ze dvou variant metody použijeme (zda budeme integrovat funkci y = x2, nebo y = e~3x). Uvědomme si, že per partes a podobně v prostoru. V tomto kontextu je také třeba vnímat diferenciál vektorové funkce: í dx dy dz \ , dr = —e\ + — Rn diferencovatelný vektor a ^ : W —> Rm lineární zobrazení, pak pro derivaci zobrazení ty o r platí d(ty o r) ty dr dt dt (2) Uvažujme diferencovatelné vektory r\, ..., r\ : R —> Rn a je k—linerání formu <ř : W x ... xRn na prostoru Rn. Pak pro derivaci složeného zobrazení cp(t) = 4>(ri(0, rk(t)) platí dep ,dr\ , , drk - = H—,r2,...,rk) + ... + ^{rl, ,rk-lt— )■ (3) Předchozí tvrzení zůstává bezezbytku v platnosti i pokud <ř je samo vektorově hodnotové (a také lineární ve všech k argumentech). Důkaz. (1) V lineární algebře se ukazuje, že lineární zobrazení jsou dána konstantní maticí skalárů A = (a^-) tak, že / n n \ ty o r(t) = ( aun (t), ..., amin(t) ). i=\ i=\ 318 KAPITOLA 6. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET Derivaci nyní provádíme po jednotlivých souřadnicích výsledku. Víme ale, že derivace se chová lineárně vůči skalárním lineárním kombinacím, viz Věta 5.32. Proto skutečně dostaneme derivaci *ľ o r(ř) prostým vyčíslením původního lineárního zobrazení *ľ na derivaci / (ŕ). (2) Zcela obdobně dostatneme i druhé tvrzení. V souřadnicích rozepíšeme vyčíslení ^-lineární formy na vektorech r\,..., rk takto «(r,(0....,/>(()) E Bi, (rl)iAt)...(rk)ik(t), kde skaláry S;i..Jit jsou pro každou volbu indexů dány jako hodnota dané formy <ř(£;i, ..., eik) na zvolené &-tici bázových vektorů. Pravidlo pro derivaci součinu skalárních funkcí nám dá právě dokazované tvrzení. (3) Pokud má <ř vektorové hodnoty, je zadáno konečně mnoha komponentami a můžeme použít předchozí úvahu na každou z nich. □ Na euklidovském prostoru M3 máme kromě skalárního součinu, který dvěma vektorům přiřadí skalár, také vektorový součin, který dvěma vektorům u a. v přiřadí vektor u x v e M3, viz 4.21.. Tento vektor u x uje kolmý na oba vektory u a. v, má velikost rovnou obsahu rovnoběžníka určeného vektory w a ľ (v tomto pořadí) a orientaci takovou, trojice u,v,uxv byla kladně orientovanou bází. Z předchozí věty okamžitě vyplývají užitečná tvrzení: Důsledek. V prostoru M3 uvažme vektory u(t) a v(t). Pro derivace jejich skalárního součin (u(t), v(t)) a vektorový součin u(t) x v(t) platí (6.1) -(u(t), v(t)) = (u'(t), v(t)) + (u(t), v'(t)) dt d (6.2) — (u(t) x v(t)) — u (ŕ) x v (t) + u (t) x v (ŕ) dt pro studium křivek systematičtějším způsobem, než když jsme diskutovali křivost grafů funkcí. Podívejme se obecně na křivky r(ř) v prostoru a předpokládejme, že jsou parametrizovány tak, aby jejich tečný vektor měl stále velikost jedna, tj. (/(ŕ), r'(t)) = 1 pro všechna t. Říkáme, že je křivka r(ř) parametrizována délkou. Další derivací tohoto jednotkového vektoru r'(ř) dostaneme vektor r"(t), pro který spočteme (využíváme symetrie skalárního součinu) 0 dt 0. Vjc5+jc Řešení. Případ (a). Jde o jednoduchý příklad na tzv. první substituční metodu, jejíž podstatou je zapsat integrál ve tvaru (6.5) J f((p(x))(p'(x)dx pro jisté funkce / a cp. Takový integrál lze totiž pomocí substituce y = cp(x) (nahrazujeme rovněž dy = cp1 (x) dx, což dostáváme diferencováním y = cp(x)) převést na integrál f f(y)dy. Substitucí y = cosx, kdy je dy = — sinx dx, tak obdržíme / cos5 x • sinx dx = — f cos5 x (— sinx) dx = — f y5 dy = -f + C = -c-^ + C. Případ (b). Při vyjádření / cos5 x • sin2 x dx = f (cos2 x)2 sin2 x • cos x dx = f (l — sin2 x)2 sin2 x • cosx dx se nabízí substituce t = sin x, která dává í = siní dt = cos x dx 2{ + ř- + C = f(l-t2)2t2dt n • 5 -3 2 sin x j sin x _|_ / cos5 x • sin2 x dx fř-2r + t2dt = t . 3 ■--T 5 '3 Případ (c). Neboť je sinus i kosinus v sudé mocnině, nelze postupovat jako v předchozím případě. Zkusme proto použít tzv. druhou substituční metodu znamenající přechod od / f(y) dy ke tvaru (6.5) pro y = cp(x). Situace, kdy nahrazujeme jednodušší výraz za komplikovanější, může působit překvapivě. Nesmíme však zapomínat, že onen komplikovanější integrál může mít takovou podobu, že jej budeme schopni spočítat. Chceme určit antiderivace funkce f(x) = tg4x. Má tedy smysl uvažovat substituci u = tg x. Získáváme ■ dx x = arctgw . „4 . _jk_ I - J TW du ~ J l+u2 I dx u l + ukidU u + arctg u + C tg3 X tg3* 3 tg x + arctg (tg x) + C -tgx +x + C. Případ (d). Platí dx 7x>+x (t Z = x 6z5 dz = dx z2 + 2z - ln | z + 11) + C 6z5 dz 2z + 2 - ^ dz 2Vx - 6yYx + \2yfx - 6 ln (^x + l) + C, kde jsme opět substitucí lehce určili vektoru rychlosti. Pokud je druhá derivace nenulová, normovaný vektor n{t) =-i-rit) \\r"it)\\ nazýváme hlavní normálou křivky r(ř). Skalární funkce icit) splňující (v bodech, kde je r"(ř) ^ 0) r"iť) = Kiť)nit) se nazývá křivost křivky rit). V nulových bodech druhé derivace definujeme k(í) také nulovou hodnotou. V nenulových bodech křivosti je dobře definován jednotkový vektor bit) = /(ř) x nit), který nazýváme binormála křivky rit). Přímým výpočtem dostáváme 0 = ^-(bit), r'it)) = (b'it), r'iť)) + (bit), r"it)) dt = (b'it), r'it)) + Kit)(bit), nit)) = (b'it), r'it)), což ukazuje, že je tečný vektor k binormále kolmý jak na b (ř), tak na r'it). Musí tedy být násobkem vektoru hlavní normály. Píšeme b'it) = -xit)niť) a skalární funkci r(ř) nazýváme torze křivky rit). Ještě jsme nespočetli rychlost změny hlavní normály, kterou můžeme také psát jako n(t) = bit) x r'it). n'it) = b'it) x r'iť) + Kiť)biť) x niť) = -xit)nit) x r'it) + Kit)i-r'it)) = r(t)b(t) - KÍt)r'iť). Postupně jsme pro všechny body s nenulovou druhou derivací křivky r(ř) parametrizované délkou oblouku odvodili význačnou bázi (/(ŕ), nit), bit)), které se v klasické literatuře říká Frenetův reper a zároveň jsme v této bázi vyjádřili derivace jejích komponent formou tzv. Frenetových-Serretových formulí dr1 dt ■it) = icit)nit), dn dt db ďF(t) it) = rit)bit) - Kit)r'iť) -xit)nit). Všimněme si, že pokud křivka r(ř) leží stále v jedné rovině, pak je její torze identicky nulovou funkcí. Ve skutečnosti platí i obrácené tvrzení, které tu nebudeme dokazovat, vyplývá ale z následujícího klasického výsledku geometrické teorie křivek: Dvě křivky v prostoru parametrizované délkou oblouku lze jednu na druhou zobrazit pomocí euklidovské transformace právě, když jejich funkce křivosti a torze splývají, až na konstatní posuv parametru. Navíc, pro každou volbu hladkých funkcí Kar existuje hladká křivka s těmito prametry. Tento výsledek tu nebudeme dokazovat, zájemce může podrobný výklad nalézt v [?]. Přímým výpočtem můžeme zkontrolovat, že křivost grafu funkce / v rovině a křivost k této křivky zavedené v tomto odstavci splývají. Skutečně, výpočtem 320 KAPITOLA 6. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET derivace složené funkce s pomocí diferenciálu délku oblouky pro graf funkce ve tvaru dt = (1 + (f')2)dx, tj. dx = (1 + (f')2)~1/2dt dostaneme pro náš jednotkový tečný vektor grafu křivky vztah r'(t) = ((i + (f)2y1/2, fa + (f)2y1/2) a poměrně nepřehledným, ale obdobným výpočtem druhé derivace a její velikosti skutečně obdržíme k2 = V f = (/")2(i + (/O2)"3- 6.17. Aproximace derivací a asymptotické odhady. Hned na začátku této učebnice jsme v odstavcích 1.3, 1.9 a dále diskutovali, jak zadávat hodnotu funkce pomocí změn, tj. diferencí. V další části i— textu budeme obdobně rekonstruovat funkci / z jejích derivací, tj. okamžitých změn. Předtím se ale pozastavme u souvislosti derivací a diferencí. Klíčem nám k tomu bude Taylorova věta. Předpokládejme, že z (dostatečně) diferencovatelné funkce f(x), definované na intervalu [a, b], známe hodnoty fi = f(xi) v bodech xq = a, x\, ..., xn = b, přičemž pro všechny indexy i = 1, ..., n platí x,■ — x;-_i = h > 0 pro nějakou konstantu h. Taylorův rozvoj pro funkci / v bodě Xi pišme ve tvaru f(xi±h) f ± hf'(Xi) + y /"(*,-) ± ^/(3)fe) + Víme, že když v rozvoji skončíme členem řádu k v h, tj. výrazem obsahujím hk, pak se dopustíme chyby, která je omezená každým odhadem výrazu hk+1 ——řk+1\x) (k + 1)! na intervalu [x;- — h, x{ + h]. Pokud je i (k + l)-vá derivace / spojitá, můžeme ji odhadnout konstantou. Vidíme pak, že se pro malá h chová Taylorův polynom stupně k stejně jako hk+1, až na konstantní násobek. Takovému odhadu se říká asymptotický odhad. Definice. Řekneme, že výraz G(h) je pro h -» 0 asymptoticky stejný s výrazem F(h) a píšeme G(h) = 0{F(h)), jestliže existuje konečná limita G(h) lim , h^O hk a e Označme si hledané odhady hodnot derivací f(x) v bodech Xi jako f^. Pro odhady první derivací můžeme okamžitě použít tři různé diference spočtené z Taylorova rozvoje: (1) fi + l ~ fi-l fi (1) 2h fi + l - p'(3)(xi) fi h h f"(Xi) + (D fi 21 -Jľ± + L f(Xi) + h 2V V ' ■' z+1 v = z + 1 dv = dz f Ěn ■J v ln|u| + C = ln|z + l| + C, z £ -1. □ 6.22. Dvěma různými způsoby vypočítejte integrál / Vl - x2 dx, x e (-1,1). Řešení. Metoda per partes dává / V1 — x2 dx F(x) = Vl - x2 G'(x) = 1 F'(x) G(x) = x n-x2 x VT^x2 + f -£= dx=x VT^x2 - f ^4 J Jl-x2 J Jl-X2 dx 1 ■■ dx x Vl — x2 — f Vl — x2 dx + f ,-- J J 0. Řešení. Touto úlohou lze ilustrovat možnosti kombinování substituční metody a metody per partes (v rámci jednoho příkladu). Nejprve použijeme substituci y = yfx, abychom odstranili odmocninu z argumentu exponenciální funkce. Tím přejdeme k integrálu / e^úřx y = x 2y dy = dx Nyní pomocí per partes určíme fye?dy F(y) = y G'(y) = é- yzy F'(y) = 1 G (y) = ď - ey + C. 2fyc?dy. yé* - fé*dy Celkem tedy je /e^dx = 2ye? - 2& + C = 2e^ (y/x - l) + C. 321 C. INTEGRACE RACIONÁLNÍCH LOMENÝCH FUNKCÍ 2. INTEGROVÁNÍ □ 6.24. Dokažte, že 1 • 4 sin x 1 1 3 -- cos(2x) H--cos(4x) H--. 4 V ' 16 16 Řešení. Snadnější, než porovnávat dané výrazy přímo, je ukázat, že funkce na pravé a levé straně rovnosti mají shodné derivace. Je totiž Ľ = 2 cos x sin3 x = sin(2x) sin2 x, P' = ±sin(2x) + ±sin(4x) sin2x(j + ^cos(2x)) sin(2x) sin2 x. Levá a pravá strana se tedy liší o konstantu. Tuto konstantu určíme porovnáním funkčních hodnot v jednom bodě, například bodě 0. Hodnota obou funkcí je v nule nulová, jsou si tedy rovny. □ C. Integrace racionálních lomených funkcí 6.25. Integrujte (a) /^á,i/2; dx, x 7^ —4; (x+4)3 Řešení. Případy (a), (b). Platí 6.9 x-2 dx y = x — 2 dy = dx f-dy = 61n|y |+C = 61n|x-2|+C a podobně (x+4y ■ dx y = x +4 dy = dx lidy 6 -2y2 + c + c. y - -ly " (x+4)2 Vidíme, že integrování typů parciálních zlomků, které odpovídají reálným kořenům jmenovatele racionální lomené funkce, je velmi snadné. Navíc zcela obecně lze obdržet f^dx ■J X—XQ (x-xoY dx y = x - X0 | dy = dx | A ln I x y = x - X0 dy = dx A = f$dy-x0 | + C A ln | y | + C = f$dy Ay- -n + l + c (l-n)(x-x0)n pro každé A, x0 e M, n > 2, n e N. Případ (c). Nyní máme integrovat parciální zlomek odpovídající dvojici komplexně sdružených kořenů. Ve jmenovateli je tedy polynom stupně 2 a v čitateli stupně nejvýše 1. Pokud je stupně 1, zapíšeme parciální zlomek tak, abychom v čitateli měli násobek derivace jmenovatele a k tomu přičítali zlomek, v jehož čitateli je již pouze konstanta. Takto dostaneme kde jsme prostě jen odečetli příslušné Taylorovy polynomy. Získáváme tak numerická vyjádření pro první derivaci. První z nich má asymptotický odhad chyby (i) fi + l - fi-l 2h + 0(h2), další dvě mají chybu 0(h). Říkáme jim středová diference, dopředná diference a zpětná diference. Kupodivu je středová diference o řád lepší než zbylé dvě. Stejně můžeme postupovat při odhadu druhé derivace. Nejjednodušší kombinace Taylorových polynomů, ze které nám půjde spočíst f"(x,i) je (potřebujeme vyrušit první derivace i hodnotu v x{, podaří se přitom přímo zrušit i všechny liché derivace) (2) fi i + l f-^4/«>(,, + .... Hvoříme o diferenci druhého řádu a stejně jako u středové první diference je asymptotický odhad chyby o jeden řád lepší, než bychom na první pohled čekali: fi (2) fi+l - 2 f + f +i h2 + 0(h4). 2. Integrování 6.18. Newtonův integrál. Nyní se budeme zajímat o opačný postup než tomu bylo u derivování. \.-*-Y//, Budeme chtít ze znalosti okamžitých změn nějaké funkce rekonstruovat její skutečné hodnoty. Jestliže danou funkci f (x) považujeme za derivaci neznámé funkce F(x), pak na úrovni diferenciálů můžeme psát dF = f(x)dx. Funkci F nazýváme antiderivace nebo neurčitý integrál funkce / a tradičně píšeme F(x) / f(x)dx. Lemma. Antiderivace F (x) funkce f(x)je na každém intervalu [a, b] určena jednoznačně až na konstantu. Důkaz. Skutečně, pokud je F'(x) = G'(x) = f(x) na celém intervalu [a,b], pak Taylorův rozvoj prvního řádu se zbytkem pro funkci F — G v bodě a dává F(x) - G(x) F (a) - G (a) + (f(c) F (a) — G (a) f(c))(x - a) pro jisté c e [a, x] a to pro všechna x z nějakého okolí bodu a. Pokud by ale x0 < b bylo supremem všech hodnot x, pro které tento vztah ještě platí, opětovnou volbou tohoto bodu za a dosáhneme rozšíření tohoto vztahu i napravo od něj. Musí tedy platit na celém intervalu. □ 322 KAPITOLA 6. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET Předchozí lemma nás vede k tomu, že neurčitý integrál obvykle zapisujeme ve tvaru F(x) / f(x)dx + C s neznámou konstantou C. Hodnotu f(x) můžeme také považovat za okamžitý přírůstek plochy vymezené grafem funkce / a osou x a snažit se najít velikost této plochy mezi krajními hodnotami a a b nějakého intervalu. Zkusme tuto představu dát do souvislosti s neurčitým integrálem. Předpokládejme tedy, že na intervalu [a, b] známe reálnou funkci a její neurčitý integrál F(x), tj. F'(x) = f(x). Jestliže rozdělíme interval [a, b] na n částí volbou bodů a = xo < x\ < • • • < x„ = b a přiblížíme hodnoty derivací v bodech x;- výrazy F(xi+l) - F(xí) W + l ~~ A; dostáváme součtem přes všechny intervaly našeho dělení odhad hledané velikosti plochy: E""1 . , , F(xi+i) - F(Xi) f(Xi) ■ (Xi + i - Xi) ~ 2^--(xi + i - Xi) i=0 = F(b) - F (a) Dá se tedy očekávat, že pro „dostatečně pěkné" funkce f(x) velikost plochy vymezené grafem funkce a osou x skutečně spočteme jako rozdíl hodnot antiderivace v krajních bodech intervalu. Tomuto postupu se říká Newtonův integrál. Píšeme ŕ / f(x)dx = [F(x)]ba = F(b) - F (a). J a V případě komplexní funkce / je reálná a imaginární část jejího neurčitého integrálu jednoznačně dána reálnou a imaginární částí /, budeme proto v dalším pracovat výhradně s reálnými funkcemi. 6.19. Integrace „po paměti". Ještě než si uděláme jasno, ■jak Newtonův integrál skutečně souvisí s velikostí plochy a jak jej případně lze používat pro modelování praktických problémů, ukážeme několik postupů, jak Newtonův integrál spočítat. Budeme přitom využívat jen naše znalosti o derivacích. Nej snadnější je případ, kdy v integrované funkci umíme derivaci přímo uvidět. K tomu v jednoduchých případech stačí číst tabulky pro derivace funkcí v našem zvěřinci naopak. Dostáváme tak např. následující tvrzení pro všechna 3jt+7 jc2-4jc+15 dx 3 f _ 2 J x2-4x + l5 dx 2x-4 dx + \3f- dx x2-4x + \5 f ln(x2 - 4x + 15) + 13 f --f-^ = f ln(x2 - 4x + 15) + - í n j dx (vit) +1 y ~- dy x-2 dx ln(x2-4x + 15) + -ifr/ dy 11 J y2+l | ln (x2 - 4x + 15) + -j= arctg y + C = § ln (x2 - 4x + 15) +ji arctg + Opět můžeme obecně vyjádřit Ax+B (x-x0)2+a2 dx 2(x-x0) 2 J (x-x0)2+a2 dx + (B + Ax0) f (x-x0)2+a2 dx a spočítat 2(x-x0) (x-x0)2+a2 dx y = (x - X0) + a2 I = , dy dy = 2 (x — xq) dx | J y ln | y | + C = ln ((x - x0)2 + a2) + C, (x-x0)2+a2 dx J I x-x dx I x-xq y \ a ) + 1 dz dx a J z2+l - arctg z + C = - arctg + C, tj- Ax+B (x-x0)2+a2 dx ln ((x - x0)2 + a2) + -±fa arctg £^o + c kde hodnoty A, B, x0 e M, a > 0 jsou libovolné. Případ (d). Zbývají parciální zlomky pro vícenásobné komplexní kořeny ve tvaru r Ax\B „„, A,5,i0eI,a>0,řieM\{ll, [(x-x0)2+a2] , , u , , které analogicky upravíme na 2(x-x0) [(x-x0)2+a2l + (B + Ax0) [(x-x0)2+a2t Poté určíme 2(x-x0) [(x-x0)2+a2 y = (x - x0)2 + a2 f Úl J y" 1 (l-n)yn dy = 2 (x — xq) dx + C = --r. 1 , +C (l-n)[(x-x0)2+a2l K „ (x0, a) :- / [(jc_Jco)12+a2]» F(X) [(x-x0)2+a2] G'(X) = 1 dx = -2n(x—xp) X—XQ [(x-x0)2+a2 X—XQ + 2nj- ^ (x) ~ \, n2 , 21"+! [(x-x0r+a2\ G(x) = x — xo „2 (x-x0)2+a2 [(x-x0)2+a2]n [(x-x0)2+a2] [(x-X0Ý+~^f + 2U (Kn ^X°' ^ ~ ^ K" + 1 ^X°' ^ dx X—XQ odkud plyne Kn+l (x0, a) = K„ (xo, a) + ± [(x_xo)2+a2] / což zřejmě platí také pro n = 1. Poslední rekurentní formuli ještě doplňme o v případě (c) odvozený integrál Kx (x0, a) = \ arctg x-^ + C. V zadaném příkladu je 3(k-77 (x2-6x + 13): dx = 15 f 2x-6 (x2-6x + l3)' ■dx + 13f (x2-6x + l3) ■ dx 323 C. INTEGRACE RACIONÁLNÍCH LOMENÝCH FUNKCÍ 2. INTEGROVÁNÍ a dále 2x-6 (x2-6x + 13) ■ dx y = x2 - 6x + 13 dy = (2x — 6) dx 1 +C J y2 + c 2-6x + l3 ■ dx = f dx (x2-6x+Uy "" J [{x-3)2+22f \ (iarctg^ + C + \ = ^arctg^ + Celkem tak máme I *-3 8 jc2-6jc + 13 + c. 30x-n (x2-6x + 13) ■ dx 15__i 13 „r„tn x-3 . 13 Af-3 r2-6x + l3 + Tfi ~ + T — 16 2 13*-159 8 jc2-6jc + 13 + c □ 6.26. Spočítejte dx, x ^ 1. (jc-1)2(jc2+2jc+2) Řešení. Protože je stupeň polynomu v čitateli nižší než ve jmenovateli, tyto polynomy nemají společný kořen a je zadáno vyjádření jmenovatele ve tvaru součinu kořenových činitelů, známe tvar rozkladu integrované funkce na parciální zlomky + (x-í)2(x2+2x+2) x-l ^ (x-lý x2+2x+2 pro A, B, C, D e M. Pokud tuto rovnici vynásobíme jmenovatelem levé strany, dostaneme identitu x = A (x-l) (x2 + 2x +2) + B (x2 + 2x + 2) + (Cx + D) (x - l)2 , která má platit pro všechna x eM\{l}. Na obou jejích stranách jsou ale polynomy, a tak rovnost musí nastat rovněž pro x = 1. Dosazením této hodnoty ihned obdržíme, že 1 = 5(1 + 2 + 2), tj. B = 1/5. Mohli bychom volit další reálná (příp. komplexní) čísla a dosazovat je do uvedené rovnice. Nelze však již očekávat, že bychom tím přímo určili další z neznámých (pokud nedosadíme kořen jmenovatele). Raději proto budeme porovnávat koeficienty u stejných m|ofenin3 polynomů x - \ (x2 + 2x + 2) = -\x2 + f x 2 5' A (x-l) (x2 + 2x + 2) + (Cx + D) (x — l)2 = (A + C) x3 + (A - 2C + D) x2 + (C - 2D) x -2A + D, čímž získáme systém rovnic 0 = A + C, -1/5 = A — 2C + D, 3/5 = C - 2D, -2/5 = -2A + D. aela/ieZ, n ^ — 1: J adx = ax + C f / / / / / / / / / ax" dx = -^xn+l + C n + l e" dx=l- eax +C a a — dx = a ln x + C x a cos(ŕx) dx = I ún(bx) + C a ún(bx) dx = — | cos(ŕx) + C a cos(bx) sin"(_jjc) dx = fo(n+1) sinn+1(bx) + C a sin(bx) cos" (bx) dx a_^^c^ + l b(n+l) cosn+í(bx) + C a tg(bx) dx =--ln(cos(/?x)) + C dx = arctg (|) + C a2 + x2 -1 \/ a2 — x2 dx = arccos (^) + C dx = arcsin ^ř—^ + C a2 — x2 Ve všech případech je zapotřebí dobře promyslet definiční obor, na kterém je neurčitý integrál dobře definován. K takovýmto tabulkovým pravidlům pro integraci lze relativně snadno dodávat další pravidla jednoduchými pozorováními vhodné struktury integrovaných funkcí. Např. /'(*) / fix) dx = ln/(je) + C pro všechny spojitě diferencovatelné funkce / na intervalech, kde jsou nenulové. Samozřejmé také z pravidel pro derivaci součtu diferencovatelných funkcí a konstantních násobků diferencovatelných funkcí je zřejmé že obdobná pravidla platí neurčitý integrál také. 6.20. Integrace per partes. Výpočet integrálu pomocí an-tiderivace (neurčitého integrálu), spolu s pravidlem (F ■ G)'(t) = F'(t) ■ Git) + F(t) ■ G'(t) pro derivaci součinu funkcí, dává následující formuli pro neurčitý integrál F(x) ■ G(x) + C j F'(x)G(x)dx + j F(x)G'(x)dx. Tato formule se většinou používá v případě, že jeden z integrálů napravo máme počítat, zatímco druhý umíme počítat lépe. 324 KAPITOLA 6. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET 6.13a Nejlépe je princip vidět na příkladu. Spočteme V tomto případě pomůže volba F(x) = x, G'(x) = sinx. Odtud G (x) = — cos x a proto také I = —x cos x — j — cos x dx = —x cos x + sin x + C. Obvyklým trikem je také použít tento postup s F'(x) = 1: lnxdx= I Mni dx = x lnx- / -x dx = x lnx-x+C. kde jsme využili Podotkněme, že tato soustava musí mít právě jedno řešení (které je jednoznačně určeno libovolnými třemi z uvedených rovnic). Hledané řešení potom je A = 27' C = "25"' d Platí tak _8_ "25 • dx — $ 25(XX-l) + / dx f: x+8 ■ dx J ln x dx = J (x-l)2(x2+2x+2) J 25(x-í) 1 J 5(x-í)2 J 2i(x2+2x+2) ^ ln | x - 1 | - - 4 ln (x2 + 2x + 2) - ^ arctg (x + 1) + C, 6.21. Integrace pomocí substituce. Další užitečný postup je odvozen z derivování složených funkcí. Jestliže F'(y) = f(y), y = (*)) +C = j f(cp(x))cp'(x)dx. Dosazením x = cp~l(y) pak dostaneme původně požadovanou antiderivaci. Častěji zapisujeme tuto skutečnost takto: j f(y)dy = j f(cp(x))cp'(x)dx a hovoříme o substituci za proměnnou y. Přímo na úrovni diferenciálů je možné substituci porozumět snadno tak, že (linearizované) přírůstky v proměnné y a v x jsou vzájemně ve vztahu popsaném formálně d y = q/(x) dx, což odpovídá vztahu mezi integrovanými veličinami f(y)dy = f((p(x))(p'(x)dx. Jako příklad ověříme touto metodou předposlední integrál v seznamu v 6.20. Pro integrál : dx zvolíme substituci x váme / dt = t + c. sin t. Odtud dx = cos t dt a dostá-ľ 1 cos t dt = I —-= cos t dt J V cos21 Zpětným dosazením t = acrsin x dopočítáme již známý vzorec I = arcsin x + C. Při substitucích je třeba dát pozor na skutečnou existenci inverzní funkce k y = cp(x) a při výpočtu určitého integrálu je třeba řádně přepočítávat i meze. Problémům s definičními obory inverzních funkcí se lze někdy vyhnout rozdělením integrace na několik intervalů. , x+8 _ , -2(2x+2) _7_ _ i , 2x+2 J x2+2x+2 ux — .] x2+2x+2 ^ x2+2x+2 UX ~ 2 J x2+2x+2 dx + 7/ (x+l)2+l dx = \ ln (x2 + 2x + 2) + 7 arctg (x + 1) + C. □ 6.27. Určete (a) /^r^ieK; (b) fj^dx, x ^±1. Řešení. Případ (a). Nejdříve musíme provést dělení polynomů (x3 + 2x2 + x - 1) : (x2 - x + 1) = x + 3 + prxpi' abychom uvažovali ryze lomenou racionální funkci (stupeň čitatele byl nižší než jmenovatele). Nyní už spočítáme , xH2x2+x-i dx= rx + 3dx+ r _3x^_ dx = J xz—x + l J J xz—x + l ň _i_ 3T _i_ 3 r 2x-i j _—f_é*_- ^ + 3x + l ln (x2 - x + 1) - j. arctg ^ + C. Případ (b). Platí 1 r J2x-2 f dx-jf 1 r V2.X+2 dx 8 J x2-V2x+l 8 J x2+V2x + l x + iln|x-l|-iln|x + l|-i arctg x + *f f dx l f _dx__\/2 r 2x+s/2 j _ l f dx _ 8 J ( ^\2.(^\2 16 J + 1 8 i ' M)2+(f)2 x + |ln|x-l|-^ln|x + l|-^ arctg x + VI i„ 16 V2 16 ln (x2 - V2x + l) - x arct£ ~ l) ~ (x2 + V2x + l) - x arct£ + l) + C. □ 6.28. Integrujte (a) / jf^ dx, x e R; (b) f , 3 51n/2 . dx, x > 0, x ^ e. v 7 ^ jc ln3 jc+jc ln2 x—2x ' Řešení. Případ (a). Výhodou výše popsané metody integrování racionálních lomených funkcí je její univerzálnost (umíme díky ní najít 325 C. INTEGRACE RACIONÁLNÍCH LOMENÝCH FUNKCÍ 2. INTEGROVÁNÍ antiderivace každé racionální lomené funkce). Někdy je však výhorlS nější použití substituční metody nebo per partes. Např. je y = xf dy = 2x dx \ arctg y + C dy 2(l+y2) 1 r dy 2 J l+yZ arctg x + C. Případ (b). Pomocí substituce získáváme integrál racionální lomené funkce y = ln x I •ľ xln3 5 ln x_ x+x ln2 x— 2x 5y I- f ln: ■dy 5 ln x 3 Jt+ln2 x-2 ■ - dx -y+2 y-l ' y2+2y+2 dy dy = ■ dx m|y ln I ln x - (3 + 1)2+1- ■ dy \ ln (y2 + 2y + 2) + 3 arctg (y + 1) + C = ln (ln2x + 21nx + 2) + 3 arctg (lnx + 1) + C. □ Pro libovolnou funkci / spojitou a ohraničenou na ohraničeném intervalu (a, b) platí tzv. Newtonův-Leibnizův vzorec b I (6.6) / f(x)dx = [F(x)Ya := lim F(x) - lim F(x), x^b- x^a+ kde F'(x) = f(x),x e (a, b). Zdůrazněme, že za uvedených podmínek vždy existuje antiderivace F a jako vlastní obě limity v (6.6). K výpočtu určitého integrálu nám tedy stačí najít antiderivaci a určit příslušné jednostranné limity (příp. jen funkční hodnoty, je-li antiderivace spojitá v krajních bodech uvažovaného intervalu). 6.29. Vyčíslete určité integrály ZL K 3 4 f tg2 x dx, f dx. J ° J cosz X f 0 Řešení. Pro x ^ j + kjt, kde k e Z, je f tg2 x dx = tg x — x + C, jak jsme vypočítali dříve. Odsud vyplývá, že ftg2xdx = [tgx-xYj;6 = 73 - f - (-L - f) = - f. n/6 Určité integrály lze pochopitelně počítat také přímo. Substituce y = tg x kupř. dává jr/3 jr/3 cosz X f tg2xdx = f jt/6 jt/6 ft^dy= f l-T^dy = [y-arctgy]f3 - 2 * dx y tg dy ^ sin2 x - - l+tg2;c 1+32 V3 __ _ _ 1/V3 v^3 6 1/V3 1/V3 Pouze je třeba nezapomenout změnit při substituci meze integrálu na hodnoty získané dosazením -v/3 = tg (tt/3), 1/V3 = tg (tt/6). 6.22. Integrace převedením na rekurence. Často vede použití substitucí a metody per partes k rekurentním vztahům, ze kterých teprve lze dopočíst hledané t integrály. Budeme ilustrovat na příkladu. Metodou per partes počítáme Im = I cos"1 x dx = I cosm_1 x cosx dx J cos™ x dx = j < cos m — l COS m — l f x sinx — (m — 1) / cos™ 2x(— sinx) sin x dx xsinx + (m — 1) / cos™ 2xsinzx 2A+B = 2, A+B = 4. Odtud již přímo vychází náš rozklad. Říká se mu rozklad na parciální zlomky. Tento elementární postup lze snadno zobecnit. Jde o čistě algebraickou úvahu opírající se o vlastnosti polynomů, ke kterým se budeme vracet v kapitole ??. Předpokládejme, že jmenovatel g(x) a čitatel f(x) nesdílí žádné reálné ani komplexní kořeny a že g (x) má právě n různých reálných kořenů a\, ..., an. Pak jsou body a\, ... an právě všechny body nespojitosti funkce f(x)/g(x). Pro zjednodušení úvahy nejprve pišme g(x) jako součin g(x) = p(x)q(x) dvou nesoudělných polynomů. Díky Bezoutově identitě (viz ??), která je důsledkem obyčejného dělení polynomů se zbytkem, existují polynomy a(x) a b(x) se stupni ostře menšími než je stupeň g takové, že a(x)p(x) + b(x)q(x) = 1. Druhý integrál vyčíslíme metodou per partes pro určitý integrál. (Poznamenejme, že antiderivace funkce y = x cos-2 x jsme také stanovili již dříve.) Platí jt/4 I: o ■ dx F(x) = x G'(x) = -\ [xtgx]p/4- / tgxúřx = [xtgx]p/4 + / jt/4 F'(x) = 1 G(x) =tgx jt/4 jt/4 ■ dx [x tgx] nJA + [ln (cos x)] jt/4 e. _|_ ln J^l _ jt—2 ln 2 4 -I- lil 2 — 4 □ Vzorec (6.6) lze použít také tehdy, když je funkce / neohraničená nebo interval (a, b) je neohraničený. Mluvíme o tzv. nevlastních integrálech. Pro nevlastní integrály však limity na pravé straně mohou být nevlastní, příp. nemusejí vůbec existovat. Pokud jedna z limit neexistuje nebo obdržíme výraz oo — oo, znamená to, že integrál neexistuje (oo — oo tedy v tomto případě nemá charakter neurčitého výrazu). Říkáme, že integrál osciluje. V každém jiném případě máme výsledek (připomeňme, že oo + oo = +00, —00 — 00 = —00, ±00 + a = ±00 pro a e W). 6.30. Určete 00 (a) / sin x dx ; (b) / dx . x*+x2 ' (d) / dx r2 ■ Řešení. Případ (a). Ihned stanovíme 00 f sinxúřx =[—cosx]^°= lim — cos x + cosi. j x^-oc Protože limita na pravé straně neexistuje, uvažovaný integrál osciluje. Případy (b), (c). Stejně lehce vypočítáme / TÄ-T72 = f x2ix2+1) = I 72- 7+72 dx = [-- - arctgx] 1 = 1 1 y ' 1 lůn (-£ - arctgx) + \ + arctg 1=0-^ + 1 + ^ = 1- ^ a ještě snazší pak je f$ = í^í = 4-0 = 4, o kde je antiderivace v počátku spojitá zprava (uvažovaná limita je tak rovna funkční hodnotě). Případ (d). Kdybychom bezmyšlenkovitě vypočítali -1 -1 -2, 327 C. INTEGRACE RACIONÁLNÍCH LOMENÝCH FUNKCÍ 2. INTEGROVÁNÍ obdrželi bychom zjevně chybný výsledek (zápornou hodnotu při integrování kladné funkce). Důvodem, proč Newtonův-Leibnizův vzorec nejde takto aplikovat, je nespojitost uvažované funkce v počátku. Využijeme-li však tzv. pravidla návaznosti b c b f f(x)dx = f f(x)dx + f f(x)dx, a a c které platí vždy, když mají integrály na pravé straně smysl, nalezneme správný výsledek ľ dx_ _ ľ dx_ , r dx_ _ \ _ i_Ý _i_r_Il — J x2 — J x2 ~T~ J x2 — L jcJ-1 + L xio — -1 -1 0 lim (--) - 1 - 1 - lim (--) = oo - 2 + oo = +oo. Podotkněme, že ze sudosti funkce y = x~2 také plyne / ^=2/^=2-oo = +oo. -i o □ 6.31. Vypočítejte nevlastní integrály 9 - x e dx; r dx J ex+e~x Řešení. Protože je nevlastní integrál speciálním případem určitého integrálu, máme k dispozici základní metody, jak jej můžeme počítat. Metodou per partes získáváme x e dx F (x) --G'(x) 2 - -x e x e dx F(x)--G'(x) F'(x) = 2x G (x) = -e~x F'(x) G(x)-- - lim ^ + 2 [-x e~x]™ + 2fe~xdx = 0 - 2 lim 4 + 2 r-e-*l~ = 0 + 2 ( lim -e~x + l) = 2. Substituční metoda potom dává r dx _ r J ex +e—x e2x + l dx y dy = ex dx I í y2+1 I o dy [arctg yl °° = lim arctg y = f, kde nové meze integrálu plynou z limit lim ď = 0, lim ď x^-oc + 00. □ 6.32. Spočtěte f x2n+1 e~x2 dx, n eN. Řešení. Příklad řešme nejprve substituční metodou a následně opakovaně aplikujme per partes se ziskem Vynásobením této rovnosti podílem / (x)/g (x) dostáváme f(x) a(x) b(x) g(x) q(x) p(x) Předpokládejme nyní, že náš polynom g(x) nemá jiné než reálné kořeny, má tedy jednoznačný rozklad na faktory (x — cii)ni, kde ni jsou násobnosti kořenů at, i = 1, ..., k. Postupným použitím předchozího postupu s nesoudělnými polynomy p(x) &q(x) dostaneme vyjádření f(x)/g(x) pomocí součtu zlomků ve tvaru ri(x) rk(x) (x - oO"! " ' (x - ak)mi' kde stupně polynomů r; (x) jsou ostře menší než stupně v jmenovatelích. Každý z nich ale jde velmi snadno rozepsat jako součet r(x) + + ••• + (x — a)" x — a ' (x — a)2 ' (x — a)" když začneme od nejvyšších mocnin v polynomu r(x) a postupně počítáme A\, A2, ... vhodným doplňováním a odebíráním sčítanců v čitateli. Např. 1 5 5x — 16 x — 2 + (x - 2)2 (x - 2)2 (x-2)2 x-2 (x- 2)2' Zbývá ošetřit ještě případ, kdy reálných kořenů není dostatek. Vždycky ale existuje rozklad g(x) na lineární faktory s případnými komplexními kořeny. Opakování předchozí úvahy pro komplexní polynomy nám dá tentýž výsledek, pokud ale předem víme, že koeficienty polynomů jsou reálné, budou komplexní kořeny v našich výrazech vystupovat vždy po dvojicích komplexně sdružených kořenů. Můžeme proto rovnou pracovat s kvadratickými faktory ve tvaru součtu čtverců (x —a)2 +b2 a jejich mocnin. Naše předchozí úvaha opět dobře funguje a zaručuje, že bude možné hledat příslušné sčítance ve tvaru Bx + C ((x - a)2 + b2)n ' Obdobně jako v případě reálných kořenů se tedy i v případě mocniny ((jc — a)2 + b2)" takového kvadratického (nerozložitelného) faktoru vždy podaří najít odpovídající rozklad na parciální zlomky tvaru A\x + Bi Anx + Bn (x - a)2 + b2+ + ((x - a)2 + b2)n ' Konkrétní výsledky lze také snadno ozkoušet v Maplu pomocí volání procedury „convertíh, parfrac, x)", které rozloží výraz h polynomiálně závislý na proměnné x na parciální zlomky. Všechny výše uvedené parciální zlomky už umíme integrovat. Připomeňme, že ty poslední zmíněné vedou mimo jiné na integrály diskutované v Příkladě 6.22. Celkově můžeme shrnout, že racionální funkce f(x)/g(x) lze poměrně snadno integrovat, pokud se podaří najít příslušný rozklad polynomu ve jmenovateli g(x). Při výpočtu Newtonových integrálů jsou ale problematické body 328 KAPITOLA 6. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET nespojitosti racionálních funkcí lomených, v jejichž okolí jsou tyto funkce neohraničené. Tomuto problému se budeme obecně ještě věnovat později (viz odstavec 6.30 níže). 6.24. Riemannův integrál. Myšlenku počítat integrál jako vyjádření plochy vymezené grafem funkce a osou x je třeba zpřesnit. To nyní učiníme a v zá-zl. pěti dokážeme, že pro všechny spojité funkce tato definice dává stejné výsledky jako Newtonův integrál. Uvažme reálnou funkci / definovanou na intervalu [a,b] a zvolme dělení tohoto intervalu spolu s výběrem reprezentantů §; jednotlivých částí, tj. a = xq < x\ < ■ ■ ■ < x„ = b a zároveň §; e [x;_i,x;], i = 1, ..., n. Normou dělení nazýváme číslo min;{x; — x;_i}. Riemannův součet odpovídající zvolenému dělení s reprezentanty E = (jcq, ..., jc„; §i, ..., §„) definujeme jako Se = £/&)•(*,■ i=\ Řekneme, že Riemannův integrál funkce / na intervalu [a,b] existuje, jestliže pro každou posloupnost dělení s reprezentanty (Si) s normou dělení jdoucí k nule existuje limita lim SSk = S, £—00 jejíž hodnota navíc nezávisí na volbě posloupnosti dělení a reprezentantů. Píšeme v takovém případě ŕ S = j f(x)dx. J a Tato definice nevypadá příliš prakticky, nicméně nám dovolí snadno sformulovat a dokázat některé jednoduché vlastnosti Riemannova integrálu: Věta. (1) Je-li f omezená reálná funkce definovaná na reálném intervalu [a, b] a c e [a, b] nějaký vnitřní bod, potom integrál f(x)dx existuje tehdy a jen tehdy, když existují oba integrály fc f(x)dx a fh f(x)dx. V takovém případě pak také platí ŕb ŕ c ľb j f (x)dx = j f (x)dx + / f (x)dx. Ja Ja J c (2) Jsou-li f a g dvě reálné funkce definované na intervalu [a, b] a jestliže existují integrály f(x)dx a g(x)dx, pak existuje také integrál jejich součtu a platí ľb pb pb / (f(x) + g(x))dx = / f(x)dx + / g(x)dx. Ja Ja Ja (3) Je-li f reálná funkce definovaná na intervalu [a, b], C € M. je konstanta a jestliže existuje integrál f^f(x)dx, pak existuje také integrál C ■ f(x)dx a platí ľb pb j C ■ f (x)dx = C ■ j f (x)dx. Ja Ja f x2n+1 e~x dx y = x dy = 2x dx F (y) = f | F'(y) = nf~l G'(y) = e-y I G(y) = -e"> \Sft~y dy [-f e~y] ~ + n f f'1 e~y dy) = § / f'1 e~y dy o / o F (y) = f'1 | F'(y) = (n - l)/"2 | _ G'(y) = e-y | G(y) = -e"> | " i([-ŕ-1e-y]o+(.n-l)fy-2e-ydy n {n —ľ) F(y) = y f f~2 e-y dy «(«-l)--2 2 fye-ydy G'(y) F'(y) = 1 G (y) = -( ni([-y*-y]7 + f*-ydy n! ľ „-yl00 _ n! 2 L C Jo _ 2 • □ D. Délky, obsahy, povrchy, objemy 6.33. Určete délku křivky dané parametricky x = sin2 (ŕ), y = cos2 (í), pro í e (0, f). Řešení. Možno počítat i přímo (jedná se o část přímky y = 1 — x). y/2. □ 6.34. Určete délku křivky dané parametricky y pro t e (0, VŠ). Řešení. ^ □ 6.35. Určete plochu ležící napravo od přímky x = 3 a dále ohraničenou grafem funkce y = -^zj a osou x- Řešení. Plocha je dána nevlastním integrálem -^—^ dx. Vypočteme jej metodou rozkladu na parciálni zlomky: 1 x3 - 1 1 x = 1 Ax + B C +- x2 + x + 1 1 v-0 • 1 = C - B x2 : 0 = A + C a můžeme psát (Ax + B) (x - 1) + C(x2 + x + 1) 1 B = A = 2 3 1 '3 r^-dx=irf-i- Ji x3-\ 3J1 \(x- x + 2 1) x2 + x + 1 dx 329 D. DÉLKY, OBSAHY, POVRCHY, OBJEMY 2. INTEGROVÁNÍ Nyní určíme zvlášť neurčitý integrál f x+2 x2+x + l dx: í íl x +2 x2 + x + 1 ■ dx x + \)2 + -_dx + - x + \)2 + dx l-íl-dt+3-f-2 J t 2 J (. x + \)2 + - ln(x2 + x + 1) + substituce u prvního integrálu X + ± S - ds dx s1 + ds - ln((x2 + x + 1) + ln(x2 + x + 1) + 2 34 ľ 23 J V3 1 / (*) 1 u2 + 1 ■d* + 1 ■ dw 1 ln(x2 + x + 1) + V3 arctan(w) = - ln(x2 + x + 1) + V3 arctan 4 Celkem pak pro nevlastní integrál můžeme psát: dx Důkaz. (1) Předpokládejme nejprve, že existuje integrál přes celý interval. Jistě se lze při jeho výpočtu omezit na limity Riemannových součtů, jejichž dělení mají bod c mezi svými dělícími body. Každý takový součet dostaneme jako součet dvou dílčích Riemannových součtů. Pokud by tyto dí-substituce u prvního in|gí$Bučty v limitě závisely na zvolených rozděleních a repre-t = x2 + x + 1 zentantech, pak by celkové součty nemohly být v limitě na dt = 2(x + i) dxyolbácti nezávislé (stačí ponechat jednu posloupnost dělení podintervalu stejnou a druhou měnit tak, aby se limita změnila). Naopak, jestliže existují Riemannovy integrály na obou podintervalech, jsou libovolně přesně aproximovatelné Rie-mannovými součty a to navíc nezávisle na jejich volbě. Pokud do libovolné posloupnosti Riemannových součtů přes substituce u druhého integftlý ihterval [a, b] přidáme v jejich děleních jeden dělící bod c navíc, změníme hodnotu celého součtu i částečných součtů pies intervaly patřící do [a, c] a [c, b] nejvýše o násobek normy dělení a možných rozdílů omezené funkce / na celém [a,b]. To je číslo jdoucí libovolně blízko k nule při zmenšující se normě dělení. Proto nutně i částečné Riemannovy sou-čtgpa^í jfunkce nutně konvergují k limitám, jejichž součtem manuiův integrál přes [a, b]. f) V každém Riemannově součtu se součet funkcí projeví jako součet hodnot ve vybraných reprezentantech. Protože je násobení reálných čísel distributivní, vyplývá odtud právě dokazované tvrzení. (3) Stejná úvaha jako v předchozím případě. □ u = du V3J 1 1 3 í 1 lim 3 í-1 lnlx - II 1 1 lim -ln |<5 - 1| ln(x2 + x + 1) - V3 arctan ln(<52 + 8 + 1) - V3 arctan 2x + 1 1 2 *^Hi,inf ľľľ >^H2,inf- Každá dvě dělení mají společné zjemnění, jsou tedy hodnoty Jsup inf Ss, sup, Jinf sup Se inf dobrými kandidáty na limity horních a dolních součtů. Skutečně, pokud existuje společná limita horních součtů S nezávislá na zvolené posloupnosti dělení, musí to být právě Ssup, a podobně pro dolní součty. Naopak, uvažme nějaké pevně zvolené dělení H s n vnitřními dělícími body intervalu [a, b], a jiné dělení H1, jehož norma je hodně malé číslo 8. Ve společném zjemnění E2 bude jen n intervalů, které budou do součtu Sh2,suP přispívat případně menším příspěvkem než je tomu v Ei. Protože je / omezená funkce na [a, b], bude každý z těchto příspěvků ohraničený univerzální konstantou krát norma dělení (tj. maximální velikost příslušného intervalu v dělení). Při zvolení dostatečně malého 8 tedy nebude vzdálenost 5slSup od Ssup více než dvakrát vzdálenost Ss,sup od 5sup. Jestliže nyní zvolíme libovolnou posloupnost ak s horními součty, jejichž limitou je 5sup, pak pro pevně zvolené e > 0 najdeme vždy k takové, 5stsup, k > N bude k 5sup blíže než o e. Pro ale umíme podle předchozí úvahy najít 8 tak, že pro všechna dělení s normou menší než 8 budememe se součtem blíže než o 2e. Právě jsme proto ukázali, že pro libovolné číslo e > 0 umíme najít takové á > 0, že pro všechna V f Jo ■ dx = it S = 2n[f2{f^)áX=2n[íhY6áX n Vři -1 it-dx. 24 □ 6.37. Vypočtěte obsah S obrazce složeného ze dvou částí roviny vymezených přímkami x = 0, x = 1, x = 4, osou x a grafem funkce y fx-l Řešení. Nejprve si uvědomme, že -5== < 0, x e [0, 1), a ze lim -00, lim >0, x e (1,4] +00. .1_ Vx-l jt->l + 0. □ 6.38. Určete průměrnou rychlost vp tělesa v časovém intervalu [1,2], pokud je jeho rychlost v 1+ř 331 D. DÉLKY, OBSAHY, POVRCHY, OBJEMY 2. INTEGROVÁNÍ Jednotky neuvažujte. Řešení. K vyřešení příkladu si stačí uvědomit, že hledaná průměrná rychlost je střední hodnota funkce v na intervalu [1,2]. Platí tak ňfj^ dt = f^dx = V5-V2, 2 spi přičemž 1 + t2 = x, t dt = dx/2. □ 6.39. Vypočítejte délku s části křivky označované jako traktrix dané parametrickým popisem f(t) = r cosi + rln(tg|) , g(ŕ)=rsinŕ, t e [jt/2, c\]§ • 12b kde r > 0, a e iit/2, jt). Řešení. Protože fit) -r siní + 2tg j-cos2 j -r sin t + ťit) r cos t na intervalu [jt/2, a], pro délku s dostáváme f />icoŕ± + r2c^ dt= r íl J V siir t J V s jt/2 jt/2 dt jt/2 -r [ln (sin ř)]^2 dt -r ln (siná) □ 6.40. Spočtěte objem tělesa vzniklého otáčením omezené plochy, jejíž hranicí je křivka x4 — 9x2 + y4 = 0, kolem osy x. Řešení. Pokud je [x, y] bodem křivky x4 — 9x2 + y4 = 0, zřejmě tato křivka prochází rovněž body [—x, y], [x, —y], [—x, —y]. Je tedy souměrná vzhledem k oběma osám x, y. Pro y = 0 dostáváme x2 (x — 3) (x + 3) = 0, tj. osu x protíná hraniční křivka v bodech [—3, 0], [0, 0], [3, 0]. V prvním kvadrantu j i pak můžeme vyjádřit j ako graf funkce f(x) = Zj9x2 - x4 , x e [0, 3]. Hledaný objem je proto dvojnásobkem (zde uvažujeme x > 0) integrálu / Jtf2(x) dx = it f \/9x2 — x4 dx. o o Pomocí substituce ř = \/9 — x2 (xdx = —tát) pak snadno spočítáme 3 3 0 / V9x2 - x4 dx = fx ■ V9 - x2 dx = - ffidt = 9, 0 0 3 a tak obdržíme výsledek l&it. □ 6.41. Torricelliho trychtýř, 1641. Nechť část větve hyperboly xy = 1 pro x > a, kde a > 0, rotuje kolem osy x. Ukažte, že obdržené rotační těleso má konečný objem V a současně nekonečný povrch S. Řešení. Víme, že platí dělení s normou nejvýše 8 bude |5ssup — 5s| < e. To je přesné tvrzení, že číslo 5sup je limitou všech posloupností horních součtů s normami dělení jdoucími k nule. Úplně stejně se dokáže i tvrzení pro součty dolní. Pokud Riemannův integrál neexistuje, existují posloupnosti dělení a reprezentantů s různými limitami Riemanno-vých součtů. Pak ovšem z již dokázaného tvrzení plyne, že budou různé i limity horních součtů a dolních součtů. Naopak, předpokládejme, že 5sup = 5inf, pak ovšem i všechny Ri-emannovy součty posloupností dělení musí mít tutéž limitu díky nerovnostem (6.3). □ 6.27. Stejnoměrná spojitost. Prozatím jsme ze spojitosti naší funkce / využili pouze to, že každá ta- ťO, ková funkce je na konečném uzavřeném inter-valu omezená. Zbývá nám ale ukázat, že pro spojité funkce je 5sup = 5inf. Z definice spojitosti víme, že pro každý pevně zvolený bod x e [a, b] a každé okolí Oe i fix)) existuje okolí 0&(x) takové, že f(Osix)) c 0€(f(x)). Toto tvrzení lze přepsat takto: jsou-li y, z e 0&(x), tzn. mimo jiné platí Lv-zl <2S, je také fiý), fiz) e 0€(f(x)), tzn. mimo jiné platí \fiy) - fiz)\ < 2e. Budeme potřebovat globální variantu takové vlastnosti, říkáme jí stejnoměrná spojitost funkce /: Věta. Nechť je f spojitá funkce na uzavřeném konečném intervalu [a, b]. Pak pro každé číslo e > 0 existuje takové číslo 8 > 0, že pro všechny z, y €E [a, b] splňující \y — z\ < 8 platí \fiy) - fiz)\ < e. Důkaz. Protože je každý konečný uzavřený interval kompaktní, umíme jej celý pokrýt konečně mnoha okolími Os(x)ix) zmiňovanými v souvislosti se spojitostí výše, přičemž jejich poloměr 8(x) závisí na středu x zatímco čísla e budeme uvažovat pořád stejná. Zvolíme konečně za 8 minimum ze všech (konečně mnoha) 8(x). Naše spojitá funkce / tedy má požadovanou vlastnost (pouze zaměňujeme čísla e a.8 za jejich dvojnásobky). □ 6.28. Dokončení důkazu Věty 6.25. Nyní již snadno do-\^ končíme celý důkaz existence Riemannova in- t, tegrálu. Zvolme si e a á jako v předchozí větě o stejnoměrné spojitosti a uvažujme jakékoliv dělení H s n intervaly a normou nejvýš 8. Pak Y] sup /(£) • (xt - xí-i) - Y\ inf /(£) • ixi ~ xi-i) i=l i = \ 0 číslo á > 0 tak, aby \f(x + Ax)-f(x)\ 2n f 1 dx x1 — J X 2n lim ln x '^►+00 lna +00. Skutečnost, že uvažované těleso (tzv. Torricelliho trychtýř) nelze natřít za pomoci konečného množství barvy, ale lze jej naplnit konečným množstvím kapaliny, se nazývá Torricelliho paradox. Uvědomme si však, že reálný nátěr barvou má nenulovou tloušťku, což jsme při výpočtu nijak nezohlednili. Kdybychom jej kupř. natírali zevnitř, jediná kapka barvy by nepochybně trychtýř nekonečné délky „ucpala". □ Další příklady na výpočet délek křivek, obsahů rovinných útvarů a objemů částí prostoru naleznete na straně 357 6.42. Aplikace integrálního kriteria konvergence. Nyní se opět vraťme k (číselným) řadám. Díky intergrálnímu kriteriu konvergence (viz ??) umíme rozhodnout o konvergenci širší třídy řad: Rozhodněte, zda následující sumy konvergují či divergují: 00 a) E^- « = 1 00 b) E^- «=1 Řešení. Všimněme si nejprve, že ani u jedné z uvažovaných řad neumíme o její konvergenci rozhodnout na základě podílového či odmoc-ninového kriteria (všechny limity lim |2«±i|i um //ô-jsou rovny 1). n^oo a" ' n^oo Pomocí integrálního kriteria pro konvergenci řad pak dostáváme: a) / -dx = / - Ji xln(x) Jo t daná řada tedy diverguje. dř = lim [ln(ř)]o = 00, b) í 1 — dx = lim X2 <5^oo 1, a daná řada tedy konverguje. □ 6.43. Pomocí integrálního kritéria rozhodněte o konvergenci řady 'H (« + l) ln2(« + l)' « = 1 Řešení. Funkce /(*) 1 + ln2(;c + l) x e [1, +00) 333 E. STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE 2. INTEGROVÁNÍ je zjevně na svém definičním oboru kladná a nerostoucí, a proto řada v zadání konverguje, právě když konverguje integrál f^°° f(x)dx. Užitím substituce y = ln (x + 1) (kdy je dy = dx/(x + 1)) můžeme vyčíslit +0O f 1 + 0O (x+l)\n2(x + l) dx f t2 dy = á- ln2 □ Rada tedy konverguje. E. Stejnoměrná konvergence 6.44. Konverguje posloupnost funkcí yn = QAn2; x e R, n e N stejnoměrně na R? Řešení. Posloupnost {y„}„em bodově konverguje ke konstantní funki£. y = 1 na R, neboť lim e4«2 eu = 1, xeR. Z vyčíslení y„ (y/2nj = e > 2 pro každé neN však vyplývá, že se nejedná o stejnoměrnou konvergenci. (V definici stejnoměrné konvergence postačuje uvážit e e (0, 1).) 6.45. Určete, zda řada □ E n = l stejnoměrně konverguje na intervalu (0, +oo). Řešení. Při označení fn(x) je *J~x-n 'ír+x2 n(n4-3x2) x > 0, n e N x > 0, n e N. 2jx~(nA+x2f Nechť n e N je nadále libovolné. Nerovnosti f'n(x) > 0 pro x e (O, n2/VÍ) a f'n{x) < 0 pro x e (rc2/V3, +oo) implikují, že maximum funkce /„ nastává právě v bodě x = n2/V3. Protože f" (73) = 4^ a E^ = ^E^2< +°°' «=1 "—1 «=1 podle Weierstrassova kritéria řada E^Li/«(x) konverguje stejnoměrně na intervalu (0, +00). □ 6.46. Součet řady. Pomocí věty 6.41 „o záměně limity a integrálu posloupnosti stejnoměrně konvergentních funkcí" nyní sečteme číselnou řadu T— ■ Využijeme toho, že f 2 «=1 1 n 2" ' (5) Uvažme funkci / na intervalu [a,b], která je pouze po částech spojitá. To znamená, že je spojitá ve všech bodech c e [a, b] kromě konečně mnoha bodů nespojitosti c i, a < ci < b. Vzhledem k aditivnosti integrálu vůči intervalu přes který se integruje, viz 6.24(1), existuje podle poslední věty v takovém případě integrál F(t) f Ja f(x)dx pro všechna t e [a, b] a derivace funkce F(t) existuje ve všech bodech t, ve kterých je / spojitá. Navíc se snadno ověří, že ve zbývajících bodech je funkce F(t) spojitá, je to tedy spojitá funkce na celém intervalu [a, b]. Při výpočtu integrálu pomocí antiderivací je zapotřebí volit její jednotlivé části tak, aby na sebe navazovaly. Pak bude i celý integrál vyčíslen jako rozdíl funkce F(t) v krajních hodnotách. 6.30. Nevlastní a nekonečné integrály. Např. při diskusi integrace racionálních lomených funkcí jsme viděli, že občas bychom rádi pracovali s určitými y I integrály přes intervaly, v nichž jsou i body, kde integrovaná funkce f(x) má nevlastní (jednostranné) limity. V takovém případě není integrovaná funkce ani spojitá ani omezená a proto pro ni nemusí platit námi odvozené výsledky. Hovoříme o „nevlastním integrálu". Jednoduchým východiskem je diskutovat v takovém případě určité integrály na menších intervalech s hranicí blížící se problematickému bodu a zkoumat, zda existuje limitní hodnota takovýchto určitých integrálů. Pokud existuje, řekneme, že příslušný nevlastní integrál existuje a je roven této limitě. Uvedeme postup na jednoduchém příkladě: "2 dx 10 %2 — x je nevlastní integrál, protože uvedená integrovaná funkce f(x) = (2 — x)~1/4 má v bodě b = 2 limitu zleva rovnou 00. V ostatních bodech je integrovaná funkce spojitá. Zajímáme se proto o integrály -2"á dx f2 y f Jo ľ Js -l'Uy "3y ,3/4 4 4 Ž23/4 - V4. 3 3 Všimněme si, že jsme ve výpočtu substitucí dostali integrál s přepočtenou horní mezí 8 a dolní mezí 2. Otočením mezí do obvyklé polohy jsme do výrazu přidali jedno znaménko minus navíc. Limita pro 8 -> 0 zprava zjevně existuje a spočítali jsme tedy nevlastní určitý integrál "2 dx 4 ^2^7 3" Stejně budeme postupovat, pokud je zadáno integrování přes neohraničený interval. Hovoříme o nekonečných integrálech. 334 KAPITOLA 6. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET 6.17a Obecně tedy např. pro a e M poc pb 1=1 f(x)dx = lim / Ja b^°° Ja f (x) dx, pokud limita vpravo existuje. Obdobně můžeme mít horní mez integrovaní konečnou a druhou nekonečnou. Pokud jsou nekonečné obě, počítáme integrál jako součet dvou integrálů s libovolně pevně zvolenou pevnou mezí uprostřed, tj. /oo pa poc f(x)dx= / f(x)dx+ I f(x)dx. -oo J — oo Ja Existence ani hodnota nezávisí na volbě takové meze, protože její změnou pouze o stejnou konečnou hodnotu měníme oba sčítance, ovšem s opačným znaménkem. Naopak limita při které by stejně rychle šla horní i dolní mez do ±oo může vést k odlišným výsledkům! Např. ľ J —ĺ x dx 1 2 — X 2 0, přestože hodnoty integrálů x dx s jednou pevnou mezí utečou rychle k nekončených hodnotám. Při výpočtu určitého integrálu z racionální funkce lomené musíme pečlivě rozdělit zadaný interval podle bodů ne-spojitosti integrované funkce a spočítat jednotlivé nevlastní integrály každý zvlášť. Navíc je nutné rozdělit celý interval tak, abychom vždy integrovali funkci neohraničenou pouze v okolí jednoho z krajních bodů. 6.31. Přírůstky do ZOO. Z počítaných příkladů se může zdát, že je obvyklé najít neurčitý integrál pomocí výrazů složených ze známých elementárních funkcí. To je úplně mylný dojem. Naopak, drtivá většina spojitých funkcí vede na integrály, které tak vyjádřit neumíme. A to i když integrujeme funkce docela jednoduché. Protože se integrací získané funkce velice často v praxi vyskytují, mnohé mají jména a před nástupem počítačů byly pro potřeby inženýrů vydávány obsáhlé tabulky hodnot takových funkcí. V dalším textu se ještě budeme k metodám, jak numerické aproximace takových funkcí získávat. Uvedeme si nyní aspoň nějaké příklady. Funkce Sinusin-tegrál je definovaná vztahem Sí(jc) ľx siní Jo t dt. Dôležitejšou také Fresnelovy sinové a cosinové integrály FresnelS(x) = / sin^jtt2) Jo FresnelC(x) = / cos(ijrř2) Jo dt dt Na levém obrázku je průběh funkce Si(x), na pravém vidíme obě Fresnelovy funkce. Řešení. Na intervalu (2, oo) konverguje řada funkcí YlT=i stej-noměrně. To plyne například z Weierstrasova kriteria: každá z funkcí -^r je klesající na intervalu (2, oo), její hodnota tedy nepřevyšuje 2^-; řada E^Li ^rr Je ovšem konvergentní (jedná se o geometrickou řadu s koeficientem ^. Podle Weierstrasova kriteria tedy řada funkcí E^Li ^rr tedy konverguje stejnoměrně. Dokonce umíme výslednou funkci explicitně vyjádřit. Její hodnota v libovolném x e (2, oo) je hodnotou geometrické řady s koeficientem £, označíme-li tedy limitu jako /(x),je «=i 1 1 x2 1 - 1 x(x — 1) Použitím (6.43) (3) dostáváme oo ^ oo « E ^ ~ E / n=\ n=\ 1 dx r« + l /•oo / 00 J dx .n = l 1 ľ J2 x{x - 1) lim dx ŕ 1 1 J 2 x ~ 1 x dx <5=>oo lim [(ln(<5 - 1) - ln(<5) - ln(l) + ln(2)] <5=>oo lim <5=>oo ln(2) ln + ln(2) = ln ( lim V <5=>oo 8 + ln(2) □ 6.47. Uvažme funkci f(x) = YlT=i ne nx. Určete -ln3 í f(x)dx. Jln2 Řešení. Obdobně jako v předchozím případě z Weierstrasova kriteria pro stejnoměrnou konvergenci vypývá, že řada funkcí YlT=i ne~nx konverguje stejnoměrně na intervalu (ln 2, ln 3), neboť každá z funkcí ne~nx je menší než ^ na (ln2, ln3) a řada YlT=i konverguje, což plyne třeba z podílového kriteria pro konvergenci řad: lim ř7=>00 . an + l lim ř7=>00 (n + 1)2 -(«+1 n2n ,. ln + 1 lim-- «=>oo 2 n 1 2" 335 E. STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE 2. INTEGROVÁNÍ Celkem podle (6.43) (3) platí /•ln 3 /-In 3 00 / f(x)dx = I y"ne-nx J\xí2 pln ô w in 2 « = 1 Jln < 00 °° / 1 1 \ ne~nx dx 1 1 □ 6.48. Určete následující limitu (postup výpočtu zdůvodněte): cos(f) lim ř7 — OO dx. cos(f) Posloupnost těchto funkcí limi- 1 (??) 1 Řešení. Určeme nejprve lim tuje bodově a máme cos(£) lim w n—00 (1 -j- iim (1 -1- Předpokládejme, že daná posloupnost, konverguje stejnoměrně. Potom podle (6.41) cos(f) ľ00 cos (-) lim / 7—^^ "^^Jo (1 + f) ;-oo (1 + £) dx ,00 y Jo ~x 1 Ověření stejnoměrné konvergence dané posloupnosti necháváme na čtenáři (podotýkáme jenom, že diskuze je složitější než v předchozích příkladech). □ 6. lř Nové typy funkcí dostáváme také, když do integrovaného výrazu povolíme volný parametr, na kterém pak výsledek závisí. Příkladem může být jedna z nej důležitějších funkcí v matematice vůbec - tzv. Gamma funkce definovaná vztahem r(z) Jo r~ldt. Lze ukázat, že tato funkce je analytická ve všech bodech z £ Z a pro malá z e N můžeme počítat: r(i) ľ Jo e-'t°dt = [-c~% 1 r(2) = / e-'ŕdt = [-e"řř]~ + / Jo Jo />oo />oo / e"ř řdt = 0 + 2 / e"ř Jo Jo r(3) e"ř dt = 0 + 1 = 1 řúřř = 0 + 2 = 2 a pomocí indukce snadno dovodíme, že pro všechna kladná celá čísla n dává tato funkce hodnotu faktoriálu: r(n) = (n - 1)! Následující obrázek ukazuje průběh funkce f(x) = ln(r(x)), vidíme z něj tedy v logaritmické škále, jak rychle skutečně roste faktoriál. 100 200 300 400 500 600 lifU 300 900 1000 Než se pustíme do dalších témat matematické analýzy, uvedeme ještě několik přímých použití pro Riemannův integrál. 6.32. Riemannovsky měřitelné množiny. Sama definice Riemanova integrálu byla odvozena od před- ___stavy velikosti plochy v rovině se souřadnicemi x a y ohraničené osou x, hodnotami funkce y = f(x) a hraničními přímkami x = a, x = b. Přitom je plocha nad osou x dána s kladným znaménkem zatímco hodnoty pod osou vedou ke znaménku zápornému. 336 KAPITOLA 6. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET Ve skutečnosti víme zatím pouze, co je to plocha rovnoběžnostěnu určeného dvěma vektory, obecněji ve vektorovém prostoru W víme, co je to objem rovnoběžnostěnu. Plochy jiných podmnožin je teprve třeba definovat. Pro některé jednoduché objekty jako třeba mnohoúhelníky je definice dána přirozeně předpokládanými vlastnostmi. Námi vybudovaný koncept Riemannova integrálu můžeme teď přímo použít k měření „objemu" jednorozměrných podmnožin. O podmnožině A c M řekneme, že je (Riemannovsky) měřitelná, jestliže je funkce x '■ R —> R Riemannovsky integrovatelná, tj. existuje integrál (ať už s konečnou nebo nekonečnou hodnotou) Funkci xa říkáme charakteristická funkce množiny A, hodnotě m (A) říkáme Riemanovská míra množiny A. Všimněme si, že pro interval A = [a, b] jde vlastně o hodnotu přesně jak jsme očekávali. Zároveň má takováto definice „velikosti" očekávanou vlastnost, že míra sjednocení konečně mnoha Riemannovsky měřitelných a po dvou disjunktních množin vyjde jako součet. Zejména každá konečná množina A má Riemannovskou míru nulovou. Pokud ale vezmeme spočetné sjednocení, taková vlastnost již neplatí. Např. stačí vzít množinu Q všech racionálních čísel jakožto sjednocení jednoprvkových podmnožin. Zatímco každá množina o konečně mnoha bodech má podle naší definice míru nulovou, charakteristická funkce xq není Riemannovsky integrovatelná. Pro definici plochy (objemu) ve vícerozměrných prostorech budeme umět použít koncept Riemannova integrálu, až jej zobecníme do vícerozměrného případu. Nicméně je dobré si už teď povšimnout, že skutečně původní představa o ploše rovinného útvaru uzavřeného výše uvedeným způsobem grafem funkce bude bezezbytku naplněna. 6.33. Střední hodnota funkce. U konečné množiny hodnot jsme zvyklí uvažovat o jejich střední hodnotě a definujeme ji zpravidla jako aritmetický průměr. Pro Riemannovsky integrovatelnou funkci f(x) na intervalu (konečném nebo nekonečném) [a, b] je definována její střední hodnota výrazem Xa(x) 1 jestliže je x e A 0 jestliže je x £ A. m(A) dx = b — a, 337 E. STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE 2. INTEGROVÁNÍ Z definice je m(f) výška obdélníka (s orientací podle znaménka) nad intervalem [a, b], který má stejnou plochu jako je plocha mezi osou x a grafem funkce f(x). 6.34. Délka prostorové křivky. Námi vybudovaný integrál jde také dobře použít pro výpočet délky křivky ve vícerozměrném vektorovém prostoru W. Pro jednoduchost si to předvedeme na případu křivky v rovině M2 se souřadnicemi x, y. Mějme tedy parametrický popis křivky F : M -» M2, F(t) = [g(t), f (t)] a představme si ji jako dráhu pohybu. Derivací tohoto zobrazení dostaneme hodnoty, které budou odpovídat rychlosti pohybu po takovéto dráze. Proto celková délka křivky (tj. dráha uražená za dobu mezi hodnotami t = a, t = b) bude dána integrálem přes interval [a,b], kde integrovanou funkcí h(t) budou právě velikosti vektorů F'(t). Chceme tedy spočíst délku s rovnou s= í h(t)dt= í y/(f'(t))2 + (g'(t))2 dt. •J a J a Ve speciálním případě, kdy křivka je grafem funkce y = f (x) mezi body a < b obdžíme pro její délku / y J a 1 + (/'(x))2 dx Tentýž výsledek lze intuitivně vidět jako důsledek Pythagorovy věty: pro lineární přírůstek délky křivky As odpovídající přírůstku Ax proměnné x spočteme totiž právě As = a/ Ax2 + Ay2 a to při pohledu přímo na naši definici integrálu znamená í7 1 + ( ^ dx. dx Naopak základní věta diferenciálního počtu (viz 6.25) ukazuje, že na úrovni diferenciálů takto definovaná veličina délky grafu funkce y = y (x) splňuje ds = y/í + (y(x))2(ix, přesně dle očekávání. Jako snadný příklad spočteme délku jednotkové kružnice jako dvojnásobek integrálu funkce y = Vl — x2 v mezích [— 1, 1]. Víme již, že musí vyjít číslo 2jt, protože jsme takto číslo jt definovali. j Jl + (ý)2dx =2 f Jl + Y L - dx J-i v 1 - x2 1 1 , dx = 2[arcsinx]_1 = 2it. -i V"\~- x- Jestliže v předchozím výpočtu budeme počítat s y = y/r2 — x2 = ryj 1 — (x/r)2 338 KAPITOLA 6. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET a meze budou [—r, r], dostaneme substitucí x = rt deku kružnice o poloměru r: ľ I (x/r)2 ľ1 r S(r) = 2 J1 + ' dx =2 , ŕ/ŕ J-.V l-(*/r)2 J-iVT^2 = 2r[arcsinx]i1 = 2rxr. Výsledek samozřejmě známe z elementárni geometrie. Nicméně teď se nám z východisek integrálního počtu podařilo dovodit zásadní skutečnost, že je délka kružnice lineárně závislá na jejím průměru 2r. Číslo tx je právě poměr, ve kterém se tato závislost realizuje. 6.35. Plochy a objemy. Riemannův integrál můžeme přímo použít na výpočet ploch či objemů útvarů definovaných pomocí grafu funkce. Jako příklad spočtěme plochu kružnice s poloměrem r. Půlkruh vymezený funkcí Vr2 — x2 má plochu, jejíž dvojnásobek a (r) spočteme substitucí x = r sin ř, dx = r cos t dt (s využitím výsledku pro h v odstavci 6.22) V r2 - x2 dx = 2?- / cos2 t dt -r J-7z/2 2i2 „n 9 = -^-[cos t sin t + t\_n/2 = Tfr. Opět stojí za pozornost, že tento dobře známý vzoreček je odvozen z principů integrálního počtu a že kupodivu je plocha kruhu nejen úměrná kvadrátu poloměru, ale zároveň je tento poměr daný opět konstantou n. Všimněme si ještě poměru obsahu a obvodu kruhu, tj. Ttr2 r 2rxr 2 Čtverec o stejném obsahu má stranu o velikosti ^/Ťtr a tedy obvod 4V/Ťrr. Obvod čtverce o obsahu jednotkového kruhu je tedy což je o přibližně 0.8 více, než je obvod jed- notkového kruhu. Lze dovodit, že ve skutečnosti je kružnice útvarem s nejmenším obvodem mezi všemi se stejným obsahem. K odvozování takových výsledků se dostaneme v našich poznámkách o tzv. variačním počtu v pozdějších kapitolách. Další obdobou téhož principu je výpočet povrchu nebo objemu rotačního tělesa. Pokud vznikne těleso rotací grafu funkce / kolem osy x v intervalu [a,b], vzniká při přírůstku Ax nárůst plochy o násobek As délky křivky zadané grafem funkce y = f (x) a velikosti kružnice o poloměru f(x). Plocha se proto spočte formulí A(f) =2rt s f(x)ds=2jt\ f(x)y/\ + (/'(x))2 dx, •J a J a kde ds je dán přírůstkem délky křivky y = f (x), viz výše. Podkud bychom rotační těleso zadali jeho hranicí prametrizo-vanou dvojicí funkcí [x(t), y(t)], bude příslušný diferencál tvaru ds = ^J(x'(t))2 + (Y(t))2 dt a pro povrch dostaneme /•b pb A = 2jx \ f(x)ds =2jt y(0\/(y(0)2 + (x'(t))2 dt. J a J a 339 E. STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE 2. INTEGROVÁNÍ Objem stejného tělesa naroste při změně Ax o násobek tohoto přírůstku a plochy kružnice o poloměru f(x). Proto je dán formulí Tt í ( J a V(f)=7t I (f(x)fdx. Jako příklad užití vzorců pro obsah a objem odvodíme známé formule pro plochu sféry a objem koule o poloměru r. 1 .2 Ar = 2it j rVl - (x/r)2 / dt = 2nr j dt = 4jvr Vr = jv J r2 — x2 dx = 2r7rr2 — ti 4 3 -Ttr . Stejně jako u kružnice i kouleje objektem, který má mezi všemi s daným objemem ten nejmenší povrch. To je důvod, proč jsou mýdlové bubliny vždy prakticky tohoto tvaru. 6.36. Integrální kriterium konvergence řad. Pomocí nevlastního integrálu také umíme rozhodnout o konvegenci širší třídy nekonečných řad než doposud: Věta. BuďY^Li f(n) řada taková, že funkce f : M -» M je kladná a nerostoucí na intervalu (1, oo). Pak tato řada konverguje právě tehdy, když konverguje integrál /oo f(x)áx. Důkaz. Pokud interpretujeme integrál, jako plochu pod křivkou, je kriterium zřejmé. Pokud daná řada diverguje, pak diverguje i ífe/ řada E^U/W- ^ro libovolné k e N máme pro k-tý částečný součet s£ (řady bez prvního členu) nerovnost 4 =Y,fw < f /(x)dx' «=2 neboť sfk je dolním součtem Riemannova integrálu f(x) dx. Pak ale je /»oo pk I f(x)dx = lim / /(x)dx > lim s'k = oo Ji k^°°Ji k^°° a uvažovaný integrál diverguje. Předpokládeme nyní, že daný integrál konverguje a označme k-tý částečný součet dané řady jako sk. Potom máme nerovnosti /»oo pk I f(x)dx = lim / /(x)dx < lim Sk < oo, Ji k^°°Ji k^°° neboť Sk je horním součtem Riemannova integrálu f(x) dx a předpokádáme, že daná řada konverguje. □ 340 KAPITOLA 6. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET 3. Nekonečné řady Již jsme se při budování našeho zvířetníku funkcí setkali s mocninnými řadami, které přirozeným způsobem rozšiřují skupinu všech polynomů, viz 5.43. Zároveň jsme si říkali, že takto získáme třídu analytických funkcí, ale nedokazovali jsme tehdy ani to, že jsou mocninné řady spojitými funkcemi. Snadno nyní ukážeme, že tomu tak je a že skutečně umíme mocninné řady i diferencovat a integrovat po jednotlivých sčítancích. Právě proto ale také uvidíme, že není možné pomocí mocninných řad získat dostatečně širokou třídu funkcí. Např. nikdy tak nedostaneme jen po částech spojisté periodické funkce, které jsou tak důležité pro modelování a zpracování audio a video signálů. 6.19 | 6.37. Jak ochočené máme řady funkcí? Vraťme se nyní k diskusi limit posloupností funkcí a součtu řad funkcí z pohledu uplatnění postupů diferenciálního a integrálního počtu. Uvažujme tedy konvergentní řadu funkcí co S{x) = YJfn(x) n = l na intervalu [a, b]. Přirozené dotazy jsou: • Jsou-li všechny funkce f„(x) spojité v nějakém bodě io e [a, b], je spojitá i funkce S(x) v bodě xo? • Jsou-li všechny funkce /„ (x) diferencovatelné v nějakém bodě a e [a, b], je v něm diferencovatelná i funkce S(x) a platí vztah S'(x) = £~ i /„'(*)? • Jsou-li všechny funkce /„ (x) Riemannovsky integrova-telné na intervalu [a, b], je integrovatelná i funkce S(x) a platí vztah S(x)dx = T^=l f„(x)dxc! Ukážeme si nejprve na příkladech, že odpovědi na všechny tři takto kladené otázky jsou „NE!". Poté ale najdeme jednoduché dodatečné podmínky na konvergenci řady, které naopak platnosti všech tří tvrzení zajistí. Řady funkcí tedy obecně moc zvladatelné nejsou, nicméně si umíme vybrat velikou třídu takových, se kterými se už pracuje velmi dobře. Mezi ně naštěstí budou patřit mocninné řady. Pak se ale také zamyslíme nad alternativními koncepcemi integrování, které fungují více uspokojivě i větší třídy funkcí. 6.38. Příklady ošklivých posloupností. (1) Uvažme nejprve funkce f„(x) = (sin*)" na intervalu [0, 7t]. Hodnoty těchto funkcí budou ve všech bodech 0 < x < jt nezáporné a menší než jedna, kromě x = j, kde je hodnota 1. Proto na celém intervalu [0, 7t] budou bod po bodu tyto funkce konvergovat k funkci Í0 pro všechna x ^ f f(x) = lim /„(*) = \ 2 1 pro X = j. E. STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE 3. NEKONEČNÉ ŘADY Zjevně tedy je limita posloupnosti funkcí /„ nespojitou funkcí, ačkoliv jsou všechny funkce f„(x) spojité. Problematický je přitom dokonce vnitřní bod intervalu. Tentýž jev umíme najít i pro řady funkcí, protože součet je limitou částečných součtů. Stačí tedy v předchozím příkladě vyjádřit /„ jako n-tý částečný součet. Např. f\(x) = sinx, /2(i) = (sinx)2 — sinx, atd. Levý obrázek vykresluje funkce fni(x) pro n = 1, ..., 10. (2) Podívejme se nyní na druhou otázku, tj. na špatně se chovající derivace. Celkem přirozená je idea na podobném principu jako výše sestavit posloupnost funkcí, které budou mít v jednom bodě stále stejnou nenlovou derivaci, ale budou čím dál tím menší, takže bodově dokonvergují k funkci identicky nulové. Předchozí obrázek napravo vykresluje funkce fn(x) =x(l -x2)" na intervalu [—1, 1] pro hodnoty n = m2, m = 1, ..., 10. Na první pohled je zjevné, že lim /„ (x) = 0 a všechny funkce /„ (x) jsou hladké. V bodě x = 0 je jejich derivace /„'(O) = ((1 - x2)" - 2nx2(l - x2)"-%=0 = 1 nezávisle na n. Limitní funkce pro posloupnost /„ přitom má samozřejmě všude derivaci nulovou! (3) Protipříklad k třetímu tvrzení jsme už viděli v 6.32. Charakteristickou funkci xq racionálních čísel můžeme vyjádřit jako součet spočetně mnoha funkcí, které budou očíslovány právě racionálními čísly a budou vždy všude nulové, kromě jediného bodu, podle které jsou pojmenovány, kde jsou rovny 1. Riemannovy integrály všech takových funkcí budou nulové, jejich součet ale není Riemannovsky inegro-vatelnou funkcí. Právě tento příklad ukazuje na zásadní nedostatek Rie-mannova integrálu, ke kterému se ještě vrátíme. 6.20 342 KAPITOLA 6. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET 6.39. Stejnoměrná konvergence. Zjevným důvodem neúspěchu ve všech třech předchozích příkladech je skutečnost, že rychlost bodové konvergence hodnot /„ (x) -» f (x) se bod od bodu velice liší. Přirozenou myšlenkou tedy je omezit se na takové případy, kdy bude naopak konvergence probíhat přibližně stejně rychle po celém intervalu. Definice. Říkáme, že posloupnost funkcí /„ (x) konverguje stejnoměrně na intervalu [a, b] k limitě f(x), jestliže pro každé kladné (malé) číslo e existuje (velké) přirozené číslo N e N takové, že pro všechna n > /V a všechna x e [a, b] platí \Mx)-f(x)\<€. O řadě funkcí řekneme, že konverguje stejnoměrně na intervalu, jestliže stejnoměrně konverguje posloupnost jejích částečných součtů. Graficky si definici můžeme představit tak, že do pásu vzniklého posunutím limitní funkce f (x) na f(x) ± e pro libovolně malé, ale pevně zvolené kladné e, vždy padnou všechny funkce f„(x), až na konečně mnoho z nich. Tuto vlastnost zjevně neměl první a poslední z předchozích příkladů, u druhého ji postrádala posloupnost derivací f'n. Následující tři věty lze stručně shrnout tvrzením, že všechna tři obecně neplatná tvrzení v 6.37 platí pro stejnoměrnou konvergenci (pozor ale na jemnosti u derivování). 6.40. Věta. Nechť f„ (x) je posloupnost funkcí spojitých na intervalu [a, b], která na tomto intervalu stejnoměrně konverguje k funkci f(x). Pak je také f(x) spojitá funkce na intervalu [a, b]. Důkaz. Chceme ukázat, že pro libovolný pevně zvolený bod xo £ [a, b] a jakékoliv pevně zvolené malé e > 0 bude \f(x)-f(x0)\ 0 \fn(x) - f(x)\ < e pro všechna x e [a, b] a všechna dostatečně velká n. Zvolme si tedy nějaké takové n a uvažme 8 > 0 tak, aby také \fn(x) - f„(x0)\ < e pro všechna x z á-okolí x0 (to je možné, protože všechny /„ (x) jsou spojité). Pak \f(x) - /(x0)| <\f(x) - fn (x)| + \fn(x) - /„(x0)| + \fn(x0) ~ f(x0)\ < 3 N platí \fn(x) ~ fm(x)\ < C. Zřejmě je každá stejnoměrně konvergentní posloupnost funkcí na intervalu [a, b] také stejnoměrně Cauchyovská na temže intervalu, stačí si povšimnout obvyklého odhadu \fn(x) - fm(x)\ < \fn(x) - f(x)\ + \f(x) - fm(x)\ založeného na trojúhelníkové nerovnosti. Toto pozorování nám už stačí k důkazu naší věty, zastavíme se ale napřed u užitečného obráceného tvrzení: Tvrzení. Každá stejnoměrně Cauchyovská posloupnost funkcí f„ (x) na intervalu [a, b] stejnoměrně konverguje k nějaké funkci f na tomto intervalu. Důkaz. Z podmínky Cauchyovskosti posloupnosti funkcí vyplývá, že také pro každý bod x e [a, b] je posloupnost hodnot f„(x) Cauchyovskou posloupností reálných (případně komplexních) čísel. Bodově tedy nutně konverguje posloupnost funkcí f„(x) k nějaké funkci f(x). Ukážeme, že ve skutečnosti konverguje posloupnost f„(x) ke své limitě stejnoměrně. Zvolme /V tak velké, aby \fn(x) - fm(x)\ < e pro nějaké předem zvolené malé kladné e a všechna n > N, x e [a, b]. Nyní zvolíme pevně jedno takové n a odhadneme \fn(x) - f(x)\ = lim \fn(x) - fm(x)\ < e pro všechna x e [a, b]. □ Důkaz Věty. Připomeňme, že každá stejnoměrně konvergentní posloupnost funkcí je také stejnoměrně Cauchyovská a že Riemannovy součty pro jednotlivé členy naši posloupnosti konvergují k f „(x) dx nezávisle na výběru dělení a reprezentantů. Proto jestliže platí \fn(x) ~ fm(x)\ < C pro všechna x e [a, b], pak také \ fn(x)dx - / fm(x)dx J a J a e\b Je tedy posloupnost čísel fn (x) dx Cauchyovská a proto konvergentní. Současně ale také díky stejnoměrné konvergenci posloupnosti f„(x) platí pro limitní funkci f(x) ze 344 KAPITOLA 6. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET stejného důvodu, že její Riemannovy součty jsou libovolně blízké Riemannovým součtům pro funkce /„ s dostatečně velkým n a limitní funkce /(je) bude tedy opět integrovatelná. Zároveň pb pb / fn(x)dx - / •J a J a /(je) dx e\b a musí proto jít o správnou limitní hodnotu. □ Pro příslušný výsledek o derivacích je třeba zvýšené pozornosti ohledně předpokladů: 6.42. Věta. Nechť f„ (x) je posloupnost funkcí diferencovatelných na intervalu [a, b], která na tomto intervalu stejnoměrně konverguje k limitní funkci /(je). Dále nechť jsou všechny derivace g„(x) = f'n (x) spojité a nechť konvergují na temže intervalu stejnoměrně k funkci g (x). Pak je také funkce f(x) diferencovatelná na intervalu [a, b] a platí zde f'(x) = g(x). Důkaz. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že všechny naše funkce splňují f „(a) = 0 (v opačném případě je pozměníme o konstanty a na výsledku úvah se nic nezmění). Pak ovšem můžeme psát pro všechny x e [a, b] í gn( J a fn(x) = / gn(t)dt. Protože ale funkce gn stejnoměrně konvergují k funkci g na celém [a, b], tedy tím spíše na intervalech [a, x], kde a < x < b, platí také fix) = í g(t)dt. J a Protože je funkce g coby stejnoměrná limita spojitých funkcí opět spojitou funkcí, dokázali jsme vše potřebné, viz Věta 6.24 o Riemannově integrálu a antiderivaci. □ Pro nekonečné řady můžeme předchozí výsledky shrnout takto: 6.43. Důsledek. Uvažme funkce f„(x) na intervalu [a, b]. (1) Jsou-li všechny funkce f„(x) spojité na [a, b] a řada oo S(x) = J2f«(x) n = l konverguje stejnoměrně k funkci S(x), je i funkce S(x) spojitá na [a,b]. (2) Jsou-li všechny funkce f„(x) spojitě diferencovatelné na [a, b], a obě řady oo oo S(x) = J2fn(x), T(x) = J2f«(x) n—l n—l konvergují stejnoměrně, pak je také funkce S(x) spojitě diferencovatelná na [a,b] a platí $(x) = T(x), tj. n = l ' n = l 345 E. STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE 3. NEKONEČNÉ ŘADY 6.25 6.26 (3) Jsou-li všechny funkce f„ (x) Riemannovsky integrova-telné na [a, b] a řada oo S(x) = YJfn(x) n = l konverguje stejnoměrně k funkci S(x) na [a, b],je tamtéž integrovatelná i funkce S(x) a platí vztah [Y2fn(x)\dx = Y2 fn (X) dX. \ = \ ' n = \ Ja 6.44. Test stejnoměrné konvergence. Nejjednodušším \pp ^ způsobem pro zjištění stejnoměrné konvergence posloupnosti funkcí je porovnání s absolutní konvergencí vhodné posloupnosti čísel. Říkává se tomu často Weierstrassův test. Předpokládejme tedy, že máme řadu funkcí /„ (x) na intervalu I = [a, b] a. že navíc známe odhad \fn(x)\ < an m dostáváme \sk(x)-sm(x)\ = E fn(x) < E \fn(x)\ < E ak. n—m + 1 n—m + 1 n—m + 1 Pokud je řada (nezáporných) konstant YlT=i an konvergentní, pak bude samozřejmě posloupnost jejích částečných součtů Caychyovská. Právě jsme ale spočetli, že v takovém případě bude posloupnost částečných součtů sn(x) stejnoměrně Caychyovská. Díky tvrzení dokázanému před chvílí v 6.41 jsme tedy právě dokázali následující Věta (Weierstrassův test). Nechť f„(x) je posloupnost funkcí definovaných na intervalu [a,b] a platí \f„(x)\ < a, é 1. Je-li řada čísel Yľ^Ĺi an konvergentní, pak řada S(x) = Z~2T=i fn(x) konverguje stejnoměrně. 6.45. Důsledky pro mocninné řady. Weistrassův test je velice užitečný pro diskusi mocninných řad oo S(x) = ^2an(x - x0)n «=o se středem v bodě x0. Při našem prvním setkání s mocninnými řadami jsme ukázali v 5.46, že každá taková řada konverguje ^'Y'*'"1 na (jco—8, x0+8), kde tzv. poloměr konvergence l L. 8 > 0 může být také nula nebo oo. (viz také ^yj^- - 5.50). Zejména jsme v důkazu věty 5.46 pro ověření konvergence řady S(x) používali srovnání s vhodnou 346 KAPITOLA 6. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNI POČET geometrickou posloupností. Podle Weistrassova testuje proto řada S(x) stejnoměrně konvergentní na každém kompaktním (tj. konečném) intervalu [a,b] uvnitř intervalu (x0 —8, *o +^)-Dokázali jsme tedy Věta. Každá mocninná řada S(x) je ve všech bodech uvnitř svého intervalu konvergence spojitá a spojitě diferencovatelná. Funkce S(x) je také integrovatelná a derivování i integrování lze provádět člen po členu. Ve skutečnosti platí také tzv. Ábelova věta, která říká, že mocninné řady jsou spojité i v hraničních bodech svého definičního oboru (včetně případných nekonečných limit). Tu zde nedokazujeme. Právě dokázané příjemné vlastnosti mocninných řad zároveň poukazují na hranice jejich použitelnosti při modelování závislostí nějakých praktických jevů nebo procesů. Zejména není možné pomocí mocninných řad dobře modelovat po částech spojité funkce. Jak uvidíme v zápětí, je možné pro konkrétněji vymezené potřeby nacházet lepší sady funkcí /„ (jc) než jsou hodnoty /„ (x) = x". Nej známějšími příklady jsou Fourierovy řady a tzv. wawelety, které přibolížíme v další kapitole. 6.46. Laurentovy řady. V kontextu Taylorových rozvojů se ještě podívejme na hladkou funkci f (x) = g-i/AT z 0(jstavce 6.6. Viděli jsme, že není analytická v nule, protože tam má všechny derivace nulové. Takže zatímco ve všech ostatních bodech x0 je tato funkce dán konvergentní Taylorovou řadou s poloměrem konvergence r = |jco|, v počátku řada konverguje jen v jediném bodě. Pokud ale do mocninné řady pro ď dosadíme za x výraz — 1 /x2, dostaneme řadu funkcí s(x) = Y/±(-iyx-2»= Vn-^- z—' n\ z—' \n\\ «=0 n = -oo která bude konvergovat ve všech bodech i / 0a dává nám dobrý popis pro chování kolem výjimečného bodu x = 0. Podbízí se proto uvažovat následující obecnější řady docela podobné mocninným: „—J Laurantovy řady { Řadu funkcí tvaru oo S(x) = ^2 an (x - x0)n n——oo nazýváme Laurentova řada se středem v xq. Řadu nazveme konvergentní, jetsliže konvergují samostatně její části s klad-^rrými^záporrrýrm^^ Smysl Laurentových řad je dobře viditelný u racionálních funkcí lomených. Uvažme takovou funkci S(x) = f(x)/g(x) s nesoudělnými polynomy fugu uvažme kořen E. STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE 3. NEKONEČNÉ ŘADY x0 polynomu g(x). Je-li násobnost tohoto kořenu s, pak vynásobením dostaneme funkci S (x) = S(x)(x —xo)s, která už bude na nějakém okolí bodu x0 analytická a proto můžeme psát S(x) =--— H-----1---h a0 + ai (x - x0) + ... (x — Xq)s x — Xq oo = a"(x ~ xo)"- n ——s Uvažujme nyní odděleně části — 1 oo S(x) = S- + 5+ = an(x — xo)n + ^2a"(x ~ X^"- n =—oo «=0 Pro řadu S+ víme z Věty 5.46, že její poloměr konvergence R je dán rovností R~x = lim sup ý\a„\. Když však aplikujeme tutéž úvahu na řadu 5_ s dosazenými hodnotami 1 /x za x, zjistíme, že řada 5_(x) konverguje pro \x — xq\ > r, kde r~l = lim sup y/|út_„|. Tyto úvahy platí bezezbytku i pro komplexní hodnoty x dosazované do našich výrazů. Věta. Laurentova řada S(x) se středem xq konverguje pro všechna x e C splňující r < \x — xq\ < R a diverguje pro všechna x splňující \x — xq\ < r nebo \x — xq\ > R. Vidíme tedy, že Laurentova řada nemusí konvergovat ve vůbec žádném bodě, protože klidně můžeme dospět k hodnotám R < r. Podíváme-li se ale např. na výše uvedený případ racionálních funkcí lomenných rozvíjených do Laurentovy řady v některém z kořenů jmenovatele, pak zjevně je r = 0 a tedy, dle očekávání, bude konvergovat skutečně na presten-covém okolí tohoto bodu x0, zatímco R bude v tomto případě dáno právě vzdáleností k dalšímu nejbližšímu kořenu jmenovatele. V přápadě našeho prvního příkladu, funkce e~1/x je r = 0 a R = oo. 6.47. Numerická přiblížení integrace. Podobně jako na konci přechozí části textu (viz odstavec 6.17), nyní využijeme Taylorova rozvoje k návrhu co nejlepších a zároveň jednoduchých aproximací integrace. Budeme pracovat s integrálem I = f(x)dx analytické funkce f(x) a rovnoměrným dělením intervalu [a, b] pomocí bodů a = x0, x\, ..., xn = b se vzdálenostmi Xi —Xi-i = h > 0. Body uprostřed intervalů v děleních si označíme xi+i/2, hodnoty naší funkce v bodech dělení budeme psát jako /(x;) = /). Příspěvek jednoho dílku dělení k integrálu spočteme pomocí Taylorova rozvoje a předchozí věty. Záměrně přitom integrujeme symetricky kolem středových hodnot, aby se nám 348 KAPITOLA 6. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET při procesu integrace vzájemně vyrušily derivace lichých stupňů: -h/2 rh/2 (■h/2 rh/2 / ^ 1 \ / f(xl + l/2 + t)dt = (T -fin)(xi + ll2)ř dt J-h/2 J-h/2^„=0 H- ' ,r,\J-h/2kl J 00 n2k+l = ^22H2k + l)\f(2k){Xi+1/2)- Velmi jednoduchým numerickým přiblížením integrace na jednom dílku dělení je tzv. trapézové pravidlo, které pro aproximaci využívá plochu lichoběžníka určeného body [xí,0], [xí, f i], [0, xi+i], [xi+u fi+i]. Tato plocha je Pi = \{fi + fi+úh a celkem tedy integrál / odhadujeme hodnotou n — l /trap = J2Pi = 2 (/° + 2/l + * * * + 2/»-l + /»)■ Srovnáme nyní 7trap s přesnou hodnotou 7 spočtenou pomocí příspěvků po jednotlivých dílcích dělení. Hodnoty f i můžeme vyjádřit pomocí prostředních hodnot a derivací y£í/2 takto: h , h2 „ . // + l/2±l/2 = /i+ 1/2 ± 2-/Í + 1/2 + 2!22^ ^ + ±^2r/(3)0' + l/2) + ..., takže pro příspěvek Pt do odhadu dostáváme Pí = \{fi+fi+i)h = h(fi+l/2+^-2f"(i+l/2))+0(h5). Odtud dostáváme odhad chyby I — 7trap na jednom dílku dělení A,- = h(fi+l/2 + YAf"+i/2 ~ fi+Vi ~ jfľ+i/2 + 0(h4)) = '^fi"+l/2 + 0(h5). Celková chyba tedy je odhadnuta jako / - /,rap = J^nh3f" + n 0(h5) = -^(b - a)h2f" + 0(h4) kde /" vyjadřuje odhad pro druhou derivaci /. Pokud nám lineární aproximace funkce po jednotlivých dílcích nestačí, dalším pokusem může být aproximace kvadratickým polynomem. K tomu ale budeme potřebovat vždy tři body, takže budeme pracovat s dílky dělení po dvou. Předpokládejme tedy žen = 2m a uvažujme x; s lichými indexy. Budeme požadovat ft+i = f(Xi +h) = f] +ah + ph2 ft-! = f{xt —h) = f i -ah + pli2 349 E. STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE 3. NEKONEČNÉ ŘADY což dává (viz podobnost s diferencí pro aproximaci druhé derivace) P = ^(fi+i + ft-i -2fi). Plocha přibližného vyjádření integrálu na dvou dílcích dělení mezi x;_i a xí+i je nyní odhadnuta výrazem /h 2 f i + at + /3t2 dt = 2hfi + -f3h3 -h 3 = 2hfi + -^-(fi+i + fi-i - 2 f d = \{\ji+x + fi-i - 2ft). o 3 Tomuto postupu se říká Simpsonovo pravidlo. Celý integrál je nyní přiblížen výrazem zh(fo + f2n+4 £ fk + 2 £ fk). liché k sudé k Obdobným postupem jako výše odvodíme, že celková chyba je odhadnuta výrazem / - /simp = ^(b - a)h4f4) + 0(h5), kde /(4) představuje odhad pro čtvrtou derivaci funkce /. Závěrem této kapitoly se zastavíme u dalších konceptů integrace. Jako první uvedeme modifikaci Riemannova integrálu, která bude později užitečná v úvahách o pravděpodobnosti a statistice. Ve výkladu vesměs už ale zůstaneme spíše v rovině poznámek a postřehů, zájemce o podrobný výklad bude muset vyhledat jiné zdroje. 6.50 | 6.48. Riemann-Stieltjesův integrál. Při naší představě o integraci jakožto sčítání nekonečně mnoha linearizovaných (nekonečně) malých přírůstků do plochy zadané funkcí f(x) jsme pominuli možnost, že bychom pro různé hodnoty x brali přírůstky různě vážně. To by jistě mohlo být na infinitesimální úrovni zajištěno záměnou diferenciálu dx za cp(x)dx pro nějakou vhodnou funkci cp. Takové chování jsme viděli např. při výpočtu délky parametrizované křivky v prostoru. Jistě si ale také umíme představit, že v některém bodě x0 je přírůstek do integrované veličiny dán jako >, af(xo) nezávisle na na velikosti přírůstku x. Třeba můžeme sledovat pravděpodobnost, že množství promile alkoholu v krvi řidiče při kontrole bude nejvýše x. S docela velkou pravděpodobností získáme hodnotu 0, tedy pro jakýkoliv integrální součet musí dílek obsahující nulu přispět i konstantním nenulovým příspěvkem, nezávisle na normě dělení. Takové chování neumíme namodelovat vynásobením diferenciálu dx nějakou reálnou funkcí. Místo toho můžeme zobecnit Riemannův integrál následovně: Zvolme na konečném intervalu [a, b] reálnou funkci g. Pro každé dělení H s reprezentanty §; a dělícími body a = xq, x\, ..., xn = b 350 KAPITOLA 6. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET definujeme Riemann-Stieltjesův integrální součet pro funkci f{x) takto: n SE = YJf^i){s(Xi)-gixi-l)). i=\ Řekneme pak, že Riemannův-Stieltjesův integrál /= f fix)dgix) J a existuje a má hodnotu /, jestliže pro každé reálné e > 0 existuje norma dělení 8 > 0 taková, že pro všechna dělení H s normou menší než 8 platí |5S-/| <€. Např., jestliže zvolíme na intervalu [0, 1] za g(x) po částech konstantní funkci s konečně mnoha body nespojitosti c\, ..., c t a „skoky" at = lim — lim pak Riemann-Stieltjesův integrál existuje pro každou spojitou / (x) a je roven /•i * /=/ f(x)dg(x) = y2aif(ck)-j° ,-=1 Stejnou technikou, jako jsme používali u Riemannova integrálu, lze i nyní zavést horní a dolní součty a horní a dolní Riemann-Stieltjesův integrál, které mají tu výhodu, že pro omezné funkce vždy existují a jejich hodnoty splývají právě, když existuje Riemann-Stieltjesův integrál ve výše uvedeném smyslu. Již u Riemannova integrálu jsme měli problém s integro-vatelností funkcí, které byly „příliš rozskákané". Technicky pro funkci g(x) na konečném intervalu [a, b] zavádíme její variaci vztahem n \arha g = sup £ \gixi) - g(xi-i)\ S i=\ kde supremum bereme přes všechna dělení H intervalu [a,b]. Pokud je supremum nekonečné, říkáme, že g(x) má neomezenou variaci na [a,b], v opačném případě říkáme, že je g funkce s omezenou variací na intervalu [a, b]. Podobně, jak jsme postupovali u Riemannova integrálu, můžeme docela snadno odvodit následující: Věta. Nechť fix) a gix) jsou reálné funkce na konečném intervalu [a, b]. (1) Pokud je gix) spojitě diferencovatelné, pak Riemannům integrál nalevo a Riemann-Stieltjesův integrál napravo existují současně a jejich hodnoty jsou si rovny b pb f(x)g'(x)dx = / fix)dgix) J a (2) Pokud je fix) spojitá a gix) má konečnou variaci, pak integrál fix)dgix) existuje. 351 E. STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE 3. NEKONEČNÉ ŘADY 6.51 | 6.49. Kurzweilův integrál. Posledním zastavením bude modifikace Riemannova integrálu, která i, napravuje nešťastné chování ve třetím bodu v odstavci 6.37, tj. limity neklesajících posloupností integrovatelných funkcí budou opět integrovatelné. Pak budeme moci i v těchto případech měnit pořadí limitního procesu a integrace, jak tomu bylo u stejnoměrné konvergence. Všimněme si napřed v čem je jádro problému. Intuitivně bychom měli předpokládat, že hodně malé množiny musí mít velikost nulovou, a tudíž by změny hodnot funkcí na takovýchto množinách neměly ovlivnit integraci. Navíc, spočetné sjednocení takových „pro integraci zanedbatelných" množin by mělo mít opět velikost nulovou. Z toho bychom tedy čekali, např. množina racionálních čísel uvnitř konečného intervalu bude mít takovouto vlastnost a tedy její charaktersitická funkce by měla být integrovatelná a hodnota takového integrálu má být nulová. Řekneme, že množina A c M má nulovou míru, když pro každé e > 0 můžeme najít pokrytí množiny A spočetným systémem otevřených intervalů Jt, i = 1,2, ..., takových, že oo ^m(Ji) < e. i=\ V dalším budeme vždy výrokem „funkce / má na množině B danou vlastnost skoro všude" myslet skutečnost, že má / tuto vlastnost ve všech bodech, až na podmnožinu A c B míry nula. Např. tedy charakteristická funkce racionálních čísel je skoro všude nulová, po částech spojitá funkce je skoro všude spojitá atd. Chtěli bychom nyní modifikovat definici Riemannova integrálu tak, abychom uměli při volbě dělení a příslušných Ri-emannových součtů eliminovat neblahý vliv hodnot integrované funkce na předem známé množině míry nula. Nabízí se zkusit zajistit, aby dílky v uvažovaných děleních s reprezentanty měly tu vlastnost, že kolem bodů takovéto množiny budou kontrolovatelně malé. Kladnou reálnou funkci 8 na konečném intervalu [a, b] nazýváme kalibr. Dělení H intervalu [a,b] s reprezentanty nazýváme á-kalibrované, jestliže pro všechna i platí - 8&) < jcť_i < & < Xi < & + 8&). Pro další postup je podstatné ověřit, že ke každému kalibru 8 lze najít nějaké á-kalibrované dělení s reprezentanty. Tomuto tvrzení se říká Cousinovo lemma a lze jej dokázat např. obvyklým postupem opřeným o vlastnosti suprem. Pro daný kalibr 8 na [a, b] si označíme M množinu všech bodů x e [a, b] takových, že na [a, x] lze á-kalibrované dělení s reprezentanty najít. Jistě je M neprázdná a ohraničená a má tedy supremum s. Kdyby s ^ b, pak bychom uměli najít kalibrované dělení s reprezentantem v s a to vede na spor. Nyní již můžeme zavést zobecnění Riemannova integrálu takto: 352 KAPITOLA 6. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET Dennice. Funkce / definovaná na konečném intervalu [a, b] má Kurzweilův integrál -b f(x)dx, f Ja jestliže pro každé e > 0 existuje kalibr S takový, že pro každé á-kalibrované dělení s reprezentanty H platí pro příslušný Riemannův součet Se odhad | Se — 11 < e. 6.50. Vlastnosti Kurzweilova integrálu. Předně si povšimly něme, že jsme při definici Kurzweilova integrálu jen omezili množinu všech dělení, pro které Riemannovy součty bereme v úvahu. Pokud tedy bude naše funkce Riemannovsky inte-grovatelná, musí mít nutně i Kurzweilův integrál a tyto dva integrály jsou si rovny. Ze stejného důvodu můžeme zopakovat argumentaci ve Větě 6.24 o jednoduchých vlastnostech Riemannova integrálu a opět ověřit, že se stejně chová i integrál Kurzweilův. Tj., lineární kombinace integrovatelných funkcí cf(x) + dg(x) je opět integrovatelná a její integrál je c f(x)dx + d f% g (x)dx atd. Při důkazu je potřeba jen promyslet drobné modifikace při diskusi zjemněných dělení, která navíc mají být á-kalibrovaná. Podobně lze rozšířit pro případ monotóních posloupností bodově konvergentních funkcí argumentaci ověřující, že limity stejnoměrně konvergující posloupnosti integrovatelných funkcí /„ jsou opět integrovatelné a integrálem limity je limita hodnot integrálů /„. Věta. Uvažme funkci f na intervalu [a,b], která je skoro všude nulová. Pak Kurzweilův integrál fh f(x)d(x) existuje a je roven nule. Důkaz. Jde o pěknou ilustraci myšlenky, že se můžeme zbavit vlivu hodnot na malé množině pomocí chytré volby kalibru. Označme si M příslušnou množinu míry nula, vně které je f(x) = 0 a pišme Mk c [a, b], k = 1, ..., pro podmnožinu bodů, pro které je k — 1 < \f(x)\ < k. Protože má každá s množin Mk nulovou míru, můžeme ji pokrýt spočetným systémem v součtu libovolně malých a po dvou disjukntních otevřených intervalů Jki. Definujme si nyní kalibr 8(x) pro x e Jki tak, aby celé intervaly (x—8(x), x+8(x)) byly stále obsaženy v Jkj. Mimo množinu M pak 8 dodefinujeme libovolně. Pro á-kalibrované dělení H intervalu [a, b] pak můžeme odhadnout příslušný Riemannův součet n-l ^ f(Š„)(xi + 1 - Xi) = ^ f(Š„)(xi + 1 - Xi) n-l 7=0 oo n — 1 7=0 - ji ji |/(&)| (*« + ! k=l j=0 353 E. STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE 3. NEKONEČNÉ ŘADY oo / n — l \ k=l ^ j=0 ' Pokud tedy pro předem známé e chceme dosáhnout, aby tento odhad byl menší než e, stačí volit pokrytí intervaly Jkj tak, aby oo 7=1 Pak totiž v posledním výrazu v našem odhadu můžeme dosadit za vnitřní sumu, sečíst geometrickou řadu YlkLi 2~k a dostaneme právě prožadované e. □ Důsledek. Kurzweilovskou integrovatelnost dané funkce f(x) ani hodnotu jejího integrálu nezměníme, pozměníme-li hodnoty f(x) na množině míry nula. 6.51. Vztah Kurzweilova, Newtonova a Lebesgueova integrálu. K dokončení.... absolutně spojité funkce, vztah neurčitého integrálu a antiderivace intergrace v absolutní hodnotě Lebesgueův integrál 354 KAPITOLA 6. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET F. Doplňující příklady k celé kapitole 6.49. Vyšetřete průběh funkce (tj. mimo jiné najít extrémy, inflexní body, asymptoty) a načrtněte její graf. Řešení. Def. obor M+, globálni maximum x = e, infl. bod x = Vě3", rostoucí na int (0, e), klesající na (e, oo), konkávni (0, Vě3, konvexní (Vě3, oo), asymptoty x = 0 a y = 0, lini^o f (x) = — oo, lim^oo f (x) = 0. □ 6.50. Vyšetřete průběh funkce (mimo jiné najít extrémy, inflexní body, asymptoty). ln(x2 - 3x + 2) + x. Řešení. Def. obor M \ (1, 2). Lokální maximum x = , na celém def. oboru konkávni, asymptoty x = 1, x = 2. □ 6.51. Vyšetřete průběh funkce (mimo jiné najít extrémy, inflexní body, asymptoty). ln(x2 - 3x + 2) + x. Řešení. Def. obor M \ (1, 2). Lokální maximum x = , na celém def. oboru konkávni, asymptoty x = 1, x = 2. □ 6.52. Vyšetřete průběh funkce (mimo jiné nalezněte extrémy, inflexní body a asymptoty): (x2-2)ex2~1. Řešení. Def. obor M. Lokální minima v —1, 1, maximum v 0. Funkce sudá. Inflexní body ±-75» bez asymptot. □ 6.53. Vyšetřete průběh funkce (mimo jiné nalezněte extrémy, inflexní body a asymptoty): ln(2x2 — x — 1). Řešení. Def. obor M \ (—^, 1). Glob. extrémy nemá. Bez inflexních bodů, asymptoty x = — j, x = 1. □ 6.54. Vyšetřete průběh funkce (mimo jiné nalezněte extrémy, inflexní body a asymptoty): x2-2 x - 1 Integrováni Řešení. Def. obor M \ {1}. Bez extrémů. Bez infl. bodů, na int. (—00, 1) konvexní, (1, 00) konkávni, Asymptota bez směrnice x = 1. Asymptota se směrnicí y = x + 1. □ 6.55. Spočtěte neurčitý integrál / x4 + 3x3 + 5x2 + 4x +2 dX' 355 F. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 3. NEKONEČNÉ ŘADY 6.56. 6.57. Vypočtěte integrál sin (ŕ) ZL 1 — COS2 X 4 dr. 6.58. Vypočtěte integrál .ln(2) dx f JO 6.59. Vypočtěte: 7t_ i) f02 sin x sin 2x dx ii) f sin2 x sin 2x dx Řešení. 0 \ 11) t sin x □ 6.60. Vyčíslete cos ^ s chybou menší než 10~5. 6.67. Pro konvergentní řadu 00 «=0 odhadněte chybu aproximace jejího součtu částečným součtem s$ 999. 6.62. Bez počítání derivací uvedte Taylorův polynom 4. stupně se středem v bodě x0 = 0 funkce f(x) = cos x — 2 sinx — ln (1 + x) , x € (— 1, 1). Poté rozhodněte, zdaje graf funkce / v okolí bodu [0, 1] nad tečnou, pod tečnou. 6.63. Rozviňte funkci y = 3^27' * e (-!-§) v Taylorovu řadu se středem v počátku. 6.64. Funkci y = ď definovanou na celé reálné přímce vyjádřete jako nekonečný polynom se členy tvaru an(x — \)n a funkci y = 2X definovanou na M vyj ádřete j ako nekonečný polynom se členy an xn. 6.65. Nalezněte funkci /, k níž pro x € R konverguje posloupnost funkcí Je tato konvergence stejnoměrná na M? 6.66. Konverguje řada 00 ľ^ri, kde x e R, n = \ stejnoměrně na celé reálné ose? 6.67. Z Taylorova rozvoje se středem v počátku funkce y = sinx získejte pomocí derivace Taylorův rozvoj funkce y = cos x. 6.68. Odhadněte 356 KAPITOLA 6. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET (a) kosinus deseti stupňů s přesností alespoň 10 5; (b) určitý integrál JQ1/2 ^q-j- s přesností alespoň 10~3. 6.69. Určete mocninný rozvoj se středem v bodě x0 = 0 funkce X f(x) = § é dt, x € R. o 6.70. Najděte analytickou funkci, jejíž Taylorova řada je JC ^ JC I ^ JC -j JC I * * přičemž x e [—1, 1]. 6.71. Ze znalosti součtu geometrické řady odvodíte Taylorovu řadu funkce y = 5+2x DOo I se středem v počátku. Poté určete její poloměr konvergence. 6.72. Nechť je pohyb tělesa (dráha hmotného bodu) popsán(a) funkcí s(ř) = -(ř - 3)2 + 16, f e [0,7] v jednotkách m, s. Stanovte (a) počáteční (tj. v čase t = 0 s) rychlost tělesa; (b) čas a polohu, ve kterých má těleso nulovou rychlost; (c) rychlost a zrychlení tělesa v čase t = 4 s. Doplňme, že rychlost je derivace dráhy a zrychlení je derivace rychlosti. 6.73. Zvolte rozměry otevřeného bazénu se čtvercovým dnem o objemu 32 m3 tak, aby na natření jeho stěn a dna bylo potřeba nejmenší množství barvy. 6.74. Číslo 28 rozložte na 2 nezáporné sčítance tak, aby součet druhé mocniny prvního sčítance a třetí mocniny druhého sčítance byl minimální. 6.75. Pomocí první derivace nalezněte reálné číslo a > 0, pro které je součet a + l/a minimální. Poté tuto úlohu řešte bez použití diferenciálního počtu. 6.76. Vepište do půlkruhu o poloměru r obdélník s nej větším možným obvodem. Uvedlte jeho obvod. 6.77. Existuje-li mezi obdélníky o obvodu 4c obdélník s maximálním obsahem, stanovte délky jeho stran. 6.78. Zjistěte výšku v a poloměr podstavy r nejobjemnějšího kužele, který se vejde do koule o poloměru R. 6.79. Ze všech trojúhelníků s konstantním obvodem o > 0 vyberte ten, jenž má největší obsah. 6.80. Na parabole 2x2—2y = 9 najděte body s minimální vzdáleností od počátku soustavy souřadnic. 6.81. Vaším úkolem je vyrobit jednolitrovou plechovou konzervu „obvyklého" tvaru rotačního válce tak, aby na její výrobu bylo potřeba co nejméně plechu. Určete správný poměr mezi její výškou v a poloměrem podstavy r. 6.82. Stanovte obsah rovinného obrazce vymezeného grafem funkce f(x) = ei + e~2 a přímkami 357 F. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 3. NEKONEČNÉ ŘADY y = 0, X = —2, X =2. 6.83. Zjistěte, jaký obsah má omezený obrazec s hranicí tvořenou parabolou y = x2+2x—3 aosoux. 6.84. Určete obsah S oblasti ohraničené křivkami y = e~2x — 1, y = e~x + 1, X = 0. 6.85. Vypočtěte obsah ohraničeného rovinného obrazce vymezeného křivkami y2 = x3, y2 = 8(6 — x)3. 6.86. V jakém poměru jsou obsahy 2 částí kruhu x2 + y2 < 8 oddělené parabolou y2 = 2x1 6.87. Hmotný bod se pohybuje po přímce v jednom směru, a to rychlostí v(t) = j±£, t e [-1, 1]. Jakou dráhu urazí mezi časovými okamžiky t\ = — 1, ř2 = 1 ? 6.88. Nechť je dána válcová nádrž na dešťovou vodu s průměrem podstavy 1 m a výškou 2 m, která je naplněna po okraj. Vznikne-li v jejím dně kruhový otvor o průměru 1 cm, přibližně určete, za jak dlouho z ní veškerá voda vyteče. Je znám vztah pro rychlost vytékání v = c~Jh, kde h je výška hladiny kapaliny a c je konstantní s experimentálně zjištěným rozsahem hodnot 2, 65 < c < 2, 7. 6.89. Stanovte obsah S neomezené oblasti s hranicí tvořenou grafem funkce y = XT^, X € [2, +00) a přímkami x = 2, y = 0. 6.90. Spočítejte délku jedné větve prosté cykloidy při poloměru zadávající kružnice r > 0, tj. délku křivky f(t) = r(t - siní), g(t) = r(l - cosi), t e [0, 2jt]. 6.91. Určete délku grafu funkce f(x) = ln (cosx) na intervalu [0, a], přičemž 0 < a < jt/2. 6.92. Vypočtěte délku grafu funkce coshx = e% +e x na intervalu [—1,2]. 6.93. Spočtěte délku s grafu funkce y = ln (l — x2) pro x e [0, 1/2]. 6.94. Stanovte objem V tělesa vzniklého otáčením plochy ohraničené grafy funkcí f(x) =2x — x2 a g(x) =0 kolem osy x. 6.95. Vypočítejte objem tělesa vymezeného eliptickým paraboloidem r2 v2 Z = — + — a rovinou z = 1 - 6.96. Určete objem tělesa ohraničeného plochou, která vznikne rotací křivky xy + 1 = x2 + y2 okolo x-ové osy. 6.97. Pomocí určitého integrálu odvodíte vzorce pro objem V a obsah pláště S rotačního komolého kužele s podstavami o poloměrech n ar2a výškou v. 6.98. Vypočtěte obsah pláště rotačního tělesa vzniklého rotací kolem osy x plochy ohraničené grafem 3 funkce y = osou x a přímkou x = 2. 358 KAPITOLA 6. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET 6.99. Stanovte obsah plochy, která vznikne otáčením části křivky y2 = 2x vyťaté přímkou 2x = 3 okolo x-ové osy. 6.100. Stanovte obsah rovinného obrazce vymezeného grafem funkce f (x) = ei + e"5 a přímkami y = 0, x = —2, X =2. 6.101. Zjistěte, jaký obsah má omezený obrazec s hranicí tvořenou parabolou y = x2 + 2x — 3 a osou x. 6.102. Určete obsah S oblasti ohraničené křivkami y = e~2x — 1, y = e~x + 1, x = 0. 6.103. Vypočtěte obsah ohraničeného rovinného obrazce vymezeného křivkami y2 = x3, y2 = 8(6 - x)3. 6.104. V jakém poměru jsou obsahy 2 částí kruhu x2 + y2 < 8 oddělené parabolou y2 = 2x? 6.105. Hmotný bod se pohybuje po přímce v jednom směru, a to rychlostí u(0 = f$, f e [-1,1]-Jakou dráhu urazí mezi časovými okamžiky t\ = — 1, t2 = 1? 6.106. Nechť je dána válcová nádrž na dešťovou vodu s průměrem podstavy 1 m a výškou 2 m, která je naplněna po okraj. Vznikne-li v jejím dně kruhový otvor o průměru 1 cm, přibližně určete, za jak dlouho z ní veškerá voda vyteče. Je znám vztah pro rychlost vytékání v = c~Jh, kde h je výška hladiny kapaliny a c je konstantní s experimentálně zjištěným rozsahem hodnot 2, 65 < c < 2, 7. 6.107. Stanovte obsah S neomezené oblasti s hranicí tvořenou grafem funkce y = X € [2, +00) a přímkami x = 2, y = 0. 6.108. Spočítejte délku jedné větve prosté cykloidy při poloměru zadávající kružnice r > 0, tj. délku křivky f(t) = r(t - siní), g(t) = r(l - cosi), t e [0, 2jt]. 6.109. Určete délku grafu funkce f(x) = ln (cosx) na intervalu [0, a], přičemž 0 < a < n/2. 6.110. Vypočtěte délku grafu funkce coshx = e%+2e x na intervalu [—1,2]. 6.111. Spočtěte délku s grafu funkce y = ln (l — x2) pro x e [0, 1/2]. 6.112. Stanovte objem V tělesa vzniklého otáčením plochy ohraničené grafy funkcí f(x) =2x — x2 a g(x) = 0 kolem osy x. 6.113. Vypočítejte objem tělesa vymezeného eliptickým paraboloidem z = x- + y- <■ 4 t 4 359 F. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 3. NEKONEČNÉ ŘADY a rovinou z = 1. 6.114. Určete objem tělesa ohraničeného plochou, která vznikne rotací křivky xy + 1 = x2 + y2 okolo x-ové osy. 6.115. Pomocí určitého integrálu odvoďte vzorce pro objem V a obsah pláště S rotačního komolého kužele s podstavami o poloměrech n ar2a výškou v. 6.116. Vypočtěte obsah pláště rotačního tělesa vzniklého rotací kolem osy x plochy ohraničené gra- 3 fem funkce y = osou x a přímkou x = 2. 6.117. Stanovte obsah plochy, která vznikne otáčením části křivky y2 = 2x vyťaté přímkou 2x = 3 okolo x-ové osy. 6.118. Nechť je pohyb tělesa (dráha hmotného bodu) popsán(a) funkcí s(ř) = -(ř - 3)2 + 16, f e [0,7] v jednotkách m, s. Stanovte (a) počáteční (tj. v čase t = Os) rychlost tělesa; (b) čas a polohu, ve kterých má těleso nulovou rychlost; (c) rychlost a zrychlení tělesa v čase t = 4 s. Doplňme, že rychlost je derivace dráhy a zrychlení je derivace rychlosti. 6.119. Stanovte obsah rovinného obrazce vymezeného grafem funkce /(*) = é +e"2 a přímkami y = 0, X = —2, X = 2. 6.120. Zjistěte, jaký obsah má omezený obrazec s hranicí tvořenou parabolou y = x2 + 2x — 3 a osou x. 6.121. Určete obsah S oblasti ohraničené křivkami y = e~2x — 1, y = e~x + 1, x = 0. 6.122. Vypočtěte obsah ohraničeného rovinného obrazce vymezeného křivkami y2 = x3, y2 = 8(6 -x)3. 6.123. V jakém poměru jsou obsahy 2 částí kruhu x2 + y2 < 8 oddělené parabolou y2 = 2x? 6.124. Hmotný bod se pohybuje po přímce v jednom směru, a to rychlostí v(t) = j±£, t e [-1, 1]. Jakou dráhu urazí mezi časovými okamžiky t\ = — 1, t2 = 1 ? 6.125. Nechť je dána válcová nádrž na dešťovou vodu s průměrem podstavy 1 m a výškou 2 m, která je naplněna po okraj. Vznikne-li v jejím dně kruhový otvor o průměru 1 cm, přibližně určete, za jak dlouho z ní veškerá voda vyteče. Je znám vztah pro rychlost vytékání v = cVh, kde h je výška hladiny kapaliny a c je konstantní s experimentálně zjištěným rozsahem hodnot 2, 65 < c < 2, 7. 6.126. Stanovte obsah S neomezené oblasti s hranicí tvořenou grafem funkce y = XT^, X € [2, +00) 360 KAPITOLA 6. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET a přímkami x = 2, y = 0. 6.127. Spočítejte délku jedné větve prosté cykloidy při poloměru zadávající kružnice r > 0, tj. délku křivky f(t) = r(t - siní), g(t) = r(l - cosi), t e [0, 2jt]. 6.128. Určete délku grafu funkce f(x) = ln (cosx) na intervalu [0, a], přičemž 0 < a < jt/2. 6.129. Vypočtěte délku grafu funkce coshx = 6-1+e x na intervalu [—1,2]. 6.130. Spočtěte délku s grafu funkce y = ln (l — x2) pro x e [0, 1/2]. 6.131. Stanovte objem V tělesa vzniklého otáčením plochy ohraničené grafy funkcí f(x) =2x — x2 a. g(x) = 0 kolem osy x. 6.132. Vypočítejte objem tělesa vymezeného eliptickým paraboloidem r2 v2 7 = — + — <■ 4 t 4 a rovinou z = 1. 6.133. Určete objem tělesa ohraničeného plochou, která vznikne rotací křivky xy + 1 = x2 + y2 okolo x-ové osy. 6.134. Pomocí určitého integrálu odvodíte vzorce pro objem V a obsah pláště S rotačního komolého kužele s podstavami o poloměrech r\ a r2 a výškou u. 6.135. Vypočtěte obsah pláště rotačního tělesa vzniklého rotací kolem osy x plochy ohraničené gra- 3 fem funkce y = y, osou x a přímkou x = 2. 6.136. Stanovte obsah plochy, která vznikne otáčením části křivky y2 = 2x vyťaté přímkou 2x = 3 okolo x-ové osy. 361 F. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 3. NEKONEČNÉ ŘADY Řešení cvičení 6.11. -x~ 00 o2«-l (2n)l 1=0 konverguje pro libovolné reálné x. 6.72. (2«)! «=1 konverguje pro libovolné reálné x. 6.75. Á—' n n = l konverguje pro x e (—1, 1). 6.55. \ ln(x2 + 2x + 2) - \ InCx2 + x + 1) + ±V3arctan (í?_i^l^ + c. 657 llní2+ln(2)"> 6.58. _I-|ln(2). „2 v* 6 60 \__2__I__-_ 0.0(7. 1 1Q2 2 + 1Q4 4, . 6.67. Chyba náleží do intervalu (O, 1/200). 6.62. 1 — 3x + 23x4' nad tečnou. 6.63. \\ZZS*n- 6-64. X:-0^(x-l)«;i:~0^x". 6.65. f(x) — x,x e M; ano. 6.66. Nikoli. 6 67 V"°° r2" °-0/- 2-.n=0 (2n)! ^ ' 1 1 6.70. y = arctg x. 6.77. Právě pro x € (—|, |^ je 1 _ _i 5+2;t ~~ 5 x"- 6.72. (a) u(0) = 6 m/s; (b) ŕ = 3 s, s(3) = 16 m; (c) u(4) = -2 m/s, a(4) = -2 m/s2 6.75. 4 m x 4 m x 2 m. 6.74. 28 = 24 + 4. 6.75. a = 1. 6.76. 2 VŠ r. 6.77. Jedná se o čtverec (s délkou strany c). 6.78. u = f Ä, r = ^R. 6.79. Nejvétší obsah V3 o2/36 má rovnostranný trojúhelník. 6.80. [2, -1/2], [-2, -1/2]. 6.57. u = 2r. 6.52. 4 (e-e-1). 6.55. 32/3. 6.84. S = ln 4- 1/2. 362 KAPITOLA 6. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET 6.85. 192/5. 6.86. (tt + 2/3) ku (3tt - 2/3). 6.87. tt/2. 6.88. Přibližně za 3 hodiny. 6.89. 5 = § ln2. 6.90. 8r. 6-97.iln|±f^ = ln(tg (f + £)). 6.92. (e2 + e-e"2 - e"1) /2. 6.93. í = ln 3 - 1/2. 6.94. V = 16tt/15. 6.95. 2tt. 6.96. 8tt/3. 6.97. V = i Tru (r2 + nr2 + r2); 5 = jr(n + r2)yV + (r2-rx)2. 6.98. 271(^5^ - l)/9. 6.99. 14tt/3. 6.700. 4 (e-e"1). 6.707. 32/3. 6.702. S = ln4- 1/2. 6.703. 192/5. 6.704. (tt + 2/3) ku (3tt - 2/3). 6.705. tt/2. 6.106. Přibližně za 3 hodiny. 6.107. S = §ln2. 6.708. 8r. 6.i09.^ In ^=ln (tg (f + f)). 6.770. (e2 + e-e"2 -e"1) /2. 6.777. í = ln 3- 1/2. 6.772. V = 16tt/15. 6.773. 2tt. 6.774. 8tt/3. 6.775. V = ^(r2 +r,r2 + >~); S = 7r(n + r2)v/v2 + (r2 - n)2- 6.776. 2jr(V5I- l)/9. 6.777. 14tt/3. 6.778. (a) v(0) = 6m/s; (b) ř = 3 s, s(3) = 16m; (c) u(4) = -2m/s, a(4) = -2m/s2. 6.779. 4 (e-e"1). 6.720. 32/3. 6.727. S = ln4- 1/2. 6.722. 192/5. 6.723. (?r + 2/3) ku (3tt - 2/3). 6.724. tt/2. 6.125. Přibližně za 3 hodiny. 6.726. S = |ln2. 6.727. 8r. 6.J2S.£ln£gf = ln(tg (f + f)). 6.729. (e2 + e - e"2 - e"1) /2. 363 F. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 3. NEKONEČNÉ ŘADY 6.730. 5 = ln 3 - 1/2. 6.737. V = 16JT/15. 6.732. 2tt. 6.733. 8tt/3. 6.734. V = 5- 7tv (/f + nr2 + řf); S = jr(n + nVu2 + (r2 - n)2. 6.735. 27r(v/5T - l)/9. 6.736. 14tt/3. 364 KAPITOLA 7 Spojité modely jak úspěšně zachytit nelinární změny? — pořádně šije lineárně přibližme... V této kapitole se budeme snažit podat stručné náznaky, jak lze relativně jednoduše používat nástroje diferenciálního a integrálního počtu. V jistém smyslu půjde o postupy a nástroje podobné, jako jsme již viděli v kapitole třetí. Jen místo konečně rozměrných vektorů budou naše objekty nebo jejich stavy často prezentovány pomocí funkcí. V první části budeme aproximovat funkce pomocí předem pevně zvolených sad generátorů. V zásadě budeme ideově pokračovat v postupech, které známe z konce třetí části druhé kapitoly. Poté se budeme zabývat integrálními operacemi, tj. lineárními operátory definovanými na funkcích pomocí integrování. 1. Aproximace pomocí Fourierových řad 7.1. Vzdálenosti funkcí. Zvolme si pevně nějaký interval I = [a, b], konečný nebo nekonečný. Koncept integrování můžeme velice intuitivním způsobem využít pro vyjádření vzdálenosti funkcí definované na I: Pro každé dvě (reálné nebo komplexní) funkce /, g na I zkusíme definovat jejich vzdálenost || / — g || jako plochu oblasti vymezené mezi jejich grafy, tj. Samozřejmě je třeba předpokládat, že tento Riemannův integrál existuje. Velikost || /1| funkce / je pak její vzdálenost od funkce nulové, tj. Pro jednoduchost budeme pracovat s množinou S = S[a, b] omezených a po částech spojitých reálných funkcí na I, ale úvahy lze rozšiřovat podle potřeby (často ale za cenu značné technické námahy). Z námi již dokázaných vlastností integrování je okamžitě vidět, že S je vektorový prostor a že námi právě uvažovaná velikost je odvozena z dobře definovaného symetrického bi-lineárního zobrazení které má všechny vlastnosti skalárního součinu. V koneč-něrozměrném případě jsme takto definovali velikost vektorů Wff 365 1. APROXIMACE POMOCÍ FOURIEROVÝCH ŘAD e 7 . 1 7.2 v odstavci 2.40. Nyní je to naprosto stejné a pokud zúžíme naši definici na vektorový prostor generovaný nad reálnými čísly jen konečně mnoha funkcemi fi, ..., fk, dostaneme opět dobře definovaný skalární součin na tomto konečněroz-měrném vektorovém podprostoru. Jako příklad uvažme funkce /) = x1, i = 0, ..., k. Jimi je v S generován (k + l)-rozměrný vektorový podpro-stor Mj- [x] všech polynomů stupně nejvýše k. Skalární součin dvou takových polynomů je dán integrálem. Každý polynom stupně nejvýše k je vyjádřen jednoznačným způsobem jako lineární kombinace generátorů /o, ..., Pokud by navíc naše generátory měly tu vlastnost, že (7.1) (fi,fj) pro i £ j pro i = j jde o tzv. ortonormální bázi. Připomeňme si v této souvislosti proceduru Grammovy-Schmidtovy ortogonalizace, viz 2.42, která z libovolného systému generátorů /)■ vytvoří nové ortogonální generátory gt téhož prostoru, tj. (gt, gj) = Opro všechny i ^ j. Spočteme je přitom postupně jako g\ = f\ a formulemi r , , ifl + l,gi) gi+i = Ji+i + a\g\ H-----1" a-tgi, a-i =---—jjy- lláíí II pro i > 1. Aplikujme tuto proceduru na první tři polynomy 1, x, x2 na intervalu [—1, 1]. Dostaneme gi = 1, g2 £3 lil2/-! — í ?l\\2J- x ■ 1 dx ■ 1 x2 ■ 1 dx ■ 1 0 — ľ IISlII2 J-, Příslušná ortogonální báze prostoru m2m na intervalu [—1,1] je tedy l,x, x2 — 3. Normalizací, tj. vhodným násobením skalárem tak, aby prvky v bázi měly velikost jedna dostaneme ortonormální bázi I* h-. 1 /5 Takovým ortonormálním generátorům dreovy polynomy. 1)- k [x] se říká Legen- 7.2. Ortogonální systémy funkcí. Připomeňme si výhody, které ortonormální báze podprostoru měly pro konečněroz-měrné vektorové prostory. Můžeme pokračovat v předchozím příkladu polynomů a uvažovat třeba V = [x] pro libovolné k > 2. Pro libovolnou funkci h e V bude funkce H = (h, hx)hi + {h, h2)h2 + (h, h3)h3 jednoznačně určenou funkcí, která minimalizuje vzdálenost II h — HII mezi všemi funkcemi v l^M- Koeficienty pro nej-lepší aproximaci zadané funkce pomocí funkce z vybraného podprostoru je možné tedy získat prostě integrací. 366 KAPITOLA 7. SPOJITÉ MODELY Uvedený příklad podbízí následující zobecnění: Když provedeme proceduru Grammovy-Schmidtovy ortogonali-zace pro všechny monomy 1, x, x2, ..., tj. pro spočetný systém generátorů, co z toho vznikne? Nebo ještě obecněji - co se stane, když zvolíme úplně libovolný spočetný systém lineárně nezávislých funkcí v S takový, že každé dvě různé z nich mají nulový skalární součin? Takovému systému funkcí na intervalu / říkáme ortogonální systém funkcí. Jestliže jsou všechny funkce /„ v posloupnosti po dvou ortogonální a zároveň je pro všechna n velikost || /„ || = 1 normovaná, hovoříme o ortonormálním systému funkcí. Nechť tedy tvoří posloupnost funcí /„ ortogonální systém po částech spojitých funkcí na intervalu / = [a, b] a předpokládejme, že pro konstanty c„ konverguje řada F(x) = ^cnfn «=i stejnoměrně na /. Pak snadno vyjádříme skalární součin (F, fn) po jednotlivých sčítancích (viz Důsledek 6.43) a dostaneme -b (Ffn) y,Cm i i J a m = \ fm(x)fn(x)dx = C„\\f„\ Máme tedy tušení, v jakou přibližně odpověď je možné doufat, a docela přehledně nám ji skutečně dává následující věta: 7 . 3 7.3. Věta. Nechť f„, n = 1, 2, ..., je ortogonální posloupnost funkcíRiemannovsky integrovatelných na I = [a, b] a nechť g je libovolná funkce Riemannovsky integrovatelná na I. Označme ŕ \fn\r2 fn J a (x)g(x) dx. (1) Pro libovolné pevné n e N má ze všech lineárních kombinací funkcí f\, ..., /„ nejmenší vzdálenost od g výraz n i=\ (2) Rada čísel 2~2T=i c«H/« II2 vždy konverguje a platí oo I>*ll/J2< Hsll2- n = l (3) Vzdálenost g od částečných součtů s^ = 2~2n=i cnfn jde v limitě k nule, tj. lim ||s-s,||2 0, k^oo tehdy a jen tehdy, když ii«i n = \ Ještě než se pustíme do důkazu, zkusíme lépe porozumět významu jednotlivých tvrzení této věty. Protože pracujeme s úplně libovolně zvoleným ortogonálním systémem 8.1. V prostoru reálných funkcí na intervalu (1, 2), je dán vektorový podprostor (x2, 1/x). Doplňte funkci 1/x na jeho ortogonální bázi a určete kolmou projekci funkce x na tento podprostor. Řešení. Nejprve doplníme funkci 1 /x na ortogonální bázi. Jedním z vektorů báze tedy bude funkce 1 /x. Uvažovaný vektorový prostor je generován dvěma lineárně nezávislými funkcemi, bude tedy mít dimenzi 2 (a všechny vektory v něm jsou tvaru a-^ +b-x2, kde a, b e M). Zbývá nám tedy najít pouze ještě jeden vektor báze, který bude kolmý na funkci f\ = 1 /x. Podle Grammova-Schidtova ortogonalizačního procesu (viz 2.42) ho hledáme ve tvaru f2 = x2 + k ■ k e M. Reálnou konstantu k určíme z podmínky kolmosti: 1 , 11, 11 JC JC JC JC JC tedy L, x2) r 1 ' x x f2l--x2áx J 1 x f2 L ■Jl x 21.1 1 x x Hledaná ortogonální báze tedy je (-, x2 — -). Nyní spočítáme pro- jekci px funkce x na tento podprostor (viz (2.3)): x, ±) 1 + x x +■ {x,x2-\) 'x2 -3-,x2-3-)- {X2 - 3-) x x x' 2 15 j 3 x 34 x □ 8.2. Uvažujme reálný vektorový prostor funkcí na intervalu [1, 2] generovaný funkcemi -, \, -\. Doplňte funkci - na ortogonální bázi x x x x tohoto prostoru. Řešení. Gramm-Schmidtovým ortogonalizačním procesem s daným skalárním součinem: fi(x) = \, f2(x) = ± - f3(x) = ± - ^ + 24x' ^ 367 1. APROXIMACE POMOCÍ FOURIEROVÝCH ŘAD 8.3. Určete projekce funkcí a x na vektorový prostor z příkladu 3. Určete vzdálenosti od tohoto vektorového prostoru. Řešení. Projekce jz %f\ + %fi + \ f?,, vzdálenost Projekce x : 2f\ + (-§ +ln(2))/2 + (-| ln(2) + H)/3, vzdálenost cca 0,03496029493. Vidíme, že vzdálenost funkce, která má podobný průběh jako generátory, je menší. 8.4. Určete konvoluci f\ * f2 funkcí fi = □ h 1 — x pro x e (—2, 1) 0 jinak 1 pro x e (0, 1) 0 jinak 8.5. Nalezněte Fourierovu transformaci F(f) = f funkce /(ř) = sgnř, ře(-l,l); f(t) = 0, íěE\(-1,1), tj. /(0) = 0, f(t) = 1 pro t e (0, 1) a /(ř) = -1 pro t e (-1, 0). Řešení. Fourierova transformace uvedené funkce je 2Jr / /(0< / sgn ř (cos () = Tyfe / -» sin (<»0 dt = ^ COS(ŕtíť) j / 2_ cos ŕfj— 1 Kdybychom přímo využili známé vyjádření Fourierovy transformace liché funkce /, snadněji bychom obdrželi 21 f f (t) sin(tt)ř) dt = -ji= f sin(tt)ř) dt ^ 12_ cos oj—l □ 8.6. Popište Fourierovu transformaci F{f) funkce f(t)=e-ař, ř6K, kde a > 0. Řešení. Naším úkolem je vypočítat 1 f e~at e~iCút dt. funcí, nemůžeme očekávat, že lze dobře aproximovat jakoukoliv funkci pomocí lineárních kombinací funkcí ft. Např. když se omezíme u ortogonálních polynomů pouze na sudé stupně, určitě budeme dobře aproximovat pouze sudé funkce. Nicméně hned první tvrzení nám říká, že vždycky budeme dosahovat nejlepší možné aproximace částečnými součty. Druhé a třetí tvrzení pak můžeme vnímat jako analogii ke korným průmětům do podprostorů vyjádřených pomocí souřadnic. Skutečně, že pokud k dané funkci g bodově konverguje řada F(x) = Y^=i cnfn, pak je funkce F(x) kolmým průmětem g do vektorového podprostorů všech takovýchto řad. Na druhé straně ale naše věta neříká, že by částečné součty uvažované řady musely bodově konvergovat k nějaké funkci. Tj. řada F(x) nemusí být obecně konvergentní ani v případě, kdy nastane rovnost v (3). Pokud ale např. existuje konečná hodnota Y^=i \ci \ a všechny funkce /„ jsou stejnoměrně omezené na I, pak zřejmě řada F(x) konverguje v každém x. Důkaz. Zvolme libovolnou lineární kombinaci / = 2~2n=i anfn & spočtěme její vzdálenost od g. Dostáváme k „h , k s 2 \\g - Ea"/"H2 = / \S ~^2,anfn \ dx Ja ^ n=l ' /b pb k Ch í K \L g2dx-2 ^2anfngdx + / í '^anfn I dx Ja n = \ Ja % = 1 ' k k = \\gf-2 J2a«c« + }2a«\\f«\\2 «=1 «=1 k « = 1 Wgf+ J2^f^2((c" -anf-c2n). n = \ Evidentně lze poslední výraz minimalizovat právě volbou an = cn a tím je první tvrzení dokázáno. Dosazením této volby dostáváme tzv. Besselovu identitu k k \\g ~ ^Cnfn\ \\g\ n = \ n = \ ze které okamžitě díky nezápornosti levé strany vyplývá tzv. Besselova nerovnost 2 < \\g\\2. n = \ Tím je dokázáno druhé tvrzení, protože každá neklesající a shora omezená posloupnost reálných čísel má limitu (a je jí supremum celé množiny hodnot prvků posloupnosti). Jestliže v Besselově nerovnosti nastane rovnost, hovoříme o tzv. Parsevalově rovnosti. Přímo z definic vyplývá nyní tvrzení (3). □ Ortonogonální systém funkcí nazveme úplný ortogonální systém na intervalu I = [a, b], jetliže platí Parsevalova 368 KAPITOLA 7. SPOJITÉ MODELY rovnost pro každou funkci g s konečnou velikostí ||g|| na tomto intervalu. 7.4. Fourierovy řady. Předchozí věta naznačuje, že umíme se spočetnými ortogonálními systémy /„ funkcí pracovat velice podobně jako s konečnými ortogonálními bázemi vektorových prostorů, jsou tu ale zásadní rozdíly: • Není snadné říci, jak vypadá celý prostor konvergentních nebo stejnoměrně konvergentních řad • Pro danou integrovatelnou funkci umíme najít jen nej lepší možné přiblížení takovou řadou F(x). V případě, že místo ortonogonálního systému /„ máme systém ortonormální, jsou formulky ve větě o něco jednodušší, žádné další zlepšení ale nenastane. Jako pěkný příklad na integrování lze elemen todami ověřit, že systém funkcí yegrfuu6 arnimi mc- 1, sinx, cosx, sin2x, cos2x, sinni, cosnx, je ortogonální systém na intervalu [—n,n] (a také na kterémkoliv jiném intervalu o délce 2jt). Řady z předchozí věty odpovídající tomuto systému nazýváme Fourierovy řady. I v obecném případě diskutovaném výše se někdy hovoří o obecných Fourierových řadách vzhledem k ortogonálnímu systému funkcí /„. Koeficienty cn se pak nazývají Fourierovy koeficienty funkce f. Na intervalu [—jt, 7t] jsou velikosti všech funkcí kromě první vždy ~JŤt, první má velikost ~JTjz . Lze dokázat, že náš systém funkcí je úplným ortogonálním systémem, nebudeme to zde ale dokazovat. Ve smyslu vzdálenosti funkcí definované pomocí našeho skalárního součinu proto budou částečné součty Fourierovy řady F(x) pro libovolnou funkci g(x) s konečným integrálem g(x)2 dx, tj. co aQ ^—^ F(x) =--h 2_,(an cos(nx) + bn sin(řix)) n = l s koeficienty 1 fn 1 r an = — I g(x) cos(řix) dx, bn = — I g(x) sin(nx) dx, x J-71 k J-71 vždy konvergovat k funkci g (x). Z obecnějších úvah lze dovodit, že z konvergence v tomto smyslu vždy vyplývá bodová konvergence částečných součtů ve skoro všech bodech x e I. Nebudeme zde ale ani vysvětlovat, co znamená „skoro všechny", ani nebudeme takový výsledek dokazovat. Jako příklad Fourierovy řady si uvedeme Fourierovu řadu pro periodickou funkci vzniklou z Heavisideovy funkce zúžením na jednu periodu. Tj. naše funkce g bude na intervalu [—jt, 0] rovna —1 a na intervalu [0, it] bude rovna 1. Protože jde o funkci lichou, jistě budou všechny koeficienty u funkcí cos(«x) nulové, a pro coeficienty u funkcí sin(řix) Derivování (podle co) a poté užití metody per partes (pro F' -ite-1"2 ,G = e~iCút) dává \' — i CF(/)(ťo))' = ^= f -ite~at2 e~icútdt i lim rh e i „—af'—iojt V2~7t l r->oo 2a Í2ŤŤ \ 2a t. lim 4- e 2a f i(-ioj) a-ap- 2a Q-af e-ia)t dt -r-li- lim e-^ - f lim e~a? - í f e""*2 e~imt dt ,/?tt \ 2a t > 2a t^_QO J 2a co iHvt / e-'e-"**) =-£W)(*>). -co Hledejme proto funkce y(co) = T(f)((ú), které vyhovují diferenciální rovnici (8.1) Při zápisu y = dy/dú) je ^ 2a ^ £ = tj" kydy = -fadco, není-li funkce y rovna nule (zjevně y = 0 je řešením (8.1)). Integrováním dostáváme ln|y| = -fJ-ln|C|, tj. y = ±^e~é, přičemž C e M\{0}. Zahrnutím nulového řešení tak můžeme vyjádřit všechna řešení diferenciální rovnice (8.1) jako funkce y((ú) = K e~£, řet. Doplňme určení konstanty K, pro niž získáváme právě F(f)((ú). Později (v souvislosti s tzv. normálním rozdělením ve statistických metodách) se dozvíme, že z čehož plyne J e %1 dx = y/Ťř, f e~a? dt = -f f e~*2dx = Platí proto W)(0) = 7=^ = ^ a současně T(f)(0) = K e° = K. Celkem máme □ 8.7. Stanovte funkci /, jejíž Fourierovou transformací je funkce /(<») 1 sin co /2ti oj Řešení. Inverzní Fourierova transformace dává 369 1. APROXIMACE POMOCÍ FOURIEROVÝCH ŘAD —oo (0 oo \ f ^ éM dco + f émt dco) . -oo m 0 m / Jestliže použijeme substituci, kdy nahradíme -azaffiv integrálu přes interval (—00, 0], získáme (00 00 j e~imt dco + fs^f émt dco o m o m 00 2* / ^cos ~ *sm + cos i60^ +'sm ] ^ = o 00 1 /■ _!£__ cos (ťUř) JT J O) v y 0 Poznamenejme, že předchozí vyjádření lze obdržet už z toho, že funkce y = s maximálním definičním oborem je sudá. J (ú J Pomocí identity sinx • cos (xy) = ^ (sin [x(l + y)] + sin [x(l — y)]) , x, y e M, která mj. vyplývá ze součtových vzorců (pro sinus), dostáváme /(,) = ±lf SÍn[mf+Ž)] rfo + / SÍn[^-Ž)] rfo * Vo m o m Substituce u = m (\ + t), v = m (\ — t) potom dávají spočteme /(O 2jt f sá» rfi< - /" šľ_ rfu ) = 0, ř > 1; J U J V / ' /(O 2jt fž^du+f^dv )=Lfs-^du, t € Ju J V i 71 J U ' ' / ' /<') = __. (-f^du + f^dv) =0, *<-!. V o o / Dokázali jsme tak, že funkce / je nulová pro 11 \ > la konstantní (nutně nenulová) pro 11 | < 1. (Po celou dobu předpokládáme, že inverzní Fourierova transformace existuje.) Určeme funkční hodnotu /(O). Pro funkci g(t) = i, uii platí -1 o Odtud plyne, že /(O) = g(0)/2 = 1/2. Ještě vyzdvihněme vyčíslení integrálu fĚHJ±du = E. J u 2 ' které jsme rovněž obdrželi. 8.8. Vyřešte integrální rovnici □ / f(x) sin (xt) dt = e x, x > 0 o 1 r x J-7T 2 r 2 g (x) sin(«x) dx = — I sin(«x) dx = —(1 —(—1) ). jt Jo nit Výsledná Fourierova řada je tedy tvaru 4 / 1 1 g (x) = — I sin (je) H— sin(3x) H— sin(5x) + jt V 3 5 a součet jejích prvních pěti a prvních padesáti členů je na následujících dvou obrázcích. Všimněme si, že se zvyšujícím se počtem členů řady se výrazně spresňuje aproximace s výjimkou stále se zmenšujícího okolí bodu nespojitosti, na němž je ale maximum odchylky stále zhruba stejné. Je to obecná vlastnost Fouriero-vých řad, které se říká Gibbsův jev. Povšimněme si také, že v samotném bodě nespojitosti je hodnota aproximující funkce právě v polovině mezi limitami zprava a zleva pro Heaviside-ovu funkci. t = 2. t = 24. 0,5 -0,5- Samozřejmě nelze očekávat, že by konvergence Fourie-rových řad pro funkce g s body nespojitosti mohla být stejnoměrná (to by totiž g musela být coby stejnoměrná limita spojitých funkcí sama spojitá!). Bez podrobného důkazu si uvedeme následující větu podávající ucelený obrázek o bodové konvergenci Fourierových řad. Nejde o nutné podmínky konvergence a v literatuře lze najít řadu jiných formulací. Tato je ale jednoduchá a postihuje velké množství užitečných případů. Věta. Nechť g je po částech spojitá a po částech monotónní funkce na intervalu [—tt, jt]. Pak její Fourierova řada F(x) konverguje na [—jt, jt] a její součet je • roven hodnotě g(xo) v každém bodě xq e [—jt, jt], ve kterém je funkce g(x) spojitá, • v každém bodě nespojitosti xq funkce g(x) roven 1 pro neznámou funkci /. lim g(x) + lim g(x)\, 370 KAPITOLA 7. SPOJITÉ MODELY 7.5 • v krajních bodech intervalu [—Jľ, 7ľ]je roven \\ lim g (x) + lim g (x) Pokud navíc je funkce g (x) spojitá, periodická s periodou 2jt a všude existuje její po částech spojitá derivace, pak konverguje její Fourierova řada stejnoměrně. 7.5. Wavelety. Fourierovy řady a další z nich vycházející nástroje jsou využívány ke zpracování různých signálů, obrázků apod. Povaha použitých periodických goniometrických funkcí a jejich prosté škálování pomocí zvětšující se frekvence zároveň omezují jejich použitelnost. V mnoha oborech proto vyvstala přirozená potřeba nalézt šikovnější úplné ortogonální systémy funkcí, které budou vycházet z předpokládané povahy dat a které bude možné efektivněji zpracovávat. Takový systém se lze například vytvořit volbou vhodné spojité funkce i/> s kompaktním nosičem, ze které sestrojíme spočetně mnoho funkcí Ýij» 7. ^ ^ Z, pomocí dyadických translací a dilatací: Ýjk(x) = 2J/2Ý(2jx -k). Pokud tvar mateřské funkce i/> dobře vystihuje možné chování dat, a zároveň její potomci Ýjk tvoří úplný ortogonální systém, pak se zpravidla dobře daří konkrétní zpracovávaný signál aproximovat pomocí jen několika málo funkcí. Nebudeme zde zacházet do podrobností, jde o mimořádně živý směr výzkumu i základ komerčních aplikací. Zájemce snadno najde spoustu literatury. Na obrázku je ilustrována tzv. Daubechies mateřská wavelet D4(x) a její dcera D4(2~3x - 1). Řešení. Pokud obě strany rovnice vynásobíme číslem y/2/jv, obdržíme na levé straně právě sinovou Fourierovu transformaci. Stačí tedy aplikovat na rovnici inverzní transformaci. Takto dostaneme oo f{t) = I j e~x sin(xr) dx, t > 0. o Dvojnásobným použitím metody per partes pak lze spočítat / e~x sin ixt) dx = j^t [— sin ixt) — t cos ixt) ] + c, a tudíž je oo / e~x sin ixt) dx = o }™ (S [" sin W - t cos ixt) ]) - igr ("0 = JÍT-Řešením rovnice je proto funkce f(t) n l+t1 ' □ 8.9. Nalezněte řešení tzv. rovnice vedení tepla (rovnice difúze) utix, t) = a2 uxxix, t), x e M, t > 0 splňující počáteční podmínku lim u{x,ť) = fix). Poznámky: Symbolem ut = ^- zde rozumíme parciální derivaci funkce u podle t (tj. derivujeme podle t, přičemž x považujeme za konstantní) a podobně uxx = ^ označuje druhou parciální derivaci podle x (kdy dvakrát derivujeme podle x a. na. t nahlížíme při derivování jako na konstantu). Fyzikální interpretací úlohy je, že se snažíme určit teplotu u{x,ť) v tepelně izolované a homogenní tyči nekonečné délky (rozsah proměnné x), je-li dána počáteční teplota tyče funkcí /. Tyč má konstantní průřez a teplo se v ní může šířit pouze vedením. Koeficient a2 je pak roven podílu —, kde a je koeficient tepelné vodi- CQ vosti, c je specifické teplo a q je hustota. Zvláště se tedy předpokládá, že a2 > 0. Řešení. Na rovnici vedení tepla aplikujeme Fourierovu transformaci dem k proměnné x. Platí ovšem T iut) ico, t) f utix, t)e-imxdx 7.6 2. Integrální operátory 7.6. Integrální operátory. V případě konečněrozměrných vektorových prostorů jsme mohli vnímat vektory jako zobrazení z konečné množiny pevně zvolených generátorů do prostoru souřadnic. Nejjednodušší lineární zobrazení zobrazovala vektory do skalárů (tzv. lineární formy) a byla definována pomocí jednořádkových matic jako součet součinů 2n oo f uix, t)e-i0jxdx —oo kde je derivováno podle t, tj. je T iut) ico, t) = iTiu) ico, t))' = iTiu))t ico, t). Současně víme, že T (a2 uxx) ico, t) = a2 T iuxx) ico, t) = —a2co2 T (w) ico, t). Při označení y(a>, t) = T (w) ico, t) tak přecházíme k rovnici yt = -a2co2 y. 371 2. INTEGRÁLNÍ OPERÁTORY Podobnou diferenciální rovnici jsme již při počítání Fourierových transformací řešili, a tudíž pro nás není obtížné stanovit všechna její řešení y(oo, t) = K(oo) e-fl2ft>\ K((ú) e R. Zbývá určit K(úo). Transformace počáteční podmínky dává T(f) (oo) = lim F(u) (oo, ř) = lim y(oo, t) = f(ú))e° = K(oo), t-± 0+ ř—0+ a proto je y(ťu, t)=T (/) (tu) e-fl2íu2ř, £(ťo) e M. Nyní se pomocí inverzní Fourierovy transformace vraťme k původní diferenciální rovnici s řešením oo u(x, t) = ^= / y(cú, ť) émx doo = -j= f F(f)(oj)eMď doo In f ( VIT / e~ÍCÚS dS ) e~amt &ÍmX d(Ú I /<*) bb / e-^'e"'' oj{s — x) dco I ds. Vypočítáním Fourierovy transformace F(f) funkce f (t) = e pro a > 0 jsme při přeznačení proměnných obdrželi -4= f e~cp2 e~irp = 4= e"fc, o 0. V2jt j ' s/Tc —oo Dle tohoto vztahu (uvažte c = a2t > 0, p = oo, r = s — x) platí 2Ťr dúo /2a2t ß 4a2 ř a tedy u(x, ť) 2a~Jižt J f(s)e i"2' ds. □ 7 . 7 8.10. Stanovte Laplaceovu transformaci C(f)(s) funkce (a) f(t) = tat; (b) f(t) = Cleait + c2ď2t; (c) f{t) = cos (oř); (d) /(ř) = sin (oř); (e) /(ř) = cosh (bt); (f) /(ř) = sinh(^ř), přičemž hodnoty £ e Eac1,c2 e C jsou libovolné a kladné s e M je větší než reálné části čísel a, a\, a2 e Ca rovněž je větší než b ve variantách (e) a (f). Řešení. Případ (a). Bezprostředně z definice Laplaceovy transformace plyne těchto souřadnic s pevně zvolenými hodnotami na generátorech. Složitější zobrazení s hodnotami opět v tom samém prostoru pak byla obdobně zadána maticemi. Velice podobně umíme přistoupit k lineárním operacím na prostorech funkcí. V případě vektorového prostoru S všech po částech spojitých funkcí na intervalu I = [a, b] se lineární zobrazení S —> IR nazývají (reálné) lineární funkcionály. Jednoduše je můžeme zadat dvěma způsoby - pomocí vyčíslení funkce (případně jejích derivací) v jednotlivých bodech nebo pomocí integrování. Příkladem funkcionálu L tedy může být vyčíslení v jediném pevném bodě xq e I L(f) = f(x0) integrální funkcionál pak je zadán pomocí pevně zvolené funkce g(x) L(f) í Ja f(x)g(x)dx. Funkce g(x) zde hraje roli váhy, se kterou při definici Rie-mannova integrálu bereme jednotlivé hodnoty reprezentující funkci f (x). Nejjednodušším příkladem takového funkcionálu je samozřejmě Riemannův integrál samotný, tj. případ s g(x) = 1 pro všechny body x. Dobrou představu dává také volba [O je-li \x\ > a I 1 i 1 e^2-"2 "2 je-li \x\ < a. To je funkce hladká na celém M s kompaktním nosičem v intervalu (—a, a), viz 6.6. V bodě x = 0 má přitom hodnotu jedna. Integrální funkcionál Ly(f) Ja f(x)g(y -x)dx je možné vnímat jako „rozmlžené zprůměrování" hodnot funkce / kolem bodu x = y (obrázek funkce g je v 6.6 -ve svém středu má hodnotu jedna a hladkým monotónním způsobem se plynule přimkne k nule ve vzdálenosti a na obě strany). Ještě lepší volbou je z tohoto pohledu libovolná funkce g jejíž integrál přes celou reálnou osu je jednička. 7.7. Konvoluce funkcí. Pohled na integrální funkcionál Ly jako na zprůměrované chování funkce / v okolí daného bodu je názornější pro případ nevlastních mezí integrálu a = —oo, b = oo. Místo prostoru S všech po částech spojitých funkcí na M budeme uvažovat po částech spojité a v absolutní hodnotě integrovatelné funkce / v roli argumentu pro náš funkcionál. Volný parametr y může být vnímán jako nová nezávislá proměnná a naše operace tedy ve skutečnosti zobrazuje funkce opět na funkce / h> /: f(y)=Ly(f) ľ J oo f (x)g (y - x)dx. Této operaci se říká konvoluce funkcí fug, značíme ji / * g. Většinou se konvoluce definuje pro reálné nebo komplexní 372 KAPITOLA 7. SPOJITÉ MODELY funkce s kompaktním nosičem na celém '. mace t = z — x se snadno spočte (f*g)(z) f J —c f(x)g(z-x)dx f J oo i. Pomocí transfor- f{z-t)g(t)dt C (/) (s) = f eat e~st dt = fe í->0O V "(*-«)/ (s — a)t 1 í—íí ' je tedy konvoluce coby binární operace na dvojicích funkcí s kompaktními nosiči komutativní. Konvoluce je mimořádně užitečný nástroj pro modelování způsobu, jak můžeme pozorovat experiment nebo jak se projevuje prostředí při přenosu informací (např. analogový audio nebo video signál ovlivňovaný šumy apod.). Argument / je přenášenou informací, funkce g je volena tak, aby co nejlépe vystihovala vlivy prostředí či zvoleného technického postupu. Konvoluce jsou jedním z mnoha případů obecných integrálních operátorů na prostorech funkcí K(f)(y)= í f(x)k(y,x)dx J a s jádrem daným funkcí dvou proměnných k : M2 -» M.. Definiční obor takových funkcionálů je nutné vždy volit s ohledem na vlastnosti jádra tak, aby vždy existoval použitý integrál. 7.8. Fourierova transformace. Teorie integrálních operátorů s jádry a rovnic, které je obsahují je velice užitečná a zajímavá zároveň, bohužel pro ni zde teď ale nemáme dost prostoru. Zaměříme teď alespoň na jeden mimořádně důležitý případ, tzv. Fourierovu transformaci T, která úzce souvisí s Fourierovými řadami. Připomeňme si základní formuli pro parametrizaci jednotkové kružnice v komplexní rovině s rychlostí obíhání a> = 2jt/T, kde T je čas jednoho oběhu: tlCút = cos cůt + i sin„ = a>n, bude tedy původní funkce f(t) s konvergující Fourierovou řadou rovna oo fit) = Cn ^ . n ——oo Při pevně zvoleném T vyjadřuje výraz Aa> = 2jt/T právě změnu ve frekvenci způsobenou nárůstem n o jedničku. Je to tedy právě diskrétní krok, se kterým při výpočtu koeficientů Fourierovy řady měníme frekvence. Koeficient l/Tu C (/) (s) = j (\éht + \&-iht) e"sř dt i + i 2(s-ib) 1 2(s+ib) 2+h2- Případy (d), (e), (f). Analogicky volby (d) c\ = —i/2, c2 = i/2, ci\ = ib, a2 - (e) ci = 1/2 = c2, a\ = b, a2 = —b; (f) ci = 1/2, c2 = -1/2, at = b, a2 vedou na (d) £(/) (í) = -4íi; (e) £(/) (í) = -jf^; (f) £(/) (í) = -j^t. £(/')(*) = í £(/)(*)- lim f{t) □ 8.11. Pomocí vzorce (8.2) odvodte Laplaceovy transformace funkcí y = cos t a y = sin t. Řešení. Nejprve si uvědomme, že z (8.2) plyne £(f")(s) = s£(f')(s)- lim f'(t) = s (sC (/) is) - lim fit)) - lim f'(t) = s2C(f)(s)-s lim f{t) - lim fit). Platí tedy -C (siní) is) =Ci- siní) is) = C ((siní)") is) = s2L (sin t) is) — s lim sin t — lim cos t = s2L (sin f) is) — 1, odkud dostáváme -C (siní) is) = s2C (siní) is) - 1, tj. C (siní) (s) = -j^. Nyní užitím vzorce (8.2) snadno určíme C (cosi) is) = C ((siní)') (s) = s7r^l- ^lim siní = □ 373 2. INTEGRÁLNÍ OPERÁTORY ves223j 0 9 8.12. Pro s > — 1 spočtěte Laplaceovu transformaci £ (g) (s) funkce g(t) = te~t a pro s > 1 Laplaceovu transformaci £ (h) (s) funkce h(t) = t sinhf. Řešení. Užitím metody per partes získáváme OO OO / _f 11 \ £ (g) (s) = ft e"ř e~st dt = ft &-(s+^ dt = lim í £z7j^Tf) - 0 - -(s+l) dt /.. e-(í+Di (s+l)2/ (s+1)2 Derivování Laplaceovy transformace obecné funkce — / (tj. nevlastního integrálu) podle parametru s dává dt. f -f{t) e~st dt) =f -f(t) (e"")' dt = ftf(t) vO / 0 0 To znamená, že derivace Laplaceovy transformace £(—f)(s) je La-placeova transformace funkce tf(t). Laplaceovu transformaci funkce y = sinh t jsme ale dříve určili jako funkci y = . Proto platí £ o*) (*)=(- 2s (s2-l)2- Povšimněme si, že tímto způsobem jsme rovněž mohli určit £(g) (s). □ 8.13. Najděte funkci y, která vyhovuje diferenciální rovnici y"(í) = cos (jvt) - y(t), t e (0, +oo) a počátečním podmínkám y(0) = ci, /(O) = c2. Řešení. Nejdříve podotkněme, že z teorie obyčejných diferenciálních rovnic vyplývá, že úloha má právě jedno řešení. Dále připomeňme C (/") (s) = s2£ (/) (s) - s lim f(t) - lim f'(t) a £(cos (bt)) (s) 2+h2 - Aplikování Laplaceovy transformace na zadanou diferenciální rovnici proto dává tj- (8.3) s2£ (y) (s) - sci - c2 £ (y) (s) sí+7lí C{y) (s), 7 . 9 + CiS + Cl (S2 + 1) (i2 + 7t2) ' S2 + 1 ' + 1 Stačí tudíž najít funkci j splňující (8.3). Rozkladem na parciální zlomky získáváme _s_ _ 1 / s _ s \ (s2+l)(s2+jr2) — jr2-l \s2+l s2+tt2 ) ' Z výše uvedeného vyjádření £ (cos (bt)) (s) a dříve dokázaného £(sinř) (S) = -^—7 s2+l tak již dostáváme hledané řešení y(t) 7T2-l (cos t — cos (7Tř)) + ci cos t + c2 sin ř. formule pro c„ je pak roven Aco/2jt, takže můžeme řadu pro f(t) přepsat jako fit) T/2 /We- úřx e'1 T/2 Představme si nyní hodnoty a>„ pro všechna n e Z jako vybrané reprezentanty pro malé intervaly [a>„, a>n+i] o délce Aa>. Pak náš výraz ve vnitřní velké závorce v poslední formuli pro f(t) ve skutečnosti vyjadřuje sčítance Riemanno-vých součtů pro nevlastní integrál -f g (a) émt dtů kde g (co) je funkce nabývající v bodech oon hodnoty r T/2 g(oon)= / f(x)t-l(ú"x dx. J-T/2 Předpokládejme, že naše funkce / je integrovatelná v absolutní hodnotě přes celé M. Pak můžeme limitně přejít T -> oo a dojde ke zejmňování normy Aa> našich intervalů. Zároveň se dostaneme v posledním výrazu k integrálu gioi) ľ J -c f(x)e~ia)X dx. Můžeme tedy položit pro (každou v absolutní hodnotě Riemannovsky integrovatelnou) funkci / na M. T(f)(co) = f (co) '2tx J-í fit)z dt. Této funkci / říkáme Fourierova trasnformace funkce /. Předloží úvahy pak ukazují, že pro „rozumné" funkce / (ř) bude také platit f(t) = T-l(f)(t) '2jz J-í f(co)émt dco. Tím říkáme, že existuje k právě definované Fourierově transformaci T inverzní operace F~l, které říkáme inverzní Fourierova transformace. Všimněme si, že Fourierova transformace a její inverze jsou integrální operátory se skoro shodným j ádrem k(a>, t) = 7.9. Vlastnosti Fourierovy transformace. Fourierova transformace zajímavým způsobem převrací lokální a globální chování funkcí. Začněme jednoduchým příkladem, ve kterém najdeme funkci fit), která se ztransformuje na charateristickou funkci intervalu [—Q, Q], tj. f (o) = 0 pro \ců\ > Q a / = 1 pro \a>\ < Q. Inverzní transformace F~l nám dává tu) /27T J-Q dco 1 l2jit Q sin(£2ŕ). '2it 1 <2jtt 2i :(e ■ e~iQt) 374 KAPITOLA 7. SPOJITÉ MODELY Přímým výpočtem limity v nule (ĽHospitalovo pravidlo) spočteme, že /(O) = 2Q(2jt)~1/2, nejbližší nulové body jsou v t = ±jv/Q a funkce poměrně rychle klesá k nule mimo počátek x = 0. Na obrázku je tato funkce znázornená zelenou křivkou pro Q = 20. Zároveň je vynesena červenou křivkou oblast, ve které se s rostoucím Q naše funkce f(t) stále rychleji „vlní". Omega = 20.000 □ 8.14. Vyřešte soustavu diferenciálních rovnic x"(ř)+x'(ř) = y(t)-f(t)+é, x'(ř)+2x(ř) = -y(ř)+y(0+e-ř při počátečních podmínkách x(0) = 0, y(0) = 0, x'(0) = 1, /(0) = 0. Řešení. Opět aplikujeme Laplaceovu transformaci. Tím s využitím £ (e±ř) <*) = é převedeme první rovnici na s2£ (x) (s) — s lim x(t) — lim x'(t) + sC (x) (s) — lim x(t) = t-± o+ ř—0+ ř—0+ C (y) (s) - ( s2Ľ (y) (s) - s lim y(ř) - lim /(ŕ) ) + ^ í—o+ í—o+ a druhou potom na sC (x) (s) - lim x(t) + 2C (x) (s) í—o+ -C (y) (s) + sC (y) (í) - lim y(ŕ) + í—o+ s+l ■ V dalším příkladu spočtěme Fourierovu transformaci derivace f'(t) pro nějakou funkci /. Pro jednoduchost předpokládejme, že / má kompaktní nosič, tj, zejména F(f') i F(f) skutečně existují a počítejme metodou per partes: i r°° = / f'(t)e-10 2tz Joo [e-iootf(t)\ dt 1 V27T iú)T(f)(cú) + 100 '2it ľ J -c f(t)e dt Vyčíslíme-li limity (dle počátečních podmínek), obdržíme lineární rovnice s2C (x) (í) - 1 + sC (x) (s) = C (y) (s) - s2C (y) (s) + ^ sC (x) (s) + 2Ľ (x) (s) = -C (y) (s) + sC (y) (s) + ^ s právě jedním řešením C (x) (s) 2s-l 2(s-l)(s + l)2 C (y) (s) 3s 2(s2-l)2 Vidíme tedy, že Fourierova transformace převádí (infinitesimální) operaci derivování na (algebraickou) operaci prostého násobení proměnnou. Samozřejmě můžeme tento vzorec iterovat, tj. F{f")(co) = -oo2F{f), F(fn)) = inoonF{f). Další mimořádně důležitou vlastností je vztah mezi kon-volucemi a Fourierovou transformací. Spočtěme, jak dopadne transformace konvoluce h = f * g, kde opět pro jednoduchost předpokládáme, že funkce mají kompaktní nosiče. Při výpočtu prohodíme pořadí integrovanání, což je krok, který ověříme teprve v diferenciálním a integrálním počtu později, viz ??. V dalším krůčku pak zavedeme substituci t — X = u. Opět si pomůžeme rozkladem na parciální zlomky se ziskem >~ W W "8,-1+4 (j + 1)2 8 s + l — 4 (s + l)2 ^ 4 s2-l 1 Neboť již dříve jsme vypočítali (s+l)2 C (t sinh t) (s) 2s (s2-!)2 F(h)(oo) ŕf (/ 1ztz j-oo \j - k ľ Mí 'Zit J-oo \j- -L= í f(x)( f g(u)&-im{u+x) du)dx '2lt J-oo \J-oo / f(x)g(t -x)dxj e~10Jt dt g(t -x)t~i(út dt)dx dostáváme x(t) = 11 e"ř + \ sinh ř, y(ř) = 11 sinh ř. Čtenář může sám ověřit, že tyto funkce x a y jsou skutečně hledaným řešením. Ověření však důrazně doporučujeme provést (např. z toho důvodu, že Laplaceovy transformace funkcí y = é, y = sinhř a y = t sinh ř jsme získali pouze pro s > 1). □ 8.15. Diskrétní kosinová transformace. Základem JPEG komprese dat je tzv. diskrétní kosinová transformace. Taje dána ortogonální maticí C definovanou následovně (2k - 1)(Z - 1)tt' cu = otu cos 2n 375 2. INTEGRÁLNÍ OPERÁTORY kdeo^i = -j=aki = y ^ pro Z > 1. Vektor reprezentující data pak ortogonálně rozložíme a některé bázové vektory (slopce matice C ) vypustíme. Tím je provedena redukce dat s rozumnou aproximací původních dat. Zpětná transformace je jednoduchá. Protože je C ortogonální, je dána násobením transponovanou maticí. Ukažte, že pro n = 2 je matice C rovna -jj ^^j a že je ortogonální. Spočítejte ortogonální rozklad vektoru (3, 4) vzhledem k bázi tvořené sloupci matice a určete vlastní čísla a vlastní vektory. Počítejme CC1 2 1 1 -1 1/2 0 2 0 2 1. Matice C je tedy ortogonální a její sloupce tvoří ortonormální bázi e\ = -^), e2 = (7^5, — 7^5)- Koeficienty ortogonálního rozkladu vektoru u tice (3, 4) dostaneme jednoduše použitím transponované ma- 72 V 1 Ortogonální rozklad má tedy následující tvar Charakteristický polynom matice C je (A+-j|)(A—7^) — 5 = 0a vlastní čísla jsou tedy Ai 2 = ±1 (jiná ani ortogonální matice nemůže mít). Příslušné vlastní vektory jsou určeny po řadě rovnicemi ( V2 o, o a jsou to tedy například vektory (-^, 1 — -^j), (-^, -1 - -75) (které jsou automaticky ortogonální). Pozn. nakreslete si obrázek, jak působí na vektor v rovině zobrazení určené maticí A. 8.16. Diskrétní kosinová transformace 2. Ukažte, že symetrická /o 1 ... o o\ 1 o ... o o matice 0 0 \0 0 0 1 1 0/ má vlastní hodnoty X{ = cos

0: C(f'(t))(s) = / f\t) c~st dt = [f(t) e~sX + s / f (t) e" Jo Jo = -f(0)+sC(f)(s). Vlastnosti Laplaceovy transformace a řadu dalších zejména v technické praxi používaných transformací je možné snadno dohledat v literatuře. dt 377 2. INTEGRÁLNÍ OPERÁTORY Řešení cvičení 8a fl * f2«) 2 y+4 pro f e (-2,-1) pro t e (-1, 1) 2 pro f e (1, 2) jinak ■ t 4 2t 0 378