Úkol 4 a 5 20.3.2012
Přibližné vyjádření funkce
1) Pomocí diferenciálu určete přibližnou hodnotu
a) cos 61° [cos 61° = 0.4849]
b) e1-2 [eL2 = e • 1.2 = 3.2619]
c) sin 31° [sin 31° = 0.5302]
d) VŠE [f = 9.2]
2) Nalezněte Taylorův polynom n—tého stupně se středem v bodě x0 následujících funkcí
a) f(x) = cos 2x, x0 = f, n = 3 [T3(x) = -2x + § + §(* - f )s]
b) f(x) = e~x\ x0 = 0, n = 2 [T2(x) = 1 - x2]
c) f(x) = \, x0 = 1, n = 3     [T3(rr) = 1 - (rr - 1) + (x - l)2 - (x - l)3]
Průběh funkce
3) Vyšetřete průběh funkcí
a) f(x) = xe 2
b) f{x)=x — arctaurr
<0 /(*) = (Ětf
d) /(a:) = ln(4 - x2)
e) /(*) =
1
Slovní úlohy
I Zahřívá-li se kovový kotouč (např. v troubě), jeho poloměr roste tempem 0.01 cm/min. Jakou rychlostí roste jeho obsah, když je jeho poloměr 50 cm? [7rcm2/min]
II Fotbalový míč je nafukován rychlostí 7rft3/min. Jak rychle se zvětšuje jeho poloměr ve chvíli, kdy je jeho poloměr roven 0.1 ft? Jak rychle roste jeho povrch? [25ft/min; 207rft2/min]
III Objem krychle roste tempem 1200cm3/min. Jakou rychlostí roste délka hrany krychle ve chvíli, kdy dosahuje 10 cm? [4 cm/min]
IV Analogové hodiny ukazují čas 12:20. Jak rychle se v tomto okamžiku mění vzdálenost konce minutové ručičky od horního okraje ciferníku (značka 12 hodin), je-li poloměr hodin 12 cm? Předpokládáme, že tvar ciferníku je ideálního kruh a konec minutové ručičky se dotýká jeho okraje. [12% cm/hod]
V Do autobusu se vejde 60 lidí. Vztah mezi počtem lidí jedoucích autobusem x a cenou lístku v dolarech je popsatelný rovnicí p(x) = [3 — (^j)]2-Napište vztah mezi celkovým příjmem společnosti provozující autobusovou dopravu r{x) za jednu cestu. Jaký počet cestujících zajistí ^ = 0? Jaké bude příslušné jízdné? [40 cestujících; 4 dolary]
VI Uvažujme že veškerý ekonomický výstup ekonomiky se v čase t dá popsat rovnicí Y(t) = L(t)-V(t), kde L(t) je velikost pracovní síly (zjednodušeně počet pracujících) a V(t) je velikost výstupu na pracovníka. Dále nechť pracovní síla roste každoročně tempem 5 %, tj. ^ = 0.05L(í) a průměrný produkt tempem 4%, tj. ^ = 0.0AV(t). Odvoďte vztah pro růst celkového produktu Y(t), tj. Jakožto druhý příklad uvažujte klesající velikost pracovní síly, ročně o 2% a rostoucí produktivitu ročně o 3%. Jak se v tomto případě vyvíjí produkt? Roste/klesá?
= 0.09L(í) • V(t) = 0.09F(í); poroste tempem 1 % ročně]
VII O dům je opřený žebřík dlouhý 13 ft. Jestliže jeho základna podklouzne, žebřík začne sjíždět k zemi (stále zůstává opřený o dům). Jestliže je základna žebříku 12 ft od domu, klouže od něj rychlostí 5 ft/s. Jak rychle v tomto okamžiku
a. klesá vršek žebříku po zdi,
b. se mění obsah trojúhelníka vymezeného žebříkem, domem a zemí,
c. se mění úhel, který svírá žebřík se zemí?
[12 ft/s; -59.5 ft2/s; -1 rad/s]
2
Grafy funkcí z Průběhu funkce
3
4
		20 -|
	J	10 -
r 5	-4          -3 ^-rr / x	-—^ -1 0
		-10 -
		-20 -
Pro další příklady mohu opět doporučit odkaz: Sbírka úloh - sekce 4, případně pro průběh funkce tento odkaz.
5