ZMA, ZS 2011/2012, V. Sobotíková
Domácí cvičení 11
(Riemannův integrál)
11/ 1 ) Vypočtěte:
a)
b
a
k dx (k − konstanta), b)
√
2
−
√
2
(x3
− 3x2
+ 6x − 8) dx, c)
1
2
0
2
√
1 − x2
dx,
d)
π
− π
2
cos 5x dx, e)
3π
π
1
sin2 x
4
dx, f)
5
3
1
(x − 2)3
dx.
11/ 2 ) Vypočtěte:
a)
1
−1
|2x + 1| dx, b)
3
0
|x2
− 3x + 2| dx, c)
2π
0
| sin x| dx,
d)
π
−π
| cos x| dx, e)
1
−2
e|x|−3
dx.
11/ 3 ) Vypočtěte:
a)
π
6
0
(x + 2) sin 3x dx, b)
e
1
ln x dx, c)
2
−2
(x2
+ 1) e
x
2 dx.
11/ 4 ) Vypočtěte:
a)
1
2
0
x
2x2 + 3x + 1
dx, b)
−2
−3
2
x4 − x2
dx, c)
2
1
4
x3 + x
dx, d)
0
−2
3x3
+ 14x − 2
(x − 1)(x2 + 4)
dx.
11/ 5 ) Vypočtěte:
a)
π
6
0
dx
cos x
, b)
ln 5
ln 2
dx
ex − 1
, c)
e
e−1
ln x + 1
x(ln2
x + 1)
dx.
11/ 6 ) Vypočtěte:
a)
3π
8
π
8
sin4
2x dx, b)
√
3
2
−
√
2
2
4 arcsin x
√
1 − x2
dx, c)
1
0
3x2
+ 4x + 2
√
x3 + 2x2 + 2x + 4
dx.
Výsledky:
V každém příkladu je potřeba ověřit existenci hledaného Riemannova integrálu. K tomu stačí, je-li integrovaná funkce
spojitá na (uzavřeném) intervalu, přes který integrujeme. Zde toto platí v každém příkladu. Nebudu to tedy již uvádět
u každého příkladu zvlášť (i když v písemce byste to uvedené mít měli).
I je opět hledaný integrál. Jako dříve také neuvádím úplný popis substituce, ale jen jakou soubstituci jsem použila.
11/ 1 ) a) I = k(b − a) (nakreslete si obrázek a integrály z konstanty příště nepočítejte přes primitivní funkci!),
b) I =
x4
4
− x3
+ 3x2
− 8x
√
2
−
√
2
= −20
√
2, c) I = [2 arcsin x]
1
2
0 =
π
3
, d) I =
sin 5x
5
π
− π
2
=
1
5
,
e) I = −4cotg
x
4
3π
π
= 8, f) I = −
1
2
1
(x − 2)2
5
3
=
4
9
.
ZMA, ZS 2011/2012, V. Sobotíková
11/ 2 ) a) I =
− 1
2
−1
(−2x − 1) dx +
1
− 1
2
(2x + 1) =
1
4
+
9
4
=
5
2
,
b) I =
1
0
(x2
− 3x + 2) dx +
2
1
(−x2
+ 3x − 2) dx +
3
2
(x2
− 3x + 2) dx =
5
6
+
1
6
+
5
6
=
11
6
,
c) I =
π
0
sin x dx +
2π
π
(− sin x) dx = 2 + 2 = 4,
d) I =
− π
2
−π
(− cos x) dx +
π
2
− π
2
cos x dx +
π
π
2
(− cos x) dx = 1 + 2 + 1 = 4,
e) I =
0
−2
e−x−3
dx +
1
0
ex−3
dx = (− e−3
+ e−1
) + ( e−2
− e−3
) = e−3
( e2
+ e − 2).
11/ 3 ) a) I = (x + 2)(−
1
3
cos 3x)
π
6
0
+
π
6
0
1
3
cos 3x dx =
2
3
+
1
9
=
7
9
,
b) I = [x ln x]e
1 −
e
1
1 dx = e − ( e − 1) = 1,
c) I = (x2
+ 1)2 e
x
2
2
−2
− 4
2
−2
x e
x
2 dx = (x2
+ 1)2 e
x
2
2
−2
− 4 (x · 2 e
x
2
2
−2
− 2
2
−2
e
x
2 dx =
= 10( e − e−1
) − 4 4( e + e−1
) − 4( e − e−1
) = 10e − 42 e−1
.
11/ 4 ) a) I =
1
2
1
2
0
x
(x + 1)(x + 1
2 )
dx =
1
2
1
2
0
2
x + 1
−
1
x + 1
2
dx =
1
2
2 ln |x + 1| − ln x +
1
2
1
2
0
=
=
1
2
2 ln
3
2
− ln 1 − 2 ln 1 − ln
1
2
= ln
3
2
+
1
2
ln
1
2
,
b) I =
−2
−3
−
2
x2
+
1
x − 1
−
1
x + 1
dx =
2
x
+ ln
x − 1
x + 1
−2
−3
= (−1 + ln 3) − −
2
3
+ ln 2 = −
1
3
+ ln
3
2
,
c) I =
2
1
4
x
−
4x
x2 + 1
dx = 4 ln |x| − 2 ln(x2
+ 1)
2
1
= (4 ln 2 − 2 ln 5) − (4 ln 1 − 2 ln 2) = 6 ln 2 − 2 ln 5,
d) I =
0
−2
3 +
3
x − 1
+
2
x2 + 4
dx = 3x + 3 ln |x − 1| + arctg
x
2
0
−2
= 0 − (−6 + 3 ln 3 + arctg (−1) ) =
= 6 − 3 ln 3 +
π
4
.
11/ 5 ) a) I = |t = sin x| =
1
2
0
−1
2
t − 1
+
1
2
t + 1
dt = −
1
2
ln |t − 1| +
1
2
ln |t + 1|
1
2
0
=
= −
1
2
ln
1
2
+
1
2
ln
3
2
− −
1
2
ln 1 +
1
2
ln 1 =
1
2
ln 3,
b) I = |t = ex
| =
5
2
1
t − 1
−
1
t
dt = [ln |t − 1| − ln |t| ]
5
2 = (ln 4 − ln 5) − (ln 1 − ln 2) = 3 ln 2 − ln 5,
c) I = |t = ln x| =
1
−1
1
2
2t
t2 + 1
+
1
t2 + 1
dt =
1
2
ln |t2
+ 1| + arctg t
1
−1
=
=
1
2
ln 2 + arctg 1 −
1
2
ln 2 + arctg (−1) =
π
2
.
11/ 6 ) a) I =
3π
8
π
8
1
4
(1 − cos 4x)2
dx =
3π
8
π
8
1
4
−
1
2
cos 4x +
1
8
(1 + cos 8x) dx =
3
8
x −
1
8
sin 4x +
1
64
sin 8x
3π
8
π
8
=
=
3π
32
+
1
4
,
b) I = |t = arcsin x| =
π
3
− π
4
4t dt = [2t2
]
π
3
− π
4
=
7π2
72
,
c) I = |t = x3
+ 2x2
+ 2x + 4| =
9
4
1
√
t
dt = [2
√
t]9
4 = 2.