Aplikace integrace
PRŮMĚRNÁ FUNKČNÍ HODNOTA f(x) na intervalu [a, b\:
f^ = —gja f{x)áX
Příklad 1. Určete průměrnou hodnotu funkce f(x) = x2 — 5x + 6cos(7rx) na intervalu [—1,5/2]
avg
-1) 7-i
x — 5x + 6 cos(7rx)
1  s    5  2     6 .
—x--x -\—sin(7rx
3        2        tv     y '
2 7
12 13
Příklad 2. Určete průměrnou hodnotu funkce f(x) = sin(2x)e1_cos(2:E-) na intervalu [—tt, tt] sub:u = 1 — cos(2x)
avg
	1   \ i	sm
tt —		
1	1—cos(2:r)	7T
Att		— 7T
(Vykreslete si graf a je zřejmé, že je to 0)
PLOCHA MEZI DVĚMA KŘIVKAMI
Máme-li 2 funkce, pro které f{x) > g{x) na intervalu [a, b], pak obsah plochy mezi křivkami je "integrál horní minus integrál spodní":
S
f (x) - g(x)dx
1
Příklad 3. Určete plochu mezi křivkami y = x2 a y = yfx.
Načrtneme obrázek a určíme interval, na kterém budeme hledat rozdíl in tegrálů:
2
/i 343 [(x2 + x - 3) - (-x2 - 2x + 2)]dx =- -5/2 24
Příklad 5. Vypočtěte obsah kruhu K o poloměru r.
Kružnici umístíme do počátku (nemá to na obsah vliv). Rovnice kužnice v počátku: x2 + y2 = r2, odtud
y = ±-\/ r2 — x2
Ozn. f (x) = \fr2 — x2,g(x) = —\/r2 — x2, x G [—r, r]. Obsah kruhu:
—r
\y/r2 — x2 — (— \Jr2 — x2)]dx = 2 /   \y/r2 — x2dx
J —r
(po substituci x = r sin t,dx = r cos tdt, —r ~» —%,r ~* \)
-rrr
3
4
DÉLKA GRAFU
1 =  /   y/1 + (/'(x))2dx
pokud má / na [a, b] spojitou derivaci.
Příklad 8. Určete délku grafu funkce f(x) = ln x na intervalu [VŠ, VTE]
/'(*) = h
1 + -zdx
15 V^2^T
V3
dx
X -ly/3
15 V^2^I
xdx
t
x2 + 1 = t2, dx = -dt, VŠ -> 2, \/l5 41
4
-dí
/2 í2-l
čitatel vydělíme jmenovatelem a dostaneme
t
1 +
1
í2-l í2-l rozložíme na parciální zlomky a celkem máme
f      t     ,       /" /,      V2       1/2 , , /   -s-dí= / (1 + —---— dx
=   2 +ln 3- -ln 5 2
OBJEM A POVRCH ROTAČNÍHO TĚLESA
f{x) je spojitá, nezáporná na intervalu [a, b]. Pak objem tělesa, které vznikne rotací funkce kolem osy x je
V = tv f2(x)dx
f{x) je nezáporná na intervalu [a, b] a má zde spojitou derivaci. Pak povrch tělesa, které vznikne rotací funkce kolem osy x je
S = 2tT /    f(x)y/l + [f'(x)]*dx
5
- povrch se obtížněji počítá, protože často neumíme integrovat výrazy s odmocninou
Příklad 9. Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací kolem osy x plochy omezené grafy funkcí f(x) = 4 a g(x) = x2.
Grafy funkcí se protínají v bodech 2, —2, proto bude interval [—2, 2]. Hledaný objem je rozdílem objemů zadaných funkcí:
V = V1-V2=ttJ2 42dx -ttJ2 x4dx = ^
Zkouškové příklady:
Příklad 10. Určete průměrnou hodnotu funkce x ln2 x na intervalech [1, e], [0, l]a[0, e]. Výsledek: [1, e] : ^,[0,1] : \, [0, e] : f
Příklad 11. Pomocí vhodného určitého integrálu určete:
(a) Objem zmrzliny, která se vejde do kuželovitého kornoutu (tak, aby nic
nepřesahovalo ven) o výšce h = Ylcm a poloměru "podstavy" r = 3cm.
(b) Kolik stojí materiál na jeden kornout, jestliže jeho jednotková cena je
2hal/cm2?
Řešení:
(a) objem rotačního tělesa vzniklého rotací přímky f{x) = | na intervalu
[0,12].
tt      (—) dx = 367rcm Jo 4
(b) Povrch stejného tělesa:
ľ12 x
2tt /    -yj\ + (1/4)2 = 9\/17tt Jo 4
Materiál na jeden kornout stojí 2 * %\fYJ-Khal.
Příklad 12. Pomocí vhodného určitého integrálu určete vnější plochu obří parabolické antény pro dálkový přenos signálu, která má hloubku 3m a jejíž
6
horní hrana má rovnici y = 2px Řešení:
S = 2tt í 2y/x\ll + -dx = 4tt í yfc^X%1áx = 4tt í {x + 1)1/2 Jo V       x Jq y/x J0
4tt
3/2
567t
-m
Příklad 13. Určete délku řetězovky f(x)= coshx
Řešeni:
ex + e x
prox G [—1,1]
'1 +
leJ- — e
-^2
-dx
roznásobit = -      y/e2x + 2 + e~2xdx = - /   -\/(e1 + e_:E)2dx = e--
2 7-1 2 7-1 e
7