§/rčitf integrál
Nyní
Před( existt delin spině malé 4nr(, výsle
Pro
Uvedeme nčkolik mtr/nvrh 7ohřonční nřpjirhn-rírh vv^lpHtň
I. u
o
je kr
c
di
2.C. tri
I)
Ví
fu ta
•yjde = 4tií-2.
v tomto bodě , který už byl / 3.43 nebyly kde & > 0 je dnota by byla ychom stejný A
m jí. Tedy 0 í mající plášť £>. a 2/ resp. g,
é vznikne rotací
číst ještč obsah
popsán parame-■j situaci upravil
ryze monotónní :e i = <p~'fcO, ) = ŤlV~lMl )adé posledního aci, protože při
hu podgrafu P V vznikne ro-
3.6 Aplikace určitého integrálu
149
Spočítejr plochy. Uvií a poíomčrer r e (0, u). F =  — r sin r
m,(K) •
tn»(V)
ílové íátku sin/, 01 =
n2ÍC?)=2r< /  rsinty/(—r%mt)- + <.rami>-Jo
= 2itr2[- cos f]* = 4irr2.
/^T*rilf!fldy k procvičení
f       1. Urflete obsah rovinné plochy ohraničené krivkami:
m
y = 0, j; = — 1, y = í"
e)   y3 = Zx + K,t -y - 1 = 0.
c)	y
e)	y
g)	y
i)	y
k)	y
D	jt
n)	y
b) y — e", y = e \a- = 1,
d) yjc = \,x = 1,* = 3, y = 0
f) y(\+x2) = \,y = 'L,
h) ,y = |logj[U = — .í = 10,y = 0,
j) y = arcsin x,* = 0,v — 1.
-1, jr = 2. y = 0.
m)   y = ln Jt, y = In 9. y = In 3. j: = 0,
Určitý integrál
2. Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami:
a) v=l-.t,y2 + r = l,0íi.v>0. c) v = x2 — x — 6, y = — x2 + 5a + 14. e)   y = 0. y = e_I sin x, x € (0. tc),
g)   v = |ln.r|. a =-.a = e2, y = 0. e
i)   y = .v' + .v2 - 6.v. y = 0. .t e (-3.3).
í2-IO.t + 34        10-3.v2 + I8a
k, r--j-.7--ä-•
m)   .i2 + y2 = 16. y2 = 6x. x ^ 0. y2 = 2a + 1.x - y - 1 = 0,
f     3. l/rčcte délku oblouku rovinné krivky:
„ , = 5!í^+£^>,,e(0.10,
b) .t" = y. \- = .v.
d) yx - 4. Jt + y = 5.
f) y = lír A, y = blA.
h) > = rh-y=x2-
j) 4.t2 + 9y2 = 36.
1) y = 6jc -x2.y = 0.
n) y = a2 + 4í, y = jr ■
p) r =       = 8.
c)   v = ■Jx — x2 — arcsin V*. a e (0, 1),
a = a(í - sin/), y = a(l - cosi), a > 0. (cykloida). Jfl' ,t = /-(cos/ + í siní), y = r(sin/ — / cosr). r > 0. / e (0,Jt).
b)   )J = r.je(0.1), d)   y = arcsine~\ x S (0. 1).
x — acos3/. y = a sin3/.a > 0. (asteroida).
h)   y2 = (x + l)3..r = 4, (semikubická parabola).
j)   y = In sin a. .v6 ^j, jY > 0.
mezi průsečíky s osami souřadnic.
/K Určete délku oblouku prostorové křivky:
a) \a = a cos;, y = a sinr, z — bt. t e (0, 2ti). a, b > 0. (jeden závit sroubovice).
b)   a = r. y = - \f&i>.;
i
■/-.re (0. I).
c) a = í — sin/, y = 1 — cos/. » = 4sin - . / € (0, ti),
d) a = e'.y = e~'.z = /v/5./ e (0.1).
j.6 Aplikace určitého integrálu_
e) i: a = o(f - sin/),.y = o(l-cosO.a > 0. f € (0, 2ji). (cykloida).
f) />: a2/3 + y2'3 = «2/3, y ^ 0. (asteroida),
g)  *:j = t-—s,Jt = -I.*=l, I +x-
i) k: x = /2 - l.y = t-/'.» € (0, l), _ k)   i: a2 + y2 = 25. y S 0.
h)   P: y" = 5a. a — 8. j)   k: y = sinx.x 6 (0. 7t). I)   P: y- = x. y = a2, y > 0.
^    cV^lrčete obsah plášte telesa, které vznikne rotací podgraľu dané funkce k či plochy P kolem osy
a)   P:y- = 4ax, y gO.a =2a.a > 0. b)   />: y2 = a. y = a3.
d)   t: y = -(e* + e"').a e (0. I).
c) k: y = 4 + a.a e (-4,2),
e) P: (>• — I)2 + a2 = l. (povrch anuloídu).
f) P: 9ay2 = .v(3a — a)2. <j > 0, y ^ 0. (mezi průsečíky s osou a). 7. Vypočtete obsah plášte a objem následujících rotačních tčles:
a) rotační válec o polomčru podstavy r > 0 a výšce v > 0,
b) rotační kužel o polomčru podstavy r > 0 a výšce v > 0,
c) rotační komolý kužel o poloměrech podstav rx > r-± > 0 a výšce   > 0,
d) kulová úseč o výšce v > 0 z koule o polomčru r > 0, 0 < tí < 2r.
e) dutý válec o vnéjšim polomčru n a vnitřním poloměru r2. r\ > ri > 0. a výšce v > O, 0 anuloid (vznikne rotací kruhu o polomeru r a středu [0. Ä], i! > r > 0, kolem osy x).
I5l
^^sľ^rčete objem tělesa, které vznikne rotací podgrafu dané funkce k či plochy P kolem osy a:
a) k: y = ^ (e"" +e"í,").ti > 0. y — 0. a e (-4,4). (rotaceřetězovky),
b) P: xy =4. a = l.a =4, y = 0. c) P: y = -x2 + I. y = -2a2 + d)   P: h2x2 + a2y2 = a2h2.a,b > 0,y g0,
Klíč k příkladům k procvičení
a)	_	b)	e+--2.	c)
	3'		e	
	16		71 1	
e)	T'	f)	2 ~ 3 '	g)
	9	j1	71	k)
i)	2'		2"K	
m)	6,	n)	(2k + 1)TT.	
32
T'
d)  In 3.
9.9 In 10-8.1
hl
In 10
1) 8ln2.
eŕ
Hf
152
iff
Určitý integrál
2. a)
tt-2 4 ' 1 +e"
i) 18,
m) -{-/5 + 4tí), 3. a) ^ť-e"1).
0 3-e,
j) 6h, 125
n) T'
b)
343
g)   2-- + e-e
' 3
o)
16
d) y-8In2.
h)   n - -
1
I) 36. p) 19.2.
8 /13vT3
d)   ln(e+vV- 1).
g) 6". ., 1
■ In 3.
27 \ íf e) 8a. 670 27 ' k) 16a.
c) 2,
0 -
h)
e-+ 1
4. a)   2tiV«2 +b2. «„3
b)
5. a)
4
(e8/«_e-8/«)+4™2,   b) !2tt,
c) 2it. 16
c)
15
i) In
e
» f
d)  e-e"1. 4
d)   - stah2.
e) 5ttV.
« 32a3
0 105*'
g) +        h) 160ir.
i)
6. a)
12 56ttíí2
k) _Wl
d)   -(e2 -e.-2 + 4). 4
b)   — (20s/TÔ + 45 v/5 — 11).
54 * '
e) 4ir,
c) 36\/2ir, f) 3na2.
7. a)   /(j) = r, a- e {0, v), m2(Ô) = 2nr», m3( V) = jrr^it,
b) /(j) = - x, x <= {0, v), m2(2) = ra-v/r2 + ľ2 = itr.v, kde .v = Vr2 + u2,
u
1 , m3(V) = - ro-u.
c) /(j) = r' ~ n x +r2,x e (0. v), m2((2) = n(n + r2)s, kde
í = yu2-{/-[-/-2)2. mj( V) = — (r} + rm + r1), d)   /(a) = Vr2 - u2, x e (r - u. r), m2(f?) = 27iru,m3(V) = ~ nv2Qr-v),
3.6 Aplikace určitého integrálu
153
e)   f (x) = n,g(x) = n,xe (0, v), nv>(Q) = 2iry<n + n), my(V) = nv(r2-r%),
f)   f(x) = R + y/r2- X2, g(x) = R-Vr2-x2, m2(0) = 4jtv«, nvjíV) = 2ti2Rr2.
Pro leoSí aeometrickou představu uvádíme obrázky některých křivek a jedné plochy, které se v; viz obr. 3.25.
Ozn;
3.6.
Jak
určil
hmc
cích
kter
nik;
lem
ven seti
:dy se pomocí např. z hustoty řech souřadni-jný integrál, se :ázky z mecha-
ádĚí, to je iiko-eré jsou absol-;ho integrálu se
Hn
Pře bu< jel kři těž
Nejprve si všimneme pnpauu, noy mivu l jjis
C:
y = nn.
Funkce p(r) udává délkovou hustotu v bodě křivky \<p(t). <p(l)\.
ní. NašTm cílem modelem drátu Janou v bodech >čme T — ||. n\
-ovnicemi
(3.28)
Věta 3.48. Nechť funkce <p{i) a jjr(t) mají spojité derivace na intervalu (a. P) a funkce p{l) je na tomto intervalu spojitá a nezáporná.
Pak křivka C mající parametrické rovnice (3.28) ú délkovou hustotu p(t)má hmotnost
M(C) = [ p<J)j\<p'(t))2 + \f'(t)\2át.
(3.29)