ZMA, ZS 2011/2012, V. Sobotíková
Domácí cvičení 8
(primitivní funkce)
8/ 1 ) Najděte derivace následujících funkcí:
a) f(x) = ln 3x, b) f(x) = ln
x
3
, c) f(x) = ln(3x + 6), d) f(x) = ln
x + 6
3
,
e) f(x) = ln 5x, f) f(x) = ln
x
5
, g) f(x) = ln(5x − 8), h) f(x) = ln
x − 8
5
,
i) f(x) = ln(−2x), j) f(x) = ln
x
−2
, k) f(x) = ln(−2x + 5), l) f(x) = ln
x + 5
−2
.
(Praxe v určování derivací funkcí tohoto typu se vám bude velmi hodit při hledání primitivních funkcí.)
8/ 2 ) Vypočtěte:
a) x2
(2x2
− 1)2
dx, b) 3
√
x +
1
√
x3
2
dx, c)
3
√
4 − 4x2
dx,
d) (5x
+ 2 · 3−x
− 4 cos x) dx, e)
x2
+ 3
5 + 5x2
dx
8/ 3 ) Vypočtěte:
a) x ln x dx, b) ex
(x3
− 2x) dx
8/ 4 ) Vypočtěte:
a) sin 7x dx, b) e−2x
dx, c) cos(−8x) dx, d) cosh 6x dx,
e)
1
cos2 3x
dx, f)
1
sin2
(−5x)
dx, g)
1
1 + (3x)2
dx, h)
1
1 − (−2x)2
dx,
i) sin
x
7
dx, j) e
x
−2 dx, k) cos
x
−8
dx, l) cosh
x
6
dx,
m)
1
cos2 x
3
dx, n)
1
sin2 x
−5
dx, o)
1
1 + x
3
2 dx, p)
1
1 − x
−2
2
dx
8/ 5 ) Vypočtěte ( pomocí lineárních substitucí, tedy bez umocnění v integrandu ! ):
a) (2x + 1)3
dx, b) (1 − 7x)8
dx, c)
4 − x
3
2
dx, d) 5 +
x
4
dx,
e)
1
(2x + 1)3
dx, f)
1
(1 − 7x)8
dx, g)
1
4−x
3
2 dx, h)
1
5 + x
4
dx,
i) e2x+1
dx, j)
1
1 + (1 − 7x)2
dx, k) sin
4 − x
3
dx, l)
1
cos2 5 + x
4
dx
8/ 6 ) Vypočtěte:
a) (5x4
+ 6x2
− 6x) ln 4x dx, b) (2x2
− 3x) sin
x
3
dx
c) (x2
+ 5) cos 2x dx, d) (−x2
+ 4x − 7) e
x
2 dx
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −−
Výsledky:
8/ 1 ) a) f (x) =
1
x
, b) f (x) =
1
x
, c) f (x) =
3
3x + 6
, d) f (x) =
1
x + 6
,
e) f (x) =
1
x
, f) f (x) =
1
x
, g) f (x) =
5
5x − 8
, h) f (x) =
1
x − 8
,
i) f (x) =
1
x
, j) f (x) =
1
x
, k) f (x) =
−2
−2x + 5
, l) f (x) =
1
x + 5
.
ZMA, ZS 2011/2012, V. Sobotíková
8/ 2 ) a)
4
7
x7
−
4
5
x5
+
1
3
x3
+ c na R integrand roznásobte
b)
3
5
3
√
x5 − 12
1
6
√
x
−
1
2
1
x2
+ c na (0, ∞) integrand roznásobte a odmocniny převeďte na mocniny
c)
3
2
arcsin x + c na (−1, 1) ve jmenovateli vytkněte 2 =
√
4 ven z odmocniny
d)
5x
ln 5
− 2
3−x
ln 3
− 4 sin x + c na R
e)
1
5
(x + 2arctg x) + c na R použijte přepis integrandu f(x) =
1
5
x2
+ 3
1 + x2
=
1
5
1 +
2
1 + x2
8/ 3 ) a)
x2
2
ln x −
x2
4
+ c na (0, ∞) 1× per partes, derivujeme logaritmus
b) ex
(x3
− 3x2
+ 4x − 4) + c na R 3× per partes, derivujeme pokaždé polynom
8/ 4 ) Z prostorových důvodů je uvedena vždy jen jedna z primitivních funkcí (pro k vždy platí k ∈ Z):
a) −
1
7
cos 7x na R, b) −
1
2
e−2x
na R,
c) −
1
8
sin(−8x) na R, d)
1
6
sinh 6x na R,
e)
1
3
tg 3x na (−
π
6
+ k
π
3
,
π
6
+ k
π
3
), f)
1
5
cotg (−5x) na (k
π
5
, (k + 1)
π
5
),
g)
1
3
arctg 3x na R, h) −
1
2
arcsin(−2x) na (−
1
2
,
1
2
),
i) − 7 cos
x
7
na R, j) − 2 e
x
−2 na R,
k) − 8 sin
x
−8
na R, l) 6 sinh
x
6
na R,
m) 3tg
x
3
na (−
3π
2
+ 3kπ,
3π
2
+ 3kπ), n) 5cotg
x
−5
na (5kπ, 5(k + 1)π),
o) 3arctg
x
3
na R, p) − 2 arcsin
x
−2
na (−2, 2)
Zkuste integrály ještě jednou přepočítat bez vypisování substituce. Např. v a) můžete uvažovat takto: Primitivní
funkcí k funkci sin t je funkce − cos t, primitivní funkcí k funkci sin 7x tedy bude nějaký násobek
funkce − cos 7x. Kdybychom funkci − cos 7x zderivovali, dostali bychom funkci 7 sin 7x. My však máme z
této funkce jen sedminu, tedy primitivní funkcí bude sedmina funkce − cos 7x. (Nebo: „Když se při derivování
konstantou u x násobí, musí se při integraci, která je inverzní operací k derivaci, konstantou u x vydělit .)
8/ 5 ) Z prostorových důvodů je uvedena vždy jen jedna z primitivních funkcí (pro k platí k ∈ Z):
a)
1
8
(2x + 1)4
na R, b) −
1
63
(1 − 7x)9
na R,
c) −
4 − x
3
3
na R, d) 2 5 +
x
4
2
na R,
e) −
1
4
1
(2x + 1)2
na (−∞, −
1
2
) a na (−
1
2
, ∞), f)
1
49
1
(1 − 7x)7
na (−∞,
1
7
) a na (
1
7
, ∞),
g) 3
1
4−x
3
na (−∞, 4) a na (4, ∞), h) 4 ln 5 +
x
4
na (−∞, −20) a na (−20, ∞),
i)
1
2
e2x+1
na R, j) −
1
7
arctg (1 − 7x) na R,
k) 3 cos
4 − x
3
na R, l) 4 tg 5 +
x
4
na ((4k − 2)π − 20, (4k + 2)π − 20)
Jako v předchozím příkladu zkuste integrály ještě jednou přepočítat bez vypisování substituce.
8/ 6 ) a) (x5
+ 2x3
− 3x2
) ln 4x −
x5
5
−
2x3
3
+
3x2
2
+ c na (0, ∞) 1× per partes, derivujeme logaritmus
b) (−6x2
+ 9x + 108) cos
x
3
+ (36x − 27) sin
x
3
+ c na R 2× per partes, derivujeme pokaždé polynom
c)
x2
2
+
9
4
sin 2x +
x
2
cos 2x + c na R 2× per partes, derivujeme pokaždé polynom
d) (−2x2
+ 16x − 46) e
x
2 + c na R 2× per partes, derivujeme pokaždé polynom