ZMA, ZS 2011/2012, V. Sobotíková
Domácí cvičení 9
(integrace racionálních funkcí)
9/ 1 ) Rozložte funkci R(x) na součet polynomu a jednoduchých (parciálních) zlomků nejdříve bez pomoci zakrývacího
pravidla, pak s jeho pomocí, víte-li, že jmenovatel má alespoň jeden celočíselný kořen:
R(x) =
2x5
− 4x4
− 7x3
+ 6x2
− 10x − 17
x3 − 2x2 − 5x + 6
.
9/ 2 ) Rozložte (kde to je možné, použijte zakrývací pravidlo):
a) R(x) =
−4x4
+ 22x3
− 43x2
+ 48x − 18
(x2 + 2x + 1)(x − 2)3
, b) R(x) =
3x4
− x3
+ 4x2
− 5x + 3
(x2 + 2x + 5)(x4 + 2x2 + 1)
.
9/ 3 ) Uveďte tvar, v kterém je nutno hledat rozklad funkce R(x) na jednoduché zlomky, a koeficienty, které lze najít
pomocí zakrývacího pravidla, spočítejte:
a) R(x) =
9x4
− 18x2
− 3x − 24
(x3 − 1)2(x + 2)
, b) R(x) =
3x3
− 2x2
+ 5x − 10
(x4 − 4x3 + 4x2)(x3 − 4x2 + 5x)
.
9/ 4 ) Vypočtěte:
a)
x2
+ 19x + 42
(x2 − 9)(x + 3)
dx, b)
3x3
+ 2x2
+ 3x + 1
x5 + 3x4 + 3x3 + x2
dx, c)
x2
− x + 1
x3 + x
dx,
d)
x3
+ 2x2
+ 8
x5 + 4x3
dx, e)
4x + 5
4x2 + 4x + 2
dx, f)
3x − 1
x2 + 2x + 5
dx,
g)
2x + 5
x2 + 3x + 9
dx, h)
−x2
− 15x + 25
(x + 1)(x2 − 4x + 8)
dx.
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −−
Výsledky:
9/ 1 ) R(x) = 2x2
+ 3 +
5x − 35
(x − 3)(x + 2)(x − 1)
= 2x2
+ 3 +
A
x − 3
+
B
x + 2
+
C
x − 1
=
= 2x2
+ 3 −
2
x − 3
−
3
x + 2
+
5
x − 1
(x = −2, 1, 3),
zakrývací pravidlo lze použít k určení všech koeficientů
A =
5 · 3 − 35
(3 + 2)(3 − 1)
, B =
5 · (−2) − 35
(−2 − 3)(−2 − 1)
, C =
5 · 1 − 35
(1 − 3)(1 + 2)
9/ 2 ) a) R(x) =
−4x4
+ 22x3
− 43x2
+ 48x − 18
(x + 1)2(x − 2)3
=
A
(x + 1)2
+
B
x + 1
+
C
(x − 2)3
+
D
(x − 2)2
+
E
x − 2
=
=
5
(x + 1)2
−
3
x + 1
+
2
(x − 2)3
−
1
x − 2
(x = −1, 2),
zakrývací pravidlo lze použít k určení koeficientů A a C
A =
−4 · (−1)4
+ 22 · (−1)3
− 43 · (−1)2
+ 48 · (−1) − 18
(−1 − 2)3
, C =
−4 · 24
+ 22 · 23
− 43 · 22
+ 48 · 2 − 18
(2 + 1)2
ZMA, ZS 2011/2012, V. Sobotíková
b) R(x) =
3x4
− x3
+ 4x2
− 5x + 3
(x2 + 2x + 5)(x2 + 1)2
=
Ax + B
x2 + 2x + 5
+
Cx + D
(x2 + 1)2
+
Ex + F
x2 + 1
=
=
3
x2 + 2x + 5
−
x
(x2 + 1)2
(x ∈ R),
zakrývací pravidlo nelze použít k určení žádného koeficientu.
9/ 3 ) a) R(x) =
9x4
− 18x2
− 3x − 24
(x − 1)2(x2 + x + 1)2(x + 2)
=
A
(x − 1)2
+
B
x − 1
+
Cx + D
(x2 + x + 1)2
+
Ex + F
x2 + x + 1
+
G
x + 2
,
A = −
4
3
, G =
2
3
(x = 1, −2),
b) R(x) =
3x3
− 2x2
+ 5x − 10
(x − 2)2x3(x2 − 4x + 5)
=
A
(x − 2)2
+
B
x − 2
+
C
x3
+
D
x2
+
E
x
+
Fx + G
x2 − 4x + 5
,
A = 2, C = −
1
2
(x = 0, 2).
9/ 4 ) I je hledaný integrál:
a) I =
x2
+ 19x + 42
(x + 3)2(x − 3)
dx =
1
(x + 3)2
−
2
x + 3
+
3
x − 3
dx =
= −
1
x + 3
− 2 ln |x + 3| + 3 ln |x − 3| + c na (−∞, −3), na (−3, 3) a na (3, ∞),
b) I =
3x3
+ 2x2
+ 3x + 1
x2(x + 1)3
dx =
1
x2
−
3
(x + 1)3
+
2
(x + 1)2
dx =
= −
1
x
+
3
2
1
(x + 1)2
−
2
x + 1
+ c na (−∞, −1), na (−1, 0) a na (0, ∞),
c) I =
(x2
+ 1) − x
(x2 + 1)x
dx =
1
x
−
1
x2 + 1
dx = ln |x| − arctg x + c na (−∞, 0) a na (0, ∞),
d) I =
x3
+ 2(x2
+ 4)
x3(x2 + 4)
dx =
1
x2 + 4
+
2
x3
dx =
1
2
arctg
x
2
−
1
x2
+ c na (−∞, 0) a na (0, ∞),
e) I =
1
2
8x + 4
4x2 + 4x + 2
+
3
(2x + 1)2 + 1
dx =
1
2
ln(4x2
+ 4x + 2) +
3
2
arctg (2x + 1) + c na R,
f) I =
3
2
2x + 2
x2 + 2x + 5
− 4
1
(x + 1)2 + 4
dx =
3
2
2x + 2
x2 + 2x + 5
dx −
1
x+1
2
2
+ 1
dx =
=
3
2
ln(x2
+ 2x + 5) − 2arctg
x + 1
2
+ c na R,
g) I =
2x + 3
x2 + 3x + 9
+
2
x + 3
2
2
+ 27
4
dx =
2x + 3
x2 + 3x + 9
dx +
8
27
1
x+ 3
2
3
√
3
2
2
+ 1
dx =
= ln(x2
+ 3x + 9) +
4
√
3
9
arctg
2x + 3
3
√
3
+ c na R,
h) I =
3
x + 1
+
−4x + 1
x2 − 4x + 8
dx =
3
x + 1
− 2
2x − 4
x2 − 4x + 8
− 7
1
(x − 2)2 + 4
dx =
= 3 ln |x + 1| − 2 ln(x2
− 4x + 8) −
7
2
arctg
x − 2
2
+ c na (−∞, −1) a na (−1, ∞)
(ve variantách e) – h) jsme využili toho, že kvadratické výrazy v argumentech logaritmů jsou kladné).