ZMA, ZS 2011/2012, V. Sobotíková Domácí cvičení 10 (substituce vedoucí na integraci racionální funkce) U příkladů na integraci funkce racionální v sinech a kosinech doporučuji použít sránky přednášek [P56] - [P58]. 10/1) Vypočtěte: a) /cosWxdx, b) /sinWxdx, c) /sinWxdx. 10/2) Vypočtěte: , f 3e4x-7e2x , , , f e2x + 4ex + 1 , , f e3x + 4e2x + 3ex , a) / —;--—tí--di, b) / -tí-:-dx , c) / —-——---- dx . i J e4x_4e2x + 3 ' i J e2x + í ' ' J e3a; + 6e22; + 9e2; + 4 10/3) Vypočtěte . lnx + 3 i \ /" 31nx —7 . /" 6 ln3 x — 121nx a) / n 2-—-— dx , b) / /i 2-—-— dx , c) / n 4-7T~2-~ ^ ■ 10/4) Vypočtěte: f 2 sin x [3 cos x — sin x cos x — cos3 x a) /---dx , b) / -5-dx , J cos2 x-4cosx + 8 J 3 sin x + 4 cos2 x f sin2 x + 4 cos x sin x c) /-------7j— dx . J 5 cos4 x + 4 cos3 x sin x + cos2 x sin x 10/5) Vhodnou substitucí převeďte na integraci racionální funkce (výjimečně v tomto a příštím příkladu nemusíte určovat intervaly): . cosx f sinx a) -;--—ň— dx , b) / ^--— dx , cos x sin x — sin3 x ' J sin2 x cos x + 2 cos5 x sinx cosx f sinx + 3sin xcos x -ň-š— dx , d) / ---5— cos2 x — sin x J cos x — cos3 x + 3 cos x sin x /" sin x + 3 sin2 x cos x /" sin x + 3 cos2 x e) / -—-—--2-:-dx, f) / --3-—---:-dx., J cos x — srn x + 3 cos2 x sm x J cos x — sin x + 3 cos2 x sm x /" sin x + 3 sin x cos x g) / -ť-^-ť— dx . J cos x — sin x + 3 cos2 x sin x /sin^ x — 2 cos4 x ---5-dx na integrál z racionální funkce lze použít každou 2 sin x cos3 x — 4 sin x cos x ze substitucí t — sinx, í — cosx, í = tgx, t = tg ^ , a postupně je také k převodu použijte.(Jak už bylo řečeno u minulého příkladu, nemusíte u těchto dvou příkladů výjimečně určovat intervaly.) 10/7) Vypočtěte: 10/8) Vypočtěte: a) / _* dx, b) / V^]^ dx. 2^/x-3 ' ' J ^/x~T2 - 4^í+2 + 4 . 2x5 — 2 sin 2x + e3x f sinh x — 2 e 2x a) / —a-----5-- dx , b) / „, dx , x6 + 3 cos 2x + e3x + 5 7 s/čošh! 1 /"l 7-9-ttt;-ď\ dx, d) / -1 (arctg2x + 1)(1 + x2) J x ZMA, ZS 2011/2012, V. Sobotíková 10/9) Vypočtěte: a) J sin x ■ cos 5x dx , b) J cos 3x ■ cos 4x dx . (Použijte „v protisměru" vzorce pro součet a rozdíl sinů a kosinů - najdete je např. na stránce [P14] přednášek.) 10/10) Vypočtěte: a) J y/lx - x2 dx , b) / \/9 x2 +1dx. (Příklady tohoto typu v písemné části zkoušky nebudou.) Výsledky: (J je hledaný integrál; substituci nepopisuji celou, pouze uvádím, jakou substituci volím) „«,„n i . . . f,,, , , sin3 x 2 sin5 x sin7 x ^ 10/1) a) J = \t = sinx| = / (1 -ŕfŕdt =---+-+c na M, ./ 3 5 7 b) I = |í = cosx| = -Ji1 -t2)t7dt = -- + c 10 nebo /• 4 -6 o • 8 -10 o. , sin x sm x ásm x sm x m y3(l-y2)3dy = —---— + —----— + c na M c) I — — J (í — cos 2x)2(l + cos 2x) dx — ... — — J ^— — - cos4x — sin2 2x cos 2x^j dx I • r. I 1 1 • - 2aľ m, = m = sm2a; =—x--sm4x---h c na M. 1 1 16 64 48 + c 1 ( 3f — 7 1 10/2) a) J=|í= e2-| = - y (t_3)(t_1)dt^-(ln|e2--3| + 21n|e2--l|) na (—oo, 0), na I 0, —^— I a na I —^—, oo I , f t2 + 4í + 1 b) J = |í = e2-' I = / —^-— dí = x + 4arctg ex + c na M, J (t2 + l)í c) J = |t = e3a; + 6e2a; + 9ea' + 4| = ^ ln | e3a; + 6e2a; + 9ea' + 4| + c na K (absolutní hodnotu zde lze vynechat). 10/3) a) J=|í = rnx| = / —-^t-^-—dí = ^ / „ 2t 4 dt + /---- dí = ' ' ' 1 1 J (í2 + 4í + 5) 2 7 í2 + 4í + 5 7 (í + 2)2 + l = - ln(ln2 x + 4 ln x + 5) + arctg (ln x + 2) + c na (0, oo). /3í — 7 1 --— dí — 4---h 3 ln I ln x — 11 + c na (0, e) a na (e, oo). (t — \)z lnx — 1 c) J = |t = ln4x - 41n2x + 9| = - ln | ln4 x - 41n2 x + 9| + c na (0, oo) (absolutní hodnotu zde lze vynechat) 10/4) a) I — \t — cosx| — -2 / ——-j--- dí — -arctg cos x — 2 + c na 2 , n t , • , /"2-í + í2, /" -2 + t - t2 f / í - 6 b) 1=^ = ^x1= J 4_t2 dt = j t2_4 dt = j (-1 dt (í-2)(í + 2)/ = — sin x — ln | sin x — 2| + 2 ln | sin x + 2| + c (= — sin x — ln(2 — sin x) + 2 ln(sin x + 2) + c) na K, t2 + 4í , /"A 5 o) í=|t = «B»| = /5Í-±^* = /(l 1 + (í + 2)2 dí 7T 7T tg x — 5arctg (tg x + 2) + c na (— — + &7r, — + kir), ke ZMA, ZS 2011/2012, V. Sobotíková 10/5) a) i": b) I c) /: d) I e) /: f) /: g) I |í — cosx\ |í = tgx| = \t — smx\ : \t — smx\ : |í = tgx| = x t = t*2 \t — cosx\ — — t (l-í2)(í-l+í2) í(l+í2) dí, í4 + t2 + 2 t 1 - í2 - í3 -3t3 + 3í + 1 dí, dí, dí, dí, 4í(l - í2) í3 + 3í2 + í (-í3+í2 + 3í+l)(l+í2) 6t4 + 4t3 - I2t2 + At + 6 -í6-í4-llí3 + í2 + 3í+l 1 + 3* dí, -3í4 + Ať2 - t - 1 dí. 10/6) J = |í = sinx| = -í4 + 4í2-2 , / /• -í4 + 4í2-2 , at \ — ——-—r--tt~ dí I=\v = tgx\ 6í5 - 8í3 + 2t -u4 - 2u2 + 1 -6w5 + 10w3 - Au v2-2 du 6í(í2-l)(í2 + ±) m4 + 2u2 - 1 6it(it2 — 1) (í 2 _ 2' ■ du ■ dv 2-v2 1= z X tg - S 2 (2«-4í;3)(í;2 + 1) ^ J Av (v2 - ±) {v2 + 1) _2z4-2(l-z2)4_ (2z(l - z2)3 - 4z3(l - z2))(l + z2) 2{\-z2)4-2z4 dt> dz 10/7) a) i"= |í = V^-3| (absolutní h b) J= |t = ^rT2| = 2z(z2 - l)(z2 - Věz + l)(z2 + Věz + l)(z2 + 1) 2t dz t2 + 2t + 3 (absolutní hodnotu zde lze vynechat) í-4 dí — ln |x + 2\/x — 3| — \/2arctg ^ --h c na (3, oo) V2 At3 dt = / f 4í2 - 16 + 64 * "ti I dí = 10/8) a) /: b) / C) /: d) I 10/9) a) i": b) I 10/10) a) I í2-4í + 4 J V (í-2)2, = -^/(x+ 2)3 - 16y/x~T2~ + 64 1 --641n|-v/x + 2-2|+c na (-2,14) a na (14, oo). 3 sj x ~\~ 2 2 \t = x6 + 3 cos 2x + e3a; + 5| = - ln |x6 + 3 cos 2x + e3x + 5| + c na M 3 (absolutní hodnotu zde lze vynechat), |í = coshx+e 2x\ — - "^/(coshx + e^22-')2 + c na H |í = arctg x| = /-- dí — arctg (arctg x) + c na. J 1 +í2 |í = ln:r| = y cos(3í) dí — — sin(31nx) + c na (0, oo). 1 f 11 - / (sin6x + sin(—Ax)) dx — — — cosdx + - cos4x + c na 2 J 12 8 1 f 11 - / (cos 7x + cos x) dx — — sin 7x H— sin x + c na R. 2 J 14 2 x — 1 — siní; í G ( — 2' 2 i 1 í 1 • „ \ 1 1 • — i cos í • cos í dí = - I í + - sin 2í I + c = - í + - srn í cos í + c = = - arcsin(x — 1) + — (x — — (x — l)2 + c = — arcsin(x — 1) + -(x — V)\/2x — x2 + c na (0,2), 1 f 1 f 11 b) I — \3x — sinhí| — — / coshí • coshí dí — — / (1 + cosh 2í) dí = - í + — sinh 2í + c — — - t H— sinh í cosh í + c= - ÍH— sinhí\/1 + sinh2 í + c = - argsinh 3x H—x\/l + 9x2 + c 6 6 6 6 6 2