Nevlastní integrál
Robert Mařík
7. listopadu 2008
Obsah
1 Nevlastní integrál 3
∞
1
1
x(x2 + 1)
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
∞
2
1
x ln x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
∞
1
1
x
√
x + 1
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Robert Mařík, 2008 ×
∞
0
xe−x2
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
∞
0
x2
e−x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
∞
1
arctg x
x2 + 1
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
∞
−∞
1
e−x + ex
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Robert Mařík, 2008 ×
1 Nevlastní integrál
Nevlastní integrál je rozšířením pojmu Riemannova integrálu. Riemannův integrál
je definovaný pouze pro ohraničené funkce a konečné obory integrace.
Body, ve kterých funkce není ohraničená a nevlastní body ±∞ budeme souhrnně
nazývat singulárními body.
Integrál
b
a
f (x) dx nazýváme nevlastní, pokud alespoň jedno z čísel a, b je rovno
±∞, nebo funkce f (x) není ohraničená na uzavřeném intervalu [a, b] (tj. alespoň
v jednom bodě intervalu funkce má singulární bod - nemusí jít vždy o body a nebo
b, ale singulární bod může být i uvnitř intervalu).
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
x
y
u−1
∞
−1
e−x2
dx = lim
u→∞
u
−1
e−x2
dx
Definice. Nechť b ∈ R ∪ {+∞} a nechť funkce f (x) je integrovatelná na každém
intervalu [a, u], kde a < u < b. Dále nechť buď platí b = ∞ nebo nechť f (x) není
ohraničená v okolí bodu b. Existuje-li vlastní limita lim
u→b−
u
a
f (x) dx = B, říkáme že
nevlastní integrál konverguje a píšeme
b
a
f (x) dx = B. Pokud limita neexistuje,
nebo je nevlastní, říkáme, že integrál
b
a
f (x) dx diverguje.
Poznámka 1. Pokud je v předchozí definici b = ∞, nahradíme v definici jednostrannou
limitu obyčejnou limitou.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
x
y
u −1
−1
−∞
e−x2
dx = lim
u→−∞
−1
u
e−x2
dx
Definice. Nechť a ∈ R ∪ {−∞} a nechť funkce f (x) je integrovatelná na každém
intervalu [u, b], kde a < u < b. Dále nechť buď platí a = −∞ nebo nechť f (x)
není ohraničená v okolí bodu a. Existuje-li vlastní limita lim
u→a+
b
u
f (x) dx = A,
říkáme že nevlastní integrál konverguje a píšeme
b
a
f (x) dx = A. Pokud limita
neexistuje, nebo je nevlastní, říkáme, že integrál
b
a
f (x) dx diverguje.
Poznámka 2. Pokud je v předchozí definici a = −∞, nahradíme v definici jednostrannou
limitu obyčejnou limitou.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
x
y
u v
∞
−∞
e−x2
dx =
0
−∞
e−x2
dx +
∞
0
e−x2
dx
= lim
u→−∞
0
u
e−x2
dx + lim
v→∞
v
0
e−x2
dx
Pokud singulární bod leží uvnitř intervalu (a, b), a, b ∈ R ∪ {±∞}, nebo pokud jsou
singulárními body obě meze, rozdělíme interval přes který integrujeme na několik
podintervalů opakovaným využitím aditivity Riemannova integrálu vzheldem k
mezím a integrujeme na každém intervalu samostatně.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte
∞
1
1
x(x2 + 1)
dx.
I = lim
u→∞
u
1
1
x(x2 + 1)
dx
1
x(x2 + 1)
dx =
1
x
−
x
x2 + 1
dx = ln x −
1
2
ln(x2
+ 1)
u
1
1
x(x2 + 1)
dx = ln u −
1
2
ln(u2
+ 1) +
1
2
ln(2)
I = lim
u→∞
ln u −
1
2
ln(u2
+ 1) +
1
2
ln(2) =
=
1
2
ln 2 +
1
2
ln lim
u→∞
u
2
u2 + 1
=
1
2
ln 2 +
1
2
ln 1 =
1
2
ln 2.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte
∞
1
1
x(x2 + 1)
dx.
I = lim
u→∞
u
1
1
x(x2 + 1)
dx
1
x(x2 + 1)
dx =
1
x
−
x
x2 + 1
dx = ln x −
1
2
ln(x2
+ 1)
u
1
1
x(x2 + 1)
dx = ln u −
1
2
ln(u2
+ 1) +
1
2
ln(2)
I = lim
u→∞
ln u −
1
2
ln(u2
+ 1) +
1
2
ln(2) =
=
1
2
ln 2 +
1
2
ln lim
u→∞
u
2
u2 + 1
=
1
2
ln 2 +
1
2
ln 1 =
1
2
ln 2.
Použijeme definici nevlastního integrálu a rozepíšeme jej jako limitu Riemannova
integrálu.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte
∞
1
1
x(x2 + 1)
dx.
I = lim
u→∞
u
1
1
x(x2 + 1)
dx
1
x(x2 + 1)
dx =
1
x
−
x
x2 + 1
dx = ln x −
1
2
ln(x2
+ 1)
u
1
1
x(x2 + 1)
dx = ln u −
1
2
ln(u2
+ 1) +
1
2
ln(2)
I = lim
u→∞
ln u −
1
2
ln(u2
+ 1) +
1
2
ln(2) =
=
1
2
ln 2 +
1
2
ln lim
u→∞
u
2
u2 + 1
=
1
2
ln 2 +
1
2
ln 1 =
1
2
ln 2.
Pro výpočet neurčitého integrálu rozložíme na parciální zlomky.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte
∞
1
1
x(x2 + 1)
dx.
I = lim
u→∞
u
1
1
x(x2 + 1)
dx
1
x(x2 + 1)
dx =
1
x
−
x
x2 + 1
dx = ln x −
1
2
ln(x2
+ 1)
u
1
1
x(x2 + 1)
dx = ln u −
1
2
ln(u2
+ 1) +
1
2
ln(2)
I = lim
u→∞
ln u −
1
2
ln(u2
+ 1) +
1
2
ln(2) =
=
1
2
ln 2 +
1
2
ln lim
u→∞
u
2
u2 + 1
=
1
2
ln 2 +
1
2
ln 1 =
1
2
ln 2.
Užijeme základní vzorce a pravidla pro integraci.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte
∞
1
1
x(x2 + 1)
dx.
I = lim
u→∞
u
1
1
x(x2 + 1)
dx
1
x(x2 + 1)
dx =
1
x
−
x
x2 + 1
dx = ln x −
1
2
ln(x2
+ 1)
u
1
1
x(x2 + 1)
dx = ln u −
1
2
ln(u2
+ 1) +
1
2
ln(2)
I = lim
u→∞
ln u −
1
2
ln(u2
+ 1) +
1
2
ln(2) =
=
1
2
ln 2 +
1
2
ln lim
u→∞
u
2
u2 + 1
=
1
2
ln 2 +
1
2
ln 1 =
1
2
ln 2.
Vypočteme Riemannův integral pomocí Newtonovy–Leibnizovy věty.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte
∞
1
1
x(x2 + 1)
dx.
I = lim
u→∞
u
1
1
x(x2 + 1)
dx
1
x(x2 + 1)
dx =
1
x
−
x
x2 + 1
dx = ln x −
1
2
ln(x2
+ 1)
u
1
1
x(x2 + 1)
dx = ln u −
1
2
ln(u2
+ 1) +
1
2
ln(2)
I = lim
u→∞
ln u −
1
2
ln(u2
+ 1) +
1
2
ln(2) =
=
1
2
ln 2 +
1
2
ln lim
u→∞
u
2
u2 + 1
=
1
2
ln 2 +
1
2
ln 1 =
1
2
ln 2.
Nyní užijeme limitní přechod u → ∞.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte
∞
1
1
x(x2 + 1)
dx.
I = lim
u→∞
u
1
1
x(x2 + 1)
dx
1
x(x2 + 1)
dx =
1
x
−
x
x2 + 1
dx = ln x −
1
2
ln(x2
+ 1)
u
1
1
x(x2 + 1)
dx = ln u −
1
2
ln(u2
+ 1) +
1
2
ln(2)
I = lim
u→∞
ln u −
1
2
ln(u2
+ 1) +
1
2
ln(2) =
=
1
2
ln 2 +
1
2
ln lim
u→∞
u
2
u2 + 1
=
1
2
ln 2 +
1
2
ln 1 =
1
2
ln 2.
• Výraz je typu ∞ − ∞.
• Sečtením logaritmů převedeme na logaritmus podílu, se kterým se lépe za-
chází.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte
∞
1
1
x(x2 + 1)
dx.
I = lim
u→∞
u
1
1
x(x2 + 1)
dx
1
x(x2 + 1)
dx =
1
x
−
x
x2 + 1
dx = ln x −
1
2
ln(x2
+ 1)
u
1
1
x(x2 + 1)
dx = ln u −
1
2
ln(u2
+ 1) +
1
2
ln(2)
I = lim
u→∞
ln u −
1
2
ln(u2
+ 1) +
1
2
ln(2) =
=
1
2
ln 2 +
1
2
ln lim
u→∞
u
2
u2 + 1
=
1
2
ln 2 +
1
2
ln 1 =
1
2
ln 2.
Integrál konverguje, jeho hodnota je I =
1
2
ln 2.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte
∞
2
1
x ln x
dx.
Rozepíšeme
I = lim
u→∞
u
2
1
x ln x
dx.
Neurčitý integrál splňuje
1
x ln x
dx =
1
x
ln x
dx = ln | ln x|
a proto
I =
∞
2
1
x ln x
dx = lim
u→∞
u
2
1
x ln x
dx = lim
u→∞
ln | ln u| − ln | ln 2| = ∞
a nevlastní integrál tedy diverguje.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte
∞
1
1
x
√
x + 1
dx.
I = lim
u→∞
u
1
1
x
√
x + 1
dx
1
x
√
x + 1
dx = ln
√
x + 1 − 1
√
x + 1 + 1
1
x
√
x + 1
dx
x + 1 = t2
x = t2
− 1
dx = 2t dt
=
1
(t2 − 1)t
2t dt =
2
t2 − 1
dt = ln
t − 1
t + 1
= ln
√
x + 1 − 1
√
x + 1 + 1
u
1
1
x
√
x + 1
dx = ln
√
x + 1 − 1
√
x + 1 + 1
u
1
= ln
√
u + 1 − 1
√
u + 1 + 1
− ln
√
2 − 1
√
2 + 1
I = − ln
√
2 − 1
√
2 + 1
+ lim
u→∞
ln
√
u + 1 − 1
√
u + 1 + 1⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte
∞
1
1
x
√
x + 1
dx.
I = lim
u→∞
u
1
1
x
√
x + 1
dx
1
x
√
x + 1
dx = ln
√
x + 1 − 1
√
x + 1 + 1
1
x
√
x + 1
dx
x + 1 = t2
x = t2
− 1
dx = 2t dt
=
1
(t2 − 1)t
2t dt =
2
t2 − 1
dt = ln
t − 1
t + 1
= ln
√
x + 1 − 1
√
x + 1 + 1
u
1
1
x
√
x + 1
dx = ln
√
x + 1 − 1
√
x + 1 + 1
u
1
= ln
√
u + 1 − 1
√
u + 1 + 1
− ln
√
2 − 1
√
2 + 1
I = − ln
√
2 − 1
√
2 + 1
+ lim
u→∞
ln
√
u + 1 − 1
√
u + 1 + 1
použijeme definici nevlastního integrálu.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte
∞
1
1
x
√
x + 1
dx.
I = lim
u→∞
u
1
1
x
√
x + 1
dx
1
x
√
x + 1
dx = ln
√
x + 1 − 1
√
x + 1 + 1
1
x
√
x + 1
dx
x + 1 = t2
x = t2
− 1
dx = 2t dt
=
1
(t2 − 1)t
2t dt =
2
t2 − 1
dt = ln
t − 1
t + 1
= ln
√
x + 1 − 1
√
x + 1 + 1
u
1
1
x
√
x + 1
dx = ln
√
x + 1 − 1
√
x + 1 + 1
u
1
= ln
√
u + 1 − 1
√
u + 1 + 1
− ln
√
2 − 1
√
2 + 1
I = − ln
√
2 − 1
√
2 + 1
+ lim
u→∞
ln
√
u + 1 − 1
√
u + 1 + 1
Vypočteme neurčitý integrál.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte
∞
1
1
x
√
x + 1
dx.
I = lim
u→∞
u
1
1
x
√
x + 1
dx
1
x
√
x + 1
dx = ln
√
x + 1 − 1
√
x + 1 + 1
1
x
√
x + 1
dx
x + 1 = t2
x = t2
− 1
dx = 2t dt
=
1
(t2 − 1)t
2t dt =
2
t2 − 1
dt = ln
t − 1
t + 1
= ln
√
x + 1 − 1
√
x + 1 + 1
u
1
1
x
√
x + 1
dx = ln
√
x + 1 − 1
√
x + 1 + 1
u
1
= ln
√
u + 1 − 1
√
u + 1 + 1
− ln
√
2 − 1
√
2 + 1
I = − ln
√
2 − 1
√
2 + 1
+ lim
u→∞
ln
√
u + 1 − 1
√
u + 1 + 1
Substitucí odstraníme odmocninu.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte
∞
1
1
x
√
x + 1
dx.
I = lim
u→∞
u
1
1
x
√
x + 1
dx
1
x
√
x + 1
dx = ln
√
x + 1 − 1
√
x + 1 + 1
1
x
√
x + 1
dx
x + 1 = t2
x = t2
− 1
dx = 2t dt
=
1
(t2 − 1)t
2t dt =
2
t2 − 1
dt = ln
t − 1
t + 1
= ln
√
x + 1 − 1
√
x + 1 + 1
u
1
1
x
√
x + 1
dx = ln
√
x + 1 − 1
√
x + 1 + 1
u
1
= ln
√
u + 1 − 1
√
u + 1 + 1
− ln
√
2 − 1
√
2 + 1
I = − ln
√
2 − 1
√
2 + 1
+ lim
u→∞
ln
√
u + 1 − 1
√
u + 1 + 1
Vypočteme x. . .
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte
∞
1
1
x
√
x + 1
dx.
I = lim
u→∞
u
1
1
x
√
x + 1
dx
1
x
√
x + 1
dx = ln
√
x + 1 − 1
√
x + 1 + 1
1
x
√
x + 1
dx
x + 1 = t2
x = t2
− 1
dx = 2t dt
=
1
(t2 − 1)t
2t dt =
2
t2 − 1
dt = ln
t − 1
t + 1
= ln
√
x + 1 − 1
√
x + 1 + 1
u
1
1
x
√
x + 1
dx = ln
√
x + 1 − 1
√
x + 1 + 1
u
1
= ln
√
u + 1 − 1
√
u + 1 + 1
− ln
√
2 − 1
√
2 + 1
I = − ln
√
2 − 1
√
2 + 1
+ lim
u→∞
ln
√
u + 1 − 1
√
u + 1 + 1
. . . a odsud nalezneme vztah mezi diferenciály.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte
∞
1
1
x
√
x + 1
dx.
I = lim
u→∞
u
1
1
x
√
x + 1
dx
1
x
√
x + 1
dx = ln
√
x + 1 − 1
√
x + 1 + 1
1
x
√
x + 1
dx
x + 1 = t2
x = t2
− 1
dx = 2t dt
=
1
(t2 − 1)t
2t dt =
2
t2 − 1
dt = ln
t − 1
t + 1
= ln
√
x + 1 − 1
√
x + 1 + 1
u
1
1
x
√
x + 1
dx = ln
√
x + 1 − 1
√
x + 1 + 1
u
1
= ln
√
u + 1 − 1
√
u + 1 + 1
− ln
√
2 − 1
√
2 + 1
I = − ln
√
2 − 1
√
2 + 1
+ lim
u→∞
ln
√
u + 1 − 1
√
u + 1 + 1
Dosadíme substituci. . .
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte
∞
1
1
x
√
x + 1
dx.
I = lim
u→∞
u
1
1
x
√
x + 1
dx
1
x
√
x + 1
dx = ln
√
x + 1 − 1
√
x + 1 + 1
1
x
√
x + 1
dx
x + 1 = t2
x = t2
− 1
dx = 2t dt
=
1
(t2 − 1)t
2t dt =
2
t2 − 1
dt = ln
t − 1
t + 1
= ln
√
x + 1 − 1
√
x + 1 + 1
u
1
1
x
√
x + 1
dx = ln
√
x + 1 − 1
√
x + 1 + 1
u
1
= ln
√
u + 1 − 1
√
u + 1 + 1
− ln
√
2 − 1
√
2 + 1
I = − ln
√
2 − 1
√
2 + 1
+ lim
u→∞
ln
√
u + 1 − 1
√
u + 1 + 1
. . . a upravíme.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte
∞
1
1
x
√
x + 1
dx.
I = lim
u→∞
u
1
1
x
√
x + 1
dx
1
x
√
x + 1
dx = ln
√
x + 1 − 1
√
x + 1 + 1
1
x
√
x + 1
dx
x + 1 = t2
x = t2
− 1
dx = 2t dt
=
1
(t2 − 1)t
2t dt =
2
t2 − 1
dt = ln
t − 1
t + 1
= ln
√
x + 1 − 1
√
x + 1 + 1
u
1
1
x
√
x + 1
dx = ln
√
x + 1 − 1
√
x + 1 + 1
u
1
= ln
√
u + 1 − 1
√
u + 1 + 1
− ln
√
2 − 1
√
2 + 1
I = − ln
√
2 − 1
√
2 + 1
+ lim
u→∞
ln
√
u + 1 − 1
√
u + 1 + 1
Rozložíme na parciální zlomky (zde přeskočeno) a zintegrujeme.
2
t2 − 1
dt =
1
t − 1
−
1
t + 1
dt = ln |t − 1| − ln |t + 1|
= ln
|t − 1|
|t + 1|
= ln
t − 1
t + 1
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte
∞
1
1
x
√
x + 1
dx.
I = lim
u→∞
u
1
1
x
√
x + 1
dx
1
x
√
x + 1
dx = ln
√
x + 1 − 1
√
x + 1 + 1
1
x
√
x + 1
dx
x + 1 = t2
x = t2
− 1
dx = 2t dt
=
1
(t2 − 1)t
2t dt =
2
t2 − 1
dt = ln
t − 1
t + 1
= ln
√
x + 1 − 1
√
x + 1 + 1
u
1
1
x
√
x + 1
dx = ln
√
x + 1 − 1
√
x + 1 + 1
u
1
= ln
√
u + 1 − 1
√
u + 1 + 1
− ln
√
2 − 1
√
2 + 1
I = − ln
√
2 − 1
√
2 + 1
+ lim
u→∞
ln
√
u + 1 − 1
√
u + 1 + 1
Dosadíme substituci a vrátíme se tak zpět k proměnné x.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte
∞
1
1
x
√
x + 1
dx.
I = lim
u→∞
u
1
1
x
√
x + 1
dx
1
x
√
x + 1
dx = ln
√
x + 1 − 1
√
x + 1 + 1
u
1
1
x
√
x + 1
dx = ln
√
x + 1 − 1
√
x + 1 + 1
u
1
= ln
√
u + 1 − 1
√
u + 1 + 1
− ln
√
2 − 1
√
2 + 1
I = − ln
√
2 − 1
√
2 + 1
+ lim
u→∞
ln
√
u + 1 − 1
√
u + 1 + 1
= ln
√
2 + 1
√
2 − 1
+ ln lim
u→∞
√
u + 1 − 1
√
u + 1 + 1
= ln
√
2 + 1
√
2 − 1
+ ln lim
u→∞
(
√
u + 1)′
(
√
u + 1)′
= ln
√
2 + 1
√
2 − 1
+ ln 1 = ln
√
2 + 1
√
2 − 1
Užijeme primitivní funkci k výpočtu určitého integrálu.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte
∞
1
1
x
√
x + 1
dx.
I = lim
u→∞
u
1
1
x
√
x + 1
dx
1
x
√
x + 1
dx = ln
√
x + 1 − 1
√
x + 1 + 1
u
1
1
x
√
x + 1
dx = ln
√
x + 1 − 1
√
x + 1 + 1
u
1
= ln
√
u + 1 − 1
√
u + 1 + 1
− ln
√
2 − 1
√
2 + 1
I = − ln
√
2 − 1
√
2 + 1
+ lim
u→∞
ln
√
u + 1 − 1
√
u + 1 + 1
= ln
√
2 + 1
√
2 − 1
+ ln lim
u→∞
√
u + 1 − 1
√
u + 1 + 1
= ln
√
2 + 1
√
2 − 1
+ ln lim
u→∞
(
√
u + 1)′
(
√
u + 1)′
= ln
√
2 + 1
√
2 − 1
+ ln 1 = ln
√
2 + 1
√
2 − 1
Newtonova–Leibnizova formule.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte
∞
1
1
x
√
x + 1
dx.
I = lim
u→∞
u
1
1
x
√
x + 1
dx
1
x
√
x + 1
dx = ln
√
x + 1 − 1
√
x + 1 + 1
u
1
1
x
√
x + 1
dx = ln
√
x + 1 − 1
√
x + 1 + 1
u
1
= ln
√
u + 1 − 1
√
u + 1 + 1
− ln
√
2 − 1
√
2 + 1
I = − ln
√
2 − 1
√
2 + 1
+ lim
u→∞
ln
√
u + 1 − 1
√
u + 1 + 1
= ln
√
2 + 1
√
2 − 1
+ ln lim
u→∞
√
u + 1 − 1
√
u + 1 + 1
= ln
√
2 + 1
√
2 − 1
+ ln lim
u→∞
(
√
u + 1)′
(
√
u + 1)′
= ln
√
2 + 1
√
2 − 1
+ ln 1 = ln
√
2 + 1
√
2 − 1
Určitý integrál.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte
∞
1
1
x
√
x + 1
dx.
I = lim
u→∞
u
1
1
x
√
x + 1
dx
1
x
√
x + 1
dx = ln
√
x + 1 − 1
√
x + 1 + 1
u
1
1
x
√
x + 1
dx = ln
√
x + 1 − 1
√
x + 1 + 1
u
1
= ln
√
u + 1 − 1
√
u + 1 + 1
− ln
√
2 − 1
√
2 + 1
I = − ln
√
2 − 1
√
2 + 1
+ lim
u→∞
ln
√
u + 1 − 1
√
u + 1 + 1
= ln
√
2 + 1
√
2 − 1
+ ln lim
u→∞
√
u + 1 − 1
√
u + 1 + 1
= ln
√
2 + 1
√
2 − 1
+ ln lim
u→∞
(
√
u + 1)′
(
√
u + 1)′
= ln
√
2 + 1
√
2 − 1
+ ln 1 = ln
√
2 + 1
√
2 − 1
Nevlastní integrál je limitou určitého integrálu.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte
∞
1
1
x
√
x + 1
dx.
I = lim
u→∞
u
1
1
x
√
x + 1
dx
1
x
√
x + 1
dx = ln
√
x + 1 − 1
√
x + 1 + 1
u
1
1
x
√
x + 1
dx = ln
√
x + 1 − 1
√
x + 1 + 1
u
1
= ln
√
u + 1 − 1
√
u + 1 + 1
− ln
√
2 − 1
√
2 + 1
I = − ln
√
2 − 1
√
2 + 1
+ lim
u→∞
ln
√
u + 1 − 1
√
u + 1 + 1
= ln
√
2 + 1
√
2 − 1
+ ln lim
u→∞
√
u + 1 − 1
√
u + 1 + 1
= ln
√
2 + 1
√
2 − 1
+ ln lim
u→∞
(
√
u + 1)′
(
√
u + 1)′
= ln
√
2 + 1
√
2 − 1
+ ln 1 = ln
√
2 + 1
√
2 − 1
Užijeme větu o limitě funkce se spojitou vnější složkou.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte
∞
1
1
x
√
x + 1
dx.
I = lim
u→∞
u
1
1
x
√
x + 1
dx
1
x
√
x + 1
dx = ln
√
x + 1 − 1
√
x + 1 + 1
u
1
1
x
√
x + 1
dx = ln
√
x + 1 − 1
√
x + 1 + 1
u
1
= ln
√
u + 1 − 1
√
u + 1 + 1
− ln
√
2 − 1
√
2 + 1
I = − ln
√
2 − 1
√
2 + 1
+ lim
u→∞
ln
√
u + 1 − 1
√
u + 1 + 1
= ln
√
2 + 1
√
2 − 1
+ ln lim
u→∞
√
u + 1 − 1
√
u + 1 + 1
= ln
√
2 + 1
√
2 − 1
+ ln lim
u→∞
(
√
u + 1)′
(
√
u + 1)′
= ln
√
2 + 1
√
2 − 1
+ ln 1 = ln
√
2 + 1
√
2 − 1
Vnitřní složka je neurčitý výraz typu
∞
∞
a lze použít l’Hospitalovo pravidlo.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte
∞
1
1
x
√
x + 1
dx.
I = lim
u→∞
u
1
1
x
√
x + 1
dx
1
x
√
x + 1
dx = ln
√
x + 1 − 1
√
x + 1 + 1
u
1
1
x
√
x + 1
dx = ln
√
x + 1 − 1
√
x + 1 + 1
u
1
= ln
√
u + 1 − 1
√
u + 1 + 1
− ln
√
2 − 1
√
2 + 1
I = − ln
√
2 − 1
√
2 + 1
+ lim
u→∞
ln
√
u + 1 − 1
√
u + 1 + 1
= ln
√
2 + 1
√
2 − 1
+ ln lim
u→∞
√
u + 1 − 1
√
u + 1 + 1
= ln
√
2 + 1
√
2 − 1
+ ln lim
u→∞
(
√
u + 1)′
(
√
u + 1)′
= ln
√
2 + 1
√
2 − 1
+ ln 1 = ln
√
2 + 1
√
2 − 1
Čitatel a jmenovatel se zkrátí.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte
∞
1
1
x
√
x + 1
dx.
I = lim
u→∞
u
1
1
x
√
x + 1
dx
1
x
√
x + 1
dx = ln
√
x + 1 − 1
√
x + 1 + 1
u
1
1
x
√
x + 1
dx = ln
√
x + 1 − 1
√
x + 1 + 1
u
1
= ln
√
u + 1 − 1
√
u + 1 + 1
− ln
√
2 − 1
√
2 + 1
I = − ln
√
2 − 1
√
2 + 1
+ lim
u→∞
ln
√
u + 1 − 1
√
u + 1 + 1
= ln
√
2 + 1
√
2 − 1
+ ln lim
u→∞
√
u + 1 − 1
√
u + 1 + 1
= ln
√
2 + 1
√
2 − 1
+ ln lim
u→∞
(
√
u + 1)′
(
√
u + 1)′
= ln
√
2 + 1
√
2 − 1
+ ln 1 = ln
√
2 + 1
√
2 − 1
ln 1 = 0
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte
∞
1
1
x
√
x + 1
dx.
I = lim
u→∞
u
1
1
x
√
x + 1
dx
1
x
√
x + 1
dx = ln
√
x + 1 − 1
√
x + 1 + 1
u
1
1
x
√
x + 1
dx = ln
√
x + 1 − 1
√
x + 1 + 1
u
1
= ln
√
u + 1 − 1
√
u + 1 + 1
− ln
√
2 − 1
√
2 + 1
I = − ln
√
2 − 1
√
2 + 1
+ lim
u→∞
ln
√
u + 1 − 1
√
u + 1 + 1
= ln
√
2 + 1
√
2 − 1
+ ln lim
u→∞
√
u + 1 − 1
√
u + 1 + 1
= ln
√
2 + 1
√
2 − 1
+ ln lim
u→∞
(
√
u + 1)′
(
√
u + 1)′
= ln
√
2 + 1
√
2 − 1
+ ln 1 = ln
√
2 + 1
√
2 − 1
Problém je vyřešen, integrál konverguje.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte I =
∞
0
xe−x2
dx
I = lim
u→∞
u
0
xe−x2
dx
xe−x2
dx
−x2
= t
−2x dx = dt
x dx = −
1
2
dt
= −
1
2
et
dt = −
1
2
et
=
1
2
e−x2
u
0
xe−x
2
dx = −
1
2
e−x
2
u
0
= −
1
2
e−u
2
− −
1
2
e0
= −
1
2
e−u
2
+
1
2
I =
1
2
− lim
u→∞
1
2
e−u2
=
1
2
−
1
2
e−∞
=
1
2
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte I =
∞
0
xe−x2
dx
I = lim
u→∞
u
0
xe−x2
dx
xe−x2
dx
−x2
= t
−2x dx = dt
x dx = −
1
2
dt
= −
1
2
et
dt = −
1
2
et
=
1
2
e−x2
u
0
xe−x
2
dx = −
1
2
e−x
2
u
0
= −
1
2
e−u
2
− −
1
2
e0
= −
1
2
e−u
2
+
1
2
I =
1
2
− lim
u→∞
1
2
e−u2
=
1
2
−
1
2
e−∞
=
1
2
Použijeme definici nevlastního integrálu. Singulárním bodem je +∞.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte I =
∞
0
xe−x2
dx
I = lim
u→∞
u
0
xe−x2
dx
xe−x2
dx
−x2
= t
−2x dx = dt
x dx = −
1
2
dt
= −
1
2
et
dt = −
1
2
et
=
1
2
e−x2
u
0
xe−x
2
dx = −
1
2
e−x
2
u
0
= −
1
2
e−u
2
− −
1
2
e0
= −
1
2
e−u
2
+
1
2
I =
1
2
− lim
u→∞
1
2
e−u2
=
1
2
−
1
2
e−∞
=
1
2
Nejdříve vypočteme neurčitý integrál.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte I =
∞
0
xe−x2
dx
I = lim
u→∞
u
0
xe−x2
dx
xe−x2
dx
−x2
= t
−2x dx = dt
x dx = −
1
2
dt
= −
1
2
et
dt = −
1
2
et
=
1
2
e−x2
u
0
xe−x
2
dx = −
1
2
e−x
2
u
0
= −
1
2
e−u
2
− −
1
2
e0
= −
1
2
e−u
2
+
1
2
I =
1
2
− lim
u→∞
1
2
e−u2
=
1
2
−
1
2
e−∞
=
1
2
Složená funkce “volá” po substituci (−x2
).
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte I =
∞
0
xe−x2
dx
I = lim
u→∞
u
0
xe−x2
dx
xe−x2
dx
−x2
= t
−2x dx = dt
x dx = −
1
2
dt
= −
1
2
et
dt = −
1
2
et
=
1
2
e−x2
u
0
xe−x
2
dx = −
1
2
e−x
2
u
0
= −
1
2
e−u
2
− −
1
2
e0
= −
1
2
e−u
2
+
1
2
I =
1
2
− lim
u→∞
1
2
e−u2
=
1
2
−
1
2
e−∞
=
1
2
Nalezneme vztah mezi diferenciály. Všimněme si, že diferenciál nalevo vychází
x dx, což v integrálu přesně potřebujeme.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte I =
∞
0
xe−x2
dx
I = lim
u→∞
u
0
xe−x2
dx
xe−x2
dx
−x2
= t
−2x dx = dt
x dx = −
1
2
dt
= −
1
2
et
dt = −
1
2
et
=
1
2
e−x2
u
0
xe−x
2
dx = −
1
2
e−x
2
u
0
= −
1
2
e−u
2
− −
1
2
e0
= −
1
2
e−u
2
+
1
2
I =
1
2
− lim
u→∞
1
2
e−u2
=
1
2
−
1
2
e−∞
=
1
2
Dosadíme substituci.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte I =
∞
0
xe−x2
dx
I = lim
u→∞
u
0
xe−x2
dx
xe−x2
dx
−x2
= t
−2x dx = dt
x dx = −
1
2
dt
= −
1
2
et
dt = −
1
2
et
=
1
2
e−x2
u
0
xe−x
2
dx = −
1
2
e−x
2
u
0
= −
1
2
e−u
2
− −
1
2
e0
= −
1
2
e−u
2
+
1
2
I =
1
2
− lim
u→∞
1
2
e−u2
=
1
2
−
1
2
e−∞
=
1
2
Vypočteme integrál.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte I =
∞
0
xe−x2
dx
I = lim
u→∞
u
0
xe−x2
dx
xe−x2
dx
−x2
= t
−2x dx = dt
x dx = −
1
2
dt
= −
1
2
et
dt = −
1
2
et
=
1
2
e−x2
u
0
xe−x
2
dx = −
1
2
e−x
2
u
0
= −
1
2
e−u
2
− −
1
2
e0
= −
1
2
e−u
2
+
1
2
I =
1
2
− lim
u→∞
1
2
e−u2
=
1
2
−
1
2
e−∞
=
1
2
Zpětná substituce zařídí návrat k proměnné x.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte I =
∞
0
xe−x2
dx
I = lim
u→∞
u
0
xe−x2
dx
xe−x2
dx
−x2
= t
−2x dx = dt
x dx = −
1
2
dt
= −
1
2
et
dt = −
1
2
et
=
1
2
e−x2
u
0
xe−x
2
dx = −
1
2
e−x
2
u
0
= −
1
2
e−u
2
− −
1
2
e0
= −
1
2
e−u
2
+
1
2
I =
1
2
− lim
u→∞
1
2
e−u2
=
1
2
−
1
2
e−∞
=
1
2
Vypočítáme určitý integrál.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte I =
∞
0
xe−x2
dx
I = lim
u→∞
u
0
xe−x2
dx
xe−x2
dx
−x2
= t
−2x dx = dt
x dx = −
1
2
dt
= −
1
2
et
dt = −
1
2
et
=
1
2
e−x2
u
0
xe−x
2
dx = −
1
2
e−x
2
u
0
= −
1
2
e−u
2
− −
1
2
e0
= −
1
2
e−u
2
+
1
2
I =
1
2
− lim
u→∞
1
2
e−u2
=
1
2
−
1
2
e−∞
=
1
2
Neučitý integrál známe a můžeme použít Newtonovu-Leibnizovu větu.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte I =
∞
0
xe−x2
dx
I = lim
u→∞
u
0
xe−x2
dx
xe−x2
dx
−x2
= t
−2x dx = dt
x dx = −
1
2
dt
= −
1
2
et
dt = −
1
2
et
=
1
2
e−x2
u
0
xe−x
2
dx = −
1
2
e−x
2
u
0
= −
1
2
e−u
2
− −
1
2
e0
= −
1
2
e−u
2
+
1
2
I =
1
2
− lim
u→∞
1
2
e−u2
=
1
2
−
1
2
e−∞
=
1
2
Dosadíme meze.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte I =
∞
0
xe−x2
dx
I = lim
u→∞
u
0
xe−x2
dx
xe−x2
dx
−x2
= t
−2x dx = dt
x dx = −
1
2
dt
= −
1
2
et
dt = −
1
2
et
=
1
2
e−x2
u
0
xe−x
2
dx = −
1
2
e−x
2
u
0
= −
1
2
e−u
2
− −
1
2
e0
= −
1
2
e−u
2
+
1
2
I =
1
2
− lim
u→∞
1
2
e−u2
=
1
2
−
1
2
e−∞
=
1
2
Upravíme.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte I =
∞
0
xe−x2
dx
I = lim
u→∞
u
0
xe−x2
dx
xe−x2
dx
−x2
= t
−2x dx = dt
x dx = −
1
2
dt
= −
1
2
et
dt = −
1
2
et
=
1
2
e−x2
u
0
xe−x
2
dx = −
1
2
e−x
2
u
0
= −
1
2
e−u
2
− −
1
2
e0
= −
1
2
e−u
2
+
1
2
I =
1
2
− lim
u→∞
1
2
e−u2
=
1
2
−
1
2
e−∞
=
1
2
Nevlastní integrál je (podle definice) limitou určitého integrálu.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte I =
∞
0
xe−x2
dx
I = lim
u→∞
u
0
xe−x2
dx
xe−x2
dx
−x2
= t
−2x dx = dt
x dx = −
1
2
dt
= −
1
2
et
dt = −
1
2
et
=
1
2
e−x2
u
0
xe−x
2
dx = −
1
2
e−x
2
u
0
= −
1
2
e−u
2
− −
1
2
e0
= −
1
2
e−u
2
+
1
2
I =
1
2
− lim
u→∞
1
2
e−u2
=
1
2
−
1
2
e−∞
=
1
2
∞2
= ∞ (při počítání s limitami)
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte I =
∞
0
xe−x2
dx
I = lim
u→∞
u
0
xe−x2
dx
xe−x2
dx
−x2
= t
−2x dx = dt
x dx = −
1
2
dt
= −
1
2
et
dt = −
1
2
et
=
1
2
e−x2
u
0
xe−x
2
dx = −
1
2
e−x
2
u
0
= −
1
2
e−u
2
− −
1
2
e0
= −
1
2
e−u
2
+
1
2
I =
1
2
− lim
u→∞
1
2
e−u2
=
1
2
−
1
2
e−∞
=
1
2
e−∞
= 0 (při počítání s limitami)
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte I =
∞
0
xe−x2
dx
I = lim
u→∞
u
0
xe−x2
dx
xe−x2
dx
−x2
= t
−2x dx = dt
x dx = −
1
2
dt
= −
1
2
et
dt = −
1
2
et
=
1
2
e−x2
u
0
xe−x
2
dx = −
1
2
e−x
2
u
0
= −
1
2
e−u
2
− −
1
2
e0
= −
1
2
e−u
2
+
1
2
I =
1
2
− lim
u→∞
1
2
e−u2
=
1
2
−
1
2
e−∞
=
1
2
Vyřešeno.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte I =
∞
0
x2
e−x
dx.
I = lim
u→∞
u
0
x2
e−x
dx
x2
e−x
dx = −x2
e−x
+ 2 xe−x
dx = −x2
e−x
+ 2 −xe−x
+ e−x
dx
= −x2
e−x
+ 2 −xe−x
− e−x
= −e−x
(x2
+ 2x + 2)
u
0
x2
e−x
dx = −e−x
(x2
+ 2x + 2)
u
0
= −e−u
(u2
+ 2u + 2) − [−e0
(0 + 0 + 2)] = −e−u
(u2
+ 2u + 2) + 2
I = 2 − lim
u→∞
e−u
(u2
+ 2u + 2) = 2 − lim
u→∞
u2
+ 2u + 2
eu
= 2 − lim
u→∞
2u + 2
eu
= 2 − lim
u→∞
2
eu
= 2 − 0 = 2
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte I =
∞
0
x2
e−x
dx.
I = lim
u→∞
u
0
x2
e−x
dx
x2
e−x
dx = −x2
e−x
+ 2 xe−x
dx = −x2
e−x
+ 2 −xe−x
+ e−x
dx
= −x2
e−x
+ 2 −xe−x
− e−x
= −e−x
(x2
+ 2x + 2)
u
0
x2
e−x
dx = −e−x
(x2
+ 2x + 2)
u
0
= −e−u
(u2
+ 2u + 2) − [−e0
(0 + 0 + 2)] = −e−u
(u2
+ 2u + 2) + 2
I = 2 − lim
u→∞
e−u
(u2
+ 2u + 2) = 2 − lim
u→∞
u2
+ 2u + 2
eu
= 2 − lim
u→∞
2u + 2
eu
= 2 − lim
u→∞
2
eu
= 2 − 0 = 2
Použijeme definici nevlastního integrálu.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte I =
∞
0
x2
e−x
dx.
I = lim
u→∞
u
0
x2
e−x
dx
x2
e−x
dx = −x2
e−x
+ 2 xe−x
dx = −x2
e−x
+ 2 −xe−x
+ e−x
dx
= −x2
e−x
+ 2 −xe−x
− e−x
= −e−x
(x2
+ 2x + 2)
u
0
x2
e−x
dx = −e−x
(x2
+ 2x + 2)
u
0
= −e−u
(u2
+ 2u + 2) − [−e0
(0 + 0 + 2)] = −e−u
(u2
+ 2u + 2) + 2
I = 2 − lim
u→∞
e−u
(u2
+ 2u + 2) = 2 − lim
u→∞
u2
+ 2u + 2
eu
= 2 − lim
u→∞
2u + 2
eu
= 2 − lim
u→∞
2
eu
= 2 − 0 = 2
Nejprve budeme hledat primitivní funkci.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte I =
∞
0
x2
e−x
dx.
I = lim
u→∞
u
0
x2
e−x
dx
x2
e−x
dx = −x2
e−x
+ 2 xe−x
dx = −x2
e−x
+ 2 −xe−x
+ e−x
dx
= −x2
e−x
+ 2 −xe−x
− e−x
= −e−x
(x2
+ 2x + 2)
u
0
x2
e−x
dx = −e−x
(x2
+ 2x + 2)
u
0
= −e−u
(u2
+ 2u + 2) − [−e0
(0 + 0 + 2)] = −e−u
(u2
+ 2u + 2) + 2
I = 2 − lim
u→∞
e−u
(u2
+ 2u + 2) = 2 − lim
u→∞
u2
+ 2u + 2
eu
= 2 − lim
u→∞
2u + 2
eu
= 2 − lim
u→∞
2
eu
= 2 − 0 = 2
Použijeme integraci per partés při volbě u = x2
u′
= 2x
v′
= e−x
v = −e−x
.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte I =
∞
0
x2
e−x
dx.
I = lim
u→∞
u
0
x2
e−x
dx
x2
e−x
dx = −x2
e−x
+ 2 xe−x
dx = −x2
e−x
+ 2 −xe−x
+ e−x
dx
= −x2
e−x
+ 2 −xe−x
− e−x
= −e−x
(x2
+ 2x + 2)
u
0
x2
e−x
dx = −e−x
(x2
+ 2x + 2)
u
0
= −e−u
(u2
+ 2u + 2) − [−e0
(0 + 0 + 2)] = −e−u
(u2
+ 2u + 2) + 2
I = 2 − lim
u→∞
e−u
(u2
+ 2u + 2) = 2 − lim
u→∞
u2
+ 2u + 2
eu
= 2 − lim
u→∞
2u + 2
eu
= 2 − lim
u→∞
2
eu
= 2 − 0 = 2
Použijeme opět integraci per partés, nyní při volbě
u = x u′
= 1
v′
= e−x
v = −e−x .
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte I =
∞
0
x2
e−x
dx.
I = lim
u→∞
u
0
x2
e−x
dx
x2
e−x
dx = −x2
e−x
+ 2 xe−x
dx = −x2
e−x
+ 2 −xe−x
+ e−x
dx
= −x2
e−x
+ 2 −xe−x
− e−x
= −e−x
(x2
+ 2x + 2)
u
0
x2
e−x
dx = −e−x
(x2
+ 2x + 2)
u
0
= −e−u
(u2
+ 2u + 2) − [−e0
(0 + 0 + 2)] = −e−u
(u2
+ 2u + 2) + 2
I = 2 − lim
u→∞
e−u
(u2
+ 2u + 2) = 2 − lim
u→∞
u2
+ 2u + 2
eu
= 2 − lim
u→∞
2u + 2
eu
= 2 − lim
u→∞
2
eu
= 2 − 0 = 2
Zintegrujeme.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte I =
∞
0
x2
e−x
dx.
I = lim
u→∞
u
0
x2
e−x
dx
x2
e−x
dx = −x2
e−x
+ 2 xe−x
dx = −x2
e−x
+ 2 −xe−x
+ e−x
dx
= −x2
e−x
+ 2 −xe−x
− e−x
= −e−x
(x2
+ 2x + 2)
u
0
x2
e−x
dx = −e−x
(x2
+ 2x + 2)
u
0
= −e−u
(u2
+ 2u + 2) − [−e0
(0 + 0 + 2)] = −e−u
(u2
+ 2u + 2) + 2
I = 2 − lim
u→∞
e−u
(u2
+ 2u + 2) = 2 − lim
u→∞
u2
+ 2u + 2
eu
= 2 − lim
u→∞
2u + 2
eu
= 2 − lim
u→∞
2
eu
= 2 − 0 = 2
Vytkneme opakující se člen −e−x
před závorku.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte I =
∞
0
x2
e−x
dx.
I = lim
u→∞
u
0
x2
e−x
dx
x2
e−x
dx = −x2
e−x
+ 2 xe−x
dx = −x2
e−x
+ 2 −xe−x
+ e−x
dx
= −x2
e−x
+ 2 −xe−x
− e−x
= −e−x
(x2
+ 2x + 2)
u
0
x2
e−x
dx = −e−x
(x2
+ 2x + 2)
u
0
= −e−u
(u2
+ 2u + 2) − [−e0
(0 + 0 + 2)] = −e−u
(u2
+ 2u + 2) + 2
I = 2 − lim
u→∞
e−u
(u2
+ 2u + 2) = 2 − lim
u→∞
u2
+ 2u + 2
eu
= 2 − lim
u→∞
2u + 2
eu
= 2 − lim
u→∞
2
eu
= 2 − 0 = 2
Nyní budeme počítat určitý integrál. Protože známe primitivní funkci, můžeme
využít Newtonovu-Leibnizovu větu.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte I =
∞
0
x2
e−x
dx.
I = lim
u→∞
u
0
x2
e−x
dx
x2
e−x
dx = −x2
e−x
+ 2 xe−x
dx = −x2
e−x
+ 2 −xe−x
+ e−x
dx
= −x2
e−x
+ 2 −xe−x
− e−x
= −e−x
(x2
+ 2x + 2)
u
0
x2
e−x
dx = −e−x
(x2
+ 2x + 2)
u
0
= −e−u
(u2
+ 2u + 2) − [−e0
(0 + 0 + 2)] = −e−u
(u2
+ 2u + 2) + 2
I = 2 − lim
u→∞
e−u
(u2
+ 2u + 2) = 2 − lim
u→∞
u2
+ 2u + 2
eu
= 2 − lim
u→∞
2u + 2
eu
= 2 − lim
u→∞
2
eu
= 2 − 0 = 2
Dosadíme meze.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte I =
∞
0
x2
e−x
dx.
I = lim
u→∞
u
0
x2
e−x
dx
x2
e−x
dx = −x2
e−x
+ 2 xe−x
dx = −x2
e−x
+ 2 −xe−x
+ e−x
dx
= −x2
e−x
+ 2 −xe−x
− e−x
= −e−x
(x2
+ 2x + 2)
u
0
x2
e−x
dx = −e−x
(x2
+ 2x + 2)
u
0
= −e−u
(u2
+ 2u + 2) − [−e0
(0 + 0 + 2)] = −e−u
(u2
+ 2u + 2) + 2
I = 2 − lim
u→∞
e−u
(u2
+ 2u + 2) = 2 − lim
u→∞
u2
+ 2u + 2
eu
= 2 − lim
u→∞
2u + 2
eu
= 2 − lim
u→∞
2
eu
= 2 − 0 = 2
Upravíme. Nyní je nutno vypočítat limitu.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte I =
∞
0
x2
e−x
dx.
I = lim
u→∞
u
0
x2
e−x
dx
x2
e−x
dx = −x2
e−x
+ 2 xe−x
dx = −x2
e−x
+ 2 −xe−x
+ e−x
dx
= −x2
e−x
+ 2 −xe−x
− e−x
= −e−x
(x2
+ 2x + 2)
u
0
x2
e−x
dx = −e−x
(x2
+ 2x + 2)
u
0
= −e−u
(u2
+ 2u + 2) − [−e0
(0 + 0 + 2)] = −e−u
(u2
+ 2u + 2) + 2
I = 2 − lim
u→∞
e−u
(u2
+ 2u + 2) = 2 − lim
u→∞
u2
+ 2u + 2
eu
= 2 − lim
u→∞
2u + 2
eu
= 2 − lim
u→∞
2
eu
= 2 − 0 = 2
lim
u→∞
e−u
= 0 a vychází neurčitý výraz typu 0 × ∞ .
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte I =
∞
0
x2
e−x
dx.
I = lim
u→∞
u
0
x2
e−x
dx
x2
e−x
dx = −x2
e−x
+ 2 xe−x
dx = −x2
e−x
+ 2 −xe−x
+ e−x
dx
= −x2
e−x
+ 2 −xe−x
− e−x
= −e−x
(x2
+ 2x + 2)
u
0
x2
e−x
dx = −e−x
(x2
+ 2x + 2)
u
0
= −e−u
(u2
+ 2u + 2) − [−e0
(0 + 0 + 2)] = −e−u
(u2
+ 2u + 2) + 2
I = 2 − lim
u→∞
e−u
(u2
+ 2u + 2) = 2 − lim
u→∞
u2
+ 2u + 2
eu
= 2 − lim
u→∞
2u + 2
eu
= 2 − lim
u→∞
2
eu
= 2 − 0 = 2
Převedeme součin na podíl, abychom mohli použít l’Hospitalovo pravidlo.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte I =
∞
0
x2
e−x
dx.
I = lim
u→∞
u
0
x2
e−x
dx
x2
e−x
dx = −x2
e−x
+ 2 xe−x
dx = −x2
e−x
+ 2 −xe−x
+ e−x
dx
= −x2
e−x
+ 2 −xe−x
− e−x
= −e−x
(x2
+ 2x + 2)
u
0
x2
e−x
dx = −e−x
(x2
+ 2x + 2)
u
0
= −e−u
(u2
+ 2u + 2) − [−e0
(0 + 0 + 2)] = −e−u
(u2
+ 2u + 2) + 2
I = 2 − lim
u→∞
e−u
(u2
+ 2u + 2) = 2 − lim
u→∞
u2
+ 2u + 2
eu
= 2 − lim
u→∞
2u + 2
eu
= 2 − lim
u→∞
2
eu
= 2 − 0 = 2
Po aplikaci l’Hospitalova pravidla máme stále neurčitý výraz
∞
∞
. Použijeme tedy
l’Hospitalovo pravdlo ještě jednou.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte I =
∞
0
x2
e−x
dx.
I = lim
u→∞
u
0
x2
e−x
dx
x2
e−x
dx = −x2
e−x
+ 2 xe−x
dx = −x2
e−x
+ 2 −xe−x
+ e−x
dx
= −x2
e−x
+ 2 −xe−x
− e−x
= −e−x
(x2
+ 2x + 2)
u
0
x2
e−x
dx = −e−x
(x2
+ 2x + 2)
u
0
= −e−u
(u2
+ 2u + 2) − [−e0
(0 + 0 + 2)] = −e−u
(u2
+ 2u + 2) + 2
I = 2 − lim
u→∞
e−u
(u2
+ 2u + 2) = 2 − lim
u→∞
u2
+ 2u + 2
eu
= 2 − lim
u→∞
2u + 2
eu
= 2 − lim
u→∞
2
eu
= 2 − 0 = 2
Nyní dostáváme lim
u→∞
2
eu
=
2
e∞
=
2
∞
= 0.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte I =
∞
0
x2
e−x
dx.
I = lim
u→∞
u
0
x2
e−x
dx
x2
e−x
dx = −x2
e−x
+ 2 xe−x
dx = −x2
e−x
+ 2 −xe−x
+ e−x
dx
= −x2
e−x
+ 2 −xe−x
− e−x
= −e−x
(x2
+ 2x + 2)
u
0
x2
e−x
dx = −e−x
(x2
+ 2x + 2)
u
0
= −e−u
(u2
+ 2u + 2) − [−e0
(0 + 0 + 2)] = −e−u
(u2
+ 2u + 2) + 2
I = 2 − lim
u→∞
e−u
(u2
+ 2u + 2) = 2 − lim
u→∞
u2
+ 2u + 2
eu
= 2 − lim
u→∞
2u + 2
eu
= 2 − lim
u→∞
2
eu
= 2 − 0 = 2
Nyní dostáváme lim
u→∞
2
eu
=
2
e∞
=
2
∞
= 0.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte I =
∞
0
x2
e−x
dx.
I = lim
u→∞
u
0
x2
e−x
dx
x2
e−x
dx = −x2
e−x
+ 2 xe−x
dx = −x2
e−x
+ 2 −xe−x
+ e−x
dx
= −x2
e−x
+ 2 −xe−x
− e−x
= −e−x
(x2
+ 2x + 2)
u
0
x2
e−x
dx = −e−x
(x2
+ 2x + 2)
u
0
= −e−u
(u2
+ 2u + 2) − [−e0
(0 + 0 + 2)] = −e−u
(u2
+ 2u + 2) + 2
I = 2 − lim
u→∞
e−u
(u2
+ 2u + 2) = 2 − lim
u→∞
u2
+ 2u + 2
eu
= 2 − lim
u→∞
2u + 2
eu
= 2 − lim
u→∞
2
eu
= 2 − 0 = 2
Hotovo, integrál konveruje a jeho hodnota je 2.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Find I =
∞
1
arctg x
x2 + 1
dx
I = lim
u→∞
u
1
arctg x
x2 + 1
dx
arctg x
x2 + 1
dx
arctg x = t
1
x2 + 1
dx = dt
= t dt =
t2
2
=
arctg2
x
2
u
1
arctg x
x2 + 1
dx =
arctg2
x
2
u
1
=
arctg2
u
2
−
arctg2
1
2
=
arctg2
u
2
−
(π/4)
2
2
=
arctg
2
u
2
−
π
2
32
I = lim
u→∞
arctg
2
u
2
−
π
2
32
=
(π/2)2
2
−
π
2
32
=
π
2
8
−
π
2
32
=
3π
2
32
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Find I =
∞
1
arctg x
x2 + 1
dx
I = lim
u→∞
u
1
arctg x
x2 + 1
dx
arctg x
x2 + 1
dx
arctg x = t
1
x2 + 1
dx = dt
= t dt =
t2
2
=
arctg2
x
2
u
1
arctg x
x2 + 1
dx =
arctg2
x
2
u
1
=
arctg2
u
2
−
arctg2
1
2
=
arctg2
u
2
−
(π/4)
2
2
=
arctg
2
u
2
−
π
2
32
I = lim
u→∞
arctg
2
u
2
−
π
2
32
=
(π/2)2
2
−
π
2
32
=
π
2
8
−
π
2
32
=
3π
2
32
We start with the definition of the improper integral.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Find I =
∞
1
arctg x
x2 + 1
dx
I = lim
u→∞
u
1
arctg x
x2 + 1
dx
arctg x
x2 + 1
dx
arctg x = t
1
x2 + 1
dx = dt
= t dt =
t2
2
=
arctg2
x
2
u
1
arctg x
x2 + 1
dx =
arctg2
x
2
u
1
=
arctg2
u
2
−
arctg2
1
2
=
arctg2
u
2
−
(π/4)
2
2
=
arctg
2
u
2
−
π
2
32
I = lim
u→∞
arctg
2
u
2
−
π
2
32
=
(π/2)2
2
−
π
2
32
=
π
2
8
−
π
2
32
=
3π
2
32
We evaluate the indefinite integral first.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Find I =
∞
1
arctg x
x2 + 1
dx
I = lim
u→∞
u
1
arctg x
x2 + 1
dx
arctg x
x2 + 1
dx
arctg x = t
1
x2 + 1
dx = dt
= t dt =
t2
2
=
arctg2
x
2
u
1
arctg x
x2 + 1
dx =
arctg2
x
2
u
1
=
arctg2
u
2
−
arctg2
1
2
=
arctg2
u
2
−
(π/4)
2
2
=
arctg
2
u
2
−
π
2
32
I = lim
u→∞
arctg
2
u
2
−
π
2
32
=
(π/2)2
2
−
π
2
32
=
π
2
8
−
π
2
32
=
3π
2
32
We use the substitution arctg x = t.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Find I =
∞
1
arctg x
x2 + 1
dx
I = lim
u→∞
u
1
arctg x
x2 + 1
dx
arctg x
x2 + 1
dx
arctg x = t
1
x2 + 1
dx = dt
= t dt =
t2
2
=
arctg2
x
2
u
1
arctg x
x2 + 1
dx =
arctg2
x
2
u
1
=
arctg2
u
2
−
arctg2
1
2
=
arctg2
u
2
−
(π/4)
2
2
=
arctg
2
u
2
−
π
2
32
I = lim
u→∞
arctg
2
u
2
−
π
2
32
=
(π/2)2
2
−
π
2
32
=
π
2
8
−
π
2
32
=
3π
2
32
With this substitution we have
1
x2 + 1
dx = dt and the term
1
x2 + 1
dx is present
in the integral.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Find I =
∞
1
arctg x
x2 + 1
dx
I = lim
u→∞
u
1
arctg x
x2 + 1
dx
arctg x
x2 + 1
dx
arctg x = t
1
x2 + 1
dx = dt
= t dt =
t2
2
=
arctg2
x
2
u
1
arctg x
x2 + 1
dx =
arctg2
x
2
u
1
=
arctg2
u
2
−
arctg2
1
2
=
arctg2
u
2
−
(π/4)
2
2
=
arctg
2
u
2
−
π
2
32
I = lim
u→∞
arctg
2
u
2
−
π
2
32
=
(π/2)2
2
−
π
2
32
=
π
2
8
−
π
2
32
=
3π
2
32
We substitute,. . .
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Find I =
∞
1
arctg x
x2 + 1
dx
I = lim
u→∞
u
1
arctg x
x2 + 1
dx
arctg x
x2 + 1
dx
arctg x = t
1
x2 + 1
dx = dt
= t dt =
t2
2
=
arctg2
x
2
u
1
arctg x
x2 + 1
dx =
arctg2
x
2
u
1
=
arctg2
u
2
−
arctg2
1
2
=
arctg2
u
2
−
(π/4)
2
2
=
arctg
2
u
2
−
π
2
32
I = lim
u→∞
arctg
2
u
2
−
π
2
32
=
(π/2)2
2
−
π
2
32
=
π
2
8
−
π
2
32
=
3π
2
32
. . . evaluate the integral . . .
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Find I =
∞
1
arctg x
x2 + 1
dx
I = lim
u→∞
u
1
arctg x
x2 + 1
dx
arctg x
x2 + 1
dx
arctg x = t
1
x2 + 1
dx = dt
= t dt =
t2
2
=
arctg2
x
2
u
1
arctg x
x2 + 1
dx =
arctg2
x
2
u
1
=
arctg2
u
2
−
arctg2
1
2
=
arctg2
u
2
−
(π/4)
2
2
=
arctg
2
u
2
−
π
2
32
I = lim
u→∞
arctg
2
u
2
−
π
2
32
=
(π/2)2
2
−
π
2
32
=
π
2
8
−
π
2
32
=
3π
2
32
. . . and return to the variable x.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Find I =
∞
1
arctg x
x2 + 1
dx
I = lim
u→∞
u
1
arctg x
x2 + 1
dx
arctg x
x2 + 1
dx
arctg x = t
1
x2 + 1
dx = dt
= t dt =
t2
2
=
arctg2
x
2
u
1
arctg x
x2 + 1
dx =
arctg2
x
2
u
1
=
arctg2
u
2
−
arctg2
1
2
=
arctg2
u
2
−
(π/4)
2
2
=
arctg
2
u
2
−
π
2
32
I = lim
u→∞
arctg
2
u
2
−
π
2
32
=
(π/2)2
2
−
π
2
32
=
π
2
8
−
π
2
32
=
3π
2
32
We continue with the definite integral.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Find I =
∞
1
arctg x
x2 + 1
dx
I = lim
u→∞
u
1
arctg x
x2 + 1
dx
arctg x
x2 + 1
dx
arctg x = t
1
x2 + 1
dx = dt
= t dt =
t2
2
=
arctg2
x
2
u
1
arctg x
x2 + 1
dx =
arctg2
x
2
u
1
=
arctg2
u
2
−
arctg2
1
2
=
arctg2
u
2
−
(π/4)
2
2
=
arctg
2
u
2
−
π
2
32
I = lim
u→∞
arctg
2
u
2
−
π
2
32
=
(π/2)2
2
−
π
2
32
=
π
2
8
−
π
2
32
=
3π
2
32
The antiderivative is known.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Find I =
∞
1
arctg x
x2 + 1
dx
I = lim
u→∞
u
1
arctg x
x2 + 1
dx
arctg x
x2 + 1
dx
arctg x = t
1
x2 + 1
dx = dt
= t dt =
t2
2
=
arctg2
x
2
u
1
arctg x
x2 + 1
dx =
arctg2
x
2
u
1
=
arctg2
u
2
−
arctg2
1
2
=
arctg2
u
2
−
(π/4)
2
2
=
arctg
2
u
2
−
π
2
32
I = lim
u→∞
arctg
2
u
2
−
π
2
32
=
(π/2)2
2
−
π
2
32
=
π
2
8
−
π
2
32
=
3π
2
32
Newton–Leibniz formula yields the value of the integral.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Find I =
∞
1
arctg x
x2 + 1
dx
I = lim
u→∞
u
1
arctg x
x2 + 1
dx
arctg x
x2 + 1
dx
arctg x = t
1
x2 + 1
dx = dt
= t dt =
t2
2
=
arctg2
x
2
u
1
arctg x
x2 + 1
dx =
arctg2
x
2
u
1
=
arctg2
u
2
−
arctg2
1
2
=
arctg2
u
2
−
(π/4)
2
2
=
arctg
2
u
2
−
π
2
32
I = lim
u→∞
arctg
2
u
2
−
π
2
32
=
(π/2)2
2
−
π
2
32
=
π
2
8
−
π
2
32
=
3π
2
32
Simplifications can be made.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Find I =
∞
1
arctg x
x2 + 1
dx
I = lim
u→∞
u
1
arctg x
x2 + 1
dx
arctg x
x2 + 1
dx
arctg x = t
1
x2 + 1
dx = dt
= t dt =
t2
2
=
arctg2
x
2
u
1
arctg x
x2 + 1
dx =
arctg2
x
2
u
1
=
arctg2
u
2
−
arctg2
1
2
=
arctg2
u
2
−
(π/4)
2
2
=
arctg
2
u
2
−
π
2
32
I = lim
u→∞
arctg
2
u
2
−
π
2
32
=
(π/2)2
2
−
π
2
32
=
π
2
8
−
π
2
32
=
3π
2
32
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Find I =
∞
1
arctg x
x2 + 1
dx
I = lim
u→∞
u
1
arctg x
x2 + 1
dx
arctg x
x2 + 1
dx
arctg x = t
1
x2 + 1
dx = dt
= t dt =
t2
2
=
arctg2
x
2
u
1
arctg x
x2 + 1
dx =
arctg2
x
2
u
1
=
arctg2
u
2
−
arctg2
1
2
=
arctg2
u
2
−
(π/4)
2
2
=
arctg
2
u
2
−
π
2
32
I = lim
u→∞
arctg
2
u
2
−
π
2
32
=
(π/2)2
2
−
π
2
32
=
π
2
8
−
π
2
32
=
3π
2
32
We continue with the improper integral. It is a limit of the definite integral.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Find I =
∞
1
arctg x
x2 + 1
dx
I = lim
u→∞
u
1
arctg x
x2 + 1
dx
arctg x
x2 + 1
dx
arctg x = t
1
x2 + 1
dx = dt
= t dt =
t2
2
=
arctg2
x
2
u
1
arctg x
x2 + 1
dx =
arctg2
x
2
u
1
=
arctg2
u
2
−
arctg2
1
2
=
arctg2
u
2
−
(π/4)
2
2
=
arctg
2
u
2
−
π
2
32
I = lim
u→∞
arctg
2
u
2
−
π
2
32
=
(π/2)2
2
−
π
2
32
=
π
2
8
−
π
2
32
=
3π
2
32
The function y = arctg x has an horizontal asymptote y =
π
2
in +∞. This is the
value of the limit lim
u→∞
arctg u.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Find I =
∞
1
arctg x
x2 + 1
dx
I = lim
u→∞
u
1
arctg x
x2 + 1
dx
arctg x
x2 + 1
dx
arctg x = t
1
x2 + 1
dx = dt
= t dt =
t2
2
=
arctg2
x
2
u
1
arctg x
x2 + 1
dx =
arctg2
x
2
u
1
=
arctg2
u
2
−
arctg2
1
2
=
arctg2
u
2
−
(π/4)
2
2
=
arctg
2
u
2
−
π
2
32
I = lim
u→∞
arctg
2
u
2
−
π
2
32
=
(π/2)2
2
−
π
2
32
=
π
2
8
−
π
2
32
=
3π
2
32
We simplify.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Find I =
∞
1
arctg x
x2 + 1
dx
I = lim
u→∞
u
1
arctg x
x2 + 1
dx
arctg x
x2 + 1
dx
arctg x = t
1
x2 + 1
dx = dt
= t dt =
t2
2
=
arctg2
x
2
u
1
arctg x
x2 + 1
dx =
arctg2
x
2
u
1
=
arctg2
u
2
−
arctg2
1
2
=
arctg2
u
2
−
(π/4)
2
2
=
arctg
2
u
2
−
π
2
32
I = lim
u→∞
arctg
2
u
2
−
π
2
32
=
(π/2)2
2
−
π
2
32
=
π
2
8
−
π
2
32
=
3π
2
32
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Find I =
∞
1
arctg x
x2 + 1
dx
I = lim
u→∞
u
1
arctg x
x2 + 1
dx
arctg x
x2 + 1
dx
arctg x = t
1
x2 + 1
dx = dt
= t dt =
t2
2
=
arctg2
x
2
u
1
arctg x
x2 + 1
dx =
arctg2
x
2
u
1
=
arctg2
u
2
−
arctg2
1
2
=
arctg2
u
2
−
(π/4)
2
2
=
arctg
2
u
2
−
π
2
32
I = lim
u→∞
arctg
2
u
2
−
π
2
32
=
(π/2)2
2
−
π
2
32
=
π
2
8
−
π
2
32
=
3π
2
32
The integral is evaluated.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Find I =
∞
−∞
1
e−x + ex
dx
∞
−∞
1
e−x + ex
dx =
0
−∞
1
e−x + ex
dx +
∞
0
1
e−x + ex
dx
= lim
u→−∞
0
u
1
e−x + ex
dx + lim
u→∞
u
0
1
e−x + ex
dx
1
e−x + ex
dx =
e
x
1 + (ex)2
dx ex
= t
ex
dx = dt
=
1
1 + t2
dt = arctg t
= arctg ex
0
u
1
e−x + ex
dx = [arctg ex
]0
u = arctg e0
− arctg eu
= arctg 1 − arctg eu
=
π
4
− arctg eu
0
−∞
1
e−x + ex
dx = lim
u→−∞
π
4
− arctg eu
=
π
4
− arctg e−∞
=
π
4
− arctg 0
=
π
4
1
e−x + ex
dx = arctg ex
0
−∞
1
e−x + ex
dx =
π
4
u⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Find I =
∞
−∞
1
e−x + ex
dx
∞
−∞
1
e−x + ex
dx =
0
−∞
1
e−x + ex
dx +
∞
0
1
e−x + ex
dx
= lim
u→−∞
0
u
1
e−x + ex
dx + lim
u→∞
u
0
1
e−x + ex
dx
1
e−x + ex
dx =
e
x
1 + (ex)2
dx ex
= t
ex
dx = dt
=
1
1 + t2
dt = arctg t
= arctg ex
0
u
1
e−x + ex
dx = [arctg ex
]0
u = arctg e0
− arctg eu
= arctg 1 − arctg eu
=
π
4
− arctg eu
0
−∞
1
e−x + ex
dx = lim
u→−∞
π
4
− arctg eu
=
π
4
− arctg e−∞
=
π
4
− arctg 0
=
π
4
1
e−x + ex
dx = arctg ex
0
−∞
1
e−x + ex
dx =
π
4
u
We start with the integral.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Find I =
∞
−∞
1
e−x + ex
dx
∞
−∞
1
e−x + ex
dx =
0
−∞
1
e−x + ex
dx +
∞
0
1
e−x + ex
dx
= lim
u→−∞
0
u
1
e−x + ex
dx + lim
u→∞
u
0
1
e−x + ex
dx
1
e−x + ex
dx =
e
x
1 + (ex)2
dx ex
= t
ex
dx = dt
=
1
1 + t2
dt = arctg t
= arctg ex
0
u
1
e−x + ex
dx = [arctg ex
]0
u = arctg e0
− arctg eu
= arctg 1 − arctg eu
=
π
4
− arctg eu
0
−∞
1
e−x + ex
dx = lim
u→−∞
π
4
− arctg eu
=
π
4
− arctg e−∞
=
π
4
− arctg 0
=
π
4
1
e−x + ex
dx = arctg ex
0
−∞
1
e−x + ex
dx =
π
4
u
There are two singularities: ±∞.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Find I =
∞
−∞
1
e−x + ex
dx
∞
−∞
1
e−x + ex
dx =
0
−∞
1
e−x + ex
dx +
∞
0
1
e−x + ex
dx
= lim
u→−∞
0
u
1
e−x + ex
dx + lim
u→∞
u
0
1
e−x + ex
dx
1
e−x + ex
dx =
e
x
1 + (ex)2
dx ex
= t
ex
dx = dt
=
1
1 + t2
dt = arctg t
= arctg ex
0
u
1
e−x + ex
dx = [arctg ex
]0
u = arctg e0
− arctg eu
= arctg 1 − arctg eu
=
π
4
− arctg eu
0
−∞
1
e−x + ex
dx = lim
u→−∞
π
4
− arctg eu
=
π
4
− arctg e−∞
=
π
4
− arctg 0
=
π
4
1
e−x + ex
dx = arctg ex
0
−∞
1
e−x + ex
dx =
π
4
u
We divide into two integrals on half-lines.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Find I =
∞
−∞
1
e−x + ex
dx
∞
−∞
1
e−x + ex
dx =
0
−∞
1
e−x + ex
dx +
∞
0
1
e−x + ex
dx
= lim
u→−∞
0
u
1
e−x + ex
dx + lim
u→∞
u
0
1
e−x + ex
dx
1
e−x + ex
dx =
e
x
1 + (ex)2
dx ex
= t
ex
dx = dt
=
1
1 + t2
dt = arctg t
= arctg ex
0
u
1
e−x + ex
dx = [arctg ex
]0
u = arctg e0
− arctg eu
= arctg 1 − arctg eu
=
π
4
− arctg eu
0
−∞
1
e−x + ex
dx = lim
u→−∞
π
4
− arctg eu
=
π
4
− arctg e−∞
=
π
4
− arctg 0
=
π
4
1
e−x + ex
dx = arctg ex
0
−∞
1
e−x + ex
dx =
π
4
u
We evaluate the indefinite integral.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Find I =
∞
−∞
1
e−x + ex
dx
∞
−∞
1
e−x + ex
dx =
0
−∞
1
e−x + ex
dx +
∞
0
1
e−x + ex
dx
= lim
u→−∞
0
u
1
e−x + ex
dx + lim
u→∞
u
0
1
e−x + ex
dx
1
e−x + ex
dx =
e
x
1 + (ex)2
dx ex
= t
ex
dx = dt
=
1
1 + t2
dt = arctg t
= arctg ex
0
u
1
e−x + ex
dx = [arctg ex
]0
u = arctg e0
− arctg eu
= arctg 1 − arctg eu
=
π
4
− arctg eu
0
−∞
1
e−x + ex
dx = lim
u→−∞
π
4
− arctg eu
=
π
4
− arctg e−∞
=
π
4
− arctg 0
=
π
4
1
e−x + ex
dx = arctg ex
0
−∞
1
e−x + ex
dx =
π
4
u
We simplify the integrand. . .
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Find I =
∞
−∞
1
e−x + ex
dx
∞
−∞
1
e−x + ex
dx =
0
−∞
1
e−x + ex
dx +
∞
0
1
e−x + ex
dx
= lim
u→−∞
0
u
1
e−x + ex
dx + lim
u→∞
u
0
1
e−x + ex
dx
1
e−x + ex
dx =
e
x
1 + (ex)2
dx ex
= t
ex
dx = dt
=
1
1 + t2
dt = arctg t
= arctg ex
0
u
1
e−x + ex
dx = [arctg ex
]0
u = arctg e0
− arctg eu
= arctg 1 − arctg eu
=
π
4
− arctg eu
0
−∞
1
e−x + ex
dx = lim
u→−∞
π
4
− arctg eu
=
π
4
− arctg e−∞
=
π
4
− arctg 0
=
π
4
1
e−x + ex
dx = arctg ex
0
−∞
1
e−x + ex
dx =
π
4
u
. . . and substitute.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Find I =
∞
−∞
1
e−x + ex
dx
∞
−∞
1
e−x + ex
dx =
0
−∞
1
e−x + ex
dx +
∞
0
1
e−x + ex
dx
= lim
u→−∞
0
u
1
e−x + ex
dx + lim
u→∞
u
0
1
e−x + ex
dx
1
e−x + ex
dx =
e
x
1 + (ex)2
dx ex
= t
ex
dx = dt
=
1
1 + t2
dt = arctg t
= arctg ex
0
u
1
e−x + ex
dx = [arctg ex
]0
u = arctg e0
− arctg eu
= arctg 1 − arctg eu
=
π
4
− arctg eu
0
−∞
1
e−x + ex
dx = lim
u→−∞
π
4
− arctg eu
=
π
4
− arctg e−∞
=
π
4
− arctg 0
=
π
4
1
e−x + ex
dx = arctg ex
0
−∞
1
e−x + ex
dx =
π
4
u
The substitution gives this integral. . .
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Find I =
∞
−∞
1
e−x + ex
dx
∞
−∞
1
e−x + ex
dx =
0
−∞
1
e−x + ex
dx +
∞
0
1
e−x + ex
dx
= lim
u→−∞
0
u
1
e−x + ex
dx + lim
u→∞
u
0
1
e−x + ex
dx
1
e−x + ex
dx =
e
x
1 + (ex)2
dx ex
= t
ex
dx = dt
=
1
1 + t2
dt = arctg t
= arctg ex
0
u
1
e−x + ex
dx = [arctg ex
]0
u = arctg e0
− arctg eu
= arctg 1 − arctg eu
=
π
4
− arctg eu
0
−∞
1
e−x + ex
dx = lim
u→−∞
π
4
− arctg eu
=
π
4
− arctg e−∞
=
π
4
− arctg 0
=
π
4
1
e−x + ex
dx = arctg ex
0
−∞
1
e−x + ex
dx =
π
4
u
. . . which can be integrated by direct formula.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Find I =
∞
−∞
1
e−x + ex
dx
∞
−∞
1
e−x + ex
dx =
0
−∞
1
e−x + ex
dx +
∞
0
1
e−x + ex
dx
= lim
u→−∞
0
u
1
e−x + ex
dx + lim
u→∞
u
0
1
e−x + ex
dx
1
e−x + ex
dx =
e
x
1 + (ex)2
dx ex
= t
ex
dx = dt
=
1
1 + t2
dt = arctg t
= arctg ex
0
u
1
e−x + ex
dx = [arctg ex
]0
u = arctg e0
− arctg eu
= arctg 1 − arctg eu
=
π
4
− arctg eu
0
−∞
1
e−x + ex
dx = lim
u→−∞
π
4
− arctg eu
=
π
4
− arctg e−∞
=
π
4
− arctg 0
=
π
4
1
e−x + ex
dx = arctg ex
0
−∞
1
e−x + ex
dx =
π
4
u
Finally we return to the original variable.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Find I =
∞
−∞
1
e−x + ex
dx
∞
−∞
1
e−x + ex
dx =
0
−∞
1
e−x + ex
dx +
∞
0
1
e−x + ex
dx
= lim
u→−∞
0
u
1
e−x + ex
dx + lim
u→∞
u
0
1
e−x + ex
dx
1
e−x + ex
dx =
e
x
1 + (ex)2
dx ex
= t
ex
dx = dt
=
1
1 + t2
dt = arctg t
= arctg ex
0
u
1
e−x + ex
dx = [arctg ex
]0
u = arctg e0
− arctg eu
= arctg 1 − arctg eu
=
π
4
− arctg eu
0
−∞
1
e−x + ex
dx = lim
u→−∞
π
4
− arctg eu
=
π
4
− arctg e−∞
=
π
4
− arctg 0
=
π
4
1
e−x + ex
dx = arctg ex
0
−∞
1
e−x + ex
dx =
π
4
u⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Find I =
∞
−∞
1
e−x + ex
dx
∞
−∞
1
e−x + ex
dx =
0
−∞
1
e−x + ex
dx +
∞
0
1
e−x + ex
dx
= lim
u→−∞
0
u
1
e−x + ex
dx + lim
u→∞
u
0
1
e−x + ex
dx
1
e−x + ex
dx =
e
x
1 + (ex)2
dx ex
= t
ex
dx = dt
=
1
1 + t2
dt = arctg t
= arctg ex
0
u
1
e−x + ex
dx = [arctg ex
]0
u = arctg e0
− arctg eu
= arctg 1 − arctg eu
=
π
4
− arctg eu
0
−∞
1
e−x + ex
dx = lim
u→−∞
π
4
− arctg eu
=
π
4
− arctg e−∞
=
π
4
− arctg 0
=
π
4
1
e−x + ex
dx = arctg ex
0
−∞
1
e−x + ex
dx =
π
4
u⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Find I =
∞
−∞
1
e−x + ex
dx
∞
−∞
1
e−x + ex
dx =
0
−∞
1
e−x + ex
dx +
∞
0
1
e−x + ex
dx
= lim
u→−∞
0
u
1
e−x + ex
dx + lim
u→∞
u
0
1
e−x + ex
dx
1
e−x + ex
dx =
e
x
1 + (ex)2
dx ex
= t
ex
dx = dt
=
1
1 + t2
dt = arctg t
= arctg ex
0
u
1
e−x + ex
dx = [arctg ex
]0
u = arctg e0
− arctg eu
= arctg 1 − arctg eu
=
π
4
− arctg eu
0
−∞
1
e−x + ex
dx = lim
u→−∞
π
4
− arctg eu
=
π
4
− arctg e−∞
=
π
4
− arctg 0
=
π
4
1
e−x + ex
dx = arctg ex
0
−∞
1
e−x + ex
dx =
π
4
u⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Find I =
∞
−∞
1
e−x + ex
dx
∞
−∞
1
e−x + ex
dx =
0
−∞
1
e−x + ex
dx +
∞
0
1
e−x + ex
dx
= lim
u→−∞
0
u
1
e−x + ex
dx + lim
u→∞
u
0
1
e−x + ex
dx
1
e−x + ex
dx =
e
x
1 + (ex)2
dx ex
= t
ex
dx = dt
=
1
1 + t2
dt = arctg t
= arctg ex
0
u
1
e−x + ex
dx = [arctg ex
]0
u = arctg e0
− arctg eu
= arctg 1 − arctg eu
=
π
4
− arctg eu
0
−∞
1
e−x + ex
dx = lim
u→−∞
π
4
− arctg eu
=
π
4
− arctg e−∞
=
π
4
− arctg 0
=
π
4
1
e−x + ex
dx = arctg ex
0
−∞
1
e−x + ex
dx =
π
4
u⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Find I =
∞
−∞
1
e−x + ex
dx
∞
−∞
1
e−x + ex
dx =
0
−∞
1
e−x + ex
dx +
∞
0
1
e−x + ex
dx
= lim
u→−∞
0
u
1
e−x + ex
dx + lim
u→∞
u
0
1
e−x + ex
dx
1
e−x + ex
dx =
e
x
1 + (ex)2
dx ex
= t
ex
dx = dt
=
1
1 + t2
dt = arctg t
= arctg ex
0
u
1
e−x + ex
dx = [arctg ex
]0
u = arctg e0
− arctg eu
= arctg 1 − arctg eu
=
π
4
− arctg eu
0
−∞
1
e−x + ex
dx = lim
u→−∞
π
4
− arctg eu
=
π
4
− arctg e−∞
=
π
4
− arctg 0
=
π
4
1
e−x + ex
dx = arctg ex
0
−∞
1
e−x + ex
dx =
π
4
u⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Find I =
∞
−∞
1
e−x + ex
dx
∞
−∞
1
e−x + ex
dx =
0
−∞
1
e−x + ex
dx +
∞
0
1
e−x + ex
dx
= lim
u→−∞
0
u
1
e−x + ex
dx + lim
u→∞
u
0
1
e−x + ex
dx
1
e−x + ex
dx =
e
x
1 + (ex)2
dx ex
= t
ex
dx = dt
=
1
1 + t2
dt = arctg t
= arctg ex
0
u
1
e−x + ex
dx = [arctg ex
]0
u = arctg e0
− arctg eu
= arctg 1 − arctg eu
=
π
4
− arctg eu
0
−∞
1
e−x + ex
dx = lim
u→−∞
π
4
− arctg eu
=
π
4
− arctg e−∞
=
π
4
− arctg 0
=
π
4
1
e−x + ex
dx = arctg ex
0
−∞
1
e−x + ex
dx =
π
4
u⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Find I =
∞
−∞
1
e−x + ex
dx
∞
−∞
1
e−x + ex
dx =
0
−∞
1
e−x + ex
dx +
∞
0
1
e−x + ex
dx
= lim
u→−∞
0
u
1
e−x + ex
dx + lim
u→∞
u
0
1
e−x + ex
dx
1
e−x + ex
dx =
e
x
1 + (ex)2
dx ex
= t
ex
dx = dt
=
1
1 + t2
dt = arctg t
= arctg ex
0
u
1
e−x + ex
dx = [arctg ex
]0
u = arctg e0
− arctg eu
= arctg 1 − arctg eu
=
π
4
− arctg eu
0
−∞
1
e−x + ex
dx = lim
u→−∞
π
4
− arctg eu
=
π
4
− arctg e−∞
=
π
4
− arctg 0
=
π
4
1
e−x + ex
dx = arctg ex
0
−∞
1
e−x + ex
dx =
π
4
u⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Find I =
∞
−∞
1
e−x + ex
dx
∞
−∞
1
e−x + ex
dx =
0
−∞
1
e−x + ex
dx +
∞
0
1
e−x + ex
dx
= lim
u→−∞
0
u
1
e−x + ex
dx + lim
u→∞
u
0
1
e−x + ex
dx
1
e−x + ex
dx =
e
x
1 + (ex)2
dx ex
= t
ex
dx = dt
=
1
1 + t2
dt = arctg t
= arctg ex
0
u
1
e−x + ex
dx = [arctg ex
]0
u = arctg e0
− arctg eu
= arctg 1 − arctg eu
=
π
4
− arctg eu
0
−∞
1
e−x + ex
dx = lim
u→−∞
π
4
− arctg eu
=
π
4
− arctg e−∞
=
π
4
− arctg 0
=
π
4
1
e−x + ex
dx = arctg ex
0
−∞
1
e−x + ex
dx =
π
4
u⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Find I =
∞
−∞
1
e−x + ex
dx
∞
−∞
1
e−x + ex
dx =
0
−∞
1
e−x + ex
dx +
∞
0
1
e−x + ex
dx
= lim
u→−∞
0
u
1
e−x + ex
dx + lim
u→∞
u
0
1
e−x + ex
dx
1
e−x + ex
dx =
e
x
1 + (ex)2
dx ex
= t
ex
dx = dt
=
1
1 + t2
dt = arctg t
= arctg ex
0
u
1
e−x + ex
dx = [arctg ex
]0
u = arctg e0
− arctg eu
= arctg 1 − arctg eu
=
π
4
− arctg eu
0
−∞
1
e−x + ex
dx = lim
u→−∞
π
4
− arctg eu
=
π
4
− arctg e−∞
=
π
4
− arctg 0
=
π
4
1
e−x + ex
dx = arctg ex
0
−∞
1
e−x + ex
dx =
π
4
u⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Find I =
∞
−∞
1
e−x + ex
dx
∞
−∞
1
e−x + ex
dx =
0
−∞
1
e−x + ex
dx +
∞
0
1
e−x + ex
dx
= lim
u→−∞
0
u
1
e−x + ex
dx + lim
u→∞
u
0
1
e−x + ex
dx
1
e−x + ex
dx =
e
x
1 + (ex)2
dx ex
= t
ex
dx = dt
=
1
1 + t2
dt = arctg t
= arctg ex
0
u
1
e−x + ex
dx = [arctg ex
]0
u = arctg e0
− arctg eu
= arctg 1 − arctg eu
=
π
4
− arctg eu
0
−∞
1
e−x + ex
dx = lim
u→−∞
π
4
− arctg eu
=
π
4
− arctg e−∞
=
π
4
− arctg 0
=
π
4
1
e−x + ex
dx = arctg ex
0
−∞
1
e−x + ex
dx =
π
4
u⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Find I =
∞
−∞
1
e−x + ex
dx
∞
−∞
1
e−x + ex
dx =
0
−∞
1
e−x + ex
dx +
∞
0
1
e−x + ex
dx
= lim
u→−∞
0
u
1
e−x + ex
dx + lim
u→∞
u
0
1
e−x + ex
dx
1
e−x + ex
dx = arctg ex
0
−∞
1
e−x + ex
dx =
π
4
u
0
1
e−x + ex
dx = [arctg ex
]u
0
= arctg eu
− arctg e0
= arctg eu
− arctg 1
= arctg eu
−
π
4
∞
0
1
e−x + ex
dx = lim
u→∞
arctg eu
−
π
4
= arctg e∞
−
π
4
= arctg ∞ −
π
4
=
π
2
−
π
4
=
π
4
∞
−∞
1
ex + e−x
dx =
π
4
+
π
4
=
π
2
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Find I =
∞
−∞
1
e−x + ex
dx
∞
−∞
1
e−x + ex
dx =
0
−∞
1
e−x + ex
dx +
∞
0
1
e−x + ex
dx
= lim
u→−∞
0
u
1
e−x + ex
dx + lim
u→∞
u
0
1
e−x + ex
dx
1
e−x + ex
dx = arctg ex
0
−∞
1
e−x + ex
dx =
π
4
u
0
1
e−x + ex
dx = [arctg ex
]u
0
= arctg eu
− arctg e0
= arctg eu
− arctg 1
= arctg eu
−
π
4
∞
0
1
e−x + ex
dx = lim
u→∞
arctg eu
−
π
4
= arctg e∞
−
π
4
= arctg ∞ −
π
4
=
π
2
−
π
4
=
π
4
∞
−∞
1
ex + e−x
dx =
π
4
+
π
4
=
π
2
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Find I =
∞
−∞
1
e−x + ex
dx
∞
−∞
1
e−x + ex
dx =
0
−∞
1
e−x + ex
dx +
∞
0
1
e−x + ex
dx
= lim
u→−∞
0
u
1
e−x + ex
dx + lim
u→∞
u
0
1
e−x + ex
dx
1
e−x + ex
dx = arctg ex
0
−∞
1
e−x + ex
dx =
π
4
u
0
1
e−x + ex
dx = [arctg ex
]u
0
= arctg eu
− arctg e0
= arctg eu
− arctg 1
= arctg eu
−
π
4
∞
0
1
e−x + ex
dx = lim
u→∞
arctg eu
−
π
4
= arctg e∞
−
π
4
= arctg ∞ −
π
4
=
π
2
−
π
4
=
π
4
∞
−∞
1
ex + e−x
dx =
π
4
+
π
4
=
π
2
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Find I =
∞
−∞
1
e−x + ex
dx
∞
−∞
1
e−x + ex
dx =
0
−∞
1
e−x + ex
dx +
∞
0
1
e−x + ex
dx
= lim
u→−∞
0
u
1
e−x + ex
dx + lim
u→∞
u
0
1
e−x + ex
dx
1
e−x + ex
dx = arctg ex
0
−∞
1
e−x + ex
dx =
π
4
u
0
1
e−x + ex
dx = [arctg ex
]u
0
= arctg eu
− arctg e0
= arctg eu
− arctg 1
= arctg eu
−
π
4
∞
0
1
e−x + ex
dx = lim
u→∞
arctg eu
−
π
4
= arctg e∞
−
π
4
= arctg ∞ −
π
4
=
π
2
−
π
4
=
π
4
∞
−∞
1
ex + e−x
dx =
π
4
+
π
4
=
π
2
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Find I =
∞
−∞
1
e−x + ex
dx
∞
−∞
1
e−x + ex
dx =
0
−∞
1
e−x + ex
dx +
∞
0
1
e−x + ex
dx
= lim
u→−∞
0
u
1
e−x + ex
dx + lim
u→∞
u
0
1
e−x + ex
dx
1
e−x + ex
dx = arctg ex
0
−∞
1
e−x + ex
dx =
π
4
u
0
1
e−x + ex
dx = [arctg ex
]u
0
= arctg eu
− arctg e0
= arctg eu
− arctg 1
= arctg eu
−
π
4
∞
0
1
e−x + ex
dx = lim
u→∞
arctg eu
−
π
4
= arctg e∞
−
π
4
= arctg ∞ −
π
4
=
π
2
−
π
4
=
π
4
∞
−∞
1
ex + e−x
dx =
π
4
+
π
4
=
π
2
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Find I =
∞
−∞
1
e−x + ex
dx
∞
−∞
1
e−x + ex
dx =
0
−∞
1
e−x + ex
dx +
∞
0
1
e−x + ex
dx
= lim
u→−∞
0
u
1
e−x + ex
dx + lim
u→∞
u
0
1
e−x + ex
dx
1
e−x + ex
dx = arctg ex
0
−∞
1
e−x + ex
dx =
π
4
u
0
1
e−x + ex
dx = [arctg ex
]u
0
= arctg eu
− arctg e0
= arctg eu
− arctg 1
= arctg eu
−
π
4
∞
0
1
e−x + ex
dx = lim
u→∞
arctg eu
−
π
4
= arctg e∞
−
π
4
= arctg ∞ −
π
4
=
π
2
−
π
4
=
π
4
∞
−∞
1
ex + e−x
dx =
π
4
+
π
4
=
π
2
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Find I =
∞
−∞
1
e−x + ex
dx
∞
−∞
1
e−x + ex
dx =
0
−∞
1
e−x + ex
dx +
∞
0
1
e−x + ex
dx
= lim
u→−∞
0
u
1
e−x + ex
dx + lim
u→∞
u
0
1
e−x + ex
dx
1
e−x + ex
dx = arctg ex
0
−∞
1
e−x + ex
dx =
π
4
u
0
1
e−x + ex
dx = [arctg ex
]u
0
= arctg eu
− arctg e0
= arctg eu
− arctg 1
= arctg eu
−
π
4
∞
0
1
e−x + ex
dx = lim
u→∞
arctg eu
−
π
4
= arctg e∞
−
π
4
= arctg ∞ −
π
4
=
π
2
−
π
4
=
π
4
∞
−∞
1
ex + e−x
dx =
π
4
+
π
4
=
π
2
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Find I =
∞
−∞
1
e−x + ex
dx
∞
−∞
1
e−x + ex
dx =
0
−∞
1
e−x + ex
dx +
∞
0
1
e−x + ex
dx
= lim
u→−∞
0
u
1
e−x + ex
dx + lim
u→∞
u
0
1
e−x + ex
dx
1
e−x + ex
dx = arctg ex
0
−∞
1
e−x + ex
dx =
π
4
u
0
1
e−x + ex
dx = [arctg ex
]u
0
= arctg eu
− arctg e0
= arctg eu
− arctg 1
= arctg eu
−
π
4
∞
0
1
e−x + ex
dx = lim
u→∞
arctg eu
−
π
4
= arctg e∞
−
π
4
= arctg ∞ −
π
4
=
π
2
−
π
4
=
π
4
∞
−∞
1
ex + e−x
dx =
π
4
+
π
4
=
π
2
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Find I =
∞
−∞
1
e−x + ex
dx
∞
−∞
1
e−x + ex
dx =
0
−∞
1
e−x + ex
dx +
∞
0
1
e−x + ex
dx
= lim
u→−∞
0
u
1
e−x + ex
dx + lim
u→∞
u
0
1
e−x + ex
dx
1
e−x + ex
dx = arctg ex
0
−∞
1
e−x + ex
dx =
π
4
u
0
1
e−x + ex
dx = [arctg ex
]u
0
= arctg eu
− arctg e0
= arctg eu
− arctg 1
= arctg eu
−
π
4
∞
0
1
e−x + ex
dx = lim
u→∞
arctg eu
−
π
4
= arctg e∞
−
π
4
= arctg ∞ −
π
4
=
π
2
−
π
4
=
π
4
∞
−∞
1
ex + e−x
dx =
π
4
+
π
4
=
π
2
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Find I =
∞
−∞
1
e−x + ex
dx
∞
−∞
1
e−x + ex
dx =
0
−∞
1
e−x + ex
dx +
∞
0
1
e−x + ex
dx
= lim
u→−∞
0
u
1
e−x + ex
dx + lim
u→∞
u
0
1
e−x + ex
dx
1
e−x + ex
dx = arctg ex
0
−∞
1
e−x + ex
dx =
π
4
u
0
1
e−x + ex
dx = [arctg ex
]u
0
= arctg eu
− arctg e0
= arctg eu
− arctg 1
= arctg eu
−
π
4
∞
0
1
e−x + ex
dx = lim
u→∞
arctg eu
−
π
4
= arctg e∞
−
π
4
= arctg ∞ −
π
4
=
π
2
−
π
4
=
π
4
∞
−∞
1
ex + e−x
dx =
π
4
+
π
4
=
π
2
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Find I =
∞
−∞
1
e−x + ex
dx
∞
−∞
1
e−x + ex
dx =
0
−∞
1
e−x + ex
dx +
∞
0
1
e−x + ex
dx
= lim
u→−∞
0
u
1
e−x + ex
dx + lim
u→∞
u
0
1
e−x + ex
dx
1
e−x + ex
dx = arctg ex
0
−∞
1
e−x + ex
dx =
π
4
u
0
1
e−x + ex
dx = [arctg ex
]u
0
= arctg eu
− arctg e0
= arctg eu
− arctg 1
= arctg eu
−
π
4
∞
0
1
e−x + ex
dx = lim
u→∞
arctg eu
−
π
4
= arctg e∞
−
π
4
= arctg ∞ −
π
4
=
π
2
−
π
4
=
π
4
∞
−∞
1
ex + e−x
dx =
π
4
+
π
4
=
π
2
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Find I =
∞
−∞
1
e−x + ex
dx
∞
−∞
1
e−x + ex
dx =
0
−∞
1
e−x + ex
dx +
∞
0
1
e−x + ex
dx
= lim
u→−∞
0
u
1
e−x + ex
dx + lim
u→∞
u
0
1
e−x + ex
dx
1
e−x + ex
dx = arctg ex
0
−∞
1
e−x + ex
dx =
π
4
u
0
1
e−x + ex
dx = [arctg ex
]u
0
= arctg eu
− arctg e0
= arctg eu
− arctg 1
= arctg eu
−
π
4
∞
0
1
e−x + ex
dx = lim
u→∞
arctg eu
−
π
4
= arctg e∞
−
π
4
= arctg ∞ −
π
4
=
π
2
−
π
4
=
π
4
∞
−∞
1
ex + e−x
dx =
π
4
+
π
4
=
π
2
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Find I =
∞
−∞
1
e−x + ex
dx
∞
−∞
1
e−x + ex
dx =
0
−∞
1
e−x + ex
dx +
∞
0
1
e−x + ex
dx
= lim
u→−∞
0
u
1
e−x + ex
dx + lim
u→∞
u
0
1
e−x + ex
dx
1
e−x + ex
dx = arctg ex
0
−∞
1
e−x + ex
dx =
π
4
u
0
1
e−x + ex
dx = [arctg ex
]u
0
= arctg eu
− arctg e0
= arctg eu
− arctg 1
= arctg eu
−
π
4
∞
0
1
e−x + ex
dx = lim
u→∞
arctg eu
−
π
4
= arctg e∞
−
π
4
= arctg ∞ −
π
4
=
π
2
−
π
4
=
π
4
∞
−∞
1
ex + e−x
dx =
π
4
+
π
4
=
π
2
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Find I =
∞
−∞
1
e−x + ex
dx
∞
−∞
1
e−x + ex
dx =
0
−∞
1
e−x + ex
dx +
∞
0
1
e−x + ex
dx
= lim
u→−∞
0
u
1
e−x + ex
dx + lim
u→∞
u
0
1
e−x + ex
dx
1
e−x + ex
dx = arctg ex
0
−∞
1
e−x + ex
dx =
π
4
u
0
1
e−x + ex
dx = [arctg ex
]u
0
= arctg eu
− arctg e0
= arctg eu
− arctg 1
= arctg eu
−
π
4
∞
0
1
e−x + ex
dx = lim
u→∞
arctg eu
−
π
4
= arctg e∞
−
π
4
= arctg ∞ −
π
4
=
π
2
−
π
4
=
π
4
∞
−∞
1
ex + e−x
dx =
π
4
+
π
4
=
π
2
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
Find I =
∞
−∞
1
e−x + ex
dx
∞
−∞
1
e−x + ex
dx =
0
−∞
1
e−x + ex
dx +
∞
0
1
e−x + ex
dx
= lim
u→−∞
0
u
1
e−x + ex
dx + lim
u→∞
u
0
1
e−x + ex
dx
1
e−x + ex
dx = arctg ex
0
−∞
1
e−x + ex
dx =
π
4
u
0
1
e−x + ex
dx = [arctg ex
]u
0
= arctg eu
− arctg e0
= arctg eu
− arctg 1
= arctg eu
−
π
4
∞
0
1
e−x + ex
dx = lim
u→∞
arctg eu
−
π
4
= arctg e∞
−
π
4
= arctg ∞ −
π
4
=
π
2
−
π
4
=
π
4
∞
−∞
1
ex + e−x
dx =
π
4
+
π
4
=
π
2
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×
KONEC
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Nevlastní integrál c Robert Mařík, 2008 ×