Derivace funkce
text neobsahuje přesné matematické definice, pouze jejich vysvětlení
Derivace funkce v bodě xq = míra změny funkce f{x) v bodě xq, tj. "jak moc" klesá/roste f{x) v bodě xq, tj. jaký sklon má tečna k f (x) v bodě xq.
chceme sestrojit tečnu v bodě xq a určit její sklon ots sklon tečny
tgoLs
protilehlá     f\x) — f{x$)
přilehla x — xq
při otáčení sečny v tečnu přibližujeme x —> xq a tím také f{x) —> /(xq), tedy
t gat = lim
x^x0       X — Xq
-■ fix)
což je směrnice tečny f{x) v bodě xq, hodnotu nazýváme derivací f{x) v bodě
Xq.
Rovnice tečny ke grafu funkce:
V - f(x0) = f'(x)(x - x0), kdey:=f(x)
např. chceme najít derivaci funkce x3 v bodě xq = 2:
y   =   3-22(x-2) + 8 = 12x-16
1
12 je derivace, tedy směrnice funkce v bodě xq = 2 a říká nám, že x3 v bodě 2 roste 12-krát rychleji než přímka y = x.
Rovnice normály (kolmice k tečně): pokud f(x0) ^ 0
Příklad 1. Určete tečny a normály v bodě xq
• f(x) = y/x2 — 3x + 11, xo = 2
Ř:tečna: t : y = | + | normála: n : y = —6x + 15
• /(x) = 4 — x2, a?o - průsečík grafu s kladnou částí osy x Ř:x0 = 2
tečna: t : y = —Ax + 8 normála: n : y = j — 1/2
Výpočet derivace pomocí definice
Pomocí definice lze derivace počítat, například f(x) = x3:
x3 x3
(X3)' =    Mm-- =   lim (X2 + XXO + Xq) = Xq + Xq + Xq = 3Xq
2:^2:0 X — Xo x^x0
Aby se derivace každé funkce nemusela počítat takto zdlouhavě přes limity, je žádoucí si zapamatovat derivace elementárních funkcí (viz níže, ukradeno z Wikipedie).
Pokud je funkce složitější, lze ji upravit na elementární pomocí pravidel pro
derivování:
Linearita derivace:
(af + bg)' = a f + bg'
Derivace součinu:
(/<?)'= /'<? + <//
Derivace podílu:
^/y = f 9 ~ 9'f 9 92 Derivace složené funkce: (/ o g){x) = f(g(x)),
[(f°g)(x)]'=f'(g(x))g'(x)
2
Příklady viz dokument "derivacePriklady.pdf
3
Derivace některých elementárních funkcí
Funkce
Polynomy
f(x) = C (cJe konstanta) f(x) = XC [cje konstanta) Speciálně: f{x) = X Mocniny, logaritmy /(x) = ď iGJe konstanta, c> 0) f^X^ = e^teJ6 Eulerovo číslo)
Derivace
f(x f{x f(x
f(x) = logQ a; [aje konstanta, a > 0, a^i)f^x
Speciálně:/ (x) = lna; Goniometrické funkce
/(ar) = cos £ /(a;) = tg a;
/(a?) = cotg a:
Cyklometrické funkce
f(x) = arcsinz f(x) — aTccosa; / (x) = arctg x f (x) — arccotg x
fix
= 0
cx
1
.c-1
= e
ď ln c
1
ar ■ ln a 1
x
cos a;
— siná; 1
cos2 a;
1
sin3 a:
ar-
VI - a:2 1
1 +a:2 1
1 +av
4
Příklad 2. derivujte
(XXY = [eOn*)xY = \exllíXY = exlnx(lnx + x-) = xx(lnx + 1)
x
[{x2 + 3)COBX]' = ecosxl^x2+3\-smxln(x2 +3) + cosx- 2X
x2 + 3J
Příklad 3. (z písemky) Funkce y{x) je zadaná implicitně:
x y + cos y = — 1 + ir
Najděte y'{x) a urete rovnici tečny ke grafu této funkce v bodě P = [l,7r].
Řešení: Zadání funkce zderivujeme, nezapomínáme, že y = y (x) je funkce proměnné x:
2xys(x) + 3y2(x)y'(x) — (smy(x))y'(x) = 0
y'(x) = 2xy3(x)
s'my(x) — 3y2{x)
Tečna ke grafu funkce v P = [xQ,y(xo)] = [l,7r] (tj. y(l) = Ti)má tvar:
y - y(xo) = y'(x0)(x - x0),
po dosazení dostáváme:
2 .
y =    3^"    ~ X) +7r
Příklad 4. (z písemky) Rozhodněte, zda je y =      + x2 řešením rovnice
x2y"y - {y'f = o
Řešení: spočteme první a druhou derivaci y',y" a dosadíme.
y'
, x
VT+x
y"
1
(1 +x2)Vl +x2
x
2
1 r,-ô    , x
[i + x2)vi+x2 vr+
Rovnice platí, tedy ANO, y = \/l + x2 je řešením zadané rovnice.
5