Limita funkce
text neobsahuje přesné matematické definice, pouze jejich vysvětlení
Limita L v bodě a = bod L (číslo nebo ±00) na y-ové ose, ke kterému se funkce f{x) blíží v libovolně malém okolí bodu a na x-ové ose. Limita může být vlastní (číslo) nebo nevlastní (±00). Stejně tak bod a, ve kterém limitu určujeme.
lim f{x) = L
Typy limit:
• vlastní ve vlastním bodě: např. lim^^o ex = 1
• vlastní v nevlastním bodě:např. lim^^oo j = 0
• nevlastní ve vlastním bodě: např.lim^^o I \ |= 00
• nevlastní v nevlastním bodě: např.lim^^oo ex = 00
• Limita zprava/zleva
zprava: např. limx^0+ - = 00 zleva: např. lim^^g- ^ = —00
Vlastnosti limit:
Jestliže lima; —> af{x) = L a lima; —> ag{x) = K,kde K, L jsou vlastní!, pak
1. lim^a j f(x) | = | L I
2. limx^a{f{x)±g{x))=L±K
3. limx^a(f(x) ■ g(x)) = L • K
4. lim^a4g = £,protf^0
1
Věta o třech limitách (squeeze theorem): Jestl. pro funkce f,g, h platí
f(x) < g{x) < h(x), lim f{x) = lim h{x) = M,
pak
Důležité limity:
Nezapomeňte, že
lim g{x) = M
SIM
lim- = 1
x^O X
lim-
x^O X
, ax - 1 lim-
x^O X
ln a
lim    1 + -
x ^oo \ x
lna; =			X
			
	x =	gin x	
			
lnax =		= xlna	
y = loga x 44> x = ay
Počítání limit na základě jejich vlastností:
Přímé dosazení, nebo snadná úprava polynomů:
• linxji^oísi11 x)
linxji^o (sinO) = 0]
lim^-i
x£-\ x+1
J,—r   ± x+1
lim^-ifx - 1)
2
lilILji-
x2 — x—2 >2 i:-2
r (x-2)(x+l) o
h.m.x^2 -——L = 3
21-2
lírn 3 / _J___1_
lmLx^0 x I 5+x 5-x
Triky s využitím platnosti důležitých limit (výše)
_ i- sinbx
• líního ——
lim^^oí^ c°t 3x)
-6/25]
[= lim^
5 sin bx >0 5i:
lii", ... ^ffff = lii", ... IfÉt = 1/3
lim^o
lim^o 2 í
2i:
lim^^o "\/cos x + x + 2
[= lim^^Q e1/:rln(cos:E+:E+2) = ..] ...neexistuje ruzne jednostranne limity
lim^ (1 + ±y
lim^oo (1 +
! N 6:21-4
TViky s odmocninami (většinou vynásobení nějakým vhodným zlomkem tak, aby některé odmocniny "zmizely"):
lim.
a:->25 2h-x
3
lirrw
5— Jx \ ( b+Jx
lim^25 (25-x)(5+Vi) ~
lim.
a:->9
9-a
(9-a)(y^+3) >9 -(9-a:)
^/:r2 + 12-^/I2
lim ^n (       ^_^) ( v^+l2+^
2V12
Další příklady (směska): • Necht
Spočtěte lirrtji^i f{x)
/(*)
3x + 1, x < 1 5 — x2,   x > 1
Řešení: lim:E^1-(3x — 1) = 4,    lim:E^1+(5 — x2
Spočtěte
Řešení:
Spočtěte
lim f{x) = 4
x—>1
lim I x
/(*)
x,   x > 0 -x,   x < 0
lim:E^o+ x = 0,       linx^g- (—x) = 0     lira^o | a; |= 0
lim x sin —
x^O x
Řešení: platí — | x |< x <| x | a — 1 < sin ^ < 1, proto
x < x sin — < x
x
Dále linL^o — 1^1=0, lim^^o | x 1=0, proto podle věty o 3 limitách funkce — I x I a I x I " zmáčknou" funkci x sin - a tedy
lim x sin — = 0
x^O X
4
• Určete limitu f (x) v bodě 0.
/(*) =
x2 sin -,   x ± 0
X ' '
0,   x = 0
Řešení: —1 < sin ^ < 1 a lim^-s-o 2:2 = 0, pak (podle vlastnosti součinu limit) je
lim fix) = 0 • (neco   mezi[—l, 1]) = 0
x->0
Určete lim^^o f{x) a limn-i f{x)i pokud
x4 < f{x) < 2:2 Pro   x £ (—1) 1)
x2 < /(x) < 2:4 Pro     I x |> 1
Řešení: po nakreslení obrázku zjevně lim^^o • Mějme dány grafy funkcí f(x),g(x)
Odim^i f(x)
	+3
	
-3 /	+3 f(x) -3
"7
Určete
1. lim^-i/(x)
2. 11111^0-/(^ + 2)
3. limx^_1+ f(x)
4. limx^0(2f(x) + 3g{x))
5. lim:r^_1- /(x2)
6. liníz-^ f(x)g(x)
7. limx^1(f(x)+g{x))
8. lirn^-i f(x)g(x)
Řešení: l.[-l], 2.[2], 3.[-l], 4.[4], 5.[2], Q.neexistuje, 7.[-2], 8.[1]
ĽHospitalovo pravidlo
Dostaneme-li limitu typu " jj", "^f'\ platí, že
lim
/(*) ^ffl
#(x) p'(a;)'
tj. stačí funkce zderivovat a tak se (často) zbavíme výrazu " jj", "     . Dokonce je tam možné řešit i limitu typu "0 • oo", " f", "oo - oo", " 1°°", "0°", "oo°" Příklady:
. lim^i £f
?? Oj? 0
lim^i      = 1
i- a—sin a
lim^o ——
ľ_    j? Oj? _      i- 1—cos a _      ?? 0?? _      i- sin x _      ?? 0?? _      i- cos x _ 11
L-  ô  - iim^o —^r~ -  ô  - iim^o — -  ô  - iim^o — - ěJ lim^^o (cotgx - ±)
[= "oo-oo" = lim^oí—-1) = Imw) xcosxrsiľíX = »2» = ľmi^o cos ■ ,-
l J-^^siiii    2i' x—f\j      xsmx 0 j-^u ani+icosi
??0??__— sinu—x cos x
0]
0 cos x+cos x—a: sin x
lim:E^a(arcsin(x — a)cotg{x — a))
??n       ??      t arcsin(:r—a)      „o??      v ,/i-(i-a)2
"0 • oo" = lim^a       i       =5   = lim^a v \
cotg(x — a) cos2(i-a)
lim^o^ + x) Řešení:
L   =   lim (e* + a;)*
ln L   =   lim ln(ex + x) ž
InL   = limM^+x)=„0, z^o       x 0
+ x
InL   = 2
L
2
6