Aplikace derivace - slovní úlohy
Postup:
1. Nakresli si obrázek a pojmenuj proměnné. Použij t pro čas. Urči, které proměnné jsou diferencovatelné v čase (podle t)
2. Sepiš si numerické informace
3. Napiš si, co máš vypočítat
4. Sepiš si rovnice, které popisují vztahy proměnných
5. Derivuj podle t
6. Dosad známé hodnoty
Příklad 1. (Sklouzávající žebřík) 13 stop dlouhý žebřík je opřen o zed a pomalu po ní zklouzává dolů. V jedné chvíli je jeho spodní část vzdálená od zdi lžstop a pohybuje se po podlaze rychlostí 5stop/sec.
a) Jak rychle v tuto chvíli sklouzává vrch žebříku?
b) Jak rychle se v tuto chvíli mění obsah plochy pod žebříkem?
c) Jak rychle se v tuto chvíli mění úhel, který svírá žebřík s podlahou
Řešení:
1
a)
dy dt
2 2,2
z    =  x + y
y   =   y/(z2 - x2) Vrc/i žebříku sklouzává dolů rychlostí 12 stop/sec.
b)
dS _? dt ~'
pro z = 13, x = 12 je y = 5
Q 1
2 y
dS* 1 dx
—   =--= —59.5
dt 2 dt
Obsah plochy pod žebříkem se zmenšuje rychlostí 59.5 stop/sec.
c)
d<P =? dt
y 5
srn p = — = — z 13
—   =   cos p
z
x    =    z COS (f
dx dp — = z{— smp)— dt dt
dip 1 dx
dt z{— sin p) dt
dp ~ďt
-1 rad/s
Úhel, který svírá žebřík s podlahou se v dané chvíli mění (zmenšuje) rychlostí —lrad/s.
2
Příklad 2. Výběh pro slepice má rozlohu 200m2 a tvar obdélníka přiléhajícího jednou stranou k domu. Ze zbývajících tří stran je potřeba výběh oplotit. Jak velké mají být strany výběhu, aby bylo potřeba co nejméně pletiva na plot? Kolik metrů pletiva bude potřeba?
(Výsledek: strany 10 x 20 m, pletiva 40 metrů)
Příklad 3. Designér firmy LEGO plánuje výrobu krabice na kostky, přičemž krabice má mít tvar hranolu (=kvádr se čtvercovou podstavou) bez víka o objemu 32 litrů. Jaké rozměry má taková krabice mít, aby na její výrobu bylo potřeba co nejméně materiálu? Kolik materiálu bude tedy potřeba? [1 litr=l dm3 = lOOOcm3]
(Výsledek: Rozměry krabice 4x4x2 dm, celkem A&drrfi)
Příklad 4. (Pouštění draka)
Holčička pouští draka ve výšce SOOft nad zemí a vítr jí ho unáší horizontálně od ní (drak zůstává ve stejné výšce, jen se vzdaluje) rychlostí 25ft/sec. Jak rychle musí povolovat provázek ve chvíli, kdy je od drak vzdálený 500ft?
(Výsledek: Provázek odmotává rychlostí 21 Aft/s)
Příklad 5. Horkovzdušný balón vzlétá od země a je měřen dálkoměrem, který je 500stop daleko od bodu vzletu. V určité chvíli je úhel, který svírá dálkoměřič s balónem tt/A, úhel roste rychostí0.14rad/min. Jak rychle v této chvíli balón
letí?
3
[Výsledek: V dané chvíli stoupá balón rychlostí 140/1/min]
Příklad 6. Voda stéká do kuželovitého tanku rychlostí 9m3/min. Tank stojí špičkou dolů a má výšku 10m a poloměr zíkladny 5m. Jak rychle stoupá hladina vody ve chvíli, kdy je hluboká Qm ?
[Výsledek: V dané chvíli stoupá hladina vody rychlostí 1/tv m/min]
Příklad 7. Když je kulatý železný talíř ohříván v troubě, jeho poloměr se zvětšuje rychlostí O.Olcm/min. Jakou rychlostí se plocha talíře zvětšuje ve chvíli, kdy je jeho poloměr 50cm ?
4
[Výsledek: V danou chvíli se plocha zvětšuje rychlostí ir cm2/min]
Příklad 8. Jaká je rychlost klesání hladiny kapaliny uvnitř válcové nádrže o polomeru podstavy r metrů při rovnoměrném vypouštění, když za 1 minutu vyteče 3000 l kapaliny?
(Výsedek: Hladina klesá rychlostí ^m/min)
5