MASARYKOVA UNIVERZITA
Přírodovědecká fakulta
Řešené příklady na extrémy a
průběh funkce se zaměřením
na ekonomii
Bakalářská práce
Veronika Kruttová Brno 2008
Prohlášení :
Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou práci Řešené příklady na extrémy a
průběh funkce se zaměřením na ekonomii vypracovala samostatně pod vedením
RNDr. Jana Osičky, CSc. a uvedla v seznamu literatury všechny použité
zdroje.
V Brně dne 30.5.2008 Veronika Kruttová
1
Poděkování :
Ráda bych poděkovala vedoucímu bakalářské práce RNDr. Janu Osičkovi,
CSc za metodické vedení, cenné rady při jejím vypracování a čas strávený
při konzultacích.
2
Obsah
Úvod 4
1 Teorie 5
2 Řešené příklady na lokální a absolutní extrémy 9
3 Extrémy v ekonomii 14
4 Řešené příklady na průběh funkce 15
4.1 Polynomy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.2 Racionální lomené funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.3 Goniometrické a cyklometrické funkce . . . . . . . . . . . . . . 23
4.4 Exponenciální a logaritmické funkce . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.5 Mocninné funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Literatura 34
3
Úvod
Hledání extrémů a vyšetřování průběhu funkcí je jednou ze základních aplikací
diferenciálního počtu. Proto se student matematicky zaměřených oborů
seznamuje s řešením úloh na extrémy a průběh funkcí zpravidla již v prvním
semestru. Tato oblast matematiky bývá probírána i na ekonomických oborech
z důvodů širokého využití extrémů v ekonomii.
Tato práce je zaměřena pouze na vyšetřování funkcí jedné reálné proměnné.
U čtenářů se předpokládá znalost diferenciálního počtu.
V první kapitole naleznete tvrzení a definice užívané při řešení úloh na extrémy
a průběh funkcí. Použila jsem znění ze základní literatury [1], věty
jsem uváděla bez důkazů jen s odkazem na knihu, kde může případný zájemce
důkaz nalézt.
Druhá a čtvrtá kapitola obsahují řešené příklady na lokální a absolutní extrémy
a průběh funkcí. Zaměřila jsem se na složitější příklady ze zadání
bakalářských zkoušek z minulých let a doplnila jsem je příklady z [1] a [2].
Čtvrtá kapitola je rozdělena podle typů vyšetřovaných funkcí.
Třetí kapitola je věnována užití extrémů v ekonomii.
Grafy funkcí jsou vytvořeny v programu MAPLE. Celá práce je vysázena
systémem LATEX2ε.
4
Kapitola 1
Teorie
V této kapitole budou uvedeny základní definice a tvrzení týkající se vyšetřování
extrémů a průběhu funkce.
Věta 1. Nechť má funkce f na otevřeném intervalu I vlastní derivaci. Pak
platí:
1. Funkce f je neklesající na I právě tehdy, když f′
(x) ≥ 0 na I.
2. Funkce f je rostoucí na I právě tehdy, když f′
(x) ≥ 0 na I, přičemž
rovnost f′
(x) = 0 neplatí na žádném podintervalu intervalu I.
Analogická tvrzení platí pro nerostoucí a klesající funkce
Důkaz. Důkaz naleznete v [1] na straně 113.
Důsledek 2. Nechť f má konečnou derivaci na otevřeném intervalu I.
(a) Je-li f′
(x) > 0 pro každé x ∈ I, pak je f rostoucí na I.
(b) Je-li f′
(x) < 0 pro každé x ∈ I, pak je f klesající na I.
Definice 3. Řekneme, že funkce f má v bodě x0:
lokální maximum, existuje-li O(x0) tak, že pro každé x ∈ O(x0) je f(x) ≤ f(x0),
lokální minimum, existuje-li O(x0) tak, že pro každé x ∈ O(x0) je f(x) ≥ f(x0),
ostré lokální maximum, existuje-li O(x0) tak, že pro každé x ∈ O(x0)\{x0}
je f(x) < f(x0),
ostré lokální minimum, existuje-li O(x0) tak, že pro každé x ∈ O(x0) \ {x0}
je f(x) > f(x0).
Lokální maxima a minima nazýváme souhrnně lokální extrémy.
5
Věta 4. Nechť má funkce f v bodě x0 lokální extrém a nechť f′
(x0) existuje.
Pak f′
(x0) = 0.
Důkaz. Důkaz naleznete v [1] na straně 116.
Věta 5. Nechť je funkce f spojitá v bodě x0 a má vlastní derivaci v nějakém
ryzím okolí O(x0) \ {x0}. Jestliže pro všechna x ∈ O(x0), x < x0, je
f′
(x0) > 0 a pro všechna x ∈ O(x0), x > x0, je f′
(x0) < 0, pak má funkce
f v bodě x0 ostré lokální maximum. (Obdobné tvrzení platí pro ostré lokální
minimum).
Důkaz. Důkaz naleznete v [1] na straně 117.
Věta 6. Nechť f′
(x0) = 0. Je-li f′′
(x0) > 0, pak má funkce f v bodě x0 ostré
lokální minimum. Je-li f′′
(x0) < 0, pak má funkce f v bodě x0 ostré lokální
maximum.
Důkaz. Důkaz naleznete v [1] na straně 118.
Definice 7. Buď funkce f definovaná na množině M. Existuje-li na M největší
(nejmenší) hodnota funkce f, nazýváme ji absolutním maximem (absolutním
minimem) funkce f na M. Absolutní minima a maxima souhrnně
nazýváme absolutními extrémy.
Jestliže tedy x0 ∈ M a platí f(x) ≤ f(x0) pro všechna x ∈ M, říkáme, že
funkce f má na M absolutní maximum v bodě x0. Podobně pro absolutní
minimum.
Definice 8. Řekneme, že funkce f je konvexní na intervalu I, jestliže pro libovolné
tři body x1, x2, x3 ∈ I takové, že x1 < x2 < x3, platí
f(x2) ≤ f(x1) +
f(x3) − f(x1)
x3 − x1
(x2 − x1).
Řekneme, že funkce f je konkávní na intervalu I, jestliže pro libovolné tři
body x1, x2, x3 ∈ I takové, že x1 < x2 < x3, platí
f(x2) ≥ f(x1) +
f(x3) − f(x1)
x3 − x1
(x2 − x1).
Pokud v definici nahradíme neostré nerovnosti ostrými, dostáváme definice
pojmů ostré konvexnosti a ostré konkávnosti na intervalu I.
6
Věta 9. Nechť f má vlastní derivaci na otevřeném intervalu I. Pak je f
konvexní (ostře konvexní) na I právě tehdy, když je funkce f′
neklesající
(rostoucí) na I.
Analogické tvrzení platí pro f konkávní (ostře konkávní) na I a f′
nerostoucí
(klesající) na I.
Důkaz. Důkaz naleznete v [1] na straně 124.
Důsledek 10. Nechť I je otevřený interval a f má vlastní druhou derivaci
na I.
(a) Je-li f′′
(x) > 0 pro každé x ∈ I, pak je f ostře konvexní na I.
(b) Je-li f′′
(x) < 0 pro každé x ∈ I, pak je f ostře konkávní na I.
Definice 11. Nechť má funkce f derivaci v bodě x0 ∈ R. Je-li tato derivace
nevlastní, předpokládáme navíc, že je f spojitá v bodě x0.
Řekneme, že x0 je inflexním bodem funkce f, jestliže existuje okolí Oδ(x0)
takové, že funkce f je ostře konkávní na intervalu (x0 − δ, x0) a je ostře
konvexní na intervalu (x0, x0 +δ) anebo naopak. Stručně říkáme, že funkce f
má v bodě x0 inflexi.
Věta 12.
1. Nechť x0 je inflexní bod a nechť existuje f′′
(x). Pak f′′
(x) = 0.
2. Nechť f′′
(x) = 0 a existuje okolí Oδ(x0) takové, že platí f′′
(x) < 0
pro každé x ∈ (x0 − δ, x0) a f′′
(x) > 0 pro každé x ∈ (x0, x0 + δ), nebo
naopak. Pak je x0 inflexním bodem funkce f.
3. Nechť f′′
(x) = 0 a f′′′
(x) = 0. Pak je x0 inflexním bodem funkce f.
Důkaz. Důkaz naleznete v [1] na straně 127.
Definice 13. Buď x0 ∈ R. Přímka x = x0 se nazývá asymptotou bez směrnice
funkce f, jestliže má f v x0 alespoň jednu jednostrannou limitu nevlastní, tj.
lim
x→x+
0
f(x) = ±∞ nebo lim
x→x−
0
f(x) = ±∞.
Přímka y = ax + b, a, b ∈ R se nazývá asymptotou se směrnicí funkce f,
jestliže platí lim
x→−∞
(f(x) − (ax + b)) = 0 nebo lim
x→+∞
(f(x) − (ax + b)) = 0.
7
Věta 14. Přímka y = ax + b je asymptotou funkce f pro x → + ∞ právě
tehdy, když
lim
x→+∞
f(x)
x
= a a lim
x→+∞
(f(x) − ax) = b.
Analogické tvrzení platí pro x → − ∞.
Důkaz. Důkaz naleznete v [1] na straně 129.
Důsledek 15. Přímka y = b je asymptotou funkce f pro x → + ∞ právě
tehdy, když lim
x→+∞
f(x) = b. Analogické tvrzení platí pro x → − ∞.
8
Kapitola 2
Řešené příklady na lokální a
absolutní extrémy
Příklad 2.1. Najděte lokální extrémy funkce
f : y = ln cos x.
Řešení: Funkce je definována na množině, kde cos x > 0. Jedná se o intervaly
−π
2
+ 2kπ, π
2
+ 2kπ pro k ∈ Z.
První derivace funkce f je y′
= −sin x
cos x
.
Body, ve kterých by mohly nastat lokální extrémy, jsou x = kπ
2
, kde k ∈ Z.
Vyšetříme monotónnost funkce f - stačí na intervalu (0, 2π), funkce je totiž
periodická.
0, π
2
π
2
, π π, 3π
2
3π
2
, 2π
y′
− − + +
y klesající klesající rostoucí rostoucí
Lokální extrémy tedy mohou nastat v bodech x = kπ, k ∈ Z. Pro k liché ale
není funkce definována, proto jsou lokální extrémy pouze v bodech x = 2kπ,
k ∈ Z. Jde o lokální maxima a jejich funkční hodnota
f(2kπ) = ln cos 2kπ = 0.
9
Příklad 2.2. Najděte lokální a absolutní extrémy funkce f na intervalu
[ −3, 3 ],
f : y = (x2
− 2) e−2x
.
Řešení: Funkce je definována na celém R, je tedy definována i na zkoumaném
intervalu.
První derivace funkce je y′
= −2 e−2x
(x + 1) (x − 2). Nulové body derivace
jsou x = −1 a x = 2. Vyšetříme znaménka derivace na zadaném intervalu :
(−3, −1) (−1, 2) (2, 3)
y′
− + −
y klesající rostoucí klesající
Lokální extrémy nastávají v bodech x = −1 a x = 2. Jejich funkční hodnoty
jsou f(−1) = −e2 .
= −7, 389 (lokální minimum) a f(2) = 2 e−4 .
= 0, 037
(lokální maximum).
Abychom nalezli absolutní extrémy, musíme vypočítat funkční hodnoty v krajních
bodech intervalu a porovnat je s nalezenými funkčními hodnotami lokálních
extrémů.
f(−3) = 7 e6 .
= 2824 a f(3) = 7 e−6 .
= 0, 017
Absolutní maximum funkce f je v bodě x = −3 a absolutní minimum funkce
f je v bodě x = −1.
Příklad 2.3. Najděte absolutní extrémy funkce f na intervalu [ 1, e ],
f : y = x2
ln x.
Řešení: Definičním oborem funkce f je množina D(f) = (0, ∞).
První derivace funkce f je y′
= x (2 ln x+1). Nulové body derivace jsou x = 0
a x = e− 1
2 . První z těchto bodů neleží v definičním oboru funkce f a druhý
není ve zkoumaném intervalu.
Funkční hodnoty v krajních bodech jsou f(1) = 0 a f(e) = e2
. Absolutní
minimum nastává v bodě x = 1 a absolutní maximum v bodě x = e.
10
Příklad 2.4. Najděte lokální a absolutní extrémy funkce f na intervalu
[ 0, 5 ],
f : y = x5
− 5 x4
+ 5 x3
+ 1.
Řešení: Funkce je definována v každém bodě intervalu.
První derivace funkce f je y′
= 5 x2
(x − 1) (x − 3). Body, ve kterých y′
= 0,
jsou x = 0, x = 1 a x = 3. Nyní vyšetříme monotónnost funkce f :
(0, 1) (1, 3) (3, 5)
y′
+ − +
y rostoucí klesající rostoucí
V bodě x = 1 je lokální maximum, jehož funkční hodnota f(1) = 2, a
v bodě x = 3 je lokální minimum, jehož funkční hodnota f(3) = −26. Zbývá
vypočítat funkční hodnoty v krajních bodech :
f(0) = 1 a f(5) = 626.
Absolutní maximum nastává v bodě x = 5 a absolutní minimum v bodě
x = 3.
Příklad 2.5. Najděte lokální a absolutní extrémy funkce f na intervalu
[ −1, 6 ],
f : y =
3
√
x2
x + 2
.
Řešení: Definičním oborem funkce je množina R \ {−2}.
První derivace funkce f je rovna
y′
=
(4 − x)
3
√
x2
3 x (x + 2)2
.
Body, ve kterých je první derivace rovna 0 nebo není definovaná, jsou x = 0
a x = 4. Vyšetříme znaménka derivace :
(−1, 0) (0, 4) (4, 6)
y′
− + −
y klesající rostoucí klesající
V bodě x = 0 je lokální minimum s funkční hodnotou f(0) = 0. V bodě
x = 4 je lokální maximum, jeho funkční hodnota je f(4)
.
= 0, 42.
V krajních bodech intervalu nabývá funkce hodnot :
f(−1) = 1 a f(6)
.
= 0, 41.
11
Absolutním maximem funkce na zadaném intervalu je bod [ x, y ] = [ −1, 1 ]
a absolutním minimem je bod [ 0, 0 ].
Příklad 2.6. Najděte lokální a absolutní extrémy funkce f na intervalu
[ −2, 2 ],
f : y = (x + 1)
2
3 + (x − 1)
2
3 .
Řešení: Definičním oborem funkce f je celá množina R. Funkce je sudá,
protože f(−x) = (−x+1)
2
3 +(−x−1)
2
3 = (−1)
2
3 (x−1)
2
3 +(−1)
2
3 (x+1)
2
3 =
= (x − 1)
2
3 + (x + 1)
2
3 = f(x).
První derivace funkce je rovna
y′
=
2
3
3
(x + 1)2 (x − 1) + 3
(x − 1)2 (x + 1)
(x + 1) (x − 1)
.
Body, ve kterých je první derivace rovna 0 nebo není definovaná, jsou x = −1,
x = 0 a x = 1. Vyšetříme znaménka derivace :
(−2, −1) (−1, 0) (0, 1) (1, 2)
y′
− + − +
y klesající rostoucí klesající rostoucí
V bodech x = −1 a x = 1 jsou lokální minima se shodnými funkčními hodnotami
f(−1) = f(1) = 3
√
4
.
= 1, 59. V bodě x = 0 je lokální maximum, jehož
funkční hodnota je rovna f(0) = 2.
Zbývá vypočítat funkční hodnoty v krajních bodech zadaného intervalu. Protože
je funkce sudá, budou obě hodnoty stejné.
f(−2) = f(2)
.
= 3, 08.
Funkce má absolutní maxima v bodech x = −2 a x = 2 a absolutní minima
v bodech x = −1 a x = 1.
Příklad 2.7. Najděte lokální a absolutní extrémy funkce f na intervalu
[ 3
2
, 4 ],
f : y =
x3
− 3x2
+ 3x + 1
x − 1
.
Řešení: Definičním oborem funkce je množina R \ {1}.
První derivace funkce f je rovna
y′
=
2 (x − 2) (x2
− x + 1)
(x − 1)2
.
Nulovým bodem předchozí rovnice je na zadaném intervalu pouze bod x = 2.
12
Vyšetříme znaménka derivace :
(3
2
, 2) (2, 4)
y′
− +
y klesající rostoucí
Bod x = 2 je lokálním minimem funkce f. Jeho funkční hodnota je rovna
f(2) = 3.
Nyní vypočítáme hodnoty funkce v krajních bodech intervalu :
f(3
2
) = 4, 25 a f(4)
.
= 9, 67.
Z vypočítaných hodnot snadno určíme, že absolutní minimum funkce f na intervalu
[ 3
2
, 4 ] je v bodě x = 2 a absolutní maximum je v bodě x = 4.
Příklad 2.8. Najděte lokální a absolutní extrémy funkce f na intervalu
[ −5, −1 ],
f : y =
1 − x3
x2
.
Řešení: Definičním oborem funkce je množina R \ {0}.
První derivace funkce f je rovna
y′
=
−x3
− 2
x3
.
Nulovým bodem předchozí rovnice je na zadaném intervalu pouze bod
x = 3
√
−2
.
= −1, 26. Vyšetříme znaménka derivace :
(−5, 3
√
−2) ( 3
√
−2, −1)
y′
− +
y klesající rostoucí
V bodě x = 3
√
−2 je lokální minimum s funkční hodnotou f( 3
√
−2)
.
= 1, 89.
Zbývá vypočítat hodnoty funkce v krajních bodech :
f(−5) = 5, 04 a f(−1) = 2.
Lokální minimum v bodě x = 3
√
−2 je zároveň absolutním minimem. Absolutní
maximum nastává v bodě x = −5.
13
Kapitola 3
Extrémy v ekonomii
Modelovým příkladem užití extrémů v ekonomii může být problém maximalizace
užitku spotřebitele.
Každého spotřebitele lze podle jeho preferencí charakterizovat nějakou užitkovou
funkcí, která vyjadřuje, jaký užitek mu přináší různé kombinace spotřebních
statků. Jeho cílem je tento užitek maximalizovat. Ale spotřeba
statků je spojena i s určitou újmou (obětí) ve formě platby za tento statek.
Množství peněžních prostředků spotřebitele je přitom omezené.
Formální zápis této úlohy by mohl vypadat například takto :
max [ u(x1, ..., xn) ;
n
i=1
pixi ≤ M, xi ≥ 0 ],
x1, ..., xn množství jednotlivých spotřebních statků
u(x1, ..., xn) užitková funkce spotřebitele
pi jednotková cena i − tého statku
M množství peněžních prostředků spotřebitele
Řešením této úlohy by byla kombinace statků x1, ..., xn, která bude spotřebiteli
při daném rozpočtovém omezení přinášet největší užitek.
Existuje mnoho dalších problémů k řešení - např. minimalizace nákladů firmy,
maximalizace zisku společnosti atd.
V těchto úlohách jsou vesměs vyšetřovány funkce více reálných proměnných,
navíc s určitými podmínkami, tzn. jde o vázané extrémy. Tyto úlohy se řeší
jinými metodami, které přesahují rámec mé bakalářské práce, jež je primárně
zaměřena na hledání extrémů a průběhu funkcí jedné reálné proměnné. Proto
zde nebudu uvádět konktrétní řešené příklady.
14
Kapitola 4
Řešené příklady na průběh
funkce
V této kapitole budou řešeny některé obtížnější úlohy na průběh funkce. Pro
přehlednost budou děleny podle typu funkce.
4.1 Polynomy
Příklad 4.1. Vyšetřete průběh funkce
f : y = x (x − 4)3
.
Řešení:
1. Definiční obor dané funkce je D(f) = R. Snadno určíme průsečíky grafu
funkce s osami x a y. Je zřejmé, že funkce prochází počátkem [ 0, 0 ] a
bodem [ 4, 0 ]. Protože f(−x) = −x (−x − 4)3
= x (x + 4)3
, funkce není
ani sudá ani lichá.
2. Pro počítání derivací je vhodné zadanou funkci upravit
y = x (x − 4)3
= x4
− 12x3
+ 48x2
− 64x.
První derivace funkce potom bude
y′
= 4x3
− 36x2
+ 96x − 64 = 4 (x − 1) (x − 4)2
,
odtud plyne y′
= 0 pro x = 1 a x = 4. Vyšetříme znaménko derivace :
(−∞, 1) (1, 4) (4, ∞)
y′
− + +
y klesající rostoucí rostoucí
15
Lokální extrém nastává pouze v bodě x = 1, jde o lokální minimum a
jeho funkční hodnota f(1) = −27.
3. Dále budeme vyšetřovat konvexnost, konkávnost a hledat inflexní body.
K tomu je potřeba vypočítat druhou derivaci.
y′′
= 12x2
− 72x + 96 = 12 (x2
− 6x + 8) = 12 (x − 2) (x − 4).
Vyšetříme znaménka derivace :
(−∞, 2) (2, 4) (4, ∞)
y′′
+ − +
y konvexní konkávní konvexní
Inflexní body jsou v bodech x = 2 a x = 4, jejich funkční hodnoty jsou
f(2) = −16 a f(4) = 0.
4. Funkce nemá žádné asymptoty.
5. Graf funkce je:
y
x
–30
–20
–10
10
20
30
–6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6
x
16
4.2 Racionální lomené funkce
Příklad 4.2. Vyšetřete průběh funkce
f : y =
(2x + 1) (4x − 3)
x2 + 2|x| − 3
.
Řešení:
1. Definičním oborem funkce je množina R \ {−1, 1} = (−∞, −1) ∪
∪ (−1, 1) ∪ (1, ∞). Průsečíky s osou x jsou −1
2
, 0 a 3
4
, 0 a průsečík
s osou y je bod [ 0, 1 ].
2. V zadání funkce se vyskytuje absolutní hodnota |x|, proto je nutné
funkci vyšetřovat s ohledem na to, zda je x ≤ 0 nebo x ≥ 0.
(a) Pro x ≥ 0 a x = 1 máme funkci
f1 : y =
(2x + 1) (4x − 3)
x2 + 2x − 3
.
Její derivace
y′
=
6(3x2
− 7x + 2)
(x2 + 2x − 3)2
.
Body, ve kterých je první derivace rovna nule, jsou x = 1
3
a x = 2.
Vyšetříme znaménka derivace:
(0, 1
3
) (1
3
, 2) (2, ∞)
y′
+ − +
y rostoucí klesající rostoucí
Vidíme, že v bodě x = 1
3
nastává lokální maximum, jehož funkční
hodnota f(1
3
) = 5
4
, a v bodě x = 2 nastává lokální minimum, jehož
funkční hodnota je f(2) = 5.
(b) Pro x ≤ 0, x = −1 máme funkci
f2 : y =
(2x + 1)(4x − 3)
x2 − 2x − 3
.
Její derivace
y′
=
−14x (x + 3)
(x2 − 2x − 3)2
.
Body, ve kterých může nastat lokální extrém, jsou x = −3 a x = 0.
17
Opět vyšetříme znaménka derivace :
(−∞, −3) (−3, 0)
y′
− +
y klesající rostoucí
V bodě x = −3 tedy nastává lokální minimum s funkční hodnotou
f(−3) = 25
4
.
3. Pro vyšetřování inflexních bodů, konvexnosti a konkávnosti je rovněž
potřeba rozlišovat, zda jsme na intervalu (−∞, 0] nebo [0, ∞).
(a) Pro x ≥ 0 je druhá derivace
y′′
= −6
6x3
− 21x2
+ 12x − 13
(x2 + 2x − 3)3
.
Body, ve kterých může nastat inflexe, jsou x = 1 a
x = 1
6
(
3
√
52 + 5 3
√
5 + 7)
.
= 3, 08. Znaménka derivace :
(0, 1) (1, 1
6
(
3
√
52 + 5 3
√
5 + 7)) (1
6
(
3
√
52 + 5
√
5 + 7), ∞)
y′′
− + −
y konkávní konvexní konkávní
(b) Pro x ≤ 0 je druhá derivace
y′′
=
14(2x3
+ 9x2
+ 9)
(x2 − 2x − 3)3
.
Body, ve kterých může nastat inflexe, jsou x = −1 a
x = −1
2
(
3
√
32 + 3 3
√
3 + 3)
.
= −4, 7. Znaménka derivace :
(−∞, −1
2
(
3
√
32 + 3 3
√
3 + 3)) (−1
2
(
3
√
32 + 3 3
√
3 + 3), −1) (−1, 0)
y′′
− + −
y konkávní konvexní konkávní
18
4. Vzhledem k definičnímu oboru funkce, který je (−∞, −1) ∪ (−1, 1) ∪ (1, ∞),
je jasné, že funkce bude mít dvě asymptoty bez směrnice
a to x = −1, x = 1. Průběh funkce v okolí těchto asymptot vyšetříme
pomocí limit:
lim
x→−1−
f(x) = ∞,
lim
x→−1+
f(x) = −∞,
lim
x→1−
f(x) = −∞,
lim
x→1+
f(x) = ∞.
Zbývá zjistit, zda má funkce asymptoty se směrnicí y = ax + b :
lim
x→±∞
f(x)
x
= 0 = a,
lim
x→±∞
[ f(x) − ax ] = lim
x→±∞
f(x) = 8 = b.
Asymptota se směrnicí je tedy y = 8.
5. Nyní můžeme sestrojit graf:
y
x
–4
–2
0
2
4
6
8
10
y
–10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10
x
19
Příklad 4.3. Vyšetřete průběh funkce
f : y =
|x|3
(x + 2)2
.
Řešení:
1. Definičním oborem funkce je množina R \ {−2}, funkce prochází po-
čátkem.
2. Ve funkci se vyskytuje absolutní hodnota, proto ji musíme vyšetřovat
na intervalech (−∞, 0] a (0, ∞) zvlášť.
(a) Pro x > 0 máme funkci
f1 :
x3
(x + 2)2
.
Její první derivace je
y′
=
x2
(x + 6)
(x + 2)3
.
Body, ve kterých je první derivace rovna 0 nebo body, ve kterých
první derivace neexistuje, jsou x = −6, x = −2 a x = 0. Protože
ani jeden z těchto bodů nesplňuje podmínku x > 0, bude derivace
na celém intervalu (0, ∞) buď pouze záporná nebo pouze kladná.
Dosazením libovolného čísla z tohoto intervalu zjistíme, že y′
> 0,
z čehož plyne, že funkce f bude na intervalu (0, ∞) rostoucí.
(b) Pro x ≤ 0 máme funkci
f2 :
−x3
(x + 2)2
.
Její první derivace je
y′
=
−x2
(x + 6)
(x + 2)3
.
Body, ve kterých je první derivace rovna 0 nebo body, ve kterých
první derivace neexistuje, jsou x = −6, x = −2 a x = 0. Vyšetříme
znaménka derivace :
(−∞, −6) (−6, −2) (−2, 0]
y′
− + −
y klesající rostoucí klesající
20
Lokální extrém nastává v bodě x = −6. Je to lokální minimum,
jehož funkční hodnota je f(−6) = 216
16
= 13, 5. V bodě x = −2
lokální extrém nastat nemůže, protože funkce f není v tomto bodě
definovaná. V bodě x = 0 nastává lokální minimum s funkční
hodnotou f(0) = 0.
3. Nyní budeme vyšetřovat konvexnost, konkávnost a inflexní body.
(a) Pro x > 0 je druhá derivace funkce
y′′
=
24x
(x + 2)4
.
Body, ve kterých je druhá derivace rovna 0 nebo body, ve kterých
druhá derivace neexistuje, jsou x = −2 a x = 0. Protože tyto
body nespadají do intervalu (0, ∞), bude funkce f na celém tomto
intervalu buď pouze konkávní nebo pouze konvexní. To zjistíme
dosazením libovolného čísla z tohoto intervalu do druhé derivace
funkce. Jelikož y′′
> 0, bude funkce f na intervalu (0, ∞) konvexní.
(b) Pro x ≤ 0 máme druhou derivaci funkce
y′′
=
−24x
(x + 2)4
.
Body, ve kterých je druhá derivace rovna 0 nebo body, ve kterých
druhá derivace neexistuje, jsou x = −2 a x = 0. Vyšetříme
znaménka derivace :
(−∞, −2) (−2, 0)
y′′
+ +
y konvexní konvexní
4. Asymptotou bez směrnice bude vzhledem k definičnímu oboru funkce
přímka x = −2. Vyšetříme chování funkce v okolí této přímky:
lim
x→−2−
f(x) = ∞,
lim
x→−2+
f(x) = ∞.
Zbývá zjistit, zda má funkce asymptoty se směrnicí y = ax + b.
Pro x → ∞ vypočítáme limity:
lim
x→∞
f(x)
x
= 1 = a,
lim
x→∞
[ f(x) − x ] = −4 = b.
21
Takže asymptota se směrnicí pro x → ∞ je přímka y = x − 4.
Pro x → −∞ vypočítáme limity:
lim
x→−∞
f(x)
x
= −1 = a,
lim
x→−∞
[ f(x) + x ] = 4 = b.
Asymptota se směrnicí pro x → −∞ je přímka y = −x + 4.
5. Nyní můžeme sestrojit graf:
y
x
0
5
10
15
20
y
–20 –10 10 20
x
22
4.3 Goniometrické a cyklometrické funkce
Příklad 4.4. Vyšetřete průběh funkce
f : y = sin 3x − 3 sin x.
Řešení:
1. Definičním oborem funkce je R, funkce je periodická s periodou 2π,
protože
f(x + 2π) = sin(3x + 6π) − 3 sin(x + 2π) = sin 3x − 3 sin x = f(x).
Funkce je lichá, protože
f(−x) = sin(−3x) − 3 sin(−x) = − sin 3x + 3 sin x = −f(x).
Průsečíky s osou x jsou v bodech x = kπ pro k ∈ Z.
2. První derivace funkce je
y′
= 3 cos 3x − 3 cos x.
Nulové body této rovnice jsou x = kπ
2
pro k ∈ Z. Vyšetříme znaménka
derivace (stačí na intervalu (0, 2π)) :
0, π
2
π
2
, π π, 3π
2
3π
2
, 2π
y′
− + + −
y klesající rostoucí rostoucí klesající
Takže lokální minima nastanou v bodech x = π
2
+ 2kπ, k ∈ Z, jejich
funkční hodnota f(π
2
+2kπ) = −4 a lokální maxima nastanou v bodech
x = 3π
2
+ 2kπ, k ∈ Z, jejich funkční hodnota f(3π
2
+ 2kπ) = 4.
3. Druhá derivace funkce je
y′′
= −9 sin 3x + 3 sin x.
Nulové body této rovnice jsou x = kπ pro k ∈ Z a body, pro které platí
sin x = ± 2
3
, což jsou na intervalu (0, 360◦
) body x
.
= 55◦
,
x
.
= 125◦
, x
.
= 235◦
, x
.
= 305◦
.
23
Vyšetříme znaménka derivace :
(0, 55◦
) (55◦
, 125◦
) (125◦
, 180◦
) (180◦
, 235◦
) (235◦
, 305◦
) (305◦
, 360◦
)
y′′
− + − + − +
y konkávní konvexní konkávní konvexní konkávní konvexní
Funkční hodnoty inflexních bodů jsou f(k180◦
) = 0, kde k ∈ Z,
f(55◦
) = f(125◦
)
.
= −2, 20, f(235◦
) = f(305◦
)
.
= 2, 20.
4. Funkce f nemá žádné asymptoty.
5. Nyní můžeme sestrojit graf:
y
x
–6
–4
–2
2
4
6
y
x
−π−2π π 2π
24
Příklad 4.5. Vyšetřete průběh funkce
f : y = x + 2 arccotg x.
Řešení:
1. Definičním oborem funkce je R, průsečík s osou y je bod [ 0, π ].
2. První derivace funkce je
y′
= 1 −
2
x2 + 1
,
body, ve kterých je první derivace rovna 0, jsou x = 1 a x = −1.
Vyšetříme znaménka derivace:
(−∞, −1) (−1, 1) (1, ∞)
y′
+ − +
y rostoucí klesající rostoucí
Vidíme, že v bodě x = 1 nastává lokální minimum, jehož hodnota je
f(1) = 1+π
2
, a v bodě x = −1 nastává lokální maximum, jehož hodnota
je f(−1) = −1 + 3π
2
.
3. Druhá derivace funkce je
y′′
=
4x
(x2 + 1)2
,
rovnice je rovna nule pouze v bodě x = 0.
(−∞, 0) (0, ∞)
y′′
− +
y konkávní konvexní
Bod x = 0 je inflexním bodem, zároveň i průsečíkem s osou y, jeho
funkční hodnotu jsme spočítali výše.
4. Nyní budeme zjišťovat, zda má funkce asymptoty. Pro x → ∞ vypočítáme
limity:
lim
x→∞
f(x)
x
= 1 = a,
lim
x→∞
[ f(x) − x ] = 0 = b.
25
Takže asymptota se směrnicí pro x → ∞ je přímka y = x.
Pro x → −∞ vypočítáme limity:
lim
x→−∞
f(x)
x
= 1 = a,
lim
x→−∞
[ f(x) − x ] = 2π = b.
Asymptota se směrnicí pro x → −∞ je přímka y = x + 2π.
5. Nyní sestrojme graf:
y
x
–2
0
2
4
6
y
–6 –4 –2 2 4 6
x
26
4.4 Exponenciální a logaritmické funkce
Příklad 4.6. Vyšetřete průběh funkce
f : y = x ln2
x.
Řešení:
1. Definičním oborem funkce je množina (0, ∞), funkce prochází bodem
[ 1, 0 ].
2. První derivace funkce je
y′
= ln2
x + 2 ln x = ln x (ln x + 2).
Její nulové body jsou x = e−2 .
= 0, 14 a x = 1. Vyšetříme znaménka
derivace na definičním oboru funkce :
(0, e−2
) (e−2
, 1) (1, ∞)
y′
+ − +
y rostoucí klesající rostoucí
V bodě x = e−2 .
= 0, 14 nastává lokální maximum, jeho funkční hodnota
je f(e−2
) = 4 e−2
. V bodě x = 1 je lokální minimum, jehož funkční
hodnota je rovna f(1) = 0.
3. Druhá derivace funkce je rovna
y′′
= 2
1
x
(ln x + 1).
Předchozí rovnice nabývá nuly v bodě x = e−1 .
= 0, 37. Vyšetříme
konvexnost a konkávnost :
(0, e−1
) (e−1
, ∞)
y′′
− +
y konkávní konvexní
4. Funkce nemá žádné asymptoty. K sestrojení funkce je vhodné vyšetřit
její chování v krajním bodě definičního oboru. Vypočteme proto limitu
funkce pro x → 0 zprava :
lim
x→0+
x ln2
x = 0.
27
5. Nyní můžeme sestrojit graf:
y
x
–1
0
1
2
3
4
–1 1 2 3 4
x
Příklad 4.7. Vyšetřete průběh funkce
f : y = (x − 2) e− 1
x .
Řešení:
1. Definičním oborem funkce množina R\{0}. Průsečík s osou x je v bodě
x = 2.
2. První derivace funkce je rovna
y′
= e− 1
x
x2
+ x − 2
x2
.
Nulové body jsou x = −2 a x = 1. Vyšetříme známénka derivace
na definičním oboru funkce f :
(−∞, −2) (−2, 0) (0, 1) (1, ∞)
y′
+ − − +
y rostoucí klesající klesající rostoucí
28
Lokální maximum nastává v bodě x = −2, jeho funkční hodnota je
f(−2) = −4 e
1
2
.
= −6, 6. V bodě x = 1 je lokální minimum s funkční
hodnotou f(1) = −e−1 .
= −0, 4.
3. Druhá derivace funkce f je
y′′
=
1
x4
e− 1
x (5x − 2).
Nulový bod druhé derivace je x = 2
5
. Vyšetříme známénka derivace
na definičním oboru funkce f :
(−∞, 0) (0, 2
5
) (2
5
, ∞)
y′′
− − +
y konkávní konkávní konvexní
V bodě x = 2
5
nastává inflexe.
4. Budeme hledat asymptoty se směrnicí ve tvaru y = ax + b:
lim
x→±∞
f(x)
x
= 1 = a,
lim
x→±∞
[ f(x) − x ] = −3 = b.
Asymptota se směrnicí funkce f je y = x − 3. Zbývá vyšetřit chování
funkce v bodě x = 0, ve kterém není funkce f definovaná.
lim
x→0+
f(x) = 0,
lim
x→0−
f(x) = −∞.
29
5. Nyní můžeme sestrojit graf:
x
y
–14
–12
–10
–8
–6
–4
–2
0
2
4
–10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10
x
4.5 Mocninné funkce
Příklad 4.8. Vyšetřete průběh funkce f na intervalu [ 0, 3 ],
f : y = (3 − x)
√
x.
Řešení:
1. Funkce má dva průsečíky s osou x a to body x = 0 a x = 3. Funkce je
spojitá v každém bodě intervalu [ 0, 3 ].
2. První derivace funkce je tvaru
y′
=
√
x
3(1 − x)
2x
.
Bod, ve kterém může nastat na zadaném intervalu extrém, je x = 1.
30
Vyšetříme monotónnost funkce :
(0, 1) (1, 3)
y′
+ −
y rostoucí klesající
V bodě x = 1 je lokální maximum s funkční hodnotou f(1) = 2.
3. Druhá derivace funkce je rovna
y′′
=
−3
√
x
4 x2
(x + 1).
Předchozí rovnice nemá na vyšetřovaném intervalu žádné nulové body.
Dosazením libovolného čísla z intervalu [ 0, 3 ] zjistíme, že y′′
< 0. To
znamená, že funkce f bude na celém intervalu [ 0, 3 ] konkávní.
4. Funkce nemá žádné asymptoty.
5. Nyní můžeme sestrojit graf:
x
y
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0.5 1 1.5 2 2.5 3
x
31
Příklad 4.9. Vyšetřete průběh funkce
f : y =
x3
x − 2
.
Řešení:
1. Vypočítáme definiční obor funkce f. Vyjdeme z toho, že výraz pod odmocninou
musí být nezáporný a jmenovatel ve zlomku se nesmí rovnat
nule. Definiční obor bude množina (−∞, 0] ∪ (2, ∞).
2. První derivace funkce je tvaru
y′
=
(x − 3) x (x − 2)
(x − 2)2
.
Body, ve kterých je první derivace nulová nebo ve kterých není definovaná,
jsou krajní body definičního oboru x = 0 a x = 2 a bod x = 3.
Vyšetříme monotónnost funkce na D(f) :
(−∞, 0) (2, 3) (3, ∞)
y′
− − +
y klesající klesající rostoucí
V bodě x = 3 nastává lokální minimum. Jeho funkční hodnota je
f(3)
.
= 5, 2.
3. Druhá derivace funkce je rovna
y′′
=
3
x (x − 2)5
.
Druhá derivace není definovaná v krajních bodech definičního oboru.
Vyšetříme znaménka derivace na D(f) :
(−∞, 0) (2, ∞)
y′′
+ +
y konvexní konvexní
32
4. Budeme hledat asymptoty se směrnicí funkce f ve tvaru y = ax + b :
Pro x → ∞ vypočítáme limity:
lim
x→∞
f(x)
x
= 1 = a,
lim
x→∞
[ f(x) − x ] = 1 = b.
Takže asymptota se směrnicí pro x → ∞ je přímka y = x + 1.
Pro x → −∞ vypočítáme limity:
lim
x→−∞
f(x)
x
= −1 = a,
lim
x→−∞
[ f(x) + x ] = −1 = b.
Asymptota se směrnicí pro x → −∞ je přímka y = −x − 1.
Nyní vyšetříme, jak se bude funkce f chovat v krajních bodech definičního
oboru D(f) :
lim
x→0−
f(x) = 0,
lim
x→2+
f(x) = ∞.
Z poslední počítané limity plyne, že funkce f bude mít asymptotu
bez směrnice ve tvaru x = 2.
5. Nyní můžeme sestrojit graf:
x
y
0
2
4
6
8
10
y
–6 –4 –2 2 4 6
x
33
Literatura
[1] Došlá Z., Kuben J.: Diferenciální počet funkcí jedné proměnné, Masarykova
univerzita, Brno 2004
[2] Jirásek F., Kriegelstein E., Tichý Z.: Sbírka řešených příkladů z matematiky,
3.vydání, SNTL, Praha 1987, s. 473-491
[3] Studijní materiály předmětu Kvantitativní ekonomie vyučovaného na
Přírodovědecké fakultě pod kódem E5340.
[4] Rybička J.: LATEXpro začátečníky, 3.vydání, KONVOJ, Brno 2003
[5] Lomtatidze L., Plch R.: Sázíme v LATEXu diplomovou práci z matematiky,
1.vydání, Masarykova univerzita, Brno 2003
34