NEURČITÝ INTEGRÁL
Existuje tzv. primitivní funkce F(x) tak, že f{x) = F'{x)l značíme
F(x) = í f(x) dx
Například
„2 _ (£ \l
,X
v 3
ale i
x
2
,x'
3
3
+ 2V
y 3
*2 = (y+50)'
=4> takových primitivních funkcí je nekonečně mnoho (proto "neurčitý integrál" ).
x í=>--h const
3
—?► integrace, <— derivace
Neurčitý integrál je tedy množina všech primitivních funkcí k funkci / na intervalu /, zapsáno matematicky:
j f{x)dx := {F(x) + C, C G R}
Primitivní funkce neexistuje vždy!
Je-li f{x) spojitá na / =4> 3F(x) na / Pravidla integrování
cf(x)dx = c J f(x)dx
\f(x) ± g(x)]dx = Jf(x)dx ± Jg(x)dx Metody integrování
1
Metoda per partes (po částech)
u'v = uv — uv'
(samozřejmě u = u(x), v = v (x) a integrujeme podle x) Per partes se používá zejména pro integrály typu:
xneaxdx, / xn cos(ax)dx, / xalnadx
Metoda substituce
nějakou vnitřní/vynásobenou funkci substituujeme (nahradíme ) jednodušší, pak nesmíme zapomenout změnit podle čeho integrujeme (tj. nahradit dx výrazem odpovídajícím substituci): např.
sin(3x)dx
substituce t = 3x, dt = 3dx, dx = dt/3, pak
,   . f    , . dt       1 1
sin(3x)dx = / srn í — = —cosí =--cosáx
V   '        J     w 3        3 3
URCITY RIEMANNUV INTEGRÁL
obsah plochy pod grafem funkce na určitém intervalu [a, b]:
fb
= f{x)dx
Pravidla integrování
b í-b
cf(x)dx = c f(x)dx
ľb ľb ľb
/ [f (x) ± g(x)]dx = / f(x)dx ± / g{x)dx
Ja Ja Ja
Výpočet
Je-li F{x) primitivní funkce k funkci f (x), tj. j f(x)dx = F(x) pak
f(x)dx = F (b) - F (a)
[F(x)]ba
Metody integrování
2
• Metoda per partes
• Metoda substituce
stejně jakou neurčitých. Bud na závěr dosadíme zpět substituci, NEBO přepočítáme na začátku meze a o vracení substituce už senemusíme starat např.
sin(3x)dx
substituce t = 3x, dt = 3dx, dx = dt/3, —tv ~» — 3tt, tv ~» 3tt, pak
/n f37T dt 1
sin(3x)dx = /     sin(í)- = --[cosí]^ = 0
3
Tabulka integrálů elementárních funkcí
/ / / / / / / / / / / /
/
r
O dx = c
a áx = ax + c
Xn áx = -Xn+1 + C pro X>Q,n£M>Q,n^ —1. Pro přirozená n platí uvedený vzta
71 + 1
— áx = ln     + c pTO
a:
ex áx = e1 + c a1
a1 dj: = -—-—t" + c pTO a > 0, a ^ 1 sin x áx = — cos z + c
cosjc áx = sin £ + c 1
sin2£
cLe = —-COtg X + c pTO £ ^ 717t, kde říje celé číslo.
1 7t
dj; = tg X + C pro X ^ (2?1 + 1) —, kde nje celé číslo.
cos2 x '   ' 2
1
--d;r = arctgj; + ci = — arccotgj; +
Vl-x
i
1 (!lnlSl+c> pro|x|^l
tLr = < arctgha; + c,    pro |jc| < 1
^aiccotgria? + c   pTO |jc| > 1
4