Rozklad na parciální zlomky
text neobsahuje přesné matematické definice, pouze jejich vysvětlení
Máme: nějaký "hnusný" podíl polynomů, jako třeba
x2 + 7x + 1 x{x — l)3(x2 + x + l)2
Chceme: ho rozepsat na součet jednodušších zlomků (snáze se nám pak budou počítat limity, integrovat). Podle jakého pravidla rozepisujeme, to je vidět z příkladu:
x2 + 7x + l _ A        B C D Ex + F Gx + H
x{x — l)3(x2 + X + l)2     x     {x — l)3     (x — l)2     x — 1     {x2+x + l)2     X2 + X + 1
Abychom ho mohli takto rozložit, je třeba, aby zlomek byl ve tvaru tzv.ryze lomené funkce, což zjednodušeně znamená, že stupeň polynomu v čitateli je menší než ve jmenovateli (pokud tomu tak není, musíme čitatel podělit jmenovatelem a dostat tak ryze lomenou fci).
Příklad 1. Rozložte na parciální zlomky:
x + 3 x2 + x + 2
Řešení: Funkce je ryze lomená, protože stupeň v čitateli je menší než ve jmenovateli. Polynom ve jmenovateli lze rozložit na x2 + x + 2 = (x + 2) (x — 1) (odhadneme/dopočítáme pomocí Homérova schématu). Rozklad je tedy:
x+3       _   A B (x + 2)(x- 1) ~ x - 1 + x + 2
Abychom určili neznámé koeficienty A, B, vynásobíme obé strany rovnice společným jmenovatelem {x + 2){x — 1):
x + 3 = A(x + 2) + B(x - 1) x + 3   =   (A + B)x + 2A- B
a
A ted už jen porovnáme koeficienty u stejných mocnin (u x1 a x°):
1   =   A + B 3   = 2A-B
1
A = 4/3, B = —1/3 A tedy výsledný rozklad:
x + 3
4/3 -1/3
+
x2 +x + 2     x - 1    x + 2
Příklad 2. Rozložte na parciální zlomky:
x + 4
xž + 2x + 1
. Řešeni: funkce není ryze lomená, proto musíme podělit polynomy v čitateli a jmenovateli (algoritmus dělení polynomů lze snadno vygooglit):
x+A) : (;z:2+2x + l) = 1 +
-3x + 3
x2 + 2x + 1
Na parciální zlomky rozložíme jen ryze lomený zbytek x2+2x+i = Jx+T^:
-3x + 3
A
+
B
{x + l)2 X + 1      (X + I)2
-3x + 3   =   i? + A(x + 1)
= 6, A Výsledek:
-3.
x + 4
1 +
+
6
x2+2x + l        ' x + 1 ' (x+ 1)2 Příklad 3. Rozložte na parciálni zlomky:
x
(x-l){x2+2)
1/3   , (-l/3)a+2/3
x-1
+
x2+2
Příklad 4. Rozložte na parciálni zlomky:
3x + 2
x2 + x
Příklad 5. Rozložte na parciálni zlomky:
x2 + 1
1 + -±-
x x+1
X (x — l)3
2
Příklad 6. Rozložte na parciální zlomky:
x — 3
xs + 3x
Příklad 7. Rozložte na parciální zlomky:
x5 — 2x4 + x3 + x + 5 x3 — 2x2 + x — 2
— + — + 2
a:       21—1      (n— l)3
^1 _|_
z   ^ :r2+3
„2  i     2a2+a:+5    _ ~2  ,  _3__, -x-1
X        (x2+l)(x-2) — X        x—2      a;2 + l
3