Slovní úlohy a přibližná hodnota
Příklad 1: Který pravoúhelník má při daném obsahu S nej menší obvod?
[ čtverec, nebo-li strana a je rovna straně b ]
Příklad 2: Do kružnice s poloměrem r vepište rovnoramenný trojúhelník tak, aby měl maximální obsah. Tento obsah určete.
Příklad 3: Navrhujete plakát, aby se na něj vešlo 50 in2 tisku s okraji 4 in. nahoře i dole a 2 in. na každé straně (in=inches=palce). Jaké budou rozměry plakátu, aby byla spotřeba papíru co nejmenší?
[ 9 x 18 in. ]
Příklad 4: Máme obdélníkový papír o obvodu 36 cm, který ohneme tak, že nám vznikne dutý válec (spojíme kratší okraje obdélníku k sobě). Jaké rozměry papíru nám dají největší objem válce?
[ 6 x 12 cm ]
Příklad 5: Délka obdélníku se zmenšuje rychlostí 2 cm/s, zatímco šířka obdélníku se zvětšuje rychlostí 2 cm/s. Když je délka 12 cm a šířka 5 cm, určete, jakým tempem se mění a) obsah, b) obvod a c) délka diagonál obdélníku.
[ a) 14 cm2/s, b) 0 cm/s, c) -14/13 cm/s ]
Příklad 6: Předpokládejme, že se rozměry x,y,z uzavřeného kvádru mění následující rychlostí:
dx dy dz
—— — lm/s,    — — —íms.    — — lm/s.
dt 1 '    dt 1       dt 1
Určete, jakým tempem se mění a) objem, b) povrch a c) délka diagonály kvádru, když x — 4, y — 3, a z — 2. Diagonála se spočítá jako s — \J x2 + y2 + z2.
[ a) 2 m3/s, b) 0 m2/s, c) 0 m/s 1
Příklad 7: Z transportéru padá písek rychlostí 10 m3/min na vrchol kuželovité hromady. Výška hromady je vždy tři osminy poloměru průměru podstavy. Jak rychle se mění a) výška a b) poloměr, když je hromada vysoká 4 m? Odpovězte v cm/min.
[ a) 11,19 cm/min, b) 14,92 cm/min ]
1
Příklad 8: Kulovitý balón je nafukován héliem rychlostí lOO-zr m3/niin. Jak rychle se zvětšuje poloměr balónu ve chvíli, kdy je jeho poloměr 5 m? Jak rychle se zvětšuje jeho povrch? Objem koule je V — ^7rr3, povrch koule je P — 47rr2.
[ a) 1 m3/min, b) 40ir m2/min ]
Příklad 9: Pomocí diferenciálu určete přibližnou hodnotu arccotg(l, 01)
[ 71-/4 - 1/200 ]
Příklad 10: Pomocí diferenciálu určete přibližnou hodnotu e1'2
[l,2e]
Příklad 11: Určete Tayloruv polynom druhého stupně funkce e~x pro x$ — 0.
[l-x2]
Příklad 12: Určete Tayloruv polynom třetího stupně funkce x3 — 2x + 5 pro x0 = 1.
[4+(x-í)+3(x-í)2 + (x-í)3 ]
2