Nekonečné řady
Příklad 1: Rozhodněte o konvergenci/divergenci následujících řad
oo ^2
E
n=02n2 + 1
OO 1
£ i—
~ 3™n!
n=l n
oo ^
E(-i)n
n=0
5n- 2
E(-irf2-u"
n=0
3n + 2
oo on
E(-i)n—
E(-ir vn
„=o        n+ 100
oo ^
^ 4/Ť7
n=l Vn
oo Si n=l nl
OO 1
E —-—
diverguje
diverguje
diverguje
diverguje
konverguje absolutně
diverguje
konverguje relativně
diverguje
konverguje
konverguje
1
Příklad 2: Určete, poloměr konvergence a obor konvergence následujících řad
n=l n2
E nn(x-5)n
n=l
E 2nx2n
n=l
Pozn.: Proveďte substituci 2n — k
E (-l)nx3n
n=0
E n{x- 1)
n=0
E
n=0
2n
oo ™^ n=0 n
E(-i)n-
n=0 71
oo Tn
E -
n=0 71
~R=1, /=[-4,2];
'iž = 0, J = 5]
~ ^2' 7 ~ ( \/2'
= J=(-l,l)
ii=l, J=(0,2)
\R = 1, /=(-!,!)
fl = 1, /= [-1,1)
2
Příklad 3: Určete součet následujících řad
E
7!=0 " + 1
E(-1)Í!^TT
n=0 11+ L
oo j.n+1 E(-1)"+1^-TT
n=i n(n + l)
oo ,.-!>!
E "
n=12n - 1
E(2n+l)x2"
n=0
E n(n + 2)xr
n=l
~ n(n + 2)
n=l °
í! = l
n2xn
n=l
y —
^ On
n=l L
ln|l -x|]
[ln|l + x|]
[xln|l + x\ - x + ln|l + x|]
[x arctgx — x2]
' 3x2-xó .x(l-x)3
[3]
' 1+x
.(1-^)3
.(1-^)3
[6]
3
Příklad 4: Určete Maclaurinovu řadu pro funkce sinx, cosx, ex, 1n(x + 1) a pomocí nich určete Maclaurinovy řady následujících funkcí
coshx
ex + er1
sin(2x)
cos(x3)
ln-
í+x
[ E
„2n
o (2n)!
r~ n»(2x)2"+1-Lt^    ^ (2n+l)!-
OO ÍT^n
[E(-ir-
n=l n
4