Aplikace diferenciálního počtu
1. ÚLOHA
Odhadněte cos(
√
2) s přesností 0.001 pomocí Taylorova polynomu stupně 7.
2. ÚLOHA
Pomocí diferenciálu odhadněte přibližně arctan(0, 97).
3. ÚLOHA
Doba kyvu matematického kyvadla τ je dána vztahem τ = π
√
l
g . O kolik se změní τ,
změní-li se délka l = 100cm o 0, 5cm (g = 9, 81ms−2)?
4. ÚLOHA
Kus drátu s délkou a máme rozdělit na dvě části, kde první část se ohne do tvaru čtverce
a druhá do tvaru kruhu. Na kterém místě je třeba provést řez, aby součet obsahů čtverce
a kruhu byl co nejmenší?
5. ÚLOHA
Jaký je nejekonomičtější tvar válcové nádoby (např. hrnce bez pokličky) s daným objemem,
tj. jaký je nejmenší povrch?
6. ÚLOHA
Dvě částice o hmotnostech m1 a m2 (m1 > m2) se pohybují po přímce rychlostmi o
velikostech v1 a v2 stejné orientace tak, že dojde k jejich pružnému rázu (srážce). Ukažte,
že nárůst kinetické energie částice o hmotnosti m1 bude maximální, jestliže se před srážkou
pohybovala rychlostí v1 = (m1−m2)v2
2m1
. Při řešení předpokládejte, že ráz je dokonale pružný.
7. ÚLOHA
Na plotě, jehož výška je 1m, sedí kos. Ve vzdálenosti 15m od plotu roste strom, který
má větev ve výšce 3m. Na zemi mezi plotem a stromem jsou hustě rozesety žížaly. V jaké
vzdálenosti od plotu má kos sezobnout žížalu, aby proletěl trasu plot – žížala – větev po
přímkách a po nejkratší dráze?